5. контрольные работы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
«УТВЕРЖДАЮ»
Директор ЭЛТИ
____________ А.П.Суржиков
«____»_____________2010 г.
ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
Рабочая программа, методические указания
и контрольные задания № 1, № 2, №3 для студентов направлений
200100, 200500, 200200, специальностей 220501
ЭЛТИ, ЭФФ, МСФ
Составители С.В.Пустынников, С.А.Новиков
Специальности
Семестр
Лекции, часов
Практические занятия, часов
Лабораторные занятия, часов
Курсовая работа, часов
Контрольная работа
Самостоятельная работа, часов
Формы контроля
220501,
3
24
18
18
70
экзамен
Издательство
Томского политехнического университета
2010
1
УДК 621.3.01/09
Общая электротехника: Раб. программа, метод. указ. и контр. задания №
1, № 2, №3 для студентов спец. 220501, 140604, 140203, 140211, 140205 ЭФФ/
Сост. С.В. Пустынников, С.А.Новиков.– Томск: Изд. ТПУ, 20010. – 40 с.
Рабочая программа, методические указания и контрольные задания
рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром
кафедры теоретических основ электротехники «_____»
______________ 2009 г, протокол № ____.
Зав. кафедрой, доцент, к.т.н. __________________ А.В.Лукутин
Аннотация
Рабочая программа, методические указания и контрольные задания по
дисциплине «Общая электротехника.» предназначена для студентов
специальностей 220501, 140604, 140203, 140211, 140205 ЭФФ. Данная
дисциплина изучается в третьем семестре.
Приведен перечень основных тем дисциплины, указаны перечень
лабораторных работ и темы практических занятий для третьего семестра.
Приведены варианты заданий для контрольных работ №1, №2, №3. Даны
методические указания по выполнению контрольных работ.
2
1. Цели и задачи учебной дисциплины
Курс Общая электротехника является одной из базовых дисциплин,
обеспечивающих общетеоретическую и профессиональную подготовку
инженеров, необходимую для освоения специальных дисциплин.
Цель изучения дисциплины: приобретение студентами знаний, навыков и
умений по расчету и анализу магнитных, линейных и нелинейных
электрических цепей в установившемся и переходном режимах, устройству и
принципу действия электрических машин.
1.1. Цели преподавания дисциплины
Студент, изучивший курс  Общая электротехника должен:
иметь представление:
 о роли курса для освоения специальных дисциплин;
 о программах для расчетов линейных и нелинейных электрических цепей
в установившемся и переходном режимах.
 о видах и принципах действия электрических машин.
знать:
– основные законы и определения электрической и магнитной цепи,
– методы расчета электрической и магнитной цепи,
– методы расчета переходных процессов в цепях,
– принцип действия и устройство трансформатора,
– принцип действия асинхронных и синхронных машин, двигателя
постоянного тока.
уметь:
 использовать полученные знания при освоении учебного материала
последующих дисциплин;
 рассчитывать линейные и нелинейные электрические цепи в
установившемся и переходном режимах;
 рассчитывать магнитные цепи.
иметь опыт:
 работы со справочной и учебной литературой;
 подготовки исходных данных для программ расчетов линейных и
нелинейных электрических цепей в установившемся и переходном
режимах.
1.2. Задачи изложения и изучения дисциплины
Для достижения, поставленных при изучении дисциплины, используется набор
методических средств:
 лекции;
 практические занятия с опросом студентов и закреплением
теоретического материала;
 лабораторные работы с индивидуальными заданиями и защитой
выполненных исследований;
3
 индивидуальные и групповые консультации по теоретическим и
практически вопросам курса;
Проверка приобретенных знаний, навыков и умений осуществляется
посредством опроса студентов, при защите лабораторных работ, текущих
тестовых испытаний и сдачи экзамена.
2. Содержание теоретического раздела дисциплины (лекции, 34 часов)
2.1. Электрические и магнитные цепи (28 час.)
2.1.1. Основные определения (4 часа)
Электрическая цепь и её элементы. Простейшие двухполюсники и их
свойства. Источники электрической энергии, их характеристики и схемы
замещения.
Основные
физические
величины,
характеризующие
электромагнитные процессы. Понятие о сигналах и способах их
математического описания. Основные законы электрической цепи.
Символический метод расчета.
2.1.2. Топологические параметры и методы расчета электрических цепей (4
часа)
Топологические понятия электрической цепи: граф цепи, дерево графа,
контур, узел, ветвь. Методы расчета: узловые потенциалы, контурные
токи, эквивалентный генератор, метод наложения (2 час.).Эквивалентные
преобразования электрических цепей. Баланс мощности (2 час.).
2.1.3. Линейные и нелинейные цепи (4 часа)
Цепи с индуктивно связанными элементами. (2 час.).
Основные понятия и определения резонансных явлений Последовательный
и параллельный колебательный контуры. Определение и основные понятия
нелинейных цепей (2 час.).
Графический метод расчета нелинейных цепей постоянного тока. Расчет
по характеристикам для мгновенных значений (аналитический и
графический способы) (2 час.).
2.1.4. Анализ и расчет магнитных цепей (4 часа)
Магнитные цепи и их схемы замещения. Закон полного тока и законы
Кирхгофа в магнитных цепях. Расчет неразветвленной и разветвленной
цепи при заданных геометрических параметрах и физических
характеристиках цепи и заданных величинах намагничивающих сил или
магнитного потока (индукции) в ветвях.
2.1.5. Переходные процессы (12 часов)
Физическая природа переходных процессов, законы коммутации,
зависимые и независимые начальные условия. Классический метод расчета
переходных процессов, свободные и принужденные составляющие токов и
напряжений и их расчет, расчет корней характеристического уравнения (4
час.).
Переходные характеристики пассивных цепей, интеграл Дюамеля.
Переходные процессы при источниках импульсных напряжений и токов
произвольной формы (4 час.).
4
Операторный метод расчета переходных процессов. Операторные схемы
замещения и их расчет (2 час.).
Метод переменных состояния (2 часа).
2.2. Электромагнитные устройства и электрические машины (6 часов)
2.2.1. Электромагнитные устройства (1 час)
Определение, принцип действия и область применения дросселей
насыщения и магнитных усилителей.
2.2.2. Трансформаторы (2 часа)
Устройство и принцип действия трансформатора. Разновидности
трансформаторов. Работа трансформатора.
2.2.3. Электродвигатели постоянного тока (1 час)
Общие сведения о двигателях постоянного тока. Пуск двигателей
постоянного тока.
2.2.4. Асинхронные и синхронные машины (2 часа)
Общая классификация машин переменного тока. Принцип действия машин
переменного тока. Вращающееся магнитное поле.
3. Содержание практического раздела дисциплины (36 часов)
3.1 Тематика практических занятий (18 часов)
3.1.1 Законы линейных электрических цепей и методы их расчета (4 часа) (2 час
с.р.).
3.1.2 Линейные цепи синусоидального тока (с учётом явления взаимной
индукции при расчёте). Векторные диаграммы и комплексный метод.
Резонансные явления (2 часа) (1 час с.р.).
3.1.3. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей постоянного тока (2
часа) (1 час с.р.).
3.1.4. Нелинейные цепи переменного тока (4 часа) (2 час с.р.).
3.1.5. Расчет переходных процессов в линейных цепях классическим,
операторным методами и с помощью интеграла Дюамеля (6 часов) (3 час с.р.).
3.2 Тематика лабораторных работ (18 часов)
3.2.1. Знакомство с лабораторным комплексом. Техника безопасности при
выполнении лабораторных работ (2 ч.) (1 час с.р.).
3.2.2. Исследование линейной разветвленной цепи постоянного тока (2 ч.) (1
час с.р.).
3.2.3. Исследование активного двухполюсника (2 ч.) (1 час с.р.).
3.2.4. Простейшие цепи переменного тока (2 ч.) (1 час с.р.).
3.2.5. Линейный (воздушный) трансформатор (2 ч.) (1 час с.р.).
3.2.6. Исследование резонанса напряжений (2 ч.) (1 час с.р.).
3.2.7. Переходные процессы в простейших цепях (2 ч.) (1 час с.р.).
3.2.8. Переходные процессы в цепях второго порядка (2 ч.) (1 час с.р.).
3.2.9. Нелинейная цепь постоянного тока ( 2ч.) (1 час с.р.).
5
4. Программа самостоятельной познавательной деятельности (70часов)
Программа самостоятельной деятельности включает:



