РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра программного обеспечения
Виноградова А.А.
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения,
направления 230400.65 «Информационные системы и технологии»,
профиль подготовки: «Информационные системы и технологии в
административном управлении»,
Тюменский государственный университет
2011
Виноградова А.А. Дискретная математика. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения,
направления 230400.65 «Информационные системы и технологии», профиль
подготовки: «Информационные системы и технологии в административном
управлении». Тюмень. 2011, 13 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Численные
методы
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой программного обеспечения.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Захарова И.Г., д.п.н., профессор.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Виноградова А.А., 2011.
2
1. Пояснительная записка:
1.1.Цели и задачи дисциплины.
Дисциплина «Дискретная математика» обеспечивает приобретение знаний и умений
в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует
фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию логического
мышления.
Задачи дисциплины:
 формирование математической культуры студента;
 фундаментальная подготовка по основным разделам дискретной математики;
 овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего
использования при решении теоретических и прикладных задач.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Дискретная математика» входит в базовую часть цикла
профессиональных дисциплин Федерального государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению
«Информационные системы и технологии». Для изучения и освоения дисциплины нужны
первоначальные знания из курсов математического анализа, алгебры, математической
логики. Знания и умения, практические навыки, приобретенные студентами в результате
изучения дисциплины, будут использоваться при изучении общепрофессиональных и
специальных дисциплин, при выполнении курсовых и дипломных работ.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате изучения дисциплины “Дискретная математика” цикла
профессиональных дисциплин базовой части по направлению подготовки 230400.65
«Информационные системы и технологии» с квалификацией (степенью) “бакалавр” в
соответствии с целями основной образовательной программы и задачами
профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВПО, выпускник должен обладать
следующими компетенциями:

Общекультурными компетенциями:
готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10).
Профессиональными компетенциями:
3

способность разрабатывать средства реализации информационных технологий
(методические, информационные, математические, алгоритмические, технические и
программные) (ПК-12);

готовность использовать математические методы обработки, анализа и синтеза
результатов профессиональных исследований (ПК-26).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:



2.
Знать: основные понятия дискретной математики и свойства математических
объектов, используемых в этих областях, формулировки утверждений, методы их
доказательства, возможные сферы их приложений, основы построения компьютерных
дискретно-математических моделей.
Уметь: решать задачи теоретического и прикладного характера из различных разделов
дискретной математики, доказывать утверждений, строить модели объектом и
понятий.
Владеть:
математическим
аппаратом
дискретной
математики,
методами
доказательства утверждений в этой области, навыками алгоритмизации основных
задач.
Структура и трудоемкость дисциплины.
Таблица 1.
Вид учебной работы
Всего
часов
56
18
38
52
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (экзамен)
Общая трудоемкость 108 час., 3 зач. ед.
3.
Семестры
2
56
18
38
52
зачет
Тематический план.
Таблица 2.
Тематический план
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
недели
семестра
№
4
Итого
часов по
теме
Из них в
интеракт
ивной
форме
Итого
количест
во
баллов
1.
2.
1.
2.
Модуль 1
Элементы теории множеств.
Отношения
Элементы комбинаторики.
Всего
Модуль 2
Методы перечислений
Элементы теории графов
Всего
Модуль 3
Элементы теории кодирования
Элементы теории автоматов
Всего
Итого (часов, баллов) за
семестр:
Из них в интерактивной форме
Самостоятельн
ая работа*
1.
2
3.
