Контрольная работа по математичес4койстатистике

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математическая статистика
Индивидуальные задания
Пособие разработано доцентом Цыловой Е. Г.,
доцентом Кротовой Е. Л..
Одобрено методической комиссией кафедры
«Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ
Пермь 2007
Контрольная работа по математическойстатистике
Список рекомендуемой литературы.
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб.
пособие для вузов – 10-е изд., стер. –М.: Высш.шк., 2003. -479 с.
2. Гмурман В.Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: Учеб. пособие для вузов.- 9-е изд., стер. –М.:
Высш. шк., 2004.- 404 с.
3. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая
статистика: Учеб. для вузов – 2-е изд., перераб. и доп. –М.: ЮНИТИ, 2003.
-352 с.
Решение типового варианта.
Контрольная работа
Вариант 0.
Задача 1. Вероятность поражения мишени при каждом выстреле равна 0,75. Найти
вероятность того, что при 10 выстрелах мишень будет поражена ровно 8 раз.
Изменится ли вероятность попадания, если число выстрелов и поражений мишени
увеличится в 10 раз?
Решение. Вероятность поражения мишени при одном выстреле постоянна
p  0.75  q  1  0.75  0.25; n  10; k  8 . Воспользовавшись формулой Бернулли, найдем:
10!
P10 (8) 
0.7580.252  45*0.1001*0.0625  0.281 ;
8!2!
при увеличении числа выстрелов и поражений в 10 раз трудно производить расчеты по
формуле Бернулли. Так как np  75  10; nq  25  10 , то используя локальную теорему
Муавра-Лапласа получим:
1
 80  100*0.75 

  0.23* (1.15)  0.047 .
100*0.75*0.25  100*0.75*0.25 
Задача 2. Даны 5 наблюдений над случайной величиной скорости автомобилей на одном
из участков шоссе (км/ч): X1  85.9; X 2  89.1; X 3  72.3; X 4  82.5; X 5  70.6 . Требуется
построить доверительный интервал для математического ожидания m при   0.95 ,
P100 (80)
когда дисперсия 2 - неизвестна. Как изменится доверительный интервал, если при тех
же значениях средней скорости и выборочной дисперсии число наблюдений возрастет в
10 раз?
n  5; X1  85.9; X 2  89.1;
Решение.
Из
условия
известно,
что
X 3  72.3; X 4  82.5; X 5  70.6 . По имеющимся данным вычислим:
1 n
1
X   X i  (85.9  89.1  72.3  82.5  70.6)  80.8,
n i 1
5
S X2
1 n
1
  ( X i  X ) 2   271.49  54.29,
n i 1
5
S X2  54.29  7.37.
По таблице 4 приложения находим, что при n  5;   1  2  0.95    0.025 и
t (n  1)  t0.025 (4)  2.78 . Вычислим доверительный интервал:
7.37
7.37
;
80.08  2.78
 m  80.08  2.78
5 1
5 1
69.84  m  90.32
Получили доверительный интервал для скорости, которую можно ожидать на данном
участке шоссе.
Если число наблюдений возрастет в 10 раз ( n  50 ), вновь воспользуемся той же
формулой для построения интервала. По таблице 4 приложения находим, что
t (n  1)  t0.025 (49)  2.01 . Тогда
7.37
7.37
;
80.08  2.01
 m  80.08  2.01
5 1
5 1
77.96  m  82.20 .
Задача 3. Социологические обследования дали следующие результаты. Из 1000
опрошенных людей 849 никогда не обращались за юридической консультацией, из них 649
занимаются предпринимательской деятельностью, а 200 работают на государственных
предприятиях. И из 151 обращавшегося респондента 101 человек занимался
предпринимательской деятельностью, а 50 – нет. По имеющимся данным:1) построить
таблицу сопряженности; 2) оценить условные и безусловные вероятности признаков; 3)
оценить тесноту связи между признаками; 4) при уровне значимости   0.01 проверить
нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков; 5) изменится ли характер
зависимости, если все данные увеличить в 25 раз?
Решение. 1. Пусть признак A – человек занимается предпринимательской
деятельностью; признак B – человек обращался за юридической консультацией. Тогда,
согласно условию: n  1000; n( AB)  101; n( AB )  649; n( AB)  50; n( AB )  200 и таблица
сопряженности имеет вид
Признаки
Всего
B
B
101
649
750
A
50
200
250
A
Всего
151
849
1000
2. Вычислим оценки условных и безусловных вероятностей.
n( AB) 101
Pˆ ( A | B) 

 0.67, Pˆ ( A | B)  1  0.67  0.33,
n( B) 151
n( AB) 101
Pˆ ( B | A) 

 0.135, Pˆ ( B | A)  1  0.135  0.865,
n( A) 750
200
Pˆ ( A | B ) 
 0.24, Pˆ  A | B   1  0.24  0.76,
849
200
Pˆ ( B | A) 
 0.8, Pˆ  B | A   1  0.8  0.2,
250
n
(
A
)
750
Pˆ ( A) 

 0.75, Pˆ ( A)  1  0.75  0.25,
n
1000
n( B) 151
Pˆ ( B) 

 0.151, Pˆ ( B )  1  0.151  0.849.
n
1000
3. Тесноту связи между признаками оценим, вычислив эмпирический коэффициент
корреляции событий
101 200  50  649
12250
Rˆ 

 0.079 .
151 849  750  250 155039.71
Так как полученное значение коэффициента R̂ мало, можно предположить, что
зависимость между A и B практически отсутствует.
4. Найдем значение статистики Y2
2
1000 

1000  101  200  50  649 

2 

Y2 
 5.74  6.635.
151  849  750  250
Из таблицы 3 приложения нашли при
2
(1)  6.635 . Учитывая, что
  0.01 0.01
2
Y2  0.01
(1) нулевая гипотеза принимается и делается вывод – обращение за
юридической консультацией не зависит от того занимается ли человек своим бизнесом
или работает на государственном предприятии.
5.74

 0.075 .
1000
5. При увеличении данных в 25 раз опять подсчитаем статистику
2
1000 

1000  25  101  200  50  649 

2  25 

Y2 
 155.56  6.635.
151  849  750  250
Следовательно, нулевая гипотеза отвергается, что говорит о наличии связи между
признаками, оценим тесноту связи:
155.56

