Методика обучения решению комбинаторных задач

Муниципальное учреждение «Информационно – методический центр» исполнительного комитета
Мамадышского муниципального района Республики Татарстан
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Катмышская средняя
общеобразовательная школа»Мамадышского муниципального района Республики Татарстан
Учебно-методическое пособие
«Методика обучения решению комбинаторных задач и формирование
первичного представления о вероятности в 5-6 классах»
Мамадыш – 2012
Печатается по решению методического совета муниципального бюджетного
общеобразовательного учреждения «Катмышская средняя общеобразовательная школа»
Автор – составитель: Яхина З.Г., учитель математики второй квалификационной
категории МБОУ «Катмышская СОШ»
Рецензент:Мухамадеева Ю.С., методист МУ “ИМЦ”
Мамадышского муниципального района РТ
Данная методическая разработка лишь один из вариантов реализации стохастической
линии в курсе основной школы. По данной теме сейчас активно ведется работа по всем
направлениям, так как на данный момент осталось еще немало нерешенных проблем
связанных с реализацией этой линии в основной школе.
Данная работа может быть рекомендована для практического использования, как на
уроках, так и на факультативных и кружковых занятиях для учащихся 5-6 классов
общеобразовательных учреждений.
Содержание
1. Введение
2. Анализ вероятностно-статистической линии в учебной литературе
3. Методика реализации стохастической линии в 5 классе
4. Методика реализации стохастической линии в 6 классе
5. Приложение
а) Сборник основных правил комбинаторики и упражнений
для их применения
б) Литература
в) Рецензия
1стр.
1-3 стр.
3-12 стр.
12 – 20 стр.
20 – 39 стр.
40 стр.
41-42 стр.
Введение
На современном этапе развития общества, когда в нашу жизнь стремительно вошли
референдумы и социологические опросы, кредиты и страховые полисы, разнообразные
банковские начисления и т.п., становится очевидной актуальность включения в школьный
курс математики материала вероятностно-статистического характера.
Данная тема актуальна для наших детей в связи с тем, что современные школьники стали
более развиты и им требуются не просто задачи на вычисление, а задачи, требующие в
своем решении участия логического мышления, а также задачи, наиболее приближенные к
жизненным ситуациям. Такими задачами и являются задачи на комбинаторику и
вероятность. Методы обучения решению таких задач дает возможность выбора наиболее
оптимального метода для преподавания в школе. Тема интересна потому, что таких задач
в школьной программе 5-6 классов не много, но и их решение можно свести к игре,
интересной детям. Современные стандарты и программы математического образования в
основной школе предполагают пропедевтику основных понятий, знакомство на
наглядном, интуитивном уровне с вероятностно-статистическими закономерностями в 5-6
классах.
Следует отметить, что наиболее подходит для реализации оптимального обучения
школьников 10-11 лет математике учебный комплект под редакцией Г.В Дорофеева, а
также комплект «Арифметика 5-6 класс» под редакцией С.М. Никольского. Сохранение
интереса к изучению математики при использовании новых комплектов учебников
обеспечивается не только через дополнительные темы, но и через достаточное количество
занимательных задач.
Занимательные задачи — инструмент для развития мышления, ведущего к формированию
творческой
деятельности
школьника.
К
таким
задачам
относятся
задачи
«на
соображение», «на догадку», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи,
творческие задачи.
Для решения занимательных задач характерен процесс поисковых проб. Появление
догадки свидетельствует о развитии у детей таких качеств умственной деятельности как
смекалка и сообразительность. Смекалка – это особый вид проявления творчества. Она
выражается в результате анализа, сравнений, обобщений, установления связей, аналогий,
выводов, умозаключений.
Анализ вероятностно-статистической линии в учебной литературе.
