Выводы с использованием конъюнкции, дизъюнкции, импликации

Выводы с использованием конъюнкции, дизъюнкции, импликации
Бывают высказывания, содержащие другие высказывания в качестве своих компонент.
Например:
Шарик или убежал, или попал под машину. (Дизъюнкция)
Дует ветер, и идет дождь. (Конъюнкция)
Если первый туземец – политик, он лжет. (Импликация)
Пусть А и B - отдельные высказывания.
Конъюнкция высказываний А и В – это высказывание вида «А и В». Конъюнкция истинна
тогда и только тогда, когда оба входящие в нее высказывания истинны.
Дизъюнкция высказываний А и В – это высказывание вида «А или В». Существует два
способа понимания союза «или»:
1) «А или В» истинно тогда и только тогда, когда истинно А или истинно В, но не оба
вместе;
2) «А или В» истинно тогда и только тогда, когда по крайней мере одно из высказываний
А, В истинно (может быть, и оба).
(В латинском языке даже было два разных союза «или»: aut означало “или” в первом
смысле, vel – во втором).
Для определенности мы всегда будем понимать «или» во втором смысле: «или А, или В,
или оба вместе», «по крайней мере А или В».
Отрицание конъюнкции и дизъюнкции.
Неверно, что А и В. Значит, не А или не В.
Неверно, что сегодня ветер и дождь. Значит, сегодня нет ветра или сегодня нет дождя.
… Значит, сегодня нет ни ветра, ни дождя. – неправильный вывод!
Неверно, что А или В. Значит, не А и не В.
Неверно, что Амундсен или Скотт был первым на Южном полюсе. Значит, ни Амундсен, ни Скотт не был
первым человеком на Южном полюсе.
Дизъюнктивный силлогизм.
А или В; не А; следовательно, В.
Шарик или убежал, или попал под машину. Шарик не убежал. Следовательно, …
Всегда либо день, либо ночь. Сейчас не день. Следовательно, …
Каждый раз в столовой я беру по крайней мере или компот, или солянку. Сегодня я не взял солянку.
Следовательно, я взял компот.
Каждый раз в столовой я беру по крайней мере или компот, или солянку. Сегодня я взял солянку.
Следовательно, я не взял компот. - неправильный вывод! (А или В; А; следовательно, не В). Но если бы
здесь стояло не «по крайне мере компот или солянку», а «либо компот, либо солянку, но только что-то одно
из них», то вывод был бы правилен!
Гипотетическое высказывание, или импликация высказываний А и В – высказывание
вида «Если А, то В». Импликация ложна, когда первое высказывание ложно, а второе
истинно; во всех остальных случаях импликация считается истинной.
Гипотетические силлогизмы
Если А, то В; если В, то С; значит, если А, то С.
Если первый туземец – политик, то он лжет.
Если он лжет, то он отрицает, что он политик.
Значит, если первый туземец – политик, то он отрицает, что он политик.
Если А, то В; А; значит, В. (модус поненс)
Если на улице дует ветер, то там холодно. На улице дует ветер. Следовательно, там холодно.
Если А, то В; не В; значит, не А. (модус толленс)
Если наступает день, то становится светло. Сейчас не светло. Следовательно, день не наступил.
Если это хороший фильм, то я китайский император! (Подразумевается: я не китайский император,
следовательно, это – плохой фильм).
На этом правиле основано «доказательство от противного». Пусть надо доказать А.
Предположим, что А неверно, и выведем из этого «не А» некоторое заключение В, про
которое известно, что оно ложно. Итак, получаем:
Если не А, то В;
не В;
значит, А.
Кроме того, на том же правиле модус толленс основан «закон контрапозиции
гипотетического высказывания»:
Если А, то В; значит, если не В, то не А.
Если есть гром, то есть и молния; следовательно, если нет молнии, то нет и грома.
Модус поненс и модус толленс – формы правильных выводов. Но их легко перепутать с
двумя формами неправильных выводов:
Если А, то В; В; значит, А.
Если человеку 80 лет, он стар. Человек стар. Следовательно, ему 80 лет?????????
Если А, то В; не А; значит, не В.
Если Пушкин написал «Муму», то он достоин памятника. Пушкин не написал «Муму». Следовательно, он
не достоин памятника???????