 0.079 ,
25000
Теснота связи между A и B остается прежней, ее значения не зависят от числа
наблюдений.
Задача 4. Случайная величина X - число лет, которые служащие проработали в
торговой компании; Y - сколько отпусков за это время они брали в этой компании.
Результаты наблюдений над случайными величинами X и Y : приведены в следующей
таблице:
X 2 3 4 5
Y 3 4 6 8
Построить уравнения прямых регрессий Y по X и X по Y . Найти выборочный
*
коэффициент линейной корреляции rXY
.
Решение. Из условия находим:
1
1
1
n  4; X  (2  3  4  5)  3.5; Y  (3  4  6  8)  5.25; XY  (2  3  3  4  4  6  5  8)  20.5;
4
4
4
1
S X2  (2  3.5) 2  (3  3.5) 2  (4  3.5) 2  (5  3.5) 2   1.25 ;

4
1
SY2  (3  5.25) 2  (4  5.25) 2  (6  5.25) 2  (8  5.25) 2   3.69 ;

4
Воспользовавшись предложенными формулами, вычислим коэффициенты прямых
регрессий Y по X и X по Y .
20.5  3.5  5.25
20.5  3.5  5.25
Y / X 
 1.7;  X / Y 
 0.58.
1.25
3.69
И по формулам построим уравнения прямых регрессий и выборочный коэффициент
линейной корреляции.
YX  5.25  1.7( X  3.5)  YX  1.7 X  0.7 ;
X Y  3.5  0.58(Y  5.25)  X Y  0.58Y  0.45.
*
rXY
 1.7  0.58  0.99 .
Задача 5. При обработке наблюдений из 900 торговых точек за количеством проданных
шампуней и соответствующих им лечебных бальзамов был найден выборочный
*
коэффициент линейной корреляции rXY
 0.8 . По имеющимся данным построить
доверительный интервал для коэффициента линейной корреляции rXY с доверительной
вероятностью   0.95 .
Решение. По таблице приложения 2 находим для   0.95 соответствующее значение
U   1.96 . Согласно формуле доверительный интервал выглядит следующим образом:
1  (0.8) 2
1  (0.8) 2
 rXY  0.8  1.96
.
900
900
0.8  0.023  rXY  0.8  0.023;
0.8  1.96
0.777  rXY  0.823.
Следовательно, при заданной доверительной вероятности истинное значение rXY может
варьировать в пределах от 0,777 до 0,823 и зависимость между случайными величинами
X и Y сильная.
Задача 6. По выборке n  122 найден выборочный коэффициент линейной корреляции
*
rXY
 0.4 . При уровне значимости   0.05 проверить нулевую гипотезу о равенстве
нулю коэффициента линейной корреляции H : rXY  0 против K : rXY  0 .
*
Решение. Известно, что n  122 , rXY
 0.4 . Вычислим статистику T :
T
0.4 122  2
1   0.4 
2
 4.78 .
Из таблицы приложения 4 находим, что при   n  2  120,   0.05  2    0.25 ,
значение критической точки распределения Стьюдента t (k )  t0.025 (120)  1.9799 .
Поскольку 4,78>1,9799, то есть T  t (k ) , то нулевая гипотеза отвергается, величины
X и Y зависимы, поскольку rXY  0 .
Задача 7. При проведении социологического обследования, касающегося выявления
жизненных ценностей и приоритетов у людей,.. в качестве одной из проблем выдвигалась
задача установить, существует ли зависимость между материальным положением
человека и его удовлетворенностью своим образом жизни, которую предполагалось
оценить по пятибалльной шкале. Результаты обследования представлены в таблице:
X - среднемесячный доход (тыс. руб) Y – удовлетворенность образом жизни в баллах
1. ниже 2
3,74
2. 2-6
4,05
3. 6-10
4,68
4. 10-15
4,52
5. выше 15
4,47
Вычислить ранговый коэффициент корреляции Спирмена, установить, зависимы ли
величины.
Решение. Проранжируем величину X следующим образом: самому большому доходу
«выше 15» присвоим ранг 1; доходу «10-15» - ранг 2 и так далее. Аналогично
проранжируем величину Y , присвоив значению 4,68 ранг 1; значению 4,52 – ранг 2;…;
значению 3,74 – ранг 5. Исходная таблица может быть записана следующим образом:
Ri  X 
1 2 3 4 5
Ri Y 
3 2 1 4 5
Воспользовавшись формулой для вычисления рангового коэффициента корреляции
Спирмена, получим
1 
2
2
2
2
2
*XY  1  3
1  3   2  2    3  1   4  4    5  5    0.93 .