При введении любой новой темы, любого нового вопроса в основной курс школы встает
проблема изложения данного вопроса в школьных учебниках.
К реализации нового содержания в действующих учебниках авторы подошли по-разному.
Например:
«Математика 5», «Математика 6»
Под редакцией Г.В Дорофеева и И.Ф Шарыгина[ 6;7]
5 класс начинается с комбинаторики, где на конкретных задачах и примерах
рассматривается решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов.
Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов.
Примеры и задачи очень простые, позволяющие на этапе знакомства с комбинаторными
задачами, усвоить принцип простого, упорядоченного перебора возможных вариантов.
В
пункте
«Случайные
события»
рассматривается
понятие
случайное
событие,
достоверные, невозможные и равновероятные события. Тут же приводятся реальные,
понятные примеры, позволяющие учащимся лучше усвоить эти понятия.
В последней главе учебника рассматриваются таблицы и диаграммы (как способ
представления информации). Учащихся учат пользоваться таблицей, извлекать из нее и
анализировать необходимую информацию, также учат самих строить таблицы. В пятом
классе рассматриваются столбчатые диаграммы, в одной из задач рассмотрена круговая
диаграмма. Также рассматривается пункт
«Опрос общественного мнения», где
составление таблиц по данным опроса позволяет решить те или иные классные вопросы,
возникающие в реальной жизни
6 класс начинаем с повторения таблиц и диаграмм. Повторяют уже изученные столбчатые
диаграммы и более подробно рассматривают круговые (для представления соотношения
между частями целого).
Далее идут 2 параграфа по комбинаторике: логика перебора и правило умножения. Здесь
рассматриваются задачи, которые решаются уже известным им способом перебора и
предлагается
упростить
его,
используя,
так
называемое
кодирование.
Также
рассматривается новый способ решения комбинаторных задач с помощью правила
умножения.
Завершается
учебник
главой
-
«вероятность
случайных
событий».
«Математика 5», «Математика 6». [ 1;2]
Под редакцией Зубарева И.И., Мордкович А.Г.
В 5 классе последняя глава «введение в вероятность» содержит 2 параграфа. В одном
параграфе рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события. И даны
задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное).
Во втором параграфе рассматриваются комбинаторные задачи, решаемые методом
перебора возможных вариантов.
В 6 классе авторы знакомят с понятием вероятность. Даны упражнения на определение
степени вероятности того или иного события, выполнять которые учащиеся должны с
опорой на интуицию. В следующем пункте вводится классическое определение
вероятности.
Рассматриваются
задачи,
в которых
для
вычисления
вероятности
используют комбинаторное правило умножения.
Некоторые учебные комплекты пополнились дополнительными учебными пособиями,
содержащими материал по вероятностно-статистическойлинии.
Бунимович Е.А., Булычев В.А.
«Вероятность и статистика. 5-9 классы».
Начинается учебник с рассмотрения случайных событий и сравнения их вероятности (что
вероятнее). Затем, опираясь на эксперимент, вводится понятие частоты (тут же
рассматриваются таблицы частот и гистограммы). После чего идет пункт с названием
«Куда стремятся частоты?», где вводится статистическое определение вероятности, а
затем и классическое.
В пункте «вероятность и комбинаторика», рассматриваются правило умножения, правило
вычитания и сочетания и их число. Все эти формулы используются для вычисления
вероятности. А в пункте «точка тоже бывает случайной» речь идет о геометрическом
определении вероятности.
В последнем пункте «сколько изюма в булке и сколько рыб в пруду?» рассматривается
вопрос статистического оценивания и прогнозирования.
Последний пункт имеет практическое значение, так как показывает практическую пользу
из подсчета вероятности. Содержит ряд интересных задач, непосредственно связанных с
реальной жизнью.
Методика реализации стохастической линии в 5 классе.
Основными задачами на этом этапе являются:

Выработка умений и навыков работать с таблицей, извлекать из таблиц
информацию и анализировать ее.

Выработка умений заполнять в таблице пустые графы (строки,
столбцы).

Формирование умений читать диаграммы, извлекать необходимую
информацию.

Формирование
умений
и
навыков
в
составлении,
выборе
и
упорядочении комбинаторных наборов.

Формирование умений подсчета комбинаторных объектов, методом
непосредственного перебора.

Показать, что такое дерево возможных вариантов, его использование
как один из методов решения комбинаторных задач.

Формирование
представления
о
том,
какое
событие
является
достоверным, какое невозможным, и какое событие мы можем назвать случайным.

Формирование у учащихся понимания степени случайности в
различных событиях и явлениях и использование для ее оценки адекватных
вероятностных терминов («достоверно», «маловероятно» и т.д.).
В 5 классе предлагаются простейшие комбинаторные задачи, решая которые должна
вестись либо работа по перебору возможных вариантов, либо по упорядочиванию, либо
их объединение - перебор и упорядочивание вместе. В нашей жизни часто возникают
такие задачи, которые имеют несколько различных решений, и перед нами встает
проблема рассмотреть все возможные варианты решения. Для этого нам нужно найти
удобный способ перебора, при котором будут рассмотрены всевозможные варианты, и
они не повторялись бы.
На
первом
месте
перед
учителем
стоит
задача
по
формированию
навыков
систематического перебора. Начинать нужно с простых задач, где не так много элементов,
важна сама суть перебора всех вариантов.
Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч.
Сколько существует различных вариантов похода на футбол?
Здесь необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков.
После этого можно добавить условие, при котором, решая задачу, учитываем еще и место,
на котором будет сидеть тот или иной мальчик, то есть учитывается порядок элементов в
наборе.
Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е
и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два
места на стадионе? Записать все эти варианты.
Здесь мы можем использовать результаты предыдущей задачи. В ней мы не учитывали
порядок, а теперь необходимо учитывать порядок, на каком месте будет сидеть тот или
иной мальчик. Рассмотрим тот вариант, когда на матч пошли Антон и Борис, в этом
случае возможно два варианта занять места на матче: 1-ое место – Антон, 2-ое место Борис и наоборот 1-ое место Борис, а 2-ое Антон. То есть упорядочить два элемента мы
можем двумя способами. Таким образом, решение предыдущей задачи дало нам два
решения для этой задачи. Аналогично на каждый вариант предыдущей задачи мы
получаем еще один вариант решения, итого 6 вариантов.
Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е
места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти
места?
В данной задаче, как и в предыдущей важно на каких местах сидят мальчики, то есть нам
нужно рассмотреть, сколько существует вариантов рассадить трех мальчиков на три
разных места. Пусть на первом месте сидит Антон, тогда на оставшиеся два места двух
оставшихся мальчиков мы можем усадить двумя способами, аналогично для случаев,
когда на первом месте сидит Борис и Виктор. В результате получим 6 вариантов, то есть
упорядочить 3 элемента мы можем шестью способами.
В предыдущих задачах, не учитывая порядка перебора не сложно перечислить все
возможные варианты, так как их не так много, но часто при переборе возможных
вариантов их может быть столько, что сложно оценить все ли возможные решения мы
учли и не пропустили ли хотя бы одно из них. В этом случае необходимо упорядочить
процедуру перебора, то есть перебирать возможные варианты в некотором порядке,
определенном заранее, который позволяет не допускать повторений решений и
пропускать возможные решения.
Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3.
Выпишем возможные двузначные числа. Но мы не будем выписывать эти числа, как
попало, а договоримся выписывать их в порядке возрастания, что позволит нам не
пропускать числа и не повторяться. В процессе решения этой задачи может возникнуть
такой вопрос, а может ли одна и та же цифра повторяться в числе два раза? (если не
возникнет, то учитель может сам обратить на это внимание). Так как в данной задаче это
условие не оговорено, то решим ее для обоих случаев, и увидим, что в каждом из них
число решений различно. Из чего делаем вывод, что данное условие при решении задач
необходимо учитывать.
В алфавите племени УАУА имеются только две буквы – «а» и «у». Сколько различных
слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?
В этой задаче одна и та же буква может встречаться в слове как один, так два или три раза.
И нужно рассмотреть все варианты.
Заметим, что очень удобно процесс перебора осуществлять путем построения
специальной схемы, которая называется дерево возможных вариантов. Рассмотрим
построение дерева возможных вариантов для данной задачи: сначала нужно выбрать
первую букву – это могут быть буквы «а» или «у», поэтому в «дереве» из корня проведем
две веточки с буквами «а» и «у» на концах. Вторая буква может быть опять как «а» так и
«у», поэтому из каждой веточки выходит еще по две веточки и т.д.
