1. Постановка задачи - Институт прикладной математики им. М

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ОРДЕНА ЛЕНИНА
ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
им. М.В. КЕЛДЫША
А.В. Сысенко
ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ РАДИАЦИОННОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ НАВОДКИ В КАБЕЛЬНОЙ ЛИНИИ
МОСКВА 2006
2
А.В. Сысенко
АННОТАЦИЯ
ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ РАДИАЦИОННОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ НАВОДКИ В КАБЕЛЬНОЙ ЛИНИИ
Представлена математическая модель формирования электромагнитной наводки в коаксиальной кабельной линии импульсом радиационного излучения. Модель построена в рамках телеграфного приближения. Предложен численный
метод расчёта, базирующийся на неявной конечно-разностной схеме КранкаНиколсона. Учтена нестационарная концевая нагрузка кабельной линии, которая задается функцией времени. Представлены результаты тестирования и пример расчёта.
A.V. Sysenko
ABSTRACT
THE 2D MODEL OF RADIATIONAL ELECTROMAGNETIC INDUCING IN
THE CABLE LINE
The mathematical model of electromagnetic inducing formation in coaxial cable line
by the ionizing radiation pulse is represented. The model is constructed within the
limits of telegraphic approximation. A numerical method of calculations, which is
based on the implicit finite difference Crank-Nicholson scheme, is represented. The
transitional load on the cable line, which is determined by the function of the time
variable, is taken into account. The test’s results and the example of numerical experiment are represented.
3
ВВЕДЕНИЕ
При воздействии импульса ионизирующего излучения в материалах кабельной линии (металл, диэлектрики) происходит генерация потока заряженных частиц (электронов, позитронов) [1]. Наличие материалов с различными
физическими свойствами (см. рис. 1) обуславливает формирование некомпен-
изоляция
Оплётка кабеля
Диэлектрическая
Жила кабеля
Ионизирующее
излучение
Рис.1. Структура кабельной
линии
сированных электрических зарядов вблизи границ раздела "диэлектрик-металл"
(на длине свободного пробега заряженных частиц в материале). Вследствие
этого между оплёткой и жилой кабеля образуется разность потенциалов, что и
приводит к генерации в линии паразитных электрических токов. Для получения
параметров электромагнитной наводки необходимо знать характер распределения электрических зарядов в материалах кабельной линии. Получение такого
распределения является самостоятельной подзадачей, решаемой в рамках физики переноса ионизирующих излучений [1].
1. Постановка задачи
Рассмотрим участок кабельной линии (см. рис. 2). Запишем второе уравнение Максвелла в интегральной форме [2]:
1 
 B n dS ,
эл t S
 E dl   c
s
C
(1)
4
где S - поверхность, ограниченная замкнутым контуром С;
Es - касательная составляющая вектора электрического поля;
Bn - нормальная составляющая вектора магнитной индукции;
сэл - скорость распространения электромагнитных возмущений.
-I
d
a
c
b
z
z+dz
Z
I
Рис. 2. К выводу уравнения (5)
Используем его для замкнутого прямоугольного контура abcda. Циркуляция электрического поля вдоль сторон замкнутого контура равна:
c
 E dl  U  z  dz   U  z  
s
b
a
U
dz;
z
d
 E dl    E dl  U  z  ;
s
d
a
b
 E dl  E
s
a
(2)
s
d
zжил
dz ,
 E dl   E
s
zопл
dz ,
c
где Ezжил, Ezопл - касательные составляющие электрического поля на жиле
и оплётке соответственно;
U(z) - напряжение между жилой и оплёткой кабеля в сечении z
опл


 U   Es dl  .
жил


Полагая, что Ezжил=RжилI и Ezопл=-RоплI, получаем:
 U

E
dl

s

 z  RI  dz,
abcda
где R=(Rжил+Rопл) - погонный внутренний импеданс кабеля.
(3)
5
Поток вектора магнитной индукции через контур abcda можно представить в виде:

