Тема 4. Портфельный анализ

1
Тема 4. Портфельный анализ
−
−
−
Цель
изучить методику портфельного анализа.
Задачи:
рассмотреть подход Марковица для бесконечного числа
возможных инвестиционных портфелей;
выявить различия между рыночным и собственным риском
портфеля.
СОДЕРЖАНИЕ
4.1. Теорема об эффективном множестве ........................................... 1
4.2. Достижимое множество .................................................................. 2
4.3. Выбор оптимального портфеля. Вогнутость эффективного
множества .............................................................................................. 2
4.4. Рыночная модель. Рыночный и собственный риск портфеля ..... 3
4.5. Диверсификация ............................................................................. 5
Выводы ................................................................................................... 7
Вопросы для самопроверки .................................................................. 7
Библиография ........................................................................................ 8
4.1. Теорема об эффективном множестве
Известно, что из набора N ценных бумаг можно сформировать
бесконечное число портфелей. Рассмотрим ситуацию, когда N равно
трем. Инвестор может купить или только акции одной компании, или
только акции другой компании, или некоторую комбинацию акций двух
компаний. Например, он может вложить половину средств в одну, а
половину в другую компанию, или 75% в одну, а 25% в другую, или же
33% и 67% соответственно. В конечном счете инвестор может
вложить любой процент (от 0% до 100%) в первую компанию, а
остаток во вторую. Даже без рассмотрения акций третьей компании,
существует бесконечное число возможных портфелей для
инвестирования.
Необходимо ли инвестору проводить оценку всех этих
портфелей? К счастью, ответом на этот вопрос является «нет».
Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только
подмножество возможных портфелей, содержится в следующей
теореме об эффективном множестве:
Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества
портфелей, каждый из которых:
1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для
некоторого уровня риска,
2
2. Обеспечивает минимальный риск для некоторого значения
ожидаемой доходности.
Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям,
называется эффективным множеством, или эффективной границей.
4.2. Достижимое множество
Достижимое множество известно как множество возможностей, из
которого может быть выделено эффективное множество. Достижимое
множество представляет собой все портфели, которые могут быть
сформированы из группы в N ценных бумаг. Это означает, что все
возможные портфели, которые могут быть сформированы из N
ценных бумаг, лежат либо на границе, либо внутри достижимого
множества. В общем случае, данное множество будет иметь форму
типа зонта. В зависимости от используемых ценных бумаг, оно может
быть больше смешено вправо или влево, вверх или вниз, кроме того,
оно может быть шире или уже приведенного здесь множества.
Из множества эффективных портфелей инвестор будет выбирать
оптимальный для себя. Все остальные достижимые портфели
являются неэффективными портфелями, поэтому мы их можем
игнорировать.
4.3. Выбор оптимального портфеля. Вогнутость
эффективного множества
Каким образом инвестор выбирает оптимальный портфель?
Инвестор должен нарисовать свои кривые безразличия на одном
рисунке с эффективным множеством, а затем приступить к выбору
портфеля, расположенного на кривой безразличия, находящейся
выше и левее остальных. Этот портфель будет соответствовать точке,
в которой кривая безразличия касается эффективного множества.
Ранее было установлено, что кривые безразличия для инвестора,
избегающего риск, выпуклы и имеют положительный наклон. Теперь
мы покажем, что эффективное множество в общем случае вогнуто и
имеет положительный наклон, т.е. отрезок, соединяющий любые две
точки эффективного множества, лежит ниже данного множества. Это
свойство эффективных множеств является очень важным, так как оно
означает, что существует только одна точка касания эффективного
множества и кривых безразличия.
3
Рис. 4.1. Вогнутость эффективного множества
4.4. Рыночная модель. Рыночный и собственный риск
портфеля
Предположим, что доходность обыкновенной акции за данный
период времени (например, месяц) связана с доходностью за данный
период акции на рыночный индекс, такой, например, как широко
известный S&P 500. В этом случае с ростом рыночного индекса,
вероятно, будет расти и цена акции, а с падением рыночного индекса,
вероятно, будет падать и цена акции. Один из путей отражения
данной взаимосвязи носит название рыночная модель:
ri  iI  iI rI   iI
ri - доходность ценной бумаги i за данный период времени
rI - доходность на рыночный индекс I за тот же период
αiI - коэффициент смещения
βiI – коэффициент наклона
εiI – случайная погрешность
Предположив, что коэффициент наклона положителен, можно
заметить следующее: чем выше доходность на рыночный индекс, тем
выше будет доходность ценной бумаги (заметим, что среднее
значение случайной погрешности равняется нулю).
Рассмотрим акции А, для которых αiI = 2% и βiI = 1,2. Это означает,
что для акции А рыночная модель будет выглядеть следующим
образом:
rA  2%  1, 2rI   AI
Таким образом, если рыночный индекс имеет доходность в 10%,
то ожидаемая доходность ценной бумаги составляет 14% (2% + 1,2 х
10%). Если же доходность рыночного индекса равняется -5%, то
доходность ценной бумаги А ожидается равной -4% (2% + 1,2 х (-5%)).
