СРС 2

СРС 2
Таблица выбора вариантов
1
1
17
22
39
50
54
66
75
2
2
18
23
40
48
55
67
76
3
3
19
30
37
47
52
68
77
4
5
20
29
36
46
51
69
78
5
6
15
24
33
43
58
70
79
6
7
14
25
34
42
59
61
80
7
8
13
26
35
41
60
62
70
8
9
12
27
32
45
57
63
72
9
10
11
28
31
44
56
64
73
10
5
16
21
38
49
53
65
74
11
6
15
21
33
43
58
64
79
12
2
19
30
36
47
51
68
73
13
8
18
25
38
43
56
61
79
14
9
14
22
39
42
54
62
80
15
2
20
21
31
42
51
67
75
16
5
18
27
38
43
51
64
73
Указания по выполнению работ
Примеры решения задач
Пример № 1
Даны два множества А = простыечисла  20 и B = нечётныечисла  20 . Найти
следующие множества:
а) А  B; б ) A \ B; B \ A; г ) A  B .
Решение:
Множества A и B – конечные и легко перечислить их элементы: A= 2,3,5,7,11,13,17,19
B= 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19. Так как объединению множеств A и B принадлежат элементы,
входящие в A или B, при этом одинаковые элементы зачисляются только один раз, то
A  B1,2,3,5,7,9,11,13,15,17,19,. По определению в множество A\B должны входить те элементы множества A, которые не принадлежат множеству B . Поэтому A\B= 2. Аналогично,
множество B\A= 1,9,15. Пересечению множеств принадлежат элементы, входящие одновременно в множество A и в множество B. Следовательно, A  B3,5,7,11,13,17,19 .
Пример № 2
Даны множества на числовой прямой A =  1,1 ; B =  ,0 ; C = 0,2 .
Найти следующие множества: А С; A B; A BC; ( A B)C; BC и изобразить
их на числовой оси.
Решение:
Множество A  С состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат либо множеству A, либо множеству C:
A  С   1,2 .
Множество A  B состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат одновременно и множеству A и множеству B.
A  B   1,0.
Множество A  BC состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат хотя
бы одному из множеств A, B или C.
A  B C  (;2) .
Множество (A  B) C состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат одновременно множеству A  B и множеству C. Построим множество A  B :
A
 B   ,1
Построим здесь же множество (A  B) C  0,1
Множество B  C состоит из точек числовой прямой, которые принадлежат одновременно и множеству B и множеству C.
B  С = Ø так как у этих множеств нет общих точек.
Пример № 3
Для теоремы «В прямоугольнике диагонали равны» сформулировать обратную, противоположную и противоположную обратной теоремы. Какие из этих четырёх теорем истинны? Если теорема не является истинной, то приведите пример подтверждающий её ложность.
Решение
Формулировка любой теоремы может быть представлена в виде: «Для каждого элемента x множества M из предположения p(x) следует предложение q(x)». В нашем случае условием теоремы p(x) является утверждение: «Четырёхугольник x прямоугольный», заключением теоремы – предложение q(x): «В четырёхугольнике диагонали равны». Оба предложения
p(x) и q(x) заданы на множестве М всех четырёхугольников.
Общий вид теоремы: p(x)  q(x). Обратная теорема строится по схеме: q(x)  p(x). Она
формулируется так: «Если в четырёхугольнике диагонали равны, то этот четырёхугольник –
прямоугольник».
Противоположная теорема строится по схеме: p (x )  q(x) , где p (x ) - отрицание p(x);
qx)  - отрицание q(x).
Она формулируется так: «Если четырёхугольник не является прямоугольником, то его
диагонали не равны».
Теорема, противоположная обратной, строится по схеме:
q(x)  p (x ) . Её формулировка: «Если диагонали не равны, то такой четырёхугольник не является прямоугольником».
Истинные теоремы: прямая и противоположная обратной.
Ложные теоремы: обратная и противоположная.
В качестве примера, доказывающего ложность обратной теоремы достаточно взять равнобедренную трапецию с разными основаниями. У неё диагонали равны, но углы не прямые.
Ложность противоположной теоремы следует из того же примера: равнобедренная
трапеция с разными основаниями не является прямоугольником, но её диагонали равны.
Пример № 4
Используя принцип математической индукции доказать, что при любых n  N справедливо равенство: 1+3+5+…+ (2n-1)=n2 .
Решение:
Сформулируем принцип математической индукции: имеется последовательность
утверждений. Если первое утверждение верно, а за каждым верным утверждением следует
верное, то все утверждения в последовательности равны.
В соответствии с принципом математической индукции проверим справедливость
утверждения для n=1 и n=2. Подставим n=1 в исходное утверждение. Получим верное равенство 1=1. Подставим n=2 в исходное утверждение, также получим верное равенство 1+3=22.
Далее предположим, что утверждение верно для некоторого значения n=k, т.е. справедливо равенство 1+3+5+…+ (2k-1)=k2.
Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа
n=k+1, т.е. докажем, что
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2.
Действительно, k2 +2k +1=(k+1)2.
Тем самым по принципу математической индукции утверждение доказано для любого
натурального значения n .
2
Пример № 5
Найти производные функций
а) y  cos x .
Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, получим:
5
y   5 cos 4 x  cos x   5 cos 4 x   sin x   5 cos 4 x  sin x .
б)
y  cos2 3x ;
y  2 cos 3x  cos 3x   2 cos 3x  sin 3x   3x  
 2 cos 3x  sin 3x  3  3sin 6 x
Пример № 6
Выполнить часть общего исследования функций:
А) исследовать характер разрыва следующей функции у 
в точке х  2 , где она не определена.
1
Функция имеет разрыв
2 х
1
1
1
1

