Ваганян В.О., Михеев В.И., Носырева С.В. ЗАМЕТКИ Учебное пособие

Ваганян В.О., Михеев В.И., Носырева С.В.
ЗАМЕТКИ
ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ
И ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
Москва
Издательство Российского университета
дружбы народов
2006
ББК
В
Утверждено
РИС Учёного совета
Российского университета
дружбы народов
Рецензенты:
Профессор, кандидат физико-математических наук
Ю.В. Павлюченко (РУДН),
Доцент, кандидат физико-математических наук
В.С. Наниев (МГТУ им. Н.Э. Баумана)
Ваганян В.О., Михеев В.И., Носырева С.В.
Заметки по методике преподавания
И философии математики
Для студентов, изучающих курс
«Методика преподавания математики»
©
Издательство Российского университета дружбы
народов, 2006.
©
В.О. Ваганян, В.И. Михеев, С.В. Носырева, 2006.
2
Глава I. Философское обоснование математики
§ 1. Парадоксы
Прежде, чем рассмотреть основания школьного
курса геометрии (с точки зрения её методики преподавания и научной перспективы), попытаемся разобраться в
основных доктринах по обоснованию математики. Это
уменьшить ошибку при выборе методологии и методики
школьного курса математики.
Уточнение основных понятий анализа, создание
неевклидовых геометрий, теории групп, теории множеств
и других новых теорий, повысили интерес к основаниям
математики. Обнаружение многочисленных логических
антиномий (113, 118, 119, 169, 287, 342 и др.) стало кульминацией в основаниях математики. Логические парадоксы были известны ещё в Древней Греции. Классический пример древнего логического парадокса – парадокс
лжеца (парадокс Эвбулида):
Человек говорит: «я лгу». Если он говорит правду,
то он лжет, и наоборот.
Такими парадоксами занимались также в Средневековье, но позже они практически были преданы забвению. На стыке XX и XXI столетии было обнаружено
множество парадоксов в самой математике – в теории
множеств (в учении Кантора о множествах).
Примеры логических парадоксов «нового поколения».
Парадокс Рассела
Пусть А - множество всех тех и только тех множеств, которые не являются элементами самих себя. Если
А не является элементом самого себя, то А является эле3
ментом самого себя. Если А является элементом самого
себя, то А не является элементом самого себя.
Парадокс Кантора
Множество всех подмножеств множества М имеет
кардинальное число, больше кардинального числа множества М. Это приводит к противоречию, если в качестве
М взять множество всех множеств.
Парадокс Бурали-Форти
В теории трансфинитных порядковых чисел показано, что: (I) каждое вполне упорядоченное множество
имеет (единственное) порядковое число; (II) каждый отрезок множества порядковых чисел (т.е. любое подмножество этого множества, упорядоченное естественным
образом, которое вместе с каждым порядковым числом
содержит все предшествующие ему) имеет порядковое
число, большее, чем все порядковые числа этого отрезка;
(III) множество В всех порядковых чисел, расположенных в естественном порядке, вполне упорядочено. Тогда
в силу утверждений (I) и (III) В имеет некоторое порядковое число , а т.к.  содержится в В, то в силу утверждения (II) .
Парадокс Берри
Множество всех целых чисел, которые могут быть
названы по-русски посредством числа слогов (или букв)
меньшего некоторого числа, конечно: следовательно,
должно существовать наименьшее из тех чисел, которые
не могут быть так названы. Но «наименьшее целое число,
которое не может быть названо по-русски меньше, чем в
пятьдесят слогов» есть выражение русского, содержащее
менее пятидесяти слогов.
Во всех этих и подобных парадоксах есть самоотнесение понятия, поэтому их называют рефлексивными
парадоксами. Поскольку рефлексивные парадоксы являются подлинными - не следствиями чисто логических,
4
субъективистских ошибок, то они представляют собой,
вероятно, диалектические противоречия - противоречия
формы и содержания. Поэтому возникла насущная необходимость в строгом обосновании математики, включающем, в частности, проблему нахождения новой формы,
соответствующей содержанию парадоксов. Проблемами
обоснования математики особенно интенсивно занялись
«от Лобачевского до Гёделя». В философии математики
по проблеме её обоснования образовались три главные
направления - логицизм, интуиционизм, формализм, у
истоков которых стояли соответственно Рассел, Брауэр,
Гильберт (61-63, 284-286, 323-326, 342 и др.).
§ 2. Логицизм
Можно ли для любой математической теории построить её модель в логике? Иначе говоря, можно ли выразить всю математику через логику? При положительном ответе на этот вопрос, любую математическую теорию можно было бы изложить на языке логики, переименовав математические названия на логические. Логицисты верили в возможность сведения математики к логике.
Эта идея исходит от Лейбница, считавшего логику основой всех наук. В дальнейшем логистический тезис был
развит Р. Дедекиндом, Г. Фреге, Д. Пеано, Б. Расселом,
А. Уайтхедом и др. Форму определившейся доктрины логицизм приобрёл в фундаментальном труде Б. Рассела и
А. Уайтхеда Principa Mathematica (342), в котором была
разработана логическая символика, выражающая взаимосвязи в чистой математике.
Обнаружение Расселом парадокса (если R - множество всех тех и только тех множеств, которые не являются элементами самих себя, то вопрос, «является ли R
элементом самого себя?» приводит к парадоксу: если R
5
является элементом самого себя, то, по условию, R не является элементом множества R, а если R не является элементом самого себя, то, по условию, R является элементом множества R) в книге Фреге «Основные законы математики», где математика обосновывается логически,
был первым ударом по логицизму. Фреге отошёл от логицизма, а Рассел и Уайтхед связали свои надежды с построенной ими теорией типов. Посредством этой теории
исключались непредикативные определения: если определение элемента а зависит от множества А и а принадлежит А, то определение а (или А) называется непредикативным (в противном случае - предикативным). Во
всех известных парадоксах используются непредикативные определения. Поэтому естественно было источником
парадоксов считать непредикативные определения. Этой
точки зрения придерживались многие учёные, в частности, А. Пуанкаре (216).
Теория типов делит объекты на типы: исходным
типам приписывается тип 0, их свойствам - тип 1, свойствам свойств - тип 2,… Каждому классу приписывается
тип свойства, присущего всем элементам этого класса и
только им. Ненулевые типы делятся на порядки. В определении свойства порядка n (n≥1) использованы только
свойства порядка n-1; в определении свойства порядка 0
не использованы другие свойства. Такое разделение на
порядки делает невозможными непредикативные определения, которые встречаются не только в логических парадоксах. Они употребляются, например, в определении
Дедекиндом действительных чисел. Из этого тупика теорию типов должна была вывести аксиома сводимости
Рассела: «для каждого свойства, принадлежащего ненулевому порядку, имеется равнообъёмное (имеющее место
в точности для тех же объектов) свойство порядка 0».
Согласно этой аксиоме, для каждого существующего непредикативного определения данного типа существует
6
равносильное ему предикативное определение. Логицизм
вводит аксиому бесконечности: существует отношение,
задающее на множестве порядок без последнего элемента. Требование существования бесконечного множества
{1,2,3,…} отвергается в интуиционизме и формализме;
они отдают приоритет натуральным числам перед кардинальными числами. Аксиомы сводимости и бесконечности подверглись обоснованной критике, причём аксиома
сводимости не удовлетворяла даже её авторов. Г. Вейль
писал, что в системе Principa Mathematica математика основана уже не на логике, а на своего рода логическом рае
(47). Отметим, что дедукция математики в Principa Mathematica осуществлена на аксиоматической основе из логики. Некоторые аксиомы, как отметили выше, выражали
свойства математической природы. Этот порочный круг
делал несостоятельными философские воззрения логицистов. К. Гёдель показал, что даже арифметика натуральных чисел не может быть моделью ни одной формализованной системы логики (98, 113, 118, 119, 169, 181, 248,
264 и др.). В концепцию логицизма не укладывается факт
существования интерпретаций неклассических систем
логики. Эти и другие недостатки (согласно интуиционизму математический элемент имеется в использованном логицистами понятии «итерация») ослабили развитие логистических идей. Преподаватели математики на
своём опыте знают, что человек с хорошей логикой может и не понимать математику: в математике, кроме логического мышления, требуется абстрактное мышление.
Это различие уже говорит о нетождественности математики и логики. Заметим также, что математические абстракции и вовсе не являются логическими процедурами.
Наоборот, они алогичны, а без них нет математики. Как
говорил Дьедоне, «Логика не в большей степени математика, чем ядерные ускорители – ядерная физика» (95, с.
21). Логицизм не стал истинной философией математики,
7
но стал методом в исследованиях по основаниям математики.
§ 3. Интуиционизм
Интуиционизм - направление в математике и её философии. Математика, согласно интуиционизму, наука об
умственных построениях; критерием истинности построения должна быть его интуитивная убедительность. Интуиционисты дают следующую характеристику изначальной интуиции: 1) мыслительная работа мозга человека не зависит от языка; язык является лишь средством
передачи информации, он воспроизводит мысли неточно;
2) интуицию невозможно моделировать; 3) построение
верно, если его отдельные шаги непосредственно очевидны; 4) доказательствами считаются только построения; доказательство не предопределяется исходными
правилами; 5) интуиция объективна.
Совместная приемлемость этих пяти характеристик вызывает сомнения. Объективность интуиционистской математики базируется на пятой характеристике изначальной интуиции - на объективности интуиции, что,
очевидно, не выдерживает критики.
В основе интуиционизма лежит критика завершённой бесконечности и критика категории существования в математике; согласно интуиционизму объект в математике существует только тогда, когда его можно построить. С интуиционистских позиций классическая математика подвергалась критике и до Брауэра. Например,
К. Гаусс в 1831 г. писал: «я возражаю против употребления бесконечной величины как чего-либо завершённого,
что никогда не позволительно в математике» (295, с.
216). Дж. Локк интуицию считал высшей ступенью достоверности (150, т.1, с. 662). Того же мнения был и
8
Р.Декарт (91, с. 86). По Шопенгауэру, суть вещей постигается интуицией, а наука лишь выражает отношения
между ними. Но, видимо, суть вещей не безразлична к
таким отношениям: они отражают если не суть отдельной
вещи, то наверняка суть класса вещей. Наука никогда не
обходилась без интуиции. Ее стало “еще больше” в интуиционистской математике, по крайней мере, в ее первоначальных вариантах. Примечательно брауэровское положение о неотделимости первичной интуиции от времени (286). Это говорит о наличии в интуиционизме глубоких генетических предпосылок введения времени в математику. В соответствии с интуиционистской точкой
зрения на математику была построена интуиционистская
логика, которая исходит из положения, что высказывание
истинно только тогда, когда его возможно доказать с помощью построения. Например, высказывание АVĀ, согласно интуиционизму, не всегда истинно: если высказывание А не доказано и не опровергнуто, то оно не считается истинным, т.е. закон исключённого третьего (для
бесконечных множеств) интуиционизм отвергает. Советская математическая школа развила конструктивную
направленность интуиционизма, сформулировала конструктивную логику, довела интуиционистское понятие
эффективности (построения) до точного понятия алгоритма, создала конструктивное направление в математике (156, 157, 246 и др.).
§ 4. Формализм
Формализм в философии математики возник в
начале XX века (Д. Гильберт, В. Аккерман, П. Бернайс,
Дж. Нейман и др.). Сущность математики, согласно первоначальному гильбертовскому формализму - в формальном методе, в его возможности выразить всю мате9
матику. Д. Гильберт преувеличивал роль формального
метода в математике. Негативные последствия такой философии возникли впоследствии, на чисто математическом уровне, в виде ограничивающих формализм теорем
(Гёделя, Тарского, Чёрча). Конкретный аспект формализма имеет огромное математическое и гносеологическое значение. В связи с осознанием правомерности неевклидовых геометрий, в развитии аксиоматического метода был совершён качественный скачок: аксиоматический метод вступил в высшую стадию развития. Открытие Лобачевского породило евклидовые интерпретаций
новой геометрии, чем была осознана возможность приписывания одним и тем же формам (в частности, понятиям в аксиомах) разного рода содержания: это привело к
полному отвлечению формы от содержания - к формализму. Было бы неправильно считать такое отвлечение
отрывом формы от всякого содержания: содержание в
формальной теории (с невырождёнными системами аксиом) присутствует в её содержательных интерпретациях; формальная теория имеет также присущее только ей,
определяемое ею, собственное, внутреннее содержание.
Такое содержание порождено исключительно данной
формальной системой, оно является содержанием формы,
её специфической особенностью.
Рефлексивные парадоксы поставили под вопрос принципы аристотелевской логики. Возможность
построения неаристотелевских логик, что было осуществлено в дальнейшем, привело к пониманию необходимости точного описания логических средств. Вследствие качественного скачка в развитии аксиоматического
метода и логики претерпел качественный скачок и формальный метод в математике. Формализм - результат
этого скачка. Образно говоря, формальный метод из тактического средства стал стратегическим средством математики.
