Специальные главы численных методов

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики
Национального исследовательского университета
"Высшая школа экономики"
Программа дисциплины
«Специальные главы численных методов»
по специальности 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность», направление подготовки 10.06.01 «Информационная безопасность»
подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
Автор программы:
Четвериков В.М., д.ф.-м.н., профессор, vchetverikov@hse.ru
Одобрена на заседании Академического совета аспирантской школы по техническим наукам
«09» октября 2014 г.
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и
другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям
и умениям аспиранта по направлению подготовки 10.06.01 «Информационная безопасность» профиля 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, и аспирантов
направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность».
Программа разработана в соответствии c:
 Образовательным стандартом НИУ ВШЭ по направлению подготовки 10.06.01 «Информационная безопасность»;
 Образовательной программой 10.06.01 «Информационная безопасность» подготовки
аспиранта.
 Учебным планом подготовки аспирантов по направлению 10.06.01 «Информационная
безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность», утвержденным в 2014 г.
2. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Специальные главы численных методов» являются освоение
аспирантами методов исследования численных методов математических моделей с помощью пакета
MathCad. В процессе изучения дисциплины обучающиеся получают знания основных методов формализации моделей в пакете MathCad, приобретают навыки символьного и численного решения
прикладных задач, навыки самостоятельного изучения отдельных тем дисциплины.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины аспирант должен:
Знать
Уметь






Основные методы построение моделей в пакете MathCad;
Методы символьного решения отдельных задач;
Методы представления решения в табличном и графическом виде;
Основные численные методы решения систем алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений.
записывать формальную математическую постановку рассматриваемой модели;
составить план последовательного решения отдельных простых задач, позволяющий ответить на поставленные вопросы;
 применить теорию о возможном существовании и единственности рассматриваемой задачи
 применить методы математического анализа, линейной алгебры и обыкновенных дифференциальных уравнений;
 использовать встроенные инструменты пакета MathCad и подбирать наиболее удобные
для ответа на поставленные вопросы.
Иметь навыки (приобрести опыт)
 математической формализации моделей;
 символьного и численного решения отдельных задач;
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре

графического исследования полученных решений при изменении параметров модели.
Дисциплина «Специальные главы численных методов» способствует формированию у обучающихся следующих компетенций:
Компетенция
(указываются в соответствии с ОС НИУ ВШЭ)
Код по ОС Дескрипторы – основные
НИУ
признаки освоения (показаВШЭ
тели достижения результата)
Готовность участвовать
в работе российских и
международных исследовательских коллективов по решению научных
и
научнообразовательных задач.
Способность планировать
и решать задачи собственного
профессионального и личностного
развития
УК-6
Способность разрабатывать и исследовать методы защиты локальной и
удаленной вычислительных сетей
ПК-4
Способность проводить
анализ безопасности информационных систем с
использованием
отечественных и зарубежных
стандартов в области
компьютерной безопасности
Способность формулировать научные задачи в области обеспечения информационной безопасности, применять для их
решения
методологии
теоретических и экспериментальных научных исследований
ПК-5
УК-8
ОПК-1
Демонстрирует
готовность участвовать в работе российских и международных исследовательских коллективов по
решению научных и
научно-образовательных
задач.
Демонстрирует
готовность использовать современные методы и технологии научной коммуникации на государственном и иностранном
языках.
Демонстрирует способность выполнять теоретические и экспериментальные исследования в
области математических
методов защиты информации.
Демонстрирует способность выполнять теоретические и экспериментальные исследования в
области математических
методов защиты информации.
Демонстрирует способность
самостоятельно
осуществлять
научноисследовательскую деятельность в области защиты информации с использованием современных физических методов
исследования и информационно-коммуникационных технологий.
Способность к разра- ОПК-3 Демонстрирует
способботке новых методов исность к разработке но-
Формы и методы обучения, способствующие формированию и
развитию компетенции
Лекционные занятия. Самостоятельная работа по изучению литературы и источников.
Лекционные занятия. Самостоятельная работа по изучению литературы и источников.
Лекционные занятия. Самостоятельная работа по изучению литературы и источников.
Лекционные занятия. Самостоятельная работа по изучению литературы и источников.
Лекционные занятия. Самостоятельная работа по изучению литературы и источников.
Лекционные занятия. Самостоятельная работа по изуче-
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
следования и их применению
в
самостоятельной профессиональной научно-исследовательской деятельности.
вых методов исследования и их применению в
самостоятельной
профессиональной научноисследовательской деятельности.
нию литературы и источников.
4. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к дисциплинам по выбору программы подготовки научных и
научно-педагогических кадров.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих базовых дисциплинах:
 Математика
 Иностранный язык
Для освоения учебной дисциплины, аспиранты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:
 способность планировать и решать задачи собственного профессионального и личностного
развития (УК-6).
5. Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
Название раздела
Основные методы формализации моделей
в пакете MathCad
Решение алгебраических задач в пакете
MathCad
Аналитическое решение простейших дифференциальных уравнений
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений в пакете
MathCad
Итого
Всего
часов
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
Самостоятельная
работа
38
5
5
28
38
5
5
28
38
5
5
28
38
5
5
28
152
20
20
112
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
6. Формы контроля знаний
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Форма контроля
Контрольная
работа
Итоговый
Домашнее
задание
Экзамен
1 год
1
*
Параметры **
2
работа в пакете MathCad на 120
минут, 5 задач.
*
Устный экзамен с защитой выполненного ранее домашнего задания
*
6.1. Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
В 1 модуле выдается контрольная работа по разделу 2 «Решение алгебраических задач в пакете
MathCad».
Во 2 модуле обучающиеся выполняют домашнее задание по разделу 4 «Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений в пакете MathCad».
Самостоятельная работа
В течение 1-2 модулей обучающиеся получают регулярно небольшие задания, выполнение которых
учитывается в оценке за самостоятельную работу.
Структура контрольной работы «Система линейных алгебраических уравнений»
Задание предварительное (домашняя заготовка)
Создать двумерную таблицу из двух строчек. Количество столбцов таблицы равно количеству букв в фамилии и имени (без пропуска между ними) в русской транскрипции в именительном
падеже.
В первой строчке записать свою фамилию и имя по одной букве в каждой клетке.
Во второй строчке написать под каждой буквой первой строчки ее номер по алфавиту, согласно приведенной таблице
А
Е
Ё
3
4
5
6
7
Ж
З
10
И
11
Й
12
К
13
Л
14
М
9
Н
16
О
17
П
18
Р
19
С
20
Т
21
У
15
Ф
23
Х
24
Ц
25
Ч
26
Ш
27
Щ
28
Ъ
22
Ы
30
Ь
31
Э
32
Ю
33
Я
-
-
29
1
2
8
Б
В
Г
Д
Созданная двумерная таблица будет Вашим персональным кодом, на котором будет строиться Ваше задание: коэффициенты системы уравнений. Размеры матриц задаются на контрольной работе в аудитории.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
Задача 1.
1
Для заданных матрицы A и столбца b с помощью вычисления обратной матрицы A
найти решение линейной системы алгебраических уравнений A  x  b .
Задача 2.
Для заданных матрицы AA и столбца bb с помощью оператора lsolve
найти решение линейной системы алгебраических уравнений AA  x  bb
Задача 3.
Для заданных матрицы AA и столбца bb с помощью оператора Find
найти решение линейной системы алгебраических уравнений AA  x  bb
Задача 4.
Для заданных матрицы AAA (2х3) и столбца bbb (2х1) с помощью символьного вычисления оператора Find ( x, y, z ) найти решение линейной системы алгебраических уравнений
 x
AAA  u  bbb , где столбец u   y 
z
 