подготовку к практическим занятиям – 9 часов;
обработку результатов лабораторных работ и их оформление – 9 часов;
выполнение двух индивидуальных домашних заданий:
1. Расчет линейной цепи гармонического тока – (18 ч.).
2. Расчет переходного процесса в линейной цепи – (16 ч.).

проработку теоретических разделов дисциплины, представленных в
таблице – 18 часов.
5. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
5.1. Общие методические указания
К представленным на рецензию контрольным заданиям предъявляются
следующие требования:
1. Задания могут быть выполнены в ученических тетрадях или на чистых
листах бумаги четвертого формата, обязательно сшитых.
2. Основные действия при выполнении задания должны сопровождаться
достаточно подробными пояснениями.
3. Рисунки, графики, схемы, в том числе и заданные условием задачи,
должны быть выполнены на отдельном листе бумаги (странице) аккуратно и в
удобном для чтения масштабе.
4. В задании следует оставлять поля шириной не меньше 4 см для
замечаний рецензента.
5. Вычисления должны быть выполнены с точностью до третьей
значащей цифры.
6. Задание должно быть подписано студентом и указана дата.
Незачтенные контрольные задания должны быть исправлены и
сданы на повторную рецензию вместе с первоначальным вариантом
работы и замечания ми рецензента. Исправление ошибок в
отрецензированном тексте не допускается. Все исправления должны быть
выполнены под заголовком «Исправление ошибок».
При изучении курса «Общая электротехника» и выполнении контрольных
заданий рекомендуются учебники и учебные пособия, выпущенные в
последние годы, так как в старых изданиях изложение ряда новых вопросов
может отсутствовать. Рекомендуется пользоваться одним учебником при
изучении всего курса, но когда какой-либо вопрос изложен в нем недостаточно
ясно или вовсе не нашел отражения, использовать другой учебник.
Целесообразность такого подхода обусловлена и тем, что в учебниках имеется
небольшая разница в обозначениях и это может вызвать некоторые затруднения
при переходе от одного учебника к другому. Так, например, в одних книгах
ЭДС обозначается буквой Е, а в других – Э; потенциал – буквой φ или U. В
6
одних книгах положительное направление отсчета для напряжения между
двумя узлами или точками схемы указывается с помощью индексов этих узлов
или точек, в других – индексы узлов у напряжения не ставятся, а ставится
стрелка и один индекс и т.д.
Рекомендуется, прорабатывая материал, составлять конспект, в который
полезно выписывать основные законы, определения и формулы. Конспект
оказывает большую помощь при выполнении контрольных заданий и при
подготовке к экзаменам.
Работа над контрольным заданием помогает студентам проверить степень
усвоения ими курса, вырабатывает у них навык четко и кратко излагать свои
мысли. Для успешного достижения этой цели необходимо руководствоваться
следующими правилами:
1. Начиная решение задачи, указать, какие физические законы или
расчетные методы предполагается использовать при решении, привести
математическую запись этих законов и методов.
2. Тщательно продумать, какие буквенные или цифровые обозначения
предполагается использовать в решении. Пояснить значение каждого
обозначения.
3. В ходе решения задачи не следует изменять однажды принятые
направления токов и наименования узлов, сопротивлений, а также обозначения,
заданные условием. При решении одной и той же задачи различными методами
одну и ту же величину надлежит обозначать одним и тем же буквенным
символом.
4. Расчет каждой исходной величины следует выполнить сначала в
общем виде, а затем в полученную формулу подставить числовые значения и
привести окончательный результат с указанием единиц измерения. При
решении системы уравнений целесообразно воспользоваться известными
методами упрощения расчета определителей (например, вынесение за знак
определителя общего множителя и др.), а иногда и еще проще методом подстановки.
5. Промежуточные и конечные результаты расчетов должны быть ясно
выделены из общего текста.
6. Решение задач не следует перегружать приведением всех
алгебраических преобразований и арифметических расчетов.
7. Для элементов электрических схем рекомендуется пользоваться
обозначениями, применяемыми в учебниках по электротехнике.
8. Каждому этапу решения задачи нужно давать пояснения.
9. При построении кривых выбрать такой масштаб, чтобы на 1 см оси
координат приходилось 1 · 10 ± n или 2 · 10 ± n единиц измерения физической
величины, где n – целое число. Градуировку осей выполнять, начиная с нуля,
равномерно через один или через два сантиметра. Числовые значения
координат точек, по которым строятся кривые, не приводить. Весь график в
целом и отдельные кривые на нем должны иметь названия.
Внимание! К сдаче экзамена допускаются студенты, выполнившие три
контрольных задания, решившие все задачи по основным темам курса, и
защитившие курс лабораторных работ.
7
5.2. Контрольная работа №1.
Расчет цепи постоянного тока
На рис. 1 представлен граф электрической цепи. Граф содержит 4 узла –
a, b, c, d, между которыми включены 6 ветвей – ab, ac, bc, bd, da, dc. Ветви
содержат активные и пассивные элементы электрической цепи и обозначены
номерами 1…6 (рис. 2). В таблице №1 заданы параметры источников
электрической цепи Е1, Е2, J, в таблице №2 заданы параметры пассивных
элементов – R, L, C, в таблице №3 заданы варианты компоновки электрической
цепи.
Номер варианта контрольной работы содержит 4 цифры – первая
цифра соответствует данным из табл.№1, вторая цифра – данным из
табл.№2, третья и четвертая цифра соответствуют варианту схемы из
табл.№3.