5 5 
По величине *XY можно сделать вывод, что между материальным положением человека
и его удовлетворенностью своим образом жизни существует довольно сильная
зависимость.
Вариант 1.
1. В ходе этнографической экспедиции по двум этнокультурным группам (районам)
Архангельской области были выявлены наиболее часто встречающиеся узоры русской
вышивки: конь и крылатая птица. На основе частоты появления этих образов орнамента в
обследуемых этнокультурных группах была составлена следующая таблица:
Район
конь крылатая птица
Онежский
7
40
Плисецкий
11
17
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.05 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков: вид орнамента и принадлежность его к
определенной группе.
2. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность нового
препарата. Из 100 пациентов с одним и тем же заболеванием часть принимала старый
общеизвестный препарат X, а часть принимала новый препарат Y. Из принимавших
старый препарат: у 48 человек была нормальная реакция, а у 4 человек обнаружена
аллергия. Среди тех, кто принимал новый препарат: у 42 зафиксирована нормальная
реакция,. А у 6 человек аллергия. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей
возникновения аллергии при применении препаратов X и Y, когда уровень значимости
равен 0,02. останется ли принятое решение о проверке данных гипотез справедливым,
если при тех же значения частостей число пациентов возрастет в 10 раз?
3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление
выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты. Для проверки годности автомата
произведено 400 испытаний, где выигрыш появился 5 раз. Оценить вероятность появления
выигрыша. Построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при
  0.9973 , используя: преобразование арксинуса. Как изменится доверительный
интервал, если при той же частости появления выигрыша число наблюдений возрастет в
20 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2 -1 3
Y 2 3 1 4
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX  b найти неизвестные
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  1.5; X 6  4 .
Вариант 2.
1. Пусть вероятность того, что покупателю магазина женской обуви необходимы туфли 37
размера, равна 0,25. Оценить с помощью теоремы Бернулли и интегральной теоремы
Муавра-Лапласа, вероятность того, что доля покупателей, которым необходимы туфли 37
размера, отклонится по абсолютной величине от вероятности 0,25 не более чем на 0,1,
если всего в день магазин посещает 1000 покупателей.
2. Из 250 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по математике, в одном потоке
63 человека получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения
неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа
построить доверительные границы для этой вероятности при   0.98 . Как изменится этот
интервал, если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 10 раз?
3. Из проконтролированных 100 телевизоров, выпущенных на Воронежском заводе,
целиком удовлетворяют заданным техническим требованиям 85. При контроле 105
телевизоров, выпущенных на Шауляйском заводе, заданным техническим требованиям
удовлетворяет 98 телевизоров. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска
годного телевизора на этих заводах при уровне значимости   0.01 . Останется ли
принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей число
проконтролированных телевизоров возрастет в 20 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2
4
6
Y 2 2,5 2,3 2,1
b
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  a 
найти неизвестные
X
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  2.5; X 6  7 .
Вариант 3.
1. За некоторый период времени в населенном пункте А в ночное время было совершено
68 преступлений, из которых оказалось 20 квартирных краж. За тот же промежуток
времени в населенном пункте В в ночное время было совершено 102 преступления, среди
которых оказалось 35 квартирных краж. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей
совершения квартирных краж ночью в населенных пунктах А и В при уровне значимости
  0.1. Останется ли принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей
число преступлений, совершенных в А и В возрастет в 15 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к религии, проведенных
в Пермском крае и Нижегородской области были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Верю в Убежденный
Бога
атеист
Пермский край
63
27
Нижегородская область
46
54
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его веры в
Бога.
3. Вероятность заболеть некоторой инфекционной болезнью в течение года для данной
социальной группы, включающей 90000 человек, составляет 0,1. какова вероятность того,
что число заболевших за год будет находиться в интервале от 8820 до 9270?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
Вариант 4.
1. Из 450 деталей, изготовленных станком-автоматом оказалось 39 нестандартных.
Оценить вероятность того, что произвольным образом взятая деталь окажется
стандартной. Используя преобразование арксинуса, построить приближенные
доверительные границы для этой вероятности при   0.999 . Как изменится
доверительный интервал, если при той же частости изготовления стандартных деталей
число наблюдений возрастет в 25 раз?
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли
миграционные установки выпускников от того, в каком регионе они живут. Результаты
опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем
городе постоянно
Пермь
656
556
Екатеринбург
344
444
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его
миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в
40 раз?
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,97.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 1000
наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее
вероятности не превысит по абсолютной величине 0,02.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
Вариант 5.
1. В ходе социологических исследований среди студентов технических вузов
Приволжского федерального округа было выявлено разделение студентов на две четко
очерченные группы по музыкальным пристрастиям «рэпперы» и «рокеры». На основе
частоты появления этих признаков в обследуемых группах была составлена следующая
таблица:
Район
рок рэп
Самарский
12 45
авиационный
институт
ПГТУ
34 45
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков: любимое музыкальное направление и обучение
в одном из крупных городов федерального округа.
2. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность нового
препарата. Из 250 пациентов с одним и тем же заболеванием часть принимала старый
общеизвестный препарат X, а часть принимала новый препарат Y. Из принимавших
старый препарат: у 67 человек была нормальная реакция, а у 33 человек обнаружена
аллергия. Среди тех, кто принимал новый препарат: у 100 зафиксирована нормальная
реакция, а у 50 человек аллергия. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей
возникновения аллергии при применении препаратов X и Y, когда уровень значимости
равен 0,05. останется ли принятое решение о проверке данных гипотез справедливым,
если при тех же значения частостей число пациентов возрастет в 20 раз?
3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление
выигрыша в трех случаях из 150 бросаний монеты. Для проверки годности автомата
произведено 500 испытаний, где выигрыш появился 5 раз. Оценить вероятность появления
выигрыша. Построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при
  0.9 используя:
интегральную теорему Муавра-Лапласа. Как изменится
доверительный интервал, если при той же частости появления выигрыша число
наблюдений возрастет в 10 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2 -1 3
Y 2 3 1 4
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX  b найти неизвестные
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  1.5; X 6  4 .
Вариант 6.
1. Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции города, чтобы ошибка доли
фирм несвоевременно уплачивающих налоги не превысила 4%. По данным предыдущей
проверки доля таких фирм составляла 49%. Доверительную вероятность принять равной
0.98.
2. Из 180 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по математике, в одном потоке
54 человека получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения
неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа
построить доверительные границы для этой вероятности при   0.95 . Как изменится этот
интервал, если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 30 раз?
3. Из проконтролированных 200 пылесосов, выпущенных на Бобруйском заводе, целиком
удовлетворяют заданным техническим требованиям 80. При контроле 100 пылесосов,
выпущенных на Быховском заводе, заданным техническим требованиям удовлетворяет 92
пылесоса. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска годного пылесоса на