*
а
у
а
а
у
у
а
а
у
а
у
у
а
у
Теперь, проходя по веточкам дерева, по порядку выписываем нужные нам сочетания букв
- «слова»:
ааа; аау; ауа; ауу; уаа; уау; ууа; ууу.
Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать повторений.
Нужно обратить внимание, что дерево возможных вариантов позволяет нам подсчитывать
упорядоченные наборы
В 5«А» классе в среду 4 урока: математика, информатика, русский язык, английский
язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?
В данной задаче у нас имеется 4 предмета и необходимо выписать возможные варианты
расписания на один день, учитывая те условия, что каждый урок должен обязательно
присутствовать в расписании, и встречаться там всего один раз (для упрощения записи
предлагается каждый предмет обозначит его заглавной буквой). Таким образом, нам
необходимо подсчитать сколькими способами мы можем упорядочить 4 элемента. Пусть
первым будет урок математики, тогда оставшиеся 3 предмета, мы можем упорядочить 6ью способами (из ранее рассмотренных задач). Аналогично для оставшихся трех
предметов. Итого получим 24 способа упорядочить 4 предмета.
В 5 классе начинается работа по формированию вероятностных представлений у
учащихся. Сначала рассмотрим понятие случайное событие.
Часто в жизни мы употребляем такие слова, как «возможно», «это невероятно», «это
маловероятно» и т.д. Подобные выражения мы используем, когда говорим о событии,
которое в одних условиях может произойти, а может и не произойти. Такие события
называют случайными.
События,
которые
при
данных
условиях
обязательно
происходит,
называют
достоверным. События, которые при данных условиях не могут произойти, называют
невозможными.
Для отработки данных понятий можно рассмотреть упражнения, в которых нужно
определить является событие достоверным, невозможным или случайным.
Оцените, какие из перечисленных событий являются достоверными, какие
невозможными, а какие случайными и почему вы так считаете:
А) при бросании кубика вы получите шестерку;
Б) при бросании кубика вы получите число больше 6;
В) при бросании кубика вы получите четное число;
Г) при бросании кубика вы получите число, которое делится на 7
Д) при бросании кубика вы получите число больше 1;
Е) при бросании кубика вы получите нечетное число;
Ж) кубик, упав, останется на ребре.
В мешке лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Какие из следующих событий
являются случайными, достоверными и невозможными и почему вы так считаете:
А) из мешка вынули 4 шара и все они синие;
Б) из мешка вынули 4 шара и все они красные;
В) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;
Г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета;
Ученик
задумал
натуральное
число.
Какие
из
следующих
событий
будут
достоверными, невозможными и случайными и почему вы так считаете.
А) Задумано четное число;
Б) Задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным;
В) Задумано нечетное число;
Г) задумано число, являющееся четным или не четным.
СобытияА иВ являются случайными, так как может быть загадано как четное, так и
нечетное число. Возникает вопрос, какое из событий более вероятно: задумано четное
число или задумано нечетное число. Так как чисел четных и нечетных одинаковое
количество, то оба эти события имеют равные шансы. Такие события называются
равновероятными.
Также о некоторых случайных событиях мы можем сказать, что оно «маловероятно» или
«очень вероятно».
Укажите, какие из следующих событий – невозможные, достоверные, случайные, а о
каких мы можем сказать, что оно «маловероятно» или «очень вероятно»:
1)футбольный матч «Спартак» - «Динамо» закончится вничью.
2)вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее.
3)в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце.
4)завтра будет контрольная по математике.
5)Вы получите «5» за контрольную работу по математике
6)30
февраля будет дождь.
7)вас изберут президентом США.
8)вас изберут президентом России.
9)круглая отличница получит двойку
10)на день рождения вам подарят живого крокодила
Если в предыдущих задачах ответы на вопросы однозначны, то здесь ответ зависит от
ситуации, от того, когда и кому задан вопрос. Например, о достоверности события 4 мы
можем говорить, в зависимости от дня, когда задан вопрос, если на следующий день
действительно будет контрольная по математике, то это событие достоверно. При ответе
на 5 вопрос учащийся, который учится на отлично и уверенный в своих силах и в этой
контрольной, с уверенностью скажет, что это событие для него является достоверным. В
то время как очень слабый учащийся, которому очень тяжело дается математика, в свою
очередь может дать ответ, что для него событие является невозможным. Событие 9
является очень маловероятным, но, тем не менее, возможным, так как даже отличницы не
застрахованы от двоек. Здесь важна роль учителя, который должен оценивать
правильность тех или иных ответов, и обращать внимание, что на одни и те же вопросы
разные учащиеся могут дать разные ответы, и каждый будет прав.
Важно уже в 5 классе давать учащимся задачи следующего плана:
Данила и Наташа заспорили, кто из них будет первым читать интересную книгу.