1. Полагая, что в цепи с постоянными токами и напряжениями
индуктивность имеет нулевое сопротивление, а емкость – нулевую
проводимость, изобразить схему, достаточную для расчета параметров режима
цепи при постоянных во времени источниках энергии: e1(t)=E1, e2(t)=E2, J(t)=J.
2. Преобразовать схему до трех контуров, заменив ветви с параллельным
и последовательным соединениями резисторов на эквивалентные.
3. Выбрать направления токов в ветвях схемы (в ветвях с источниками
ЭДС токи задать по направлению ЭДС).
4. Составить полную систему уравнений состояния цепи по законам
Кирхгофа, рассчитать токи всех ветвей и напряжение на источнике тока.
5. Методом контурных токов рассчитать токи всех ветвей и (по второму
закону Кирхгофа) напряжение на источнике тока.
6. Методом узловых потенциалов (напряжений) рассчитать токи всех
ветвей и (по второму закону Кирхгофа) напряжение на источнике тока.
7. Составить баланс мощностей, вычислив суммарную мощность
источников энергии, и суммарную мощность, потребляемую резисторами.
Небаланс не должен превышать 3 %.
8. Представить схему относительно ветви №5 с сопротивлением 2R
эквивалентным генератором и определить его параметры (Ег, Rг, Iкз).
Графически и аналитически определить ток в сопротивлении 2R.
9. Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура,
не содержащего источника тока.
10.Результаты расчета токов по трем методам свести в таблицу и
сравнить между собой.
5.3. Контрольная работа №2.
Расчет цепи синусоидального тока
Для электрической цепи, схема и параметры которой соответствуют
номеру варианта, при параметрах источников e1 (t )  E1  2  sin(   t  90  ) В,
8
e2 (t )  E 2  2  sin(   t  45 ) В, J (t )  J  2  sin(   t  30  ) А, f = 50 Гц
выполнить следующее:
1. Изобразить схему цепи и обозначить индуктивную связь между катушками,
полагая взаимную индуктивность равной М = 0.5*L.
2. Преобразовать схему, заменив ветви с параллельным и последовательным
соединениями резисторов на эквивалентные и в общем (буквенном) виде
составить полную систему уравнений состояния цепи по законам Кирхгофа
в дифференциальной форме.
3. Представить сопротивления ветвей и действующие значения ЭДС и тока
источников в комплексной форме и изобразить комплексную схему
замещения цепи.
4. В полученной схеме методом уравнений Кирхгофа рассчитать комплексы
действующих значений токов ветвей и напряжения на источнике тока.
5. Составить баланс активных и реактивных мощностей источников и
потребителей электрической энергии. Небаланс как по активной, так и по
реактивной мощностям не должен превышать 3 %.
6. Сделать развязку индуктивной связи, представить схему относительно ветви
№5 с сопротивлением 2R эквивалентным генератором и определить его
параметры (Eг, Zг ), Рассчитать ток в сопротивлении 2R.
7. Определить показание вольтметра включенного параллельно ветви №6.
8. Построить
топографическую
векторную
диаграмму
напряжений,
совмещенную с лучевой векторной диаграммой токов для контура с
индуктивной связью.
№ вар
0
1
2
3
4
5
6
7
Таблица №1
8
9
Е1, В
Е2,В
J, А
20
100
10
30
120
9
40
150
8
50
180
7
60
200
6
70
220
5
80
250
4
90
50
3
100 120
60 80
2
1
Таблица №2
№ вар
0
R,Ом 10
L,мГн 31,84
C,мкФ 318,4
1
2
20
30
63,7
95,54
159,23 106,1
3
40
127,3
79,62
4
50
159,2
63,7
9
5
60
191
53,08
6
80
254,7
39,8
7
8
100
120
318,4 382,1
31,847 26,54
9
140
445,8
22,74
Ветви
№ вар.
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
аb
ac
bc
bd
2
1
1
6
1
1
2
3
3
6
3
3
2
1
1
6
1
1
2
1
6
3
3
2
3
3
6
1
1
2
1
1
6
5
5
2
5
5
6
3
1
2
5
1
6
5
3
2
5
3
6
5
1
2
3
1
6
3
1
2
3
6
4
3
2
4
1
6
4
1
2
4
5
6
4
5
2
4
3
6
10
Таблица №3
da
dc
5
5
2
5
5
6
5
5
2
5
5
6
3
3
2
3
3
6
4
4
4
4
6
4
4
2
4
4
6
4
4
2
4
4
6
4
4
2
5
5
Ветви
№ вар.
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
аb
ac
bc
bd
da
dc
1
6
1
1
2
4
4
6
4
4
3
2
3
3
6
1
1
2
1
1
4
1
6
4
4
2
3
4
6
3
5
3
2
5
1
6
5
1
2
5
2
4
4
6
3
3
2
3
3
6
6
5
5
2
5
5
6
5
5
2
5.4 Контрольная работа №3
Переходные процессы в линейных электрических цепях
На рис.3 представлены схемы электрических цепей, на вход которых
воздействуют сигналы различной формы, на рис.4 изображен сигнал
непериодической формы, в таблице 4 заданы параметры электрических цепей.
Номер варианта расчетно-графической работы содержит 4 цифры –
первая цифра соответствует номеру схемы (рис.3), вторая цифра
соответствует сигналу непериодической формы, одинаковому для всех
вариантов (рис.4), третья и четвертая цифры соответствуют данным из
табл.4.
1. Для схемы, изображенной на рис.3, рассчитать ток или напряжение
переходного процесса:
а) классическим и операторным методами при включении в момент
времени t  0  постоянного источника ЭДС или источника тока:
Построить график i(t) или u(t) на интервале 0  t  4   , где  постоянная времени переходного процесса.
б) методом интеграла Дюамеля при воздействии сигнала непериодической
формы, изображенного на рис.4a,б (форма сигнала выбирается по
согласованию с преподавателем).
Примечание: А = Е ( для цепей с источником ЭДС)
А = J ( для цепей с источником тока)
t1 = 3  (  - постоянная времени переходного процесса)
11
Построить график i(t) или u(t) на интервалах 0  t  t1 , t  t1 .
в) классическим методом при гармоническом источнике:
е(t )  E sin( t  ) , j(t )  J sin( t  ) , на интервале времени 0  t 
Частота  определяется из условия R  X L или R  X C .
Построить график выходного напряжения u(t ) или тока i(t ) .
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СХЕМЫ
1
2
i(t)
R
J(t)
R
u(t)
J(t)
R
R
R
L
2L
3
2L
R
e(t)
4
i(t)
R
u(t)
e(t)
L
5
6
R R
u(t)
e(t)
e(t)
R
R
u(t)
R
C
2L
7
8
R R
u(t)
e(t)
R
e(t)
R
i(t)
R/2
C
C
12
R
2
.