Bn dS  cэл dz,
(4)
abcda
1
где  
cэл
опл

Bn dl - магнитный поток между жилой и оплёткой на еди-
жил
ницу длины кабеля.
Таким образом, уравнение (1) для контура abcda принимает вид:

U

 RI 
.
z
t
(5)
Запишем уравнение непрерывности в интегральной форме [2]:

 dV 
t V
 j dS  0,
(6)
n
S
где  - плотность заряда в объёме, ограниченном замкнутой поверхностью S;
jn - нормальная составляющая вектора плотности тока на поверхности S.
z
z+dz
Z
Рис. 3. К выводу уравнения (10)
Применим его к отрезку z, z+dz жилы (см. рис. 3). Интеграл   dV  qdz
V
определяет заряд на отрезке жилы и поэтому равен произведению погонной
плотности заряда qжил на элемент длины dz. Поверхностный интеграл разложим
на сумму интегралов по поперечным сечениям z, z+dz и боковой поверхности
провода S0 на участке (z, z+dz):
6

 z  dz 

z
jn dS  I  z  dz   I  z  
I
dz;
z
jn dS   I  z  ;
(7)

 j dS    E dS  J  t, z  dz    D dS  J  t, z  dz,
n
0
S0
0
жил
n
n
жил
0 S0
S0
где 0, 0 - проводимость и диэлектрическая постоянная изоляции между
жилой и оплёткой;
Dn - нормальная составляющая вектора электрической индукции.
Интеграл с Dn можно преобразовать, используя теорему Гаусса:
 D dS   D dS   D dS  
n
so
n
S
z
n
 z dz 
Dn dS 
 4 qжил dz 
 жил
 жил
j
dS

jn dS 
n
 жил z 
 жил  z dz 
 4 qжил dz 
 жил
 I  z  dz   I  z  ,
 жил 
(8)
где жил, жил - проводимость и диэлектрическая постоянная жилы кабеля.
Таким образом, получаем:
qжил   жил 0  I 4 0
 1 
qжил  J жил  t , z   0.
 
t



z

0 жил 
0

(9)
Учитывая, что 0  жил (проводимость диэлектрической изоляции гораздо меньше проводимости металлической жилы), получаем:

I qжил 4 0


q  J жил  t , z  .
z
t
 0 жил
(10)
Проведя аналогичные рассуждения для оплётки, получим:

I qопл 4 0


q  J  t, z  .
z
t
 0 опл опл
(11)
До этого момента для построения уравнений использовались только
уравнения Максвелла, поэтому все полученные соотношения носят фундамен-
7
тальный характер. Теперь же сделаем предположение о локальном характере
электромагнитных полей внутри кабеля, т.е.
- магнитное поле в поперечном сечении z=const кабеля определяется исключительно током I, текущем по жиле и оплётке в этом сечении;
- электрическое поле в поперечном сечении z=const кабеля определяется
исключительно погонной плотностью зарядов на жиле и оплётке кабеля
(qжил, qопл), а также распределением электрического заряда внутри диэлектрической изоляции (t,r,z).
Предположение о локальности магнитного поля позволяет легко связать
магнитный поток между жилой и оплёткой на единицу длины кабеля  с током
текущем в кабеле I:
  Lкаб I ,
(12)
2 0  rопл
 - погонная индуктивность кабеля;
ln 

2
r
жил 

сэл
cэл = 2.99791010 см/c – скорость распространения электромагнитных
возмущений в вакууме;
0 – магнитная проницаемость диэлектрической изоляции.
Используя эту связь, получаем:
где Lкаб 