этих заводах при уровне значимости   0.05 . Останется ли принятое решение в силе,
если при тех же значениях частостей число проконтролированных телевизоров возрастет в
10 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2
4
6
Y 2 2,5 2,3 2,1
b
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  a 
найти неизвестные
X
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  2.5; X 6  7 .
Вариант 7.
1. За некоторый период времени в Перми в ночное время было совершено 125
преступлений, из которых оказалось 40 квартирных краж. За тот же промежуток времени
в населенном пункте Березняки в ночное время было совершено 102 преступления, среди
которых оказалось 35 квартирных краж. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей
совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках при уровне значимости
  0.05 . Останется ли принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей
число преступлений, совершенных в этих городах возрастет в 10 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к реформе
медицинского образования, проведенных в Пермском крае и Нижегородской области
были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Доволен Недоволен
Пермский край
21
115
Нижегородская область
11
165
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.05 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков.
3. Вероятность заболеть сальмонеллезом в течение года для данной социальной группы,
включающей 100000 человек, составляет 0,3. какова вероятность того, что число
заболевших за год будет находиться в интервале от 8300 до 10000?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
Вариант 8.
1. Из 150 деталей, изготовленных токарем, оказалось 12 нестандартных. Оценить
вероятность того, что произвольным образом взятая деталь окажется стандартной.
Используя преобразование арксинуса, построить приближенные доверительные границы
для этой вероятности при   0.9 . Как изменится доверительный интервал, если при той
же частости изготовления стандартных деталей число наблюдений возрастет в 15 раз?
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли
миграционные установки выпускников педагогических образовательных учреждений от
того, в каком регионе они живут. Результаты опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем
городе постоянно
Пермь
100
223
Екатеринбург
251
450
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его
миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в
10 раз?
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,99.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 500
наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее
вероятности не превысит по абсолютной величине 0,02.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
Вариант 9.
1. В ходе социологических исследований среди студентов технических вузов
Приволжского федерального округа было выявлено разделение студентов на две группы «автомобилисты» и «велосипедисты». На основе частоты появления этих признаков в
обследуемых группах была составлена следующая таблица:
Район
авто велосипед
Самарский
100
12
авиационный
институт
ПГТУ
50
55
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.1 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков.
2. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность нового
препарата. Из 1000 пациентов с одним и тем же заболеванием часть принимала старый
общеизвестный препарат X, а часть принимала новый препарат Y. Из принимавших
старый препарат: у 348 человек была нормальная реакция, а у 32 человек обнаружена
аллергия. Среди тех, кто принимал новый препарат: у 590 зафиксирована нормальная
реакция, а у 30 человек аллергия. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей
возникновения аллергии при применении препаратов X и Y, когда уровень значимости
равен 0,01. останется ли принятое решение о проверке данных гипотез справедливым,
если при тех же значения частостей число пациентов возрастет в 5 раз?
3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление
выигрыша в 5 случаях из 500 бросаний монеты. Для проверки годности автомата
произведено 1000 испытаний, где выигрыш появился 7 раз. Оценить вероятность
появления выигрыша. Построить приближенные доверительные границы для этой
вероятности при   0.95 используя:
преобразование арксинуса. Как изменится
доверительный интервал, если при той же частости появления выигрыша число
наблюдений возрастет в 30 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2 -1 3
Y 2 3 1 4
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX  b найти неизвестные
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  1.5; X 6  4 .
Вариант 10.
1. Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции города, чтобы ошибка доли
фирм несвоевременно уплачивающих налоги не превысила 6%. По данным предыдущей
проверки доля таких фирм составляла 23%. Доверительную вероятность принять равной
0.95.
2. Из 300 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по физике, в одном потоке 45
человек получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения
неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа
построить доверительные границы для этой вероятности при   0.9 . Как изменится этот
интервал, если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 5 раз?
3. Из проконтролированных 147 чайников, выпущенных на Новосибирском заводе,
целиком удовлетворяют заданным техническим требованиям 132. При контроле 780
чайников, выпущенных на Кемеровском заводе, заданным техническим требованиям
удовлетворяет 692 чайника. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска
годного пылесоса на этих заводах при уровне значимости   0.01 . Останется ли принятое
решение в силе, если при тех же значениях частостей число проконтролированных
телевизоров возрастет в 5 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2
4
6
Y 2 2,5 2,3 2,1
b
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  a 
найти неизвестные
X
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  2.5; X 6  7 .
Вариант 11.
1. За некоторый период времени в Перми в ночное время было совершено 179
преступлений, из которых оказалось 40 краж мобильных телефонов. За тот же
промежуток времени в населенном пункте Березняки в ночное время было совершено 102
преступления, среди которых оказалось 65 краж мобильных телефонов. Проверить
гипотезу о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в Перми и
Березняках при уровне значимости   0.01 . Останется ли принятое решение в силе, если
при тех же значениях частостей число преступлений, совершенных в этих городах
возрастет в 7 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к использованию
кредитных продуктов представленных в регионе, проведенных в Пермском крае и
Нижегородской области были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Пользуюсь Не пользуюсь
Пермский край
874
451
Нижегородская область
654
678
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков.
3. Вероятность заболеть вирусом гриппа в течение года для студента ПГТУ (50 000)
человек, составляет 0,6. Какова вероятность того, что число заболевших за год будет
находиться в интервале от 10 000 до 15 000?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
Вариант 12.
1. Из 234 кубиков, выструганных Самоделкиным, оказалось 12 нестандартных. Оценить
вероятность того, что произвольным образом взятый кубик окажется стандартным.
Используя теорему Муавра-Лапласа, построить приближенные доверительные границы
для этой вероятности при   0.8 . Как изменится доверительный интервал, если при той
же частости изготовления стандартных кубиков число наблюдений возрастет в 4 раза?
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли
миграционные установки выпускников школ от того, в каком регионе они живут.
Результаты опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем
городе постоянно
Пермь
654
100
Екатеринбург
568
98
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его
миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в 5
раз?
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,98.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 800
наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее
вероятности не превысит по абсолютной величине 0,03.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
Вариант 13.
1. Из 150 деталей, изготовленных токарем, оказалось 12 нестандартных. Оценить
вероятность того, что произвольным образом взятая деталь окажется стандартной.
Используя преобразование арксинуса, построить приближенные доверительные границы
для этой вероятности при   0.9 . Как изменится доверительный интервал, если при той
же частости изготовления стандартных деталей число наблюдений возрастет в 15 раз?
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли
миграционные установки выпускников педагогических образовательных учреждений от