4
Аналогично рассуждаем в отношении акций В, для которых αiI = 1% и βiI = 0,8.
Случайная погрешность показывает, что рыночная модель не
очень точно объясняет доходности ценных бумаг. Другими словами,
когда рыночный индекс возрастает на 10% или уменьшается на 5%, то
доходность ценной бумаги А не обязательно равняется 14% или -4%
соответственно. Разность между действительным и ожидаемым
значениями доходности при известной доходности рыночного индекса
приписывается случайной погрешности. Таким образом, если
доходность ценной бумаги составила 9% вместо 14%, то разность и
5% является случайной погрешностью. Аналогично, если доходность
ценной бумаги оказалась равной —2% вместо — 4%, то разность в 2%
является случайной погрешностью.
Случайную погрешность можно рассматривать как случайную
переменную, которая имеет распределение вероятностей с нулевым
математическим
ожиданием
и
стандартным
отклонением,
обозначенным αiI.
Наклон в рыночной модели ценной бумаги измеряет
чувствительность ее доходности к доходности на рыночный индекс.
Коэффициент наклона рыночной модели часто называют «бета»коэффициентом (beta) и вычисляют так:
iI   iI /  I2
где σiI обозначает ковариацию между доходностью акции i и
доходностью на рыночный индекс, а σ2I обозначает дисперсию
доходности на индекс. Акция, которая имеет доходность, являющуюся
зеркальным отражением доходности на индекс, будет иметь «бета»коэффициент, равный 1. То есть акции с «бета»-коэффициентом
больше единицы (такие, как А) обладают большей изменчивостью,
чем рыночный индекс, и носят название «агрессивные» акции. И
наоборот, акции с «бета»-коэффициентом меньше единицы обладают
5
меньшей изменчивостью, чем рыночный индекс, и называются
«оборонительными» акциями.
4.5. Диверсификация
Исходя из рыночной модели, общий риск ценной бумаги,
измеряемый ее дисперсией, состоит из двух частей: (1) рыночный (или
систематический) риск; (2) собственный (или несистематический) риск:
i2  iI2 I2   2I
где  I2 обозначает дисперсию доходности на рыночный индекс,
 iI2 I2 — рыночный риск ценной бумаги /, a  2I — собственный риск
ценной бумаги /, мерой которого является дисперсия случайной
погрешности (εiI).
Что можно сказать об общем риске портфеля в случае, когда
доходность каждой рисковой ценной бумаги из портфеля связана с
доходностью рыночного индекса, что определяется моделью рынка?
Если долю фондов инвестора, вложенную в ценную бумагу i данного
портфеля р, обозначить через X., то доходность портфеля может быть
вычислена по следующей формуле:
N
rp   X i ri
i 1
rp   pI   pI rI   pI
Общий риск портфеля, измеряемый дисперсией его доходности,
выражается следующим образом:
 p2   pI2  I2   2p
Общий риск портфеля состоит из двух компонентов, аналогичных
двум компонентам общего риска отдельных ценных бумаг. Эти
компоненты также носят название рыночного риска и собственного
риска.
Увеличение диверсификации может привести к снижению общего
риска
портфеля.
Это
происходит
вследствие
сокращения
собственного риска портфеля, в то время как рыночный риск
портфеля остается приблизительно таким же.
В
общем
случае
можно
заметить,
что
чем
более
диверсифицирован портфель (т.е. чем большее количество ценных
бумаг в него входит), тем меньше каждая доля X. При этом значение
«бета» портфеля не меняется существенным образом, за
исключением случаев преднамеренного включения в портфель
ценных бумаг с относительно низким или высоким значением «беты».
Так как «бета» портфеля является средним значением «беты» ценных
бумаг, входящих в портфель, то нет оснований предполагать, что
увеличение диверсификации портфеля вызовет изменение «беты»
6
портфеля и, таким образом, рыночного риска портфеля в какую-либо
сторону. Таким образом, можно утверждать, что диверсификация
приводит к усреднению рыночного риска
Этот вывод имеет важное значение, так как в случае плохого или
хорошего экономического прогноза большинство ценных бумаг упадут
или соответственно возрастут в цене. Несмотря на уровень
диверсификации портфеля, всегда можно ожидать, что такие
рыночные явления будут влиять на доходность портфеля.
Совершенно другая ситуация возникает при рассмотрении
собственного риска портфеля. В портфеле некоторые ценные бумаги
могут возрасти в цене в результате распространения неожиданных
хороших новостей, касающихся компаний, эмитировавших данные
ценные бумаги (например, о приобретении патента). Другие ценные
бумаги упадут в цене в результате распространения неожиданных
плохих новостей, относящихся к данным компаниям (например, об
аварии). В будущем можно ожидать, что количество компаний, о
которых
станут
известны
какие-либо
хорошие
новости,
приблизительно будет равняться количеству компаний, о которых
станут известны какие-либо плохие новости, что приведет к
небольшому ожидаемому чистому воздействию на доходность хорошо
диверсифицированного портфеля. Это означает, что чем больше
диверсифицируется портфель, тем меньше становится собственный
риск и, следовательно, общий риск.