10
Знаки любой формальной математической теории делятся на: 1) буквы, 1) логические знаки 1) специальные знаки. Вводятся правила образования, которые из
букв с помощью логических и специальных знаков образуют знакосочетания. Задаются правила вывода. Некоторые знакосочетания объявляются аксиомами теории.
Правила вывода из аксиом выводят новые знакосочетания - теоремы. Знакосочетания делятся на термы (интуитивно: функций) и теоремы. Термы и теоремы, как и все
знаки и правила формальной теории рассматриваются в
некоторой другой теории - в метатеории. В простейшем
случае в качестве метатеории выступает естественный
язык (содержательная математика), на котором излагается формальная теория. Метатеория также может быть
формальной. В таких случаях для описания формальной
метатеории требуется содержательная метаметатеория. В
содержательной метатеории Гильберт ограничивался конечными величинами и процессами: допускались только
финитные способы рассуждения, а бесконечность могла
быть только потенциальной. В самой же формальной
теории на характер бесконечности ограничения не делались; актуальная бесконечность здесь выступала как идеальный объект, прием, облегчающий изложение (согласно Гильберту реальный смысл могут иметь только конечные множества). Доказательство существования понималось в смысле возможности построения объекта,
существование которого доказывается, т.е. в метаматематике Гильберт, фактически, признавал интуиционистские
требования. В дальнейшем в метаматематике стали применять хоть и менее достоверные, но более богатые нефинитные методы (218).
Знаменитая теорема Гёделя о неполноте (если
формальная арифметика непротиворечива, то она неполна) многими была воспринята как крах формализма, по
крайней мере, в его первоначальной версии. Но правиль11
ный вывод был иной: эта теорема не обесценила формализм, а установила его границы. Поэтому формализм
следует рассматривать не как локальное, межпредметное
явление, подобно логицизму, а как историческая необходимость - закономерный итог многовековой эволюции
математики. «…мы оказываемся вынужденными исследовать непротиворечивость теоретических систем в отрыве от рассмотрения фактических обстоятельств и уже
тем самым мы становимся на точку зрения формальной
аксиоматики», - писал Д. Гильберт (62, с. 25). Однако
первостепенное значение формального метода в математике не делает формализм единственным выразителем
математики. «Ни одно из направлений теперь не претендует на право представлять единственно верную математику. Философское значение исследований по основаниям математики состоит, по крайней мере, частично, в реализации формальных, интуитивистских, логических и
платонических элементов в структуре классической математики и в точном определении областей действия и
ограничений этих элементов», - к такому выводу пришёл
А. Гейтинг (299, с. 223; также 55-57). В этом выводе, безусловно, есть рациональное зерно, но невозможно принять его как окончательную истину, не говоря уже о том,
что упомянутые элементы часто пересекаются. Например, знаки логических операций являются формальными
и логическими элементами одновременно, и, вместе с
тем, имеют интуитивную основу и, с позиций платонизма, имеют платонические корни. Поэтому слова Гейтинга
о «точном определении областей действия и ограничений этих элементов» - всего лишь художественный образ,
полностью нереализуемый на практике.
Математика первых трёх исторических периодов
своего развития изучала «пространственные формы и количественные отношения реального мира», т.е. приковывалась к конкретным геометрическим и арифметическим
12
интерпретациям. Поэтому эти интерпретации представлялись всей математикой. Но Четвёртый период - период
математики переменных отношений – «раскрепостил»
математику, ознаменовал качественный скачок от содержательных представлений к формалистическим, от понимания аксиоматических систем как категоричных к
признанию также некатегоричных.
Формализм, как и принятый им способ дедукции
- аксиоматический метод, подлежит и подвергается изменению, развитию, усовершенствованию… Во второй половине XX века стало ясно, что именно формализм, а не
логицизм и даже не интуиционизм, определяет, хоть и не
лучшим образом, стратегическое направление развития
методологии современной математики (математики XIXXX веков, но не математики вообще!). Нет теперь ни
особой нужды, ни пользы выставлять интуиционистские
требования в философской подоплёке. Просто можно
сказать, что при таких-то требованиях можно построить
другую математику, отличную от классической математики. Философский подтекст этих требований не исчезнет, а несколько локализуется и станет более отчётливой.
Основываясь на признании формализма, как историкометодологической необходимости в процессе эволюции
математики, естественно полагать, что формализм неизбежный итог развития любой формы содержательной математик, в частности, интуиционизма (итог - но не
отрицание, а коррекция). Однако следует остерегаться:
это - не финал, а итог, хоть и эпохальный, но промежуточный. Отметим, что объективный ход развития математических теорий заставил интуиционистов формализовать интуиционистскую математику. (См., например, 162,
163, 215, 241, 275-282, 288, 290, 294, 303, 310, 321, 322,
328, 329, 331-334, 340, 341). Думаем, что основная математика пока ещё впереди.
13
Мы
не
будем
рассматривать
теоретикомножественный подход как отдельную философскую
концепцию по основаниям математики: он смыкается с
формалистическим В обоих случаях упор делается на аксиоматический метод. Для формализма теория множеств
- скорее удобный метод, чем общая методология и философский «трамплин» математики (19, 45, 141, 251, 256 и
др.).
Теорема Монтегю о невозможности конечной аксиоматизируемости теории множеств (316) говорит об обреченности поиска доказательства непротиворечивости
аксиоматической теории множеств в пределах строгих
финитных методов. Бесконечную аксиоматизируемость
можно представлять как последовательное (во времени)
введение все новых аксиом: a1(t1), a2(t2), a3(t3),…, т.е. теорема Монтегю косвенно указывает на возможность (может быть и необходимость) наделения аксиом (следовательно, и теорем) параметром времени. Это говорит о
том, что в формализме имеются фундаментальные предпосылки введения времени в математику.
Методическую несостоятельность теоретикомножественного подхода в школьном курсе математики
показала практика. Но метод, прежде чем быть состоятельным методически, должен быть состоятельным чисто
научно. Теоретико-множественный подход, по крайней
мере, в том виде, в каком его можно использовать в общеобразовательном курсе математики, не состоятелен
чисто научно. Он был несостоятельным во время реформ
первого цикла (70-х годов XX века) и задолго до них.
Среди основных причин несостоятельности, прежде всего, следует отметить следующие: в школьном курсе математики теоретико-множественный подход может основываться на содержательной теории множеств Кантора
(точнее - на учении Кантора о множествах), а не на формальной теории множеств Бурбаки. Но наивная теория
14
множеств чревата парадоксами. А превращение противоречивой теории в методологическую базу и арсенал
(школьного) курса математики - упущение уже математическое. Отсутствие доказательства непротиворечивости теории множеств на более высоком научном уровне
локализовала эту теорию в математической науке. А первый цикл реформ глобализовал методологию теории
множеств. И эта аномалия называлась… приведением
школьного курса математики в соответствие с научнотехническим прогрессом. Теоретико-множественная методология не открывала для школьного курса математики
научной перспективы, а наоборот, лишала её такой перспективы. В истории математики были попытки выражать всю математику через её определённую отрасль через геометрию, алгебру, теорию множеств и даже через
другую науку - логику. Эти попытки в целом не увенчались успехом. Они изначально были обречены: никакая
конкретная теория не сможет одна выразить всю науку.
Романтическая-утопическая
мечта
о
теоретикомножественной основе и методологии всей математики
была несбыточной. И это было известно задолго до широкомасштабной перестройки школьного математического образования на ошибочной идее. Речь идёт не о методической ошибке, от которой можно отмахнуться, ссылаясь на результаты «успешного» эксперимента, - речь о
чисто математической ошибке. Вопрос скорее не в отсутствии доказательства непротиворечивости аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля или другой, а
больше в наличии доказательства противоречивости
«наивной» теории множеств; в школе выше «наивной»
теории множеств не «перепрыгнуть». Наличие доказательства непротиворечивости теории множеств ничего не
дало бы школьной математике и не сделало бы теоретико-множественную методологию общей и окончательной
для всей математики. Из него не следовало бы доказа15
тельства непротиворечивости «наивной» теории множеств, т.е. школьная математика всё равно осталась бы с
парадоксами. Учение Кантора о множествах даже с парадоксами красиво и гениально. Её общность создавала иллюзию об её всеобщности, но математику невозможно
держать в каких-то рамках, даже самых величественных.
Если бы с теорией множеств было бы всё благополучно,
и её методология была бы последним словом и истиной в
последней инстанции в математике, то всё равно от этого
не следовало бы, что её явление разумно в общеобразовательной школе. Из этого лишь следовало бы, что в
школьном курсе математики, в каких-то разумных пределах, уместны и, вероятно, полезны некоторые прообразы
теоретико-множественной методологии. Но первый цикл
реформ предлагал не прообразы, а образы. Тем более на
изначально ложной математической посылке. Такое видение методики и перспективы математики, в основном,
и провалил первый цикл реформ.
В математике, обычно, выделяют четыре её начала - формальное, логическое, интуитивное и платоническое. Мы не будем привлекать платонизм, поскольку для
школьного курса математики, да и для математики в целом, на современном этапе развития человеческого общества и науки, это никакого практического значения не
имеет. Выделение платонических элементов в математике представляет пока что лишь философский интерес.
Можно предположить, что со временем этот интерес перейдёт в сферу самой математики, что, вероятно, откроет
громадные пласты ещё не изведанных возможностей математики, как чисто математической, так и философской
и педагогической природы. Но это - проблемы не сегодняшнего дня. Абстрактность, общность, строгость, т.е.
основные научные характеристики теории, по крайней
мере, на современном этапе развития науки, своё лучшее
проявление получают в формализме. Поэтому формаль16
ная научная теория - идеал строгости для содержательной теории. Это означает не необходимость усиления
формализма в школьной математике (и вообще), а только то, что, сохраняя свои общеобразовательные функций, школьный курс математики может иметь также
формалистические ориентиры. Всё же формирующее ядро математической теории - формальный метод. И он
должен выдержать свой статус, как таковой, в частности,
в школьном курсе геометрии, которая на школьном
уровне традиционно ближе расположена к аксиоматическому методу. Эта близость глубоко оправдана и мотивирована уникальными воспитательными и научномировоззренческими функциями геометрии. В школьной
геометрии на содержательном уровне, в небольших и разумных пределах (чаще всего в неявном виде) полезны
понятия, операции, механизмы, переходящие при формализации геометрии в фрагменты формальной теории (чем
этот переход проще, тем учебник в плане современной
методологии математики перспективнее), т.е., в этих
фрагментах, необходимо учитывать, соблюдая педагогические и методические цели и такт, объективную тенденцию развития математической строгости и общности к
формализму. В общеобразовательном курсе математики
эта тенденция, безусловно, не является определяющей.
Она подчиняется дидактическим требованиям.
Логический компонент прослеживается в каждой
развивающейся клетке математики. Логика не причина, а
условие развития. Она активно функционирует в математике (особенно - в геометрии) и в любой другой деятельности, часто - неявно; так она эффективнее. Отметим четыре формы явного проявления логики в задачах: 1) логические задачи без логической символики; 2) математические задачи с логической символикой; 3) логические
задачи с логической символикой; 4) логические парадоксы (64, 104, 143, 195, 237-239 и др.).
17
В общеобразовательной школе проявление 3) явно
не уместно. Это – задачи, собственно, логики. У нас нет
специального предмета «логика» и её необходимость и
полезность в общеобразовательной школе - задача весьма
спорная. Думаем, что явное проявление логики символами, как в курсе школьной математики, так и в качестве
отдельного предмета - малополезное для школы дело.
Логическая символика в школьном курсе математики
больше мешает, чем помогает. Видимо следует согласиться с Гегелем в том, что знание законов логики помогает логическому мышлению так, как знание законов
биологии - пищеварению. Задачи в форме 2) небесполезны, но ими не следует увлекаться: это всё же не задачи
для общеобразовательной школы. Второй цикл реформ
(80-х годов ХХ века) успешно решил проблему проявления логики в школьной математике в форме 2). Излишняя
логическая и теоретико-множественная символика первого цикла реформ мешала пониманию основного математического содержания. Второй цикл реформ убрал эту
инородную массу. В школе очень интересны и полезны
задачи в форме 1), если их разумно подобрать и дозировать. Задачи 4) полезно использовать на кружковых занятиях. Рефлексивные парадоксы здесь представляются в
популярной форме. Например:
Парадокс парикмахера
Деревенский парикмахер бреет тех и только тех
мужчин деревни, которые сами себя не бреют. Бреет ли
парикмахер сам себя? Если бреет, то по условию не должен брить, и наоборот.
Парадокс «людоеда».
Путешественник попадает к людоедам. Они предлагают ему сказать высказывание. Если оно будет истинным, то его зажарят, а если ложным - сварят. Что должен
сказать путешественник, чтобы спастись?