9
0
i(t)
R
J(t)
R
u(t)
J(t)
R/2
R/2
C
C
Рис.3
СИГНАЛ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
№
вар.
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
E
В
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
15
25
35
45
J
А
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.5
2.5
3.5
4.5
R
Ом
20
30
40
50
60
70
80
90
100
120
12
22
32
42
L
Гн
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.2
0.24
0.44
0.64
0.84
13
Таблица 4
C

мкФ
град
500
30
333.33
60
250
90
200
-30
166.6
-60
142.85
-90
125
45
111.11
-45
100
120
83.33
150
1666.66
30
909.1
-120
625
-150
476.2
30
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
55
65
75
85
95
105
12
22
32
42
52
62
72
82
92
110
5.5
6.5
7.5
8.5
9.5
10.5
1.2
2.2
3.4
4.2
5.2
6.2
7.2
8.9
9.2
10.2
52
62
72
82
92
110
16
26
36
46
56
66
76
86
96
106
1.04
1.24
1.44
1.64
1.84
2.2
0.48
0.78
1.08
1.38
1.68
1.98
2.28
2.58
2.88
3.18
384.61
322.58
277.77
243.9
217.39
181.82
1875
1153.84
833.33
652.17
535.71
454.54
394.73
348.83
312.5
283.02
60
90
45
120
150
-30
-60
-90
-120
-150
-45
30
60
90
120
150
Методические указания к расчету контрольной работы №1
Свойства линейных электрических цепей и методы их расчета
подробно изложены в [1, 2, 3].
Порядок решения контрольной работы №1 следующий.
1. Допустим, для Вашего варианта из табл. 1 Вы нашли, что структура
Вашей цепи следующая (пример условный, на самом деле такой структуры в
табл. 1 нет):
ветвь
№ вар.
–
ac
ab
bd
bc
dc
da
6
1
3
4
2
5
Из табл. 2 находим параметры элементов цепи (параметры также
условные):
№
вар.
Е1
Е2
J
R
L
C
В
В
А
Ом
мГн
мкФ
100
50
2
110
350
28.95
По заданному графу построим схему электрической цепи (рис.5).
Примечание: поскольку индуктивности и емкость при воздействии на
электрическую цепь постоянных сигналов обладают соответственно нулевым
сопротивлением и нулевой проводимостью, на схеме они не указаны.
14
2. Преобразуем схему до трех контуров:
В ветви da сопротивления включены последовательно, а в ветви ac –
параллельно, поэтому
Rda  R  R  110  110  220 Ом ;
RR
110 110
Rac 

 55 Ом
R  R 110  110
3. Выбираем положительные направления токов. В ветвях, содержащих
ЭДС – по направлению ЭДС, в остальных ветвях – произвольно. Расчетная
трехконтурная схема электрической цепи с указанными направлениями токов
в ветвях, напряжения на источнике тока и контурных токов приведена на рис. 6.
4. В общем (буквенном) виде составляем полную систему уравнений
состояния цепи по законам Кирхгофа для расчета токов всех
ветвей и напряжения на источнике тока.
Схема содержит У = 4 узла и В = 6 ветвей. Следовательно, по первому
закону Кирхгофа можно составить У – 1 = 4 – 1 = 3 независимых уравнения, а по
второму закону Кирхгофа - В – У + 1= 6 – 4 + 1 = 3 независимых уравнения.
При составлении уравнений по законам Кирхгофа следует
руководствоваться следующими правилами. Ток, направленный к узлу, в
уравнении по первому закону Кирхгофа учитывается со знаком “+”,
направленный от узла – со знаком “–”. Ток в потребителях электроэнергии
(пассивных элементах электрической схемы) течет от узла с более высоким
потенциалом к узлу с более низким потенциалом. Поэтому в уравнениях по
второму закону Кирхгофа падение напряжения учитывается со знаком «+»,
если направление тока в пассивном элементе совпадает с направлением
обхода контура. Напряжение на источнике тока направлено в
противоположную току сторону, поскольку ток в этом элементе протекает от
точки с более низким потенциалом к точке с более высоким потенциалом (за
15
счет работы сторонних сил). ЭДС записываются в правой части уравнения,
причем со знаком “+” учитываются ЭДС, направление которых совпадает с
направлением обхода контура.
Узел b:
Узел c:
Узел а:
Контур 1:
Контур 2:
Контур 3:
I1 – I4 = – J
I2 + I4 – I3 = 0
I3 – I1 – I5 = 0
UJ – I5 · 2R = E1
I2 · R + I3 · R/2 + I5 · 2R = E2
I2 · R – I4 · R + UJ = E2
С помощью программы MATCHAD производим расчет уравнений в
матричной форме:
1
0

1
a  
0
0

0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
220 1 
110 55
0
220 0
110 0 110
0



1
 2 
 0 
 
0 
b  
 100 
 50 
 
 50 
i  a
1
b
 1.009 
 1.155 



0.164

i
 0.991 
 0.845 


286


Значение токов ветвей схемы и напряжение на источнике тока:
I1  1.009 A, I 2  1.155 A, I 3  0.164 A, I 4  0.991 A, I 5  0.845 A, U J  286 B
5. Методом контурных токов определяем токи в ветвях.
16
Выбираем независимые контуры. В рассматриваемой схеме их три
(рис. 6). При этом, поскольку ветвь bd содержит идеальный источник тока,
эта ветвь может входить только в один контур. Ток этого контура равен току
источника: J1к = J = 2 А. Для остальных контурных токов составляем уравнения:
R
R

J

(
2
R

R

)

J

2
R

J

 E2
2
к
1
к
3
к

2
2

J  (R  R )  J  0  J  R  E
1к
2к
1
 3к
2
2
После переноса в правую часть постоянных коэффициентов уравнения
примут вид:
R
R

 J 2к  (2 R  R  2 )  J 3к  2  E2  J  2 R

 J  R  J  ( R  R )   E
3к
1
 2к 2
2
Численно получим:
385 J 2к  55 J 3к  390

 55 J 2к  165 J 3к  100
В матричной форме уравнения будут иметь вид:
 385  55   J 2к    390 
  

  