Задача 5.
Для заданных матрицы  и столбца  с помощью оператора lu () представить линейную
систему алгебраических уравнений   q   в виде P  L  U  q  P   .
Здесь P матрица перестановок строк (состоящая из нулей и единиц), L - нижняя треугольная матрица, U - верхняя треугольная матрица. Решение q представить в виде решения двух последовательно решаемых задач:
1) L  v  P   (найти v любым способом)
2) U  q  v (полученный столбец v использовать для нахождения q любым способом).
Структура домашней работы «Решение линейного дифференциального уравнения»
Для группы КМ11 (осень 2014)
Задание предварительное (домашняя заготовка)
Создать двумерную таблицу из двух строчек. Количество столбцов таблицы равно количеству букв в фамилии и имени (без пропуска между ними) в русской транскрипции в именительном
падеже.
В первой строчке записать свою фамилию и имя по одной букве в каждой клетке.
Во второй строчке написать под каждой буквой первой строчки ее номер по алфавиту, согласно приведенной таблице
А
Е
Ё
3
4
5
6
7
Ж
З
10
И
11
Й
12
К
13
Л
14
М
9
Н
16
О
17
П
18
Р
19
С
20
Т
21
У
15
Ф
23
Х
24
Ц
25
Ч
26
Ш
27
Щ
28
Ъ
22
1
2
8
Б
В
Г
Д
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
29
Ы
30
Ь
31
Э
32
Ю
33
Я
-
-
Созданная двумерная таблица будет Вашим персональным кодом, на котором будет строиться Ваше задание: коэффициенты  ,  ,  , A, B, u0 , v0 , cos(  t ) или sin(  t ) в зависимости от
четности восьмой цифры.
Ф

а
м


и
л
цифры
А
B
и
u0
я
v0
И
м
Важна
только четность
числа
четн
нечетн
cos(  t )
я
sin(  t )
Ниже приводится формальное аналитическое решение задачи, которую надо решить численно
в пакете MathCad с помощь оператора Given (используя логическое равенство для уравнений и
начальных условий) и оператора odesolve(t,60/  , step) для тех значений параметров, которые получаются из вышеприведенной таблицы. Результаты вычислений представить графически и сравнить
с вычислением по приведенным ниже аналитическим формулам.
Задача
Найти аналитическое решение задачи Коши для дифференциального уравнения:
 d2

cos(  t ) 
d
  B t  0,
 2       u (t )  A  
dt
 sin(  t ) 
 dt

du
u (0)  u0 ,
|t 0  v0 .
dt
(1)
Аналитическое решение задачи (1) разобьем на несколько этапов.
Этап 1. Заметим, что в силу линейности исходного уравнения, можно легко решить вспомогательную задачу для комплексной функции Q(t ) :
 d2

d
i t





 2
 Q(t )  A  e  B t  0, i  1,
dt
 dt

dQ
Q(0)  u0 ,
|t 0  v0 ,
dt
(2)
а затем, взяв от этого решения действительную часть, получим решение исходной задачи для
случая, когда в правой части (1) стоит cos(  t ) :
u (t )  Re Q(t )
(3)
Для случая, когда в правой части (1) стоит sin(  t ) , то легко свести эту задачу к предыдущей, если заметить, что

sin(  t )  cos(  t  ) .
2
(4)
Следовательно, изменение в задаче (2)

A  A  exp(i ) ,
2
(5)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
приведут к задаче
 d2

d
 i t
 2       Q(t )  A  exp(i )  e  B t  0, i  1,
dt
2
 dt

Q(0)  u0 ,
(6)
dQ
|t 0  v0 ,
dt
и решение задачи (1), содержащей sin(  t ) в правой части может быть представлено в виде:
u (t )  Re Q(t )
(7)
Нетрудно заметить, что если мы знаем решение задачи (2), то сделав в ней замену (5), мы получим решение задачи (6).
Итак, мы видим, что решение исходной задачи (1) свелась к нахождению комплексного решения задачи (2).
Этап 2. Поскольку задача (2) является (также как и исходная задача (1)) линейной, то, по общим правилам для линейной задачи, будем искать решение вспомогательной задачи (2) в виде
суммы частного решения q(t ) неоднородного дифференциального уравнения (первая строчка в задаче (2), начальные условия игнорируются)
 d2