Дилемма крокодила
18
Крокодил украл ребёнка. Он обещал отцу вернуть
ребёнка, если тот угадает желание крокодила, хочет ли он
вернуть ребёнка? Допустим, крокодил не хочет вернуть
ребёнка, и отец правильно угадал его желание. Что должен сделать крокодил?
Парадокс общего правила
Нет правил без исключения.
Парадокс объявления
Объявление на остановке автобуса: «Здесь объявления расклеивать строго запрещается». И т.п.
Мало сказать, как учеников увлекают такие парадоксы. Они не только правильно разбираются в них, но
и сами придумывают по аналогии. Пример из детского
творчества:
Парадокс врача
Врач лечит тех и только тех больных, которые не
занимаются самолечением. Лечит ли врач сам себя? Если
лечит, то по условию не должен лечить, и наоборот.
Интуитивистский компонент математики по своему духу наиболее ближе стоит к мировосприятию ребёнка. Речь, разумеется, идёт о здоровом интуитивном
восприятии мира и математики, о её содержательной стороне, а не об интуиционистских критериях и выкладках.
Ребёнок приходит к математике не с представлениями о
формальном методе, а со своей детской интуицией. На
этой интуитивной почве мы даём ему математическое
образование. Поэтому предлагаемая ученику математика
изначально интуитивная (в широком и лучшем смысле
этого слова, т.е. в смысле приоритета интуиции в математике). Мы его учим не интуиционистской, а классической
математике (модернизация последней, в целом, идёт не
по программе интуиционистов). У детей великолепная
интуиция и на школьном уровне следует делать опору на
детскую интуицию. Без такой интуитивной опоры формальный дом математики будет построен на песке.
19
Важной и специфичной чертой математики является абстракция. Мы её не будем отдельно рассматривать:
абстрактный элемент в математике нами уже рассмотрен
в формализме. На современном этапе развития математики абстракция наивысшего своего выражения достигает в
формальных системах.
В математике можно отметить и другие чрезвычайно важные, но традиционно упускаемые из виду элементы - лингвистическую и реалистическую составляющие.
Лингвистическая составляющая - язык, на котором
излагается математика. В содержательной интуиционистской математике эта составляющая - органическая часть
самой математики. Представления ребёнка о мире в
начале (и в дальнейшем - в основном) пересекаются с математикой по этой составляющей. В формальной математике эта составляющая - содержательная метатеория. О
роли языка в математике не будем говорить. Тем не менее, досадно видеть сугробы лингвистических издержек в
математических текстах, которые невольно дают методические и даже педагогические минусы. Лаконичный, живой, образный язык в педагогике математики - немалый
«козырь». Он раскрывает интуитивный, научнохудожественный потенциал ребёнка, поворачивает его
лицом к математике, к жизни.
Изначально реалистическая составляющая в математику проникает через её основания, чем-то напоминающими реальный мир, а в дальнейшем - через приложения математики. Как практические истоки, так и практические применения математики находятся вне её теоретических пределов, поэтому в самой математике реальность явно не присутствует. А её неявное присутствие
сомнительно; у философов нет однозначного ответа на
этот вопрос. А реальный мир для математики чрезвычайно важен, и наоборот. Но в математике, как науке, не го20
воря уже о математике, как о школьном предмете, реальность не присутствует так, как в ней присутствуют другие её компоненты.
§ 5. Математический реализм
Мудрее всего время,
потому, что оно все открывает.
Фалес
Математический реализм — концепция по основаниям математики. Ее центральная идея — рассмотрение
математики во времени, в соответствии с изменениями ее
объектов. Он базируется на некоторой («статической»)
концепции по основаниям математики и продолжает ее
«во времени», в динамическом направлении. В качестве
исходной концепции выбирается та, которая по тем или
иным причинам более целесообразна и обеспечивает достаточную строгость. Математика (не только классическая) не исчерпывается формальными, интуитивистскими, логическими и платоническими элементами (и не
сводится к одному из них как к основному). В ее структуре содержатся (или могут содержаться), например, реалистические (материалистические) элементы. Составляющую математику элементы в каких-то особых случаях
могут переходить друг в друга или в одно и то же время
проявлять себя по-разному. Как распознавать, скажем,
платонические элементы? Они не находятся на одной
плоскости с другими элементами; это — разнородные, но
наиболее коренные элементы.
Р. Мизес: Ни одно из трех направлений в основаниях математики - интуиционизм, формализм, и логицизм не в состоянии полностью осмыслить отношения между
21
тавтологическими системами и (внематематическими)
опытными проверками, что является их истинным намерением, то есть эти отношения сделать частью самой математики (170, с. 43). Это, в сущности, признание необходимости наличия и функционирования реалистических
элементов в структуре математики, то, к чему стремится
математический реализм. Многие воспринимают математику как синтез логических, интуитивных и формальных
идей. Реалистические идеи, как правило, не упоминаются. Основная цель математического реализма — более
глубокое, чем доступно классической, логистической,
интуиционистской, конструктивистской, формальной и
иным («статическим») математикам познание связей математики с действительностью, математизация этих связей, их всестороннее развитие, применение в и вне математики. Математический реализм основывает не только и
не исключительно на применимости математической
теории, но и на адекватности математической структуры
физической реальности. Математический реализм допускает также (как нулевое приближение к действительности) существование математических теорий, не соблюдающих второе условие указанной согласованности. Существование разных математик — неоспоримая реальность (317, с. 82). Математический реализм наряду с логическими, интуитивными, формальными и другими составляющими математики “вводит в оборот” также реалистическое составляющее, не менее важное, но почти
полностью игнорированное. Реальность учитывается в
фундаментальных понятиях. Обычно учет реальности
начинается не в основаниях, хотя кое-какие аксиомы выглядят достаточно адекватными свойствам физической
реальности, а позже, что является не затрагивающим
сущность косметическим видоизменением. Это лишает
реальный учет реальности, великую проблему низводит
до уровня, где ее либо не видно, либо видно искажённо.
22
“Логика, я должен сказать, должна позволять существовать единорогу не больше, чем зоология, логика имеет
дело с действительностью, как зоология, хотя более абстрактна и отражает ее самые общие черты…. Сильное
чувство реальности необходимо при построении правильного анализа предложений о единорогах и золотых
горах, круглых квадратах и других псевдообъектах. Подчиняясь чувству реальности, мы настаиваем на том, что в
анализе предложений не может быть допущено ничего
нереального”, — заявляет Рассел (326, с. 16; также 319, с.
27; 338, с. 183-188, также 320, 323). Рассел чувствовал,
что в логике и математике значение реальности умалено
и, видимо, под влиянием парадоксов крокодила, путешественника и т.п. пытался запретить “единорога” (тем самым — указанного характера парадоксы), как не существующего в реальности. Это чистое недоразумение.
Связь между логикой и действительностью намного
сложнее, чем это обычно понимается, чем это казалось
Расселу. Парадоксы с несуществующими объектами были придуманы для доступности. Из этого не следует, что
эти объекты существуют. Но существует конструкция
рефлексивного парадокса, в которую вписывается как
“трансфинитное число”, так и “разговаривающий крокодил”. В этом смысле можно наделить свойствами физически несуществующие объекты (313, с. 171), с чем Рассел не соглашался (326, с. 532). Как же тогда Рассел хотел свести к логике науку, основная, лучшая и наиболее
специфичная часть которой находится гораздо дальше от
физической реальности, “чем единорог от носорога”?
Физические реалисты ищут спасение в ограниченном
мире, исключают, как и интуиционисты, актуальную бесконечность, чем связывают с виду забавные логические
шутки со строением Вселенной. Опосредованная связь
парадоксов со структурой Вселенной, вероятно, существует. Но эта связь не примитивная. Иные, однако, от23
рицают связь математики с действительностью (330, с.
117-139). Математическое высказывание “2+3=5” и высказывание из повседневной жизни “если к двум студентам подойдут три студента, то получится пять студентов”, очевидно, есть пример связи математики с действительностью. Второе высказывание - содержательная интерпретация первого. Материализм считает, что исторически математика «оттолкнулась» (но не произошла) от
примеров второго типа. Рубашка имеет два рукава не потому, что портной так захотел, а потому, что человек так
устроен. Это предписание природы портной соблюдает,
но в остальном проявляет творческую инициативу. Математическое творчество аналогично: предписание «мира
идей» математик соблюдает, но в остальном действует по
своему усмотрению. Например, идея интеграла существует объективно, вне человека. Способ же введения
понятия “интеграл” и его обозначение — прерогатива
человека. Математик, в частности, находит сходство
между миром идей и физическим миром. Поверхность
Земли видна из окна самолета, но не из окна поезда метро. Этот подход плох тем, что из окна самолета не видны
люди, ожидающие поезд на станции метро, а из окна поезда метро видны. Динамическая коррекция (учёт некоторых свойств времени в структуре статической математики) должна позволять видеть одновременно и из окна
самолета и из окна поезда метро. Вместо одного “канала”, показывающего Землю сверху (это символизирует
статический подход), получаем два “канала”, второй из
которых показывает Землю как бы изнутри (это — динамический подход). Предмет видится лучше со стороны,
но с какого расстояния? Для любого объекта (события)
действительности, естественно полагать, в каком-то
смысле существует наилучшая позиция для его наблюдения. Рассел каждому утверждению присваивал особую
величину - “тип”. Винер так же присваивал некоторый
24
параметр каждому утверждению; этим параметром служит время, в которое оно высказывается. “В обоих случаях мы вводим параметр, который можно назвать параметром унификации, и с его помощью устраняем двусмысленность, которая обусловлена лишь пренебрежением этим параметром” (48, с. 200). Параметр времени
здесь носит подсобный, локальный характер, не развивается качественно, не обобщается. Не получило развитие
также положение Брауэра о неотделимости первичной
интуиции от интуиции времени. То же самое можно сказать о положении (Кант, Юм и др.), согласно которому
сущность причинных отношений сводится к временной
последовательности (109, с. 272; 269, с. 278). А. Пуанкаре: повторяемость дает пространству его существенные
свойства; но повторяемость предполагает время (216, с.
215). Это положение так же не развивается. В частности,
повторяемость в тождестве АА предполагает время, что
могло привести к мысли о вводе параметра времени в саму формулу АА; слева стоит А(t1), справа - А(t2); при
t1t2 тождество исчезает и т.д. Пуанкаре упускает это
продолжение. Э. Мейерсон: любая формулировка научного закона “в чистом виде” может быть представлена
как предписание поведения некоего объекта в качестве
функции времени. Но описываться будет поведение теоретического объекта, и вопрос о предметной интерпретации такого теоретического образа остается в стороне
(166, с. 133-134, также 312). Г. Гамель при аксиоматизации механики вводил аксиому: существует вещественная,
непрерывно изменяющаяся величина t - абсолютное время (296, с. 335). Гамель ощущал нехватку времени в
классической механике и пытался заполнить пробел. Однако его аксиома получилась “неработающей”. Исследования по логике времени (343) идут по традиционному
пути построения статического исчисления, предназна25
ченного имитировать время и изменения. Эти исчисления
не являются динамическими, выполняют специальные
описательные функции, не отражают изменения самой
описывающей теории. Представив время через некоторое
метаусловие, которое может выражаться как минимум
посредством параметра времени, как максимум - посредством оператора времени, можно глубже проникать в философские дебри обоснования математики, в проблему
парадоксов.
Вригтт: между противоречием и непрерывностью
времени существует связь; если изменение непрерывно,
то оно пройдет через фазу, когда мир находится в обоих
противоречиво связанных состояниях (50, с. 537). А если
не непрерывно? Тогда противоречия, должно быть, порождаются нашим восприятием изменения как явления
непрерывного?
Логические антиномии - результат нашего недопонимания времени.
Джевонс, например, пытается учитывать различие
между единицами в равенстве 1+1=2, представив его в
виде: 11+111=2 (92, с. 159). Учёт этого различия можно
продолжать без конца. Разные уровни индексов представляют разные метауровни. На каком-то метауровне
приходится остановиться. Чем этот метауровень выше,
тем теория ближе к действительности.
В любом случае наблюдается усиление влияния реальности, в частности, фактора времени, на математику.
«В воздухе висит необходимость создания новой математики, лучше приспособленной к описанию ситуации природа-человек, а может быть и нескольких математик»
(246, с. 252).
26
Глава II. Методическое обоснование математики
§ 1. Периоды исторического развития математики
Историческое развитие математики академик Андрей Николаевич Колмогоров делит на четыре периода
(14, 15). Первый период - Зарождение математики (до VIV вв. д.н.э.) - период накопления математических фактов,
полученных в основном опытным путём. Второй период период Математики постоянных величин (до XVI-XVII
вв.); в этот период понятия математики начинают систематизироваться, обобщаться. Созданием буквенного алгебраического исчисления второй период завершается.