Тогда Наташа предложила сыграть в игру и книгу отдать победителю. Они взяли
вертушку, которая изображена на рис.1,
и установили следующие правила игры: каждый из них
1
3
поочередно крутит вертушку; если стрелка останавливается в
2
области 1, то 1 очко получает Наташа, а если – в области 2, то 1
Рис.1
очко получает Данила. Если стрелка попадает в область 3, то никто из ребят не
получает очков. Кто первым наберет 20 очков, тот считается победителем и
получает книгу. Как вы думаете, при таких правилах игра будет справедливой?
Учащиеся еще не знакомы с понятием вероятность и при ответе на вопрос должны
опираться на свою интуицию. Они должны понимать, что у Наташи больше шансов
выиграть, чем у Данилы, так как область 1 в два раза больше, чем область 2, и больше
вероятности, что вертушка остановится в области 2.
Очень важным элементом стохастики является анализ данных и начальным этапом
анализа данных является работа с таблицами и диаграммами, которую необходимо
начинать в 5 классе. Начинать рассмотрение таблиц нужно с рассмотрения уже известных
учащимся таблиц, в частности: страница классного журнала, расписание уроков и т.п. С
такими таблицами учащиеся чаще всего уже уметь работать и извлекать из нее всю
необходимую им информацию.
Рассмотрим расписание уроков. Учащиеся уже наверняка умеют им пользоваться,
извлекать из него необходимую информацию. Из расписания можно узнать, в каком
кабинете будет проходить нужный урок, определить количество уроков в день.
Рассмотрим такую ситуацию: Оля – учится в 5-А классе, а ее подружка из соседнего дома
в 5-Б классе, нужно узнать, по каким дням они могут вместе возвращаться домой. Имея
перед собой расписание, можно быстро определить такие дни.
Часто в таблице для анализа информации необходимо бывает просуммировать
содержащиеся в ней данные. Поэтому часто в таблицу включен столбик или строка
«Всего» или «Итого», которые содержат полученные суммы.
В таблице№1 представлены результаты наблюдений за погодой в течение четырех
месяцев.
Таблица №1.
Погода
Месяцы
Декабрь
Январь
Всего
Февраль
Март
Ясно
5
9
7
10
Пасмурно
19
10
15
10
Переменная
7
12
6
11
облачность
Заполните последний столбец.
Используя таблицу, ответьте на следующие вопросы:
1)в каком месяце было больше всего ясных дней?
2)В каких месяцах было одинаковое число пасмурных дней?
3)Сколько всего пасмурных дней было за четыре месяца
4)Сколько ясных дней было за всю зиму?
5)Какая погода преобладала в феврале?
Здесь и работа со строками и со столбцами, и подсчет суммы нескольких ячеек.
Часто приходится пользоваться не только готовыми таблицами, но и составлять их
самим. Рассмотрим следующий пример.
Старосте класса поручили выяснить, как добираются до школы ее одноклассники.
Она опросила всех учащихся и представила данные в виде таблицы:
Средство передвижения
Подсчет голосов
Число учащихся
Пешком
/////
На автобусе
///// ///
8
На велосипеде
/////
4
/////
//
12
Всего
24
Из таблицы видно, что староста опросила 24 ученика и половина из них добирается до
школы пешком, а треть – на автобусе.
Рассмотрим
пример,
показывающий
практическую
ценность
сбора
и
анализа
статистических данных.
Вы решили в свободное время собраться классом и организовать некоторое классное
мероприятие, но еще не решили, что именно. Было бы целесообразным учесть мнение
большинства учащихся класса, а для этого нужно провести опрос: «Как бы вы
хотели провести свободное время классом?»
и предложить варианты ответов.
Результаты нужно занести в таблицу.
Например, получили следующие результаты:
Таблица №2.
Сходить в кино
/////
5
Сходить в поход
//////////
10
Устроить дискотеку
////
4
Сходить в планетарий
//
2
Рассматривая эту таблицу, мы делаем вывод, что лучше всего будет сходить в поход, так
как большинством учащихся класса был выбран именно этот вариант.
Таблица является одним из способов представления информации, но более наглядным
является графическое представление данных.
Это различные диаграммы: линейные,
столбчатые и круговые.
Построим столбчатую диаграмму по нашей таблице:
12
10
8
6
4
устроить
дискотеку
сходить в
поход
0
сходить в
планетарий
2
сходить в
кино
количество учащихся
Диаграмма №1
По диаграмме мы сразу видим, что большинство учащихся хочет сходить в поход. И лишь
два человека желают посетить планетарий.
Для представления соотношения между частями некоторого единого целого, удобно
пользоваться круговыми диаграммами. Для нашего примера она будет выглядеть
следующим образом:
диаграмма №2
сходить в
кино
2
5
сходить в
поход
4
устроить
дискотеку
сходить в
планетарий
10
В 5 классе учащиеся должны уметь читать диаграммы. Для отработки таких умений
нужно рассматривать задания следующего типа.
Используя диаграмму №3, ответьте на вопросы:
1)В каком месяце в селе родилось больше всего детей?
2)В каком месяце родилось столько же детей, сколько в апреле?
3)В какие месяцы родилось по два ребенка?
4)Сколько детей родилось в марте?
5)Сколько детей родилось за первую половину года?
6)Сколько детей родилось за весь год?
Диаграмма №3
Рождаемость детей в селе Троицком
6
4
3
2
1
Ав
г
С
ен
О
кт
Н
оя
Де
к
нв
.
Ф
ев
М
ар
Ап
р
М
ай
И
ю
н
И
ю
л
0
Я
число детей
5
Методика реализации стохастической линии в 6 классе.
Основные задачи:

Отработка умений и навыков в составлении и подсчете числа
комбинаторных наборов.

Показать учащимся как можно решать комбинаторные задачи с
помощью рассуждений. Познакомить учащихся с правилом умножения при подсчете
числа возможных вариантов, сформировать умения по его применению.

Познакомить с правилом суммы

Формирование умений строить дерево возможных вариантов.

Формирование умений сравнения вероятностей разных событий
(более вероятно, менее вероятно)

Познакомить с понятиями статистической частоты и вероятности, с
методом оценки вероятности через статистические испытания.
В 6 классе в теме комбинаторика продолжаем рассматривать комбинаторные задачи, на
первый план выходят задачи по подсчету числа возможных вариантов.
Существует
несколько
множественный,
подходов
к
лексико-графический
преподаванию
и
комбинаторики:
теоретико-вероятностный.
теоретикоВ
школе
преимущество отдается теоретико-множественному подходу, но будет полезным частично
обратиться и к лексикографическому подходу. При таком подходе все определения
опираются на представление об алфавите, словах, длине слов и др.
Решая задачи, иногда очень удобно использовать кодирование, то есть обращение к
лексикографическому подходу.
Рассмотрим следующую задачу:несколько стран решили использовать для своего
государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой
ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать
такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг.
Мы можем записывать наше решение следующим образом : «1 вариант: первая полоса –
красная, вторая – синяя, третья – белая.» и т.д. Но это очень долго и не удобно, записывая
так, сложно сориентироваться все ли варианты мы записали, и не повторились ли мы гденибудь. Поэтому очень удобно ввести кодирование, т.е. некоторое условное обозначение
перебираемых в задаче объектов. В нашем случае мы заменим первой буквой каждый цвет
полосы. Белый соответственно – «Б», красный – «К» и синий – «С».
Введя кодирование, запись решения задачи очень упрощается. Мы имеем множество из
трех элементов {Б, К, С}. Нужно составить различные комбинации из трех элементов, при
этом порядок элементов учитывается. Например, запись «БКС» будет обозначать, что
первая полоса флага – белая, вторая – красная, третья – синяя. Подобные задачи мы уже
решали методом непосредственного перебора и построением дерева возможных
вариантов.
При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано
рукопожатий?
Данную задачу можно решать методом непосредственного перебора, и уже в самом
начале заметим, что довольно сложно перебирать все возможные варианты и не
запутаться, не говоря уже о записи решения этой задачи. Но, введя
определенные
обозначения - кодирование, решение будет очень легко представить
Каждому приятелю даем номер от 1 до 8, а рукопожатия закодируем следующим образом:
например число 24 означает что 2-ой приятель пожал руку 4-му. При чем число 35 и 53
означают одно и тоже рукопожатие, и брать будем меньшее из них. Коды рукопожатий
мы можем оформить следующей таблицей:
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
23, 24, 25, 26, 27, 28,
34, 35, 36, 37, 38,
45, 46, 47, 48,
56, 57, 58,
67, 68,
78.
Таким образом, у нас получилось 1+2+3+4+5+6+7=28 рукопожатий.
После того как учащиеся научились составлять всевозможные наборы, на первый план
выдвигается задача подсчета числа возможных вариантов.
Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово –
Власово – Грибово. Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти
пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах.
Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти
пешком. Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы? Сколько
вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из
участков маршрута они должны использовать велосипеды?