d
i t





 2
 q (t )  A  e  B t  0, i  1,
dt
 dt

(8)
и общего решения w(t ) однородного уравнения
 d2

d
 2       w(t )  0 t  0,
dt
 dt

(9)
которое должно содержать столько произвольных констант, сколько начальных условий было в исходной задаче (2). Другими словами, ищем решение задачи (2) в виде
Q(t )  q(t )  w(t ) .
(10)
Этап 3. Ищем решение уравнения (8) в виде, похожем на правую часть уравнения (8), но содержащем произвольные константы:
(11)
q(t )  q1  ei t  q0 , q0 , q1  const
Дифференцирование функции (11) приводит к
d
q(t )  q1  (i   )ei t ;
dt
d2
q(t )  q1  (i   ) 2 ei t
2
dt
(12)
Подставляя (11) и (12) в левую часть уравнения (8) получим
 d2

d
2
i t
 2       q(t )   (i   )    (i   )     q1  e    q0
dt
 dt

(13)
Поскольку левые части уравнений (8) и (13) равны, то должны быть равны и левые части
(если наше представление решения в виде (11) правильно). Отсюда мы определяем неизвестные
константы:
[(i   )2    (i   )   ]  q1   A
B
A
(14)

     q0  , q1 
2
B





i






q
0

  
Таким образом, формулы (11) и (14) дают нам частное решение q(t ) неоднородного уравнения (8).
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
q(t ) 
A
B
i t

e

   2  i   

(15)
Этап 4. В качестве кандидата на решение однородного уравнения рассмотрим функцию
exp(  t ) , где  константа, подлежащая определению. Это является стандартным шагом для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Очевидно, что из (9)
 d2
  t
d
2
 t
(16)
 2       e  (       )  e  0, t  0
dt
 dt

Равенство (16) выполняется для любого t , если константа  является корнем квадратичного
алгебраического уравнения
( 2       )  0,  1,2  0,5  (   2  4   )
(17)
Уравнение (17), определяющее показатели экспоненты  , носит название характеристического уравнения для дифференциального уравнения (9).
Поскольку дифференциальное уравнение (9) линейно, то общее решение (9) будет равно линейной комбинации из двух экспонент
(18)
w(t )  C1  exp( 1  t )  C2  exp( 2  t ), C1, C2  const
Этап 5. Очевидно по построению, что сумма (10) полученных решений q(t ) (равенство (15))
и w(t ) (равенство (18)) удовлетворяет для любого t исходному дифференциальному уравнению в
задаче (2), и у нас есть две произвольные константы C1 , C2 , которые надо подобрать такими, чтобы
выполнялись начальные условия в задаче Коши (2):
Q(0)  q (0)  w(0) 
A
B
  C1  C2  u0 ,
    i    
2
dQ(t )
Ai 
|t 0 
 C1   1  C2   2  v0 .
dt
   2  i   
(19)
Система двух линейных алгебраических уравнений относительно C1 , C2 , вытекающая из равенств (19)
1 1
C   f 
M   1    1 , M  
,


1
2
 C2   f 2 


B
A
f1  u0  
,
    2  i   
Ai 
f 2  v0 
.
   2  i   
(20)
Система (20) имеет, как известно, единственное решение, если det M   2   1  0 . С помощью пакета MathCad можно легко вычислить
  2 1
M 1  ( 2   1 )1  

  1 1 
Другими словами, если корни характеристического уравнения различны (нет кратных корней),
то существует единственное решение задачи Коши (2).
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
Q(t ) 
A
B
 t
 t
ei t   C1e 1  C2e 2 ,
    i   

2
C1  ( 2   1 ) 1 ( 2  f1  f 2 ),
(21)
C2  ( 2   1 ) 1 ( 1  f1  f 2 ).
Следовательно, существует единственное решение и задачи (1) в виде (3).
Этап 6. Действительная часть комплексной функции Q(t ) (см. формулу (21)) представима в
виде трех действительных слагаемых:
A
 t
 t
(22)
ei t }  Re{C1e 1  C2e 2 }

    i   
1
Первое слагаемое - очевидно действительное число B   , второе слагаемое представимо в
Re Q(t ) 
B
 Re{
2
виде
A
A  [    2  i     ] i t
i t
Re{
e }  Re{
e }
   2  i   
(    2 ) 2  (   ) 2
1
A  [(    2 ) 2  (   ) 2 ] 2 exp(i   ) i t
 Re{
e }
(    2 ) 2  (   ) 2
1
 Re{ A  [(    2 )  (   ) 2 ]
1
 A  [(    2 )  (   ) 2 ]
tg  
2
2 i(   t  )
e
}
(23)
cos(  t   ),
 
