Тема 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Тема 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Семинар 1.1. Соотношение между событиями.
Вероятность события и способы ее определения
Событием называется результат некоторого опыта. Событие
называется случайным, если в данном опыте оно может наступить, но может и не наступить. Случайные события обозначаются
буквами А, В, С, … Событие U называется достоверным, если в
данном опыте оно обязательно наступит. Событие V называется
невозможным, если в данном опыте оно наступить не может.
Событие А называется частным случаем события В, если при
наступлении А наступает и событие В, что записывается символом А  В.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого, что записывается символом
А=В.
Событие А+В называется суммой событий А и В и наступает
тогда, когда наступает хотя бы одно из этих событий: А или В.
Событие АВ называется произведением событий А и В и
наступает тогда, когда наступают оба из этих событий: А и В.
События А и В называются несовместными, если они не могут наступить вместе в одном и том же опыте, т.е. АВ=V.
Понятия суммы и произведения двух событий очевидны для
случая любого количества событий.
Событие Ā называется противоположным по отношению
к событию А, если при наступлении события Ā событие А не
наступает.
Наиболее простые исходы опыта E1, E2, …, En называются
элементарными исходами, которые образуют полную группу попарно несовместных событий.
Пример 1.1
Опыт состоит в бросании игральной кости:
– событие Аi (i= 1,6 ) – выпадение i очков;
– событие А – выпадение четного числа очков;
– событие В – выпадение нечетного числа очков;
– событие С – выпадение числа очков, кратного 3;
– событие D – выпадение числа очков, большего 3.
Выразите события А, В, С и D через Аi.
Решение:
A  A2  A4  A6 , B  A1  A3  A5 ,
C  A3  A6 ,
D  A4  A5  A6 .
Пример 1.2
Электрическая схема состоит из четырех однотипных элементов, включенных по схеме, представленной на рис. 1.
Выход из строя элемента i (i=1,4 ) –
1
3
событие Аi. Записать через Аi события С и C , если С – разрыв цепи.
Решение:
С  A1 A2  A3 A4 ,
2
4
C  ( A1  A2 )( A3  A4 ).
Рис. 1
Каждому событию А ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А и представляющее количественную меру объективной возможности появления события A при проведении испытания.
Вероятность события A обладает следующими свойствами:
1. 0  P ( A)  1,
2. P (U )  1,
(1)
3. P ( A  B )  P ( A)  P ( B ), если AB  V .
Классический способ определения вероятности
Вероятность Р(А) вычисляется по формуле:
NА
P ( A) 
,
(2)
N
где NA – число равновозможных элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; N – общее
число равновозможных элементарных исходов испытания.
2
Пример 1.3
Из урны, содержащей m белых и n черных шаров, наугад извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар
будет: белым, черным?
Решение:
Введем события А и В – извлекаемый шар будет, соответственно, белым, черным. Тогда числа благоприятствующих этим
событиям исходов, соответственно, равны: NA = m и NB = n.
Общее число равновозможных элементарных исходов N = m + n.
Следовательно:
N
N
m
n
P( A)  A 
, P( B)  B 
.
N mn
N mn
Геометрический способ определения вероятности
Для этого способа вероятность события A определяется по
формуле:
g ( A)
P( A) 
,
(3)
G
где g(A) – мера (длины, площади, объема) области, благоприятствующей появлению события А при проведении испытания;
G – мера всей области элементарных исходов испытания.
Пример 1.4
В круге радиусом R наугад выбирается точка. Определить
вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного
в круг правильного треугольника.
Решение:
Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:
3  3  R2 / 4 3  3
P( A) 