того, в каком регионе они живут. Результаты опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем
городе постоянно
Пермь
100
223
Екатеринбург
251
450
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его
миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в
10 раз?
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,99.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 500
наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее
вероятности не превысит по абсолютной величине 0,02.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
Вариант 14.
1. В ходе социологических исследований среди студентов технических вузов
Приволжского федерального округа было выявлено разделение студентов на две группы «автомобилисты» и «велосипедисты». На основе частоты появления этих признаков в
обследуемых группах была составлена следующая таблица:
Район
авто велосипед
Самарский
100
12
авиационный
институт
ПГТУ
50
55
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.1 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков.
2. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность нового
препарата. Из 1000 пациентов с одним и тем же заболеванием часть принимала старый
общеизвестный препарат X, а часть принимала новый препарат Y. Из принимавших
старый препарат: у 348 человек была нормальная реакция, а у 32 человек обнаружена
аллергия. Среди тех, кто принимал новый препарат: у 590 зафиксирована нормальная
реакция, а у 30 человек аллергия. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей
возникновения аллергии при применении препаратов X и Y, когда уровень значимости
равен 0,01. останется ли принятое решение о проверке данных гипотез справедливым,
если при тех же значения частостей число пациентов возрастет в 5 раз?
3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление
выигрыша в 5 случаях из 500 бросаний монеты. Для проверки годности автомата
произведено 1000 испытаний, где выигрыш появился 7 раз. Оценить вероятность
появления выигрыша. Построить приближенные доверительные границы для этой
вероятности при   0.95 используя:
преобразование арксинуса. Как изменится
доверительный интервал, если при той же частости появления выигрыша число
наблюдений возрастет в 30 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2 -1 3
Y 2 3 1 4
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX  b найти неизвестные
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  1.5; X 6  4 .
Вариант 15.
1. Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции города, чтобы ошибка доли
фирм несвоевременно уплачивающих налоги не превысила 6%. По данным предыдущей
проверки доля таких фирм составляла 23%. Доверительную вероятность принять равной
0.95.
2. Из 300 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по физике, в одном потоке 45
человек получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения
неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа
построить доверительные границы для этой вероятности при   0.9 . Как изменится этот
интервал, если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 5 раз?
3. Из проконтролированных 147 чайников, выпущенных на Новосибирском заводе,
целиком удовлетворяют заданным техническим требованиям 132. При контроле 780
чайников, выпущенных на Кемеровском заводе, заданным техническим требованиям
удовлетворяет 692 чайника. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска
годного пылесоса на этих заводах при уровне значимости   0.01 . Останется ли принятое
решение в силе, если при тех же значениях частостей число проконтролированных
телевизоров возрастет в 5 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2
4
6
Y 2 2,5 2,3 2,1
b
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  a 
найти неизвестные
X
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  2.5; X 6  7 .
Вариант 16.
1. За некоторый период времени в Перми в ночное время было совершено 179
преступлений, из которых оказалось 40 краж мобильных телефонов. За тот же
промежуток времени в населенном пункте Березняки в ночное время было совершено 102
преступления, среди которых оказалось 65 краж мобильных телефонов. Проверить
гипотезу о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в Перми и
Березняках при уровне значимости   0.01 . Останется ли принятое решение в силе, если
при тех же значениях частостей число преступлений, совершенных в этих городах
возрастет в 7 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к использованию
кредитных продуктов представленных в регионе, проведенных в Пермском крае и
Нижегородской области были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Пользуюсь Не пользуюсь
Пермский край
874
451
Нижегородская область
654
678
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков.
3. Вероятность заболеть вирусом гриппа в течение года для студента ПГТУ (50 000)
человек, составляет 0,6. Какова вероятность того, что число заболевших за год будет
находиться в интервале от 10 000 до 15 000?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
Вариант 17.
1. Из 234 кубиков, выструганных Самоделкиным, оказалось 12 нестандартных. Оценить
вероятность того, что произвольным образом взятый кубик окажется стандартным.
Используя теорему Муавра-Лапласа, построить приближенные доверительные границы
для этой вероятности при   0.8 . Как изменится доверительный интервал, если при той
же частости изготовления стандартных кубиков число наблюдений возрастет в 4 раза?
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли
миграционные установки выпускников школ от того, в каком регионе они живут.
Результаты опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем
городе постоянно
Пермь
654
100
Екатеринбург
568
98
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его
миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в 5
раз?
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,98.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 800
наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее
вероятности не превысит по абсолютной величине 0,03.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
Вариант 18.
1. За некоторый период времени в Перми в ночное время было совершено 179
преступлений, из которых оказалось 40 краж мобильных телефонов. За тот же
промежуток времени в населенном пункте Березняки в ночное время было совершено 102
преступления, среди которых оказалось 65 краж мобильных телефонов. Проверить
гипотезу о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в Перми и
Березняках при уровне значимости   0.01 . Останется ли принятое решение в силе, если
при тех же значениях частостей число преступлений, совершенных в этих городах
возрастет в 7 раз?
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли
миграционные установки выпускников педагогических образовательных учреждений от
того, в каком регионе они живут. Результаты опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем
городе постоянно
Пермь
100
223
Екатеринбург
251
450
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его
миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в
10 раз?
3. Вероятность заболеть сальмонеллезом в течение года для данной социальной группы,
включающей 100000 человек, составляет 0,3. какова вероятность того, что число
заболевших за год будет находиться в интервале от 8300 до 10000?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2 -1 3
Y 2 3 1 4
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX  b найти неизвестные
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  1.5; X 6  4 .
Вариант 19.
1. Из 150 деталей, изготовленных токарем, оказалось 12 нестандартных. Оценить
вероятность того, что произвольным образом взятая деталь окажется стандартной.
Используя преобразование арксинуса, построить приближенные доверительные границы
для этой вероятности при   0.9 . Как изменится доверительный интервал, если при той
же частости изготовления стандартных деталей число наблюдений возрастет в 15 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к использованию
кредитных продуктов представленных в регионе, проведенных в Пермском крае и
Нижегородской области были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Пользуюсь Не пользуюсь
Пермский край
874
451
Нижегородская область
654
678
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков.
3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление
выигрыша в 5 случаях из 500 бросаний монеты. Для проверки годности автомата
произведено 1000 испытаний, где выигрыш появился 7 раз. Оценить вероятность
появления выигрыша. Построить приближенные доверительные границы для этой
вероятности при   0.95 используя:
преобразование арксинуса. Как изменится
доверительный интервал, если при той же частости появления выигрыша число
наблюдений возрастет в 30 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
Вариант 20.
