Последовательность независимых однородных испытаний

1.5. Последовательность независимых однородных испытаний.
Схема Бернулли
Рассмотрим стохастический эксперимент, который в свою очередь является
последовательностью n независимых и однородных (одинаковых) испытаний, в
результате каждого из которых может произойти событие
A или ему
противоположное A с вероятностями p и q  1  p. По условию результат
любого испытания не зависит от его порядкового номера и от того, что
pn  m 
Bn  m  ,
произошло до него. Найдём вероятность
события
заключающегося в том, что в результате событие A появится ровно m раз.
Очевидно, интересующее нас событие появится тогда, когда появится одно из
следующих событий:
A1 ... Am  Am1 ... An ;.........; A1 ... Anm ... Anm1 ... An
Здесь выписаны все комбинации из n сомножителей, из которых
m множителей вида A и n  m вида A . Нижний индекс указывает на
порядковый номер испытания. Поскольку Bn  m  произойдёт тогда, когда
произойдёт или первая, или вторая, …, или последняя комбинация, то
Bn  m  A1 ... Am  Am1 ... An  ...  A1 ... Anm ... Anm1 ... An
В этой сумме имеется всего Cnm (или Cnnm ) таких комбинаций, поскольку m
элементов типа A (или n  m элементов типа A ) распределяются по
n позициям. Поскольку все слагаемые в этой сумме попарно несовместны, а
множители в каждом слагаемом независимы, то искомая вероятность будет
равна сумме одинаковых слагаемых, каждое из которых содержит m
множителей p  A  p и n  m множителей p A  q . Учитывая, что всего
 
слагаемых Cnm , в итоге получаем формулу Бернулли:
pn  m  Cnm  pm  qnm.
(1.15)
При выводе этой формулы мы попутно показали, что Cnm  Cnn  m .
Рассмотрим бином Ньютона
 q  p
n
 Cn0  p0  qn  Cn1  p1  qn1  ...  Cnm  pm  qnm  ... Cnn  pn  q0.
(1.16)
Очевидно, pn  m  равна соответствующему слагаемому в разложении бинома
(здесь для общности мы будем полагать C n0 и 0! равными единице). Учитывая,
что  q  p   1, получаем:
n
n
n
pn  m   Cnm  pm  qnm  1.

m0
m0
(1.17)
Вероятность события, заключающаяся в том, что при n испытаниях A
появится не менее m1 и не более m2 , вычисляется по формуле:
pn  m1  m  m2  
m2
Cnm  p m  q nm.

m m
(1.18)
1
Пример 14.
Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0.4. Найти
вероятность того, что из шести сотрудников фирмы заболеет ровно четыре (не
более четырёх).
Решение. Очевидно, имеет место схема Бернулли, где
p  0.4; q  1 p  0.6; n  4; m  4  m  4  ,
поэтому
p6  4  C64  0.44  0.62  6  5  4  3  0.44  0.62  0.138.
1 2  3 4
На второй вопрос можно найти ответ двумя способами, используя теорему о
вероятности противоположного события:
p6  0  m  4  1 p6 5  m  6 
 p6  0  p6 1  p6  2  p6 3  p6  4  1 p6 5  p6  6  0.959.
Во втором случае вычисления проще и эту возможность полезно учитывать
при решении задач.
Пример 15.
Вероятность того, что образец бетона выдержит нормативную нагрузку равна
0,9, Найти вероятность того, что из 7 образцов испытания выдержат : ровно
пять , не менее пяти.
Решение. Очевидно, имеет место схема Бернулли, поэтому
p7 5  C75  0.95  0.12  0.124;
p7 5  m  7   p7 5  p7  6   p7 7   0.974.