.
  2
Интерпретация слагаемого (23) в (22) является следующей. Осциллирующее с частотой 
слагаемое A  cos(  t ) в правой части (1) соответствует слагаемое (23) в решении и представляет
собой также осциллирующее с частотой  функцию. Эта функция имеет амплитуду
Q0  A  [(    2 )2  ( )2 ]0,5 и зависимость от времени имеет вид cos(  t ) , сдвинутого по фа-
 . Нетрудно догадаться, что если в правой части (1) стоит
A  sin(  t )  A  cos(  t  0,5   ) вместо A  cos(  t ) , то во втором слагаемом (23) появится
дополнительный сдвиг по фазе на 0,5   .
Если рассматривать амплитуду Q0 как функцию параметра  (частоты изменения правой
2
2
2
части (1)), то она имеет явный максимум при     0,5   при   2   . При   0 очевид1
но Q0  A   (сравнить с первым слагаемым в (22)), а при    амплитуда Q0  0 .
зе
на
величину
Этап 7. Вид третьего слагаемого в (22) существенно зависит от величины дискриминанта ха2
рактеристического уравнения (17) Д    4   .
Если Д  0 , то оба характеристического числа
 1 и  2 действительны и поэтому операция
взятия действительной части в третьем слагаемым в (23) связано лишь с комплексными параметрами f1 , f 2 . Если оба характеристического числа отрицательны, то третье слагаемое в (22) экспоненциально убывает со временем, что означает, что система, описываемая уравнением (1) «забывает»
со временем начальные условия. В этом случае при больших временах в решении задачи Коши (1)
остаются только первые два слагаемых, определяемых зависимостью от времени правой части
уравнения (1). Если хотя бы одно из характеристических чисел положительно, то «забывание» си-
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
стемой начальных условий не происходит. Формально при этом третье слагаемое в (22) при больших временах экспоненциально возрастает. Это свидетельствует о том, что данная линейная модель
(1) скорее всего не адекватна наблюдаемой системе.
Если Д  0 , то два характеристических числа  1 и  2 являются комплексно сопряженными,
причем Re  1,2  0,5   . Поэтому при
  0 третье слагаемое в (22) экспоненциально убывает
со временем, осциллируя при этом с частотой 0,5   Д . Если в модели (1)   0 , то третье слагаемое в (22) со временем t экспоненциально растет, осциллируя. Это свидетельствует о том, что
данная линейная модель (1) скорее всего не адекватна наблюдаемой системе при больших временах.
Этап 8. На этапе 5 мы обнаружили, что существует единственное значение параметров  , 
при котором
(24)
Д 2  4   0
 1   2 . При совпадении двух характеристических чисел формулы (21) не
работают, поскольку величина  1   2 стоит в знаменателе выражений для C1 , C2 .
и, следовательно,
1
Существуют два способа преодоления этой трудности. Математики предлагают для случая
  2 построить специальную теорию. Физики часто используют предельный переход: предпо-
 1  0,5     ,  2  0,5     , а  - бесконечно малая величина, они пользуются правильными при   0 формулами (21), в которых рассматривают предельный переход   0 .
лагая, что
Конечные результаты обоих способов вычислений совпадают. Второй способ легко реализовать в
пакете MathCad с помощью символических вычислений.
Примечание. В некоторых версиях MathCad для выполнения предельного перехода рекомендуется везде вместо  писать какую-нибудь другую букву, например y .
 1 : 0,5     ,  2 : 0,5    
C1 : ( 2   1 ) 1 ( 2  f1  f 2 ),
C2 : ( 2   1 ) 1 ( 1  f1  f 2 ).
U ( ) : C1e
 1t
 C2 e
 2 t
lim U ( )  e 0,5 t  [ f1  0,5    t  f1  t  f 2 ]
 0
Итак, при выполнении соотношения (24), вместо линейно комбинации двух экспонент
C1e
 1t
 C2 e
 2 t
в решении (21), следует писать
w(t )  e0,5 t  [ f1  0,5    t  f1  t  f 2 ]
(25)
Решение (21) в этом случае будет иметь вид
A
B
ei t   w(t ) ,
    i   

