Показательно-степенные уравнения. и в показатель степени, и в основание степени. Показательно-степенное

Тема 10. Показательно-степенные уравнения.
Показательно-степенное уравнение - это уравнение, в котором неизвестное входит одновременно
и в показатель степени, и в основание степени.
 ( x)
Например, уравнение вида f ( x)
- показательно-степенное. Для нахождения его
 f ( x)
корней следует решить четыре уравнения:
1) приравниваем показатели (то есть  ( x)  g ( x) ) и находим решения, учитывая что при этом
g ( x)
не должно обращаться в нуль основание f (x ) ;
f (x) =1 (основание равно 1). Решениями будут все значения переменной, если они входят в
область допустимых значений показателей  (x ) и g (x ) ;
f (x) =0 (основание равно 0). Решениями будут те значения переменной, при которых оба
3)
показателя  (x ) и g (x ) положительны;
f (x) =-1 (основание равно -1). Корнями будут те значения переменной x , при которых
4)
2)
(1)  ( x )  (1) g ( x ) , например, показатели  (x ) и g (x ) оба четные или оба нечетные, либо
дроби с четными числителями и нечетными знаменателями и т.д.
Пример.
x 2  x 4
Сумма корней уравнения ( x  1)
 ( x 1) равна 1) 2; 2) 3; 3) 5; 4) 4; 5) 6.
Решение. Данное уравнение относится к показательно-степенным уравнениям, и к нему применима
соответствующая схема решения.
2
 x1  2,
Оба корня

 x 2  3.
2
2
2
2
удовлетворяют уравнению, а именно при x1  2, (3)  (3) ; x 2  3,2  2
2. Полагая основание равным 1, получим x  1  1  x 3  2. Очевидно, что уравнение
1. Из равенства показателей следует x  x  4  2  x  x  6  0
2
2
обращается в тождество.
3. Полагая основание равным 0, получим
x 1  0  x4  1.
уравнения не имеет смысла при x  1, так как получим 0
4. Полагая основание равным -1, получаем
4
4
Очевидно, что левая часть
.
x  1  1  x5  0. При x  0 уравнение
обращается в тождество (1)  (1) . Итак, корнями уравнения являются числа -2; 3; 2; 0.
Следовательно, сумма равна 3 и в качестве ответа выбираем ответ под номером 2).
Ответ: 2.
Решить уравнения.
 x2
1)
( x  3) x
2)
( x 2  x 1) x
3)
x x 1  x x
3
2
4)
( x  3)
x 2 3
5)
( x  3)
x2
6)
x 3
1
2
2
 1.
Ответ: -1; 2; 4.
1
Ответ:  1 ; 2.
 1.
Ответ:
.
 ( x  3) .
2x
Ответ: -1; -2; 3.
 ( x  3) .
Ответ: 0; 1; 2; 3; 4.
 ( x  3) 2 .
Ответ: -1; 2; 3; 4.
x
x2  x
 1 ; 2.
Тема 11. Показательные неравенства.
Используя методы решения показательных уравнений, показательное неравенство свести к
простейшему, вида a
f ( x)
 b (a f ( x )  b).
 a loga b (a f ( x )  a loga b ) и сделать выводы:
1) если a  1 , то f ( x)  log a b ( f ( x)  log a b) и решить это неравенство;
Полученное неравенство записать в виде a
2) если 0  a  1, то
f ( x)  log a b ( f ( x)  log a b) и решить это неравенство.
Примеры.
1) Решить неравенство
f ( x)

2 x
( ) 1 x 
4

4
.
Решение. Основание степени
неравенству

4
меньше единицы, поэтому исходное неравенство равносильно
2 x 1
2 x 1
3x  3
 
 0
 0.
1 x 2
1 x 2
2(1  x)
+
/////////////////////
///////////////////
-1
1
х
Ответ: x  (;1)  (1;) .
2) Решить неравенство 5
2 x 1
 5 x  4.
5 x  t , t  0. Тогда исходное неравенство примет вид
5t 2  t  4  0. Решением этого неравенства является множество t  (;0,8)  (1;). С учетом
Решение. Введем новую переменную
условия
t  0 получаем t  1. Тогда 5 x  1,5 x  5 0 , x  0.
Ответ: x  0.
x 2 10 x  25
1
3 ( )
3
3) Решить неравенство
 9.
x 2 7 x
1
Решение.

Запишем
неравенство
x 2  10 x  25
 2 
x 2  7x
1

2
в
виде
1  
( ) 2
3
x 2 10 x  25
x 2 7 x
1
 ( ) 2 
3
( x  5) 2
x 2  10 x  25
x 2  10 x  25


1
,
5


0

 0.
x( x  7)
x 2  7x
x 2  7x

+
+
/////////////////////
/////////////////
0
5
7
х
Ответ: x  (;0)  5  (7;).
3) Решить неравенство

( 11  4 7  2  3 )  ( 7  3 )
x
3
x2
.
Решение. Найдем связь между основаниями
7  4 7  4  2  3  ( 7  2) 2  2  3 
11  4 7  2  3 
7  2  2  3  7  2  2  3  7  3.
3
Итак, исходное неравенство можно записать в виде
основание.
образом,
x
7 3
для
( 7  3 )( 7  3 )
7 3
показателей
степени

3
x  2x  3

 0.
x2
x2
+
х

5) Решить неравенство
x 2x
2
9 x  4
 1.
7 3
получаем
2
+
/////////////////////
/////////////////////
-3
-2
1
Ответ: x  (;3  (2; 1].
4
( 7  3 ) x  ( 7  3 ) x  2 . Теперь оценим
 1, так как
неравенство
7  2,5; 3  1,5. Таким
противоположного
знака
Решение.
x 2x
2
9 x  4
1
x 2x
2
9 x  4
 x  1,
 2
 2 x  9 x  4  0
0
x 

0  x  1,


2 x 2  9 x  4  0
 x  1,

 x  1

2
 x  4,
 x  4
 1

  x 1
0  x  1
2

 1  x  4
 2
1
Ответ: x  ( ;1)  ( 4;) .
2
Решить неравенства.
5 x 1
1)
4 2 x 1  64.
2)
3 16 x  5  36 x  2  81 x  0.
36 x  7  6 x  6  0.
1 x 1  x 1
 3.
4) ( )  ( )
2
2
3)
4 x  3  2 x  x  41 x .
1
( ) 8 x  81
3
6)
 0.
x 2  2x  5
5)
7)
x 2x
2
7 x 3
 1.
1
( ;2].
2
1
Ответ: (0; ).
2
Ответ: [0;1].
Ответ:
Ответ: [1;0].
Ответ: [0;4].
Ответ: ( 12;).
Ответ:
1
[0; )  (1;3).
2