Тема: «Примеры решения целых уравнений»

Сердюкова Любовь Алексеевна,
учитель математики, СОШ №68 г. Оренбург
Тема: «Примеры решения целых уравнений»
Класс 9 кл (углубленное изучение математики).
Изучение нового материала.
Целое уравнение третий или более высокой степени в отдельных случаях
удается решить, используя специальные приемы.
Рассмотрим некоторые из них.
Один из приемов решения уравнения вида P(x)=0, где Р(х) – многочлен,
степень которого выше двух, состоит в разложении многочлена на
множители. С помощью разложения многочлена на множители удается
иногда решить уравнения n-й степени, где n≥3, свести к решению уравнений
более низких степеней.
Пример 1. Решим уравнение 4х3 – 11х + 3 = 0
Разложим многочлен 4х3 – 11х + 3 = 0 на множители. Для
этого одночлен – 11х представим в виде суммы – 9х – 2х. Получим
4х3 – 9х – 2х + 3 = 0
(4х3 – 9х) – (2х – 3) = 0
х·(2х – 3) · (2х + 3) –(2х – 3) =0
(2х – 3) ·(2х2 +3 – 1)=0
Из условия равенства нулю произведения вытекает, что
полученное равенство верно, когда 2х – 3 = 0 или когда 2х2 +3 – 1=0.
Говорят, что данное уравнение равносильно совокупности уравнений
2х – 3 = 0 или 2х2 +3 – 1=0.
В записи для обозначения совокупности используют иногда
квадратную скобку, например, пишут:
2х – 3 = 0
2х2 +3 – 1=0
Множеством корней исходного уравнения является объединение множеств корней уравнений, входящих в эту совокупность. Решив каждое из уравнений, найдем, что исходное уравнение имеет три корня:
х1  1,5;
 3  17
;
4
 3  17
х3 
4
х2 
Проверка решения уравнения проводится с помощью MathCAD




3
4x  11x  3 solve  x  








1

3
1
2 
  17
4
4

1 

3 1
2
  17 
4
4

3
2
Для разложения на многочлена P(x) третей или более высокой степени
бывает удобно иногда воспользоваться теоремой о корне многочлена.
Теорема.
Если число a является корнем многочлена P(x) = a0·xn + a1·xn-1 + … +
an-1·x + an, где а ≠ 0, то этот многочлен можно представить в виде
произведения (x – a)·P1(x), где P1(x) – многочлен n – 1-й степени.
Пример 2. Решим уравнение х3 – x2 – 3·x – 1 = 0
Если данное уравнение имеет целый корень, то он является
делителем числа -1, т. е. равен 1 или -1. Проверка убеждает
нас, что число -1— корень уравнения. Значит, в силу доказанной
теоремы, его левую часть можно представить в виде произведения
(x+1)· P(x), где P(x) — многочлен второй степени.
Д л я т о г о ч т о б ы н а й т и м н о г о ч л е н P(x), р а з д е л и м
х3 – x2 – 3·x – 1 на (x+1).
Деление многочленов выполним «уголком»:
Итак, х3 – x2 – 3·x – 1 = (x+1)· (х2 – 2·x – 1).
Из уравнения (x+1)· (х2 – 2·x – 1) = 0
получаем x+1 =0 или х2 – 2·x – 1 = 0
Решив эти уравнения, найдем, что данное
уравнение
третей
степени
х


1
;
1
имеет
три
корня.
х2  1  2;
х3  1  2
Проверка решения уравнения проводится с помощью MathCAD
 1 


 1

3
2
2

x  x  3x  1 solve  x  2  1 


1 


2 
1 2 
Для решения целых уравнений третий и более высокой степени
используется иногда метод введения новой переменной.
Пример 3. Решим уравнение 16х4 – 65x2 + 4 = 0
В это уравнение переменная х входит только во второй и в четвертой
степени. Так как х4 = (х2)2, то уравнение можно свести к квадратному,
обозначив х2 буквой y. Получим 16у2 – 65у + 4 = 0.
Решив это уравнение, найдем, что у1 = 1/16, у2 = 4.
Из уравнения х2 = 1/16 находим, что х1 = 1/4, х1 = -1/4. Из уравнения х2 = 4
находим, что х3 = 2, х4 = -2
Проверка решения уравнения проводится с помощью MathCAD



4
2
16x  65x  4 solve  x  







2 
2 

1

4 
1
4