Третий период - период Математики переменных величин (до XVIII-XIX вв.). Понятия переменной величины,
функции, предела, производной, интеграла и т.п. определяют облик третьего периода. Четвёртый период - Математика переменных отношений (современная математика) - начался в конце XVIII века. Он характеризуется
обобщающими понятиями и теориями, которые не являются непосредственным отражением опыта, а представляют собой продукты и потребности уже внутреннего
развития самой математики - теория групп, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ,
теория категорий, теория доказательств и др. Разумеется,
делить историю математики на исторические периоды
можно и другими способами, но это, можно сказать, есть
классическое деление, оно ясно и отчётливо показывает
историческую тенденцию развития математики от исходного статичного состояния к более динамическим состо27
яниям. Можно, например, делить математику по историческим периодам, следующим способом: I. Математика
без аксиом и абстракции (до VI-V вв. до н.э.); II. Математика с категорическими аксиомами и абстракциями (до
XIX в.); III. Математика с некатегорическими аксиомами
и с категорическими абстракциями (с XIX в.); IV. Математика с некатегоричными аксиомами и абстракциями.
Сначала идёт достаточно примитивный сбор отдельных, локальных, простых математических фактов; в
этом процессе нет глобальных и глубоких связей, закономерностей, нет системы, нет движения от одного математического объекта или явления к другому, нет механизмов, задающих или подготавливающих изменение,
развитие, нет времени, всё статично. Говоря образно, Зарождение математики есть лишь обработка почвы для
взращивания на ней Древа Математики. Затем появляются постоянные величины - своеобразные, «окостенелые
скелеты» будущих переменных величин. Если переменные величины имитируют изменение, движение, то постоянные величины - прообразы переменных величин изображают лишь застывшую букву, константу. Вместе с
тем, Математика постоянных величин уже является системой, наукой, а не справочником формул для измерений и вычислений. Постоянные величины не могли не
привести математику к переменным величинам, и привели. Это создало условия для моделирования изменения,
движения, времени. Математика постоянных величин ствол Математики. Он достаточно твёрд, статичен, но
всем корпусом, методично и бесповоротно растёт во времени! Наконец, появляются переменные величины своеобразные «агенты Времени». В математике начинается благоприятная экспансия Времени, но пока только
на описательном уровне. Это уже даёт сильный результат
- на математическую арену выходят Дифференциальное и
Интегральное исчисления. Начинается эпоха Математи28
ческого Анализа. Математика как наука расцветает и разветвляется. Появляются условия для моделирования изменения и движения, различных по своей природе объектов и явлений. Статичная математика постоянных величин возникла как естественная систематизация, улучшение, дополнение, расширение, обобщение и резюме статичной математики первого периода. Аналогично, должен был формироваться и последний период развития
математики, как период систематизации, улучшения, дополнения, расширения, обобщения и резюме «внешнединамичной» математики третьего периода. И этот период возник. Это - Современная математика. Есть и другое название - Математика переменных отношений. В
этой математике изменения имитируют не только математические объекты, но и математические отношения.
Например, в выражении xΔy (x, y - числа, а Δ - знак
арифметического действия «+» или «-») x и y - переменные величины, Δ - переменное отношение. В Математике
переменных величин отношения между числами были
всегда постоянными, а в Математике переменных отношений они уже могут быть переменными. Иначе говоря,
экспансия Времени в математике стала распространяться
и на отношения между объектами. Но это ещё не всё, на
что способно Время в математике. Оно нынче отчаянно
усиливает своё присутствие в математике и наиболее яркий знак тому - компьютерное моделирование…. Нет
оснований, считать, что всё это закончится. Основная история математики впереди. Вероятно, мы вскоре вступим
в Пятый период исторического развития математики – в
Математику переменных формул (5-10) В этой математике подвергаются конструктивному пересмотру математические абстракций (например, абстракция отождествления). В начале, под влиянием впечатляющих успехов
информатики, казалось, что Пятый период, скорее всего,
есть период машинной математики. Но великий австрий29
ский математик Курт Гёдель ещё в 1931 году доказал гениальную теорему о неполноте (25, 28 и др.), о том, что
полностью невозможно формализовать даже арифметику.
Поскольку языки программирования представляют собой
формализованные тексты, то из теоремы Гёделя следует,
что «машинная математика» не способна выразить полностью даже содержательную арифметику, поэтому она
«генетически» не может быть следующим периодом исторического развития математики: каждый следующий
период включает предыдущую. Но не исключено, что на
такое будут способны возможные будущие компьютеры,
созданные не на технической, а на биологической основе
(так, как это сделал Бог: ему виднее!). Обратим внимание
на колмогоровское деление математики на периоды её
исторического развития:
I. Зарождение математики;
II. Математика постоянных величин;
III. Математика переменных величин;
IV. Математика переменных отношений.
Во Втором периоде величины в математике постоянны, т.е. математика в целом «статична». В Третьем периоде, наряду с постоянными величинами появляются переменные величины, т.е. математика уже частично «динамична». В Четвёртом периоде появляются другие «динамические объекты» - отношения. Эти объекты ранее
были исключительно «статичными», постоянными. Теперь же они могут быть также переменными. Ясно
наблюдается общая историческая тенденция развития
математики: По мере своего исторического развития математика становится всё более динамичной, в частности,
в ней всё больше усиливается влияние фактора времени.
§ 2. Проблема введения аксиоматического
30
метода в школьный курс математики
Аксиоматический метод - способ построения
научной теории, при котором некоторые исходные высказывания считаются истинными без доказательств, а
все остальные высказывания теории получаются из них
как логические следствия. Эти исходные высказывания
называются аксиомами. Аксиоматический метод делят на
три типа: содержательный (материальный, неформальный), полуформальный и формальный. Аксиоматический
метод содержателен, если свойства основных (вводимых
без определений) понятий определяются до введения аксиом. Аксиоматический метод полуформален, если свойства основных понятий определяются посредством аксиом. В обоих случаях используется обычная аристотелевская логика, без её явного представления. Аксиоматический метод формален, если свойства основных понятий
определяются посредством аксиом и точно описываются
средства и правила употребляемой логики. Формальный
аксиоматический метод является способом построения
формальных теорий.
Подчеркнём тот факт, что аксиоматический метод в
арифметике, по сравнению с геометрией, стал применяться значительно позже. Только в конце XIX века была
окончательно разработана система аксиом арифметики
натуральных чисел (Пеано). Эта историческая тенденция
не может не учитываться при введении аксиоматического
метода в курс математики средней школы: на аксиоматической основе пока строятся лишь учебники геометрии.
Аксиоматический метод зародился в работах
древнегреческих учёных - Зенона, Евдокса, Аристотеля и
др. Приоритет применения аксиоматического метода в
математике принадлежит Пифогору и его школе. Наиболее совершённый вариант аксиоматического метода в
31
Древней Греции был сформулирован в «Началах» Евклида (12). Тогда фундаментом и методологией математики
представлялась геометрия. Поэтому строгое, т.е. аксиоматическое построение геометрии вызывалось потребностями всей математики. «Начала» Евклида включали в
себя все основные разделы математики того времени. Евклид и его школа, по-видимому, представляли в «Началах» те теории, которые, по их мнению, определяли главный путь развития математики. Подобно этому в «Начала» Бурбаки (1 и др.) внесены не все основные разделы
математики. Аналогия между «Началами» Евклида и
Бурбаки просматривается не только в принципе выбора
содержания, но и в методологии (точнее - в её исторической необходимости). Греческая цивилизация к III веку
до н.э. подготовила почву для определения общего и
наиболее строгого для того времени способа построения
математической теории - аксиоматического метода (в евклидовом понимании). «Начала» Евклида возникли как
историческая необходимость: стало необходимым,
вследствие накопления огромного фактического материала, построение геометрии, как основы математики,
наилучшим по тому времени способом. Аналогично, европейская цивилизация к XX веку создала все предпосылки для формирования уточнённого (гильбертовского)
варианта аксиоматического метода. Бурбаки излагает математику с качественно новых позиций строгости - с точки зрения гильбертовского формализма. Первый (евклидовский, содержательный) и второй (гильбертовский,
формальный) варианты аксиоматического метода находятся между собой в отношении экспликанда и экспликата соответственно (для экспликации первого варианта аксиоматического метода потребовалось более двух тысяч
лет!). Эта экспликация - результат действия диалектического закона отрицания отрицания. Повторное отрицание
возвратило вновь к аксиоматическому методу, но более
32
совершённому. Первые предпосылки для перехода от
содержательной аксиоматики к формальной создала
геометрия Лобачевского (17, 18, 20, 21 и др.), повлекшей
за собой новый (полуформальный) тип аксиоматического
метода. Евклидовский вариант аксиоматического метода
есть качественный скачок в развитии математики Первого периода; он был основой методологии математики
Второго периода и лишь переход к математике Третьего
периода создал необходимость в его пересмотре, что
окончательно было осознано в XIX веке.
При решении проблемы введения аксиоматического метода в курс школьной математики поочередно
возникают ряд вопросов:
1) Целесообразно ли вводить аксиоматический метод в
курс школьной математики? При положительном решений этого вопроса возникают другие: 2) Какие разделы
школьного курса математики и 3) с какого класса (возраста) можно построить на аксиоматической основе? 4)
Какой тип аксиоматического метода (содержательный,
полуформальный, формальный) можно использовать в
школе? 5) Какую методику эффективнее применять для
создания у учащихся представлений об аксиоматическом
методе? 6) Какая система аксиом лучше (методически)
для построения, скажем, школьного курса планиметрии?
Рассмотрим эти вопросы.
Вопрос о целесообразности введения аксиоматического метода в курс школьной математики долгое время
был объектом дискуссии. Высказывались самые разные
мнения. Часть математиков полагало, что в школе аксиоматике, даже (и тем более несовершённой) совсем нет
места, она способна только запутать учащихся и помешать созданию в их представлении правильных понятий
(19), что акцент, поставленный модернистами на аксиоматике - это искажение не только педагогическое (что
довольно очевидно), но также чисто математическое (27).
33
Но многие считали, что всё более широкое распространение получает и, возможно, получит и в дальнейшем аксиоматический метод. И, видимо, надо вводить в школьный курс элементарное знакомство с простейшими аксиоматическими системами (22, 23). И т. д. При решении
этой проблемы имелось в виду, что: а) аксиоматический
метод в развитии науки носит объективный характер;
спиралеобразная форма развития аксиоматического метода усиливает его восприятие как исторической необходимости, неизбежности, б) все философские учения по
вопросам обоснования математики, независимо от того,
какое значение они придают аксиоматическому методу,
при действительном построении математической теории,
не обходятся (и не могут обходиться!) без аксиоматического метода, в) аксиоматический метод - достояние не
только математики, но и других наук - механики, физики,
биологии, лингвистики и др.; он является основным орудием построения научных теорий, поэтому введение аксиоматического метода в школу диктуется потребностями не только математики, но и других наук, научнотехнического прогресса в целом; г) аксиоматический метод в математике (особенно - в геометрии) никак не является модернистским перегибом: перегнуть можно на способе введения, но не на объекте введения, который в геометрии эффективно функционирует уже более 2000 лет!
Именно поэтому успешное введение аксиоматического
метода в курс школьной геометрии представляется возможным. Действительная сложность аксиоматического
метода заключается в его метаматематических и философских вопросах, а чисто дедуктивный аспект - та сторона аксиоматического метода, с которой сталкивается
школьник, в основном, вполне доступна общеобразовательной школе. Реальная проблема такова: как и в каких
пределах следует ввести аксиоматический метод в
школьный курс геометрии? Перечисленные доводы в
34
пользу введения аксиоматического метода в школу подкрепились успешным практическим преподаванием соответствующих курсов. Построенный на аксиоматической
основе курс школьной геометрии теперь мало у кого вызывает сомнения. Критика таких курсов обычно не ставит
вопроса о полном исключении аксиоматического метода
из школы. Видный французский математик Ж.А. Дьедонне писал: «…пока детям не исполняется пятнадцать
лет, никакая аксиоматическая система не должна вводиться в школу» (11, с. 20). Опыт советских, российских,
многих зарубежных, в том числе французских школ
уточнил взгляд Дьедонне - показал, что аксиоматический
метод в школу можно ввести раньше - с 12-13 летнего
возраста, лучше, в неявной форме и достаточно локализованно. Но уже к 15 годам этот неявный механизм можно несколько проявить. Разногласия вызывал также вопрос о выборе математической теории для аксиоматического построения на школьном уровне. Некоторым математикам представлялось более целесообразным знакомство с такими аксиоматическими системами, как группы,
кольца, поля, а не с аксиоматическим изложением геометрии, так как оно очень громоздко (22). Но эта логичность поверхностна, лишь кажущаяся, не дошедшая до
глубины проблемы, не учитывающая диалектику развития математики, исторические и методические особенности аксиоматического метода. Такой подход нарушает
принцип историзма, что часто намного важнее в методических вопросах, чем буквальная имитация логического
порядка и итогов развития; «…лучший способ вести умственное развитие индивидуума - заставлять его пройти
умственное развитие человеческого рода, пройти, естественно, его большие линии, а не тысячи мелких ошибок.