  ; lim

  .
x 2  0 2  x
x 2 0 2  x
 б.м.
 б. м
lim
Односторонние пределы не существуют, следовательно, имеем разрыв второго рода.
Через точку разрыва проходит вертикальная асимптота (рис. 2).
y
y
A
A1
4
0
1
2
C
x
0
1
2
X
В
Рис 2.
Рис 3.
пр
2
од
Б) найти экстремум функции y  x  2 x  5 .
ук
ци
Найдем производную функции. Она равна y   2 x  2 . Приравниваем
производную к
и
нулю 2x  2  0 и находим критическую точку х0  1 . Чтобы найти
ординату этой точки,
ко
2
нд
подставим х0  1 в данную функцию y0  1  2  1  5  4 и запишем вершину параболы C(1;
и
4). Ось симметрии проходит через C параллельно оси Оу (рис. 3).
т Пересечение параболы с
осью Оу : х  0 ; у  5 , т.е. A(0; 5). Симметричная ей точка A1(2; 5).ер
ск
ой
у  х  2 ех
В) Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции
Находим первую производную:

у    х  2  е х




.
 1  е х  х  2  е х  е х  х  1 и приравниваем ее к нулю

е х  х  1  0 . Так как е х  0 , то х  1  0 и х0  1 . Критическая точка х0  1 делит  ; 



на два интервала монотонности, у  при переходе через точку 1; е меняет знак с  на
 . Следовательно, 1; е - точка минимума.
Пример № 7
Найти неопределенные интегралы:
3


а)  3 x 
1
5

2
2 dx 

3
x
dx

3

xdx

5

x
dx

3

x

2
x

3
x2
x 1
x 2
3
5
3
5
3
 C  x2   2 x3  C .
3
2
1
2
x
2
1
1
sin 5 x  1
 cos t  dt  sin t  c 
C.
5
5
5
1
Здесь сделана замена: 5x 1  t ; 5dx  dt ; dx  dt .
5
б)  cos5 x  1dx 
в) 
xdx
1 dt 1
1



ln
t

C

ln x 2  4  C .
2
2
2
x 4 2 t
Сделана замена:
x 2  4  t ; 2 xdx  dt ; xdx  1 dt .
2
Пример № 8
а) из 25 изделий (из них 5 бракованных) нужно выделить для контроля 3 изделия. Каким числом способов это можно сделать? Какова вероятность того, что все выделенные детали не окажутся бракованными?
Решение:
Число способов выделить 3 изделия из 25 равно числу сочетаний из 25 элементов по
3
3(C 25) .
n!
(n! 1  2  3  ...  (n  1)n)
k!(n  k )!
25!
25! 23  24  25
3
C 25  3!(25  3)!  3!22!  1  2  3  2300 .
Для того, чтобы найти вероятность того, что выделенные детали не окажутся бракованными, найдем число способов, каким можно выбрать 3 изделия не из всех 25 изделий, а из 20
не бракованных.
20!
18  19  20
3
C 20  3!(20  3)!  1  2  3  1140 .
Соответствующая вероятность:
По формуле
PC
C
3
20
3
25