1. За некоторый период времени в Перми в ночное время было совершено 179
преступлений, из которых оказалось 40 краж мобильных телефонов. За тот же
промежуток времени в населенном пункте Березняки в ночное время было совершено 102
преступления, среди которых оказалось 65 краж мобильных телефонов. Проверить
гипотезу о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в Перми и
Березняках при уровне значимости   0.01 . Останется ли принятое решение в силе, если
при тех же значениях частостей число преступлений, совершенных в этих городах
возрастет в 7 раз?
2. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность нового
препарата. Из 1000 пациентов с одним и тем же заболеванием часть принимала старый
общеизвестный препарат X, а часть принимала новый препарат Y. Из принимавших
старый препарат: у 348 человек была нормальная реакция, а у 32 человек обнаружена
аллергия. Среди тех, кто принимал новый препарат: у 590 зафиксирована нормальная
реакция, а у 30 человек аллергия. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей
возникновения аллергии при применении препаратов X и Y, когда уровень значимости
равен 0,01. останется ли принятое решение о проверке данных гипотез справедливым,
если при тех же значения частостей число пациентов возрастет в 5 раз?
3. Вероятность заболеть вирусом гриппа в течение года для студента ПГТУ (50 000)
человек, составляет 0,6. Какова вероятность того, что число заболевших за год будет
находиться в интервале от 10 000 до 15 000?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
Вариант 21.
1. За некоторый период времени в населенном пункте А в ночное время было совершено
68 преступлений, из которых оказалось 20 квартирных краж. За тот же промежуток
времени в населенном пункте В в ночное время было совершено 102 преступления, среди
которых оказалось 35 квартирных краж. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей
совершения квартирных краж ночью в населенных пунктах А и В при уровне значимости
  0.1. Останется ли принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей
число преступлений, совершенных в А и В возрастет в 15 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к использованию
кредитных продуктов представленных в регионе, проведенных в Пермском крае и
Нижегородской области были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Пользуюсь Не пользуюсь
Пермский край
874
451
Нижегородская область
654
678
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков.
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,99.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 500
наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее
вероятности не превысит по абсолютной величине 0,02.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
Вариант 22.
1. Пусть вероятность того, что покупателю магазина женской обуви необходимы туфли 37
размера, равна 0,25. Оценить с помощью теоремы Бернулли и интегральной теоремы
Муавра-Лапласа, вероятность того, что доля покупателей, которым необходимы туфли 37
размера, отклонится по абсолютной величине от вероятности 0,25 не более чем на 0,1,
если всего в день магазин посещает 1000 покупателей.
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к религии, проведенных
в Пермском крае и Нижегородской области были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Верю в Убежденный
Бога
атеист
Пермский край
63
27
Нижегородская область
46
54
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его веры в
Бога.
3. Вероятность заболеть вирусом гриппа в течение года для студента ПГТУ (50 000)
человек, составляет 0,6. Какова вероятность того, что число заболевших за год будет
находиться в интервале от 10 000 до 15 000?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
Вариант 23.
1. В ходе социологических исследований среди студентов технических вузов
Приволжского федерального округа было выявлено разделение студентов на две группы «автомобилисты» и «велосипедисты». На основе частоты появления этих признаков в
обследуемых группах была составлена следующая таблица:
Район
авто велосипед
Самарский
100
12
авиационный
институт
ПГТУ
50
55
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.1 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков.
2. Из 250 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по математике, в одном потоке
63 человека получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения
неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа
построить доверительные границы для этой вероятности при   0.98 . Как изменится этот
интервал, если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 10 раз?
3. Вероятность заболеть некоторой инфекционной болезнью в течение года для данной
социальной группы, включающей 90000 человек, составляет 0,1. какова вероятность того,
что число заболевших за год будет находиться в интервале от 8820 до 9270?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2
4
6
Y 2 2,5 2,3 2,1
b
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  a 
найти неизвестные
X
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  2.5; X 6  7 .
Вариант 24.
1. За некоторый период времени в Перми в ночное время было совершено 179
преступлений, из которых оказалось 40 краж мобильных телефонов. За тот же
промежуток времени в населенном пункте Березняки в ночное время было совершено 102
преступления, среди которых оказалось 65 краж мобильных телефонов. Проверить
гипотезу о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в Перми и
Березняках при уровне значимости   0.01 . Останется ли принятое решение в силе, если
при тех же значениях частостей число преступлений, совершенных в этих городах
возрастет в 7 раз?
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли
миграционные установки выпускников педагогических образовательных учреждений от
того, в каком регионе они живут. Результаты опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем
городе постоянно
Пермь
100
223
Екатеринбург
251
450
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его
миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в
10 раз?
3. Из проконтролированных 100 телевизоров, выпущенных на Воронежском заводе,
целиком удовлетворяют заданным техническим требованиям 85. При контроле 105
телевизоров, выпущенных на Шауляйском заводе, заданным техническим требованиям
удовлетворяет 98 телевизоров. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска
годного телевизора на этих заводах при уровне значимости   0.01 . Останется ли
принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей число
проконтролированных телевизоров возрастет в 20 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2
4
6
Y 2 2,5 2,3 2,1
b
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  a 
найти неизвестные
X
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  2.5; X 6  7 .
Вариант 25.
1. Из 150 деталей, изготовленных токарем, оказалось 12 нестандартных. Оценить
вероятность того, что произвольным образом взятая деталь окажется стандартной.
Используя преобразование арксинуса, построить приближенные доверительные границы
для этой вероятности при   0.9 . Как изменится доверительный интервал, если при той
же частости изготовления стандартных деталей число наблюдений возрастет в 15 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к реформе
медицинского образования, проведенных в Пермском крае и Нижегородской области
были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Доволен Недоволен
Пермский край
21
115
Нижегородская область
11
165
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.05 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков.
3. Из проконтролированных 147 чайников, выпущенных на Новосибирском заводе,
целиком удовлетворяют заданным техническим требованиям 132. При контроле 780
чайников, выпущенных на Кемеровском заводе, заданным техническим требованиям
удовлетворяет 692 чайника. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска
годного пылесоса на этих заводах при уровне значимости   0.01 . Останется ли принятое
решение в силе, если при тех же значениях частостей число проконтролированных
телевизоров возрастет в 5 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
Вариант 26.
1. В ходе социологических исследований среди студентов технических вузов
Приволжского федерального округа было выявлено разделение студентов на две группы «автомобилисты» и «велосипедисты». На основе частоты появления этих признаков в
обследуемых группах была составлена следующая таблица:
Район
авто велосипед
Самарский
100
12
авиационный
институт
ПГТУ
50
55
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.1 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков.
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к использованию
кредитных продуктов представленных в регионе, проведенных в Пермском крае и
Нижегородской области были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Пользуюсь Не пользуюсь