Этот генетический принцип может нас предостеречь от
распространённого смещения: если А предшествует логически В в определённой системе, может, однако, быть
35
оправданным прохождение В перед А в преподавании,
тем более если В исторически появилось раньше А. Вообще мы можем ожидать больший успех, делая то, что
нам подсказывает генетический принцип, чем следуя чисто формальной концепции математики» (24). Именно в
построении школьного курса геометрии, как ни в одной
другой области, оправдано следование принципу историзма: огромное во времени опережение в применении
аксиоматического метода в геометрии, по сравнению с
другими разделами математики, даёт приоритет аксиоматическому построению современного школьного курса
геометрии, что принято и реализовано почти во всём мире. Разумеется, в школе речь может идти не о строгом аксиоматическом курсе, а о курсе «на аксиоматической основе» или «с локальной аксиоматикой» и с т.п. издержками. Приоритет школьной геометрии над алгеброй в аксиоматическом методе основывается не только на принципе историзма. Здесь, по всей вероятности, имеем дело
не со случайными обстоятельствами, а с глубинными закономерностями развития природы, бытия и познания,
что и определяет выбор. Существенно и то, что геометрия несёт в себе практически неисчерпаемые физические
и философские заряды. Этим неформальным потенциалом, видимо, обусловлен её исторический (даже познавательный) приоритет над алгеброй. Ключевое положение
и великая роль геометрии остерегает от поспешных заключений по методике её построения и преподавания.
Если мы определились, что школьная геометрия должна
быть построена «на аксиоматической основе», то это ещё
не решение проблемы, даже не начало решения, поскольку начало предполагает направление движения, а не всего лишь одну стационарную точку.
В 1962 году Международный симпозиум в Будапеште по вопросам преподавания математики признал
необходимым рассмотрение проблемы введения аксио36
матического метода в курс школьной математики и внёс
соответствующие рекомендации: Важно выяснить, в какой степени может быть введён аксиоматический метод,
являющийся основным средством научных исследований; Каким путём вводить аксиоматический метод в его
современном звучании? (13). Эти проблемы полностью
ещё не решены, хотя преодолены многие трудности.
Какой тип аксиоматического метода (содержательный, полуформальный, формальный) следует ввести
в курс школьной математики? В современных школьных
учебниках геометрии понятия, как правило, делятся на
основные (применяемые без определения) и неосновные
(вводимые посредством определений); свойства основных понятий определяются посредством аксиом. Значит
аксиоматический метод в школьном курсе геометрии, в
сущности, полуформален. Этот полуформальный тип аксиоматического метода по традиции и методическим соображениям связывается с конкретной (евклидовой) интерпретацией, с которой началась геометрия в Древнем
мире, и, фактически, подаётся ученику как содержательный. Насколько разумно это хитроумное переплетение
полуформального и содержательного методов, пока до
конца объективно оценить трудно, но по нашему мнению, некоторые положения должны быть улучшены.
Ученик может заметить (плохо, если не заметит), что основные понятия хоть и не определяются, но изображаются определённым образом. Необходимо достичь того,
чтобы ученик не принимал описание предмета за его
определение. Это различие в учебниках, как правило, не
объясняется: оно понимается по умолчанию. Возможно,
так и надо: не всю математическую кухню следует и возможно явно вносить в учебник. В таких случаях мы можем полагаться на внимательность и профессионализм
учителя. В этом контексте возникает вопрос: следует и
возможно ли довести ученика до понимания того, что ос37
новные понятия можно изображать иначе? Думаем, что
такого понимания, без чего непостижима ни сущность
основных понятий, ни, тем более, сущность аксиоматического метода «в его современном звучании», можно
добиться в итоге изучения курса геометрии основной
школы. Точка зрения, что «представление об основных
понятиях получено в результате абстракции из реальных
объектов» есть материалистическое понимание основных
понятий. Такое представление об основных понятиях
ученику можно давать. А учителю? Он может подумать,
что в результате абстракции авторы разных учебников
получили разные представления об основных понятиях.
В таком случае следует признать субъективный характер
представлений об основных понятиях, считая объективной лишь необходимость в основных понятиях. Об основных понятиях, обычно, в методических рекомендациях для учителей отмечается, что, давая определение какому-либо понятию, мы используем другие, уже известные нам понятия. Для учителя этого мало. Не говорится
об относительном характере основных понятий. Эту относительность можно комментировать, сравнивая основные понятия в разных учебниках. Например, отрезок в
учебнике геометрии под редакцией академика А.Н. Колмогорова - неосновное понятие, в учебнике геометрии
академика А.Д. Александрова и др. – основное понятие.
Не погрешим истиной, если скажем, что построенный на аксиоматической основе школьный курс
геометрии, при надлежащей методике, может быть
вполне доступным среднему ученику. Перспективность
же построенного на аксиоматической основе школьного
курса геометрии, думаем, не должна вызывать сомнения:
аксиоматическое построение повышает научный уровень
школьной геометрии, сокращает разрыв между школьным курсом математики и математической наукой, придаёт предмету вид систематизированной дедуктивной
38
науки, развивает логическое мышление, способность к
абстракциям и т.п. Есть причины, снижающие эффективность преподавания геометрии: недостатки программ и
учебников, нехватка высококвалифицированных учителей и др. Но вряд ли к недостаткам учебников можно отнести аксиоматический метод. Наоборот, мы считаем, в
соответствии с результатами преподавания по учебникам
геометрии на аксиоматической основе и тенденцией развития аксиоматического метода от содержательного типа
к формальному типу, что необходимо не вытеснение аксиоматического метода, а его дальнейшее приближение к
общеобразовательным нуждам. «В течение последних
десятилетий школа Бурбаки во Франции предприняла,
достойную восхищения, попытку изложить математику
как аксиоматическую конструкцию, покоящуюся на одном общем фундаменте. Эта попытка оказала существенное влияние на реформу преподавания в университетах.
В какой мере школьному преподаванию следует учитывать эти тенденции, представляет собой спорный вопрос», - писал выдающийся финский математик Р. Неванлинна (26). Мы наметили, в некоторых общих чертах,
в какой мере наш подход к проблеме введения аксиоматического метода в курс школьной математики, может
учитывать наиболее положительные и объективные моменты в тенденциях, развитых школой Бурбаки. Нельзя
бурбакистские тенденции в целом брать за ориентир: это
опасно. Затея школы Бурбаки состоялась как теоретическая программа, и то с большими претензиями, но не как
установка к практическим действиям. Вопрос о том, какая система аксиом планиметрии лучше приспособлена к
школьным нуждам, для нас решён в пользу гильбертовского типа аксиоматической системы, восходящей к
«Началам» Евклида. Эта система в «школьном варианте»
достаточно привычна, достаточно удобна для первого
знакомства с геометрией и, вместе с тем, достаточно пер39
спективна в научном плане. К новым математическим
версия евклидовой аксиоматики в школе надо относиться
крайне консервативно. Новое оправдано, если оно лучше.
§ 3. Сочетание аксиоматического
и генетического методов в школьном курсе
геометрии
Обоснование математического анализа, открытие
неевклидовых геометрий, теории групп, теории множеств
и других обобщающих систем привело к строгому научному пересмотру оснований, основных методов и методологии математики. Стремление к строгости, научной
обоснованности и системности в математике отразилось
и на преподавании. Существенные практические шаги к
модернизации математического образования были сделаны во второй половине XIX века и в начале XX века. Однако вскоре наблюдалось ослабление этого движения.
Вот что писал по этому поводу итальянский педагогматематик Ф. Энриквес: «В настоящее время поднялось
широкое движение против традиционного строя школы и
традиционных педагогических систем. Фактором этого
движения являются с одной стороны более высокие и
разнообразные потребности практической жизни и связанные с ними более широкое распространение и демократизация культуры, а с другой стороны новое понимание науки, которое правильнее оценило значение наблюдения и опыта по сравнению с логическими процессами»
(29, с. 25). Эти мысли актуальны и сегодня. После некоторого ослабления теоретизации школьного курса математики, отмеченного Ф. Энриквесом, началось новое модернистское движение. В СССР модернизация школьного
курса математики достигла своей кульминации в 70-х годах ХХ века. Во второй половине 80-х годов XX века это
40
движение пошло на спад. Наметилась тенденция к снижению теоретического уровня школьного курса математики и усилению его наглядности, доступности и практичности. Возможно, со временем будет допущен перегиб в сторону наглядности и нанесён ущерб научности.
Тогда вновь начнётся движение за усиление строгости и
приведения курса математики в соответствие с научнотехническим прогрессом, по известной схеме: «развитие,
как бы повторяющее пройденные уже ступени, но повторяющее их иначе, на более высокой базе («отрицание отрицания»), развитие, так сказать, по спирали, а не по
прямой линии». Движение в начале XX века за наглядность, доступность и практичность в построении и преподавании школьного курса математики - предыдущий
цикл аналогичного движения конца восьмидесятых годов. Поэтому принципы, наиболее глубоко и отчётливо
выделенные Ф. Энриквесом, созвучны принципам, выработанным "на более высокой базе". Усиление теоретического уровня в школьной математике влечёт за собой
усиление формально-логических методов. В частности,
для школьного курса геометрии (первой половины XXI
века), это, скорее всего, приведёт к дальнейшему раскрытию аксиоматического метода в нём, но не в сторону развития его абстрактности и формализации, а, скорее, в
сторону усиления логичности, алгоритмического порядка
в формулировках и содержательного понимания основного метода дедукции. Таков наиболее естественный ход
процесса усиления теоретизации школьной геометрии.
Но это - лишь предположение, «воспоминание о будущем». Ослабление теоретического уровня школьной математики, естественно полагать, компенсируется усилением содержательных-интуитивных методов. Для
школьного курса геометрии это означает, в частности,
усиление исторического и генетического методов в нём.
Возникает проблема сочетания аксиоматического и ге41
нетического методов в школьном курсе геометрии. Изложение, например, школьного курса геометрии для первого года обучения, когда ученик только знакомится с
новым и сложным предметом, должно существенно отличаться от изложения материала в последующих классах, когда уже накоплен опыт по изучению геометрии,
имеются соответствующие знания и, что также немаловажно, ученики стали на год старше. В современных
школьных учебниках геометрии понятия аксиомы, теоремы и доказательства вводятся, как правило, в начале
курса планиметрии (иногда - в начале аксиомы называются основными свойствами, в дальнейшем они переименовываются в аксиомы); с самого начала курс строится, в сущности так, как принято в математике - приводятся аксиомы и выводятся теоремы. Это настолько привычно и естественно в математике, что обычно не ставится под сомнение целесообразность такого порядка
изложения геометрии в общеобразовательной школе.
Фактически мы идём явным аксиоматическим путём. В
преподавании математики теоретически часто предпочтение отдаётся методам исторической и генетической
природы, но обычно дело не доходит до практического
построения курса математики на их основе. Это очень
трудная проблема и в отдельных вопросах, быть может,
вовсе неразрешимая. Очевидно, проще строить курс математики в соответствии с его логической конструкцией.
Чрезмерное соблюдение временной и генетической субординации может разрушить внутреннюю гармонию такой «вневременной» и логичной науки, как математика.
Но не так уж просто определить эту меру - методически
наиболее оптимальную линию между историкогенетическим и формально-логическим порядками.