C
k
n

1140
 0,496 .
2300
б) имеются 3 одинаковые урны с шарами: в первой - 2 белых и 1 черный шар, во второй
– 3 белых и 1 черный, в третьей - 2 белых и 2 черных. Наугад выбирается одна из урн и из
нее вынимается шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. Далее найти вероятность
того, что шар вынут из первой, второй, третьей урны.
Решение:
Пусть А – событие «вынут белый шар». Это событие может произойти с одним из трех
событий H i (гипотез) (i = 1, 2, 3)
H
H
H
1
- выбрана первая урна;
2
- выбрана вторая урна;
3
- выбрана третья урна.
4
3
H i  H j   H i  ; i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3; i ≠ j.
i 1
В силу равновозможного выбора (наугад) урн находим:
P( H1 )  P( H 2 )  P( H 3 )  1 / 3.
Найдем условные вероятности:
Событие A / H i - «вынут белый шар при условии, что выбрана i-ая урна»
P( A / H1 )  2 / 3; P( A / H 2 )  3 / 4; P( A / H 3 )  2 / 4  1 / 2.
По формуле полной вероятности:
1  2 3 1  23
P( A)  P( H1 )  P( A / H1 )  P( H 2 )  P( A / H 2 )  P( H 3 )  P( A / H 3 )  =     
3  3 4 2  36
По формуле Бейеса найдем вероятность того, что белый шар вынут из 1-ой урны:
 1 2  23 8
P( H 1 )  P( H 1 ) P( A / H 1 ) / P( A)     /

 2 3  36 23
Вероятность того, что белый шар вынут из 2-ой урны
9
P( H 2 )  P( H 2 ) P( A / H 2 ) / P( A) 
23
6
из третьей урны: P( H 3 )  P( H 3 ) P( A / H 3 ) / P( A) 
23
8
9
6