Пермский край
874
451
Нижегородская область
654
678
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков.
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,99.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 500
наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее
вероятности не превысит по абсолютной величине 0,02.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
Вариант 27.
1. Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции города, чтобы ошибка доли
фирм несвоевременно уплачивающих налоги не превысила 6%. По данным предыдущей
проверки доля таких фирм составляла 23%. Доверительную вероятность принять равной
0.95
2. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность нового
препарата. Из 1000 пациентов с одним и тем же заболеванием часть принимала старый
общеизвестный препарат X, а часть принимала новый препарат Y. Из принимавших
старый препарат: у 348 человек была нормальная реакция, а у 32 человек обнаружена
аллергия. Среди тех, кто принимал новый препарат: у 590 зафиксирована нормальная
реакция, а у 30 человек аллергия. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей
возникновения аллергии при применении препаратов X и Y, когда уровень значимости
равен 0,01. останется ли принятое решение о проверке данных гипотез справедливым,
если при тех же значения частостей число пациентов возрастет в 5 раз?
3. Пусть вероятность того, что автомат по продаже горячих напитков сработает равна 0,98.
Пользуясь теоремой Бернулли, оценить вероятность того, что при использовании 800
наборов из купюр в автомате отклонение частости правильной работы автомата от ее
вероятности не превысит по абсолютной величине 0,03.
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X -1 0 1 4
Y 0 1 2 5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  5 .
Вариант 28.
1. Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции города, чтобы ошибка доли
фирм несвоевременно уплачивающих налоги не превысила 6%. По данным предыдущей
проверки доля таких фирм составляла 23%. Доверительную вероятность принять равной
0.95.
2. В ходе социологических исследований, Стояла задача выявить, зависят ли
миграционные установки выпускников школ от того, в каком регионе они живут.
Результаты опроса представлены в таблице:
Город
Навсегда уехать Жить в своем
городе постоянно
Пермь
654
100
Екатеринбург
568
98
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.01 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков: место жительства респондента и его
миграционная установка. Изменится ли принятое решение, если все данные увеличить в 5
раз?
3. Вероятность заболеть вирусом гриппа в течение года для студента ПГТУ (50 000)
человек, составляет 0,6. Какова вероятность того, что число заболевших за год будет
находиться в интервале от 10 000 до 15 000?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2
4
6
Y 2 2,5 2,3 2,1
b
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  a 
найти неизвестные
X
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  2.5; X 6  7 .
Вариант 29.
1. Из 300 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по физике, в одном потоке 45
человек получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения
неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа
построить доверительные границы для этой вероятности при   0.9 . Как изменится этот
интервал, если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 5 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к реформе
медицинского образования, проведенных в Пермском крае и Нижегородской области
были получены следующие результаты:
Субъект федерации
Доволен Недоволен
Пермский край
21
115
Нижегородская область
11
165
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту
связи между признаками; 2) при уровне значимости   0.05 проверить нулевую гипотезу
о независимости исследуемых признаков.
3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление
выигрыша в 5 случаях из 500 бросаний монеты. Для проверки годности автомата
произведено 1000 испытаний, где выигрыш появился 7 раз. Оценить вероятность
появления выигрыша. Построить приближенные доверительные границы для этой
вероятности при   0.95 используя:
преобразование арксинуса. Как изменится
доверительный интервал, если при той же частости появления выигрыша число
наблюдений возрастет в 30 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 0 1 5 6
Y 5 3 4 7
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX 2  bX  c найти
неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X 5  1.5; X 6  7 .
Вариант 30.
1. Из 234 кубиков, выструганных Самоделкиным, оказалось 12 нестандартных. Оценить
вероятность того, что произвольным образом взятый кубик окажется стандартным.
Используя теорему Муавра-Лапласа, построить приближенные доверительные границы
для этой вероятности при   0.8 . Как изменится доверительный интервал, если при той
же частости изготовления стандартных кубиков число наблюдений возрастет в 4 раза?
2. Из 300 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по физике, в одном потоке 45
человек получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения
неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа
построить доверительные границы для этой вероятности при   0.9 . Как изменится этот
интервал, если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 5 раз?
3. Из проконтролированных 147 чайников, выпущенных на Новосибирском заводе,
целиком удовлетворяют заданным техническим требованиям 132. При контроле 780
чайников, выпущенных на Кемеровском заводе, заданным техническим требованиям
удовлетворяет 692 чайника. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска
годного пылесоса на этих заводах при уровне значимости   0.01 . Останется ли принятое
решение в силе, если при тех же значениях частостей число проконтролированных
телевизоров возрастет в 5 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
X 1 2 -1 3
Y 2 3 1 4
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида Y  aX  b найти неизвестные
коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X 5  1.5; X 6  4 .
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Приложение 1. Таблица значений функции
x
  z 2 
1
 ( x) 
exp 
 dz
2 0
 2 
x
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,2
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,3
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,4
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
Ф(x)
0
0,004
0,008
0,012
0,016
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,091
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,148
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,17
0,1736
0,1772
x
0,47
0,48
0,49
0,5
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,6
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,7
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,8
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,9
0,91
0,92
0,93
Ф(x)
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,195
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,219
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,258
0,2611
0,2642
0,2673
0,2704
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,291
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
x
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,2
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,3
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,4
Ф(x)
0,3264
0,3289
0,3315
0,334
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,377
0,379
0,381
0,383
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,398
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
x
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,5
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,6
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,7
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,8
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
Ф(x)
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,437
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
x
Ф(x)
1,88 0,4699
1,9 0,4713
1,92 0,4726
1,94 0,4738
1,96 0,475
1,98 0,4761
2 0,4772
2,02 0,4783
2,04 0,4793
2,06 0,4803
2,08 0,4812
2,1 0,4821
2,12 0,483
2,14 0,4838
2,16 0,4846
2,18 0,4854
2,2 0,4861
2,22 0,4868
2,24 0,4875
2,26 0,4881
2,28 0,4887
2,3 0,4893
2,32 0,4898
2,34 0,4904
2,36 0,4909
2,38 0,4913
2,4 0,4918
2,42 0,4922
2,44 0,4927
2,46 0,4931
2,48 0,4934
2,5 0,4938
2,52 0,4941
2,54 0,4945
2,56 0,4948
2,58 0,4951
2,6 0,4953
2,62 0,4956
2,64 0,4959
2,66 0,4961
2,68 0,4963
2,7 0,4965
2,72 0,4967
2,74 0,4969
2,76 0,4971
2,78 0,4973
2,8 0,4974
x
3
3,2
3,4
3,6
3,8
4
∞
Ф(x)
0,4987
0,4993
0,4997
0,4998
0,4999
0,5
0,5
Приложение 2. Таблица наиболее распространенных значений U  - критических точек
стандартного нормального распределения при   1  2 ,   1   .