  55 165   J 3к    100 
После расчета получим:
J2к = -1.155 А; J3к = - 0.991 А.
Определяем токи ветвей:
I1 = –J1к – J3к = -2+0.991 = -1.009 (А);
I2 = J2к = -1.155 А;
I3 = J2к – J3к = -1.155+0.991= -0.164 А.
I4 = –J3к = 0.991 А;
I5 = J1к + J2к = 2 -1.155 = 0.845 А;
Согласно второму закону Кирхгофа,
UJ – I5 · R5 + I1 · 0 = E1.
Отсюда
UJ = I5 ·2R + E1 = 0.845·220 + 100 = 286 В.
6. Определим токи в ветвях схемы методом узловых потенциалов.
Между узлами a и b включена ветвь с идеальным источником ЭДС без
сопротивления. Поэтому в качестве базисного ( = 0) удобно принять узел а,
тогда
а = 0; b = E1 = 100 В.
Для узлов c и d составляем узловые уравнения:
17
1
1 E2
 1 1 2













c
d
b

R
R R
 R R R

   1     1  1    J  E2
d
 c R
R
 R 2R 
1
Перенеся слагаемое b 
в правую часть уравнения и подставив
R
известные числовые значения, получаем:
1
2 
1
50
1
  1









100



c
d

110 110
110
  110 110 110 

   1     1  1   2  50
d
 c 110
110
 110 220 
В матричной форме уравнения будут иметь вид:
 0.00909   c   1.3636 
 0.03636

     



0
.
00909
0
.
0136363

2
.
4545

  d 

После расчета получим:
c  9 B,  d  186 B
Токи в ветвях схемы определятся по обобщенному закону Ома:
  c  E2  186  9  50
I2  d

 1.154 A
R
110
2  c 2(9)
I3 

 0.163 A
R
110
  c 100  9
I4  b

 0.991 A
R
110

186
I5   d 
 0.845 A
2 R 220
U J  b   d  100  186  286 В
Ветвь аb содержит только одну ЭДС
E 1 и проводимость этой ветви
равна  , поэтому ток I 1 невозможно определить через потенциалы узлов.
Поэтому для узла “а” составим уравнение по первому закону Кирхгофа:
I1  I 3  I 5  0.163  0.845  1.008 A .
7. Составляем уравнение баланса мощности.
Мощность источников:
Pи  E1  I1  E2  I 2  U J  J  100  (1.009)  50  (1.155)  286  2  413.35 Âò
Мощность потребителей:
18
R
 I 42  R  I 52  2 R 
2
 (1.155) 2 110  (0.164) 2  55  0.9912 110  0.845 2  220  413.336 Âò.
Погрешность расчета (небаланс) составила
P P
413 .36  413 .336
  и п  100 % 
 100 %  0,0058 % .
Pи
413 .36
Таким образом, небаланс в пределах допуска (δ ≤ 1 %).
Pп  I 22  R  I 32 
8. Определим ток I5 в ветви с сопротивлением 2 R методом
эквивалентного генератора.
Изобразим схему относительно ветви ad в виде эквивалентного
генератора в режиме холостого хода (рис. 7).
Из схемы рис. 7 определим ЭДС эквивалентного генератора E Г  U xx
Согласно второму закону Кирхгофа, U xx  J  R  I 3 xx 
R
 E2 , откуда
2
R
2
Для определения тока I3xx воспользуемся методом контурных токов:
R
J1K  J  2 A, J 2 K  ( R  )  J1K  R  E1
2
Подставляя численные значения, получим:
E  J  R 100  2 110
I 3 xx  J 2 K  1 1K

 0.727 A , тогда
R
110

55
R
2
E Г  U xx  E2  J  R  I 3 xx 
19
E Г  U xx  50  2 110  0.727  55  310 B
Для определения R Г рисуем вспомогательную схему (рис.8) в которой
источники ЭДС замкнуты, а источники тока разомкнуты.
Из расчета схемы получаем:
R
R
2  110  110  55  146 .66 Ом .
RГ  R 
R
110  55
R
2
По формуле Тевенена-Гельмгольца определяем ток в сопротивлении
нагрузки:
EГ
310
I5 

 0.845 A
R Г  2R 146.66  220
Ток короткого замыкания эквивалентного генератора I кз определится
E
310
как I кз  г 
 2.113 A .
Rг 146 .66
Определим ток I 5 графически. Для этого построим в одних осях
внешнюю характеристику эквивалентного генератора и вольтамперную
характеристику нагрузки (сопротивления 2 R ). Внешняя характеристика
является линейной и пересекает оси координат в точках Uхх и I кз , а
вольтамперная характеристика нагрузки также линейна и строится по закону
Ома: U 5  I 5  2 R . При этом достаточно задать два значения тока, например
I 5  0 и I 5  1А . Точка пересечения характеристик будет рабочей точкой
генератора, нагруженного на сопротивление 2 R , а ее проекция на оси
координат – искомыми током и напряжением (рис. 9). Получаем графические
значения U 5  186 В, I 5  0.85 А.
20
Построим потенциальную диаграмму для контура add′c (рис. 6), не
содержащего источника тока.
Принимаем а = 0
Тогда
d = а – I5 · 2R = 0 – 0.845 · 220 = – 185.9 (В)
d′ = d + E2 = – 185.9 + 50 = -135.9 (В)
c = d′ – I2 · R = -135.9 + 1.155 · 110 = -8.85 (В)
а = c – I3 · R/2 = -8.85 + 0.164 · 55 ≈ 0.
Диаграмма приведена на рис. 10.
21
Методические указания к расчету контрольной работы №2
1. Изобразим схему электрической цепи для условного варианта,
рассмотренного в методических указаниях к контрольной работе №1 (рис.
11).
2. В общем (буквенном) виде составляем полную систему уравнений
состояния цепи по законам Кирхгофа для расчета токов всех ветвей и
напряжения на источнике тока.
Схема содержит У = 4 узла и В = 7 ветвей. Следовательно, по первому
закону Кирхгофа можно составить У – 1 = 4 – 1 = 3 независимых уравнения, а
по второму закону Кирхгофа В – У + 1= 7 – 4 + 1 = 4 независимых уравнения.
В индуктивных элементах токи i2 (t ), i3 (t ) ориентированы одинаковым
образом относительно одноименных зажимов, обозначенных звёздочками,
поэтому имеем вариант согласного включения.
i 3  i1  i 5  0
Узел а:
i1  iR 4  iC 4   J
Узел b:
i5  i2  J
Узел d:
U J  i5  2 R  e1
Контур 1:
di
di
di
di
R
Контур2:
i5  2 R  i2  R  L 2  M 3  i3   L 3  M 2  e2
dt
dt
2
dt
dt
di
di
1
i 2  R  L 2  M 3    iC 4  dt  u J  e 2
Контур 3:
dt
dt C
22
1
  iC 4  dt  iR 4  R  0
C
3. Определим реактивные сопротивления индуктивностей и емкости:
xL    L  314  0.350  110 Ом
Контур 4:
L
 314  0.185  55 Ом
2
1
1
xC 