 0,4135.
  R2
4


Пример 1.5. (Задача о встрече)
Двое условились встретиться между 12 и 13 часами дня.
Каждый ждет другого 20 минут, после чего уходит.
Какова вероятность того, что встреча состоится, если
приход каждого в течение часа происходит наугад и моменты
прихода независимы?
3
Решение:
Пусть х и у – моменты прихода договорившихся сторон к
месту встречи; 0  x  1, 0  y  1 (в часах). Тогда условие
1
встречи запишется в виде: x  y  .
3
Эту задачу в данных условияx
y
можно представить геометриче1
ски (см. рис. 2).
Искомая вероятность, оче- 2/3
видно, равна отношению площади
выделенного шестиугольника к
1/3
площади квадрата(1  1):
2
1  2 1 2   2 3
5
P( A) 
 .
1/3 2/3
1
x
1
9
Рис. 2
Статический способ определения вероятности
В качестве меры вероятности Р(А) принимается частота появления события А после проведения n испытаний:
m( A)
P * ( A) 
,
(4)
n
где m(A) – число испытаний, при которых имело место появление
события А.
Чем больше n, тем устойчивее P*(А) стабилизируется относительно Р(А), т.е.:
lim P * ( A)  P( A).
n 
Пример 1.6
Французский ученый Бюффон (1707 – 1788) бросал монету
4040 раз, и при этом герб выпал 2048 раз. Следовательно, частота выпадения герба (событие A) в данной серии испытаний
равна: P * ( A)  2048 4040  0,50693.
4
Пример 1.7
Английский математик Пирсон (1857–1936) бросал монету
24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба (событие A) в данной серии испытаний равна: P* ( A)  12012 24000  0,5005.
Из этих примеров следует, что с увеличением числа бросаний монеты частота выпадения герба стабилизируется относительно числа 0,5, которое и является вероятностью выпадения герба при бросании монеты.
5
Семинар 1.2. Формулы сложения и умножения вероятностей
1. P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB) ;
n
n
i 1
i 1
2. P ( Ai )   P ( Ai ) ,
(5)
(6)
где события Аi (i = 1, n ) попарно несовместны;
3. P( AB)  P( A) P( B A)  P( B) P( A B) ,
(7)
где P( A B) и P( B A) – условные вероятности появления одного
из событий (A или B) при условии, что другое событие (B или
A) наступило в результате испытания;
4. P( AB)  P( A) P( B) ,
(8)
если события A и B независимы, т.е. когда выполняются соотношения: P( A B)  P( A) или P( B A)  P( B) ;
5. Если события Аi (i = 1, n ) зависимы, тогда:
P( A1 A2 An )  P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) P( An A1 A2 An1 ).
Пример 1.8
Из урны, содержащей 6 белых, 4 черных и 2 красных шара,
наугад извлекаются 3 шара. Какова вероятность того, что эти
шары будут одного цвета?
Решение:
1-й способ: Рассмотрим два события А и В – все три извлеченных шара, соответственно, белого и черного цвета, тогда
искомая вероятность определяется по формуле:
P( A  B)  P( A)  P( B) ,
C63
C43
где P ( A)  3 , P ( B )  3 .
C12
C12
n!
С учетом того, что Cnm 
(число сочетаний из n
m!(n  m)!
элементов по m), получим: P( A  B)  6 55 .
2-ой способ: Рассмотрим дополнительно к введенным событиям А и В следующие события:
A1, B1 - выемка первым белого, черного шара,
A2, B2 - выемка вторым белого, черного шара,
A3, B3 - выемка третьим белого, черного шара.
Тогда:
6
6 5 4
5
   ,
12 11 10 55
4 3 2
1
P( B)  P( B1 ) P( B2 B1 ) P( B3 B1B2 )     ,
12 11 10 55
6
P( A  B)  P( A)  P( B)  .
55
P( A)  P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) 
7
Семинар 1.3. Формула полной вероятности и теорема гипотез
(формула Байеса)
Формула полной вероятности:
n
P( A)   P( H i )  P( A H i ) ,
(9)
i 1
где Нi ( i  1, n ) – полная группа попарно несовместных событий,
с каждым из которых происходит событие А.
Пример 1.9
В первой урне находится 7 белых и 3 черных шара, во второй
– 8 белых и 4 черных шара, в третьей – 2 белых и 13 черных шаров. Из этих урн наугад выбирается одна урна, из которой случайным образом извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется белым?
Решение: Рассматриваемое событие А (из выбранной урны
извлечен белый шар) связано с гипотезами (событиями) Н1, Н2,
Н3 о том, что из трех урн, соответственно, выбрана первая,
вторая, третья. Эти гипотезы образуют полную группу попарно
несовместных событий с вероятностями:
1
P ( H1 )  P ( H 2 )  P ( H 3 )  .
3
Условные вероятности P( A H i ), i  1, 2, 3, легко вычисляются классическим способом:
7
2
2
P ( A H1 )  , P ( A H 2 )  , P ( A H 3 )  .
10
3
15
Тогда, используя формулу полной вероятности, получим:
1 7 1 2 1 2 1
P( A)        .
3 10 3 3 3 15 2
Теорема гипотез (формула Байеса):
P( H i )  P( A H i )
P( H i A)  n
, i  1, n .
 P( H i )  P( A H i )
i 1
8
(10)
Пример 1.10
В условиях примера 1.9. найти вероятности того, что из
трех урн была выбрана первая, вторая, третья, если стало известно, что в результате опыта был извлечен белый шар.
Решение: С использованием формулы Байеса получим:
1 3  7 10 7
P( H1 A) 
  0,467 ;
12
15
1 3 2 3 4
P( H 2 A) 
  0,444 ;
12
9
1 3  2 15 4
P( H 3 A) 

 0,089 .
12
45
Из сравнения этих вероятностей можно сделать вывод, что
наиболее вероятно белый шар был извлечен из первой урны.
9
Семинар 1.4. Повторение испытаний
Формула Бернулли:
(11)
Pn (m)  Cnm p m q nm ,
где n – число независимых испытаний, n >1;
m – число появлений события А, 0  m  n ;
р – вероятность появления А в отдельном испытании, которая не меняется от испытания к испытанию;
q = 1 - p.
Наиболее вероятное число появлений события A  k0 :
np  q  k0  np  p .
(12)
Если число (пр + р) не является целым, то k0   np  p  ,
т.е. k0 – целая часть числа (пр + р). Если же (пр + р) – целое число,
то k0 имеет два значения: k 0'  np  q и k 0''  np  p .
Вероятность наступления события A хотя бы один раз:
Pn (m  1)  1  q n .
(13)
Число испытаний, не менее которого достаточно провести,
чтобы с вероятностью, не меньшей чем , можно было бы ожидать наступления события А хотя бы один раз в условиях формулы Бернулли, может быть определена по формуле:
lg(1  )
,
(14)
n
lg(1  p)
Минимальное число таких испытаний равно:
 lg(1  ) 
(15)
n0  
  1.
lg(1

p
)


Пример 1.11
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна
0,8 и не меняется от выстрела к выстрелу.
Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах
будет иметь место:
– ровно два попадания в мишень;
– хотя бы одно попадание.
Решение:
P5 (2)  C52 0,820,23  0,0512 ;
10
P5 (m  1)  1  0,25  0,99968 .
Пример 1.12
Найти наиболее вероятное число выпадений герба при 25 бросаниях монеты.
Решение:
np  p  25  0,5  0,5  13 .
Так как np  p есть целое число, то имеем два значения k0:
k0'  np  q  12 ,
k0''  np  p  13 .
Пример 1.13
Сколько следует провести независимых испытаний при
р = 0,7, чтобы вероятность Р(m  1) была не менее 0,9?
Решение:
lg(1  0,9)
n
 n  2.
lg(1  0,7)
11
Тема 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Семинар 2.1. Законы распределения случайных величин
Случайной величиной называется такая величина, которая в
результате опыта может принять то или иное числовое значение
(из числа возможных) заранее неизвестно какое именно. Случайные величины обозначаются заглавными буквами  X , Y ,  .
Возможные значения случайных величин обозначаются соответствующими малыми буквами.
Различают два основных вида случайных величин: дискретные
и непрерывные. Возможные значения дискретных случайных величин изолированы друг от друга, их количество может быть конечным или счетным. Возможные значения непрерывных случайных
величин полностью заполняют некоторый интервал числовой оси.
Закон распределения дискретной случайной величины может
быть представлен в виде ряда распределения или функции распределения.
Ряд распределения представляет собой таблицу, в которой
содержатся все возможные значения случайной величины и их
вероятности.
Функция распределения задается в следующем виде:
(1)
F ( x)  P( X  x) .
Эта функция для дискретной случайной величины является
неубывающей ступенчатой функцией.
Закон распределения непрерывной случайной величины может быть представлен в виде функции распределения F(x) и плотности распределения  (x ) .
Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины – неубывающая непрерывная функция. Функции F(x) и
 (x ) связаны следующими соотношениями:
x
F ( x) 
 ( x)dx ,
(2)
dF ( x)
.
dx
(3)