 1.
Проверкой убеждаемся, что
23 23 23
в) вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна P1  0,4 , второго P2  0,9 , третьего - P3  0,7 .
Найти вероятность того, что студент: а) сдаст только один экзамен; б) сдаст все три экзамена; в) не сдаст ни одного экзамена г) сдаст хотя бы один экзамен.
Решение:
1. Ввести обозначения для заданных величин:
A1 - сдан первый экзамен, A1 - не сдан первый экзамен;
A2 - сдан второй экзамен, A2 - не сдан второй экзамен;
A3 - сдан третий экзамен, A3 - не сдан третий экзамен;
A - сдан только один экзамен;
B - сданы все три экзамена;
C - не сдано ни одного экзамена;
D - сдан хотя бы один экзамен.
2. Определение вероятности появления события A . Событие A может произойти, если
студент сдаст первый экзамен, т.е. произойдёт событие A1 ,- но не сдаст второй и третий эк-
замены, т.е. произойдут события A2 и A3 ,или произойдут события A2 , A1 и A3 или A3 , A1 и
A2 .
Все эти события несовместные (ведь студент не может одновременно и сдать или не
сдать экзамен и, кроме того, результат сдачи экзамена не оказывает влияния на результат задачи). По условию задачи:
P(A1)=p1=0,4; P(A2)=p2=0,9 ; P(A3)=p3=0,7.
Определим вероятности противоположных событий:
P( A1 )  1  p1  1  0,4  0,6;
P( A 2 )  1  p 2  1  0,9  0,1;
P( A 3 )  1  p3  1  0,7  0,3
5
Учитывая теоремы сложения и умножения вероятностей, можно определить вероятность появления события A :
P( A)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 A2 A3 )  P( A1 A2 A3 )  0,4  0,1  0,3 
 0,9  0,6  0,3  0,7  0,1  0,6  0,012  0,162  0,042  0,216
3. Определение вероятности появления события B .
Событие B может произойти, если сданы первый, второй и третий экзамены. Учитывая
обозначения, принятые в п. 2, событие B произойдет, если произойдет три несовместных
события B  A1 A2 A3 и вероятность появления события B определяется по формуле:
P( B)  P1 P2 P3  0,4  0,9  0,7  0,252
4. Определение вероятности появления события C .
Событие C может произойти в том случае, если не будут сданы как первый, так и второй, так и третий экзамены. Учитывая обозначения, принятые в п. 2, событие C произойдет,
если произойдет три несовместных события A1 , A2 и A3 и вероятность появления события
C определяется по формуле:
P(C )  (1  P1 )(1  P2 )(1  P3 )  (1  0,4)(1  0,9)(1  0,7) 
 0,6  0,1  0,3  0,018
5. Определение вероятности появления события D .
Событие D состоит в том, что студент сдаст не менее одного экзамена, т.е. он сдаст
один, два, или три экзамена. В этом случае вероятность события D равна сумме вероятностей появления события A , E (сдача двух экзаменов) и B , но P (E ) нам не известны.
В данном случае следует обратить внимание на то, что события C и D составляют
полную группу событий, вероятность которой, как известно равна 1. Поэтому, вероятность
события D можно определить по следующей формуле:
P( D)  1  P(C )  1  0,018  0,982
Ответ: P( A)  0,216; P( B)  0,252; P(C )  0,018; P( D)  0,982
Пример № 9
В опыте было получено 30 наблюдений над случайной величиной X, составляющих выборочную совокупность. Они приведены в таблице. По выборочным данным:
1) составить ряд распределения; найти размах выборки;
2) построить эмпирическую функцию распределения;
3) найти числовые характеристики выборки: X в - выборочное среднее, Dв - выборочную дисперсию;  в - выборочное среднее квадратическое отклонение;
4) проверить гипотезу H 0 : математическое ожидание случайной величины Х; М (Х) =
90 против альтернативной гипотезы H : M(X)  90 (среднее квадратическое отклонение
 оценивается по выборке). Уровень доверия γ= 0,95.
6
Таблица
Значения признака Х, полученные из опыта
89
92
82
83
92
92
94
94
84
90
98
99
95
95
86
90
94
92
98
88
91
82
86
81
89
80
86
87
90
82
Решение:
1. Составим ряд распределения: расположим наблюдения X i (i  1,30) в порядке возрастания в верхней строке таблицы А, в нижней строке nί - количество наблюдений в общем ряду наблюдений.
Таблица А
Xi
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
n.ί
Xi
1
90
1
91
3
92
1
93
1
94
0
95
3
96
1
97
1
98
2
99
nί
3
1
4
0
3
2
0
0
2
1
Из этих наблюдений определим наибольшее Хмах = 99 и наименьшее Х мin = 80. Вычислим размах варьирования d=Xmax – Xmin = 99-80 = 19.
n
2. Эмпирическая функция распределения F  ( x)   i определяет для каждого значеn
ния х относительную частоту события Х < x.
Она
принимает
значения
причем
при
0  F  ( x)  1
F  ( x)  0
X  X min ; F  ( x)  1
при
X > X max
Таким образом, мы имеем:
x  80; F  ( x)  0
80  x  81; F  ( x)  1 / 30
81  x  82; F  ( x)  2 / 30
(т.к. значения, меньшие 82, наблюдались два раза).
82  x  83; F  ( x)  5 / 30 (т.к. значения меньшие 83, наблюдались 5 раз).
83  x  84; F  ( x)  6 / 30  1 / 5
84  x  85; F  ( x)  7 / 30
85  x  86; F  ( x)  10 / 30  1 / 3
87  x  88; F  ( x)  11 / 30
88  x  89; F  ( x)  12 / 30  2 / 5
89  x  90; F  ( x)  14 / 30  7 / 15
90  x  91; F  ( x)  17 / 30
91  x  92; F  ( x)  18 / 30  3 / 5
92  x  94; F  ( x)  22 / 30  11 / 15
94  x  95; F  ( x)  25 / 30  5 / 6
95  x  98; F  ( x)  27 / 30  9 / 10
98  x  99; F  ( x)  29 / 30
99  x; F  ( x)  1
Построим график эмпирической функции распределения F  (x)
7
1
9/10
8/10
7/10
6/10
5/10
4/10
3/10
2/10
1/10
0
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
3. Найдем числовые характеристики выборочной совокупности X b ; Db ; b.
Оценка математического ожидания признака Х
X b  ( x1  ...  xn ) / n  (89  83  94  ...  86  82) / 30  89,37
n
Выборочная дисперсия Db 
 (x
1
 xb )2

n
= (1 / 30) (80  89,37) 2  (81  89,37) 2  3(82  89,37) 2  ... 
 2(98  89,37) 2  (99  89,37) 2  (99  89,37) 2   27,77
i 1

