Уравнение Бернулли

Тема 3. Кинематика и динамика жидкостей и газов
Лекция 11. Уравнение Бернулли и следствия из него
ПЛАН ЛЕКЦИИ
Учебные вопросы
Введение.
1. Основные положения гидродинамики. Уравнение неразрывности
струи.
2. Уравнение Бернулли.
3. Истечение жидкости из отверстия. Принцип реактивного движения.
Заключение.
ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 часа.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Суханов А.Д. Фундаментальный курс физики. -М.: 1996.
2. Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. -M: -Наука, 1996. §
72,73,74.
3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1999. § 28,29,30.
4. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. - М.: Наука,
1996. Отдел III.
ВВЕДЕНИЕ
Современные летательные аппараты способны выполнять саше
разнообразные задачи и осуществлять полет в различных физических
условиях. Физическими условиями полета называется совокупность физических свойств атмосферы и физических явлений, возникающих во время
полета летательных аппаратов. Физические условия полета определяются, в
первую очередь, назначением летательного аппарата и могут значительно, а
порой и быстро, изменяться в процессе полета. Ярким примером являются
пилотируемые космические корабли многоразового использования,
способные осуществлять полет как в околоземном космическом
пространстве, т.е. в практически безвоздушном пространстве, так и в нижних
плотных слоях атмосферы.
В безвоздушном пространстве полет летательных аппаратов основан на
реактивном принципе движения, т.е. на законах движения тел с переменной
массой, вытекающих из основных законов динамики поступательного
движения твердых тел.
Полет летательных аппаратов в воздушной среде подчиняется законам
аэродинамики, начало которой положено трудами русского ученого Н. Е.
Жуковского (184-7-1921) и его ученика С. А. Чаплыгина. В основе
аэродинамики, как науки, лежит гидродинамика - физическая теория
движения несжимаемых жидкостей с твердыми телами.
Основные положения и выводы гидродинамики применимы не только
к жидкостям, но и к газам в том случае, когда сжимаемостью их можно
пренебречь. Соответствующие расчеты показывают, что при движении
жидкостей и газов со скоростями меньшими скорости звука, их с
достаточной степенью точности можно считать несжимаемыми. Следовательно, движение твердых тел, в том числе летательных аппаратов, в
воздушной среде при указанных Скоростях подчиняется законам гидродинамики.
Для выяснения физической сущности процессов, определяющих полет
летательных аппаратов, необходимо уяснить основные положения
гидродинамики.
2
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ. УРАВНЕНИЕ
НЕРАЗРЫВНОСТИ СТРУИ
Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц
движущейся жидкости потоком. Графически движение жидкостей
изображается с помощью линий, которые проводятся так, что касательные к
ним совпадают по направлению с вектором
скорости жидкости в
соответствующих точках пространства (рис. 1).
Рис. 1
Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая
отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через
которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения
жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по
картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных
точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости.
Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какиелибо заметные взвешенные частицы.
Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой
тока.
Течение
жидкости
называется
установившимся
(или
стационарным), если форма и расположение линий тока, а также
значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.
Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2,
перпендикулярные направлению скорости (рис. 2).
Рис. 2
За время Δt через сечение S проходит объем жидкости SvΔt;
следовательно, за 1с через S1 пройдет объем жидкости S1v1, где v1 — скорость
3
течения жидкости в месте сечения S1. Через сечение S2 за 1с пройдет объем
жидкости S2v2, где v2 — скорость жидкости в месте сечения S2. Здесь
предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость
несжимаема (ρ=const), то через сечение S2 пройдет такой же объем
жидкости, как и через сечение S1, т. е.
S1v1=S2v2=const.
(1)
Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой
жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная
для данной трубки тока. Соотношение 1 называется уравнением
неразрывности для несжимаемой жидкости.
2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая
абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы
внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по
которой слева направо течет жидкость (рис. 3).
Рис. 3
Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1 давление Р1 и высота, на
которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2
скорость течения v2, давление Р2 и высота сечения h2. За малый промежуток
времени Δt жидкость перемещается от сечения S1 к сечению S'1, от S2 к S'2.
Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E2-E1
идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил
по перемещению массы жидкости:
E2-E1 = А
(2)
где E1 и Е2 — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1
и S2 соответственно.
С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении
4
всей жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый
малый промежуток времени Δt. Для перенесения массы m от S1 до S'1
жидкость должна переместиться на расстояние l1 =v1 Δt и от S2 до S'2 — на
расстояние l2 =v2 Δt. Отметим, что 11 и 12 настолько малы, что всем точкам
объемов, закрашенных на рис. 3, приписывают постоянные значения
скорости v, давления Р и высоты h. Следовательно,
А=F1l1+F2l2,
(3)
где F1=P1S1 и F2=-P2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону,
противоположную течению жидкости; рис. 3).
Полные энергии Е1 и Е2 будут складываться из кинетической и
потенциальной энергий массы m жидкости:
2
mv
E1  1  mgh1,
2
(4)
2
mv
E2  2  mgh2 .
2
Подставляя (4) и (5) в (2) и приравнивая (2) и (3), получим
2
(5)
2
mv1
mv2
 mgh1  P1S1v1t 
 mgh2  P2 S 2v1t
2
2
(6)
Согласно уравнению неразрывности струи для несжимаемой жидкости
(1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т.е.
V  S1v1t  S 2v2 Δt.
Разделив выражение (6) на V , получим
v1
v2
2
2
 mgh1  P1 
 mgh2  P2 ,
2
2
где ρ — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались
произвольно, то можем записать
v 2
 mgh  P =const.
(7)
2
Выражение (7) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—
1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как
видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона
сохранения энергии применительно к установившемуся течению
идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальныхжидкостей,
внутреннее трение которых не очень велико.
5
Величина Р в формуле (7) называется статическим давлением
(давление жидкости поверхность обтекаемого ею тела), величина
динамическим
давлением.
Величина
gh
представляет
v 2
—
2
собой
гидростатическое давление.
Для горизонтальной трубки тока (h1=h2) выражение (7) принимает вид
v 2
2
 P =const,
(8)
v 2
 P - называется полным давлением.
2
Из уравнения Бернулли (8) для горизонтальной трубки тока и
уравнения неразрывности (1) следует, что при течении жидкости по
горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости
больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких
местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать,
установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 4).
Рис. 4
В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в
манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень
жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к
широкой части трубы.
Так как динамическое давление связано со скоростью движения
жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока
жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис. 5).
Рис. 5
6
Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок,
противоположные концы которых присоединены к манометру. I помощью
одной из трубок измеряется полное давление (Р0), с помощью другой —
статическое (Р). Манометром измеряют разность давлений:
P0  P   0 gh ,
(9)
где  0 - плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно
уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна
динамическому давлению:
P0  P 
v 2
(10)
.
2
Из формул (9) и (10) получаем искомую скорость потока жидкости:
2  0 gh
v
.
Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока
больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 6).
Рис. 6
Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что
давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется
сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте
давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в
откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее
узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из
узкого конца. Таким образом, можно откачивать воздух из сосуда до
давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст.= 133,32 Па).
7
Уравнение Бернулли позволяет описать физические явления лежащие в
основе работы целого ряда устройств и приборов: карбюратор,
пульверизатор (рис. 7) и др.
Рис. 7
3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЯ. ПРИНЦИП
РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения
жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим
цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой
глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 8).
Рис. 8
Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности
жидкости в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия) и напишем
уравнение Бернулли:
2
2
mv1
mv
 mgh1  P1  2  mgh2  P2
2
2
Так как давления Р1 и Р2 в жидкости на уровнях первого и второго
сечений равны атмосферному, т.е. Р1=Р2 , то уравнение будет иметь вид
2
2
v1
v
 gh1  2  gh2 .
2
2
8
Из уравнения неразрывности (1) следует, что v1/v2 = S1/S2, где S1 и S2 —
2
v
площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1>>S2, то членом 1
2
можно пренебречь и
v22  2g (h1  h2 )  2gh,
v2  2 gh.
(11)
Это выражение получило название формулы Торричелли (Э.
Торричелли (1608 – 1647) – итальянский физик и математик.
Итак, скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на
глубине h под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую
приобретает любое тело, падая с высоты h. Следует помнить, что этот
результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных
жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается
от значения (11), чем больше вязкость жидкости.
Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде (рис. 9), уносит с
собой за время Δt импульс P  Svvt (  — плотность жидкости, S —
площадь отверстия, v — скорость истечения струи).
Рис. 9
Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом. По третьему
закону Ньютона сосуд получает, от вытекающей жидкости за время Δt
импульс, равный — P , т.е. испытывает действие силы
P
(12)
  Svv.
t
Эта сила называется реакцией вытекающей струи. Если сосуд
поставить на тележку, то под действием силы Fr он придет в движение в
направлении, противоположном направлению струи.
Fr  
9
Найдем значение силы Fr, воспользовавшись выражением (11) для
скорости истечения жидкости из отверстия:
Fr  Sv2  2 ghS.
(13)
Если бы, как это может показаться на первый взгляд, сила Fr совпадала
по величине с силой гидростатического давления, которое жидкость
оказывала бы на пробку, закрывающую отверстие, то Fr была бы равна
2 ghS . На самом деле сила Fr оказывается в 2 раза большей. Это объясняется
тем, что возникающее при вытекании струи движение жидкости в сосуде
приводит к перераспределению давления, причем давление вблизи стенки,
лежащей против отверстия, оказывается несколько большим, чем вблизи
стенки, в которой сделано отверстие.
На реакции вытекающей струи газа основано действие реактивных
двигателей и ракет. Реактивное движение, не нуждаясь для своего
осуществления в наличии атмосферы, используется для полетов в
космическом пространстве.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основоположником теории межпланетных сообщений является
выдающийся русский ученый и изобретатель К.Э. Циолковский (1857—
1935). Он дал теорию полета ракеты и обосновал возможность применения
реактивных аппаратов для межпланетных сообщений. В частности,
Циолковским была разработана теория движения составных ракет, в которых
каждая последующая ступень вступает в действие после того, как
предыдущая ступень, израсходовав полностью топливо, отделится от ракеты.
Идеи Циолковского получили дальнейшее развитие и были осуществлены
учеными и инженерами для освоения космического пространства.
10