Методика формирования приемов решения задач на «проценты»

Методика формирования приемов решения задач на «проценты»
в 5-6 классах, без введения понятия «пропорция».
Общеизвестно, что большинство школьников панически боятся задач, связанных с понятием
«проценты». Происходит это от того, что способ решения задач данного типа через определение
процента очень ненагляден, громоздок и потому игнорируется учениками. Поэтому при решении
задач указанного типа большинство из них ищет, какую ни будь «зацепку», с помощью которой
можно безошибочно определять «делить на 100 или умножать». То же самое происходит и с
задачами на нахождение части от числа и числа по его части.
Некоторые учителя решают эту проблему, вводя понятие «пропорция» уже в 5 классе до начала
изучения перечисленных выше типов задач. Но я хочу показать методику формирования приемов
решения таких задач, без введения понятия «пропорция», опирающуюся на известные нам
особенности коры головного мозга.
Для облегчения работы памяти, повышения эффективности мышления и его ускорения
необходимо использовать колоссальные возможности именно «нижних» кодовых систем
головного мозга посредством таких технических приемов фиксации внимания при подаче
информации, как удачное расположение записей, разнообразные подчеркивания, особые
значки(символы) в тексте, симметрия и выразительность чертежей и графиков, насыщение их
цветом.
При обучении математики очень важно понимать, что многое в этом учебном
предметепостигается, помимо слов, на «уровне знаков».
I этап. Рассмотрим следующие задачи:
1)Даша и Саша собирали в лесу землянику. Даша собрала 16 ягод.Сколько собрал Саша, если
известно, что он собрал
¼ от того, что собрала Даша.
1)Даша = 16 ягод.
Саша =?,
¼от
16:4*1=4(я)
Ответ: Саша собрал 4 ягоды.
2) Даша и Саша собирали в лесу землянику. Саша собрал 4 ягоды, что составляет
набрала Даша.
2)Даша =?
Саша = 4 гр. =
¼от
4:1*4=16(гр)Ответ: Даша собрала 16 грибов.
¼
от того, что
Затем ученикам предлагается схематическое правило решения задач этого типа.
ЧАСТЬ
ЦЕЛОЕ
: ЗНАМЕНАТЕЛЬ
: ЧИСЛИТЕЛЬ
Слово « часть» проставляется в той строчке, где есть дробь, не являющаяся именованным
числом. Слово «целое» прставляется в той строчке, куда указывает стрелка.
С помощью этого правила можно легко решать достаточно сложные по структуре задачи,
примеры которых будут рассмотренны ниже. При этом использовании символических записей
ученик экономит время для запоминания и содействует четкости и однозначности мысли.
I I этап. Задача.
Мастерская получила 700 м шелка. Из 2/7 полученной ткани сшили халаты, а из 2/5 полученной
ткани сшили платья. Сколько метров шелка осталось?
Выполним схематическую запись условия.
Всего=700м
(Ц)
На халаты =?, 2/7 от
(Ч)
На платье = ?, 2/5 от
(Ч)
Остаток =?
Мы имеем здесь две связки, каждую из которых можно решить, используя схематическое
правило. Связки друг от друга не зависят. Их разрешимость определена наличием лишь одного
вопроса в каждой.
1)700:7*2=200(м)-на халаты,
2)700:5*2=280(м)-на платья,
3)700-(200+280)=220(м)-остаток
А теперь изменим задачу следующим образом.
Задача.
Мастерская получила 700 м шелка. Из 2/7 полученной ткани сшили халаты. На платье пошло 2/5
от того количества ткани, что пошло на халаты. Сколько метров шелка осталось?
Схематическая запись условия будет выглядеть иначе:
Всего=700м
На халаты =?, 2/7 от
На платье = ?, 2/5 от
Остаток =?
(Ц)
(Ч)
и
(Ч)
(Ц)
Схематическая запись опять свидетельствует о наличии двух связок.
1)700:7*2=200(м)-на халаты,
2)200:5*2=80(м)-на платья,
3)700-(200+80)=420(м)-остаток
Изменим текст задачи еще раз.
Задача.
Мастерская получила 700 м шелка. Из 2/7 полученной ткани сшили халаты. На платье пошло 2/5
остатка сшили платья. Сколько метров шелка осталось?
Всего=700м
(Ц)
На халаты =?, 2/7 от
(Ч)
Остаток =?
(Ц)
На платье = ?, 2/5 от
(Ч)
Остаток =?
Здесь также 2 связки и также ход решения жестко определен условием.
1)700:7*2=200(м)-на халаты,
2)(700-200):5*2=200(м)-на платья,
3)700-(200+200)=300(м)-остаток
И наконец, разберем такую задачу.
Мастерская получила несколько метров шелка. Из 2/7 полученной ткани сшили халаты, а из 2/5
всей ткани сшили платья. Сколько метров шелка осталось, если на халаты израсходовали 700 м?
Всего=?