( x) 
12
Вероятность попадания возможных значений случайной величины X в интервал  ;   может быть найдена по формуле:
(4)
P(  Х  )  F ()  F () .
Эта формула является общей для дискретных и непрерывных
случайных величин. Для непрерывных случайных величин эта
вероятность может быть вычислена также по формуле:

P(  Х  )   ( x)dx .
(5)

Пример 2.1
По мишени производится 3 независимых выстрела. Вероятности попадания в мишень при первом, втором и третьем выстреле, соответственно, равны: 0,3; 0,4; 0,5. Составить ряд
распределения числа попаданий в мишень.
Решение: Обозначим через Х число попаданий в мишень. Возможные значения этой случайной величины: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2,
x4 = 3.
Для построения ряда распределения Х необходимо найти вероятности этих возможных значений. С этой целью введем события: A1, A2, A3 – попадание в мишень, соответственно, при
первом, втором, третьем выстреле.
P ( X  x1 )  P ( X  0)  P ( A1 A2 A3 )  0, 21;
P ( X  x2 )  P ( X  1)  P ( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 )  0, 44;
P ( X  x3 )  P ( X  2)  P ( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 )  0, 29;
P ( X  x4 )  P ( X  3)  P ( A1 A2 A3 )  0,06.
Ряд распределения:
xi
P(X = x i)
0
0,21
1
0,44
2
0,29
3
0,06
4
 P ( X  x )  1.
i 1
i
Пример 2.2
В условиях примера 2.1. найти аналитический вид функции
распределения F(x) и построить ее график. Определить вероятность попадания возможных значений Х в интервал [1;3).
13
Решение:
0 при x  0,
0,21 при 0  x  1.

F ( x)  0,65 при 1  x  2,
0, 94 при 2  x  3,

1 при x  3.
График F(x) представлен на рис. 9.
F(x)
1
0,94
0,65
P(1x<3)
0,21
x
0
1
2
3
Рис. 9
P(1  X < 3) = F(3) – F(1) = 0,94 – 0,21 = 0,73.
Пример 2.3
Функция распределения случайной величины Х задана в виде:

0 при x  0,



F ( x)  sin x при 0  x  ,
2



1
при
x

.

2
Найти плотность распределения (х), построить графики


функций F(x) и  (х). Определить вероятность P(  X  ) .
6
3
Решение:

0 при x  0 ,

dF ( x) 

( x) 
 cos x при 0  x  ,
dx
2



0
при
x

.

2
Графики F(x) и  (x) представлены на рис. 10 и рис. 11.
14
φ(x)
F(x)
1
S
1
3 1
2
0
π/6
π/3
Рис. 10
π/2
0
π/6
π/3
3 1
2
π/2
Рис. 11

3






3 1
P(  X  )   cos dx  F ( )  F ( )  sin  sin 
.
6
3
3
6
3
6
2

6
Значения этой вероятности представлены на вышеприведенных рисунках.
15
Семинар 2.2. Числовые характеристики случайных величин
В данном учебном пособии рассматриваются две основные
группы числовыx характеристик случайных величин:
1) Характеристики положения:
– математическое ожидание (M[X], mx):
– мода (Мо);
– медиана (Ме);
2) Характеристики рассеивания (разброса):
– дисперсия (D[X], Dx);
– среднее квадратическое отклонение ( x   Dx ).
Математическое ожидание – среднее значение всех возможных значений случайной величины.
Расчетные формулы:
n
M [ X ]   xi P( X  xi ),
(6)
i 1
где X – дискретная случайная величина.

M[X ] 
 x( x)dx,
(7)

где X – непрерывная случайная величина.
Мода случайной величины:
– для дискретной случайной величины X – такое возможное
значение, которому соответствует наибольшее значение вероятности его появления при испытании;
– для непрерывной случайной величины X – такое возможное
значение, которому соответствует наибольшее значение плотности распределения  (x).
Медиана случайной величины X – такое значение случайной
величины, которое определяется из следующего соотношения:
P( X  Me)  P( X  Me)  0,5.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение – характеристики рассеивания (разброса) возможных значений случайной
величины относительно математического ожидания:
D[ x]  M [( X  mx )2 ] .
16
Расчетные формулы:
n
D[ x]   ( xi  mx )2 P( X  xi ) ,
(8)
i 1
где X – дискретная случайная величина,

D[ x] 
 ( x  m ) ( x)dx,
2
x
(9)

где X – непрерывная случайная величина.
Пример 2.4
В условиях примера 2.1. найти значения: mx , Mo, Me, Dx ,  x .
Решение:
mx  0  0,21  1  0,44  2  0,29  3  0,06  1,2 ;
Мо = 1, Ме – не существует,
Dx  (0  1, 2) 2 0, 21  (1  1, 2) 2 0, 44 
 (2  1, 2) 2 0, 29  (3  1, 2) 2 0,06  0,6856,
 x  0,6856  0,828.
Пример 2.5
В условиях примера 2.3. найти значения: mx , Mo, Me, Dx ,  x .
Решение:

mx 
2

x cos xdx 
0
Mo  0, Me 

Dx 

 1,
2

,
6
2
 (x  m )
2
x
cos xdx.
0
Для расчета Dx в данном случае удобнее пользоваться формулой:

Dx  M [ x ]  m 
2
2
x
2

0


x 2 cos dx  mx2  ( ) 2  2  (  1) 2    3,
2
2
 x    3  0,374.
17
Семинар 2.3. Некоторые законы распределения случайных
величин
Дискретные распределения:
1. Биномиальный закон распределения – это закон распределения случайной величины Х – числа появлений события A в n
независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A равна p.
Пусть для заданного целого числа m  0  m  n  Pn(m) обозначает вероятность того, что в n испытаниях событие A наступает ровно
m раз (X = m). Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли:
Pn (m)  Cnm p m q nm ,
mx  np, Dx  npq.
2. Закон распределения Пуассона – это закон распределения
случайной величины Х в условиях биномиального закона распределения при больших n и p – очень малая величина. В этих условиях вероятности Рn(m) определяются по формуле Пуассона:
 m 
P ( m) 
e ,
m!
где   np – среднее число появлений события в n испытаниях.
Для этого распределения mx  Dx    np .
Значения P(m) приведены в Приложении 4.
Пример 2.6
Техническое устройство состоит из 1000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого элемента в
течение времени t одинакова и равна 0,002. Определить вероятность того, что за время t откажут ровно 3 элемента.
Решение:
  np  1000  0,002  2,
23 2
P (3)  e  0,18.
3!
18
Непрерывные распределения:
1. Равномерное распределение
 1
при x   a; b  ,

( x)   b  a
0 при x   a; b  ,

(11)
где a и b – постоянные величины.
0 при x  a,
xa

F ( x)  
при x   a; b  ,
b

a

1 при x  b,
(12)
ab
(b  a) 2
mx 
, Dx 
.
2
12
Графики функций φ(x) и F(x) представлены на рис. 16 и рис. 17.
φ(x)
F(x)
1
ba
1
0
a
b
x
Рис. 16
0
a
b
x
Рис. 17
2. Показательное распределение
(t )  et , t  0,   const ,
F (t )  1  et ,
1
mt  1 , Dt  2 .


(13)
(14)
19
Графики функций φ(x) и F(x) представлены на рис. 18 и рис. 19.
F(t)
φ(t)
1
λ
0
0
t
t
Рис. 18
Рис. 19
3. Нормальное распределение
( x) 

1
 x 2
e
F ( x) 
( x mx )2
2x2
1
x
, х  (-, )
x
e

2

( x  mx ) 2
2x2
dx ,
(15)
(16)

m к – математическое ожидание,
к – среднее квадратическое отклонение.
P(  X  )  (
где ( y ) 
1
y
e

2
0

t2
2
  mx
  mx
)  (
),
x
x
dt  функция Лапласа.
(18)
( y)  ( y) .
(19)
Графики функций φ(x) и F(x) представлены на рис. 20 и рис. 21.
20
(17)
Рис. 20
Рис. 21
Значения Ф(y) табулированы (см. Приложение 3).
В некоторых задачах вместо x используется характеристика
рассеивания Ех (вероятное отклонение), значение которой находится из условия:
 P(| x  mx | Ex )  0,5,

 Ex   2 x ,   0,4769.
(20)
«Правило трех сигм» определяется соотношением:
p(mx  3 x  X  mx  3 x )  1
(0,9973).
(21)
21
Тема 3. СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Семинар 3.1. Законы распределения системы двух случайных
величин
В том случае, когда для исследования случайных явлений приходиться использовать две случайные величины X и Y совместно,
говорят, что имеет место система {X, Y} двух случайных величин.
Возможные значения системы {X, Y} представляют собой случайные точки (x, y) в области возможных значений системы.
Различают дискретные и непрерывные системы в зависимости от типа входящих в них случайных величин.
Закон распределения дискретной системы задается в виде
таблицы или функции распределения.
Таблица распределения системы {X, Y} содержит совокупность величин xi, yj и P(xi,yj), где i  1, n ,
j  1, m ,
P(xi,yj)=P(X=xi,Y=yj), n, m – числа возможных значений случайной величины X, Y, соответственно.
 P( x , y )  1.
i
i
j
j
Функция распределения системы {X, Y} задается в виде:
F ( x, y)  P( X  x,Y  y).
(1)
Закон распределения непрерывной системы {X, Y} может
быть представлен функцией распределения F(x, y) или плотностью распределения φ(x, y):
 2 F ( x, y )
  x, y  
,
(2)
xy
x
y
F ( x, y )    ( x, y )dxdy .
 
(3)
Частные распределения системы {X, Y} – это законы распределения каждой из случайных величин X и Y.
Если X и Y – дискретные случайные величины, то вероятности P(xi) и P(yj), необходимые для нахождения их законов распределения, находятся из таблицы распределения по формулам:
22
n
m
P( xi )   P( xi , y j ) , P( y j )   P( xi , y j ) .
j 1
(4)
i 1
Для непрерывных систем {X, Y} частные плотности распределения имеют вид:

 x ( x) 

 ( x, y)dy и  ( y)   ( x, y)dx .
y

(5)