Среднеквадратическое отклонение  b  Db  5,27
4. Для проверки гипотезы H 0 : M ( X )  90 построим доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х с уровнем доверия γ=0,95.
Если среднее квадратическое отклонение исследуемой случайной величины Х заранее
неизвестно (а это та ситуация, в которой мы находимся), то оно оценивается по выборочным
данным. В этом случае доверительный интервал имеет вид:


( X b  t y b ; X b  t y b ), где X b - выборочное среднее; n – объем выборки;  b - выбоn
n
рочное среднее квадратическое отклонение по таблице распределения Стьюдента для заданных объема выборки n и уровня доверия γ.
В нашем случае X b  89,37; b  5,27;
n  5,48; t 0,95  t (0,95;30)  2,042
Получаем доверительный интервал
(89,37-2,042(5,27/5,48); 89,37+2,042(5,27/5,48)=(87,41;91,33).
Число «90» содержится в построенном доверительном интервале, следовательно, гипотезаH0: М(X) = 90 принимается с уровнем доверия γ=0,95.
5. Задачи контрольных работ
Задачи № 1-10.
Даны множества на числовой прямой А, В и С - найти
А  С , А  В, А  В  С , ( А  В)  С , В  С и изобразить их на числовой оси.
1. А=  2,0,
В=  ,1 ,
С=  1,1
В=  ,2 ,
С= 2,4
В=  ,4 ,
С= 4,6
2. А= 0,2,
В=  ,1 ,
4. А= 2,4,
В=  ,3 ,
3. А= 1,3,
5. А= 3,5,
6. А=  3,1,
В=  ,2 ,
С= 1,3
С= 3,5
С=  2,0
8
множества
7. А=  4,2 ,
С=  3,1
В=  ,3 ,
8. А=  5,3 ,
С=  4,2
В=  ,4 ,
9. А= 4,6,
С= 5,7
В=  ,5 ,
10.А=  6,4 ,
В=  ,5 , С=  5,3
Задачи № 11-20.
Для исходной теоремы сформулировать обратную, противоположную и противоположную обратной теоремы. Указать, какие из этих теорем истинны. Если теорема не является
истинной, то приведите подтверждение ее ложности.
1. Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
2. Если четырехугольник – ромб, то его диагонали делятся пополам.
3. Если четырехугольник – квадрат, то в него можно вписать окружность.
4. Если у четырехугольника основания параллельны, то он – параллелограмм.
5. Если четырехугольник – квадрат, то все его стороны равны.
6. Если в треугольнике один угол тупой, то два других – острые.
7. Если многоугольник правильный, то вокруг него можно описать окружность.
8. Если в треугольнике провести отрезок, соединяющий середины сторон, то он равен
половине основания.
9. Если в треугольнике провести отрезок, соединяющий середины сторон, то он параллелен основанию.
10. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то он - ромб.
Примечание: Если исходная теорема не записана явно в виде: p (x)  q (x), то ее нужно
переформулировать так, чтобы она была записана в таком виде ( т.е. выделить условия p (x) и
заключение теоремы q (x)), а потом строить обратную, противоположную и противоположную обратной теоремы на основе предложенных схем.
Например, исходную теорему «Равные вектора имеют равные соответствующие координаты» нужно переформулировать так: «Если вектора равны (p (x)), то их соответствующие
координаты равны (q (x))»
Задачи № 21-30.
Доказать методом математической индукции справедливость следующих равенств:
1. 3+5+7+…+(4n-1)=(2n+1)n
n(n  1)
2. 12-22+32-42+…+(-1)n-1n2= (-1)n-1 2
3. 13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4
4. 1+2+4+8+…+2n-1=2n-1
5. 12+22+32+…+n2=n(2n2+3n+1)/6
6. 1+8+16+24+…+8(n-1)=(2n-1)2
7. 3+6+12+24+…+3  2 n-1=3 (2n-1)
n
1
1
1
8.
=

 ... 
1 4 4  7
(3n  2)(3n  1) 3n  1
1
1
1
n
9.

 ... 