Трудно определить гармоничное, наиболее эффективное
сочетание между этими важнейшими факторами. Варьировать можно лишь в пределах такой гармонии, если
42
удастся её хоть приблизительно определить. Так не только упрощаем строительство школьного курса геометрии,
но и сохраняем единство метода построения курса геометрии в школе и вузе (плюс к тому, получаем положительный методический и педагогический эффект). Это
существенный момент, который, полагаем, должен учитываться при любом способе построения школьного курса математики (геометрии). Преемственность метода требует аксиоматического подхода и в школьном курсе геометрии, поскольку солидные вузовские курсы полагается
строить по научному образцу - аксиоматически. В курсе
математики, в особенности, в школьном курсе геометрии,
видимо, требуется некоторое сочетание методов. Если
построить школьный курс геометрии главным образом на
основе генетики понятии и историзма, то предмет станет
более доступным. Однако возникнет огромная пропасть
между общеобразовательным и научным курсами геометрии. Этим искусственно создаётся отставание от
науки, от научно-технического прогресса. С другой стороны, следование в общеобразовательном курсе геометрии, главным образом, аксиоматической концепций создаёт серьёзные педагогические трудности в плане доступности излагаемого материала. Мы возражаем против
крайностей: в школьном курсе геометрии требуется умелое, тонкое сочетание аксиоматического и генетического
методов. Игнорирование любым из этих методов чревато
глубокими отрицательными научными и педагогическими последствиями. Советские учебники геометрии 70-х
годов делали перегиб в сторону аксиоматического метода. Это - одна из основных причин их одичания. Как сочетать аксиоматический и генетический методы в построении школьной планиметрии, чтобы это сказалось
положительно на доступности учебника и не влияло отрицательно на его научную перспективу? Правильные
ответы на эти вопросы, должно быть, откроют немалые
43
возможности для усовершенствования учебников. Отметим, что введение понятия всегда и на основе их истории
и генетики, довольно громоздкое занятие и, в буквальном
смысле, практически часто нереализуемо (можно надеется лишь на локальную реализуемость). Учитель может
говорить о происхождении понятия, о его генезисе, но
превращение истории и генетики объекта в глобальную
систему в самом курсе, займёт много места и лишит математику специфичных (особенно - современных) черт. В
аспекте аксиоматического построения школьного курса
геометрии основные претензии имеются у нас к первому
году обучения планиметрии. Именно тогда необходимо
отказаться от привычного порядка введения понятий «аксиома», «теорема» и «доказательство». Эти понятия и
сами термины должны быть введены не в начале, а в
конце учебного года, когда уже накоплен достаточный
геометрический материал, известны многие геометрические факты и способы их обоснования. Вот здесь-то и
нужно свойства фигур, которые были приняты, как очевидные, без обоснования, - называть аксиомами, свойства
фигур, которые были обоснованы посредством рассуждений - теоремами, а обосновывающие их рассуждения доказательствами, - и всё это комментировать на уже известном материале. Годичный опыт изучения геометрии
создаст все предпосылки для содержательного усвоения
понятий «аксиома», «теорема» и «доказательство». В течение года мы изучаем геометрические фигуры, их сочетания и обнаруживаем, во-первых, простейшие (основные) их свойства (аксиомы), отмечаем эти свойства. При
дальнейшем изучении фигур пользуемся этими свойствами, изучаем новые свойства - теоремы, отмечаем их
и т. д. В 7 классе (только в этом классе) мы не объявляем
теорему, а потом её доказываем, а при рассмотрении фигур обнаруживаем те или иные их свойства. И в конце,
после того, как получено некоторое свойство, его запи44
сываем, то есть последовательно, естественным образом
приходим к факту. Здесь доминирует подход, который
называем естественно-логическим, а аксиоматический
механизм, хоть и действует, но в основном неявно, не затмевая наглядно-содержательную сторону геометрии.
Это не приведёт к зловредным цепным реакциям, которые могли бы спровоцировать «выброс радиации»: мы не
доходим до опасных глубин, а производим лишь лёгкую
внешнюю косметическую операцию, чтобы сделать курс
7 класса более приятным для восприятия. Однако, по
нашему опыту и убеждению, уже через год следует перейти к традиционному способу изложения материала на
явной аксиоматической основе. В 8-9 классах мы уже
пользуемся явным аксиоматическим методом, но с оговорками: этот метод должен быть: 1) достаточно наглядным, 2) локальным (по крайней мере, не глобальным в
реализации) и 3) обеспеченным эффективной методикой.
О наглядности. Акцент на наглядности аксиоматического метода ставится сразу с неявным, но фактическим его введением. С самого начала курса. Но эта
наглядность принимает ощутимую форму лишь после
введения понятий «аксиома», «теорема» и «доказательство» в конце курса 7 класса (первого года обучения геометрии). Это соответствует тому историческому факту,
что геометрия как наука существовала, по крайней мере,
300 лет раньше, чем она была изложена как аксиоматическая система.
О локальности. Все школьные курсы геометрии
(да и многие вузовские), построенные на аксиоматической основе, являются локально-аксиоматическими. Глобальная (повсеместная, тотальная) аксиоматизация - не
задача школьного уровня. Но локальная аксиоматизация
колеблется в довольно широких пределах. Представляется наиболее оптимальным следующий подход: в первый год аксиоматический метод у нас неявный, а в даль45
нейшем - локально-наглядный (не категоричноглобальный);
Об эффективности. Методическая эффективность
аксиоматического метода усиливается его «переносом» с
начала курса 7 класса (первого года обучения геометрии)
в его конец и адекватными методическими разработками
(20-22). В конце курса 7 класса в специальной главе, уже
на существующем фактически геометрическом материале
и опыте определяются первоначальные аксиоматические
понятия – аксиома, теорема и доказательство. Первый
год обучения геометрии - самый трудный и ответственный. Опираясь в первый год на естественно-логический
метод и следующие из него доступность, естественность
предмета, можно многих учеников сберечь от нелюбви к
математике. Это имеет существенное значение особенно
для средних учеников, которых большинство. Наш подход активизирует именно эту часть учащихся. В век
научно-технического прогресса (в частности, широкой
математизации и компьютеризации, проходящей, образно
говоря, по геометрической прогрессии), эта часть учащихся всё шире включается в освоение научнотехнических знаний.
§ 4. Уроки реформ 70-х годов XX века
в СССР
Прежде всего, надо с горечью вспомнить опустошительные «идеологические реформы» 20-х годов ХХ
века в СССР, когда тотально уничтожалась средняя школа. Отметим, что эти низкопробные, ничем не обоснованные «реформы» последовали за историческими Всероссийскими I и II съездами учителей математики 19121914 годов. Содержание докладов этих съездов говорит о
высоком уровне и разнообразии методической мысли в
46
дореволюционной России (16). И всего через 5 лет эта
мысль (соответственно - школа) опускается на трагический для страны низкий уровень. К 1930 году власти
находят в себе силу волевым путём свернуть образование
на традиционный путь, который обеспечил советскому
народу ряд блистательных побед. Это - индустриализация страны, победа над фашизмом, выход на передовые
рубежи научно-технического прогресса, завоевание Космоса… Главное – создание в стране довольно высокого
морально-нравственного климата. Однако… в 1960 г.
был объявлен конкурс на новые школьные учебники по
математике. В 1965 г. были объявлены результаты, но
новые учебники оказались скоропостижными. Несмотря
на многочисленные педагогические эксперименты, до
конца 60-х годов всё было относительно стабильно. Но
методическая мысль искала новые пути. Было два пути: I.
Усиление практической направленности; II. Усиление
теоретической направленности. Первый путь привёл к
отрицательным результатам ещё 40 лет тому назад (в
1929 г.), хотя впоследствии мы хронически возвращались на этот путь. Оставался второй путь. Но в теоретической части наших учебников, в целом, всё было в порядке. Тогда была выдвинута идея модернизации школьного курса математики, её приведение в соответствие с
научно техническим прогрессом. «Жгучая» необходимость в «современном озвучивании» школьного курса
математики открыла огромный простор для научной (ещё
больше - псевдонаучной) деятельности. Вся страна с невероятным рвением кинулась писать диссертации по методике преподавания! Большинство диссертантов было
уверено в том, что делают важное и нужное дело. Но уже
через 10 лет, почти всем стало ясно, что, в сущности, мало хорошего было сделано. Судя по выступлениям советских школьников на Международных математических
олимпиадах в 60-80-е годы и успехи наших учёных47
математиков, уровень подготовки наших школьников по
математике был самым высоким или одним из самых высоких в мире. Тогда спрашивается: для чего были нужны
коренные реформы школьного математического образования? Зачем ломать хорошее? Лучшее?!
«Теоретико-множественную»
модернизацию
школьного математического образования санкционировали и стимулировали международные математические
конгрессы: Амстердам, 1954 г., Стокгольм, 1962 г.,
Москва, 1966 г.. другие научные форумы, министерства
образования, научно-педагогические органы, видные
учёные. И, особенно, этому способствовала деятельность
группы видных французских математиков, выступающих
под псевдонимом Никола Бурбаки, которые построили
почти всю математику на аксиоматической основе, на
языке теории множеств (1 и др.), с пониманием математики «как науки о математических структурах и их моделях». Такой подход не мог определить математику раз и
навсегда, и не определил: «математика - наука о математических структурах» - высказывание, во-первых, содержащее порочный круг; математика определялась через…
математику. Во-вторых, зачем надо было с не устоявшимися, не общепризнанными понятиями давить на школу?
К тому же учение Кантора о множествах противоречиво:
в «наивной» теории множеств существуют неустранимые
подлинные парадоксы. А школьный курс математики,
ввиду своего общеобразовательного характера, может
иметь дело только с интуитивной, содержательной (т.е.
противоречивой) теорией множеств. Да и непротиворечивость аксиоматической теории множеств осталась недоказанной. Одним словом, в 70-х годах ХХ столетия
противоречивая теория была превращена в методологическую базу школьного курса математики. Чтобы можно
было двигаться по второму (теоретико-множественному)
пути надо было, по крайней мере, семь раз ошибаться: 1)
48
Советская система образования очень плохая (что явная
неправда) и поэтому требуются коренные реформы; 2)
Научно-технический прогресс требует созвучные ему
школьные курсы по математике (здесь не ясно, что созвучно научно-техническому прогрессу на школьном
уровне и почему оно должно быть созвучным?); 3) Методология школьного курса математики должна быть идентичной методологии современной математики (именно
эта утопическая идея и привела к негативным последствиям при проведении самой реформы в 70-х годах); 4)
Теоретико-множественная методология не чревата противоречиями (однако, чревата); 5) Наиболее подходящим
и перспективным языком для школьного курса математики является язык теории множеств (такой методологический выбор есть следствие неправильного истолкования
самих целей обучения математике); 6) Дедуктивные психологические теории, призванные обосновать непомерно
теоретизированный курс, являются самыми адекватными
в преподавании математики (вновь сомнительное истолкование целей обучения математике); 7) Педагогический
эксперимент по реализации теоретических учебников
подтверждал их высокую продуктивность (практика использования таких учебников в школе показала обратную
картину).
Итак, приняв за истину приведённую выше систему «постулатов», реформа 70-х годов в СССР по математическому образованию зашла в тупик. Нам остаётся
учиться на уроках этих реформ.
Завершим нашу экскурсию в мир проблем математического образования словами выдающегося французского математика Р. Тома: «Если я был суров по отношению к модернизму, то я вовсе не хотел сказать, что всё,
что было привнесено этим движением, должно быть зачеркнуто. Несомненно, что возвращение к прежнему невозможно. В новом движении есть положительные мо49
менты, которые должны быть сохранены» (27, с. 17). К
важнейшим положительным достижениям модернизации
школьной математики, я бы отнёс следующее: обновление языка изложения, повышение его научной культуры,
усиление идеи переменной величины и функциональной
зависимости, введение идеи аксиоматического метода,
введение симметрии, векторов и др.
50
Литература
Бурбаки Н. Теория множеств. - М.:
1.
Мир, 1965.
Ваганян В. О. Геометрия 7. Пробный учебник. - М.: Интеллект-Центр, 2000.
3.
Ваганян В. О. Геометрия 8. Пробный учебник. - М.: Паимс, 2001.
4.
Ваганян В. О. Геометрия 9. Пробный учебник. - М.: Паимс, 2002.
5.
Ваганян В. О. Математика с параметром времени: N-арное правило //Актуальные проблемы современной науки. - М.: Спутник+, 2002. - № 4 (7).
6.
Ваганян В. О. Математика с параметром времени: T-анализ //Актуальные проблемы современной науки. - М.: Спутник+, 2002. - № 4 (7).
7.
Ваганян В. О. Математика с параметром времени: проблемы теории чисел //Актуальные
проблемы современной науки. - М.: Спутник+, 2002. - №
4 (7).
8.
Ваганян В. О. Математика с параметром
времени:
рефлексивные
парадоксы
//Естественные и технические науки - М.: Спутник+,
2002. - № 2 (2).
9.
Ваганян В. О. Математика с параметром времени: аксиома параллельных //Естественные и
технические науки. - М.: Спутник+, 2002. - № 2 (2).
10.
Ваганян В. О. Математика с параметром времени: аномальные явления //Естественные и
технические науки - М.: Спутник+, 2002. - № 2 (2).
2.
51
Дьедонне Ж. А. Надо ли учить «современной математике?» //«Математика в школе», - 1976.
- № 1; 2003, № 3.
12.
Евклид. Начала. Кн. I-XV. - M.:
Гостехиздат, 1948-1950.
13.
Заключения и рекомендации международного симпозиума в Будапеште по вопросам преподавания математики //«Математика в школе». - 1963,
№ 3.
14.
Колмогоров А. Н. Математика. БСЭ, изд. 2, т. 26.
15.
Колмогоров А. Н. Математика в её
историческом развитии. - М.: Наука, 1991.
16.
Колягин Ю. М. Русская школа и
математическое образование. - М.: Просвещение, 2001.
11.
17.
Кутузов Б. М. Геометрия Лобачевского и элементы основания математики. - М.: Учпедгиз,
1955.
18.
Лаптев Б. Л. Лобачевский и его
геометрия. - М.: Просвещение, 1976.
