Стохастический анализ - Основные образовательные программы
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования «Тобольская государственная социальнопедагогическая академия им. Д.И.Менделеева»
Физико – математический факультет
Кафедра математики, теории и методики обучения математике
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2013 г.
Учебно-методический комплекс дисциплины
«СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Код и направление подготовки
02.03.01 Математика и компьютерные науки
Профили подготовки
Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Тобольск
2013
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК
(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)
Рег. номер:
_____________________________________________________________________
Дисциплина:
Стохастический анализ___________________________________________
Учебный план: 02.03.01 «Математика и компьютерные науки» Профиль «Вычислительные,
программные, информационные системы и компьютерные технологии»
Автор:
Кушнир Таисья Ивановна_________________________________________________
ФИО полностью
Кафедра:
физики, математики и методик преподавания
ФИО
СОГЛАСОВАНО:
дата
подпись
Председатель УМК (4)
Вертянкина Н.В.
_____________
____________________
Зам. начальника УМО (3)
Яркова Н.Н.
_____________
____________________
Зав. библиотекой (2)
Осипова Л.Н.
_____________
____________________
Зав. кафедрой (1)
Шебанова Л.П.
_____________
____________________
Исполнитель (ответственное лицо)
Кушнир Таисья Ивановна, доцент кафедры физики,
математики и методик преподавания
ФИО (полностью), должность, конт. телефон
_____________
_______
дата
подпись
2
Содержание
Рабочая программа дисциплины …………………………………...…………….................. 3
Руководство по организации обучения дисциплине ………………………………………13
Приложения ………………………………………………………………………………..….. 16
Приложение 1. Лекционные материалы …………………………………………………..…..16
Приложение 2. Практические занятия …………………………………………………….….19
2.1. Планы практических занятий ………………………………………………………….…..19
2.2. Методические указания к практическим занятиям ………………………………….….. 22
Приложение 3. Самостоятельная работа студентов ………………………………….….…... 23
3.1. Задания для самостоятельной работы ……………………………………………………. 23
3.2. Методические указания к выполнению самостоятельной работы ………………………26
Приложение 4. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине 27
4.1. Технологическая карта …………………………………………………………………..... 27
4.2. Тестовые задания для текущего контроля знаний по дисциплине ……………………. 28
4.3. Тестовые задания для итогового контроля знаний по дисциплине …………………….28
4.4. Вопросы к зачету ………………………………………………………………................... 30
Приложение 5. Глоссарий ………………………………………………………………..…..... 31
3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования «Тобольская государственная социальнопедагогическая академия им. Д.И.Менделеева»
Физико – математический факультет
Кафедра математики, теории и методики обучения математике
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2013 г.
Рабочая программа дисциплины
«СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Код и направление подготовки
02.03.01 Математика и компьютерные науки
Профили подготовки
Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Тобольск
2013
4
Рабочая программа дисциплины «Стохастический анализ» /сост. канд. пед. наук,
доцент Т.И. Кушнир – Тобольск: ТГСПА им. Д.И. Менделеева, 2013.
Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой части
профессионального цикла дисциплин направления студентам очной формы обучения по
направлению подготовки 02.03.01 «Математика и компьютерные науки» в 5, 6 и 7
семестрах.
Рабочая программа составлена с учетом Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению
подготовки 02.03.01 «Математика и компьютерные науки», утвержденного приказом
Министерства образования и науки Российской Федерации от "_16" января 2010 г. №
____.
Составитель ____________________ Т.И. Кушнир
(подпись)
Кушнир Т.И., 2013
ТГСПА им. Д.И.
Менделеева, 2013
5
Содержание
1
2
3
4
4.1
4.2
5
6
7
7.1
7.2
7.3
8
9
Стр
Цели и задачи освоения дисциплины……………………………………………
4
Место дисциплины в структуре ООП ВПО.......……………………………..........
4
Требования к результатам освоения содержания дисциплины.............................
5
Содержание и структура дисциплины ……….......………………………….........
7
Структура дисциплины..........................................................................
7
Содержание разделов дисциплины.........................................................................
8
Образовательные технологии...................................................................................
10
Самостоятельная работа студентов……………………………………………….. 12
Компетентностно-ориентированные оценочные средства………………………
14
Оценочные средства диагностирующего контроля……………………………… 14
Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология 14
оценивания работы студентов……………………………………………………..
Оценочные средства промежуточной аттестации ..………………………..........
17
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины………….
21
Материально-техническое обеспечение дисциплины…………………………… 23
6
1. Цели и задачи освоения дисциплины
Цели освоения дисциплины (модуля): формирование систематизированных знаний
в области стохастического анализа, его месте и роли в системе математических наук,
использование в естественных науках, в школьном курсе математики.
Задачи: развивать математическое мышление обучающихся, познакомить с
современными направлениями развития теории вероятностей, случайных процессов и
математической статистики; научить применять методы теории вероятностей, случайных
процессов и математической статистики для решения задач в различных сферах.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина
«Стохастический
анализ»
относится
к
базовой
части
профессионального
цикла
дисциплин
направления.
Она
характеризуется
содержательными связями с дисциплиной «Математический анализ». Изучение
стохастического анализа следует за изучением математического анализа.
Для изучения стохастического анализа необходимы знания из некоторых разделов
геометрии и математического анализа, например: «Введение в математический анализ»,
«Теория пределов», «Теория функции нескольких переменных», «Дифференциальное
исчисление для функции одной и нескольких переменных», «Интегральное исчисление
для функции одной и нескольких переменных», «Ряды», «Аналитическая геометрия».
Обучающийся должен знать основные элементарные функции и их свойства, понятия
производной, неопределенного и определенного интегралов, геометрические фигуры на
плоскости, тела в пространстве, должен уметь дифференцировать, интегрировать
функции, исследовать функции с помощью производной, находить сумму числового ряда,
разлагать функцию в степенной ряд, уметь находить площади фигур, объемы тел.
3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
3.1 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
а) общепрофессиональных компетенций:
- готовность использовать фундаментальные знания в области математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1).
3.2. В результате изучения студент должен:
знать:
- основные понятия и методы теории вероятностей, случайных процессов и
математической статистики;
- различные подходы к определению вероятности (классический, аксиоматический,
геометрический, статистический);
- классические методы математической статистики, используемые при планировании,
проведении и обработке результатов экспериментов в педагогике и психологии;
- прикладной характер дисциплины;
уметь:
- использовать математический аппарат при изучении и количественном описании
реальных случайных явлений и процессов;
- использовать точные и приближенные формулы теории вероятностей при решении
конкретных задач;
-решать задачи, относящиеся к этому курсу;
- проводить исследование основных понятий, вычислять вероятности, числовые
характеристики;
7
- доказывать основные свойства и теоремы теории вероятностей и математической
статистики;
- планировать процесс математической обработки экспериментальных данных;
- проводить практические расчеты по имеющимся экспериментальным
данным при использовании статистических таблиц и компьютерной поддержки
(включая пакеты прикладных программ);
- анализировать полученные результаты, формировать выводы и заключения;
владеть:
- вероятностными, статистическими методами мышления и исследования;
- основными технологиями статистической обработки экспериментальных данных на
основе теоретических положений классической теории вероятности;
- навыками использования современных методов статистической обработки информации
для диагностирования достижений обучающихся и воспитанников.
приобрести опыт:
- распознавания в реальной ситуации вероятностных черт;
- в оценке точности полученного решения;
- в обработке эмпирических данных;
- в принятии правильных решений на основе результатов этой обработки.
8
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 10 зачетных единиц (360
часов).
4.1. Структура дисциплины
Таблица 1
Количество часов
№
1
2
3
4
5
6
7
8
Наименование разделов
Семестр
Введение в теорию вероятностей.
5
Правила сложения и умножения
вероятностей. Полная вероятность.
Повторение испытаний. Схема
Бернулли.
Асимптотические формулы.
Нормальная функция распределения.
Случайные величины. Примеры
распределений.
Числовые характеристики случайных
величин.
Многомерные случайные величины.
5
Закон больших чисел и центральная
предельная теорема.
5
5
5
5
5
5
Итого:
Всего
Аудиторные
занятия
Л
ПЗ
СР
11
4
4
3
9
4
4
1
7
2
4
1
9
4
4
1
13
6
4
3
15
6
6
3
11
4
4
3
5
2
2
1
80
32
32
16
14
4
4
6
18
6
6
6
6
11
Основные понятия математической
статистики.
Теория оценок. Нахождение
неизвестных параметров
распределения.
Элементы теории корреляции.
6
10
4
4
2
12
Проверка статистических гипотез.
6
18
6
6
6
60
20
20
20
9
10
Итого:
6
9
13
14
15
16
17
18
19
20
Основные понятия теории случайных
процессов. Классификация
случайных процессов.
Корреляционные функции.
7
Потоки событий, их свойства и
классификация.
Линейные
и
нелинейные
преобразования
случайных
процессов. Спектральное разложение
и спектральная плотность.
Марковские процессы с дискретными
состояниями. Марковские цепи.
Марковские процессы с дискретными
состояниями и непрерывным
временем.
Стохастически зависимые процессы
типа гибели и размножения.
Стационарные процессы.
7
29
6
2
21
20
4
2
14
20
4
2
14
29
6
2
21
24
6
4
14
27
4
2
21
20
4
2
14
18
2
2
14
Итого:
187
36
18
133
Всего:
327
88
70
169
7
7
7
7
7
7
4.2. Содержание дисциплины
Таблица 2
№
Наименование
раздела
1
Введение в теорию
вероятностей.
2
Правила сложения
и умножения
вероятностей.
Полная
вероятность.
Повторение
испытаний. Схема
Бернулли.
3
4
5
Асимптотические
формулы.
Нормальная
функция
распределения.
Случайные
величины.
Содержание раздела
5 семестр
Основные понятия теории вероятностей. Классическое
определение вероятности. Другие определения вероятности
(геометрическое, аксиоматическое, статистическое).
Комбинаторные формулы и их применение к подсчету
вероятности.
Правила сложения и умножения вероятностей. Условная
вероятность. Зависимые и независимые события, их
вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Повторение испытаний. Схема Бернулли. Наиболее
вероятное число успехов. Среднее число успехов.
Обобщение схемы Бернулли. Задача о безвозвратной
выборке.
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Нормальная функция
распределения. Теорема Пуассона. Интегральная теорема
Муавра - Лапласа.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция
распределения и плотность вероятности. Основные примеры
10
6
7
8
Примеры
распределений.
Числовые
характеристики
случайных
величин.
Многомерные
случайные
величины.
Закон больших
чисел и
центральная
предельная
теорема.
9
Основные понятия
математической
статистики.
10
Теория оценок.
Нахождение
неизвестных
параметров
распределения.
11
Элементы теории
корреляции.
12
Проверка
статистических
гипотез.
13
Основные понятия
теории случайных
процессов.
Классификация
случайных
процессов.
Корреляционные
функции.
14
15
Потоки событий,
их свойства и
классификация.
дискретных и непрерывных распределений.
Числовые
характеристики
случайных
величин.
Математическое ожидание, дисперсия и их свойства.
Степень неопределенности дискретного распределения.
Понятие об энтропии.
Двумерная случайная величина, ее функция распределения и
плотность вероятности. Нормальное распределение двумерной
случайной величины. Числовые характеристики системы двух
случайных
величин.
Коэффициент
корреляции.
Корреляционная зависимость.
Неравенство Чебышева. Различные формы закона больших
чисел. Центральная предельная теорема теории вероятностей.
Применения центральной предельной теоремы.
6 семестр
Основные задачи математической статистики. Эмпирический
закон распределения. Таблица частот. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая
функция
распределения.
Числовые
характеристики статистического распределения.
Эмпирические оценки параметров распределения, требования,
предъявляемые к ним. Доверительные вероятности и
доверительные интервалы. Распределение Стьюдента. Оценка
неизвестной вероятности по частоте. Метод наименьших
квадратов для оценки параметров функциональной
зависимости между переменными.
Корреляционная зависимость. Коэффициент корреляции.
Линейная, криволинейная корреляции. Эмпирические линии
регрессии и их построение. Метод наименьших квадратов о
сглаживании функциональной зависимости.
Общие принципы проверки статистических гипотез. Критерии
согласия Колмогорова, 2 Пирсона и Романовского.
Нахождение законов распределения случайных величин на
основе опытных данных и проверка согласованности
эмпирического и теоретического распределений.
7 семестр
Основные задачи теории случайных процессов. Понятие
случайного процесса. Классификация случайных процессов
по времени и по состояниям. Законы распределения и
основные характеристики случайных процессов.
Корреляционная
функция
случайного
процесса.
Нормированная
корреляционная
функция.
Взаимная
корреляционная функция. Некоррелированные случайные
процессы. Стационарный случайный процесс в узком и
широком смысле. Эргодические случайные процессы.
Потоки событий. Некоторые свойства потоков Пальма.
Потоки Эрланга. Предельные теоремы теории потоков.
11
16
Линейные
и Линейные, однородные и неоднородные и нелинейные
операторы (преобразования). Производная случайного
нелинейные
процесса и ее характеристики. Интегралы от случайного
преобразования
процесса и его характеристики. Спектральное разложение
случайных
стационарного
СП.
Спектр.
Спектральные
линии.
процессов.
Линейчатый дискретный спектр. Спектральная плотность.
Спектральное
Винера-Хинчина.
Непрерывный
спектр.
разложение
и Теорема
Стационарный белый шум.
спектральная
плотность.
17
Марковские
процессы
с
дискретными
состояниями.
Марковские цепи.
18
Марковские
процессы с
дискретными
состояниями и
непрерывным
временем.
19
Стохастически
зависимые
процессы типа
гибели и
размножения.
20
Стационарные
процессы.
Понятие марковского случайного процесса. Марковские
случайные процессы с дискретными состояниями и
дискретным временем (цепи Маркова). Матрицы переходных
вероятностей. Стационарный режим работы системы.
Предельные вероятности состояний. Условия существования
стационарного режима в марковской цепи.
Описание марковского процесса с дискретными состояниями
и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова.
Однородный и неоднородный марковские процессы с
дискретными состояниями и непрерывным временем..
Стационарный
режим,
уравнения
для
предельных
вероятностей состояний. Марковские процессы гибели и
размножения с непрерывным временем.
Основные понятия и определения. Исследование взаимного
влияния характеристик двух случайных процессов гибели и
размножения. Разложения случайных процессов гибели и
размножения.
Разложение целочисленных случайных
процессов. Метод динамики средних. Метод динамики
моментов.
Определение стационарности случайного процесса в узком
и широком смыслах. Свойство эргодичности. Числовые
характеристики стационарных случайных процессов.
Линейные
преобразование
стационарных
случайных
процессов. Преобразование стационарного случайного
процесса стационарной линейной системой.
5. Образовательные технологии
Номер
заняти
я
Номер
раздела
Тема занятия
Виды
образовательных
технологий
Таблица 3
Количест
во
часов
5 семестр
Лекция
№1
1
Основные понятия теории вероятностей.
Классическое определение вероятности.
Лекция-визуализация
2
Лекция
№5
3
Проблемное обучение
2
Лекция
№ 10
6
Беседа
2
Практ.
зан. №2
1
Повторение испытаний. Схема Бернулли.
Наиболее вероятное число успехов.
Обобщение схемы Бернулли. Задача о
безвозвратной выборке.
Числовые характеристики случайных
величин. Математическое ожидание,
дисперсия и их свойства.
Комбинаторные
формулы
и
их
применение к подсчету вероятности.
Групповые
работы.
формы
2
12
Практ.
зан. №3
Практ.
зан. №7
Практ.
зан. №10
Практ.
зан. №15
2
Сложение и умножение вероятностей.
4
Асимптотические формулы в теории
вероятностей.
Случайная величина, ее функция
распределения и плотность вероятности.
Числовые характеристики двумерных
случайных величин.
6 семестр
Лекция
№18
9
Лекция
№24
12
5
7
Эмпирическая функция распределения.
Числовые
характеристики
статистического распределения.
Общие
принципы
проверки
статистических
гипотез.
Критерии
согласия Колмогорова, Пирсона и
Романовского.
Нахождение
законов
распределения
случайных величин на основе опытных
данных и проверка согласованности
эмпирического
и
теоретического
распределений.
Эмпирический
закон
распределения.
Таблица частот. Полигон и гистограмма.
Эмпирические
оценки
параметров
распределения.
Коэффициент корреляции.
Групповые
работы.
Групповые
работы.
Групповые
работы.
Групповые
работы.
формы
2
формы
2
формы
2
формы
2
Лекция-визуализация
2
Проблемное обучение
2
Проблемное обучение
2
Групповые
формы
работы
Групповые
формы
работы
Групповые
формы
работы
Лабораторная работа
2
Лабораторная работа
2
Лекция-визуализация
2
Лекция-визуализация
2
Лекция-визуализация
2
Групповые
работы
формы
2
Групповые
работы
Групповые
работы
Групповые
работы
формы
2
формы
2
формы
2
2
Лекция
№25
12
Практ.
зан. №17
Практ.
зан. №19
Практ.
зан. №22
Практ.
зан. №24
9
10
11
12
Практ.
зан. №25
12
Лекция
№27
13
Лекция
№30
14
Лекция
№34
16
Практ.
зан. №27
13
Практ.
зан. №28
Практ.
зан. №29
Практ.
зан. №30
14
15
16
Нахождение
законов
распределения
случайных величин на основе опытных
данных.
Проверка согласованности эмпирического
и теоретического распределений.
7 семестр
Основные задачи теории случайных
процессов.
Понятие
случайного
процесса. Классификация случайных
процессов по времени и по состояниям.
Корреляционная функция случайного
процесса.
Нормированная
корреляционная функция. Взаимная
корреляционная функция.
Линейные, однородные и неоднородные
и
нелинейные
операторы
(преобразования).
Производная
случайного
процесса
и
ее
характеристики.
Интегралы
от
случайного
процесса
и
его
характеристики.
Основные понятия теории случайных
процессов. Законы распределения и
основные характеристики случайных
процессов.
Корреляционные функции.
Стационарные
и
эргодические
случайные процессы.
Преобразования случайных процессов.
Спектральное
разложение
и
2
2
2
спектральная плотность.
13
Практ.
зан. №33
18
Потоки событий. Марковские процессы с
дискретными
состояниями
и
непрерывным временем.
Групповые
работы
формы
Всего:
2
48 часов
6. Самостоятельная работа студентов
Таблица 4
№
Наименование
раздела дисциплины
Вид самостоятельной работы
Трудоемкость
5 семестр
Введение в теорию
вероятностей.
1
2
3
4
Правила сложения и
умножения вероятностей.
Полная вероятность.
Повторение испытаний.
Схема Бернулли.
Асимптотические формулы.
Нормальная функция
распределения.
Случайные величины.
Примеры распределений.
5
Числовые характеристики
случайных величин.
6
Многомерные случайные
величины.
7
8
Закон больших чисел и
центральная предельная
теорема.
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Разные определения вероятности
(геометрическое, аксиоматическое,
статистическое)».
Коллоквиум по теме: «Случайные события и их
вероятности».
Домашние задания: решение задач.
Коллоквиум по теме: «Случайные события и их
вероятности».
Домашние задания: решение задач.
Коллоквиум по теме: «Случайные события и их
вероятности».
Домашние задания: решение задач.
Коллоквиум по теме: «Случайные события и их
вероятности».
Домашние задания: решение задач.
10
11
Основные понятия
математической статистики.
1
1
1
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Законы распределения случайных
величин (закон Коши, закон арксинуса)».
Домашние задания: решение задач.
3
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Числовые характеристики случайных
величин, распределенных по закону Коши и
закону арксинуса».
Домашние задания: решение задач.
3
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Теоремы о математическом ожидании
и дисперсии случайных величин».
Домашние задания: решение задач.
3
Домашние задания: решение задач.
Итого:
9
3
6 семестр
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Числовые характеристики
статистического распределения».
Домашние задания: решение задач.
Теория оценок. Нахождение
неизвестных параметров
распределения.
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Метод наименьших квадратов для
оценки параметров функциональной зависимости
между переменными».
Домашние задания: решение задач.
Элементы теории
корреляции.
Домашние задания: решение задач.
1
16
6
6
2
14
12
Проверка статистических
гипотез.
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Проверка статистических гипотез с
помощью критерия согласия Романовского».
Домашние задания: решение задач.
6
Итого:
20
7 семестр
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Основные характеристики случайных
процессов».
Домашние задания: решение задач.
Домашние задания: решение задач.
21
14
Основные понятия теории
случайных процессов.
Классификация случайных
процессов.
Корреляционные функции.
15
Потоки событий, их
свойства и классификация.
Домашние задания: решение задач.
Линейные и нелинейные
преобразования случайных
процессов.
Спектральное
разложение и спектральная
плотность.
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Теорема Винера-Хинчина.
Непрерывный спектр. Стационарный белый
шум».
Домашние задания: решение задач.
13
16
17
18
19
20
Марковские процессы с
дискретными состояниями.
Марковские цепи.
Марковские процессы с
дискретными состояниями
и непрерывным временем.
Стохастически зависимые
процессы типа гибели и
размножения.
Стационарные процессы.
14
14
Домашние задания: решение задач.
21
14
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Потоки гибели и размножения. Граф
состояний. Процесс Пуассона. Стационарный
режим для марковского процесса гибели и
размножения».
Домашние задания: решение задач.
Домашние задания: решение задач.
21
14
Домашние задания: решение задач.
14
Итого:
133
Всего:
169
7. Компетентностно - ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля
Не предусмотрены.
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая
технология оценивания работы студентов
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ
Таблица 5 (в 5, 6, 7 семестрах)
Виды работ
Модуль 1
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль
0-10
0-5
0-5
0-15
0-25
Максимальное количество баллов
Модуль 2
Модуль 3
0-15
0-5
0-10
0-15
0-30
0-10
0-5
0-5
0-15
0-25
Итого
0-35
0-15
0-20
0-45
0-80
0-20
15
Итого
№
1
2
3
1
2
3
100
7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов
Таблица 6 (в 5, 6, 7 семестрах)
Наименование
Максимальное
Модуль
раздела
Формы оцениваемой работы
количество
(аттестация)
дисциплины
баллов
Работа на лекциях
1,2,3 – 5 семестр
Посещение лекций, участие в
0-5
Модуль №1
9,10 – 6 семестр
обсуждении проблемных
13,14, 15 – 7 семестр вопросов
4,5 – 5 семестр
Посещение лекций, участие в
0-5
Модуль №2
10,11 - 6 семестр
обсуждении проблемных
15,16,17 – 7 семестр
вопросов
6,7,8– 5 семестр
Посещение лекций, участие в
0-5
Модуль №3
11,12 – 6 семестр
обсуждении проблемных
18,19,20 – 7 семестр
вопросов
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
1,2,3 – 5 семестр
Участие в решении задач
0-5
Модуль №1
9,10 - 6 семестр
13,14,15 – 7 семестр
3,4,5 – 5 семестр
Участие в решении задач;
0-10
Модуль №2
10,11 - 6 семестр
контрольная работа
16,17 – 7 семестр
6,7,8 – 5 семестр
Участие в решении задач;
0-5
Модуль №3
11,12 - 6 семестр
18,19,20 – 7 семестр
7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов
Таблица 7
№
Наименование
раздела (темы)
дисциплины
Формы оцениваемой
работы
Максимальное
количество
баллов
Модуль
(аттестация)
0-15
Модуль №1
0-15
Модуль №2
5 семестр
1
1,2,3
2
4,5,6
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Разные определения вероятности
(геометрическое, аксиоматическое,
статистическое)».
Коллоквиум по теме: «Случайные
события и их вероятности».
Домашние задания: решение задач.
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Законы распределения случайных
величин (закон Коши, закон
арксинуса)».
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Числовые характеристики
случайных величин,
распределенных по закону Коши и
закону арксинуса».
Домашние задания: решение задач.
16
3
6,7,8
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Теоремы о математическом
ожидании и дисперсии случайных
величин».
Домашние задания: решение задач.
0-15
Модуль №3
0-15
Модуль №1
0-15
Модуль №2
0-15
Модуль №3
0-15
Модуль №1
0-15
Модуль №2
0-15
Модуль №3
6 семестр
4
9,10
5
10,11
6
12
7
13,14,15
8
16,17
9
18,19,20
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Числовые характеристики
статистического распределения».
Домашние задания: решение задач.
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме: «Метод
наименьших квадратов для оценки
параметров функциональной
зависимости между переменными».
Домашние задания: решение задач.
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Проверка статистических гипотез
с помощью критерия согласия
Романовского».
Домашние задания: решение задач.
7 семестр
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Основные характеристики
случайных процессов».
Домашние задания: решение задач.
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Теорема Винера-Хинчина.
Непрерывный спектр.
Стационарный белый шум».
Домашние задания: решение задач.
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Потоки гибели и размножения.
Граф состояний. Процесс
Пуассона. Стационарный режим
для марковского процесса гибели и
размножения».
Домашние задания: решение задач.
7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Примерный вариант контрольной работы в 5 семестре
1) Охотники Александр, Виктор и Павел попадают в летящую утку с вероятностями,
соответственно равными 2/3, ¾, 1/4. Все одновременно стреляют по пролетающей утке.
Какова вероятность того, что утка будет подбита?
2) Вероятность попадания в цель равна 0,003. Сколько нужно произвести выстрелов,
чтобы с вероятностью, большей 0,94, можно было утверждать, что цель будет поражена?
3) Какова вероятность того, что два носка, взятые наудачу из ящика, содержащего шесть
красных и три синих носка, будут одного цвета?
4) 30 % изделий предприятия – продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий.
Чему равна вероятность того, что 4 изделия из них высшего сорта?
17
5) Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника
сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж содержит
ровно 5 бракованных книг.
Примерный вариант контрольной работы в 6 семестре
1) Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвестной вероятностью p
появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки р с
надежностью 0,95, если в 400 испытаниях событие А появилось 80 раз.
2) Распределение признака Х (случайной величины Х) в выборке задано следующей
таблицей:
Х
00,1-0,2 0,2-0,3 0,3-0,4 0,4-0,5 0,5-0,6 0,6-0,7 0,7-0,8
0,8-0,9
0,9-1
0,1
95
100
100
102
98
104
96
105
95
n i 105
При уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о равномерном распределении случайной
величины.
Примерный вариант контрольной работы в 7 семестре
Случайный процесс определяется формулой Y (t ) Xe t , t>0 где X – случайная
величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 3 и
средним квадратическим отклонением 1.
1) Найти математическое ожидание случайного процесса Y(t);
2) Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайного процесса
Y(t);
3) Найти корреляционную и нормированную корреляционную функции случайного
процесса Y(t).
7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации
7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов
Таблица 8
Экзамен (соответствие рейтинговых баллов и
Вид
Допуск к
академических оценок)
Зачёт
аттестации аттестации
Удовл.
Хорошо
Отлично
40 баллов 61 балл
61-72 баллов
73-86 баллов
87-100 баллов
7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации
Вопросы к коллоквиуму по теме:
«Случайное событие и вероятность» (5 семестр)
1) Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности
(примеры).
2) Сложение вероятностей. Расширенная теорема сложения (примеры).
3) Условная вероятность. Умножение вероятностей (примеры).
4) Полная вероятность. Формула Байеса (примеры).
5) Повторение испытаний. Схема Бернулли (примеры).
6) Наиболее вероятное число успехов (примеры).
7) Обобщения схемы Бернулли (примеры).
8) Аксиоматическое, геометрическое, статистическое определения вероятности
(примеры).
18
9) Плотность вероятности и ее свойства. Нормальная функция распределения, ее свойства.
10) Локальная теорема Муавра – Лапласа и ее применение.
11) Теорема Пуассона и ее применение.
12) Интегральная теорема Муавра – Лапласа и ее применение.
Примерный перечень задач к зачету по дисциплине (5 семестр)
1) В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов –
по 100 рублей, на 50 билетов – по 20 рублей, на 100 рублей – по 5 рублей, остальные
билеты невыигрышные. Некто покупает 1 билет. Найдите вероятность выигрыша не менее
20 рублей.
2) Бросаются четыре игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по
одинаковому числу очков.
3) Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, причем каждый
из них делает по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка
– 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти
вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.
4) Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет хотя бы 3 раза.
5) Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и
равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90
раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
6) Производят последовательные испытания 5 приборов на надежностью Каждый
следующий прибор испытывают только в том случае, если предыдущий оказался
надежным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если
вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,8.
7) Случайная величина Х может принимать два возможных значения: x1 с вероятностью
0,3 и x 2 с вероятностью 0,7, причем x 2 > x1 . Найти x1 , x 2 , зная, что M(X)=2,7 и D(X)=0,21.
8) Случайная величина задана законом распределения
X 2
4
8
p 0,1 0,5 0,4
Найти среднее квадратичное отклонение этой величины.
9) Найти функцию распределения случайной величины, плотность вероятности которой
1 x
имеет вид f ( x) e .
2
10) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=24xy в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный прямыми x+y-1=0, x=0, y=0. Найти математические ожидания этих
случайных величин.
11) Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных величин
(X, Y):
X\Y 20 40 60
10
3λ λ 0
20
2λ 4λ 2λ
30
λ 2λ 5λ
Найти коэффициент λ и математические ожидания этих случайных величин.
12) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=a(x+y) в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный осями координат и прямой x+y=2. Требуется определить коэффициент а.
13) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=x+y в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
19
ограниченный осями координат и прямой x+y=2. Требуется найти математические
ожидания этих случайных величин.
Примерный перечень теоретических вопросов к зачету (6 семестр):
1) Основные понятия математической статистики. Эмпирический закон распределения и
гистограмма.
2) Эмпирические оценки параметров распределения.
3) Доверительные вероятности и доверительные интервалы.
4) Оценка неизвестной вероятности по частоте.
5) Общие принципы проверки статистических гипотез.
6) Подбор теоретического распределения, критерий 2 Карла Пирсона.
7) Корреляция и регрессия.
8) Линейная корреляция. Метод наименьших квадратов.
Примерный перечень задач для зачета (6 семестр):
xi
1) Дано распределение признака
1
3
5
7
9
4
8
14
48
26
ni
Построить: полигон частот, гистограмму относительных частот, график эмпирической
функции распределения.
2) Произведено 800 наблюдений над случайной величиной:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
25
81
124
146
175
106
80
35
16
6
6
ni
Пользуясь критерием Пирсона требуется оценить правдоподобие гипотезы, состоящей в
том, что случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром а, равным
ai
статистическому среднему наблюдаемых значений случайной величины Х ( pi e a ).
i!
Число степеней свободы в данном случае r=9. В качестве уровня значимости принять
α=0,1.
3) В результате 79 опытов получена корреляционная таблица величин X
S
и Y:
B
X\Y
0,5 0,6 0,7 0,8
0,5
0
2
0
8
0,6
0
4
2
9
0,7
2
12 3
1
0,8
21 14 0
0
0,9
1
0
0
0
Где s - предел текучести стали, в - предел прочности стали, Y – процентное
содержание углерода в стали. Целые числа, приведенные в таблице, являются
кратностями значений соответствующих случайных точек. Определить коэффициент
корреляции и уравнения линий регрессий.
4) В следующей таблице представлены отчетные данные 189 организаций по фонду
заработной платы.
Заработная плата
Абсолютные частоты (число
Относительные частоты
(тыс. руб.)
организаций)
10-20
50
20-30
59
20
30-40
29
40-50
22
50-60
4
60-70
10
70-80
1
80-90
6
90-100
3
100-110
2
Заполнить последний столбец таблицы, построить гистограмму относительных частот;
заменить интервальный ряд точечным и построить для последнего график распределения
частот; найти эмпирическую функцию распределения случайной величины X – фонда
заработной платы и построить ее график.
5) В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических
ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92, 94, 100, 105, 106. Найти
выборочную среднюю длину стержня; выборочную и исправленную дисперсии ошибок
прибора.
Примерный перечень вопросов к экзамену по дисциплине (7 семестр):
1) Основные понятия теории вероятностей. Классическое и геометрическое определение
вероятности.
2) Условная вероятность. Умножение вероятностей.
3) Формула полной вероятности. Формула Байеса.
4) Повторение испытаний. Схема Бернулли. Наиболее вероятное число успехов.
Обобщения схемы Бернулли.
5) Плотность вероятности. Нормальная функция распределения.
6) Вычисление вероятности события с помощью асимптотических формул.
7) Дискретная случайная величина и ее закон распределения.
8) Непрерывная случайная величина, ее функция распределения и плотность вероятности.
9) Числовые характеристики случайных величин – математическое ожидание и
дисперсия.
10) Примеры дискретных и непрерывных распределений и их числовые характеристики.
11) Двумерная случайная величина. Функция распределения и плотность вероятности.
12) Нормальное распределение двумерной случайной величины.
13) Числовые характеристики системы двух случайных величин.
14) Коэффициент корреляции для характеристики связи между двумя случайными
величинами.
15) Закон больших чисел и его обобщения.
16) Случайный процесс. Классификация случайных процессов по времени и по
состояниям.
17) Законы распределения и основные характеристики случайных процессов.
18) Корреляционная функция случайного процесса. Некоррелированные случайные
процессы.
19) Линейные, однородные и неоднородные и нелинейные операторы (преобразования)
случайных процессов.
20) Стационарные и эргодические случайные процессы.
21) Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и дискретным
временем (цепи Маркова).
22) Потоки событий. Их классификация. Интенсивность потока событий. Пуассоновский
поток событий. Простейший поток событий.
23) Марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем.
24) Стационарность случайного процесса в узком и широком смыслах. Свойство
эргодичности.
21
25) Числовые характеристики стационарных
телеграфная волна.
26) Гауссовские случайные процессы.
случайных
процессов.
Случайная
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) Основная литература
1. Андрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Просвещение, 2005.
2. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения / Е.С Вентцель,
Л.А. Овчаров - М., «Академия», 2003.
3. Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С.
Вентцель, Л.А. Овчаров - М., "Академия", 2003.
4. Письменный, Д. Конспект лекций по теории вероятностей, математической
статистике и случайным процессам / Д. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2010.
б) Дополнительная литература
1. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. – М., Высшая школа, 2000.
2. Гутер, Р.С., Овчинский Б.В. Основы теории вероятностей. – М.: Просвещ., 1967.
3. Леви, П. Стохастические процессы и броуновское движение. – М., «Наука», 1972.
4. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и реккурентное
оценивание. – М., «Наука», 1972.
5. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Наука, 1979.
6. Прохоров А.В., Ушаков В.Г. Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей:
Основные понятия. предельные теоремы. Случайные процессы.- М.: Наука, 1986.
7. Солодовников А.С. Теория вероятностей.- М.: Просвещ., 1978.
в) Периодические издания
Теория вероятностей и ее применения. – М., Изд-во «ТВП».
г) Мультимедийные средства
Microsoft Office Power Point, Excel.
д) Интернет-ресурсы
1. http://www.math.ru
2. http://www.edu.ru
3. http://www.exponenta.ru
4. http://www.problems.ru
5. http://www.bymath.net
6. http://www.mathem.h1.ru
7. http://www.allmath.ru
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
ПК, проектор, экран.
22
10. Паспорт рабочей программы дисциплины
Разработчик(и): Кушнир Т.И. к.п.н., доцент кафедры математики, ТиМОМ
Программа одобрена на заседании кафедры _______________________________________
от
«___»_______________г.,
протокол
№________
Согласовано:
Зав. кафедрой ______________________
«___» ________________г.
Согласовано:
Специалист по УМР _________________
«___» ________________г.
23
Руководство по организации обучения дисциплине
Преподавателю, читающему дисциплину «основы математической обработки
информации», важно знать структуру дисциплины, умело выделяя в разделах основные,
базовые понятия. Организуя учебные занятия, учитывать их порядок, последовательность
и технологические приемы, отражая научно-методические основы дисциплины.
Аудиторная работа включает: лекции, практические занятия, самостоятельную
работу.
Материал дисциплины излагается на лекциях, но некоторые вопросы студентами
изучаются самостоятельно. Лекция – учебное занятие, составляющее основу
теоретического обучения и дающее систематизированные научные знания по дисциплине,
раскрывающее состояние и перспективы развития соответствующей области науки и
техники, концентрирующее внимание обучающихся на её наиболее значимых (сложных)
вопросах.
Лекции имеют проблемный характер, в ходе которых происходит изложение
основных математических методов и показывается их применение для обработки и
исследования информации. На лекциях преподаватель дает теоретические основы,
примеры, показывает основное направления для подготовки к зачету. Посещение лекций,
а также ведение конспектов лекций (фиксирование основных положений, свободное
изложение и т.п.) и их проверка являются обязательными. Необходимо показывать
приемы успешной работы с текстом лекции: использование кратких общепринятых
символов, совращений, правильная обработка текста, исправление неточностей и внесение
дополнительных сведений.
Темы практических занятий соответствуют теме прочтенной лекции, поэтому в
учебном процессе они следуют за лекциями. В начале практических занятий
рекомендовано проведение небольшой самостоятельной работы, математического
диктанта по знанию основных определений, теоретических фактов, формул, необходимых
на данном занятии. Нужно учитывать не только оценочно-контрольную функцию занятия,
осуществляя систематический контроль за успеваемостью (рейтингом) студентов, но и
воспитательную, требуя от обучающихся дисциплинированности, активности,
трудолюбия.
Большое значение имеет и самостоятельная деятельность студентов, формы
которой необходимо продумать заранее и нацеливать на ее выполнение с первых занятий.
- самостоятельное изучение части теоретического материала и теоретическая подготовка к
практическим занятиям по предложенной в УМК основной и дополнительной учебной
литературе. Для помощи студентам рекомендованная литература указана к каждому
занятию, как лекционному, так и практическому. Средствами обучения является не только
базовый учебник, но и дополнительные пособия для организации самостоятельной работы
студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы,
сборники задач;
- домашние работы, для выполнения которых студенты имеют специальные тетради,
проверяемые к каждому занятию. Результаты выполнения домашнего задания
оцениваются баллами в технологической карте и учитываются при аттестации студентов.
- выполнение других заданий, которые представлены в программе и технологической
карте.
Аннотация к программе по дисциплине «Стохастический анализ»
1. Цель дисциплины: формирование систематизированных знаний в области
стохастического анализа, его месте и роли в системе математических наук, использование
в естественных науках, в школьном курсе математики.
2. Место дисциплины в структуре ООП: Дисциплина «Стохастический анализ»
относится к базовой части профессионального цикла дисциплин направления
(ДН(М).Ф.7). Она характеризуется содержательными связями с дисциплиной
24
«Математический анализ». Изучение математического анализа предшествует изучение
этой дисциплины.
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
а) общепрофессиональных компетенций:
- готовность использовать фундаментальные знания в области математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1).
В результате изучения студент должен:
знать:
- основные понятия и методы теории вероятностей, случайных процессов и
математической статистики;
- различные подходы к определению вероятности (классический, аксиоматический,
геометрический, статистический);
- классические методы математической статистики, используемые при планировании,
проведении и обработке результатов экспериментов в педагогике и психологии;
- прикладной характер дисциплины;
уметь:
- использовать математический аппарат при изучении и количественном описании
реальных случайных явлений и процессов;
- использовать точные и приближенные формулы теории вероятностей при решении
конкретных задач;
-решать задачи, относящиеся к этому курсу;
- проводить исследование основных понятий, вычислять вероятности, числовые
характеристики;
- доказывать основные свойства и теоремы теории вероятностей и математической
статистики;
- планировать процесс математической обработки экспериментальных данных;
- проводить практические расчеты по имеющимся экспериментальным
данным при использовании статистических таблиц и компьютерной поддержки
(включая пакеты прикладных программ);
- анализировать полученные результаты, формировать выводы и заключения;
владеть:
- вероятностными, статистическими методами мышления и исследования;
- основными технологиями статистической обработки экспериментальных данных на
основе теоретических положений классической теории вероятности;
- навыками использования современных методов статистической обработки информации
для диагностирования достижений обучающихся и воспитанников.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 10 зачетных единиц.
5. Разработчики: ТГСПА им. Д.И.Менделеева, к.п.н., доцент каф. математики,
ТиМОМ Кушнир Т.И.
25
Приложение №1
Лекционный курс по дисциплине «Стохастический анализ» (тезисы лекций)
Раздел 1. Введение в теорию вероятностей.
Тема 1. Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение
вероятности.
- Случайное событие, примеры случайных событий;
- Достоверное событие, примеры;
- Невозможное событие, примеры;
- Противоположное событие, примеры;
- Несовместные события, примеры;
- Полная группа событий, примеры;
- Классическое определение вероятности события, примеры;
- Замечание о том, что вероятность события p(A) удовлетворяет неравенству:
0 p ( A) 1 .
Тема 2. Комбинаторные формулы и их применение к подсчету вероятности.
- Основное правило комбинаторики, его применение;
- Размещения (с повторениями, без повторений) из n элементов по m элементов, их
число, пример;
- Перестановки, их число, пример;
- Сочетания из n элементов по m элементов, их число, пример;
- Размещения данного состава, их число, пример.
Литература:
[2, c. 13-32], [4, c. 8-37].
Раздел 2. Правила сложения и умножения вероятностей. Полная вероятность.
Тема 3. Правила сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.
- Теорема сложения вероятностей с доказательством;
- Следствия из теоремы сложения;
- Понятие условной вероятности, примеры;
- Теорема умножения вероятностей с доказательством;
- Понятие независимых событий, примеры;
- Теорема умножения вероятностей независимых событий;
- Расширенная теорема сложения;
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- Вывод формулы полной вероятности, пример;
- Вывод формулы переоценки гипотез (формулы Байеса), пример.
Литература:
[2, c. 32-73], [4, c. 37-45].
Раздел 3. Повторение испытаний. Схема Бернулли.
Тема 5. Повторение испытаний. Схема Бернулли. Наиболее вероятное число
успехов.
- Вывод формулы Бернулли, пример;
- Вывод формулы для вычисления наиболее вероятного числа успехов;
- Обобщение схемы Бернулли, пример;
- Задача о безвозвратной выборке.
Литература:
[4, c. 47-50].
Раздел 4. Асимптотические формулы. Нормальная функция распределения.
26
Тема 6. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Плотность вероятности
нормального распределения и нормальная функция распределения.
- Локальная теорема Муавра-Лапласа (с доказательством), пример;
- Функция плотности вероятности нормального распределения, ее свойства;
- Нормальная функция распределения (функция Лапласа), ее свойства;
Тема 7. Теорема Пуассона. Интегральная теорема Муавра -Лапласа.
- Теорема Пуассона (с доказательством), пример;
- Интегральная теорема Муавра-Лапласа (с доказательством), пример.
Литература:
[4, c. 51-60].
Раздел 5. Случайные величины. Примеры распределений.
Тема 8. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- Понятие дискретной случайной величины, примеры и способы задания;
- Понятие непрерывной случайной величины, примеры;
Тема 9. Функция распределения и плотность вероятности.
- Функция распределения случайной величины, ее свойства;
- Особенности функции распределения для дискретной случайной величины,
пример ее нахождения;
- Плотность вероятности случайной величины, пример;
Тема 10. Основные примеры дискретных и непрерывных распределений.
- Основные примеры дискретных и непрерывных распределений (равномерное,
биномиальное, нормальное, Пуассона).
Литература:
[2, c. 73-95, 117-138], [4, c. 60-72].
Раздел 6. Числовые характеристики случайных величин.
Тема 11. Числовые характеристики случайных величин - математическое
ожидание, дисперсия и их свойства.
- Понятие математического ожидания для дискретной и непрерывной случайных
величин, примеры;
- Свойства математического ожидания;
- Понятие дисперсии для дискретной и непрерывной случайных величин, примеры;
- Упрощенный способ вычисления дисперсии, пример;
- Свойства дисперсии;
- Понятие среднего квадратического отклонения;
Тема 12. Числовые характеристики случайных величин, распределенных по
равномерному, биномиальному, нормальному и закону Пуассона.
- Математические ожидания основных случайных величин, рассмотренных в
разделе 5;
- Дисперсия основных случайных величин, рассмотренных в разделе 5;
Тема 13. Степень неопределенности дискретного распределения. Понятие об
энтропии.
- Понятие об энтропии дискретного распределения - степени неопределенности, ее
вычисление, примеры.
Литература:
[2, c. 96-116, 117-138], [4, c. 73-103].
Раздел 7. Многомерные случайные величины.
Тема 14. Двумерная случайная величина, ее функция распределения и
плотность вероятности. Нормальное распределение двумерной случайной величины.
- Понятие дискретной двумерной случайной величины, ее закон распределения;
- Понятие непрерывной двумерной случайной величины;
27
- Функция распределения, плотность вероятности двумерной случайной величины;
- Нормальное распределение двумерной случайной величины;
Тема 15. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- Числовые характеристики системы двух случайных величин (математическое
ожидание, дисперсия, центральный момент, корреляционный момент, коэффициент
корреляции, некоторые свойства и ролдь коэффициента корреляции).
Литература:
[2, c. 161-233], [4, c. 104-144].
Раздел 8. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
Тема 16. Неравенство Чебышева. Различные формы закона больших чисел.
- Неравенство Чебышева с доказательством;
- Теорема Чебышева с доказательством;
- Теорема Маркова;
- Центральная предельная теорема Ляпунова.
Литература:
[2, c. 264-391], [4, c. 162-175].
Раздел 9. Основные понятия математической статистики.
Тема 17. Эмпирический закон распределения, гистограмма
- Основные типы задач математической статистики;
- Основные понятия математической статистики: выборочная и генеральная
совокупности, объем выборки, эмпирический закон распределения, вариационный ряд;
- Таблица абсолютных частот, таблица относительных частот, примеры их
построения;
- Полигон частот и гистограмма, как их изобразить, привести примеры.
Тема 18. Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики
статистического распределения.
- Понятие эмпирической функции распределения;
- Построение графика эмпирической функции распределения;
- Свойства эмпирической функции распределения;
- Пример на нахождение и построение графика эмпирической функции
распределения по данным выборки;
- Числовые характеристики статистического распределения: среднее арифметическое
наблюдаемых значений случайной величины, средняя взвешенная, статистическая
дисперсия, выборочная дисперсия, статистические начальные и центральные моменты к-го
порядка, мода, медиана, размах варьирования, примеры их вычисления.
Литература:
[2, c. 392-400], [4, c. 212-224], [7 (дополн. лит-ра), c. 165-167] .
Раздел 10. Теория оценок. Нахождение неизвестных параметров
распределения.
Тема 19. Эмпирические оценки параметров распределения. Доверительные
вероятности и доверительные интервалы.
- Требования, предъявляемые к эмпирическим оценкам параметров распределения;
- Эмпирическая средняя и выполнение требований для нее;
- Эмпирическая дисперсия и проверка требований для нее;
- Исправленная эмпирическая дисперсия;
- Доверительная вероятности, доверительный интервал и их нахождение, примеры.
Тема 20, 21. Оценка неизвестной вероятности по частоте. Метод наименьших
квадратов для оценки параметров функциональной зависимости между переменными.
- Оценка неизвестной вероятности по частоте (вывод формулы).
28
- Суть метода наименьших квадратов для оценки параметров функциональной
зависимости между переменными в общем виде;
- Разбор метода наименьших квадратов на конкретном примере.
Литература:
[2, c. 417-448], [4, c. 225-243], [7 (дополн. лит-ра), с. 171-177].
Раздел 11. Элементы теории корреляции.
Тема 22. Корреляция и регрессия.
- Вероятностная связь между случайными величинами;
- Корреляционный момент и коэффициент корреляции;
- Линии регрессии.
Тема 23. Линейная корреляция. Метод наименьших квадратов о сглаживании
функциональной зависимости.
- Линейная корреляция;
- Эмпирические прямые регрессии;
- Метод наименьших квадратов о сглаживании функциональной зависимости.
Литература:
[4, c. 124-138], [7 (дополн. лит-ра), с. 177-185], [1(дополн. лит-ра), с. 223-233].
Раздел 12. Проверка статистических гипотез.
Тема 24. Общие принципы проверки статистических гипотез.
- Основные понятия: статистическая гипотеза, нулевая гипотеза, альтернативная
гипотеза, статистическое решение, уровень значимости.
- Основные принципы проверки гипотез; ошибки, связанные с этим;
- Методика проверки гипотез;
- Критерии проверки гипотез.
Тема 25, 26. Критерии согласия Колмогорова, 2 Пирсона и Романовского.
- Критерии согласия Колмогорова, 2 Пирсона и Романовского, их суть и
применение в конкретном опыте.
- Нахождение законов распределения случайных величин на основе опытных данных;
- Проверка согласованности эмпирического и теоретического распределений.
Литература:
[2, c. 401-409], [4, c. 244- 254], [1 (дополн. лит-ра), с. 213-222].
Раздел 13. Основные понятия теории случайных процессов. Классификация
случайных процессов.
Тема 27. Понятие случайного процесса. Классификация случайных процессов.
Основные характеристики случайного процесса.
- Понятие случайной функции (процесса), примеры;
- Понятие сечения случайного процесса;
- Классификация случайных процессов, примеры;
- Основные характеристики случайного процесса (математическое ожидание, его
свойства; дисперсия, ее свойства; корреляционная функция, ее свойства; взаимная
корреляционная функция, ее свойства; нормированная взаимная корреляционная
функция).
Тема 28, 29. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов.
Дифференцирование и интегрирование случайных процессов.
- Линейные (однородные и неоднородные) и нелинейные преобразования
случайных процессов;
- Дифференцирование и интегрирование случайных процессов, примеры.
Литература:
[3, c. 10-40], [4, c. 176-211].
29
Раздел 14. Корреляционные функции.
Тема 30, 31. Некоторые числовые характеристик случайного процесса.
Понятие стационарного случайного процесса.
- Корреляционная функция случайного процесса.
- Нормированная корреляционная функция.
- Взаимная корреляционная функция.
- Некоррелированные случайные процессы.
- Стационарный случайный процесс в узком и широком смысле.
- Эргодические случайные процессы.
Литература:
[3, c. 20-40], [4, c. 179-189].
Раздел 15. Потоки событий, их свойства и классификация.
Тема 32, 33. Потоки событий, их свойства и классификация.
- Потоки событий.
- Некоторые свойства потоков Пальма.
- Потоки Эрланга.
- Предельные теоремы теории потоков.
Литература:
[3, c. 41-86].
Раздел 16. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов.
Спектральное разложение и спектральная плотность.
Тема 34. Линейные и нелинейные преобразования случайного процесса
Дифференцирование случайного процесса.
- Линейные, однородные и неоднородные и нелинейные операторы
(преобразования), примеры.
- Производная случайного процесса и ее характеристики, примеры.
Тема 35. Интегрирование случайного процесса.
- Интегралы от случайного процесса и его характеристики.
Тема 36. Спектральное разложение стационарного СП.
- Спектральное разложение стационарного СП.
- Спектр. Спектральные линии. Линейчатый дискретный спектр.
- Спектральная плотность.
- Теорема Винера-Хинчина. Непрерывный спектр.
- Стационарный белый шум.
Литература:
[3, c. 315-343], [4, c. 190-202].
Раздел 17. Марковские процессы с дискретными состояниями. Марковские
цепи.
Тема 37, 38, 39. Марковские процессы с дискретными состояниями.
Марковские цепи.
- Понятие марковского случайного процесса.
- Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и дискретным
временем (цепи Маркова).
- Матрицы переходных вероятностей.
- Стационарный режим работы системы.
- Предельные вероятности состояний.
- Условия существования стационарного режима в марковской цепи.
Литература:
[3, c. 87-111], [4, c. 203-206].
30
Раздел 18. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным
временем.
Тема 40. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным
временем.
- Описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным
временем.
- Уравнения Колмогорова.
- Однородный и неоднородный марковские процессы с дискретными состояниями
и непрерывным временем.
- Стационарный режим, уравнения для предельных вероятностей состояний.
Тема 41. Марковские процессы гибели и размножения с непрерывным
временем.
- Определение марковского процесса гибели и размножения с непрерывным
временем.
- Закон распределения и числовые характеристики времени нахождения процесса
гибели и размножения в произвольном подмножестве состояний.
- Метод псевдосостояний.
Литература:
[3, c. 112-234], [4, c. 207-211].
Раздел 19. Стохастически зависимые процессы типа гибели и размножения.
Тема 42, 43. Стохастически зависимые процессы типа гибели и размножения.
- Основные понятия и определения.
- Исследование взаимного влияния характеристик двух случайных процессов гибели
и размножения.
- Разложения случайных процессов гибели и размножения.
- Разложение целочисленных случайных процессов.
- Метод динамики средних.
- Метод динамики моментов.
Литература:
[3, c. 235-314].
Раздел 20. Стационарные процессы.
Тема 44. Стационарные процессы.
- Определение стационарности случайного процесса в узком и широком смыслах.
- Свойство эргодичности.
- Числовые характеристики стационарных случайных процессов.
- Линейные преобразование стационарных случайных процессов.
- Преобразование стационарного случайного процесса стационарной линейной
системой.
Литература:
[3, c. 255-418].
31
Приложение №2
Содержание практических занятий по дисциплине
«Стохастический анализ»
В пятом семестре большая часть занятий посвящены методам нахождения
вероятности происхождения события. Обучающимся необходимо знать все определения
вероятности и применять соответствующее в конкретной ситуации, в частности
классическое определение и геометрическое. При применении классического определения
нужно помнить, что благоприятное и общее число успехов можно находить по-разному,
например, непосредственным подбором, с помощью комбинаторных формул или,
используя формулы из теории чисел. При применении геометрического определения
нужно вспомнить формулы вычисления длины отрезка, площадей плоских фигур, объемов
тел. Обучающимся нужно обратить внимание на вычисление вероятности того, что
событие произойдет хотя бы один раз. Быстрее эту вероятность вычислить, если
вспомнить, что вероятности противоположных событий в сумме составляют единицу.
Обучающимся нужно помнить, что вероятность не всегда можно вычислить с помощью
точных формул и, соответственно, уметь правильно подбирать асимптотические
формулы.
Несколько занятий посвящены одномерным случайным величинам. Обучающиеся
должны отличать дискретную случайную величину от непрерывной, следовательно
понимать, что ДСВ можно задать с помощью таблицы и также можно указать функцию
распределения, а НСВ только с помощью функции распределения и, соответственно,
плотности вероятности. Обучающиеся должны четко различать дифференциальный и
интегральный законы распределения.
Несколько занятий посвящены многомерным случайным величинам, для
вычисления плотности вероятности, числовых характеристик придется вычислять
двойные интегралы, поэтому студенты должны знать таблицу интегралов, основные
способы интегрирования: метод замены переменной и интегрирования по частям.
Решение задач математической статистики требует умения вычислять вероятность
события, следовательно обучающийся должен уметь находить вероятность события
наиболее удобным способом, должен различать дискретные и непрерывные случайные
величины, уметь находить закон распределения случайной величины, функцию
распределения и плотность вероятности, числовые характеристики. Обучающийся должен
уметь применять закон больших чисел при вычислении вероятности. Основной предмет
математической статистики – это количественный анализ массовых явлений.
Математическая статистика – это наука об обработке опытов и принятии правильных
статистических решений на основе результатов этих опытов. Следовательно, в задачах
матстатистики придется столкнуться с объемными расчетами, и делать эти расчеты можно
с помощью компьютера, например, в табличном процессоре Microsoft Excel.
Практическое занятие № 1. Вычисление вероятностей с помощью
классического определения. Геометрическая вероятность.
План.
1. Самостоятельная работа (диагностирующий контроль);
2. Повторение теоретического материала: классическое определение вероятности;
геометрическое определение вероятности;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 52, 55, 58, 59, 63, 64, 71, 77, 78, 80, 81, 83.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить основные формулы комбинаторики;
- выполнить задания из [1]: № 53, 54, 65, 73, 79, 82, 84, 88, 90, 91.
32
Практическое занятие № 2. Комбинаторные формулы и их применение к
подсчету вероятности.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: основные формулы комбинаторики - по
необходимости записать их;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 134, 135, 136, 141, 142, 144.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить теоремы сложения, умножения вероятностей, применение формулы
полной вероятности и формулы Байеса.
- выполнить задания из [1]: № 102, 104, 107, 115, 137, 143, 149.
Практическое занятие № 3. Правила сложения и умножения вероятностей.
Условная вероятность.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: теоремы сложения, умножения
вероятностей, следствия из них, независимые события;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 169, 172, 173, 175, 176, 196.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить формула полной вероятности, формула Байеса;
- выполнить задания из [1]: № 170, 174, 177, 178, 197.
Практическое занятие № 4. Применение формулы полной вероятности и
формулы Байеса.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: формула полной вероятности, формула
Байеса - по необходимости записать их;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 200, 204, 205, 211, 217.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить формулу Бернулли, ее обобщение и задачу о безвозвратной выборке;
- выполнить задания из [1]: № 201, 203, 225, 226, 230.
Практическое занятие № 5. Применение формулы Бернулли к подсчету
вероятности.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: формула Бернулли;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 231, 233, 234, 235, 237, 239, 240;
4. Постановка домашнего задания:
- повторить обобщение формулы Бернулли и задачу о безвозвратной выборке;
- выполнить задания из [1]: № 232, 236, 238, 241, 242.
33
Практическое занятие № 6. Применение обобщения формулы Бернулли к
подсчету вероятности. Задача о безвозвратной выборке.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: формула Бернулли, ее обобщение и
задача о безвозвратной выборке;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 260, 265, 267, 279.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить асимптотические формулы для вычисления вероятности;
- выполнить задания из [1]: № 261, 266, 268, 280.
Практическое
вероятностей.
занятие
№
7.
Асимптотические
формулы
в
теории
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: локальная теорема Муавра-Лапласа,
функция плотности вероятности нормального распределения, ее свойства; нормальная
функция распределения (функция Лапласа), ее свойства; теорема Пуассона, интегральная
теорема Муавра-Лапласа.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 290, 291, 296, 300, 304, 306.
4. Постановка домашнего задания:
- подготовиться к контрольной работе: повторить предыдущие темы, вспомнить на
все известные способы подсчета вероятности события;
- выполнить задания из [1]: № 292, 295, 197, 301, 303.
Практическое
вероятностей.
занятие
№
8.
Асимптотические
формулы
в
теории
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: локальная теорема Муавра-Лапласа,
функция плотности вероятности нормального распределения, ее свойства; нормальная
функция распределения (функция Лапласа), ее свойства; теорема Пуассона, интегральная
теорема Муавра-Лапласа.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 290, 291, 296, 300, 304, 306.
4. Постановка домашнего задания:
- подготовиться к контрольной работе: повторить предыдущие темы, вспомнить на
все известные способы подсчета вероятности события;
- выполнить задания из [1]: № 292, 295, 197, 301, 303.
Практическое занятие №9. Случайная величина и закон ее распределения.
План.
1. Повторение теоретического материала: понятие дискретной, непрерывной
случайной величин, закон распределения дискретной случайной величины.
2. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 324, 326, 327, 329, 330, 333.
34
3. Постановка домашнего задания:
- повторить функция распределения и плотность вероятности
- выполнить задания из [1]: № 325, 328, 331, 338, 340.
Практическое занятие № 10. Случайная величина, ее функция распределения.
План.
1. Повторение теоретического материала: понятие дискретной, непрерывной
случайной величин, ее функция распределения.
2. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 353, 355, 356, 361, 365.
3. Постановка домашнего задания:
- повторить числовые характеристики случайной величины - математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, их вычисление и свойства;
- выполнить задания из [1]: № 354, 357, 358, 362, 363.
Практическое занятие № 11. Случайная величина, ее плотность вероятности.
План.
1. Повторение теоретического материала: понятие дискретной, непрерывной
случайной величин, плотность вероятности.
2. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 372 (1, 2, 3), 373, 380.
3. Постановка домашнего задания:
- повторить числовые характеристики случайной величины - математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, их вычисление и свойства;
- выполнить задания из [1]: № 372 (4, 5, 6), 374, 377.
Практические занятия № 12, 13. Случайная величина и ее числовые
характеристики.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: числовые характеристики случайной
величины - математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, их
вычисление и свойства;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 444 (1, 3), 445 (1), 446 (а), 478 (1, 3), 479 (1, 2).
4. Постановка домашнего задания:
- повторить материал по многомерным случайным величинам и их числовым
характеристикам;
- выполнить задания из [1]: № 444 (2, 4), 445 (2), 446 (б), 478 (2, 4), 479 (3, 4), 481.
Практическое занятие № 14. Контрольная работа.
Практическое занятие № 15. Двумерная случайная величина и закон ее
распределения.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: двумерная случайная величина
(дискретная, непрерывная), ее закон распределения.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 390, 392, 394, 408, 413.
35
4. Постановка домашнего задания:
- повторить материал: неравенство Чебышева; теорема Чебышева
доказательством; теорема Маркова; центральная предельная теорема Ляпунова.
- выполнить задания из [1]: № 391, 393, 395.
с
Практические занятия № 16. Применение закона больших чисел и
центральной предельной теоремы.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: неравенство Чебышева; теорема
Чебышева с доказательством; теорема Маркова; центральная предельная теорема Ляпунова.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 512, 514, 516, 518, 520, 523, 525, 528.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить материал по теории случайных процессов;
- выполнить задания из [1]: № 513, 515, 517, 519, 521, 526, 529.
Практическое занятие № 17. Эмпирический закон распределения. Таблица
частот. Полигон и гистограмма.
План.
1. Повторение теоретического материала: основных понятий матстатистики
(выборочная и генеральная совокупности, объем выборки, эмпирический закон
распределения, вариационный ряд); таблица абсолютных частот, таблица относительных
частот, примеры их построения; полигон частот и гистограмма, как их изобразить.
2. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1]: № 531,
534, 536, 537 (1), 538.
3. Постановка домашнего задания:
- повторить теорию по теме 2: "Эмпирическая функция распределения. Числовые
характеристики статистического распределения";
- выполнить задания из [1]: № 532, 535, 537 (2), 541.
Практическое занятие № 18. Эмпирическая функция распределения.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие эмпирической функции
распределения; построение графика эмпирической функции распределения; свойства
эмпирической функции распределения.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1 (дополн.
лит-ра)]: № 382, 412, 414, 418;
4. Постановка домашнего задания:
- повторить теоретический материал по теме 2: "Эмпирические оценки параметров
распределения. Оценка неизвестной вероятности по частоте";
- выполнить задания из [1(дополн. лит-ра)]: № 383, 413, 415, 419 (а).
Практическое занятие № 19. Эмпирические оценки параметров распределения.
Оценка неизвестной вероятности по частоте.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
36
2. Повторение теоретического материала: требования, предъявляемые к
эмпирическим оценкам параметров распределения; эмпирическая средняя и выполнение
требований для нее; эмпирическая дисперсия и проверка требований для нее; исправленная
эмпирическая дисперсия;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1]: № 542,
544, 548, 550(1).
4. Постановка домашнего задания:
- повторить теорию по теме 2: "Доверительные вероятности доверительные
интервалы";
- выполнить задания из [1]: № 543, 545, 549, 550 (2).
Практическое занятие № 20. Доверительные вероятности, доверительные
интервалы.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2.
Повторение
теоретического
материала:
доверительная вероятность,
доверительный интервал и их нахождение;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1]: №
554(1,2), 555(1), 556, 559.
4. Постановка домашнего задания:
- выполнить задания из [1]: № 554(3), 555(2), 557, 560.
Практическое занятие № 21. Метод наименьших квадратов для оценки
параметров функциональной зависимости между переменными.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: суть метода наименьших квадратов для
оценки параметров функциональной зависимости между переменными.
3. Задачи для самостоятельного решения:
- Данные опыта представлены таблицей:
X
2
4
6
8
10
Y
4,5 7
8
7,5
9
Полагая, что X и Y связаны зависимостью вида Y=a+bX, найти коэффициенты a, b
методом наименьших квадратов.
- Данные опыта представлены таблицей:
X
0
2
4
6
8
10
Y
5
-1
0,5
1,5
4,5 8,5
Полагая, что X и Y связаны зависимостью вида Y=a+bX+сX², найти коэффициенты a,
b и с методом наименьших квадратов.
4. Постановка домашнего задания:
- выполнить задание:
При исследовании некоторой химической реакции через каждые 5 минут
определялось количество А вещества, оставшееся в системе. Результаты измерения
приведены в таблице, где даны: время t после начала реакции в минутах и количество А
вещества в процентах:
t
7
12
17
22
27
32
37
A
87,3 72,9 63,2 54,7 47,5 41,4 36,3
Полагая, что t и А связаны зависимостью А=a+bt+сt², найти коэффициенты a, b и с
методом наименьших квадратов. Определить, какой процент вещества остается в системе
по истечении 25 минут после начала реакции.
Практическое занятие № 22. Коэффициент корреляции.
37
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: вероятностная связь между случайными
величинами; корреляционный момент и коэффициент корреляции;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1]: № 571(а),
572(а), 574(а), 576, 587(1).
4. Постановка домашнего задания:
- повторить теорию по темам 5, 6: "Элементы теории корреляции";
- выполнить задания из [1]: № 571(б), 572(б), 574(б), 587(2).
Практическое занятие № 23. Линейная корреляция. Метод наименьших
квадратов.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: линии регрессии; метод наименьших
квадратов о сглаживании функциональной зависимости.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач [1 (дополн.
лит-ра)]: № 430, 431(а), 432, 433(а,б).
4. Постановка домашнего задания:
- повторить теорию по темам 7,8,9: "Проверка статистических гипотез"
- выполнить задания из [1(дополн. лит-ра)]: № 431(б), 433(в,г).
Практическое занятие № 24. Нахождение законов распределения случайных
величин на основе опытных данных.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: статистическая гипотеза, нулевая
гипотеза, альтернативная гипотеза, статистическое решение, уровень значимости; основные
принципы проверки гипотез; ошибки, связанные с этим; методика проверки гипотез;
критерии проверки гипотез.
3. Теоретический материал закрепить на примерах:
- Дано статистическое распределение
Значения
(0;10)
(10;20)
(20;30)
(30;40)
(40;50)
(50;60)
СВ
Частота
11
14
15
10
14
16
Выровнять опытные данные, применив закон распределения с равномерной
плотностью.
- Дано статистическое распределение
Значения СВ
Частота
0
7
1
21
2
26
3
21
4
13
5
7
6
3
7
1
Показать, что оно близко к распределению Пуассона, и установить зависимость
между значениями случайной величины и вероятностями этих значений.
- Дано статистическое распределение
СВ
Частота
(0;3)
1
(3;6)
3
(6;9)
4
(9;12)
6
(12,15)
11
(15;18)
10
(18;21)
7
(21;24)
5
(24;27)
2
(27;30)
1
Показать, что оно близко к нормальному распределению, и построить гистограмму
его относительных частот.
4. Постановка домашнего задания:
- выполнить задания:
1) Дано статистическое распределение
Значения СВ
Частота
(-1;1)
6
(1;3)
7
(3;5)
4
(5;7)
5
(7;9)
8
38
Выровнять опытные данные, применив закон распределения с равномерной
плотностью.
2) Дано статистическое распределение
Значения СВ
Частота
0
1
1
3
2
8
3
14
4
17
5
17
6
15
7
10
8
7
9
5
10
2
11
1
Показать, что оно близко к распределению Пуассона, и установить зависимость
между значениями случайной величины и вероятностями этих значений.
3) Дано статистическое распределение
(1;2)
(2;3)
(3;4)
(4;5)
(5;6)
(6;7)
(7;8)
(8;9)
(9;10)
(10;11)
(11;12)
(12;13)
(13;14)
4
4
8
16
18
20
30
28
22
18
14
10
4
(14;15
)
4
Показать, что оно близко к нормальному распределению, и построить гистограмму
его относительных частот.
Практическое занятие № 25. Проверка согласованности эмпирического и
теоретического распределений.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: статистическая гипотеза, нулевая
гипотеза, альтернативная гипотеза, статистическое решение, уровень значимости; основные
принципы проверки гипотез; ошибки, связанные с этим; методика проверки гипотез;
критерии проверки гипотез.
3. Теоретический материал закрепить на примерах:
- Проверить, согласуется ли статистическое распределение
Значения СВ
Частота
(-1;1)
6
(1;3)
7
(3;5)
4
(5;7)
5
(7;9)
8
с теоретическим, имеющим равномерную плотность (с помощью критерия Пирсона,
Романовского).
- Дано статистическое распределение
СВ
Частота
(0;3)
1
(3;6)
3
(6;9)
4
(9;12)
6
(12,15)
11
(15;18)
10
(18;21)
7
(21;24)
5
(24;27)
2
(27;30)
1
Применить критерии Пирсона и Романовского для установления правдоподобности
гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
- Дано статистическое распределение
Значения СВ
Частота
0
7
1
21
2
26
3
21
4
13
5
7
6
3
Оценить
степень
согласованности
статистического
распределением Пуассона (с помощью критерия Колмогорова).
4. Постановка домашнего задания:
- выполнить задания:
1) Дано статистическое распределение:
Значения СВ
Частота
(0;5)
2
(5;10)
12
(10;15)
8
(15;20)
4
(20;25)
14
(25;30)
6
(30;35)
10
7
1
распределения
(35;40)
2
(40;45)
1
с
(45;50)
11
Выяснить, согласуется ли это распределение с теоретическим, имеющим
равномерную плотность (с помощью критерия Пирсона, Романовского).
2) Дано статистическое распределение
(1;2)
(2;3)
(3;4)
(4;5)
(5;6)
(6;7)
(7;8)
(8;9)
(9;10)
(10;11)
4
4
8
16
18
20
30
28
22
18
(11;12
)
14
(12;13)
10
(13;14
)
4
(14;1
5)
4
Применить критерии Пирсона и Романовского для установления правдоподобности
гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
3) Дано статистическое распределение
Значения СВ
Частота
0
1
1
3
2
8
3
14
4
17
5
17
6
15
7
10
8
7
9
5
10
2
11
1
39
Оценить
степень
согласованности
статистического
распределения
с
распределением Пуассона (с помощью критерия Колмогорова).
Практическое занятие № 26. Контрольная работа.
Практические занятия № 27, 28. Случайные процессы, их числовые
характеристики.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие случайной функции (процесса),
числовые характеристики случайного процесса, дифференцирование и интегрирование
случайного процесса.
3. Примерные типы задач:
- Случайный процесс определяется формулой X(t)=Vsint, где t≥0, V - случайная
величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [2; 4]. Найти: а) сечение
случайного процесса X(t) в момент времени t= ; б) реализацию случайного процесса при
4
одном испытании, в котором случайная величина V приняла значение 2.
- Случайный процесс определяется формулой X(t)=Vsint, где t≥0, V - случайная
величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [2; 4]. Найти: а)
математическое ожидание случайного процесса; б) дисперсию и среднее квадратическое
отклонение; в) корреляционную функцию; г) ноормированную корреляционную
функцию.
- Какие из приведенных ниже случайных процессов являются стационарными (в
широком смысле): а) X(t)=Vsint, где t≥0, V~N[2, 4] - случайная величина; б) X(t)=sin(t+φ),
где t≥0, φ~R[0; 2π] - случайная величина; в) X(t)=Ycos3t, Y- случайная величина; г)
X(t)=Acos(t+φ), где t≥0, φ-const, A - случайная величина.
- Известны характеристики двух некоррелированных случайных процессов X(t) и
Y(t):
Найти
KY (t1; t2 ) 2et1 t 2 .
mX (t ) t 2 ,
K X (t1; t2 ) t1 t2 ;
mY (t ) t 3 ;
математическое ожидание и корреляционную функцию случайного процесса Z(t)=
X(t)+Y(t).
Практическое занятие № 29. Линейные и нелинейные преобразования
случайных процессов.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Изучить и законспектировать материал по данной теме, предложенный
индивидуально для каждого.
Практическое занятие № 30. Дифференцирование и интегрирование
случайных процессов.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие случайной функции (процесса),
числовые характеристики случайного процесса, дифференцирование и интегрирование
случайного процесса.
3. Примерные типы задач:
- Случайный процесс определяется формулой Y(t)=Xe t , t>0, X~N[3, 1]. Найти
dX (t )
математическое ожидание и корреляционную функцию случайного процесса Y (t )
;
dt
t
Y (t ) X ( )d .
0
40
- Пусть X (t ), t 0 – СП с нулевым МО и КФ вида K (t , s ) e st . Доказать, что
данный СП бесконечно дифференцируем в среднем квадратическом.
- Исследовать на дифференцируемость в среднем квадратическом СП
X (t ) e at sin ( t ), где , – известные числа, – СВ, равномерно распределенная на
отрезке [0, 2], t 0.
Практическое занятие № 31. Спектральное разложение стационарного
случайного процесса. Спектральная плотность случайного процесса.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие случайной функции (процесса),
спектральное разложение стационарного случайного процесса, спектральная плотность
случайного процесса.
3. Примерные типы задач:
- Найти спектральную плотность СП X (t ) , корреляционная функция которого
имеет вид
K (t ) ce |t | , c, , 0, t 0.
- Найти корреляционную функцию случайного процесса со спектральной
0, 0
плотностью S ( )
.
S0 , 0
- Известно, что спектральная плотность стационарного случайного процесса X(t)
8
имеет вид S ( )
. Найти дисперсию случайного процесса X(t).
(1 2 )
Практическое занятие № 32. Стационарный белый шум.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие случайной функции (процесса),
стационарный белый шум.
3. Примерные типы задач:
- Пусть X и Y – независимые одинаково распределенные СВ, принимающие
значения –1 и +1 с вероятностями 1/2. Исследовать на стационарность СП
Z (t ) X cos t Y sin t , t 0 .
- Пусть X (t ), t 0 – пуассоновский СП с параметром . Доказать, что СП
Y (t ) X (t 1) X (t ), t 1 является стационарным в широком смысле.
- Является ли стационарной последовательность попарно независимых одинаково
распределенных СВ?
- Пусть (t ) – непрерывная периодическая функция с периодом T, X – СВ,
равномерно распределенная на отрезке [0, T ] . Исследовать СП Y (t ) (t X ) на
стационарность.
- Доказать, что сумма независимых стационарных СП является стационарным СП.
- Пусть
стационарный СП, Y – СВ. Является ли СП
X (t ) –
Z (t ) X (t ) Y стационарным? Доказать, что если стационарный СП является марковским,
то его КФ имеет вид ce a |t | , где 0, c 0 – некоторые постоянные.
Практические занятия № 33, 34. Марковские случайные процессы.
План.
41
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: понятие случайной функции (процесса),
процесс с дискретными состояниями, процесс с непрерывным временем, марковский
процесс; марковский процесс как модель многих реальных процессов; марковская цепь;
матрица перехода системы.
3. Примерные типы задач:
- Пусть { X n } – последовательность независимых СВ:
X n N (0, 1). Является ли последовательность СВ
{Yn }:Y1 X 1 , Y2 rX 1 ( 1 r 2 )1 / 2 X 2 , ..., Yn r n 1 X 1
( 1 r 2 )1 / 2 ( r n 2 X 2 r n 3 X 3 ... X n ), ..., где |r| 1,
стационарной и марковской?
- Всякая ли стохастическая матрица может быть матрицей вероятностей перехода
за два шага некоторой дискретной марковской цепи (ДМЦ)?
- Известно, что ДМЦ полностью определяется начальным распределением и
матрицей вероятностей перехода за один шаг. Определяется ли ДМЦ начальным
распределением и матрицей вероятностей перехода за два шага?
- Доказать, что стохастическая матрица размера 2 2 является матрицей
вероятностей перехода за два шага некоторой ДМЦ тогда и только тогда, когда сумма ее
диагональных элементов не меньше единицы.
- ДМЦ имеет следующую матрицу вероятностей перехода за один шаг:
P 1 b a 1 a b .
Найти матрицу вероятностей перехода за n шагов и предел при n .
- Пусть X 0 , X 1 , . .., – последовательность независимых одинаково распределенных
целочисленных СВ. Доказать, что она образует ДМЦ. Построить матрицу вероятностей
перехода.
- Пусть { X n } – последовательность независимых одинаково распределенных СВ.
Являются ли марковскими последовательностями СВ:
а)Yn X n X n 1 , где P( X n 1) p, P( X n 1) 1 p;
n
б) Z n X i ?
i 1
Практическое занятие № 35. Контрольная работа.
42
Приложение №3
Содержание и методические указания для самостоятельной работы
студентов по дисциплине «Стохастический анализ»
№
раздела
1
1
2
3
3
Тематический план самостоятельной работы
Тема
Кол-во
Формы текущего контроля
часов
успеваемости
События. Операции над событиями.
5
Домашняя работа № 1
Устный опрос
Комбинаторика.
8
Домашняя работа №2
Устный опрос
Таблицы, графики, диаграммы
5
Письменный опрос
Теория вероятностей.
8
Устный и письменный опрос
Элементы математической
10
Тестирование
статистики.
По дисциплине «Стохастический анализ» (5, 6, 7 семестры) общая трудоёмкость –
10 зач. ед. (360 часов), на аудиторные занятия в 5 семестре отводится 64 часа, из них 32
часа – лекции, 32 часа – практические; 16 часов - самостоятельная работа, 2 часа - КСР. На
аудиторные занятия в 6 семестре отводится 40 часов, из них 20 часов – лекции, 20 часов –
практические; 20 часов - самостоятельная работа, 2 часа - КСР. На аудиторные занятия в 7
семестре отводится 54 часа, из них 36 часов – лекции, 18 часов – практические; 133 часа самостоятельная работа, 2 часа - КСР. В 5, 6 семестрах предусмотрен зачет, в 7 семестре экзамен. Охватить весь курс на аудиторных занятиях нет возможности, поэтому часть
материала выносится для самостоятельного изучения. Какие виды самостоятельной
работы? Это: изучение и конспектирование литературы, подготовка к практическим
занятиям, подготовка к контрольной работе, решение задач, сдача коллоквиума.
Раздел 1. Введение в теорию вероятностей.
Самостоятельное изучение и конспектирование по теме: «Разные определения
вероятности (геометрическое, аксиоматическое, статистическое)».
Необходимо самостоятельно изучить и законспектировать данный вопрос по
следующей схеме:
1) Аксиоматическое определение вероятности
Обязательно указать, что вероятностью называется функция р(А), определенная на
алгебре событий S, принимающая действительные значения и удовлетворяющая
аксиомам: неотрицательности, нормированности, аддитивности. Указать что такое
вероятностное пространство.
2) Геометрическое определение вероятности
Обязательно сформулировать понятие вероятности с геометрической точки зрения
и привести 2-3 примера на вычисление вероятности с помощью данной формулы.
Обратить внимание на построение графиков функций, на нахождение благоприятной и
общей областей на плоскости, либо в пространстве.
3) Статистическое определение вероятности
Начать изложение с понятия относительная частота события и ее свойства.
Обязательно сформулировать понятие вероятности со статистической точки зрения и
привести 2-3 примера на вычисление вероятности с помощью данной формулы.
Можно воспользоваться любым источником из списка основной или
дополнительной литературы.
43
Раздел 5. Случайные величины. Примеры распределений.
Самостоятельное изучение и конспектирование темы: «Законы распределения
случайных величин (закон Коши, закон арксинуса)».
Необходимо самостоятельно изучить и законспектировать данный вопрос по
следующей схеме:
1) Закон Коши: указать для какой случайной величины этот закон, чем
характеризуется, каким образом задан (обязательно вычислить константу А, найти
функцию распределения).
2) Закон арксинуса: указать для какой случайной величины этот закон, чем
характеризуется, каким образом задан (обязательно вычислить константу А, найти
функцию распределения).
Можно воспользоваться любым источником из списка основной или
дополнительной литературы.
Раздел 6. Числовые характеристики случайных величин.
Самостоятельное изучение темы: «Вычисление числовых характеристик
случайных величин, распределенных по закону Коши и закону арксинуса».
Необходимо законспектировать, либо вычислить самостоятельно основные
числовые характеристики для случайных величин, распределенных по закону Коши и
закону арксинуса.
Раздел 7. Многомерные случайные величины.
Конспект по теме: «Теоремы о математическом ожидании и дисперсии случайных
величин».
Изучить и законспектировать теоремы о математическом ожидании и дисперсии
случайных величин:
1) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме
математических ожиданий: М(X+Y)=M(X)+M(Y);
2) Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно
произведению их математических ожиданий, сложенному с их корреляционным
моментом;
3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин
равно произведению их математических ожиданий: М(XY)=M(X)M(Y);
4) Дисперсия суммы двух случайных величин равно сумме дисперсий слагаемых:
D(X+Y)=D(X)+D(Y).
Можно воспользоваться любым источником из списка основной или
дополнительной литературы.
Раздел 9. Основные понятия математической статистики.
Самостоятельное изучение и конспектирование по теме: «Числовые
характеристики статистического распределения».
Необходимо самостоятельно изучить и законспектировать данный вопрос по
следующей схеме:
1) среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, примеры
вычисления;
2) средняя взвешенная, примеры вычисления;
3) статистическая дисперсия, выборочная дисперсия, примеры вычисления;
4) статистические начальные и центральные моменты к-го порядка, примеры
вычисления;
5) мода, медиана, размах варьирования, примеры их вычисления.
44
Можно воспользоваться любым источником из
дополнительной литературы, а также интернет источниками.
списка
основной
или
Раздел 10. Теория оценок. Нахождение неизвестных параметров
распределения.
Самостоятельное изучение и конспектирование по теме: «Метод наименьших
квадратов для оценки параметров функциональной зависимости между переменными».
При изучении и конспектировании нужно раскрыть суть метода наименьших
квадратов для оценки параметров функциональной зависимости между переменными в
общем виде и разобрать метод наименьших квадратов на конкретном примере.
Можно воспользоваться любым источником из списка основной или
дополнительной литературы, а также интернет источниками.
Раздел 12. Проверка статистических гипотез.
Самостоятельное изучение и конспектирование по теме: «Проверка статистических
гипотез с помощью критерия согласия Романовского».
Необходимо самостоятельно изучить и законспектировать данный вопрос по
следующей схеме:
1) Методика проверки правдоподобия гипотезы;
2) Суть критерия согласия Романовского;
3) Основная формула, уровень значимости;
4) Как сделать правильный вывод;
5) Подробно разобрать пример.
Раздел 13. Основные понятия теории случайных процессов. Классификация
случайных процессов.
Самостоятельное изучение и конспектирование по теме: «Основные
характеристики случайных процессов».
Раздел 16. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов.
Спектральное разложение и спектральная плотность.
Самостоятельное изучение и конспектирование по теме: «Теорема ВинераХинчина. Непрерывный спектр. Стационарный белый шум».
Раздел 18. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным
временем.
Самостоятельное изучение и конспектирование по теме: «Потоки гибели и
размножения. Граф состояний. Процесс Пуассона. Стационарный режим для марковского
процесса гибели и размножения».
Кроме того, к видам самостоятельной работы относится выполнение домашних
заданий: решение задач. Задания задаются на каждом практическом занятии из сборников
задач [1], [1(дополн. лит-ра)] студенты должны выполнять их. Если у студента возникают
вопросы по выполнению, предусмотрены еженедельные консультации, где он обращается
к преподавателю. На каждом практическом занятии студенты сдают выполненные
домашние задания, за правильное выполнение которых получают соответствующие
баллы. Если есть нерешенные задания у всей группы, то совместно на занятии разбираем
это задание, но баллы при этом не начисляются.
После изучения темы "Случайное событие и вероятность" в 5 семестре
предусмотрен коллоквиум. Коллоквиум будет проходить в форме индивидуальной беседы
по вопросам (вопросы см. в приложении №4 УМК)
45
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
4.1. Технологическая карта
Наименование образовательной программы, профиль: дисциплина «Стохастический анализ»
Год обучения, группа: 2013-14 уч. год, 3 курс
Семестр: 5
Статус дисциплины:
Количество часов на дисциплину: 72
Количество аудиторных часов на дисциплину: IV семестр – 32
ФИО преподавателей: Т.И. Кушнир
Утверждено на заседании кафедры математики, ТиМОМ от 11 сентября 2013 г., протокол № 1
№ Дисциплина
№
1 Основы
математичес
кой
обработки
информации
1
2
3
4.
5
6
7
7
8
9
10
11
12
13
14
Контрольное мероприятие
Вводное тестирование
Конспектирование
Домашняя работа № 1 «Введение в
комбинаторику»
Решение задач
Работа на лекционных и
практических занятиях:
1) Посещение лекций
2) Ответ на теоретический вопрос
Итого:
Конспектирование
Домашняя работа № 2 «Элементы
стохастики»
Решение задач
Домашняя работа № 3 «Таблицы,
графики, диаграммы»
Работа на лекционных и
практических занятиях:
1) Посещение лекций
2) Ответ на теоретический вопрос
Итого:
Конспектирование
Опрос по теме «Вероятность»
Тестирование по теме
«Вероятность»
Решение задач
Работа на лекционных и
практических занятиях:
1) Посещение лекций
2) Ответ на теоретический вопрос
Итого:
Итоговый контроль
Всего: минимум – 0, максимум –100
Ауд.или
Внеауд.
Баллы
Неделя
Ауд.
Ауд.
Внеауд.
0-4
0-6
0-3
1
1-6
4
Ауд.
Ауд.
0-6
0-2
0-4
1-6
1-6
Ауд.
Внеауд.
0-25
0-6
0-3
7-12
10
Ауд.
Внеауд.
0-6
0-4
7-12
12
Ауд.
0-2
0-4
7-12
Ауд.
Ауд.
Ауд.
Внеауд.
Ауд.
0-25
0-6
0-4
0-8
0-6
0-2
0-4
13-18
17
18
13-18
7-12
0-30
0-20
46
1) На каждом практическом занятии студенты сдают на проверку тетради с
домашним заданием, которое оценивается в баллах.
2) Работа у доски на практическом занятии оценивается с учётом знаний теории,
последовательности и точности объяснения, аккуратности ведения записей и т. п.
3) Оценивается и работа на лекции у доски, контролируется умение записывать
лекции, а также посещение лекций.
4) Для контроля за СР в каждом семестре необходимо провести контрольные
работы. Проводятся они аудиторно. Оценивается не только правильность ответа, но и
выбор оптимального метода, последовательность изложения, аккуратность рисунков.
5) Еженедельно проводятся индивидуальные занятия, на которых студенты
консультируются у преподавателя по самостоятельно изучаемым темам, сдают
задолженности, коллоквиумы и т. п.
6) Оценочным средством текущего и промежуточного контроля является
модульно-рейтинговая технология оценивания работы студентов
Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ и рубежные баллы
рейтинговой системы оценки успеваемости студентов указаны в программе данной
дисциплины.
При выставлении баллов за аттестации учитывается:
а) посещение занятий;
б) выполнение домашних заданий;
в) активность работы на практических занятиях и лекциях;
г) результат написания контрольной работы; сдачи коллоквиума;
д) успехи в самостоятельном изучении тем курса.
7) Дисциплина «Стохастический анализ» относится к базовой части
профессионального
цикла
дисциплин
направления.
Она
характеризуется
содержательными связями с дисциплиной «Математический анализ». Изучение
стохастического анализа следует за изучением математического анализа.
Для изучения стохастического анализа необходимы знания из некоторых разделов
геометрии и математического анализа, например: «Введение в математический анализ»,
«Теория пределов», «Теория функции нескольких переменных», «Дифференциальное
исчисление для функции одной и нескольких переменных», «Интегральное исчисление
для функции одной и нескольких переменных», «Ряды», «Аналитическая геометрия».
Обучающийся должен знать основные элементарные функции и их свойства, понятия
производной, неопределенного и определенного интегралов, геометрические фигуры на
плоскости, тела в пространстве, должен уметь дифференцировать, интегрировать
функции, исследовать функции с помощью производной, находить сумму числового ряда,
разлагать функцию в степенной ряд, уметь находить площади фигур, объемы тел.
Следовательно на первом практическом занятии дается самостоятельная работа
диагностирующего контроля.
Примерный вариант контрольной работы в 5 семестре
1) Охотники Александр, Виктор и Павел попадают в летящую утку с вероятностями,
соответственно равными 2/3, ¾, 1/4. Все одновременно стреляют по пролетающей утке.
Какова вероятность того, что утка будет подбита?
2) Вероятность попадания в цель равна 0,003. Сколько нужно произвести выстрелов,
чтобы с вероятностью, большей 0,94, можно было утверждать, что цель будет поражена?
3) Какова вероятность того, что два носка, взятые наудачу из ящика, содержащего шесть
красных и три синих носка, будут одного цвета?
4) 30 % изделий предприятия – продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий.
Чему равна вероятность того, что 4 изделия из них высшего сорта?
5) Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника
сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж содержит
ровно 5 бракованных книг.
47
Примерный вариант контрольной работы в 6 семестре
1) Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвестной вероятностью p
появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки р с
надежностью 0,95, если в 400 испытаниях событие А появилось 80 раз.
2) Распределение признака Х (случайной величины Х) в выборке задано следующей
таблицей:
Х
00,1-0,2 0,2-0,3 0,3-0,4 0,4-0,5 0,5-0,6 0,6-0,7 0,7-0,8
0,8-0,9
0,9-1
0,1
95
100
100
102
98
104
96
105
95
n i 105
При уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о равномерном распределении случайной
величины.
Примерный вариант контрольной работы в 7 семестре
Случайный процесс определяется формулой Y (t ) Xe t , t>0 где X – случайная
величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 3 и
средним квадратическим отклонением 1.
1) Найти математическое ожидание случайного процесса Y(t);
2) Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайного процесса
Y(t);
3) Найти корреляционную и нормированную корреляционную функции случайного
процесса Y(t).
Вопросы к коллоквиуму по теме:
«Случайное событие и вероятность» (5 семестр)
1) Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности
(примеры).
2) Сложение вероятностей. Расширенная теорема сложения (примеры).
3) Условная вероятность. Умножение вероятностей (примеры).
4) Полная вероятность. Формула Байеса (примеры).
5) Повторение испытаний. Схема Бернулли (примеры).
6) Наиболее вероятное число успехов (примеры).
7) Обобщения схемы Бернулли (примеры).
8) Аксиоматическое, геометрическое, статистическое определения вероятности
(примеры).
9) Плотность вероятности и ее свойства. Нормальная функция распределения, ее
свойства.
10) Локальная теорема Муавра – Лапласа и ее применение.
11) Теорема Пуассона и ее применение.
12) Интегральная теорема Муавра – Лапласа и ее применение.
Примерный перечень задач к зачету по дисциплине (5 семестр)
1) В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов –
по 100 рублей, на 50 билетов – по 20 рублей, на 100 рублей – по 5 рублей, остальные
билеты невыигрышные. Некто покупает 1 билет. Найдите вероятность выигрыша не менее
20 рублей.
2) Бросаются четыре игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по
одинаковому числу очков.
3) Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, причем каждый
из них делает по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка
48
– 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти
вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.
4) Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет хотя бы 3 раза.
5) Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и
равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90
раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
6) Производят последовательные испытания 5 приборов на надежностью Каждый
следующий прибор испытывают только в том случае, если предыдущий оказался
надежным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если
вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,8.
7) Случайная величина Х может принимать два возможных значения: x1 с вероятностью
0,3 и x 2 с вероятностью 0,7, причем x 2 > x1 . Найти x1 , x 2 , зная, что M(X)=2,7 и D(X)=0,21.
8) Случайная величина задана законом распределения
X 2
4
8
p 0,1 0,5 0,4
9) Найти среднее квадратичное отклонение этой величины.
10) Найти функцию распределения случайной величины, плотность вероятности которой
1 x
имеет вид f ( x) e .
2
11) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=24xy в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный прямыми x+y-1=0, x=0, y=0. Найти математические ожидания этих
случайных величин.
12) Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных величин
(X, Y):
X\Y 20 40 60
10
3λ λ 0
20
2λ 4λ 2λ
30
λ 2λ 5λ
13) Найти коэффициент λ и математические ожидания этих случайных величин.
14) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=a(x+y) в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный осями координат и прямой x+y=2. Требуется определить коэффициент а.
15) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=x+y в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный осями координат и прямой x+y=2. Требуется найти математические
ожидания этих случайных величин.
Примерный перечень теоретических вопросов к зачету (6 семестр):
1) Основные понятия математической статистики. Эмпирический закон распределения и
гистограмма.
2) Эмпирические оценки параметров распределения.
3) Доверительные вероятности и доверительные интервалы.
4) Оценка неизвестной вероятности по частоте.
5) Общие принципы проверки статистических гипотез.
6) Подбор теоретического распределения, критерий 2 Карла Пирсона.
7) Корреляция и регрессия.
8) Линейная корреляция. Метод наименьших квадратов.
Примерный перечень задач для зачета (6 семестр):
49
xi
1) Дано распределение признака
1
3
5
7
9
4
8
14
48
26
ni
Построить: полигон частот, гистограмму относительных частот, график эмпирической
функции распределения.
2) Произведено 800 наблюдений над случайной величиной:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
25
81
124
146
175
106
80
35
16
6
6
ni
Пользуясь критерием Пирсона требуется оценить правдоподобие гипотезы, состоящей в
том, что случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром а, равным
ai
статистическому среднему наблюдаемых значений случайной величины Х ( pi e a ).
i!
Число степеней свободы в данном случае r=9. В качестве уровня значимости принять
α=0,1.
3) В результате 79 опытов получена корреляционная таблица величин X
S
и Y:
B
X\Y
0,5 0,6 0,7 0,8
0,5
0
2
0
8
0,6
0
4
2
9
0,7
2
12 3
1
0,8
21 14 0
0
0,9
1
0
0
0
Где s - предел текучести стали, в - предел прочности стали, Y – процентное
содержание углерода в стали. Целые числа, приведенные в таблице, являются
кратностями значений соответствующих случайных точек. Определить коэффициент
корреляции и уравнения линий регрессий.
4) В следующей таблице представлены отчетные данные 189 организаций по фонду
заработной платы.
Заработная плата
Абсолютные частоты (число
Относительные частоты
(тыс. руб.)
организаций)
10-20
50
20-30
59
30-40
29
40-50
22
50-60
4
60-70
10
70-80
1
80-90
6
90-100
3
100-110
2
Заполнить последний столбец таблицы, построить гистограмму относительных частот;
заменить интервальный ряд точечным и построить для последнего график распределения
частот; найти эмпирическую функцию распределения случайной величины X – фонда
заработной платы и построить ее график.
5) В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических
ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92, 94, 100, 105, 106. Найти
выборочную среднюю длину стержня; выборочную и исправленную дисперсии ошибок
прибора.
50
Примерный перечень вопросов к экзамену по дисциплине (7 семестр):
1) Основные понятия теории вероятностей. Классическое и геометрическое определение
вероятности.
2) Условная вероятность. Умножение вероятностей.
3) Формула полной вероятности. Формула Байеса.
4) Повторение испытаний. Схема Бернулли. Наиболее вероятное число успехов.
Обобщения схемы Бернулли.
5) Плотность вероятности. Нормальная функция распределения.
6) Вычисление вероятности события с помощью асимптотических формул.
7) Дискретная случайная величина и ее закон распределения.
8) Непрерывная случайная величина, ее функция распределения и плотность
вероятности.
9) Числовые характеристики случайных величин – математическое ожидание и
дисперсия.
10) Примеры дискретных и непрерывных распределений и их числовые характеристики.
11) Двумерная случайная величина. Функция распределения и плотность вероятности.
12) Нормальное распределение двумерной случайной величины.
13) Числовые характеристики системы двух случайных величин.
14) Коэффициент корреляции для характеристики связи между двумя случайными
величинами.
15) Закон больших чисел и его обобщения.
16) Случайный процесс. Классификация случайных процессов по времени и по
состояниям.
17) Законы распределения и основные характеристики случайных процессов.
18) Корреляционная функция случайного процесса. Некоррелированные случайные
процессы.
19) Линейные, однородные и неоднородные и нелинейные операторы (преобразования)
случайных процессов.
20) Стационарные и эргодические случайные процессы.
21) Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и дискретным
временем (цепи Маркова).
22) Потоки событий. Их классификация. Интенсивность потока событий. Пуассоновский
поток событий. Простейший поток событий.
23) Марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем.
24) Стационарность случайного процесса в узком и широком смыслах. Свойство
эргодичности.
25) Числовые характеристики стационарных случайных процессов. Случайная
телеграфная волна.
26) Гауссовские случайные процессы.
51
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ГЛОССАРИЙ
Понятие
Высказывание
Вероятность
события А
Определение
любое повествовательное предложение,
относительно которого известно, что оно либо
истинно, либо ложно
отношение числа случаев благоприятствующих
появлению события А (т.е. m), к общему числу всех
исходов n: P( A)
Достоверное
событие
Невозможное
событие
Несовместные
события
Независимые
события
Случайное
событие
m
.
n
событие, всегда происходящее в результате
некоторого опыта
событие, заведомо никогда не происходящее
события, одновременно не происходящие в
результате некоторого опыта.
события, для которых происхождение или
непроисхождение одного из них не влияет на
происхождение или непроисхождение другого.
любое явление, которое может произойти или не
произойти
52