Условные распределения определяются: условными вероятностями P(xi/yj), P(yj/xi) для дискретных систем {X, Y} и условными плотностями распределения  (x/y),  (y/x) для непрерывных
систем {X, Y}:
P ( xi , y j )
P( xi , y j )
, P ( y j xi ) 
,
(6)
P( xi y j ) 
P ( xi )
P( y j )
( x, y )
( x, y)
( x y ) 
, ( y x) 
.
(7)
 y ( y)
 x ( x)
Условия независимости случайных величин X и Y:
– для дискретных систем
P( x i y j )  P( xi ) , P( y j x i )  P( y j );
(8)
– для непрерывных систем
( x y )   x ( x), ( y x)   y ( y) .
(9)
При выполнении этих соотношений, следует:
(10)
P( xi , y j )  P( xi ) P( y j ),
(11)
( x, y)  x ( x) y ( y) .
Вероятность попадания возможных значений непрерывной
системы {X, Y} в область (D) определяется по формуле:
P({ X , Y })  ( D)   ( x, y )dxdy .
(12)
( D)
Пример 3.1
Закон распределения системы {X, Y} задан таблицей:
yj
xi
-1
1
-1
0
1
1/6
1/8
1/12
1/3
7/24
0
23
Требуется: а) найти частные распределения X и Y; б) условный закон распределения Y при X= -1; в) определить, зависимы ли
величины X и Y?
Решение:
а)
xi
P(xi)
-1
13/24
1
11/24
yj
P(yj)
-1
7/24
0
10/24
1
7/24
б) При Х= -1 случайная величина Y имеет следующий закон
распределения:
yj
P(yj / X = -1)
-1
4/13
0
2/13
1
7/13
в) Так как в безусловном и условном законах распределения
вероятности P(yj) и P(yj / X = -1) различны, то, следовательно,
случайные величины X и Y зависимы.
Пример 3.2
Дана система {X, Y}, равномерно распределенная в квадрате
|x|+|y|1 (см. рис. 22).
Определить: а) частные законы распределения X и Y; б) зависимы ли эти случайные величины?
φx(x)
1
y
1
-1
0
1
x
-1
0
1
x
-1
Рис. 22
Рис. 23
Решение: Закон распределения {X, Y} имеет вид:
1/ 2 при x  y  1,
( x, y )  
 0 при x  y  1.
Плотность  x ( x) при |x|≤1 определяется по формуле:
24
1 x
 x ( x) 
 ( x, y)dy  1  x .
x 1
Тогда (см. рис. 23):
1  x
 x ( x)  
 0
при
x  1,
при
x  1.
Аналогично для (y) получим:
1  y при y  1,
 y ( y)  
при y  1
 0
Так как условие независимости ( x, y)  x ( x) y ( y) не выпол1
няется:  (1  x )(1  y ), то случайные величины X и Y зависимы.
2
25
Семинар 3.2. Числовые характеристики системы
двух случайных величин
К числовым характеристикам системы {X, Y} относятся:
 числовые характеристики случайных величин X и Y: mx,
my, Dx, Dy, σx, σy;
 числовые характеристики условных распределений: mx/y,
my/x, Dx/y, Dy/x, σx/y, σy/x;
 числовые характеристики связи случайных величин: Kxy
и rxy.
Числовые характеристики первой группы определяются по
ранее приведенным формулам.
Числовые характеристики второй группы применительно к
непрерывной системе {X, Y} определяются по формулам:


mx / y 
 x( x
y )dx, my x 


Dx / y 
2
(
x

m
)
( x y )dx, Dy / x 
x
/
y


 y( y
x)dy,
(13)


2
(
y

m
)
( y x)dy.
y
/
x

(14)

Для дискретных систем {X, Y} эти формулы очевидны.
Величины Kxy и rxy являются характеристиками линейной
корреляционной зависимости между X и Y; они определяются зависимостями:
(15)
K xy  M  X - mx  Y - my   ,
где Kxy – корреляционный момент или момент связи между X и Y;
K xy
– коэффициент корреляции между X и Y, -1  rx  1. (16)
rxy 
x y
Коэффициент корреляции характеризует степень линейной
корреляционной зависимости между X и Y.
Под корреляционной зависимостью понимается такая зависимость, когда с изменением одной случайной величины, например X, у другой – Y изменяется ее математическое ожидание
(my/x).
При |rxy|=1 имеет место линейная функциональная связь между X и Y, при rxy=0 случайные величины X и Y некоррелированы.
Если X и Y независимы, то они и некоррелированы. Если
rxy=0, то случайные величины X и Y могут быть зависимы.
26
Пример 3.3
В условиях примера 3.1. определить: mx, my, Dx, Dy, Kxy, rxy.
1
143
7
Решение: mx   , my  0 , Dx 
, Dy  ;
12
144
12
1
K xy  M [ XY ]  mx m y   , rxy  0,33 ,
4
Пример 3.4
В условиях примера 3.2. определить числовые характеристики системы {X, Y}.
Решение:
1
mx   x(1  x )dx  0 ,
1
1
1
Dx   x 2 (1  x )dx  ,
6
1
1
my  0 , D y  ,
6
K xy  M [ XY ]  mx my 
1
xy
dxdy  0,

2
x  y 1
rxy  0 (случайные величины X и Y – некоррелированы).
 1
при y  1  x ,

2(1

x
)
( y x)  
 0
в остальных случаях,

– это плотность равномерного распределения в интервале
(-(1-|x|), (1-|x|))
[2(1  x )]2 (1  x ) 2

my / x  0 , D y / x 
.
12
3
Аналогично можно записать выражения для ( x y), mx/y, Dx/y.
27
Семинар 3.3. Нормальный закон распределения системы
двух случайных величин
В общем случае, когда случайные величины, входящие в систему
{X, Y}, зависимы, плотность нормального распределения имеет вид:
( x, y ) 
1
e

( x mx )( y m y ) ( y m y )2 
( x  mx ) 2
1




2 rxy


2
 x y
2(1r 2 xy )  2



x
y
2 x  y 1  r xy
Частные распределения определяются по формулам:
2
 x ( x) 

1
 x 2

1
 y ( y) 
e
e
( x  mx ) 2
2 2x
.
,
(17)
(18)
( y m y )2
2 2y
.
(19)
,
(20)
,
(21)
 y 2
Условные плотности (x/y) и (y/x) имеют вид нормальных
распределений:
( x y ) 
( y x) 
где mx / y  mx  rxy

1
 x / y 2
( x  mx / y ) 2
e

1
 y / x 2
2 2x / y
( y  m y / x )2
e
2 2y / x
x
( y  m y ),
y
my / x  my  rxy
(22)
y
x
( x  mx ),
 x / y   x 1  rxy2 ,
(24)
 y / x   y 1  rxy2 .
(25)
Если случайные величины X и Y независимы,
( x, y )  x (x ) y ( y ) и плотность ( x, y) принимает вид:
28
(23)
то
2

2
1  ( x  mx ) ( y  m y ) 
 