На халаты = 700= 2/7 от
На платье = ?, 2/5 от
(Ц)
(Ц)
(Ч)
(Ч)
Остаток =?
1)700:2*7=2450(м)-на халаты,
2)2450:5*2=980(м)-на платья,
3)2450-(700+980)=770(м)- остаток
Проанализировав решение этих задач можно сделать вывод, что объекты и числовые
характеристики во всех задачах одни и теже. Во всех задачах требуется найти окончательный
остаток. Но ход решения задач и резкльтаты различны.Таким образом, определяющее значение
при решениии имеют не числовые характеристики, а вид связей между ними.
I I I этап.
После того как учащиеся овладеют приемом решения задач на «часть/целое», достаточно ввести
понятие «процент», и решение соответствующих задач будет протекать по описанному выше
алгоритму.
Задача. Грузовики в первый день проехали 24% намеченного пути, во второй день – 46% пути, а в
третий – остальные 450 км.
Сколько километров проехали эти грузовики?
I день =? 24%
II день = 46% от
III день = 450 км
Всего = ?
Составив схематическую запись этой задачи, мы видим, что в ней 2 связки, и в каждой связке по 2
вопроса, т.е они пока неразрешимы. Однако можно заменить, что именованное число 450 км не
входит ни в одну из связок. Попробуем составить 3 – ю связку с этим числом. Весь путь на I день
приходится 24 % , на II - 46% пути, то на III день приходится 100% - (24%+46%)= 30 %
Получаем связку III день =450 км =30%
От = 30/100
(ч)
Всего =?
(ц)
Для решения задачи осталось воспользоваться схематическим правилом:
450: 30 *100 = 1500 (км) – весь путь.
IV этап. И, наконец, переходим к самому сложному случаю, когда часть от числа и само число
выражены дробью,( этот материал традиционно изучается в 6 –м классе)
Если у учеников уже сформирован прием решения описанных выше задач, то они достаточно
быстро научатся отличать именованное число, выраженное дробью, от дроби, выражающей часть.
А затем отработанное уже и усвоенное правило:
Часть
:3
Целое
: ч
Дополняется до вида,
з
Часть
:
Целое
:ч
* дробь
: дробь
Т.к работать с ним уже не очень удобно.
Сделать это можно следующим образом.
Задача. Длина прямоугольного параллелепипеда 5 3/5 м, ширина составляет ¾ от длины и 3/10 от
высоты. Найти ширину и высоту параллелепипеда.
а=5 3/5 м
(ц)
в=?, ¾ от
(ч),= 3/10 от
(ч)
с=? (ц)
1) ¾ от 5 3/5 = 28/5 : 4 * 3= 28/5 * ¼ * 3/1= 28/5 * ¾ = 21/5 (м), - в
2) 21/5 : 3 * 10 = 21/5 * 3/1 * 10/1=21/5 *10/3= 14(м) – с
Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.
Рассмотрим еще одну очень интересную задачу.
Задача. В овощную палатку привезли 8 ¾ т картофеля. В 1 день продали 0,6 всего картофеля, а во
второй день продали ½ того количества, которое было продано в 1 день. Какая часть картофеля
была продана во 2 день? Сколько тонн картофеля было продано во второй день?
Всего = 8 ¾ т
(ц)
1 день = ?, 0,6 от
(ч)=6/10
2 день = ?, ½ от
(ц)
, от
В 6 классе эту задачу можно решить двумя способами:
1 способ. Решим сначала верхнюю связку.
1) 8 ¾ * 6/10=21/4= 5 ¼ (т)-1 день
2)1/2 от 21/4 : 21/4 * ½=21/8= 2 5/8 (т)- во 2 день
3)2 5/8 : 8 3/4=21/8 : 35/4=3/10
Ответ: во 2 день было продано 2 5/8 т картофеля, что составляет 3/10 от всего картофеля.
2 способ. Вторая связка имеет 2 вопроса и поэтому является неразрешимой, но с ее помощью
можно определить, какую часть всего картофеля продали во 2 день.
Число 0,6 выступает здесь в той же самой роли, в какой выступали в предыдущих задачах
известные именованные числа.
1)1/2 от 0,6 = 1/2 . 6/10 = 3/10 (от всего). Тогда связка будет выглядеть следующим образом:
Всего=8 ¾ т
(ц)
(ч)
2 день=?, 3/10 от
(ч) т.е. является разрешимой.
Для прочного усвоения описанных приемов решения всеми учениками необходима их
отработка на конкретных задачах. Переход к индивидуальной форме деятельности учащихся
путем организации самостоятельной работы возможен лишь после того, как дети осознали
сущность этих приемов.
Многолетний опыт применения предлагаемой методики свидетельствует, что ученики не
испытывают страха перед задачами, связанные с понятием «процент», свободно и легко
овладевают приемами составления и решения связок и в конечном итоге поднимаются на
качественно новую ступень видения темы в целом.