1 5 5  9
(4n  3)( 4n  1) 4n  1
10. 1  4  2  7  3  10  ...  n(3n  1)  n(n  1) 2
Задачи № 31-40.
Найти производные функций:
1. а) у  2 х  3 х  5 ; б)
3
2. а) у  3х 
y  tg 3 4 x .
4
x2
4

5
х

2
y

e
;
б)
.
х2
9
3. а)
4. а)
5. а)
6. а)
7. а)
y  2x  5  tg x ; б) y  3 2 x  1 .
sin x
2
у
; б) y  ln x  5 .
x
x
y  x  ln x ; б) y  cos 4 .
2
2
y  3x 2   2 x ; б) y  cos 2 x .
x
y  x  cos x ; б) y  ln sin 2 x .


ex
2
8. а) y 
; б) y  ln x  2 x  5 .
x


2x  5
cos 5 x
; б) y  e
.
x 1
y  xe x ; б) y  ln cos 3x .
9. а) y 
10. а)
Задачи № 41-50.
Выполнить исследование функции по следующей схеме:
1) найти область определения;
2) проверить четность, нечетность функции;
3) найти точки пересечения с осями координат;
4) найти экстремумы функции и интервалы монотонности;
5) найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости;
6) найти пределы функции при х   ;
7) построить график функции.
1. у  3 х  15 х  36 х  5 , 42)
3
2.
2
у  х 3  3х 2  9 х  4 ,
44) у  2 х  4 х  3 ,
4
3. у  6 х  3 х  1 ,
2
4.
у  х3  6х2  9х  5 ,
2
46) у  2 х  3х  7 ,
4
3
у  х 3  3х 2  9 х  2 ,
2
48) у  3 х  6 х  1 ,
4
2
5. у  х  9 х  24 х  16 , 50) у  3 х  8 х  1 .
3
4
2
3
Задачи № 51-60.
Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
1.
 2

а)  x 

1
x2


2. а)

3. а)
x  5 x  x dx ;
4.
x 3 x
dx ;
x
 1

а) 
x
2


5

 3 dx ; б)  cos x 2  5 xdx .
x

б)
3

 2 dx ;
x

 sin 2 x  cos x  dx .
б)
 e sin x cos x  dx .
б)
 cos 5 x  sin x  dx .
10
 1dx ; б)  sin 3 x  cos x  dx .


xdx
2 
 1

dx ; б)