U
I
 RI  Lкаб .
z
t
(13)
Предположение о локальности электрического поля используем для получения связи между параметрами погонной плотности зарядов на жиле и
оплётке кабеля (qжил, qопл) и напряжением U (вполне очевидно, что это соотношение будет зависеть и от распределения электрического заряда внутри диэлектрической изоляции (t,r,z)).
Пусть в момент времени t в поперечном сечении z=const кабеля сложилось следующее распределение электрических зарядов (см. рис. 4):
- qжил - погонный заряд жилы кабеля;
- qопл - погонный заряд оплётки кабеля;
- (t,r,z) - распределения электрического заряда внутри диэлектрической
изоляции.
8
qопл(z)
z=const
qжил(z)
(t,r,z)
dr
rопл
r
rжи
л
Рис. 4. Распределение электрических зарядов в кабеле
Рассматривая кабель как бесконечный коаксиальный цилиндрический
конденсатор, обкладками которого являются жила (r1 = rжил) и оплётка (r2 =
rопл), с объёмно распределённым электрическим зарядом в диэлектрической
изоляции получим выражение для напряжения между обкладками. Учитывая,
что потенциал бесконечно длинной тонкой цилиндрической поверхности радиуса a с погонной плотностью электрического заряда q равен:
 2q
   ln  r  , при r  a

 r   0
,
2
q
  ln  a  , при r  a
  0
получаем:
(14)
9
U   r1   r2 
 2q
2q
4
   жил ln  rжил   опл ln  rопл  
0
0
  0
rопл


 ( r ) r ln  r  dr  
rжил

(15)
 2q

4 ln  rопл  rопл
2qопл
жил
 
ln  rопл  
ln  rопл  

(
r
)
rdr
.




0
0
0
rжил


В выражении (15) в фигурных скобках представлены алгебраические
суммы потенциалов всех зарядов системы (в жиле, оплётке и диэлектрической
изоляции) соответственно на жиле и оплётке. Считая  не зависящей от r, выражение (15) после интегрирования приведётся к виду:
U
2qжил
0
r
   rжил
ln  опл

 rжил 
0
2
2
2
 r


   1  ln  rопл
 
опл
 r    . (16)
 r  
жил 
жил   





Выразив из (16) qжил и подставив в (10), окончательно получим:

I
U
 (t , z )
C
 GU  C1
 G1  t , z   J жил  t , z  ,
z
t
t
(17)
0
где C 
- погонная ёмкость кабельной линии;
rопл


2 ln 

 rжил 
2 0
- погонный коэффициент утечки;
G
rопл


ln 

 rжил 
C1 
2
 rжил
2
2
2
 rопл
  1  ln  rопл
 
 r  
 r  
жил 
жил 



;
r

ln  опл

r
жил 

2
2
 rопл
  1  ln  rопл
 
 r  
 r  
2
жил 
жил 


2 2 0 rжил

.
G1 
r
0

ln  опл

r
жил 

Таким образом, проводя совместное интегрирование уравнений (13) и
(17) с использованием граничных условий:
10
U
U
z 0
zL
  R0  t  I
 RL  t  I
z 0
,
(18)
zL
где L – длина кабельной линии;
R0(t) – нагрузка на левом конце кабельной линии;
RL(t) – нагрузка на правом конце кабельной линии,
мы получаем параметры паразитной наводки, возбуждаемой в кабельной линии
при импульсном радиационном воздействии.
2. Численная реализация решения задачи
2.1. Численное решение задачи
Для совместного интегрирования уравнений (13), (17) с граничными
условиями (18) и начальными условиями:
U
t 0
I
t 0
 0,
(19)
используем метод характеристик [3], полагая, что Lкаб = const, R = const и C =
const.
Определим уравнений характеристик как

  z cos    vt sin   ;


   z sin    vt cos   ,
(20)
где  = 45;
v – скорость распространения электромагнитной волны.
Система уравнений (13), (17) примет вид:







где f  C1
1
2
 U U  Lкаб v  I I 



 
  RI  0,
2    
   
1
2
 I I  Cv  U U 

     

  GU  f ,
2    


 (t , z )
 G1  t , z   J жил  t , z  .
t
(21)
11
Учитывая, что vLкаб   ( - волновое сопротивление линии) и v 2 
1
Lкаб C
,
преобразуем систему (21) к виду:
I
 U
2   2    2  RI   GU   2  f ,