U
0,9999
0,0001
0,999
0,001
0,9973
0,0027
0,99
0,01
0,98
0,02
0,95
0,05
0,9
0,1
0,8
0,2
0,00005 0,0005
0,0014
0,005
0,01
0,025
0,05
0,1
3,89069 3,29056
3
2,5758 2,3263
1,96
1,6449 1,2816
Приложение 3. Таблица критических точек 2 () распределения хи-квадрат. В крайнем
левом столбце указано значение  равное числу степеней свободы, а сверху - уровень
значимости  .
\
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,01
6,63489
9,21035
11,3449
13,2767
15,0863
16,8119
18,4753
20,0902
21,666
23,2093
24,725
26,217
27,6882
29,1412
30,578
31,9999
33,4087
34,8052
36,1908
37,5663
38,9322
40,2894
41,6383
42,9798
44,314
45,6416
46,9628
48,2782
49,5878
50,8922
0,05
3,8415
5,9915
7,8147
9,4877
11,07
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,41
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
41,337
42,557
43,773
0,1
2,7055
4,6052
6,2514
7,7794
9,2363
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
35,563
36,741
37,916
39,087
40,256
0,9
0,0158
0,2107
0,5844
1,0636
1,6103
2,2041
2,8331
3,4895
4,1682
4,8652
5,5778
6,3038
7,0415
7,7895
8,5468
9,3122
10,085
10,865
11,651
12,443
13,24
14,041
14,848
15,659
16,473
17,292
18,114
18,939
19,768
20,599
0,95
0,0039
0,1026
0,3518
0,7107
1,1455
1,6354
2,1673
2,7326
3,3251
3,9403
4,5748
5,226
5,8919
6,5706
7,2609
7,9616
8,6718
9,3904
10,117
10,851
11,591
12,338
13,091
13,848
14,611
15,379
16,151
16,928
17,708
18,493
0,99
0,0002
0,0201
0,1148
0,2971
0,5543
0,8721
1,239
1,6465
2,0879
2,5582
3,0535
3,5706
4,1069
4,6604
5,2294
5,8122
6,4077
7,0149
7,6327
8,2604
8,8972
9,5425
10,196
10,856
11,524
12,198
12,878
13,565
14,256
14,953
Приложение 4. Таблица критических точек t () распределения Стьюдента. В крайнем
левом столбце указано значение  равное числу степеней свободы, а сверху доверительная
вероятность   1  2 .
\
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
60
70
80
90
100
150
0,99
63,656
9,925
5,8408
4,6041
4,0321
3,7074
3,4995
3,3554
3,2498
3,1693
3,1058
3,0545
3,0123
2,9768
2,9467
2,9208
2,8982
2,8784
2,8609
2,8453
2,8314
2,8188
2,8073
2,797
2,7787
2,7633
2,75
2,7385
2,7284
2,7195
2,7116
2,7045
2,6981
2,6923
2,687
2,6822
2,6778
2,6603
2,6479
2,6387
2,6316
2,6259
2,609
0,98
31,821
6,9645
4,5407
3,7469
3,3649
3,1427
2,9979
2,8965
2,8214
2,7638
2,7181
2,681
2,6503
2,6245
2,6025
2,5835
2,5669
2,5524
2,5395
2,528
2,5176
2,5083
2,4999
2,4922
2,4786
2,4671
2,4573
2,4487
2,4411
2,4345
2,4286
2,4233
2,4185
2,4141
2,4102
2,4066
2,4033
2,3901
2,3808
2,3739
2,3685
2,3642
2,3515
0,95
12,706
4,3027
3,1824
2,7765
2,5706
2,4469
2,3646
2,306
2,2622
2,2281
2,201
2,1788
2,1604
2,1448
2,1315
2,1199
2,1098
2,1009
2,093
2,086
2,0796
2,0739
2,0687
2,0639
2,0555
2,0484
2,0423
2,0369
2,0322
2,0281
2,0244
2,0211
2,0181
2,0154
2,0129
2,0106
2,0086
2,0003
1,9944
1,9901
1,9867
1,984
1,9759
0,9
6,3137
2,92
2,3534
2,1318
2,015
1,9432
1,8946
1,8595
1,8331
1,8125
1,7959
1,7823
1,7709
1,7613
1,7531
1,7459
1,7396
1,7341
1,7291
1,7247
1,7207
1,7171
1,7139
1,7109
1,7056
1,7011
1,6973
1,6939
1,6909
1,6883
1,686
1,6839
1,682
1,6802
1,6787
1,6772
1,6759
1,6706
1,6669
1,6641
1,662
1,6602
1,6551
0,8
3,0777
1,8856
1,6377
1,5332
1,4759
1,4398
1,4149
1,3968
1,383
1,3722
1,3634
1,3562
1,3502
1,345
1,3406
1,3368
1,3334
1,3304
1,3277
1,3253
1,3232
1,3212
1,3195
1,3178
1,315
1,3125
1,3104
1,3086
1,307
1,3055
1,3042
1,3031
1,302
1,3011
1,3002
1,2994
1,2987
1,2958
1,2938
1,2922
1,291
1,2901
1,2872