2
2
2y
  x

1
e
.
(26)
2 x  y
Вероятность попадания нормально распределенной системы
{X,Y} (в случае независимых случайных величин X и Y) в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, определятся с помощью функции Лапласа по формуле:
P(  X  ,   Y  ) 
( x, y ) 
 [ (
  my
  my
  mx
  mx
)  (
)][(
)  (
)]
x
x
y
y
(27)
Пример 3.5
Определить вероятность попадания снаряда в цель, имеющую
форму прямоугольника с координатами центра: xц=10 м, yц =5 м.
Стороны прямоугольника параллельны осям координат и равны:
по оси ox: 2  =20 м, по оси oy: 2k = 40 м. Координаты точки прицеливания: mx=5м, my =5 м. Характеристики рассеивания снарядов
по осям ox и oy, соответственно, равны: σx=20 м, σy =10 м.
Решение: Обозначим площадь прямоугольника через D.
Тогда:
x   mx
x   mx
P({ X , Y }  D)  [( ц
)  ( ц
)] 
x
x
yц  k  my
yц  k  my
[(
)  (
)]  [(0,75)  (0,25)]2(2) 
y
y
 (0,2734  0,0987)0,9544  0,3551.
29
Тема 4. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Семинар 4.1. Закон распределения функции
одного случайного аргумента
Порядок нахождения закона распределения функции Y=y(X),
где X – дискретная случайная величина, представлен в примере 4.1.
Если возможные значения случайных величин X и Y связаны
функциональной зависимостью y=y(x), где y(x) – непрерывна и
дифференцируема, и известен закон распределения случайной величины X- ( x ( x)) , то закон распределения случайной величины
Y- ( y ( y)) для случая, когда y(x) монотонно возрастает или убывает
в диапазоне своих возможных значений, выражается формулой:
dx( y )
.
(1)
 y ( y )   x [ x( y )]
dy
Здесь x(y) – обратная функция.
В том случае, когда функция y(x) имеет n участков убывания
и возрастания, то эта формула записывается в виде:
n
dx ( y )
.
(2)
 y ( y )    x [ xi ( y )] i
dy
i 1
Пример 4.1
Случайная величина X имеет закон распределения:
xi
Pxi
0
0,1
1
0,3
2
0,4
3
0,2

Найти закон распределения случайной величины Y  sin( X )  1.
2

Решение: Находим возможные значения функции sin( X )  1
2
при xi =0, 1, 2, 3.
Они, соответственно, равны: 1, 2, 1, 0. Следовательно, возможными значениями y j являются: 0, 1, 2. Находим вероятности этих возможных значений:
Py1  P( y  0)  P( x  3)  0, 2 ,
30
Py2  P( y  1)  P( x  0)  P( x  2)  0,1  0,4  0,5 ,
Py3  P( y  2)  P( x  1)  0,3 .
Закон распределения Y:
yj
Pyj
0
0,2
1
0,5
2
0,3
Пример 4.2
Найти плотность распределения случайной величины
Y  sin X и построить ее график, если случайная величина X рас  
пределена равномерно на интервале   ,  .
 2 2
Решение: График функции y  sin x представлен на рис. 24.
Случайная величина X имеет следующую плотность распределения:


1/

при
x

,

2
 x ( x)  
0 при x   .

2
Находим обратную функцию
x(y) и ее производную:
y
1
-π/2
0
π/2
x
-1
Рис. 24
x  arcsin y , y [1,1]
dx
1
.

2
dy
1 y
Окончательно получим следующее выражение для плотности  y ( y ) :
31
 1
при y  1,

2
 y ( y)   π 1 - y
0 при y  1.

График этой плотности представлен на рис. 25.
φy(y)
1/π
-1
32
0
Рис. 25
1
y
Семинар 4.2. Числовые характеристики функции случайных
величин
Основные формулы:
M Y  
D Y  

 y( x) ( x)dx,
(3)
  y( x)  my  x ( x)dx,
(4)
x


2


M  Z     z ( x, y )( x, y )dxdy,
(5)
D  Z      z ( x, y )  mz  ( x, y )dxdy,
(6)


2

M C   C , где C  const;
M CX   CM  X  ,
 n
 n
M  X i    M  X i  ,
 i 1  i 1
M  XY   M  X  M Y   K xy ,
 n
 n
M   ai X i  b    ai M  X i   b ,
 i 1
 i 1
D C   0 ,
D CX   C 2 D  X  ,
D  X  Y   D  X   D Y   2 K xy ,
 n
 n
D  X i    D  X i   2 K x x ,
i j
i j
 i1  i1
 n
 n
D  X i    D  X i  ,
 i 1  i1
где Xi – независимые случайные величины, i  i, n ,
 n
 n 2
D  ai X i  b    ai D  X i   2 ai a j K x x ,
i j
i j
 i1
 i1
K xy  M  XY   M  X  M Y  ,
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
33
Для n случайных величин числовые характеристики задаются
совокупностью M  X i , i  1, n и корреляционной матрицей:
K ij 
Dx
1
Kx x
Kx
2 x1
Dx
1 2
Kx x
Kx x
1
1 2
1 n
2
Dx
n x1
Kx x
Dx

2
Kx
Dx
1 n
. (19)
Dx
n
n
Запись K ij в виде треугольной матрицы справедлива, т.к.
kx x  kx x .
i j
j i
Корреляционная матрица может быть представлена в нормированном виде, т.е. матрицей коэффициентов корреляции:
1 rx x
rx x
1 2
rij 
1 n
1
.
(20)
1
Пример 4.3
Определить числовые характеристики случайной величиныU  X  2Y  Z  4 , если mx  0 , my  2 , mz  3 и
1 0 2
K ij 
1 1 .
1
Решение: Случайная величина U есть линейная функция случайных аргументов X, Y и Z. Поэтому с использованием формул
(11) и (17) данного раздела получим:
mu  mx  2my  mz  4  5,
Du  Dx  22 Dy  Dz  2  1(2) K xy  2  1  1K xz  2(2)  1K yz  6.
34
Приложение 1

