РЕШЕНИЯ 8 класс математикаx

8 класс
1.Два брата не дождавшись автобуса, решили пройти пешком до следующей станции.
Пройдя 13 пути, они оглянулись назад и увидели приближающийся к остановке
автобус. Один из братьев побежал назад, а другой с той же скоростью побежал
вперед. Оказалось, что каждый прибежал к своей остановке ровно в тот момент, когда
к ней подошел автобус. Найдите скорость братьев, если скорость автобуса равна 30
км/ч, временем стоянки автобуса на остановке пренебречь.
2.
На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка D, а на стороне
АС — точка F. Оказалось, что СD = DF = FВ = ВА. Кроме того,
известно, что BCA = 20°.
Найдите величину ADF .
3.Найдите сумму
1
1
1
1


 ... 
1  6 2  9 3  12
2008  6027
.
4.Найдите все двузначные числа, которые в два раза больше произведения своих
цифр.
5. Длину каждой стороны квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов
увеличилась площадь квадрата?
Решение 8 класс
1.Предположим что брат, который бежал назад, побежит с той же скоростью вперед.
Тогда в тот момент, когда автобус прибудет на предпоследнюю станцию, ему будет
оставаться бежать
1
пути до станции следующей. И, следовательно, он пробежит это
3
расстояние за то же время, за которое автобус проедет в три раза большее
расстояние. Следовательно, скорости братьев в три раза меньше скорости автобуса, т.
е. равны 10 км/ч.
2. Ответ: 10°.
Из условия следует, что треугольники FDС, ВFD и АВF равнобедренные.
Поэтому BDF = DCF = BCA=20°.
Тогда BDF = DCF + DFC = 40° (как
внешний
угол
треугольника
FDC).
Следовательно, учитывая, что FBD =
BDF ,
BFD = 180  ( FBD + BDF ) = 100 .
Отсюда AFB = 180° - ( BFD + DFC ) = 180° - 100° - 20° = 60°. Но тогда,
поскольку BAF = AFB = 60°, то ABF = 180  ( BAF + AFB ) = 60°, и, значит,
треугольник ABF равносторонний. Таким образом, АF = ВF = FD, т.е. треугольник АDF
является равнобедренным, откуда
ADF = DAF = 0,5( 180  ( BFA + BFD )) = 0,5( 180  60  100 ) = 10°.
1
1
1
1


 ... 
1  6 2  9 3  12
2008  6027
1
1
2008
(1 
) =
.
3
2009
6027
3.Преобразуем заданную сумму
1
1 1 1 1 1
1
1
(1       ... 

)
3
2 2 3 3 4
2008 2009
2008
Ответ: 6027
.
=
=
1 1
1
1
1
(


 ... 
)
3 1 2 2  3 3  4
2008  2009
=
4. Ответ: такое число единственное и равно 36.
Действительно, должно выполняться равенство 10а + b = 2ab, где а и b — цифры
данного числа. Очевидно, что b - четная цифра. Кроме того, 6 не равно 0, так как в
противном случае и а = 0.
При b = 2 имеем 10а + 2 = 4а, т. е. а = -1/3, что невозможно, так как а — цифра.
При b = 4 имеем 10а + 4 = 8а, т. е. а = -2, что невозможно.
При b = 6 имеем 10а + 6 = 12а, т. е. а = 3, следовательно, искомое число 36.
4 При b = 8 имеем 10а + 8 = 16а, т. е. а = 4/3, что невозможно.
Другие варианты невозможны, следовательно, искомое число единственное и равно
36.
5. Ответ: на 44%.
Пусть х — длина стороны исходного квадрата и его площадь S1=х2. По условию задачи
х + 0,2х = 1,2х — длина стороны квадрата после увеличения на 20 %, тогда S2 = (1,2х)2 =
1,44x2.
Площадь квадрата изменится на S2 – S1, = 1,44x2 - х2 = 0,44x2 квадратных единиц, т. е. на
0,44 • 100 = 44 %.
.