где w(t ) определяется формулой (25).
Q(t ) 
2
6.2. Порядок формирования оценки по дисциплине
Итоговая оценка по дисциплине вычисляется по формуле
Z(итоговая)=0,2* Z(накопл_итоговая)+0,8*Z(экзамен итоговый).
(26)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
Если накопленная оценка Z(накопл_2) не ниже 7 баллов, преподаватель вправе освободить от сдачи
промежуточного экзамена, с выставлением им в экзаменационную ведомость соответствующего
числа баллов (7, 8, 9, 10 баллов). Обучающийся может отказаться и сдавать экзамен.
Оценка на экзаменах выставляется по 10-бальной шкале. Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:
0 - 3 б - неудовлетворительно,
4 - 5 б - удовлетворительно,
6 - 7 б - хорошо,
8 - 10 б - отлично.
7. Содержание дисциплины
Раздел 1. Основные методы формализации моделей в пакете MathCad.
Тема 1. Задачи линейной алгебры и их формализация в пакете MathCad. Символьное решение задач линейной алгебры. Численное решение задач линейной алгебры. Единственность и не
единственность решения.
Тема 2. Табличное и графическое представления численных решений задач линейной алгебры.
Раздел 2. Решение алгебраических задач в пакете MathCad
Тема 3. Анализ численных решений системы алгебраических уравнений при изменении параметров. Комплексные числа и их представление в пакете MathCad. Корни полинома n-ой степени
и явление бифуркации.
Тема 4.Задача определения собственных чисел и собственных векторов матриц. Случай простых и кратных корней. Возможности символьного и численного решения указанных задач в пакете
MathCad.
Раздел 3. Аналитическое решение простейших дифференциальных уравнений
Тема 5. Метод разделения переменных и использование символьных вычислений производных и интегралов в пакете MathCad.
Тема 6. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Условия существования и единственности решения (без доказательства).
Тема 7. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения n-ого порядка и система n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Раздел 4. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений в пакете MathCad
Тема 8. Задача Коши для неоднородного линейного обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка. Случай отсутствия кратных корней. Аналитическое решение
Тема 9. Задача Коши для неоднородного линейного обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка. Предельный переход для случая кратных корней. Аналитическое решение
Тема 10. Численное решение задачи Коши и иллюстрация качественного и количественного
изменения решения при изменении параметров исходной задачи. Табличное и графическое представление решения.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Специальные главы численных методов» для направления 10.06.01 «Информационная безопасность», профиль 05.13.19 «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность» подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
8. Образовательные технологии
Занятия по курсу проходят в форме лекций и практических занятий. На практических занятиях преподаватель демонстрирует методы решения задач, а также разбираются некоторые примеры из домашнего задания, которые вызвали проблемы у обучающегося при самостоятельном решении. Для достижения хороших результатов при изучении дисциплины обучающимся необходимо
самостоятельно дома решать задания, выданные преподавателем, а также разбирать материалы лекций или соответствующие темы в рекомендованных учебниках. Отдельные темы предлагаются для
самостоятельного изучения. На занятиях обучающиеся выступают с сообщениями по заданной теме.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Базовый учебник
1. Поршнев, С. В. Численные методы на базе Mathcad. СПб. БХВ-Петербург, 2012. - 450 с.
Основная литература
2. Калиткин, Н. Н. Численные методы. СПб. БХВ-Петербург, 2011. - 586 с
3. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. Едиториал УРСС, 2000. - 320 с.
4. Электронная документация в пакете MathCad.
Дополнительная литература
6. Андронов, А. А. Теория колебаний. М. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 568 с.
Программные средства
Для успешного освоения дисциплины используются следующие программные средства:
 Microsoft Excel,
 Mathcad.
Дистанционная поддержка дисциплины
Домашние задания отправляются по e-mail. Выполненные задания аспиранты отправляют
преподавателю, он осуществляет их предварительную проверку.