2 U  2  I  2   GU  RI   2  f .

 
(22)
Введём новые функции  и :
 

U

,
 
2 


 I     

2  

  U   I ,

  U   I.
(23)
Тогда система (22) примет вид:
 
   p1  p2  

   p2  p1  
 
где p1 
1 
R

G

,

 
2 2
p2 
1 
R
 G    .
2 2


2

2
f,
(24)
f,
Для решения системы (24) применим неявную конечно-разностную схему
Кранка-Николсона [4], шаблон которой представлен на рис. 5.
Имеем:
 nk 1  nk1 1   f nk1  f nk 1

 

 p1kn 1nk1  p1kn 1nk 1  p2 nk 1  nk1  p2 kn 1  nk 1  ,

2 2
2
 

(25)
 k 1
k
k
k 1


  n   n 1  1  f n 1   f n  p k  k  p k 1  k 1  p k  k  p k 1 k 1 ,
1n 1 n 1
1n
n
2 n 1 n 1
2n
n 


2  2
2


12
где     2z (z – шаг по пространству);
t  z - шаг по времени;
v
nk ,  nk , f nk , p1nk , p2 nk - значения соответствующих функций в момент
времени kt в точке с координатой nz .
nk+1, nk+1
z
k+1

t


k
kn-1

kn+1
z=vt
n-1
n
z
n+1
Рис.5. Шаблон конечно-разностной схемы Кранка-Николсона
Систему (25) можно представить в следующем виде:
z
 k 1

k 1 k 1
k 1 k 1
n  Wn 1  2  p1n n  p2 n  n  ,

  nk 1  Qn1  z  p2 nk 1nk 1  p1nk 1  nk 1  ,


2
z k
Wn1;
2
z k
Qn1   nk1 
Qn1 ;
2
где Wn1  nk1 
Wnk1 
Qnk1 

2

f nk1 
f nk1 

2

f nk 1  p1kn1nk1  p2 kn1  nk1 ;
f nk 1  p1kn1  nk1  p2 kn1nk1 .
2
2
Разрешая систему (26) относительно  nk 1 ,  nk 1 , получаем:
(26)
13

z k 1 
 z k 1  

1  2 p1n  Wn 1  2 p2 n Qn 1

nk 1  
,
2
2
2

 z k 1  z
k 1

1  2 p1n   2  p2 n 




z k 1 
 z k 1  

1

p
Q

p2 n Wn 1
1n  n 1
 k 1 
2
2

.
 n 
2
2
2
 z k 1  z

 p2 nk 1 
1
p1n  


2
2


(27)
Из соотношения (18) следует, что на левом и правом концах линии в любой момент времени выполняются следующие соотношения:
1k  1k 1k ,
 k
k k
  N  N N ,
где 1k 
(28)
R0k  
;
R0k  
RNk  
.
  k
RN  
k
N
Используя соотношения (26) и (28), получаем выражения для искомых
функций на концах линии:
 k 1
Q2
 1 
z k 1 k 1 z k 1

1
p21 1 
p11 ,

2
2

1k 1  1k 1 1k 1
(29а)
 k 1
WN1


 N
z k 1 k 1 z k 1

1
p2 N  N 
p1N ,

2
2

  Nk 1  Nk 1Nk 1
(29б)
Таким образом, используя соотношения (27), (29а), (29б), (23) и учитывая,
что  n0   n0  0 для всех n, можно определить значения U и I в любой точке линии в любой момент времени. Условие устойчивости для данной конечноразностной схемы выглядит следующим образом:
14
z  vt ,
(30)
где z - шаг по пространству;
t - шаг по времени;
v – скорость распространения электромагнитной волны в линии

c
1
 эл
 v 
Lкаб C
0 0


 .