6. а) 
.
 cos 2 x sin 2 x 
1  2x 2
5. а)
 5 x 3  33 x 2


7. а)
8.
 x2 

а) 
1
x2


x 3 x
dx ;
x
б)
9. а)
x  5 x  x dx ;
10. а)
 1
x
2


5

 3 dx ; б)  cos x 2  5 xdx .
x

3

 2 dx ;
x

 sin 2 x  cos x  dx .
б)
 e sin x cos x  dx .
б)
 cos 5 x  sin x  dx
Задачи № 61-70.
1. а) из 35 студентов нужно выбрать трёх делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать? Какова вероятность того, что студент Петров не окажется в числе
делегатов?
б) в лотерее выпущено 20 билетов, 10 из которых выигрывают. Куплено 5 билетов. Какова вероятность того, что, по крайней мере, один из купленных билетов окажется выигрышным?
2. а) в группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 билетов.
Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки;
б) на склад поступили детали с трёх станков. На первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором - 35% и на третьем – 25%,причём на первом станке
было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором – 80% и на третьем – 70%.Какова
вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?
3. а) из колоды в 32 карты наугад одна за другой вынимаются две карты. Найти вероятность того, что вынуты валет и дама;
б) устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включёнными
окажутся неизношенные элементы.
4. а) в продукции кондитерской фабрики шоколадные конфеты составляют 40% ассортимента. В среднем 10 из 1000 шоколадных конфет оказывается с браком. Для остальной
продукции этот показатель равен 5 из 200. Выбранное наугад изделие оказалось без брака.
Какова вероятность того, что это была шоколадная конфета?
б) студент знает ответы полностью на 20 билетов из 30. Найти вероятность того, что он
не сможет ответить на все вопросы вытянутого им билета?
5. а) Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью Р имеет дефект. В
цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает дефект с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,95. Известно,
что изделие забраковано. Найти вероятность того, что это сделано вторым контролером;
б) из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными.
6. а) два автомата производят детали. которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором – 0,09.
Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того,
что наугад взятая деталь нестандартная;
11
б) в ящике имеется 12 деталей, среди которых 10 окрашенных.
Сборщик наудачу извлекает 2 детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся
окрашенными.
7. а) три стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка – 0,6, для второго – 0,7, для третьего – 0,8. Найти вероятность одного попадания в цель;
б) в бригаде, состоящей из 4 женщин и 3 мужчин разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?
8. а) на базе находятся костюмы, изготовленные на трех фабриках. Из них 30% изготовлено на первой, 50% на второй и 20% на третьей фабрике. Известно, что из каждых 100 костюмов, изготовленных на первой фабрике, знак качества имеют 60. Для второй и третьей
фабрик этот показатель равен, соответственно, 70 и 80. Определить вероятность того, что
взятый наугад с базы костюм не будет иметь знака качества;
б) в конверте среди 50 фотографий находятся 3 разыскиваемые. Из конверта наудачу
извлечены 5 фотокарточек. Найти вероятность того, что среди них окажутся разыскиваемые.
9. а) число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность
того, что будет заправляться грузовая машина равна 0,1, для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того,
что это грузовая машина;
б) произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность
попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91. Найти вероятность поражения
цели.
10. а) владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (6 из 49) зачеркивает 6 номеров.
Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?
б) в специализированную больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием
К, 30% - с заболеванием Н, 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения от болезни К равна 0,7, для болезней Н и М эта вероятность соответственно равна 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот
больной страдал заболеванием К.
Задачи № 71-80.
В опыте было получено 130 наблюдений над случайной величиной X, составляющих
выборочную совокупность наблюдений над случайной величиной. Из них необходимо выбрать 30 значений признака, соответствующих Вашей задаче(по таблице в конце задачи). По
выборочным данным:
-составить ряд распределения; найти размах выборки;
-построить эмпирическую функцию распределения;
-найти числовые характеристики выборки: X в - выборочное среднее; Dв- выборочную
дисперсию; σв -выборочное среднее квадратическое отклонение;
-проверить гипотезу H0: математическое ожидание случайной величины X: М(X)=90
против альтернативной гипотезы H : М(X)  90 (среднее квадратическое отклонение σ оценивается по выборке). Уровень доверия γ = 0,95.
Номера задач
71
Номера значений признака
с 1 по 30
72
с 11 по 40
73
с 21 по 50
74
75
с 31 по 60
с 41 по 70
76
с 51 по 80
77
с 61 по 90
12
78
79
с 71 по 100
с 81 по 110
80
с 91 по 120
Номера
значений
признака
1-10
88
94
91
98
87
88
86
89
86
82
11-20
82
86
81
87
89
89
81
81
90
89
96
99
94
Значение признака, полученного из опыта
21-30
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
101-110
111-120
84
91
87
83
90
89
10
0
93
86
81
83
84
92
93
85
84
88
83
87
87
81
95
90
89
95
96
84
82
89
88
83
90
92
80
81
85
81
84
96
86
94
85
92
89
85
94
96
88
89
89
85
92
91
90
95
84
91
91
84
83
83
85
85
86
83
86
96
81
85
92
84
90
82
90
93
89
87
92
96
86
95
91
86
94
95
84
96
87
85
93
96
97
84
88
93
92
89
13
7. Список литературы
1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие / В. Е.
Гмурман. - М. : Высшая школа, 2002. – 185 с.
2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике / В. Е. Гмурман. - М. : Высшая школа, 1999. – 210 с.
3. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов /
Н. Ш. Кремер. – М. : Банки и
биржи, ЮНИТИ, 1998. – 225 с.
4. Кремер Н. Ш. Теория вероятности и математическая статистика : учебник. / Н. Ш. Кремер. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 110 с.
5. Тихомиров Н. Б. Математика : учебный курс для юристов / Н. Б. Карасев, А. М. Шелехов. - М. : Юрайт, 1999.
6. Карасев А. И. Курс высшей математики для экономических вузов в 2-х Ч. / А. И. Карасев,
З. М. Аксютина, Т. И. Савельева. – М. : Высшая школа, 1982. – 293 с.
7. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учебное пособие в 2-х Ч. / П. Е.
Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : Высшая школа, 1997. – 310 с.
14