2
Практические
занятия*
1
Лекции*
Тема
3
4
5
6
7
8
9
1-2
3-4
5-7
2
2
2
6
4
4
6
14
2
4
10
16
8
10
18
36
3
3
6
12
0-10
0-10
0-10
0-30
8-10
11-16
4
6
10
6
12
18
4
10
14
14
28
42
4
9
13
0-10
0-40
0-50
17-18
19
2
2
18
4
2
6
38
11
11
22
52
17
13
30
108
6
6
12
37
0-10
0-10
0-20
0 – 100
37
Таблица 3.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
№ темы
Устный
опрос
Практические занятия
Т1
0-2
Т2
Т3
Всего
0-2
0-2
0-6
Т1
Т2
0-2
0-2
Письменные
работы
Контрольные
тест
работы
Модуль 1
0-4
0-4
0-4
0-12
Модуль 2
0-4
0-22
5
Итого
количество
баллов
0-4
0-10
0-4
0-4
0-12
0-10
0-10
0-30
0-4
0-16
0-10
0-40
Всего
0-4
Т1
Т2
Всего
Итого за 2
семестр
0-2
0-2
0-4
0-14
0-26
Модуль 3
0-4
0-4
0-8
0-46
0-20
0-50
0-4
0-4
0-8
0-40
0-10
0-10
0-20
0 – 100
Таблица 4.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и
темы
Модуль 1
1.1 Т1.
Элементы
теории
множеств
1.2 Т2.
Отношения
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Конспектирование
материала на
лекционных занятиях
Выполнение
практических заданий.
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Работа с учебной
литературой
Написание
программы
Т3.
Элементы
комбинато
рики
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Т1. Методы
перечислений
Конспектирование материала
2.2 Т2. Элементы
на лекционных занятиях
теории графов
Выполнение заданий
1.3
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Всего по модулю 2:
Модуль 3
6
Работа с
учебной
литератур
ой
Недел
я
семест
ра
Объ Колем
во
часо балло
в
в
1-2
6
0-10
3-4
6
0-10
5-7
8
0-10
20
0-30
8-10
10
0-10
11-16
18
0-40
28
0-50
Написани
е
программ
ы
3.1
3.2
Т1. Элементы
теории
кодирования
Т2. Элементы
теории
автоматов
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Написани
е
программ
ы
17-18
6
0-10
Работа с
учебной
литератур
ой
19
2
0-10
8
56
0-20
0-100
Всего по модулю 3:
ИТОГО за 2 семестр:
4.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
№ п/п
Наименование
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
3.1
3.1
обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Математическая
логика
1.
+
+
+
Теория вероятностей
2.
+
+
Теория автоматов
3
+
+
+
+
4
5.
Вычислительные сети
+
+
+
Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Элементы теории множеств
Множества. Операции над множествами. Алгебра множеств.
Тема 1.2. Отношения
Отношения. Свойства отношений. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.
Матрицы бинарных отношений.
Тема 1.3. Элементы комбинаторики
Размещения. Перестановки. Сочетания. Размещения с повторениями. Перестановки с
повторениями. Сочетания с повторениями. Общие правила комбинаторики.
Модуль 2.
Тема 2.1. Методы перечислений
7
Методы включений и исключений. Бином Ньютона. Разбиения и полиномиальная
формула. Числа Каталана. Числа Стирлинга и их свойства. Рекуррентные соотношения.
Производящие функции. Числа Фибоначчи.
Тема 2.2. Элементы теории графов
Основные понятия теории графов. Виды графов. Маршруты, достижимость,
связность. Операции на графах. Матрицы графов. Реберная и вершинная связность.
Неравенства Уитни-Харари. Деревья. Задачи о кратчайших расстояниях на графах.
Потоки и сети. Задача о максимальном потоке в сети. Планарные графы. Эйлеровы и
гамильтоновы графы. Задача коммивояжера. Раскраска графов. Теорема Холлла и ее
применение.
Модуль 3.
Тема 3.1. Элементы теории кодирования
Кодирование и декодирование. Помехоустойчивое кодирование. Криптология.
Алфавитное кодирование. Проблема взаимной однозначности. Двоичный алфавит.
Самокорректирующие коды. Коды Хемминга.
Тема 3.2. Элементы теории автоматов
Понятие и способы задания конечного автомата. Каноническое уравнения
автомата.
6.
Планы семинарских занятий.
Не планируется.
7.
Темы практических занятий (Практикум).
Тема 1.1 Множества. Операции над множествами. Алгебра множеств.
Тема 1.2 Отношения. Свойства отношений.
Отношение порядка. Матрицы бинарных отношений.
Отношение
эквивалентности.