3. Задание исходных данных для расчета
Для расчета параметров электромагнитной наводки в коаксиальной кабельной линии при воздействии импульса ионизирующего излучения необходимо задание следующих исходных данных.
1. Параметры и характеристики кабельной линии:
 радиус жилы (см);
 радиус оплётки (см);
 длина (см);
 погонное сопротивление жилы и оплётки (с/см);
 электрическая проводимость материала изоляции (1/с);
 относительная диэлектрическая проницаемость изоляции;
 относительная магнитная проницаемость изоляции.
2. Параметры и характеристики воздействия:
 амплитудное значение погонного радиационно-стороннего тока,
 заряд SGS 
натекающего на жилу кабеля 
;
 см  с 
 объёмная плотность заряда в диэлектрической изоляции между
 заряд SGS 
оплёткой и жилой 
;
см3


 временная зависимость погонного радиационно-стороннего тока,
натекающего на жилу кабеля.
3. Требуемые параметры расчета:
 количество ячеек по длине кабеля;
 временной шаг записи результатов расчета на диск;
 шаг записи результатов расчета по длине кабеля.
15
4. Тестирование численной методики
Тестирование методики производилось на решении модельных задач
электродинамики. Были проведены расчёты задач зарядки и разрядки кабельных линий, результаты сопоставлялись с аналитическими решениями.
Зарядка кабельной линии неравномерным потоком ионизирующего излучения. Кабель (длина 100 см, радиус жилы 0.04 см, радиус оплётки 0.2 см, относительная диэлектрическая проницаемость изоляции 2.5, концы разомкнуты)
облучается неравномерным по длине потоком ионизирующего излучения, который создаёт следующий погонный ток, натекающий на жилу кабеля:
I жил (t , z ) 
2 o
f t  g ( z) ,
rопл


ln 

 rжил 
где  = 8.85410-12 Ф/м;
o =2.5;
rопл = 0.2 см;
rжил = 0.04 см;
t / to , при 0  t  to ;

f (t )    t  to 
, при to  t  2to ;
1  t

o
g( z)  2z
Lкаб
;
Lкаб = 100 см.
Результаты расчёта показали, что течение процесса зарядки кабеля полностью соответствует классическим представлениям [5], выход на стационарный режим завершает процесс перезарядки кабеля, в результате которой
напряжение между жилой и оплёткой становится одинаковым по всей длине
кабеля. Присутствуют колебания, обусловленные резонансом, вызванным переотражением электромагнитной волны от разомкнутых концов кабеля (полупериод колебаний соответствует времени прохождения волны по кабельной
линии).
Разрядка кабельной линии на согласованную нагрузку. Кабель (длина 100
см, радиус жилы 0.04 см, радиус оплётки 0.2 см, относительная диэлектрическая проницаемость изоляции 2.5, концы разомкнуты) имеет разность потенциалов между жилой и оплёткой 1 В. В момент времени t = 0 правый конец кабеля
16
замыкается на активную нагрузку 61 Ом, равную волновому сопротивлению
кабеля. Процесс разрядки кабеля полностью совпадает с классическим аналитическим решением [6].
ЛИТЕРАТУРА
1. А.М. Волощенко, С. В. Гуков, В. В. Шаховский «Исследование радиационного воздействия на коаксиальный антенный кабель», Сборник докладов
Всероссийской конференции «Радиационная стойкость электронных систем
– СТОЙКОСТЬ - 2002», г. Лыткарино Московской обл., 2002 г.
2. Л. Д. Ландау, Е.М. Лившиц «Теоретическая физика. Теория поля» - М.:
«Наука», 1988 г.
3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики» - М.:
«Наука», 1986 г.
4. Д. Поттер «Вычислительные методы в физике» М.: «Мир», 1975 г.
5. В. И. Вольман, Ю. В. Пименов «Техническая электродинамика» - М.:
«Связь», 1971 г.
6. Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов «Основы теории
цепей» - М.: «Энергоатомиздат», 1989 г.