Левин В. И. Некоторые вопросы
преподавания
математики
в
средней
школе
//«Математическое просвещение». – 1959. - № 4.
20.
Лобачевский Н. И. О началах геометрии //Об основаниях геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1956.
21.
Лобачевский Н. И. Полн. собр. соч.
Т. 2. - М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
22.
Ляпунов А. А. Онтодидактика в математике //На путях обновления школьного курса математики. - М.: Просвещение, 1978.
23.
Ляпунов А. А. О фундаменте и стиле современной математики (по поводу статьи Н. Бурбаки) //«Математическое просвещение». – 1960. - № 5.
19.
52
Меморандум американских математиков //«Математика в школе». – 1982. - № 3.
25.
Нагель Э., Ньюмен Д. Теорема Гёделя. - М.: Знание, 1970.
26.
Неванлинна Р. Реформа в преподавании математики //«Успехи математических наук». 2(134). Т. ХХII. 1967.
27.
Том Р. Современная математика существует ли она? //«Математика в школе». – 1973. - №
1; 2003. - № 3.
28.
Успенский В. А. Теорема Гёделя о
неполноте. - М: Знание, 1982.
24.
29.
Энриквес Ф. Замечания о преподавании научной геометрии. - СИБ, Физика, 1913.
53
Содержание
Глава I. Философское обоснование математики
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
Парадоксы
Логицизм
Интуиционизм
Формализм
Математический реализм
---- 3
---- 5
---- 8
---- 9
---- 21
Глава II. Методическое обоснование математики
§ 1. Периоды исторического развития
математики
---- 27
§ 2. Проблема введения аксиоматического
метода в курс школьной математики
---- 31
§ 3. Сочетание аксиоматического и генетического
методов в школьном курсе математики
---- 40
§ 4. Уроки реформ 70-х годов XX века
---- 46
Литература
---- 51
Приложение I
Философия математического реализма
Приложение II
Первоначальные понятия математики
с параметром времени
54
---- 55
---- 63
Приложение I.
Философия математического реализма
(Концепция В.О. Ваганян)
Предисловие
В этой работе излагаются первоначальные идеи математики, формулы которой зависят от параметра времени. В
частности, вводится понятие производной по параметру
времени, что открывает неограниченные перспективы
для построения и применения нового математического
анализа, основанного на производной по параметру времени – временного или t-анализа. Здесь самое необычное
– введение в математику в качестве её категории времени, протекающее при записи математического текста и, в
частности, вычисление производной по этому времени!
Первые же полученные выводы применяются к знаменитым проблемам – к логическим парадоксам, к проблемам
теории чисел, аномальным явлениям и др. интересным
загадкам математики и естествознания; показывается, как
они решаются или видоизменяются в математике с параметром времени. Метод решения и сама математика, зависящая от физического понятия времени, настолько не
вписываются в современные представления о математике
и ее методологии, что создают ощущение «выпада» из
математики в... физику. Но это лишь видимость: корректное введение времени в саму структуру математики
55
более плодотворно и адекватно законам физической реальности, нежели неестественное и молчаливое игнорирование в ней этим важнейшим фактором существования
и функционирования мира. Понятием времени мы пользуемся и в обычной математике, когда абстрагируемся от
него. А разумное введение времени в «ткань» математики
позволяет «сократить» расстояние между математикой и
действительностью, вплотную приблизиться к глубинным свойствам математических и физических объектов.
Мы, фактически, закладываем первые камни в фундамент
нового здания математики – Математики с параметром
времени (МПВ). Эта («динамическая») математика есть
обобщение обычной («статической») математики; исключив из математики с параметром времени параметр
времени, получим обычную математику. Как и любое новое начинание, математика с параметром времени ещё
недостаточно развита и достаточно порочна. Это естественно и нормально.
Введение
Все физические объекты подвержены изменениям во
времени. Это - одно из самых существенных свойств физического мира. Поскольку научные теории призваны
иметь также выход на практику (непосредственный или
опосредованный), то они должны все шире и глубже учитывать указанное свойство. В теориях изменения во времени в той или иной степени лишь описываются. Сама
же теория в процессе записи не подвергается изменениям
во времени. Этим она противоречит сущности природы.
Теория, учитывающая разность времени в разных экземплярах одной и той же формулы, дала бы о физическом
мире больше информации. При построении теории «во
56
времени» должны учитываться свойства времени. Естественно предположить, что в теории «во времени» должны существовать правила, которых не придерживаются в
теории «вне времени». Не является ли отсутствие таких
правил в обычных теориях фундаментальным упущением? Нет основания, предполагать, что эти упущения не
порождают противоречия или неправильные (в смысле
соответствия с действительностью) понятия, методы,
утверждения... Рассмотрение теории «во времени» если
возможно, то относительно: соответствующая метатеория - теория «вне времени»; если и метатеория рассматривается «во времени», то метаметатеория - теория «вне
времени» и т. д. Ставится задача не изложения теории
«во времени», а выявления метаматематических расхождений в основаниях теорий «во времени» и «вне времени». Интуитивное понятие теория «вне времени» на полноту не претендует: ясно, что теория «вне времени» вне
времени не существует, следовательно, в теорию «вне
времени» входит некоторый компонент времени. А теория «во времени», как бы ее ни построить, вряд ли сможет выразить все свойства времени. Традиционная (непостулированная) абстракция от времени значительная, но
не полная, а «введение времени» в теорию хоть и эту абстракцию сужает (приближает теорию к действительности), но полностью не устраняет.
Предпосылки математики с параметром времени
1. Проблема обоснования математики
Блестящее решение проблемы обоснования математики
для своего времени было дано Евклидом. В новое время
основаниями математики особенно интенсивно занимались «от Лобачевского до Гёделя». Но блистательного
57
решения, как в древности, не получилось. И, видимо, не
получится в обозримом будущем. Главное к чему мы
пришли – осознание того, что математика: 1) не только
логический вывод и логический вывод состоит не только
из логических элементов; 2) не только интуитивное построение и интуитивное построение состоит не только из
интуитивных элементов; 3) не только формальный метод
и формальный метод состоит не только из формальных
элементов. Математика – гибрид. Помимо логических,
интуитивных, формальных корней, математика имеет реалистические и др. корни. Реалистические корни находятся не только и не столько в описании и имитации законов реальной действительности, что не ново, а также
глубже, в текстах самой теории, в процессе их записи.
Процесс предполагает время. Так что в этом срезе время
становится уже категорией математической. В поисках
логицистов, интуиционистов и формалистов, в качестве
одного из основных движущих сил, неявно был поиск
путей выхода времени из «математического подземелья».
Теория типов понятия и объекты располагал на разных
уровнях. Ничего не говорится о времени, но можно распространить идеологию теории типов и на время. Такое
расширение внесло бы естественность в искусственный
характер теории типов: непредикативные определения
уже исключались бы не по определению, а из-за разности
времени в математических объектах разных уровней. То
есть иерархия времени в математических объектах обеспечила бы её относительность и тем самим исключила бы
рефлексивные парадоксы. Логицизм могла прийти к таким правдоподобным и плодотворным гипотезам, но
ограничилась построением псевдокитайского дома, где
от пожара на II этаже I и III этажи не могут сгореть лишь
потому, что это – пожар II этажа; он предназначен исключительно для II этажа. Логицизм как окончательная
доктрина по обоснованию математики была обречена из58
начально: символы логических операций, как носители
определённых форм, являются также формальными
элементами; они имеют интуитивный смысл – являются
интуитивными элементами. Это – корневые понятия, поэтому, с позиции платонизма, являются платоническими
элементами. Удаление из логических операций и конструкций нелогических элементов делает несостоятельной не только теорию типов, но и логицизм в целом. Математика не может существовать без такого алогичного
акта, как абстрагирование. Если абстрагирование считать
логической процедурой, то это будет уже не сведением
математики к логике, а наоборот. Так что логицизм родился без полных генетических данных обосновать математику. То же самое можно сказать о других доктринах.
Интуиционизм не отделим от интуиции времени. Временной подслой в нём органически связан также с субоординативными порядками теории типов, поскольку одной из основных психологических предпосылок интуиционизма – независимость мысли от языка. Из языковой
относительности следует, что такая независимость реализуема на логической части языка. А логическая часть
очищается от рефлексивных парадоксов фильтром теории типов. От интуиционизма произошло конструктивное направление в математике, где было сформулировано
понятие алгоритма. В теории алгоритмов время получает
новый, «надстрочный» статус. Здесь мы неявно, но очень
близко подходим к идее математики с параметром времени, но не доходим до неё, ограничиваемся насущными
задачами.
Логика и интуиция – «костыли» формализма. Поэтому и
формализм, опираясь на логику и интуицию, через них
опирается на время. Форма и сама по себе, как отвлечённый от времени объект, содержит его в качестве условно
удалённой своей части. В каких-то пределах приоткрывая
эту часть, мы откроем грандиозные, неизведанные синте59
тические физико-математические миры. Любая составляющая математики корнями восходит к времени: в современной математике время как явное творящее ядро –
насущная необходимость и практически неисчерпаемый
потенциал новых идей и методов. Фундаментальные понятия математики, пребывающие согласно платонизму во
вневременном мире идей, в нашей физической реальности могут перевоплощаться в формах, лишённых или не
лишённых основного условия пребывания в материальной оболочке - времени. Второй случай более адекватен
нашему миру, и естественно от него ожидать большей
близости к законам нашего мира.
2. Реализм в математике
Математический реализм – концепция по основаниям
математики. Её основная идея – рассмотрение математики во времени, в соответствии с изменениями её объектов
во времени. Математический реализм базируется на некоторой (статической) концепции по обоснованию математики и продолжает её в динамическом направлении. В
качестве исходной концепции выбирается та, которая по
тем или иным причинам более целесообразна и обеспечивает достаточную (в данное время) строгость. Основная цель математического реализма – более глубокое,
чем это доступно классической, логистической, интуиционистской, конструктивной, формальной и иным (статическим) математикам познание связей математики с действительностью, математизация этих связей, их всестороннее развитие и применение в и вне математики. Математический реализм не может обходить физический
реализм, который отражается в математическом реализме
не столько как перевод фактов наблюдения в (несущие
дополнительную информацию) теоретические термины
(точная и полная экспликация этой процедуры представ60
ляется несбыточной мечтой) или набор вариантов построения математического образа физической реальности, сколько как физическая реальность самого процесса
построения математического текста. Математический реализм отличается от физического реализма, в частности,
в вопросе природы парадоксов. Физические реалисты
ограничивают мир, исключают, как и интуиционисты,
актуальную бесконечность, чем связывают с виду забавные логические шутки (рефлексивные парадоксы) со
строением Вселенной. Математический реализм может
быть истолкован, в частности, как методология, обеспечивающая в перспективе максимально возможное объяснение реальности. Путь к такой цели лежит во времени:
без придания времени статуса математической категории,
математика останется генетически ограниченной в своём
восприятии физической реальности. Математический реализм отношения математики и физической реальности
не только расширяет далеко за пределы прикладной математики, не только превращает их в органическую часть
теоретической математики, но и саму математику превращает в уникальную физическую реальность, сохраняя,
вместе с тем, элитарный дух и абстрактный облик математики в своей первозданной красоте! Математический
реализм, наряду с логическими, интуитивными, формальными и иными составляющими вводит «в оборот» в
математике также реалистическую составляющую.
Обычно учёт реальности в математике ограничивается
построением более или менее адекватных физической реальности теоретических систем, которые в дальнейшем
живут оторванной от реальности своей собственной абстрактной жизнью. И это типично для современной математики. Математический реализм, не нарушает эту
специфику математики, а лишь обогащает её новым, хоть
и внешне инородным, но очень действенным и богатым
элементом – временем. МПВ (Математика с параметром
61
времени) расширяет диапазон действия математики. Она
не исключает современную математику, которая является
её частным случаем, а продолжает её с качественно новыми «инструментами». Вопрос о том, является ли МПВ
математикой, относится к философии. Ни один математик в мире не знает точного определения математики.
Если нет общепринятого определения математики, то нет
и критериев, определяющих, какое понятие принадлежит
математике, а какое - нет? Так что, на логикоконцептуальном уровне невозможно сказать, является ли
МПВ математикой или нет? В таком случае научное существование МПВ так же правомерно, как и существование любой другой разновидности математики. Истинная
задача МПВ не в том, какая она по качеству и статусу, а в
том, насколько она полезна. МПВ создаёт прецедент использования в математике физического понятия. Такое
расширение фундаментального и оперативного аппарата
математики может оказаться не единичным и привести к
новым синтетическим математическим теориям. Это не
лишает обычную математику своего лица и положения, а
параллельно открывает новые возможности и горизонты
познания действительности.
Для начального ознакомления с элементами Математики с параметром времени можно прочитать Приложение
II. Для более подробно ознакомления см. работы автора
(5-10).
62
Приложение II.