 110 Ом
  C 314  28.95  10  6
xM   
Здесь и далее  = 2··f = 2·3.14 · 50 = 314 рад/с – круговая частота
источников ЭДС и тока.
Полные сопротивления ветвей схемы:
Z1  0
Z 2  R  j  x L  110  j  110 Ом
R
 j  x L  55  j  110 Ом
2
R  ( j  xC )
110  ( j  110 )
Z4 
 R4  j  X C 4 
 55  j  55 Ом
R  j  xC
110  j  110
Z3 
Z 5  2  R  220 Ом
Комплексы действующих значений ЭДС и тока источников:
E1  100  e j 90  0  j 100  В
E 2  50  e  j 45  35.35  j  35.35 В ; J  2  e j 30  1.732  j 1 A
Расчетная схема с комплексными источниками ЭДС и тока и
комплексными сопротивлениями ветвей показана на рис.12.
E1
I1
UJ
1к
I5
I3
J
Z5
I2
2к
E2
Z2
M
3к
Z4
I4
Z3
Рис.12. Расчетная комплексная схема
замещения электрической цепи
23
4. Составляем систему уравнений в комплексной форме по законам
Кирхгофа для расчета токов ветвей и напряжения на источнике тока:
I1  I 4  J
Узел b:
I2  I4  I3  0
Узел c:
I 3  I1  I 5  0
Узел а:
U J  I 5  2 R  E1
Контур 1:
I 2  Z 2  I 3  j  X M  I 3  Z 3  I 2  j  X M  I 5  Z 5  E2
Контур 2:
I 2  Z 2  I 3  j  X M  I 4  Z 4 U J  E2
Контур 3:
Подставляя численные значения, получим:
I1  I 4  J
Узел b:
I2  I4  I3  0
Узел c:
I 3  I1  I 5  0
Узел а:
Контур 1: U J  I 5  220  j  100
Контур 2: I 2  (110  j 165)  I 3  (55  j 165)  I 5  220  35.35  j  35.35
Контур 3: I 2  (110  j 110)  I 3  j  55  I 4  (55  j  55)  U J  35.35  j  35.35
С помощью программы MATCHAD производим расчет уравнений в
матричной форме:
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0

1
0
1
0
1
a  
0
0
0
0
220
 0 110  165i 55  165i
0
220

55i
55  55i 0
 0 110  110i
d  a
1
b
0
0

0
1

0

1
 1.732  i 


0


0

b  


100i
 35.35  35.35i 


 35.35  35.35i 
 1.322  0.931i 
 0.625  0.579i 


0.215  1.352i 

d
 0.41  1.931i 
 1.107  0.421i 


 243.538  192.623i 
Следует учесть, что мнимая единица в программе MATCHAD
обозначается как i вместо обозначения j , применяемого в электротехнике.
Значение токов ветвей схемы и напряжение на источнике тока в
алгебраической и в показательной формах:
0
I 1  1.322  j  0.931  1.617  e j144 .8 A
24
I 2  0.625  j  0.579  0.852  e  j137 .2 A
0
0
I 3  0.215  j 1.352  1.369  e j 99 A
0
I 4  0.41  j 1.931  1.974  e j 78 A
0
I 5  1.107  j  0.42  1.183  e j 20 .7 A
0
U J  243.358  j 192 .623  310 .5  e j 38 .34 B
5. Составим баланс активной и реактивной мощностей.
Полная мощность источников составит:
S и  Pи  j  Qи  E1  Iˆ1  E 2  Iˆ 2  U J  Jˆ 
 j  100  (1.322  j  0.931)  (35.35  j  35.35)  (0.625  j  0.579 ) 
 (243 .538  j  192 .623)  (1.732  j  1)  705 .905  j  0.446
ВА
Здесь Î – сопряженный комплекс тока.
Таким образом, активная мощность источников энергии составит
РИ  705.905 Вт ; реактивная мощность – Q И  0.446 вар .
Активная мощность потребителей:
R
PП  I 22  R  I 32   I 42  R4  I 52  2 R 
2
 0.852 2 110  1.369 2  55  1.974 2  55  1.1832  220  705.13 Вт
Реактивная мощность потребителей при согласном включении
индуктивностей с токами I 2 , I 3 :
QП  I 22  X L  I 32  X L  I 42  X C 4  2  I 2  I 3  X M  cos( 2   3 ) 
 0.852 2  110  1.369 2  110  1.974 2  55 
 2  0.852  1.369  55  cos(137 .20  99 0 )  0.435 вap
Погрешность расчета (небаланс) составила:
по активной мощности
P 
PИ  PП
705.905  705.13
100 % 
100 %  0,11%
PИ
705.905
по реактивной мощности
Q 
QИ  Q П
0.446 - 0.435

100%  2.4%
QИ
0.446
Таким образом, небаланс как по активной, так и по реактивной
мощности в пределах допуска (δ ≤ 3 %).
6. Сделаем развязку индуктивной связи и определим ток I 5 в
сопротивлении 2 R методом эквивалентного генератора. На рис.13
представлена схема опыта холостого хода с развязкой индуктивной связи при
подключении индуктивностей к узлу “с” разноименными зажимами.
25
Напряжение U XX определим по второму закону Кирхгофа:
U XX  E 2  J  ( Z 2  Z M )  I 1  ( Z 3  Z M )  35.35  j  35.35  2  e j 30  (110  j 165) 
0
1
 2.54  e j104.54  (55  j 165)  501.59  j  330.43  600.646  e j 33.37
0
0
B
1
Здесь ток I 1 определим методом контурных токов (рис.13):
J 1K  J  2 e j 30 A
0
J 2 K  (Z 3  Z M  Z 4  Z M )  J 1K  (Z 4  Z M )  E1 ,
численные значения, получим:
подставляя
J 2 K  (110  j  55)  j 100  2  e j 30  (55  j 110)
0
312.377  e j131.1
0
I  J 2K 
1
1
122.983  e j 26.56
0
J 2к
 2.54  e j104.54 A
0
E1
J
U xx
I1
J 1к
E2
J
Z 3+ Z m
Z 4- Z m
Z2+ Z m
Рис.13. Схема опыта холостого хода
Для определения сопротивления эквивалентного генератора Z Г
рисуем вспомогательную схему, в которой шунтируем источники ЭДС и
размыкаем источники тока (рис.14):
ZГ
Z 4- Z m
Z 2+Z m
Z 3+Z m
Рис
. .14 . К определению сопротивления
эквивалентного генератора
26
(Z 3  Z M )  (Z 4  Z M )
 110  j  165 
Z3  Z4
(55  j  165)  (55  j  110)

 275  j  100 Ом
110  j  55
По формуле Тевенена –Гельмгольца определяем ток в нагрузке:
0
0
U XX
600.646  e j 33.37
I5 