Тема 1.3
Размещения. Перестановки. Сочетания. Размещения с повторениями. Перестановки с
повторениями. Сочетания с повторениями. Общие правила комбинаторики.
Тема 2.1. Методы включений и исключений. Бином Ньютона. Разбиения и
полиномиальная формула. Числа Каталана. Числа Стирлинга и их свойства. Рекуррентные
соотношения. Производящие функции. Числа Фибоначчи.
Тема 2.2. Основные понятия теории графов. Виды графов. Маршруты,
достижимость, связность. Операции на графах. Матрицы графов. Реберная и вершинная
связность. Неравенства Уитни-Харари. Деревья. Задачи о кратчайших расстояниях на
графах. Потоки и сети. Задача о максимальном потоке в сети. Планарные графы.
8
Эйлеровы и гамильтоновы графы. Задача коммивояжера. Раскраска графов. Теорема
Холлла и ее применение.
Тема 3.1. Кодирование и декодирование. Помехоустойчивое кодирование.
Криптология. Алфавитное кодирование. Проблема взаимной однозначности. Двоичный
алфавит. Самокорректирующие коды. Коды Хемминга.
Тема 3.2. Понятие и способы задания конечного автомата. Каноническое уравнения
автомата.
8.
Примерная тематика курсовых работ
Не планируются.
9.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Контроль качества подготовки осуществляется путем проверки теоретических
знаний и практических навыков с использованием
a) Текущей аттестации:
проверка промежуточных контрольных работ и прием практических
заданий,
b) Промежуточной аттестации:
тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины.
экзамен в конце 3 семестра (к экзамену допускаются студенты после сдачи
всех практических заданий, решения всех задач контрольных работ и
выполнения самостоятельной работы).
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
Пример практического задания в 3 семестре
1. Найти коэффициент при
x150 в разложении выражения  2  x 5  x 7 


32
по
полиномиальной формуле, полученной после раскрытия скобок и приведения
подобных членов.
2. Найти наибольший член разложения бинома
3. Найти
общее
решение

рекуррентного
7  2,7
18 .
соотношения
5-го
порядка
f n  5  0  f n  4  19  f n  3  34  f n  2  12  f n  1  40  f n .
9
4. Найти
x
n 4
общий
 5 x
5. Найти
n3
вид
 30  x
общее
решения
n 2
рекуррентного
 50  x
решение
n1
соотношения
4-го
порядка
 36  xn  0 , если x  0 .
0
рекуррентного
соотношения
4-го
f n  4  5  f n  3  12  f n  2  44  f n  1  80  f n
с
порядка
заданными
начальными условиями f 0  4, f 1  4, f 2  36, f 3  16 .
Вопросы к экзамену
1. Множества. Способы задания множеств. Основные операции над множествами.
2. Доказательство основных законов алгебры множеств. Принцип двойственности.
3. Взаимно-однозначное соответствие. Эквивалентные множества. Мощность множеств.
4. Счётные множества. Мощность континуума. Теоремы о счётных множествах.
5. Доказать, что множество рациональных чисел счётно. Доказать, что множество
действительных чисел несчётно.
6. Отображение. Виды отображений. Подстановки.
7. Теорема
об
отображениях.
Правило
равенства.
Правило
суммы.
Правило
произведения.
8. n-местное отношение. Бинарное отношение. Способы задания бинарного отношения
на конечном множестве. Виды бинарных отношений.
9. Основные свойства матриц бинарных отношений.
10. Отношения эквивалентности. Основное свойство классов эквивалентности. Ранг
отношения. Класс вычетов.
11. Отношения толерантности. Отношения частичного порядка. Линейный порядок.
12. Соединение. Соединение с повторением. Соединение без повторения. Перестановка.
Количество
перестановок.
Размещение.
Количество
размещений.
Сочетания.
Количество сочетаний. Основные свойства сочетаний.
13. Метод включений и исключений. Формула включений-исключений. Задача о
беспорядках.
14. Бином Ньютона.
15. Треугольник Паскаля.
16. Полиномиальная формула.