2  e
6
0,3982
0,3939
0,3857
0,3739
0,3589
0,3410
0,3209
0,2989
0,2756
0,2516
0,2275
0,2036
0,1804
0,1582
0,1374
0,1182
0,1006
0,0848
0,0707
0,0584
0,0478
0,0387
0,0310
0,0246
0,0194
0,0151
0,0116
0,0088
0,0067
0,0050
0,0037
0,0027
0,0020
0,0014
0,0010
0,0007
0,0005
0,0003
0,0002
0,0002
7
0,3980
0,3932
0,3847
0,3725
0,3572
0,3391
0,3187
0,2966
0,2732
0,2492
0,2251
0,2012
0,1781
0,1561
0,1354
0,1163
0,0989
0,0833
0,0694
0,0573
0,0468
0,0379
0,0303
0,0241
0,0189
0,0147
0,0113
0,0086
0,0065
0,0048
0,0036
0,0026
0,0019
0,0014
0,0010
0,0007
0,0005
0,0003
0,0002
0,0002
Таблица значений функции ( x)  1
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0
0,3989
0,3970
0,3910
0,3814
0,3683
0,3521
0,3332
0,3123
0,2897
0,2661
0,2420
0,2179
0,1942
0,1714
0,1497
0,1295
0,1109
0,0940
0,0790
0,0656
0,0540
0,0440
0,0355
0,0283
0,0224
0,0175
0,0136
0,0104
0,0079
0,0060
0,0044
0,0033
0,0024
0,0017
0,0012
0,0009
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
1
0,3989
0,3965
0,3902
0,3802
0,3668
0,3503
0,3312
0,3101
0,2874
0,2637
0,2396
0,2155
0,1919
0,1691
0,1476
0,1276
0,1092
0,0925
0,0775
0,0644
0,0529
0,0431
0,0347
0,0277
0,0219
0,0171
0,0132
0,0101
0,0077
0,0058
0,0043
0,0032
0,0023
0,0017
0,0012
0,0008
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
2
0,3989
0,3961
0,3894
0,3790
0,3653
0,3485
0,3292
0,3079
0,2850
0,2613
0,2371
0,2131
0,1895
0,1669
0,1456
0,1257
0,1074
0,0909
0,0761
0,0632
0,0519
0,0422
0,0339
0,0270
0,0213
0,0167
0,0129
0,0099
0,0075
0,0056
0,0042
0,0031
0,0022
0,0016
0,0012
0,0008
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
3
0,3988
0,3956
0,3885
0,3778
0,3637
0,3467
0,3271
0,3056
0,2827
0,2589
0,2347
0,2107
0,1872
0,1647
0,1435
0,1238
0,1057
0,0893
0,0748
0,0620
0,0508
0,0413
0,0332
0,0264
0,0208
0,0163
0,0126
0,0096
0,0073
0,0055
0,0040
0,0030
0,0022
0,0016
0,0011
0,0008
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
4
0,3986
0,3951
0,3876
0,3765
0,3621
0,3448
0,3251
0,3034
0,2803
0,2565
0,2323
0,2083
0,1849
0,1626
0,1415
0,1219
0,1040
0,0878
0,0734
0,0608
0,0498
0,0404
0,0325
0,0258
0,0203
0,0158
0,0122
0,0093
0,0071
0,0053
0,0039
0,0029
0,0021
0,0015
0,0011
0,0008
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
5
0,3984
0,3945
0,3867
0,3752
0,3605
0,3429
0,3230
0,3011
0,2780
0,2541
0,2299
0,2059
0,1826
0,1604
0,1394
0,1200
0,1023
0,0863
0,0721
0,0596
0,0488
0,0396
0,0317
0,0252
0,0198
0,0154
0,0119
0,0091
0,0069
0,0051
0,0038
0,0028
0,0020
0,0015
0,0010
0,0007
0,0005
0,0004
0,0002
0,0002


x2
2
8
0,3977
0,3925
0,3836
0,3712
0,3555
0,3372
0,3166
0,2943
0,2709
0,2468
0,2227
0,1989
0,1758
0,1539
0,1334
0,1145
0,0973
0,0818
0,0681
0,0562
0,0459
0,0371
0,0297
0,0235
0,0184
0,0143
0,0110
0,0084
0,0063
0,0047
0,0035
0,0025
0,0018
0,0013
0,0009
0,0007
0,0005
0,0003
0,0002
0,0001
9
0,3973
0,3918
0,3825
0,3697
0,3538
0,3352
0,3144
0,2920
0,2685
0,2444
0,2203
0,1965
0,1736
0,1518
0,1315
0,1127
0,0957
0,0804
0,0669
0,0551
0,0449
0,0363
0,0290
0,0229
0,0180
0,0139
0,0107
0,0081
0,0061
0,0046
0,0034
0,0025
0,0018
0,0013
0,0009
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
35
Приложение 2

Таблица значений функции  ( y )  1

y

t2
2
2   e dt
0
y
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,2
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,3
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,4
36
Φ(y)
0
0,004
0,008
0,012
0,016
0,02
0,024
0,028
0,032
0,036
0,04
0,044
0,048
0,052
0,056
0,06
0,064
0,068
0,071
0,075
0,079
0,083
0,087
0,091
0,095
0,099
0,103
0,106
0,11
0,114
0,118
0,122
0,126
0,129
0,133
0,137
0,141
0,144
0,148
0,152
0,155
y
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,5
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,6
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,7
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,8
0,81
Φ(y)
0,1591
0,1628
0,1664
0,17
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,195
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,219
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,258
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,291
y
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,9
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,2
1,21
1,22
Φ(y)
0,2929
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3112
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,334
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,377
0,379
0,381
0,383
0,3849
0,3869
0,3888
y
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,3
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,4
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,5
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,6
1,61
1,62
1,63
Φ(y)
0,3907
0,3925
0,3914
0,3962
0,398
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,437
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
y
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,7
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,8
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,9
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2
2,02
2,04
2,06
2,08
Φ(y)
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,475
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
y
2,1
2,12
2,14
2,16
2,18
2,2
2,22
2,24
2,26
2,28
2,3
2,32
2,34
2,36
2,38
2,4
2,42
2,44
2,46
2,48
2,5
2,52
2,54
2,56
2,58
2,6
2,62
2,64
2,66
2,68
2,7
2,72
2,74
2,76
2,78
2,8
2,82
2,84
2,86
2,88
2,9
Φ(y)
0,4821
0,483
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4908
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,498
0,4981
y
Φ(y)
2,92
0,4982
2,94
0,4984
2,96
0,4985
2,98
0,4986
3
0,49865
3,2
0,49931
3,4
0,49966
3,6
0,499841
3,8
0,499928
4
0,499968
4,5
0,499997
5 0,49999997
Приложение 3

