МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского Факультет компьютерных наук и информационных технологий УТВЕРЖДАЮ ___________________________ "__" __________________2011 г. Рабочая программа дисциплины Математический анализ II Направление подготовки 010300 - «Фундаментальная информатика и информационные технологии» Профиль подготовки «Информатика и компьютерные науки» Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения очная Саратов, 2011 год 1. Цели освоения дисциплины «Математический анализ II» Целями освоения дисциплины «Математический анализ II» являются знакомство студентов с теорией и практикой дифференциального исчисления функций многих переменных и понятием аналитической функции. Эта фундаментальная дисциплина служит базисом для всех математических и прикладных курсов, основанных на концепции непрерывности. Освоение математического анализа вооружает обучающихся мощным классическим и современным аппаратом исследования и решения широкого круга задач механики, физики, химии, биологии, экономики и других отраслей знания. 2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Данная учебная дисциплина входит в раздел «Математический и естественнонаучный цикл. Базовая часть» ФГОС-3 и является частью модуля «Высшая математика». Дисциплина «Математический анализ 2» включает в себя основные разделы классического дифференциального исчисления функций многих переменных и понятие аналитической функции комплексного переменного. Методы математического анализа используются в теории функций действительного и комплексного переменного, теории дифференциальных и интегральных уравнений, математической физике, вариационном исчислении, теории оптимального управления, теории вероятностей и математической статистике, теории меры, топологии, дифференциальной геометрии, теории операций и игр, системном анализе, численных методах вычислительной математики. Содержание курса имеет классическую терминологию и методологию, сходную с другими областями классической и современной математики. Его изучение требует предварительной подготовки, водящей в рамки курса «Математический анализ 1». В свою очередь, знание математического анализа необходимо для освоения перечисленных дисциплин, каждая из которых применяет в своем изложении методы и содержание математического анализа и умение решать исследовательские задачи и осуществлять грамотную постановку задачи. 3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Математический анализ II»: способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК 10); понимание концепций и абстракций, способность использовать на практике базовые математические дисциплины (ПК 15). В результате освоения дисциплины обучающийся должен: •Знать: постановку задач и основное содержание математического анализа, методологию исследования функций многих переменных. •Уметь: вычислять частные производные явных и неявных функций, производные по направлению, делать замену переменных в дифференциальных выражениях, исследовать функции и решать экстремальные задачи. •Владеть: методами постановки, анализа и решения задач дифференциального исчисления, навыками самостоятельного решения задач теоретического и прикладного характера. 4. Структура и содержание дисциплины «Математический анализ II» Общая трудоемкость дисциплины составляет ___5_____ зачетных единиц Лекции – 32 часа. Практические занятия – 48 часа. Самостоятельная работа 55 часов. Продолжительность курса – 1 семестр. № п/п Раздел дисциплины Семестр Неделя семестра Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) Лекц Тема 1.1 Тема 1.2 Тема 2.1 Тема 2.2 Тема 3.1 Тема 3.2 Промежуточ ная аттестация ИТОГО 1 2 3 4 5 6 7 2 2 2 2 2 2 1 2,3 4-12 13,14 15 16 Практ КСР Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Формы промежуточной аттестации (по семестрам) СРС 2 4 18 4 2 2 4 4 16 16 4 4 6 6 20 14 4 5 32 48 55 180 часов. контр. раб. контр. раб. экзамен 45 СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Раздел 1. Предел и непрерывность функций многих переменных Тема 1. 1. Евклидово пространство Rn. Пространство Rn, операция сложения, умножения на число, скалярное произведение, неравенство Коши, норма вектора и ее свойства. Топология пространства Rn. Последовательности в Rn: ограниченные, бесконечно малые, сходящиеся. Теоремы о соответствующих свойствах координатных последовательностей. Непрерывность операций сложения, умножения на число и скалярного произведения. Теорема БольцаноВейерштрасса. Фундаментальные последовательности и критерий Коши. Тема 1.2. Функции многих переменного. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке. Операции над непрерывными функциями, непрерывность композиции. Непрерывность функции на множестве. Равномерная непрерывность и теорема Кантора. Теорема о непрерывном образе компакта и ее следствия. Теорема о непрерывном образе линейно связного множества и ее следствия. Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Тема 2.1..Дифференцирование функций многих переменных. Дифференцируемость в точке. Частные производные и дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению и вектор градиент. Теорема о среднем. Частные производные высшего порядка. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциал высшего порядка. Непрерывно дифференцируемые и kнепрерывно дифференцируемые функции. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, в форме Лагранжа и форме Пеано. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Дифференцируемые вектор-функции, матрица Якоби и якобиан. Тема 2.2. Неявные функции и условный экстремум. Неявные функции. Теорема о неявной функции. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа и необходимое условие условного экстремума. Раздел 3. Комплексные числа и функции комплексного переменного. Тема 3.1. Комплексные числа и функции комплексного переменного. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа, формулы Эйлера. Функции комплексного переменного, предел и непрерывность в точке. Тема 3.2. Аналитические функции Дифференцируемость и производная в точке. Теорема Коши-Римана. Понятие аналитической функции. 5. Образовательные технологии Лекции, разбор конкретных ситуаций, обсуждение возможностей практического применения получаемых знаний и навыков, мозговой штурм, мастер-класс. 6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины 7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Математический анализ II» Основная литература 1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Учеб. пособие для вузов. - М. : АСТ : Астрель, 2005. - 558с. - ISBN 5-17-010062-0. Экз-ры: ОУОЕН(10), ОХФ(2) 2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа [учебник в 2 ч.] - 8-е изд., М. ; Краснодар : Лань, 2006. – 463 с. - ISBN 5-9511-0010-0. Экз-ры: ОХФ(2), ОУОЕН(10) Дополнительная литература 3. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ т.1-2, Издательство Московского университета, 2004. 4. Л.Д.Кудрявцев. Математический анализ. т.1-3, Высшая школа, 1988. 5. С.М.Никольский. Курс математического анализа. Т.1-2, Наука, 1973. 6. Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Наука, 1977. 7. Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.13.Физматгиз, М.:1958. 8. С.Ф.Лукомский, Л.В.Сахно, П.А.Терехин, В.И.Шевцов Практические занятия по математическому анализу. Ч.3. Функции многих переменных. Теория поля. РядыФурье. Изд-во Сарат. ун-та. 2005. 9. Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного. ГИТТЛ, М., 1977. 10. Евграфов М.А. Сборник по теории аналитических функций. Наука, 1972. 8. Материально-техническое «Математический анализ II» обеспечение дисциплины Аудитория с возможностью демонстрации электронных презентаций при уровне освещения, достаточном для работы с конспектом. Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению подготовки 010300Фундаментальная информатика и информационные технологии. Автор доцент _____________________Л.В.САХНО Программа одобрена на заседании кафедры математического анализа от 2011_года, протокол № 7. . Подписи: Зав. кафедрой профессор доктор _____________________________ Д.В.ПРОХОРОВ Декан механико-математического факультета доцент _____________________________ А.М.ЗАХАРОВ Декан факультета КНиИТ доцент _____________________________ А.Г.ФЕДОРОВА