 1.189  e j 21.95 A
Z Г  2 R 275  j 100  220
7. Определить показание вольтметра, включенного параллельно ветви
№6.
Поскольку ветвь №6 включена между узлами “а” и “с”, то по
второму закону Кирхгофа получим:
0
0
0
U V  I 3  Z 3  I 2  Z M  1.369  e j 99  (55  j 110)  0.852  e  j137.2  55  e j 90 
ZГ  Z2  ZM 
 128.33  j 16.33  129.36  e j172.7 B
0
Показание вольтметра: UV  129.36 B
8. Построим топографическую векторную диаграмму напряжений, и
лучевую векторную диаграмму токов для контура с индуктивной связью.
Для этого изобразим комплексную схему замещения контура с указанными
направлениями векторов напряжений (рис. 15).
2R
a
I5
d
UR5
I2
E2
3
M
U L3
4
U M3
jXL
R
UR2
2
jXL
U M2
R/2
1
U L2
5
U R3
I3 c
Рис.15. К построению векторной диаграммы
На векторной диаграмме вектора напряжений направлены в точку
высшего потенциала от которой течет ток, т.е. так, как показано на рис.15:
U L 2 - направлено из точки с в точку 1, U M 2 - направлено из точки 1 в точку
27
2, U R 2 - направлено из точки 2 в точку 3, ЭДС E 2 направлено из точки d в
точку 3, U R5 - направлено из точки d в точку а, U L3 направлено из точки а
в точку 4, U M 3 направлено из точки 4 в точку 5, U R 3 - из точки 5 в точку с.
Определим действующие значения напряжений на элементах цепи в
заданном контуре (длины векторов):
U L 2  I 2  X L  0.852 110  93.72 B (вектор U L 2 опережает вектор I 2 на 900);
U M 2  I 3  X M  1.369  55  73.5 B (вектор U M 2 при согласном включении
опережает вектор I 3 на 900);
U R 2  I 2  R  0.852  110  93.72 B (вектор U R 2 совпадает с вектором I 2 по
фазе);
U R5  I 5  2 R  1.183  220  260 .26 B (вектор U R5 совпадает с вектором I 5 по
фазе);
U L3  I 3  X L  1.369 110  150.6 B (вектор U L3 опережает вектор I 3 на 900);
U M 3  I 2  X M  0.852  55  46.86 B (вектор U M 3 при согласном включении
опережает вектор I 2 на 900);
R
U R3  I 3   1.369  55  75.3 B (вектор U R3 совпадает с вектором I 3 по
2
фазе).
Вектора токов и ЭДС строятся со своими углами:
I 2  0.852  e  j137 .2 A ,
0
0
I 3  1.369  e j 99 A ,
0
I 5  1.183  e j 20 .7 A ,
E 2  50  e  j 45 B .
Все вектора токов строятся из начала координат комплексной
плоскости, а для построения топографической диаграммы напряжений за
нулевой потенциал можно принять любую точку схемы, например точку с,
как принято в данном примере.
Лучевая векторная диаграмма токов и топографическая векторная
диаграмма напряжений приведена на рис.16.
0
28
I3
+J
M I = 0.2 A/см
М U= 20 В/см
I5
c
I2
.
4
U M3
.
UR5
d
.
+1
UR3
E2
.
.a
UL 2
.1
.5
UM 2
2
.
U L3
U R2
3
Рис.16. Лучевая диаграмма токов и топографическая
диаграмма напряжений
Методические указания к расчету контрольной работы № 3
Допустим, четырехзначный номер задания соответствует следующей схеме
из списка на рис.3 и ее параметрам из таблицы 4.
R/2
L
u(t)
R
J(t)
R/2
i(t)
iL(t)
iR(t)
Рис.18 . Схема для расчета переходного процесса
29
L
Гн
0.5
R
Ом
30
J
А
4
α
град
30
Расчет классическим методом. Последовательность расчета следующая.
- искомая величина u(t) ищется в виде суммы свободной и принужденной
составляющих
-определяем принужденную составляющую
- составляем характеристическое уравнение и находим корни
- записываем выражение свободной составляющей в общем виде
- определяем начальные условия и постоянную интегрирования
Ищем u(t) в виде u(t) = uпр(е) + uсв(t). Принужденная составляющая
соответствует значению напряжения в установившемся режиме после
коммутации, когда для постоянного тока J сопротивление индуктивности
равно нулю.
RR 2  4  3015
  40В
uпр(t) = J  R+R/2
3015
Для составления характеристического уравнения в качестве одного из
способов используем дифференциальное уравнение относительно искомого
напряжения u(t) для схемы после коммутации. Заметим, u(t) = iR(t)·R.
Уравнение для iR(t) составим на основании законов Кирхгофа при обходе
контура, обозначенного на рис. 18.
iR(t) = i(t) - iL(t)
L
d(i - iR) R
 (i - iR) = R  iR
dt
2
diR 3R
Ri
. Умножим почленно на R и учтем, что i = J.

iR=
dt
2L
2L
Отсюда
Получим
du(t) 3R
R 2J

u(t) =
dt
2L
2L
или
du(t)
 90  u(t) = 3.6 103
dt
Свободная составляющая uсв(t) ищется в виде B·ept , и после подстановки в
соответствующее однородное уравнение (без правой части) и сокращения
экспоненциальных сомножителей
u(p) =
J R (R 2  Lp) JR
R 2
JR
Lp
.




p Lp + 3R 2
p Lp + 3R 2 p Lp + 3R 2
30
Тогда
p=-
3R
 90(1 c) .
2L
Характеристическое уравнение можно также составить с помощью метода
операторного сопротивления. В операторной схеме, представляющей
исходную на рис.18, размыкают какую-либо проводящую ветвь,
относительно разрыва определяют сопротивление и приравнивают его нулю.
Уберем ветвь с источником тока, т.к. ее сопротивление равно бесконечности.
Записываем Z(p) и приравниваем нулю.
Z(p) = Lp + R + R/2 = 0
R
Lp
p = - 3R / (2R) = -90
R/2
Получили тот же результат.
Z(p) = 0
Рис. 19
Постоянную В в выражении для свободной составляющей uсв(t) найдем из
начальных условий. До включения источника тока iL(t) = 0. Поэтому
независимое начальное условие iL(0-) = iL(0+) = 0, а для определения
зависимого начального условия u(0+) составим схему замещения для момента
времени t = 0+. Схема представлена на рис.20. С учетом iL(0+) = 0
u(0+) = J R ;
u(0+) = 120 (B) .
Используем это начальное условие для определения постоянной В.
R/2
u(0) = uпр(0) + B ep0
iL(0+)
R
J
u(0)
B = 120 – 40 = 80 (B)
R/2
i(0)
iL(0)
B = u(0) - uпр(0)
iR(0)
Рис.20 Схема для определения начальных условий
31
Тогда u(t) = 40 + 80 e -90t = 40 + 80 e –t/τ, где τ = -1/p = 0.011.
Для расчета переходного процесса операторным методом составляется
операторная схема для после коммутационной цепи, которая содержит
изображения элементов обычной схемы. Метод основан на представлении
интегралов и производных по времени алгебраическими функциями. Основы
метода изложены во всех учебниках по электротехнике, там же можно найти
примеры прямого и обратного преобразований большинства используемых
функций, а также изображения элементов схем.
Операторная схема для расчета схемы замещения, представленной на
рис.18, изображена ниже
R/2
pL
J/p
LiL(0)
R
u(p)
R/2
i(p)
iR(p)
iL(p)
Рис.21. Операторная схема замещения
Так как iL(0+) = 0, то
u(p) =
J R ( R 2+Lp) JR
R 2
JR
Lp
×
= ×
+
p Lp + 3R 2
p Lp + 3R 2 p Lp + 3R 2
Выполним обратное преобразование для каждого слагаемого отдельно.
3R
- t
JR
R 2
J  R 3R (2L) 
JR
•