Таблица значений функции P(m)  

m
0
1
2
3
4
5
6
7
8

m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
m
m!  e 
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,904837
0,090484
0,004524
0,000151
0,000004
0,818731
0,163746
0,016375
0,001092
0,000055
0,000002
0,740818
0,222245
0,033337
0,003334
0,000250
0,000015
0,000001
0,670320
0,268128
0,053626
0,007150
0,000715
0,000057
0,000004
0,606531
0,303265
0,075816
0,012636
0,001580
0,000158
0,000013
0,000001
0,548812
0,329287
0,098786
0,019757
0,002964
0,000356
0,000036
0,000003
0,496585
0,347610
0,121663
0,028388
0,004968
0,000696
0,000081
0,000008
0,449329
0,359463
0,143785
0,038343
0,007669
0,001227
0,000164
0,000019
0,000002
0,406570
0,365913
0,164661
0,049398
0,011115
0,002001
0,000300
0,000039
0,000004
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
0,367879
0,367879
0,183940
0,061313
0,015328
0,003066
0,000511
0,000073
0,000009
0,000001
0,135335
0,270671
0,270671
0,180447
0,090224
0,036089
0,012030
0,003437
0,000859
0,000191
0,000038
0,000007
0,000001
0,049787
0,149361
0,224042
0,224042
0,168031
0,100819
0,050409
0,021604
0,008102
0,002701
0,000810
0,000221
0,000055
0,000013
0,000003
0,000001
0,018316
0,073263
0,146525
0,195367
0,195367
0,156293
0,104196
0,059540
0,029770
0,013231
0,005292
0,001925
0,000642
0,000197
0,000056
0,000015
0,000004
0,000001
0,006738
0,033690
0,084224
0,140374
0,175467
0,175467
0,146223
0,104445
0,065278
0,036266
0,018133
0,008242
0,003434
0,001321
0,000472
0,000157
0,000049
0,000014
0,000004
0,000001
0,002479
0,014873
0,044618
0,089235
0,133853
0,160623
0,160623
0,137677
0,103258
0,068838
0,041303
0,022529
0,011264
0,005199
0,002228
0,000891
0,000334
0,000118
0,000039
0,000012
0,000004
0,000001
0,000912
0,006383
0,022341
0,052129
0,091226
0,127717
0,149003
0,149003
0,130377
0,101405
0,070983
0,045171
0,026350
0,014188
0,007094
0,003311
0,001448
0,000596
0,000232
0,000085
0,000030
0,000010
0,000003
0,000001
0,000335
0,002684
0,010735
0,028626
0,057252
0,091604
0,122138
0,139587
0,139587
0,124077
0,099262
0,072190
0,048127
0,029616
0,016924
0,009026
0,004513
0,002124
0,000944
0,000397
0,000159
0,000061
0,000022
0,000008
0,000003
0,000001
0,000123
0,001111
0,004998
0,014994
0,033737
0,060727
0,091090
0,117116
0,131756
0,131756
0,118580
0,097020
0,072765
0,050376
0,032384
0,019431
0,010930
0,005786
0,002893
0,001370
0,000617
0,000264
0,000108
0,000042
0,000016
0,000006
0,000002
0,000001
37
–x
Приложение 4
Таблица значений функции e
38
x
e-x
x
e-x
x
e-x
x
e-x
0,00
1,000
0,40
0,670
0,80
0,449
3,00
0,050
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,990
0,980
0,970
0,961
0,951
0,942
0,932
0,923
0,914
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,664
0,657
0,650
0,644
0,638
0,631
0,625
0,619
0,613
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,445
0,440
0,436
0,432
0,427
0,423
0,419
0,415
0,411
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
0,045
0,041
0,037
0,033
0,030
0,027
0,025
0,022
0,020
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,905
0,896
0,887
0,878
0,869
0,861
0,852
0,844
0,835
0,827
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,606
0,600
0,595
0,589
0,583
0,577
0,571
0,565
0,560
0,554
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
0,407
0,403
0,399
0,395
0,391
0,387
0,383
0,379
0,375
0,372
4,00
4,10
4,20
4,30
4,40
4,50
4,60
4,70
4,80
4,90
0,0183
0,0166
0,0150
0,0136
0,0123
0,0111
0,0101
0,0091
0,0082
0,0074
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,819
0,811
0,802
0,795
0,787
0,779
0,771
0,763
0,756
0,748
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,549
0,543
0,538
0,533
0,527
0,522
0,517
0,512
0,507
0,502
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
0,368
0,333
0,302
0,273
0,247
0,223
0,202
0,183
0,165
0,150
5,00
5,10
5,20
5,30
5,40
5,50
5,60
5,70
5,80
5,90
0,0067
0,0061
0,0055
0,0050
0,0045
0,0041
0,0037
0,0033
0,0030
0,0027
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,741
0,733
0,726
0,719
0,712
0,705
0,698
0,691
0,684
0,677
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,497
0,492
0,487
0,482
0,477
0,472
0,468
0,463
0,458
0,454
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
0,135
0,122
0,111
0,100
0,091
0,082
0,074
0,067
0,061
0,055
6,00
6,10
6,20
6,30
6,40
6,50
6,60
6,70
6,80
6,90
0,0025
0,0022
0,0020
0,0018
0,0017
0,0015
0,0014
0,0012
0,0011
0,0010
0,40
0,670
0,80
0,449
3,00
0,050
7,00
0,0009