Первоначальные понятия и применения
математики с параметром времени
(теория В.О. Ваганяна)
1. N-арное правило
Абстракция отождествления приравнивает разные экземпляры одной и той же формулы - исключает из этих формул их временные и другие физические различия. При
такой абстракции от времени в теории не учитываются
свойства физических объектов, выражающие изменения
во времени. Если это учитывать, то экземпляры одной и
той же формулы А, фигурирующие в теории F, заменятся, если использовать параметрическую запись, формулами вида А(t0), A(t1),... В этих формулах общее то, что
они в традиционном смысле тождественны между собой,
различаются же по значению параметра времени t. При
этом теорию F будем обозначать через F(t). F будем
называть статической теорией, F(t) - динамической теорией. Нашей ближайшей задачей является нахождение
некоторых метаматематических расхождений между теориями F и F(t). Эти расхождения могут выражаться системой правил S, которых не придерживаемся при построении статических теорий. Если потребовать от статической теории F, чтобы она удовлетворяла системе
правил S, то получится несколько отличная от F статическая теория Ft, которую назовем динамически корректной
теорией. Естественно полагать, что система правил S не
может быть раз и навсегда установлена, поэтому речь
63
может идти о множестве динамически корректных теорий: динамически -корректная теория (F), динамически -корректная теория (Fβ) и т.п., где  и  - типы коррекции. Если тип коррекции не имеет значения, то его не
будем указывать. Из логики такого подхода следует, что
динамически корректные теории адекватнее будут отражать действительность, поэтому условие динамической
корректности естественное (но не обязательное) требование. Возникает сложная проблема выражения свойств
времени через структуру теории. Начнем с одного существенного свойства времени. Каждый физический объект
Q(t) в момент времени t находится в связях с другими
объектами. В данный момент времени t объект Q(t) единственен. В любой другой момент времени ť объект Q(ť)
также единственен, но не тождественен с Q(t). Это свойство физического мира назовем однозначностью времени. Каждая формула А(t) в момент времени t находится в
связях с другими формулами. В данный момент времени
t формула А(t) единственна. Эта единственность в статических теориях не учитывается: формула связей А(t) с
другими формулами допускает неоднократное использование A(t) (в один и тот же момент времени). Необходим
принципиально иной формализм, адекватный однозначности времени. Попытаюсь дать одну из наиболее естественных экспликаций понятия однозначности времени.
Пусть, например, F - формальная теория.
Пусть М и N - ппф теории F, М - подформула
формулы N и нет в F ппф P, чтобы М была подформулой
Р, а Р - подформулой N. В этом случае М назовем основной подформулой формулы N.
Если запись формулы М в F(t) завершена в
момент времени t, то скажем, что М имеет метрический
показатель t. Если при этом необходимо указывать формулу М, то вместо t пишем m(t) (так, что m(t) - число).
64
Отметим три способа записи формул.
Способ R1: знаки формулы записываются последовательно слева направо;
Способ R2: знаки формулы записываются последовательно справа налево;
Способ R3: все знаки формулы записываются одновременно.
(Здесь и впредь под одновременностью записи
понимается одновременность относительно системы отсчета, связанной с бумагой, на которой производится запись).
Однозначность времени:
Метрические показатели времени всех вхождений любой ппф М, которые являются основными подформулами ппф N, при любом способе записи Ri (i=1, 2,
3) формулы N, равны между собой.
От любой динамически -корректной теории
требуем ее удовлетворения условию однозначности времени; формулы, при записи которых не соблюдается однозначность времени, считаем неправильно построенными формулами.
Рассмотрим, например, ппф АА статической
теории F, где оба вхождения А - основные подформулы, а
 - логический или специальный знак теории F.
Формуле АА в динамической теории F(t)
соответствует формула вида A(t1)A(t2). При ее записи
способами R1 и R2, t1t2 (1). При записи способом R3, t1=t2
(2). Пусть А записывается способом R3. В случае (1) основная подформула А в АА имеет (в F(t)) два метрических показателя времени: a(t1) и a(t2), в случае (2) - один
метрический показатель времени: a(t1); (t1=t2). При записи
формулы АА однозначность времени не соблюдается:
АА - не ппф (в F).
65
Мы пришли к заключению, которое назовем
Бинарным правилом (для -корректной теории):
Если оба вхождения ппф А в ппф АА теории F, где  - логический или специальный знак теории
F, являются ее основными подформулами, то АА не
ппф в теории F.
Бинарное правило можно обобщить и получить N-арное правило (для -корректной теории):
Если хотя бы два вхождения ппф А в ппф
А1А2 ... n-1 А теории F, где i - логический или специальный знак теории F (i=1, 2, ... , n-1), являются ее основными подформулами, то А1А2... n-1А не ппф в
теории F.
При построении динамически -корректной
формальной теории можно просто вводить дополнительное правило образования: формула не является правильно построенной, если в ней ее хотя бы одна основная
подформула имеет более одного вхождения.
Замечание 1. Обратим внимание на глубокую связь времени в структуре математики с записью формул: однозначность времени выражает независимость времени от
способов записи формул (или инвариантность формул
относительно способов их записи).
Замечание 2. N-арное правило в неявной форме предъявляет к правильно построенным формулам требование
быть ппф также во времени - в процессе записи формул.
Например, если а,b,с и а+b=с являются ппф некоторой
теории, то в статической математике формулу а+b=с мы
записываем слева направо: а, а+, а+b, а+b =, а+b=с, т. е. в
процессе записи пользуемся неправильно построенными
формулами (лишь на том основании, что не придаем зна-
66
чения фактору времени). Динамическая математика старается избегать такой «халатности».
Примечание. Формулы в динамически корректных и динамических математических теориях зависят от параметра времени. Поэтому под выражением «математика с параметром времени» понимаются такие теории.
2. Решение рефлексивных парадоксов
Парадокс Рассела
Пусть А - множество всех тех и только тех множеств, которые не являются элементами самих себя. Если
А не является элементом самого себя, то А является элементом самого себя. Если А является элементом самого
себя, то А не является элементом самого себя.
Решение: А - множество всех тех и только тех
множеств Х, которые не являются элементами самих себя:
(ХА)(ХХ)
(1)
В (1) вместо Х подставив А приходим к противоречию:
(АА)(АА)
(2)
Согласно Бинарному правилу в динамически корректной теории множеств АА не ппф. Следовательно,
формула (2) не ппф (бессмыслица).
Парадокс Эвбулида
(парадокс лжеца)
67
Человек говорит: «я лгу». Если он говорит правду,
то он лжет, и наоборот.
Решение:
ХY
(3)
XY читается: «Y говорит, что Х лжет».
В (3) вместо Х подставив Y получим YY. Согласно Бинарному правилу в динамически корректном языке
YY не ппф. Следовательно, вытекающий из нее парадокс Эвбулида не ппф (бессмыслица).
Парадокс Ришара
С помощью некоторых фраз русского языка могут
быть охарактеризованы те или иные вещественные числа.
Например, «отношение длины окружности к длине диаметра в круге» характеризует число . Все фразы русского языка могут быть представлены некоторым стандартным способом, а именно: упорядочим сперва лексикографически (т.е. как в словаре) все фразы, содержащие в
точности К букв, а затем поместим все фразы из К букв
впереди фраз с большим числом букв. Теперь можно перенумеровать все те фразы русского языка, которые характеризуют то или иное вещественное число. Для этого
достаточно в стандартной нумерации всех фраз опустить
все остальные фразы. Число, получающееся при такой
нумерации номер n, назовем n-м числом Ришара. Рассмотрим такую фразу: «Вещественное число, у которого
n-й десятичный знак равен 1, если у n-го числа Ришара nй десятичный знак не равен 1, и n-й десятичный знак равен 2, если у n-го числа Ришара n-й десятичный знак ра68
вен 1». Эта фраза определяет некоторое число Ришара,
допустим, К-е; однако, согласно определению, оно отличается от К-го числа Ришара в К-м десятичном знаке.
Решение. Y-n-е число Ришара.
(ХY)(YY)
(4)
ХY читается: ««Фраза «вещественное число, у
которого n-й десятичный знак равен 1, если у Y n-й десятичный знак не равен 1, и n-й десятичный знак равен 2,
если у Y n-й десятичный знак равен 1» определяет Х».
Согласно Бинарному правилу в динамически корректной теории чисел YY не ппф. Следовательно, формула (4) и вытекающий из нее парадокс Ришара не ппф
(бессмыслицы).
69
Парадокс Грелинга
Некоторые прилагательные («правильный», «многосложный», ...) обозначают свойство, которым они сами
обладают. Назовем их автологичными, а все остальные
прилагательные - гетерологичными. Прилагательные
«односложный», «зеленый» - гетерологичные. Если прилагательное «гетерологичный» гетерологично, то оно автологично, и наоборот.
Решение. Х - прилагательное «автологичный», Y - прилагательное «гетерологичный»:
(YY)(YX)
(5)
ZX читается: «Z является X»
ZY читается: «Z является Y».
Согласно Бинарному правилу в динамически
корректном языке YY не ппф. Следовательно, формула
(5) не ппф (бессмыслица).
Парадокс Кантора
Множество всех подмножеств множества М
имеет кардинальное число, больше кардинального числа
множества М. Это приводит к противоречию, если в качестве М взять множество всех множеств.
Решение.
(f(M) f(M’)) & (f(M’)≤f(M))(f(M)f(M)) (6)
70
М - множество всех множеств.
М’ - множество всех подмножеств множества М.
f(x) - кардинальное число множества X.
Согласно Бинарному правилу в динамически
корректной теории множеств f(M)f(M) не ппф. Следовательно, формула (6) не ппф (бессмыслица).
Парадокс Бурали-Форти
В теории трансфинитных порядковых чисел показано, что: (I) каждое вполне упорядоченное множество
имеет (единственное) порядковое число; (II) каждый отрезок множества порядковых чисел (т.е. любое подмножество этого множества, упорядоченное естественным
образом, которое вместе с каждым порядковым числом
содержит все предшествующие ему) имеет порядковое
число, большее, чем все порядковые числа этого отрезка;
(III) множество В всех порядковых чисел, расположенных в естественном порядке, вполне упорядочено. Тогда
в силу утверждений (I) и (III) В имеет некоторое порядковое число , а т.к.  содержится в В, то в силу утверждения (II) .
Решение.
(((f(x)B)(f(x)f(B)))((f(B)B)(f(B)f(B))
(7)
В - множество всех порядковых чисел, расположенных в естественном порядке.
f(x) - порядковое число вполне упорядоченного
множества Х.
Согласно Бинарному правилу в динамически корректной теории трансфинитных порядковых чисел
f(B)f(B) не ппф. Следовательно, формула (7) не ппф
(бессмыслица).
71
Парадокс Диксена
Допустим, что существует некоторый пересчет
множества всех арифметических функций; пусть fl(k) значение l-й функции в этом пересчете для аргумента К.
Образуем такую функцию g, что для любого n
g(n)=fn(n)+1. Пусть Р - номер g в этом пересчете, так что
g(n)=fp(n). Тогда fp(p)=g(p)=fp(p)+1. Получили противоречие. Следовательно, множество всех числовых функций несчетно (*). Предположим, что рассматриваем не
множество всех числовых функций, а множество всех
определимых функций. Под «определимым» подразумевается определимое средствами некоторого фиксированного языка, например (математического) русского языка
с фиксированным словарем и грамматикой. Т.к. число
слов в языке конечно, то множество возможных его выражений счётно, следовательно, и множество выражений,
дающих определения числовых функций, а потому и
множество самих определимых функций должны быть
счетными. Но язык можно построить так, что доказательство (*) можно было провести в этом языке, так что приходим к противоречию.
Решение.
((Кl) = ((KK)+1))((ll) = ((ll)+1))
(8)
Кl читается: «fl(k) (значение l-й функций в некотором пересчете множества всех арифметических функций для аргумента К)».
Согласно Бинарному правилу в динамически корректной теории функции КК и ll не ппф. Следовательно, формула (8) не ппф (бессмыслица).
72
Парадокс Бери
Множество всех целых чисел, которые могут быть
названы по-русски посредством числа слогов (или букв)
меньшего некоторого числа, конечно: следовательно,
должно существовать наименьшее из тех чисел, которые
не могут быть так названы. Но «наименьшее целое число,
которое не может быть названо по-русски меньше, чем в
пятьдесят слогов» есть выражение русского, содержащее
менее пятидесяти слогов.
Решение.
((50≤(х))((х)50))(5050)
(9)
Х – «наименьшее число, которое не может быть
названо по-русски меньше, чем в пятьдесят слогов».
(y) - количество слогов предложения y.
Согласно Бинарному правилу в динамически корректном языке 5050 не ппф. Следовательно, формула (9)
не ппф (бессмыслица).
Аналогично решаются все рефлексивные парадоксы.
73
Виктор Оганесович Ваганян
ЗАМЕТКИ ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ
И ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
74