Можно сделать следующее заключение: диверсификация
существенно уменьшает собственный риск.
Рис. 4.2. Общий риск портфеля
Проще говоря, портфель, состоящий из 30 или более случайно
выбранных ценных бумаг, будет иметь относительно низкую величину
собственного риска. Это означает, что общий риск будет ненамного
7
больше величины имеющегося рыночного риска. Таким образом,
указанные портфели являются хорошо диверсифицированными.
Выводы
1. Эффективное множество содержит те портфели, которые
одновременно обеспечивают и максимальную ожидаемую доходность
при фиксированном уровне риска, и минимальный риск при заданном
уровне ожидаемой доходности.
2. Предполагается, что инвестор выбирает оптимальный
портфель из портфелей, составляющих эффективное множество.
3. Оптимальный портфель инвестора идентифицируется с точкой
касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством.
4. Предположение о вогнутости эффективного множества
следует из определения стандартного отклонения портфеля и из
существования финансовых активов, доходности которых не являются
совершенно
положительно
или
совершенно
отрицательно
коррелированными.
5. Диверсификация обычно приводит к уменьшению риска, так
как стандартное отклонение портфеля в общем случае будет меньше,
чем средневзвешенные стандартные отклонения ценных бумаг,
входящих в портфель.
6. Соотношение доходности ценной бумаги и доходности на
индекс рынка известно как рыночная модель.
7. Доходность на индекс рынка не отражает доходности ценной
бумаги полностью. Необъясненные элементы включаются в
случайную погрешность рыночной модели.
8. Уровень
наклона
в
рыночной
модели
измеряет
чувствительность доходности ценной бумаги к доходности на индекс
рынка. Коэффициент наклона носит название «бета»-коэффициент
ценной бумаги.
9. В соответствии с рыночной моделью общий риск ценной
бумаги состоит из рыночного риска и собственного риска.
10. Вертикальное смещение, «бета»-коэффициент и случайная
погрешность портфеля являются средневзвешенными значениями
смещений, «бета»-коэффициентов и случайных погрешностей ценных
бумаг, входящих в портфель, причем вес каждой бумаги равен ее
доле в общей стоимости портфеля.
11. Диверсификация приводит к усреднению рыночного риска.
12. Диверсификация может значительно снизить собственный
риск.
Вопросы для самопроверки
1. Почему можно предположить, что отдельно взятые ценные
бумаги лежат в правой части множества достижимости, в то время как
в левой верхней части этого множества находятся только портфели?
8
2. Объясните, почему большинство инвесторов предпочитают
иметь диверсифицированные портфели, вместо того чтобы
вкладывать все свои средства в один финансовый актив. Для
объяснения своего ответа используйте изображения множества
достижимости и эффективного множества.
3. Объясните, почему понятия ковариации и диверсификации
тесно связаны между собой.
4. В терминах модели Марковица объясните на словах и с
помощью графиков, как инвестор выбирает свой оптимальный
портфель. В какой особой информации нуждается инвестор для
определения данного портфеля?
5. Кратко объясните, почему эффективное множество должно
быть вогнутым.
6. Каким образом выводится «бета»-коэффициент из рыночной
модели ценной бумаги? Почему ценные бумаги с «бета»коэффициентом больше 1 называются «агрессивными»? Почему
ценные бумаги с «бета»-коэффициентом меньше 1 называются
«оборонительными»?
7. Рыночная модель определяет очень простое взаимодействие
доходности ценной бумаги и доходности на индекс рынка. Объясните
некоторые сложности реального мира, которые могут уменьшить
«пророческую силу» рыночной модели.
8. Имеются два портфеля, один инвестирован в компанию по
энергоснабжению, другой — в компанию по добыче золота. Каждый
портфель имеет коэффициент «бета», равный 0,60. Почему для
аналитика рынка ценных бумаг интересно знать, что портфель,
инвестированный в золотодобычу, имеет большее стандартное
отклонение случайной погрешности (собственный риск), чем
портфель, инвестированный в энергоснабжение?
9. Почему
диверсификация
приводит
к
уменьшению
собственного риска, но не рыночного риска? Приведите и
интуитивное, и математическое объяснение.
10. Почему подход с использованием рыночной модели
технически проще, чем оригинальный подход Марковица к
конструированию эффективного множества?
Библиография
1. Боди З., Кейн А., Маркус А.Дж. Принципы инвестиций. – М.:
Вильямс, 2002. – Главы 6, 7.
2. Шарп У.Ф., Александер Г. Дж., Бейли Д. В. Инвестиции. - М.:
ИНФРА-М; НФПК, 2004. – Глава 22.