17. Формальный степенной ряд. Производящая функция. Равенство формальных
степенных рядов. Сложение и вычитание формальных степенных рядов. Умножение и
деление формальных степенных рядов.
10
18. Рекуррентное соотношение. Возвратная последовательность. Характеристический
многочлен. Общее решение рекуррентного соотношения. Теорема о рекуррентных
соотношениях.
19. Граф. Ориентированный граф. Неориентированный граф. Смежность и инцидентность.
Способы задания графа. Матрицы графа. Степени вершины.
20. Подграф. Часть графа. Виды графов. Изоморфизм графов. Теорема об изоморфизме
графов.
21. Маршруты
в
ориентированных
и
неориентированных
графах.
Связность.
Достижимость.
22. Дерево. Основные свойства деревьев. Ориентированное дерево. Бинарные деревья.
Остов.
23. Задача о построении кратчайшего остовного дерева. Алгоритм Прима. Проблема
Штейнера.
24. Задача о построении дерева кратчайших расстояний. Алгоритм Дейкстры.
25. Задача о построении матрицы кратчайших расстояний. Алгоритм Флойда.
26. Сеть. Поток в сети. Задача о максимальном потоке в сети. Разрез.
27. Доказать теорему Форда – Фалкерсона.
28. Остаточная пропускная способность. Остаточная сеть. Алгоритм Форда – Фалкерсона
нахождения максимального потока.
29. Геометрическая реализация графа. Теорема о реализации конечного графа в
трёхмерном евклидовом пространстве.
30. Планарный граф. Грань графа. Доказать формулу Эйлера для планарных графов.
31. Доказать, что граф К5 не планарен. Доказать, что граф К3,3 не планарен.
32. Независимое множество вершин графа. Вершинная раскраска. Правильная раскраска.
Хроматическое число графа. Доказать теорему о 5 красках.
33. Эйлеров путь. Эйлеров граф. Алгоритм построения эйлерова пути в эйлеровом графе.
Критерий эйлеровости графов.
34. Гамильтонов граф. Теорема Дирака.
35. Задача коммивояжёра. Метод ветвей и границ.
10.
Образовательные технологии.
Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций,
практических работ и проведение контрольных мероприятий (контрольных работ,
промежуточного тестирования, экзамена).
11
аудиторные занятия:
лекционные и практические занятия; на практических занятиях контроль
осуществляется при сдаче набора заданий. В течение семестра студенты
выполняют задачи, указанные преподавателем к каждому занятию.
активные и интерактивные формы
моделирование и анализ результатов при выполнении самостоятельных
работ;
внеаудиторные занятия:
выполнение дополнительных заданий разного типа и уровня сложности
при выполнении практических работ, подготовка к аудиторным
занятиям, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в
соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов.
Подготовка индивидуальных заданий: выполнение самостоятельных и
контрольных работ, подготовка ко всем видам контрольных испытаний:
текущему контролю успеваемости и промежуточной аттестации;
индивидуальные консультации.
11.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
11.1
Основная литература:
1.
Виленкин Н. Комбинаторика. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.
2.
Тишин В.В. Дискретная математика в примерах и задачах. – СПб.:БХВПетербург, 2008.
3.
Судоплатов С., Овчинникова Е. Элементы дискретной математики. -М.:
ИНФРА-М, Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002.
4.
Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. М.: Техносфера, 2005.
11.2. Дополнительная литература:
1. Брауэр В. Введение в теорию конечных автоматов, М., Наука, 1987 г.
2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной
математики М., 1992.
3. Капитонова Ю.В. и др. Лекции по дискретной математике. СПб.: БХВ-Петербург,
2004.
4. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,
1990.
5. Липский В. Комбинаторика для программистов, М.: Мир, 1988.
12
6. Носов В. А. Специальные главы дискретной математики. Учебное пособие. М.,
Наука, 1990.
7. Носов В.А. Основы комбинаторной теории для инженеров, М.: Мир, 1990.
8. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.
12.
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий нужны учебные
аудитории, оснащённые мультимедийным оборудованием, для выполнения практических
работ необходимы обычные классы.
13