 (1  e 2L )


•
p Lp  3R 2 3p p  3R
3
2L
Для второго слагаемого:
3R
- t

JR
Lp
1

 JR  e 2L

 JR 


3R 
p Lp + 3R 2
p+
2L
32
Тогда
3R
3R
3R

t

t
t
JR
JR
2L
2L
2L
u(t) =
 (1  e
)  JR  e

 (1  2e
)
3
3
-
и, подставляя исходные параметры,
u(t) = 40 + 80  e -90t .
Отметим, что обратные преобразования осуществлялись согласно известным
соотношениям преобразований Лапласа:
a

1  e- at


p (p +a)
1 
 e- at .


p+a
и
Построим график на интервале 0 < t < 4, где  = 0.011 (с).
150
100
u( t )
50
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
t
Рис.22.
Рассчитаем методом интеграла Дюамеля переходный процесс в схеме,
в которой вместо подключения источника с прямоугольным фронтом тока
подключается источник с сигналом непериодической формы. Два варианта
формы сигнала изображены на рис. 4. Рассмотрим оба случая.
Рассмотрим
воздействие
прямоугольного
импульса
тока
длительностью t1 = 3 = 0.033c. Определим переходное сопротивление r(t) .
Его зависимость от времени соответствует выходному напряжению при
включении тока 1 А с прямоугольным фронтом. Поскольку ранее
переходный процесс рассматривался при включении тока J = 4 A, а
полученное выходное напряжение U(t)  40  80e 90t , то при входном токе 1
А получим переходное сопротивление
r(t)  U(t) / J  10  20e 90t .
33
Для интервала времени 0  t  t1 , интеграл Дюамеля запишется
t
U(t)  J(0)  r(t)   J '(t)  r(t  )d .
0
и J '(t)  0 . Поэтому
U(t)  40  80e 90t (0  t  t1 )
В момент t1 J изменяется от 4 до 0 (как бы подключается источник с J=-4) для
t, t1
U(t)  J(0)  r(t)  J(t1 )(r  t 1 )
т.к. для этого интервала времени J'(t) по прежнему равно 0.
Подставляя значение J и выражение для r(t) получим
U(t)  40  80e 90t
 (40  80
90(t 0.033)
)  80e
90t
(1  e
900.033)
)
График этой функции представлен на рис.23.
200
100
u( t )
0
100
0
0.02
0.04
0.06
0.08
t
Рис.23.
Рассмотрим переходный процесс при воздействии импульса тока
треугольной формы, изображенного на рис.4b. Для записи интеграла
Дюамеля потребуется зависимость J(t). График тока в интервале 0  t  t1
является отрезком прямой, ограниченной точками (0, J) и (t1, 0). Уравнение
прямой, проходящей через эти точки
J(t)  121.2t  4.
34
Производная тока J'(t) = -121.2.
Записываем интеграл Дюамеля, но уже для треугольного импульса
тока. Для интервала 0  t  t1
t
U(t)  J(0)  r(t)   J '(t)  r(t  )d 
0
t
 40  80e 90t  121.2 (10  20)e 90(t ) )d  13  107e 90t  1212t;
0
Если t > t1, то J(t) = 0. Поэтому дополнительных составляющих U(t) не
будет, а в интеграле нужно учесть верхний предел t1. Для t > t1
t
1
U(t)  J(0)  r(t)   J '(t)  r(t  )d 
0
 40  80e 90t  40  2424e 90t
 t 1 90

e

d


0



1

 80e 90t  2424e 90t   e 90t  1   80e 90t  498e 90t  418e 90t ;
 90

График U(t) для данного случая приведен на рис. 24.
150
100
u( t )
 30
0
0
0.02
0.04
0
0.06
0.08
t
0.1
Рис.24.
Последняя задача – рассчитать переходный процесс при подключении
источника с гармоническим током. Частота определяется из условия XL=R.
X L  L  R  30(Ом);   R / L  150(c 1 ) .
35
Источник, ток которого имеет комплексную амплитуду J 
4 j30
e
2
подключается в момент t=0.
Как обычно U(t) = Uпр(t)+Uсв(t).
Определим принужденную составляющую, которая является напряжением, падающем на двух параллельных сопротивлениях (jωL + R/2) и R
при протекании суммарного тока i(t). Здесь рассматривается схема,
приведенная на на рис.18. Суммарный ток и сопротивление равны
соответственно
i(t) = J(t) и Rоб =
R( R 2 +jXL)
3R 2+jXL .
Тогда Uпр = J· Rоб = 2.83·еj30·(16.15 + j9.21) = 26.52 + j 45.46 = 52.65 ej59.75.
Соответствующее мгновенное значение uпр(t) = 74.46 sin(150 t + 59.75).
Свободная составляющая ищется в том же виде uсв(t) = B1·e pt, причем р
был ранее определен р = -90. Значение р является корнем характеристического уравнения, и оно не зависит от вынуждающей силы, т.е.
параметров источников питания.
Для вычисления В1 найдем зависимое начальное условие. Рассмотрим
схему на рис. 20. В момент t = 0 на схему воздействует мгновенный ток
J(0) = 4· sin (30) = 2 (A).
Ветка с источником тока iL(0+) имеет бесконечно большое сопротивление и
ток iL(0) = 0. Тогда по единственному замкнутому контуру протекает ток 2 А
и u(0+) = J(0)·R = 2 ·30 = 60 (B).
uпр(0) = 74.46·sin(59.75) = 64.3 (B)
Поскольку u(0+) = uпр(0) + uсв(0), то В1 = 60 – 64.3 = - 4.3 (B). Тогда
u(t) = uпр(t) + uсв(t) = 74.46 ·sin(150 t + 59.75) – 4.3 e -90t .
График функции при изменении t от 0 до 2π / ω, т.е. для одного периода
колебаний приведен ниже на рис. 25.
36
100
u( t )
0
100
0
0.01
0.02
0.03
t
Рис. 25
37
0.04