. Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических объектов при помощи алгебраических методов. В основе такого подхода лежит метод координат, впервые систематически примененный...
реклама
Тема 24. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических объектов при помощи алгебраических методов. В основе такого подхода лежит метод координат, впервые систематически примененный великим французским математиком Рене Декартом (1596-1650). Направленный отрезок AB, в котором считаем точку A - началом, а точку B - концом, называют вектором. Векторы называют коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых. Векторы называют компланарными, если они расположены на прямых, параллельных некоторой одной плоскости. Будем считать, что при параллельном переносе вектор не изменяется. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат OXYZ , и каждой точке M поставлена в соответствие тройка чисел ( x, y , z ) - координаты точки. Рассмотрим две точки пространства A( x1 , y1 , z1 ) и B( x2 , y2 , z2 ) . Координаты вектора AB находятся по формулам: x x2 x1 ; y y2 y1; z z2 z1. В частном случае, радиус-вектор OM , начинающийся в начале координат - точке O (0,0,0), имеет такие же координаты, как и точка M . Базисными векторами будем считать векторы i(1,0,0); j (0,1,0); k (0,0,1). Модуль (или длина) вектора AB и определяется формулой AB x 2 y 2 z 2 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 . Эта же формула, естественно, позволяет вычислять длину отрезка AB, точками A и B. Заметим, что или расстояние между i 1, j 1, k 1. Теперь определим операции над векторами. Сложение векторов образом. a, b осуществляется следующим Перенесем векторы a, b , так, чтобы их начала совпадали. Построим параллелограмм, двумя Перенесем векторы сторонами которого будут векторы a, b . Диагональ этого параллелограмма, начинающаяся в начале каждого вектора, и будет являться суммой векторов Тогда вектор a b "замкнет треугольник" и соединит начало первого вектора и конец второго вектора. ab . вектора a, b , так, чтобы конец первого a совпадал с началом второго вектора b. a b ab a ab b Такое построение суммы векторов Называют правилом параллелограмма. Такое построение суммы векторов называют правилом треугольника. Для того чтобы умножить вектор на положительное число, надо умножить на это число его длину и сохранить направление. Чтобы умножить вектор на отрицательное число, его длину умножают на модуль числа и меняют направление на противоположное. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются; при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число: a(a1 ; a2 ; a3 ) a b(a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 ), a(a1 ; a2 ; a3 ). b(b1 ; b2 ; b3 ) Каждый вектор операций a(a1 ; a2 ; a3 ) может быть выражен через базисные векторы с помощью этих a(a1 ; a2 ; a3 ) a1 i a2 j a3 k. Данную формулу называют разложением вектора по базису. Скалярным произведением векторов a и b называют число, обозначаемое a b, равное a b a b cos , где - угол между векторами a и b . Если векторы заданы координатами a(a1 ; a2 ; a3 ), b(b1 ; b2 ; b3 ), то скалярное произведение выражается формулой a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 . Используя скалярное произведение, находим угол между векторами: cos Векторы a и a b ab a1 b1 a2 b2 a3 b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32 . b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 0. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a и b является существование такого числа , что a b. Через координаты векторов это условие коллинеарности имеет вид a1 a2 a3 . b1 b2 b3 В заключение этой теоретической части нашего урока отметим, что все перечисленные формулы пригодны для векторов на плоскости OXY . Надо лишь «убрать» в этих формулах третью координату. Решим вместе несколько примеров. Пример 1. При каких значениях параметра модуль вектора m, модуль вектора a(m; m 1;12) не превосходит b(10;8; 5 ). Решение. Найдем модули данных векторов: 2 b 10 2 8 2 5 13. Из a m 2 (m 1) 2 122 2m 2 2m 145 , условия задачи 2m 2 2m 145 13 2m 2 2m 145 169 2m 2 2m 24 0 неравенства является m 4;3. Ответ: m 4;3. Пример 2. Вычислить получаем неравенство Решением этого 2a b , если a(1;3;5), b(3;6;2). Решение. Найдем координаты вектора c 2a b. Получим c(2(1;3;5) (3;6;2)) 2 1 3;2 3 6;2 (5) 2) c(5;0;12). Отсюда c 52 0 2 12 2 13 . Ответ: 2a b 13. Пример 3. Даны векторы a(5;2;3), b(2;3;1) и c a 2b. Найти угол между векторами a и c. Решение. Найдем координаты вектора c. Получим c(5;2;3) 2(2;3;1) (5 2 2;2 2 3;3 2 1) (1;4;1). Теперь можем найти угол между векторами: cos ac ac Ответ: 5 1 (2) 4 3 1 ac 2 . 0. Следователь 2 . Пример 4. При каких значениях параметров коллинеарными. Решение. Из условия коллинеарности следует: Ответ: s 6, t 6. s, t векторы a(s;2;4), b(9;3; t ) будут s 2 4 . Тогда s 6, t 6. 9 3 t Пример 5. В треугольнике с вершинами в точках A(1;2;4), B (5;2;6), C ( 1;8;0) найти координаты точки пересечения медиан. Решение. Пусть известны координаты точек A( x1 ; y1 ; z1 ), B( x2 ; y2 ; z2 ). Координаты точки AM , определяется формулой MB x1 x2 y1 y 2 z1 z 2 x , y , z M B( x2 ; y2 ; z2 ) M ( x; y; z ), делящей отрезок в известном отношении A( x1; y1 ; z1 ) Воспользовавшись этой формулой вначале найдем середину D стороны делящий отрезок BC в отношении 1 : 1, равны xD BC. Координаты этой точки, 1 5 28 5, 2, y D 2 2 60 3. Медиана AD делится искомой точкой M в отношении 1 : 2, считая от точки D. 2 2 2 (5) 8 1 2 2 5 1 2 3 5 Таким образом, x M , yM , zM . 3 3 3 3 3 3 5 8 5 Ответ: M ( : : ). 3 3 3 Пример 6. Даны три вершины параллелограмма A(1;2;4), B (5;2;6), C ( 1;8;0) . Найти координаты вершины D, противоположной вершине B. zD Решение. Обозначим через CD( x 1; y 8; z) равны, и, x, y, z - координаты точки D. Векторы BA(4;4;10) и следовательно, имеют x 1 4, y 8 4, z 10. Итак, x 5, y 4, z 10. Ответ: D(5;4;10). одинаковые координаты. Отсюда: