Методичка по функциям

Министерство образования и науки Российской Федерации
Нижегородский государственный педагогический университет
Элементарная математика:
элементарные функции
Методические рекомендации для студентов
математического факультета
Нижний Новгород
2006
1
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Нижегородского государственного педагогического университета
Элементарная математика: элементарные функции: Методические
рекомендации для студентов математического факультета. Н. Новгород:
НГПУ, 2006. с.
Авторы-составители: С.В. Кириллова, канд. пед. наук, доцент кафедры
теории и методики обучения математике НГПУ
О.К. Огурцова, канд. пед. наук, старший преподаватель кафедры теории и методики обучения
математике НГПУ
Рецензент: Л.И. Кузнецова, канд. пед. наук, доцент кафедры теории и
методики обучения математике НГПУ
Ответственный за выпуск: Т.А. Иванова, доктор пед. наук, профессор, зав.
каф. теории и методики обучения математике
НГПУ
Методические рекомендации содержат программу дисциплины
«Элементарная математика: элементарные функции», планы практических
занятий с выделением основных типов и методов решения задач, список
рекомендуемой литературы, список задач к зачёту.
Предназначено для студентов очной формы обучения по
специальности 032100.00 - «Математика с дополнительной специальностью».
2
Предисловие
Изучение элементарных функций является одной из главных задач
школьной математики. Это объясняет необходимость детального и глубокого
рассмотрения в педагогическом вузе данного вопроса. Сформировать все
умения, определяемые содержанием школьного курса математики, в
пределах только рассматриваемого курса не представляется возможным в
виду ограниченности по времени. Поскольку многие умения формируются
при изучении соответствующих разделов в специальных курсах высшей
математики, то нет необходимости включать эти разделы в программу
данной дисциплины. К числу таких относятся: определение понятия
действительной функции действительного переменного, способы задания
функции, арифметические действия над функциями, композиция функций,
предел функции в конечной точке и на бесконечности, непрерывность
функции в точке и на промежутке, понятие обратной функции, исследование
функций с помощью производной и построение графиков на его основе.
Так как программой не отводится времени на лекции, то основные
теоремы, необходимые для решения задач, приводятся на практических
занятиях без доказательств. Заметим, что многие из них доказываются в
курсе «Введение в анализ», который студенты изучают параллельно.
Основные понятия курса «Элементарные функции» знакомы студентам из
школьного курса математики. Здесь предполагается освещение вопросов с
учётом профессиональных интересов будущего учителя, расширение,
углубление и систематизация имеющихся знаний. Особое внимание
уделяется выделению типов задач, решаемых на основе известных (и
уточнённых) определений понятий и теорем, поиску способов и алгоритмов
их решений, что требует от студентов знаний основных теоретических
сведений о математических предложениях, их структуре, технологии
построения отрицаний определений, умения подводить объект рассмотрения
под известное определение понятия и выводить следствие из определения.
Общие цели изучения курса состоят в следующем:
- создание необходимой теоретической базы для решения задач;
- формирование первоначальных методических умений, связанных с
решением задач;
- выделение основных типов задач, решаемых на основе изученного
теоретического материала;
- выделение методов и приёмов решения задач основных типов;
- формирование умений применять выделенные приёмы и методы при
решении задач.
Конкретные
учебные
задачи
и
диагностируемые
цели
сформулированы к каждому занятию.
Целью данных методических рекомендаций является оказание помощи
студентам математического факультета в усвоении дисциплины
«Элементарная математика: элементарные функции».
Методические материалы включают:
3
- тематический план учебной дисциплины;
- планы практических занятий;
- рекомендуемую литературу;
- список задач к зачёту.
Учебная дисциплина «Элементарная математика: элементарные
функции» включена в цикл дисциплин общепрофессиональной подготовки
студентов и читается в рамках вузовского компонента Государственного
образовательного стандарта по специальности 032100.00- «Математика с
дополнительной специальностью». Программа учебной дисциплины
«Элементарная математика: элементарные функции» построена в
соответствии с
учебной программой дисциплины «Элементарная
математика», разработанной Л.И. Кузнецовой (Н. Новгород: НГПУ, 2003),
включённой в федеральный компонент ГОС. Дисциплина «Элементарная
математика: элементарные функции» изучается в 1-м семестре и завершается
зачётом.
I.
Тематический план учебной дисциплины
«Элементарная математика: элементарные функции»
№
п/п
Темы практических занятий
Определение
и
свойства
функции.
1.
Нахождение
области определения
и
множества значений функции, наибольшего
и наименьшего значений.
Исследование функции на чётность и
2.
нечётность, периодичность, монотонность
элементарными средствами.
Построение графиков функций с помощью
3.- 4. преобразований
графиков
основных
элементарных функций.
5.
Контрольная работа.
Построение
графиков
функций,
6.–7. содержащих модуль в аналитическом
задании.
8.
Построение графиков сложных функций
элементарными средствами.
Всего:
Количество
часов
2
2
4
2
4
3
17
Форма контроля: зачёт.
4
II. Планы практических занятий
Занятие № 1
Определение и свойства функции. Нахождение области
определения и множества значений функции,
наибольшего и наименьшего значений
Учебная задача: формирование умений в нахождении области
определения, множества значений, наибольшего и наименьшего значений
функции элементарными средствами.
В результате студент:
знает
- определение числовой функции;
- основные способы задания функции;
- определение графика функции;
- необходимое и достаточное условие того, чтобы кривая являлась
графиком некоторой функции;
- понятие области определения функции;
- понятие множества значений функции;
- понятие наибольшего (наименьшего) значения функции;
- различные подходы к нахождению множества значений функции;
имеет представление
- об основных свойствах функций;
- о построении графика функции на основе исследования ее свойств;
- об ограничениях, которые учитываются при нахождении области
определения функции;
умеет
- находить область определения при аналитическом и графическом
задании функции;
- находить множество значений при аналитическом и графическом
задании функции;
- находить наибольшее и наименьшее значения при аналитическом и
графическом задании функции.
Содержание занятия:
Определение: Если даны числовое множество X и правило f ,
позволяющее поставить в соответствие каждому элементу x из X
определённое число y , то говорят, что задана функция y  f x с областью
определения X . Переменную x называют независимой переменной или
аргументом, а переменную y – зависимой переменной или функцией.
Существует 4 основных способа задания функции:
 аналитический;
 табличный;
5
 графический;
 словесный.
Определение: Графиком функции называется множество всех точек
координатной плоскости, абсциссы которых есть значения независимой
переменной, а ординаты – соответствующие им значения функции.
Для того чтобы кривая была графиком некоторой функции, необходимо
и достаточно, чтобы всякая прямая, параллельная оси ординат, либо не
пересекалась с этой кривой, либо пересекала её в единственной точке.
Существуют различные способы построения графиков функций.
Универсальным можно считать способ, основанный на исследовании
основных свойств функции:
 область определения;
 множество значений;
 чётность, нечётность;
 периодичность;
 монотонность.
Область определения функции есть множество всех допустимых
значений независимой переменной  X  . Обозначение: D f  или D y  .
Если функция задана аналитически, то под областью определения этой
функции следует понимать множество всех значений аргумента, при которых
выполнимы все действия, указанные в формуле. Область определения
функции находится с учетом следующих ограничений:
- на ноль делить нельзя;
- корень чётной степени можно извлекать только из неотрицательных
чисел;
- степень с действительным показателем определена только для
положительного основания;
- отрицательные числа и ноль логарифма не имеют;
- тангенс существует для всех чисел, кроме чисел

2
 n , где n  Z ;
- котангенс существует для всех чисел, кроме чисел n , где n  Z ;
- арксинус и арккосинус определены только для чисел из отрезка  1;1 .
Пример 1. Найдите область определения функции y  arcsin
2x  1
.
x 1
Решение: Область определения функции y  arcsin t есть множество
значений t  1 . В данном примере отыскание области определения сводится к
решению неравенства
2x 1
 1 . Имеем  1 
x 1
2x  1
 1 . Учитывая тот факт,
x 1
что квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел,
переходим к следующему двойному неравенству: 0 
2x 1
 1 . Получаем
x 1
6
 2x 1
 x  1  0,
 x2

 0.
 x -1
1
2
Применив метод интервалов для решения неравенств, находим:  2  x   .
1
Ответ:  2;  .

2
При графическом задании функции область определения – проекция
графика на ось абсцисс.
Множество значений функции есть множество всех возможных
значений зависимой переменной. Обозначение: E f  или E  y  .
Если функция задана аналитически, то под множеством значений этой
функции следует понимать множество всех значений y , при которых
уравнение f x  y  0 имеет решение относительно x , принадлежащих
области определения функции.
Пример 2. Найдите множество значений функции y  x 2  4 x  7 .
Решение: Область определения заданной функции есть всё множество
действительных чисел. Для отыскания множества значений функции
рассмотрим, при каких значениях у уравнение x 2  4 x  7  y  0 имеет
решение относительно x R. Квадратное уравнение имеет решение тогда и
только тогда, когда его дискриминант неотрицателен. Получаем
16  47  y   0 , т.е. y  3 .
Ответ: 3;  .
Возможен другой подход к нахождению множества значений функции.
Он основан на том факте, что если функция получена из некоторой
элементарной функции умножением на число, сложением с числом,
возведением в степень, извлечением корня, то множество значений заданной
функции можно получить из множества значений элементарной функции с
помощью свойств неравенств.
Таким образом, в примере 2, выделив полный квадрат, запишем
данную функцию в виде y  x  22  3 . Множество значений функции
2
y   x  2  есть множество всех неотрицательных чисел, так как эта функция
получена из функции y  x  2 , принимающей все возможные действительные
значения, возведением в чётную степень. Переходим от верного неравенства
x  22  0 к неравенству x  22  3  3 , т.е. y  3 .
Пример 3. Найдите множество значений функции y  2 sin x  3 cos x .
Решение: В указанном виде функция представляет собой комбинацию
двух элементарных функций: y  sin x и y  cos x . Однако данная функция
легко приводится к одной элементарной функции:
3
 2

2 sin x  3 cos x  13
sin x 
cos x   13 sin x cos   cos  sin x   13 sin x    ,
13
 13

7
где  определяется из равенств cos  
2
3
, sin  
.
13
13
Теперь можно использовать свойства неравенств:
 1  sin x     1 , |  13
 13  13 sin x     13 ,
 13  y  13 .
Ответ:  13; 13 .
Иногда множество значений функции легко находится, если
предварительно найти область определения функции.
Пример 4. Найдите множество значений функции y  ln sin 2 x .
Решение: Найдём сначала область определения функции:
Так как sin x  1 , то в заданной функции
ln sin 2 x  0 , значит sin 2 x  1 .

 n , n Z . Тогда
2
множество значений функции состоит из одного числа y  ln 1  0 .
sin 2 x может принимать только значение 1 при x 
Ответ: 0 .
При графическом задании функции множество значений – проекция
графика на ось ординат.
Существуют и другие способы нахождения множества значений
функции.
Заметим, что, находя множество значений функции, мы одновременно
находим и её наибольшее и наименьшее значения, если они существуют. Так
при графическом задании функции наибольшее и наименьшее значения
функции есть соответственно наибольшее и наименьшее значения из
множества проекций.
Число m называют наименьшим значением функции y  f x на
множестве X  D f  , если:
1)
в X существует такая точка x0 , что f x0   m ;
2)
для всех x из X выполняется неравенство f x   f x0  .
Число M называют наибольшим значением функции y  f x на
множестве X  D f  , если:
1) в Х существует такая точка x0 , что f x0   M ;
2) для всех x из X выполняется неравенство f x   f x0  .
В примере 2 функция имеет только наименьшее значение: унаим. = 3. В
примере 3 y наим.   13 , y наиб.  13 .
Пример 5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y  cos 2 x  sin x  1 .
8
Решение: Приведём данную функцию к одной элементарной функции:
2
1
1

cos 2 x  sin x  1  1  sin 2 x  sin x  1   sin x    2
2
4

.
Множество
функции y  sin x есть отрезок  1;1 , поэтому выражение sin x 
значений
1
принимает
2
2
все значения из отрезка  1 ;  . Тогда выражение  sin x   принимает все
2

 2 2
1 1
1
2
1
1
значения из отрезка 0;2  , а выражение   sin x   – все значения из
2

 4
1
отрезка  2 ;0 . Потому множеством значений заданной функции является
 4 
1
1
отрезок 0;2  . Тогда 0 – наименьшее, 2 - наибольшее значения функции.
4
 4
1
Ответ: y наим.  0 , y наиб.  2 .
4
Упражнения к занятию:
1. Почему постоянную величину можно рассматривать как функцию
некоторого аргумента?
2. Даны две функции: f1 x  и f 2 x . Как записать, что значение f1 x  при
x  3 равно значению f 2 x при x  1 ?
3. Дана функция  x  . Как записать, что: 1) число 5 является корнем
данной функции; 2) при противоположных значениях аргумента функция
принимает: а) равные значения; б) противоположные значения?
4. Дано: f x   2 x  1 .
1) Найдите f 0,5 , f 5 , f x  1 , f x 2  , f 2 x  .
2) Определите, при каких значениях x f x   x .
5. На каком из данных рисунков задана функция?
y
y
d
y
h
g
b
a 0
r
x
0
x
0
k
c
Рис. 1
t x
Рис. 3
Рис. 2
По графику укажите область определения, множество значений, наибольшее
и наименьшее значения функции.
6. Найдите область определения функции:
1)
y   x 2  2 x  8 ; 2) y 
x  22 x  5 ; 3)
y
x 1
;
x  64
9
y
4)
7) y  lg 1  2 cos x  ; 8) y 
10) y 
1
; 6) y 
x  10
x  4 ; 5) y  x 2  9 x  14 
9  x2
;
x 1
x5
; 9) y  log 3 x ln x 2 ;
1  sin 2 x
 x 2  10 x  16
.
tg x  1
7. Найдите множество значений функции:
1)
y  x 2  6 x  10 ; 2) y   x 2  4 x  5 ; 3) y  6 sin x cos x  1 ;
4)
y  9 cos 2 11x  16 ; 5) y  3 sin x  4 cos x ; 6) y  sin 2 x  cos x  1 ;
7) y 
x2
; 8) y  3  2 x  0,7 ; 9) y  log 9 cos x .
x3
8.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
1) y  arccossin x ; 2) y  2cos x .
Ответы: 4. 2) 1 . 6. 1)  4;2; 2) x  2 , x  5 ; 3) 1;6 , 6; ;
4)  ;4 , 4;  ; 5)  10;2, 7;  ; 6)  3;1 , 1;3 ;


7
7)   2n;  2n  ; 8) x  5 , x    n ; 9) 1  x  3 , x  2 , x  1 ;
4
4

4
3
5
5
9
, x   , x   , x   . 7. 1) 1;  ;
2
2
4
4
1
2) 0;3 ; 3)  2;4; 4) 4;5 ; 5)  5;5; 6)  2;  ; 7)  ;1 , 1;  ;
4

10)  8  x  2 , x  
8)  ;0,7 ; 9) y  0 . 8. 1) yнаиб.   , yнаим.  0 ; 2) yнаиб.  2 , yнаим.  .
1
2
Занятие № 2
Исследование функции на чётность и нечётность, периодичность,
монотонность элементарными средствами
Учебная задача: формирование умений в исследовании функции на
четность (нечетность), периодичность, монотонность элементарными
средствами.
В результате студент:
знает
- определение четной (нечетной) функции;
- свойство графика четной (нечетной) функции;
- определение периодической функции;
- понятие периода функции, наименьшего положительного (главного)
периода функции;
- план исследования функции на периодичность;
10
- определение возрастающей (убывающей) функции на промежутке;
- понятие монотонной функции;
имеет представление
- об элементарных функциях, которые являются четными (нечетными),
периодическими;
- о промежутках монотонности элементарных функций;
умеет
- на основе определения или соответственных свойств элементарных
функций исследовать функцию на четность (нечетность);
- исследовать функцию на периодичность;
- находить наименьший положительный период функции;
- исследовать функцию на монотонность, используя различные способы
сравнения значений функции.
Подготовка к занятию:
Подготовить ответы на вопросы:
а) Какая функция называется чётной/нечётной? Привести примеры
чётных/нечётных функций.
б) Какой особенностью обладает область определения чётной/нечётной
функции?
в) Какой особенностью обладает график чётной/нечётной функции?
г) Какая функция называется периодической? Привести примеры
периодических функций.
д) Какая функция называется возрастающей/убывающей на некотором
промежутке?
Содержание занятия:
Определение: Функция f x  называется чётной/нечётной, если для
любого x из области определения этой функции выполняется равенство
f  x  f x / f  x   f x .
В определении чётной/нечётной функции неявно содержится условие,
что если x принадлежит области определения функции, то и  x также
принадлежит области определения этой функции. Это условие говорит о
симметричности области определения чётной/нечётной функции
относительно нуля. Поэтому установить чётность/нечётность функции
можно, действуя по следующему плану:
1)
Найти область определения функции и проверить её
симметричность относительно нуля.
2)
Если область определения функции симметрична относительно
нуля, то найти значение f  x  и сравнить его с f x  и с  f x  для любого x
из области определения.
11
3)
Сделать вывод.
Пример 1. Исследуйте функцию на чётность/нечётность:
а) y  4  x 2 .
Решение: Функция определена на множестве x  2 , симметричном
относительно нуля. Найдём f  x  : f  x  4   x2  4  x2  f x для любого
x из области определения. Следовательно, данная функция является чётной.
Ответ: функция чётная.
б) y  2 x  1 .
Решение: Область определения данной функции находится из
1
2
неравенства 2x 1  0 . Промежуток, заданный неравенством x  ,
несимметричен относительно нуля. Значит, данная функция не относится ни
к чётным, ни к нечётным.
Ответ: функция не относится ни к чётным, ни к нечётным.
в) y  7 x 2 - x .
Решение: Функция определена на множестве всех действительных
чисел, а оно симметрично относительно нуля. Найдём f  x  : f  x   7 x 2  x .
Очевидно, что равенства 7 x 2  x  7 x 2  x или 7 x 2  x  (7 x 2  x) не могут
выполняться для любого x , т.е. существуют такие x , что f  x  f x и
f  x   f x . Поэтому данная функция не является чётной и не является
нечётной.
Ответ: функция не является чётной и не является нечётной.
Для определения чётности/нечётности функции можно использовать
соответствующие свойства входящих в неё элементарных функций.
Пример 2. Исследуйте функцию на чётность/нечётность: y  x6 tg x .
Решение: Функция определена на множестве x 

2
 n , где n  Z ,
симметричном относительно нуля. Данная функция есть произведение двух
элементарных функций y  x 6 и y  tg x , первая из которых является чётной, а
вторая – нечётной. Поэтому f  x   x 6 tg x   f x  , т.е. заданная функция
является нечётной.
Ответ: функция нечётная.
Легко убедиться в том, что график чётной функции симметричен
относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен
относительно начала координат. Действительно, пусть M a, b – произвольная
точка графика функции y  f x , т.е. f a  b – верное равенство. Если y  f x
является чётной функцией, то существует f  a и верно f  a  f a  b , а это
означает, что точка M  a; b - симметричная точке M относительно оси
ординат, также принадлежит графику функции y  f x . Если y  f x
является нечётной функцией, то существует f  a и верно f  a   f a  b , а
12
это означает, что точка M  a;b - симметричная точке M относительно
начала координат, также принадлежит графику функции y  f x .
Функции, не являющиеся чётными или нечётными, называются
функциями общего вида.
Определение: Функция f x  называется периодической, если
существует такое число T  0 , что для любого x из области определения этой
функции выполняется равенство f x  T   f x  f x  T  .
Число T называется периодом функции f x  .
В определении периодической функции неявно содержится условие,
что если x принадлежит области определения функции, то и x  T , x  T
также принадлежат области определения этой функции.
Докажем, что из выполнимости равенства f x  f x  T  следует
выполнимость равенства f x  T   f x . Действительно, равенство
f x0   f x0  T  выполняется для любого x0  D f  , тогда возьмём в качестве
x 0 число x  T , получим: f x  T   f x  T  T   f x .
Аналогично можно установить, что если T – период функции, то 2T ,
3T , 4T , …,  T ,  2T ,  3T , … - также периоды функции, т.е. периодическая
функция имеет бесконечно много периодов. Обычно ставится задача об
отыскании наименьшего положительного (главного) периода функции (если
он существует).
Итак, устанавливая периодичность функции, следует проверять
следующие условия:
1) Для любого x из области определения функции числа x  T и x  T
также принадлежат области определения функции.
2) Для любого x из области определения функции выполняется
равенство f x  f x  T  .
Пример 3. Установите, является ли функция периодической:
а) y  cos 4 x .
Решение: Предположим, что T – период функции. Тогда, согласно
определению, для любого x из области определения этой функции
(множества всех действительных чисел) выполняется равенство
cos 4 x  cos 4 x  T . Далее можно рассуждать двумя способами.
Способ 1. Решим полученное уравнение относительно Т:
cos 4 x  cos 4 x  T   0 ,
(cos 2 x  cos 2 x  T )  cos 2 x  cos 2 x  T   0 ,
(cos x  cosx  T )  cos x  cosx  T   cos 2 x  cos 2 x  T   0 ,
cos x  cos x T   0,

cos x  cos x  T   0,
cos 2 x  cos 2  x  T   0.

Решим отдельно первое уравнение совокупности:
cos x  cosx  T   0 ,
13
Из
T
T

2 sin  x    sin  0 ,
2
2

 
T
sin  x  2   0,

 
 T
sin 2  0.
T

уравнения
получим:
sin  x    0
2

x
T
 k , k  Z ,
2
тогда,
T  2 x  2k , k  Z т.е. T – не число, а функция от x . Из уравнения sin
T
0
2
находим: T  2n, n  Z . Среди чисел 2n , n Z , наименьшим положительным
является число 2 . Проверим, не является ли оно периодом функции
y  cos 4 x .
1) Очевидно, что для любого x числа x  2 и x  2 принадлежат
области определения данной функции.
2) cos 4 x  cos 4 x  2  , так как элементарная функция y  cos x является
периодической с периодом 2.
Поскольку все требования определения периодической функции
выполняются, то функция y  cos 4 x периодическая.
Способ 2. Поскольку равенство cos 4 x  cos 4 x  T  должно выполняться
для любого x из области определения функции, то оно выполняется и для
x  0 . Если x  0 , то получим следующее уравнение относительно T :
cos 4 T  1 . Решая его, находим: T  n, n  Z . Среди чисел n, n  Z , содержится
число 2 . Проверка показывает (см. способ 1), что число 2 - действительно
период функции. Таким образом, функция y  cos 4 x периодическая.
Ответ: функция периодическая.
В рассмотренном примере число 2 не является наименьшим
положительным периодом функции y  cos 4 x . Как хорошо видно из способа 2
среди возможных периодов n, n  Z , наименьшим положительным является
число  . К такому же выводу мы бы пришли и в способе 1, если бы решили
отдельно уравнение cos x  cosx  T   0 . Докажем, что  - период функции
y  cos 4 x .
1) Очевидно, что для любого x числа x   и x   принадлежат области
определения данной функции.
2) cos 4 x  cos 4 x   , так как cosx      cos x .
б) y  x  cos x .
Решение: Если предположить, что у данной функции существует
период T , то для любого x , x  R , должно выполняться равенство
x  cos x  x  T  cos( x  T ) . После упрощений получим: T  cos( x  T )  cos x ,
T
2
T
. Очевидно, что число вида 2n , n Z , периодом
2
T
заданной функции не является, поэтому sin  0 . Тогда последнее уравнение
2
или T  2 sin( x  )  sin
14
равносильно уравнению
T
 2 sin
T
2
 sin( x 
T
) . В левой части его стоит число, в
2
правой – функция от x и T , т.е. T можно найти только как функцию от x . А
это значит, что не существует такого фиксированного числа T , для которого
равенство x  cos x  x  T  cos( x  T ) выполняется при любом x  R .
Следовательно, функция y  x  cos x не является периодической.
Ответ: функция не является периодической.
2
в) y  sin  x  .
Решение: Область определения данной функции задаётся неравенством
2
Поэтому, учитывая периодичность функции
x  0 . При x  0  x   x .
y  sin x , можно утверждать, что для любого x  0
x  2  0 и верно
равенство sin  x  2   sin  x  . Но число 2 не может являться периодом
данной функции, так как, например, при x  0 число 0  2  0 , значит, не
принадлежит области определения функции. Вообще, для любого числа T
обязательно найдётся число x , такое, что x  T , либо x  T не принадлежит
области определения функции. В качестве такого x можно взять, например,
2
T
2
2
. Таким образом, функция y  sin  x  не является периодической.
2
Ответ: функция не является периодической.
Приведённые примеры показывают, что все требования определения
периодической функции существенны.
Таким образом, при исследовании функции y  f x на периодичность
можно действовать по следующему плану:
1)
Предположить, что число T – период функции, и записать
равенство, которое должно выполняться для любого x из области
определения: f x  f x  T  .
2)
Решить полученное уравнение относительно T . При этом
возможны два способа:
а) Решать уравнение для произвольного значения x . Если уравнение
будет иметь только корни, зависящие от x ( T – функция от x ), или
единственный корень T  0 , то в этом случае делается вывод, что функция не
является периодической. Если уравнение имеет корни, не зависящие от x и
отличные от нуля, то возможные значения периода следует искать среди этих
корней.
б) Решать уравнение для конкретного значения x (например, x  0 ).
Если уравнение f T   f 0 имеет корни, то среди них нужно искать
возможные значения периода. В противном случае функция не имеет
периода.
3)
Из найденных корней уравнения выбрать наименьшее
положительное число и проверить, по определению, не является ли оно
периодом функции. Если является, то сделать вывод. Если нет, то проверять
15
на период следующий по величине корень и т.д. до тех пор, пока не найдётся
число, являющееся периодом функции.
4)
Сделать вывод.
Заметим, что способ а) удобнее применять в тех случаях, когда
требуется доказать, что функция не является периодической.
Возможны и другие способы установления периодичности функции.
Пример 4. Найдите наименьший положительный период функции
y  cos 4 x  sin 4 x .
Решение: Областью определения данной функции является множество
всех действительных чисел, поэтому для любого x  R числа x  T и x  T
также принадлежат области определения функции, где T – период функции
(если он существует).
Учитывая пример 3 (а), можно утверждать, что функция y  cos 4 x периодическая с наименьшим положительным периодом  . Аналогично
доказывается, что функция y  sin 4 x является периодической с наименьшим
положительным периодом  . Тогда легко убедиться в том, что функция
y  cos 4 x  sin 4 x имеет период  . Но является ли  наименьшим
положительным периодом данной функции? Проверим это, выполнив
преобразования:


2
1
cos 4 x  sin 4 x  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x sin 2 x  1  sin 2 2 x 
2
1
3 1
 1  1  cos 4 x    cos 4 x.
4
4 4
Функция y  cos t периодическая с наименьшим положительным периодом


2 . Так как для любого x  R cos 4 x  cos4 x  2   cos 4 x   , то наименьший
2


положительный период данной функции равен .
2

Ответ: .
2
Определение: Функция f x  называется возрастающей/убывающей на
некотором промежутке (подмножестве области определения этой функции),
если для любых x1 и x2 из этого промежутка из неравенства x1  x2 следует
неравенство f x1   f x2  / f x1   f x2  .
Функция, только возрастающая или только убывающая на данном
промежутке, называется монотонной на этом промежутке.
При исследовании функции на монотонность сравнить значения
y1  f x1  и y 2  f x2  можно разными способами. Например, можно
использовать свойства неравенств, или составить разность y 2  y1 и
определить её знак, или при условии y1  0, y 2  0 составить частное
y1
и
y2
сравнить его с единицей, или использовать свойство монотонности
элементарных функций и т.д.
16
Пример 5. Исследуйте функцию на монотонность: y  x3  x .
Решение: Функция определена для всех действительных чисел.
Возьмём произвольные числа x1 и x2 . Пусть x2  x1 . Рассмотрим разность
Второй множитель при любых
f x2   f x1   x2  x1 x22  x2 x1  x12  1 .
действительных значениях x1 и x2 положителен. Поэтому, учитывая, что
x2  x1  0 , получаем f x2   f x1   0 . Таким образом, f x2   f x1  , а это
означает, что данная функция возрастает на всей области определения.
Указанный ответ также можно было получить, учитывая тот факт, что
данная функция является суммой двух элементарных функций, которые
возрастают на всём множестве действительных чисел.
Ответ: функция возрастает на всём множестве действительных чисел.
Если в задаче требуется найти промежутки монотонности функции, то
сначала рассматриваются любые значения x1  x2 из области определения
функции, а при сравнении y1 и y 2 обнаруживается, что результат будет
зависеть от того, из какого промежутка области определения берутся x1 и x 2 .
Таким образом и определяются промежутки исследования функции на
монотонность.
Пример 6. Исследуйте функцию на возрастание и убывание на основе
определения: y  x 2  4 x  5 .
Решение: Область определения функции – любое действительное
число. Пусть x1 и x 2 - любые два значения аргумента и x1  x2 . Учитывая тот
факт, что данная функция приводится к виду y  x  22  1 , воспользуемся
свойствами неравенств. Вычтем из обеих частей неравенства x1  x2 по 2.
Получаем x1  2  x2  2 . Далее, для возведения обеих частей неравенства в
квадрат, следует рассмотреть два отдельных случая:
если x1  x2  2 , то
если 2  x1  x2 , то
x1  2  x2  2  0 ,
0  x1  2  x2  2 ,
2
2
тогда ( x1  2)  ( x2  2) .
тогда ( x1  2) 2  ( x2  2) 2 .
Прибавим к обеим частям по 1:
2
( x1  2)  1  ( x 2  2) 2  1 ,
( x1  2) 2  1  ( x 2  2) 2  1 ,
т.е. y1  y 2 .
т.е. y1  y 2 .
2
Значит функция y  x  4 x  5
Значит функция y  x 2  4 x  5
убывает.
возрастает.
Ответ: на промежутке x  2 функция убывает, а на промежутке x  2
возрастает.
Пример 7. Укажите промежутки монотонного изменения функции
y  2 x  4 x 5 .
Решение: Монотонность данной функции определяется монотонностью
двух функций: y(t )  2 t и t ( x)  x 2  4 x  5 . Первая из этих функций возрастает
на всём множестве действительных чисел, а вторая приводится к
2
17
виду t ( x)  x  22  1 и, следовательно, при x  2 убывает, а при x  2
возрастает. Поэтому получим:
а) если x1  x2  2 , то t1  t 2 ,
тогда 2 t  2 t , т.е. y1  y 2 .
Значит функция y  2 x 4 x5
убывает.
1
а) если 2  x1  x2 , то t1  t 2 ,
тогда 2 t  2 t , т.е. y1  y 2 .
Значит функция y  2 x 4 x5
возрастает.
2
1
2
2
2
Ответ: на промежутке x  2 функция убывает, а на промежутке x  2
возрастает.
Упражнения к занятию:
1. Определите чётной или нечётной функцией является:
1)
сумма (разность) двух чётных функций; 2) сумма (разность) двух
нечётных функций; 3) произведение (частное) двух чётных функций; 4)
произведение (частное) двух нечётных функций; 5) произведение (частное)
чётной и нечётной функций.
2. Исследуйте функцию на чётность/нечётность:
1) y  1  x 4 ; 2) y  2 x  2 x ; 3) y  2 x  2 x ; 4) y  x  sin x ;
5) y 
x
; 6) y  lg cos x .
x 1
2
3. Покажите, что любую функцию f x  , определённую на всех
действительных значениях аргумента, можно представить в виде суммы
чётной функции  x  и нечётной функции  x  .
4. Докажите, что:
1) период функций y  sin nx и y  cos nx равен
положительное число;
2) период функций y  tg nx и y  ctg nx равен
2
, где n – некоторое
n

, где n – некоторое
n
положительное число.
5. Какие из следующих функций являются периодическими?
1) y  tg x  1 ; 2) y  sin cos x; 3) y  x  sin x ; 4) y  cos x ;
5) y  sin x ; 6) y  sin 2 x ; 7) y  sin x  cos x .
Найдите наименьшие положительные периоды функций.
6. Исследуйте функции на возрастание и убывание на основе
определения:
3
1) y  x3 на R ; 2) y  x 2  3x  108 на   ;  ; 3) y  x на 0;  .

2
18
7. Докажите, что:
1)
если функция f x  возрастает (убывает) на данном промежутке,
то функция f x  c возрастает (убывает) на этом промежутке, где c –
некоторое действительное число;
2)
если функция f x  возрастает (убывает) на данном промежутке,
то функция cf x возрастает (убывает) при c  0 и убывает (возрастает) при
c  0 на этом промежутке, где c – некоторое действительное число;
3)
если функция f x  возрастает (убывает) и сохраняет знак на
данном промежутке, то функция
1
убывает (возрастает) на этом
f x 
промежутке;
4)
если функции f x  и g x возрастают (убывают) на данном
промежутке, то функция f x  g x
возрастает (убывает) на этом
промежутке.
8. Исследуйте функции на возрастание и убывание на основе
утверждений, сформулированных в № 7:
1
x
1) y  kx  b , где k  0 ; 2) y  ; 3) y  3x  ln x .
9. Укажите промежутки монотонного изменения каждой из следующих
функций:
x

1) y  sin 2 x ; 2) y  tg   ; 3) y  cos x   .
3

6
10. Докажите, что:
1)
если чётная функция, определённая на всём множестве
действительных чисел, в интервале 0;  возрастает (убывает), то в интервале
 ;0 она убывает (возрастает);
2)
если нечётная функция, определённая на всём множестве
действительных чисел, в интервале 0;  возрастает (убывает), то в интервале
 ;0 она возрастает (убывает).
Ответы: 2. 1), 2), 6) чётные; 3), 4), 5) нечётные; 3. Указание:
f  x   f  x 
f x   f  x 
и  x  
; 5. 1), 2), 4), 6), 7)
2
2
периодические с периодами  , 2 , 2 ,  ,  ; 3), 5) непериодические; 6. 3)
Рассмотрите функции:  x  
Указание: Примените метод «от противного»; 9. 1) промежутки возрастания

3
 



 4  k ; 4  k  , промежутки убывания  4  k ; 4  k  ; 2) промежутки
3
3
возрастания    3k ;  3k  ;
2
 2

5
11

 2k  , промежутки убывания
3) промежутки возрастания   2k ;
6
 6

5
 

 6  2k ; 6  2k  .
19
Занятие № 3
Построение графиков функций с помощью преобразований графиков
основных элементарных функций.
Учебная задача: освоить правила построения графиков функций вида
с
помощью
преобразований
графиков
основных
y  kf mx  a  b
элементарных функций.
В результате студент:
знает
- свойства основных элементарных функции;
- с помощью каких преобразований из графика функции y  f x
получается график функции y  f x  b ; y  f x  a ; y   f x ; y  f  x ;
y  kf x ; y  f mx;
- мнемоническое правило;
имеет представление
- о возможном порядке выполнения преобразований над графиком
функции y  f x для получения графика функции y  kf x  b ; y  f mx  a ;
y  kf mx  a  b ;
о
возможном
порядке
построения
графика
функции

вида y  kf  m x 
 
a 
   b на основе рассмотрения вспомогательной системы
m  
координат;
умеет
- строить графики основных элементарных функций;
- обосновывать преобразования, выполняемые над графиком функции
y  f x  ;
- строить график функции вида y  ax 2  bx  c, a  0 , на основе графика
функции y  x 2 ;
- строить график функции вида y 
y
ax  b
на основе графика функции
cx  d
1
;
x
- строить график функции вида y  a sin x  b cos x на основе графика
функции y  sin x .
Подготовка к занятию:
Повторить вид графиков элементарных функций.
Содержание занятия:
К числу элементарных функций относятся:
- линейная: y  kx  b ,
20
квадратичная: y  ax 2  bx  c, a  0 ,
степенная: y  x  ,   R ,
показательная: y  a x , a  0, a  1 ,
логарифмическая: y  log a x, a  0, a  1,
тригонометрические: y  sin x, y  cos x, y  tgx, y  ctgx ,
обратные тригонометрические функции:
y  arcsin x, y  arccos x, y  arctgx, y  arcctgx .
Новая функция может быть получена из какой-либо более простой
функции с помощью действий над аргументом или над самой функцией.
Например, любую функцию вида y  kx  b можно рассматривать как
функцию, полученную из основной функции y  x ; функцию
вида y  ax 2  bx  c, a  0 - как функцию, полученную из основной функции
y  x 2 . Тогда график новой функции получается из графика основной
функции с помощью некоторых преобразований.
Правило 1. Чтобы построить график функции y  f x  b , надо
построить график функции y  f x , а затем все точки этого графика сдвинуть
вдоль оси Oy на b единиц: верх, если b  0 ; вниз, если b  0 .
Действительно, сравнивая значения функций y  f x и y  f x  b при
одних и тех же значениях аргумента, можно заметить, что возможны два
случая:
- если b  0 , то значения функции y  f x  b больше значений функции
y  f x  на b  b единиц, следовательно, график функции y  f x   b
получается из графика функции y  f x параллельным переносом (сдвигом)
его на b единиц вверх вдоль оси Oy ;
- если b  0 , то значения функции y  f x  b меньше значений функции
y  f x  на b   b единиц, следовательно, график функции y  f x   b
получается из графика функции y  f x параллельным переносом (сдвигом)
его на b единиц вдоль вниз оси Oy .
Далее легко доказывается, что при соответствующем параллельном
переносе вдоль оси Oy образ любой точки M x0 ; y0  , принадлежащей графику
функции y  f x , есть точка M x0 ; y0  b , принадлежащая графику функции
y  f x   b , а также обратно.
Таким образом, графики функций вида y  f x  b при постоянном
значении k и различных значениях b представляют собой семейство
параллельных прямых, наклоненных к оси абсцисс под одинаковым углом,
тангенс которого равен k . Графики функций вида y  x 2  c - семейство
парабол, ветви которых направлены вверх и координаты вершины 0; c  .
Правило 2. Чтобы построить график функции y  f x  a , надо
построить график функции y  f x , а затем все точки этого графика сдвинуть
вдоль оси Ox на a единиц: влево, если a  0 ; вправо, если a  0 .
-
21
Действительно, сравнивая значения аргумента при одинаковых
значениях функций y  f x и y  f x  a , можно заметить, что возможны два
случая:
- если a  0 , то функция y  f x  a принимает значения, равные
значениям функции y  f x , при меньших на a  a единиц значениях
аргумента, следовательно, график функции y  f x  a получается из графика
функции y  f x параллельным переносом (сдвигом) его на a единиц влево
вдоль оси Ox ;
если a  0 , то функция y  f x  a принимает значения, равные
значениям функции y  f x , при больших на a   a единиц значениях
аргумента, следовательно, график функции y  f x  a получается из графика
функции y  f x параллельным переносом (сдвигом) его на a единиц вправо
вдоль оси Ox ;
Далее легко доказывается, что при соответствующем параллельном
переносе вдоль оси Ox образ любой точки M x0 ; y0  , принадлежащей графику
функции y  f x , есть точка M x0  a; y0  , принадлежащая графику функции
y  f x  a  , а также обратно.
Таким образом, графики функций вида y  x  n 2 представляют собой
семейство парабол, ветви которых направлены вверх и координаты вершины
 n; 0 . В итоге графики функций вида y  x  n 2  c - семейство парабол,
ветви которых направлены вверх и координаты вершины  n; c  .
Правило 3. Чтобы построить график функции y   f x , надо
построить график функции y  f x , а затем все точки этого графика отразить
от оси Ox .
К указанному выводу легко прийти, сравнивая значения функций
y  f x  и y   f x при одних и тех же значениях аргумента.
Далее, легко доказывается, что при симметрии относительно оси Ox
образ любой точки M x0 ; y0  , принадлежащей графику функции y  f x , есть
точка M x0 ;  y0  , принадлежащая графику функции y   f x , а также
обратно.
Таким образом, графики функций вида y  x  n 2 семейство
парабол, ветви которых направлены вниз и координаты вершины  n; 0.
Правило 4. Чтобы построить график функции y  f  x , надо
построить график функции y  f x , а затем все точки этого графика отразить
от оси Oy .
К указанному выводу легко прийти, сравнивая значения аргумента при
одинаковых значениях функций y  f x и y  f  x .
Далее, легко доказывается, что при симметрии относительно оси Oy
образ любой точки M x0 ; y0  , принадлежащей графику функции y  f x , есть
22
точка M  x0 ; y0  , принадлежащая графику функции y  f  x , а также
обратно.
Правило 5. График функции y  kf x , где k  0, k  1 , получается из
графика функции y  f x растяжением в k раз вдоль оси Oy при k  1 ;
сжатием в
1
раз при k  1.
k
Действительно, сравнивая значения функций y  f x и y  kf x при
одних и тех же значениях аргумента, можно заметить, что возможны два
случая:
- если k  1 , то модули значений функции y  kf x больше модулей
значений функции y  f x в k раз, следовательно, график функции y  kf x
получается из графика функции y  f x растяжением его в k раз вдоль оси
Oy (от оси Ox );
- если 0  k  1 , то модули значений функции y  kf x меньше модулей
значений функции y  f x в
1
раз, следовательно, график функции y  kf x
k
1
получается из графика функции y  f x сжатием его в раз вдоль оси Oy (к
k
оси Ox ).
Далее, легко доказывается, что при соответствующем преобразовании
оси Oy образ любой точки M x0 ; y0  , принадлежащей графику функции
y  f x  , есть точка M x0 ; ky0  , принадлежащая графику функции y  kf x , а
также обратно.
При k  0 для построения графика функции y  kf x следует
использовать два правила 3 и 5 в любом порядке.
Таким образом, графики функций вида y  ax 2 или y  ax  n 2 семейство парабол с общей вершиной соответственно в начале координат
или в точке  n; 0 , ветви которых направлены вверх, если a  0 , или вниз,
если a  0 .
Правило 6. График функции y  f mx , где m  0, m  1 , получается из
графика функции y  f x растяжением в
1
раз вдоль оси Ox при m  1 ;
m
сжатием в m раз при m  1.
Действительно, сравнивая значения аргумента при одних одинаковых
значениях функции y  f x и y  f mx , можно заметить, что возможны два
случая:
- если m  1 , то функция y  f mx принимает значения, равные
значениям функции y  f x , при меньших в m раз по модулю значениях
аргумента, следовательно, график функции y  f mx получается из графика
функции y  f x сжатием в m раз вдоль оси Ox (к оси Oy );
23
если 0  m  1 , то функция y  f mx принимает значения, равные
значениям функции y  f x , при больших в
1
раз по модулю значениях
m
аргумента, следовательно, график функции y  f mx получается из графика
1
функции y  f x растяжением в
раз вдоль оси Ox (от оси Oy ).
m
Далее, легко доказывается, что при соответствующем преобразовании
оси Ox образ любой точки M x0 ; y0  , принадлежащей графику функции
1

y  f x  , есть точка M  x0 ; y 0  , принадлежащая графику функции y  f mx ,
m

а также обратно.
При m  0 для построения графика функции y  f mx следует
использовать два правила 4 и 6 в любом порядке.
Мнемоническое правило: Порядок действий, выполняемых над
функцией, совпадает с порядком преобразования графика функции. Порядок
преобразования графика функции противоположен порядку действий,
выполняемых над аргументом.
Данное правило используется для построения графиков функций вида
y  kf x  b и y  f mx  a  . Таким образом, чтобы получить график функции
y  kf x  b , надо действовать сначала по правилу 5 (растянуть или сжать
график функции y  f x вдоль оси Oy , при k  0 отразить его от оси Ox ), а
затем по правилу 1 (выполнить параллельный перенос графика функции
y  kf x вдоль оси Oy ). Чтобы получить график функции y  f mx  a  , надо
действовать сначала по правилу 2 (выполнить параллельный перенос графика
функции y  f x вдоль оси Ox ), а затем по правилу 6 (растянуть или сжать
график функции y  f x  a вдоль оси Ox , при m  0 отразить его от оси
Oy ).При k  1 или m  1 вместо правил 5, 6 используются правила 3,4.
В итоге, чтобы получить график функции y  kf mx  a  b , можно
выполнить сначала все действия над функцией, а затем над аргументом, или
наоборот.
Рассмотрим примеры построения графиков функций.
Пример 1. Постройте график функции y  2 x 2  4 x  3 .
Решение: Преобразуем квадратный трёхчлен:
2
2 x 2  4 x  3  2x 2  2 x  1  1  2x  1  1 .
Итак, нужно построить график функции y  2x  12  1 . Это – график
функции y  x 2 , смещённый на 1 единицу вправо (правило 2), растянутый в 2
раза вдоль оси Oy (правило 5) и смещённый на 1 единицу вверх (правило 1).
Конечный график представлен на рисунке 4.
Основной недостаток указанного способа построения в том, что
параболу приходится строить четыре раза. Построения будут более
экономичными, если рассмотреть вспомогательную систему координат без
каких-либо обозначений (на рисунке 4 она показана штриховыми линиями) и
24
в этой системе координат построить график функции y  2x 2 . Тогда, перенося
оси координат на 1 единицу соответственно влево и вниз, получаем
конечный график. Оформляем систему координат (отмечаем начало
координат, направление осей, единичные отрезки по осям).
Приведённый пример показывает, как можно построить график
функции вида y  ax 2  bx  c, a  0 на основе графика функции y  x 2 . При этом
предварительно следует выделить полный квадрат.
y
y
2
0
1
0
1
3
x
x
Рис. 4
Рис. 5
Пример 2. Постройте график функции y 
 7  3x
.
x2
Решение: Выполним преобразования:
 7  3 x  3x  2  1
1

 3 
.
x2
x2
x2
Таким образом, нужно построить график функции y  
1
 3 . Это –
x2
1
, смещённый на 2 единицы влево (правило 2),
x
отражённый от оси Ox (правило 3) и смещённый на 3 единицы вниз (правило
график функции y 
1). Конечный график представлен на рисунке 5.
Построения будут более экономичными, если рассмотреть
вспомогательную систему координат без каких-либо обозначений (на
рисунке 5 она показана штриховыми линиями) и в этой системе координат
1
. Тогда, перенося оси координат
x
соответственно на 2 единицы вправо и 3 единицы вверх, получаем конечный
построить график функции y  
график. Оформляем систему координат (отмечаем начало координат,
направление осей, единичные отрезки по осям).
Отметим, что график данной функции имеет две асимптоты (прямые,
к которым график функции приближается, но не пересекает их): y  3 и
x  2 .
Приведённый пример показывает, как можно построить график
функции вида y 
ax  b
1
на основе графика функции y  . При этом
cx  d
x
предварительно следует выделить целую часть.
Пример 3. Постройте график функции y  sin 2 x  cos 2 x .
Решение: Выполним преобразования:
25
1



 1



sin 2 x  cos 2 x  2 
sin 2 x 
cos 2 x   2  sin 2 x cos  cos 2 x sin   2 sin  2 x  
4
4
4
2


 2

Таким образом, нужно построить график функции y  2 sin  2 x    .
4

Покажем разные способы решения задачи.
Способ 1. Это – график функции y  sin x , смещённый на

единиц
4
влево (правило 2), сжатый в 2 раза вдоль оси Ox (правило 6) и растянутый в
2 раз вдоль оси Oy (правило 5). Конечный график представлен на рисунке
6.
Способ 2. Запишем функцию в виде y  2 sin 2 x    . Тогда график
данной функции получается из графика функции
сжатием в 2 раза и переносом на
в
8 
 
y  sin x последовательным

единиц влево вдоль оси Ox , растяжением
8
2 раз вдоль оси Oy .
Построения будут более экономичными, если рассмотреть
вспомогательную систему координат без каких-либо обозначений (на
рисунке 6 она показана штриховыми линиями) и в этой системе координат
построить график функции y  2 sin 2 x . Тогда, перенося оси ординат на

8
единиц вправо, получаем конечный график. Оформляем систему координат
(отмечаем начало координат, направление осей, единичные отрезки по осям).
Приведённый пример показывает, как можно построить график
функции вида y  a sin x  b cos x на основе графика функции y  sin x . При этом
предварительно следует выполнить преобразования над функцией, умножив
и разделив на a2  b2 .
y
 3 1
8
 5
8
5
8
0
7
8
x
Рис. 6
Итак,
функцию
вида
y  f mx  a 
удобнее
записывать
в
виде
a 

y  f  m( x  )  . В этом случае преобразования графика вдоль оси абсцисс
m 

выполняются в той же последовательности, что и преобразования вдоль оси
ординат: сначала растяжение или сжатие, а затем параллельный перенос.
Практический приём построения графика функции y  kf  m( x  )   b

a
m 
можно представить следующим образом:
26
1.
Строим вспомогательную систему координат без каких-либо
обозначений в ней.
2.
В этой системе координат строим график функции y  kf mx .
3.
Выполняем параллельные переносы осей координат.
4.
Оформляем систему координат (отмечаем начало координат,
направления осей, единичные отрезки по осям).
Упражнения к занятию:
1. Постройте графики элементарных функций:
x
1
1
1) y    ; 2) y  2 ; 3) y  sin x ; 4) y  arccos x ; 5) y  log 2 x .
x
2
2. Постройте графики функций с помощью преобразований графиков
элементарных функций:
1) y  x  22  3 ; 2) y  3x1  2 ; 3) y  3 x  1 ; 4) y  3  x ;
5) y  2  4 x  x 2 ; 6) y  ; 7) y  log 2  x  ; 8) y 
4
x
1
;
2 x  12
4x 1
1

9) y  cos x    1 ; 10) y  3 sin x  cos x ; 11) y 
.
1 x
3 
4
1
2 
Занятие № 4
Построение графиков функций с помощью преобразований графиков
основных элементарных функций.
(практикум)
Учебная задача: формировать умение в построении графиков функций
вида y  kf mx  a  b с помощью преобразований графиков основных
элементарных функций.
В результате студент:
знает
- правила построения графиков функций с помощью простейших
преобразований;
имеет представление
- о возможном порядке выполнения простейших преобразований;
умеет
- строить графики функций y  kf mx  a  b с помощью преобразований
графика функции y  f x ;
- устанавливать свойства функции элементарными средствами.
Подготовка к занятию:
Выучить правила построения
простейших преобразований.
графиков
функций
с
помощью
27
Содержание занятия:
Студенты работают по группам (5 человек в группе). Примерное
содержание карточки для группы:
Постройте графики функций с помощью преобразований графиков
элементарных функций:
1. y  x 2  x  1 ; 2. y 
2x
; 3. y 
1 2x
1
x  2 ; 4. y  sin x  cos x .
4
5. Найдите область определения функции: y 
4x  x2
.
tgx
За выполнение каждого задания группа может получить максимум 5
баллов. Каждая ошибка в выполнении задания снимает по 1 баллу. Группа
может получить подсказку от преподавателя по выполнению задания, но
тогда также снимается 1 балл.
По очереди представители из групп рассказывают преподавателю
решение заданий. Каждое новое задание рассказывает новый представитель
из группы.
Занятие № 5
Контрольная работа
Учебная задача: выявить уровень усвоения изученного материала.
В результате студент:
знает
- свойства основных элементарных функций;
- приемы выявления свойств функции элементарными средствами;
- правила построения графиков функций с помощью простейших
преобразований.
имеет представление
- об ограничениях, которые учитываются при нахождении области
определения функции;
- о возможном порядке выполнения простейших преобразований;
умеет
- устанавливать свойства функции элементарными средствами;
- строить графики основных элементарных функций;
- строить графики функций y  kf mx  a  b с помощью преобразований
графика функции y  f x .
Примерное содержание работы
1. Найдите область определения функции y  ctg x  1 .
2. Найдите множество значений функции y  sin 2 x  4 cos x .
28
3. Постройте графики функций с помощью преобразований графиков
элементарных функций:
а) y  4 x2 ; б) y  sin 2 x  1 ; в) y  log 1 2  x  .
1
2
3
Занятие № 6
Построение графиков функций, содержащих
модуль в аналитическом задании.
Учебная задача: освоить правила построения графиков функций,
содержащих модуль в аналитическом задании.
В результате студент:
знает
- определение модуля числа, свойства модуля, геометрический смысл
модуля;
- с помощью каких преобразований из графика функции y  f x
получается график функции y  f  x  ; y  f x ; y  f  x  ;
- последовательность действий, выполняемых при использовании
способа одновременного раскрытия модулей (способа интервалов);
имеет представление
- о способах построения графиков сложных функций, содержащих знак
модуля;
умеет
- обосновывать преобразования, выполняемые над графиком функции
y  f x  ;
- раскрывать знак модуля.
Подготовка к занятию:
Повторить
определение
геометрический смысл модуля.
модуля
числа,
свойства
модуля,
Содержание занятия:
Приведённые выше правила 1 – 6 позволяют строить графики функций
вида y  kf mx  a  b . Рассмотрим по каким правилам следует действовать,
если функция содержит модуль в своём аналитическом задании.
Правило 7. Чтобы построить график функции y  f  x , надо построить
график функции y  f x для тех значений x из промежутка x  0 , для
которых функция определена, а затем все точки этого графика отразить от
оси Oy . Эти две части (построенная и отражённая) дадут в совокупности
график функции y  f  x .
29
Действительно, по свойству модуля числа x   x , т. е. выполняется
равенство f  x   f   x  для любого х из области определения функции. Это
означает, что y  f  x  чётная функция и, следовательно, график её
симметричен относительно оси ординат.
Пример 1. Постройте график функции y   x2  8 x .
Решение: По свойству модуля числа x 2  x . Преобразуем квадратный
трехчлен:
2
2
2
 x 2  8 x   x  8 x   x  8 x  16  16   x  4  16 .
2


Итак, нужно построить график функции y   x  4  16 . Для этого строим
график функции y  x  42  16 при x  0 (во вспомогательной системе
координат строим график функции y   x 2 и переносим оси координат
соответственно на 4 единицы влево и 16 единиц вниз). Далее все точки
полученного графика отражаем от оси Oy (рис. 7).
2
y
16
8
4
0
4
8 x
Рис. 7
Правило 8. Чтобы построить график функции y  f x , надо построить
график функции y  f x , а затем всю его часть, лежащую ниже оси Ox ,
отразить от оси Ox .
Действительно, по определению модуля при f x  0 данная функция
имеет вид y  f x , а при f x  0 - y   f x , т.е. все отрицательные значения
функции должны сменить знак.
1

Пример 2. Постройте график функции y  sin  x   .
2
6
30
1

Решение: Сначала строим график функции y  sin  x   . Для этого
2
график функции y  sin x смещаем на
6

единиц влево и растягиваем в 2 раза
6
вдоль оси Ox . Далее всю часть построенного графика, лежащую ниже оси
Ox , отражаем от оси Ox (рис. 8).
y
1

4
3



3
0
2
3

5
3
x
Рис. 8
При построении графика функции вида y  f  x  сначала нужно
воспользоваться правилом 7, а затем правилом 8.
Иногда требуется построить график функции, являющейся
алгебраической суммой, произведением, частным других функций или более
сложной функцией. При этом одна или несколько из составляющих функций
содержат знак модуля. Тогда находят область определения заданной функции
и раскрывают модуль по определению, а в более сложных случаях
используют способ одновременного раскрытия модулей (способ
интервалов). Он состоит в выполнении определённой последовательности
действий:
1)
Приравнять к нулю каждое из выражений, стоящих под знаком
модуля. Решить полученные уравнения.
2)
Расположить найденные корни на числовой оси.
3)
Отметить на числовой оси область определения функции.
4)
Найденные корни разделят область определения на промежутки.
На каждом из промежутков записать функцию, раскрыв модуль.
При этом граничные точки промежутков можно включать в любой или
в каждый промежуток, для которого эта точка является граничной.
5)
На каждом промежутке построить график функции,
соответствующей этому промежутку.
В результате данная функция представляется в виде функции, заданной
на разных промежутках области определения соответствующими
формулами, на основе чего строится её график.
Пример 3. Постройте график функции y 
1
.
3x  x  1
Решение: Найдём область определения данной функции. Для этого
сначала решим уравнение 3x  x  1  0 . Учитывая, что 3x  0 и x  1  0 при
любых действительных значениях x , указанное уравнение равносильно
31
 3x  0,
Система не имеет решения, значит, область определения
 x  1  0.
системе 
заданной функции есть всё множество действительных чисел.
Приравняем к нулю каждое из выражений, стоящих под знаком
модуля, и решим полученные уравнения.
3x  0,
x  1  0,
x  0,
x  1.
Расположим найденные корни на числовой оси:
1
0
x
Рассмотрим каждый из полученных промежутков. При x   ;0
1
1
(это график функции y  ,
 4x 1
x
смещённый на 1 единицу влево, отражённый от оси Oy и сжатый в 4 раза
1
1
вдоль оси Ox ). При x  0;1 имеем, что y 
(это график функции y  ,
2x 1
x
смещённый на 1 единицу влево и сжатый в 2 раза вдоль оси Ox ).
1
1
При x  1; - y 
(это график функции y  , смещённый на 1 единицу
4x 1
x
вправо и сжатый в 4 раза вдоль оси Ox ). График заданной функции приведён
исходная функция примет вид y 
на рисунке 9.
y
1
1
3
1
1
0
x
Рис. 9
Способ одновременного раскрытия модулей можно применять и в тех
случаях, когда само выражение с модулем находится под знаком модуля.
Тогда может использоваться также способ последовательного раскрытия
модулей. При последовательном раскрытии модулей сначала раскрывается
внутренний модуль, а затем – внешний.
Упражнения к занятию:
Постройте графики функций с помощью преобразований графиков
элементарных функций:
1) y 
1
x  1 ; 2) y 
2
4  x2 ; 3)
y
1
 2 ; 4) y  x 2  5 x  6 ;
x 3
32
2x 1
2x 1
; 7) y 
; 8) y   x x  4x  5 ;
2x  4
2x  4
x2
1
9) y 
; 10) y 
.
x 1
x  2  2x 1  x
1
3
5) y  ctg 3 x ; 6) y 
Занятие № 7
Построение графиков функций, содержащих
модуль в аналитическом задании.
(практикум)
Учебная задача: формировать умение в построении графиков функций,
содержащих модуль в аналитическом задании.
В результате студент:
знает
- правила построения графиков функций, содержащих модуль
аргумента или функции;
- последовательность действий, выполняемых при использовании
способа одновременного раскрытия модулей (способа интервалов);
имеет представление
- о способах построения графиков сложных функций, содержащих знак
модуля;
умеет
- строить графики функций, содержащих модуль в аналитическом
задании;
- раскрывать знак модуля.
Подготовка к занятию:
Выучить правила построения графиков функций, содержащих модуль
аргумента или функции.
Содержание занятия:
Студенты работают по группам (5 человек в группе). Примерное
содержание карточки для группы:
Постройте графики функций с помощью преобразований графиков
элементарных функций:
1. y 
2
 x  2
2
1
2
; 2. y  tg 2 x  1 ; 3. y  2 x  ; 4. y  3x  1  x ; 5. y 
x
.
x 1
За выполнение каждого задания группа может получить максимум 5
баллов. Каждая ошибка в выполнении задания снимает по 1 баллу. Группа
может получить подсказку от преподавателя по выполнению задания, но
тогда также снимается 1 балл.
33
По очереди представители из групп рассказывают преподавателю
решение заданий. Каждое новое задание рассказывает новый представитель
из группы.
Занятие № 8
Построение графиков сложных функций
элементарными средствами.
Учебная задача: формировать умение в построении графиков сложных
функций.
В результате студент:
знает
- определение сложной функции;
- общий метод построения графика суммы (разности), произведения
(частного) двух функций;
имеет представление
- о способе построения графиков сложной функции на основе графиков
составляющих ее функций и их свойств;
умеет
- строить графики суммы (разности), произведения (частного) двух
функций;
- строить график сложной функции на основе графиков составляющих
ее функций и их свойств.
Подготовка к занятию:
Подготовить ответы на вопросы:
а) Как найти область определения функции, полученной как сумма
(разность, произведение) других функций?
б) Как найти область определения функции, полученной как частное
других функций?
в) Что называется целой частью числа?
г) Что называется дробной частью числа?
Содержание занятия:
Основные элементарные функции могут соединяться между собой с
помощью арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и
деления) и новой операции взятия функции от функции.
Общий метод построения графика суммы или разности двух функций
заключается в том, что предварительно строятся графики двух данных
составляющих функций, а затем складываются или вычитаются ординаты
точек построенных графиков при одних и тех же значениях х. При сложении
(вычитании) ординат можно пользоваться циркулем.
Пример 1. Постройте график функции y  arcctg x  x .
34
Решение: Данная функция есть разность функций y  arcctg x и y  x ,
определенных на всей числовой оси. Поэтому строим графики функций
y  arcctg x и y  x . Вычитаем ординаты точек построенных графиков при
одних и тех же значениях x (рис. 10).
y


2
y  arcctg x
x
0 1
yx
y  arcctg x  x
Рис. 10
Отметим, что прямые y   x и y  x   являются асимптотами полученного
графика.
Замечание. Если задана разность двух функций, то ее можно заменить
суммой уменьшаемой функции и вычитаемой, взятой с противоположным
знаком ( arcctg x  x  arcctg x   x ).
При построении графика произведения или частного двух функций для
надо предварительно выразить ординаты точек графиков исходных функций
числами и лишь, затем умножить (разделить) эти числа с учётом их знаков.
Пример 2. Постройте график функции y 
sin x
x
Решение: Данная функция есть частное функций y  sin x и y  x
определенных на всей числовой оси. Поэтому строим графики функций
y  sin x и y  x . Выражаем ординаты точек построенных графиков числами и
делим соответствующие числа с учетом их знаков. Отметим, что при x  0
конечная функция будет неопределенна (рис. 11).
y
y
sin x
x
 2
y  sin x
1

0

2 x
yx
Рис. 11
35
Следует также учитывать, что полученный график есть график четной
функции, являющейся частным двух нечетных функций.
Замечание. Если задано частное двух функций, то его можно заменить
произведением делимой функции и функции, обратной для делителя
(
sin x
1
 sin x  ).
x
x
При построении графика функции y 
1
по графику функции
f x 
y  f x , учитывают, что функция y 
1
определена для тех значений
f x 
x  D f  , при которых f x   0 . Нули функции y  f x задают точки разрыва и
1
вертикальные асимптоты графика функции y 
. Далее используются
f x 
свойства функции y  f x , а именно множество значений, чётность \
нечётность, периодичность, монотонность.
Замечание. Для построения графика функции y 
1
по графику
f x 
функции y  f x можно также использовать преобразование инверсии
относительно оси абсцисс для графика функции y  f x .
1
.
x
1
Решение: выполним исследование функции y  3 , используя свойства
x
3
3
функции y  x . Функция y  x определена на всей числовой прямой и
Пример 3. Постройте график функции y  3
равна нулю только при x  0 . Следовательно, область определения функции
1
:  ;0, 0; . Прямая x  0 - вертикальная асимптота графика функции
x
1
y  3 . Функция y  3 x принимает все возможные действительные значения,
x
1
значит и функция y  3
принимает все возможные действительные
x
значения, кроме 0 . Функция y  3 x нечетная, следовательно, и функция
1
нечетная, т.е. ее график симметричен относительно начала координат.
y3
x
Поскольку на интервале 0; функция y  3 x возрастает и сохраняет знак,
1
то функция y  3
на этом интервале убывает. Итак, в качестве
x
вспомогательного стоим график функции y  3 x и на основе него получаем
1
график функции y  3 (рис.12).
x
y
3
36
y
y
1
3
x
8 x
0 1
y3 x
Рис. 12
Отметим, что прямая y  0 является горизонтальной асимптотой полученного
графика.
Определение: Функция называется сложной, если она представлена в
виде функции от некоторого аргумента, являющегося в свою очередь
функцией независимой переменной.
Нахождение области определения и множества значений сложной
функции удобно осуществлять в виде многошаговой процедуры, на каждом
шаге которой находится область определения и множество значений
некоторой элементарной функции. При этом решение задач на нахождение
множества значений сложной функции существенно упрощается, если
учитываются такие свойства как непрерывность и монотонность функций,
входящих в сложную.
График сложной функции обычно строится на основе графиков
составляющих ее функций и их свойств.
Пример 4. Представьте функцию y  log 1 arctg x как сложную. Укажите
2
ее область определения и множество значений. Постройте график.
Решение. Введем обозначения: g x  arctg x , f g   log 1 g . Таким образом,
2
исходная функция есть сложная функция y  f g x . Функция g x  arctg x
определена на всей числовой оси и принимает все значения из интервала
  
  ;  . Функция f g   log 1 g определена на интервале
 2 2
2
0; . Значит
область определения данной сложной функции находится из условия
arctg x  0 и есть интервал 0; . На указанной области определения функция
g x   arctg x принимает все значения

из интервала  0;  и является

2
возрастающей. Функция f g   log 1 g убывает на области определения. Тогда
2
37
данная сложная функция является убывающей и принимает все значения из



интервала  log 1 ;  .
log 1
2


2
2



  log 2   log 2   log 2 2  log 2   1  1  log 2  .
2
2

График данной сложной функции можно построить на основе графиков
функций y  arctg x и y  log 1 x и их свойств (рис. 13). Учитываем также
2
проведенное выше исследование.
y
y  log 1 arctg x
2

y  arctg x
2
1
1
y  1 log 2 
x
y  log 1 x
2
Рис. 13
Отметим, что прямая y  1 log 2  является горизонтальной асимптотой, а
прямая x  0 - вертикальной асимптотой полученного графика.
Ответ: y  f g x , где g x  arctg x , f g   log 1 g ; область определения: 0; ;
множество значений: 1  log 2  ; .
2
Упражнения к занятию:
1. Найдите область определения суммы, разности, произведения,
частного функций f x   7  6 x  x 2 и g x  
4 x
.
x5
2. Постройте графики функций:
1
x
1) y  x  ; 2) y 
1
16
x2 1
; 3) y  x  sin x ; 4) y  2 ; 5) y  2 .
x 4
x 4
x
3. Представьте функцию как сложную
1) y  3x  15 ; 2) y  x 2  1 ; 3) y  4  x 2 ; 4) y  x 2  6 x  2 .
Укажите ее область определения и множество значений. Постройте
график.
38
4. Можно ли из функций y  1  z и z  x 2  2 составить сложную
функцию?
5. Постройте графики функций: 1) y  x; 2) y  x; 3) y  log 2 x;
4) y  3 x ; 5) y  log 2 x; 6) y  3 x .
Рекомендуемая литература
1. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов,
Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2000.
2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват.
учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.:
Просвещение, 2000.
3. Ашкиназе В.Г., Шоластер Н.Н. Алгебра и элементарные функции. – М.:
Просвещение, 1964.
4. Вирченко Н.Н. и др. Графики функций. – Киев: Наукова Думка, 1979.
5. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.:
Наука, 1986.
6. Гайдуков И.И. Абсолютная величина. – М.: Просвещение, 1968.
7. Гельфанд И.М. и др. Функции и графики. – М.: Наука, 1973.
8. Гольдберг А.Г. Функции и их исследование. – Л.: Учпедгиз, 1957.
39
9. Гурский И.П. Функции и построение графиков: Пособие для
учителей.– М.: Просвещение, 1968.
10.Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб.
пособие для 10-11 кл. сред. шк./ Б.М. Ивлев, А.Б. Абрамов, Ю.Д.
Дудницин, С.И. Шварцбург. – М., 1990.
11.Задачи по математике. Начала анализа: Справ. пособие/ В.В. Вавилов,
И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко – М.: Наука, 1990.
12.Кузьмин М. К. Построение графика функции у = сf(ах – b) + d//
Математика в школе – 2003 - № 5.
13.Мордкович А.Г. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 1999.
14.Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл.: Задачник для общеобразоват.
учреждений. - М.: Мнемозина, 2000.
15.Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для
общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2000.
16.Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для
общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2001.
17.Новиков А.И. Свойства функций и задача нахождения множества
значений функций /Математика в школе, 2005, № 5.
18.Пособие по элементарной математике: методы решения задач/ Т.П.
Григорьева, Л.И. Кузнецова, Е.Н. Перевощикова, А.Н. Пыжьянова, Ч.
II. – Н. Новгород, 2000.
19.Райхмист Р.Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М.:
Bысш. шк., 1991.
20.Тапатор И.Я. Геометрические преобразования графиков функций. – М.:
Учпедгиз,1960.
21.Худобин А.И. и др. Сборник задач по алгебре и элементарным
функциям. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1970.
Список задач к зачёту
1. Найдите область определения функции:
8  2x  x2
1) y  log 1 x  6 x  9  x  2 x  8 ;2) y 
;
cos x
2
2
3) y  x 2  9  9  x 2 
2
x
1
; 4) y 
;
x3
sin x
5) y  ln cos x ; 6) y  2 sin x  1 ; 7) y  log 0, 4 x  x 2  ;
8) y 
x 2  7 x  12
; 9) y  log 2 sin x cos x ;
log 2 x  1
40
10) y 

1
lg 1  x 2  1
.
2. Найдите множество значений функции:
1) y  1  8 cos2 x  sin 2 x ; 2) y  cos 2 x  cos x  sin 2 x  sin x  3 ;
3) y  x 2  6 x  3 ; 4) y 
2x  2
; 5) y  12 sin x  5 cos x ;
x
1
3
6) y  2  5x  ; 7) y  cos2 x  sin x ; 8) y  log 13 sin x .
3. Постройте графики функций:
1
x
1) y  2 x ; 2) y  x ; 3) y  3 x ; 4) y  ; 5) y  cos x ; 6) y  arcsin x .
По графику найдите область определения и множество значений функции.
4. Исследуйте функцию на чётность/нечётность:
1) y 
x4 x4
1

; 2) y  x  cos x  3 .
x4 x4
x
5. Исследуйте функцию на возрастание/убывание:
1) y  x3  3x на промежутке 1;  ; 2) y 
1
.
x  6 x  10
2
6. Постройте графики функций с помощью преобразований графиков
элементарных функций:
1) y  2 x 2  8x  5 ; 2) y   4 x  8 ; 3) y  sin x  3 cos x ;
2x  3
1

4) y  3 cos x    1 ; 5) y 
; 6) y  x1  x  2 ;
3
6
x 1
7) y  x2  4 x ; 8) y  x 2  4 x ; 9) y  log 2 2 x  3 ; 10) y  log 2 2x  3 ;
11) y  log 2 2 x  3 ; 12) y 
x 4
x4
; 13) y 
.
x 5
x5
7. Постройте графики функций с помощью преобразований графиков
элементарных функций, предварительно раскрыв модуль:
1) y 
x4
1
; 2) y 
.
x5
x 1  2 x  2  x
41
Оглавление
Предисловие…………………..………………………………………… ..3
I.Тематический план учебной дисциплины «Элементарная математика:
элементарные функции»…………………………………...5
II.Планы практических занятий………………………………………….6
Рекомендуемая литература……………………………………………...15
Список задач к зачёту……………………………………………………16
42
Учебное издание
Авторы-составители: С.В. Кириллова, О.К. Огурцова
«Элементарная математика: элементарные функции»
Методические рекомендации для студентов математического факультета
Редактор Л.И. Опарина
Подписано в печать
. .2005 г. Печать оперативная.
Объём 1,1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ
.
Нижегородский государственный педагогический университет
603950, Нижний Новгород, ГСП-37, ул. Ульянова, 1
Полиграфический участок АНО «МУК НГПУ»
603950, Нижний Новгород, ГСП-37, ул. Ульянова, 1
43