Построим для этой задачи дерево возможных вариантов:
Пусть у нас «П»-обозначает путь пешком
«Р» - сплавиться по реке
«В» - доехать на велосипедах.
*
Из Антоново в
Борисово
П
Из Борисово во
Власово
Из Власово в
Грибово
Р
П
Р
В
В
П
Р
П
В
П
Р
В
В
П
Р
В
П
Ответ на второй вопрос также хорошо просматривается по дереву возможных вариантов.
Но эту задачу можно решить по-другому, с помощью рассуждений. Из Антоново в
Борисово у нас 2 варианта каким образом продолжать путь, из Борисово во Власово тоже
2 варианта, т.е. на каждый вариант первого участка пути у нас есть по 2 варианта второго
участка пути и того на данном этапе у нас будет 2*2=4 варианта выбора способа
передвижения.На каждый из этих 4 вариантов существует по 3 варианта способа
передвижения по третьему участку пути из Власово в Грибова, т.е. 4*3=12. Ответ в этой
задаче мы получили умножением.
Такой способ подсчета называется правилом умножения, он возможен, если дерево
возможных вариантов является «правильным»: из каждого узла выходит одно и тоже
число веток.
От турбазы к горному озеру ведут 4 тропы. Сколькими способами туристы могут
отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по
которой поднимались?
Занумеруем тропы числами от 1 до 4 и построим дерево возможных вариантов:
Чтоб подняться у нас есть 4 тропы (4 варианта) и на каждый из них есть по 3 оставшихся
*
1
Подъем
Спуск
2
3
2
4
1
3
3
4
1
2
4
4
1
2
тропы (3 варианта), чтоб спуститься, т.е. 4*3=12 маршрутов подхода к озеру. А теперь
представим, что к озеру ведут не 4, а 10 троп. Сколько в этом случае существует
маршрутов, если по-прежнему решено спускаться не по той тропе, по которой
поднимались. Изобразить дерево возможных вариантов в такой ситуации очень сложно.
Гораздо легче решить эту задачу с помощью рассуждений. Подняться к озеру можно по
3
любой из 10 троп, а спускаться по любой из оставшихся 9 троп. Таким образом, всего
получим 10*9=90 различных маршрутов похода.
Обе эти задачи мы решили, используя правило умножения, которое звучит следующим
образом: пусть необходимо выполнить к независимых действий, если первое действие мы
можем выполнить п1 способами, после чего второе действие можем выполнить п2
способами и т.д. до k-го действия, которое можно выполнить пkспособами, тогда
выполнить все k действия в указанном порядке можно п1∙ п2∙…∙ пk способами. Обратить
внимание, что, применяя правило умножения, мы учитываем порядок действий. То есть
правило умножения применяется для подсчета упорядоченных наборов.
Рассмотрим две задачи:
1) Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать
капитана команды для математических соревнований и его заместителя?
На роль капитана может быть выбран любой из 30 учащихся, а его заместитель – любой из
29 оставшихся учеников. Таким образом, получаем 30∙29 = 870 способов.
2) Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать
двоих для участия в математической олимпиаде?
Нам не важно, кто капитан, а кто заместитель, нам нужны всего лишь два участника,
поэтому получаем, что у нас каждая пара учащихся в произведении повторяется два раза.
Поэтому ответом для второй задачи будет (30∙29):2.
Еще одним способом подсчета комбинаторных наборов является использование правила
суммы.
Из класса нужно выделить одного дежурного, мальчика или девочку. Сколько
существует способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков?
Выбрать одну девочку из 22 мы можем 22-мя способами, а одного мальчика из 18 можно
18-тью способами. Тогда выбрать одного дежурного мальчика или девочку можно (18+22)
способами.
Для подсчета вариантов мы использовали здесь правило суммы, которое можно
сформулировать так: если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из
них можно выполнить пспособами, а другое – mспособами, то какое-либо одно из них
можно выполнить n+m способами. В нашем примере действия исключают друг друга, так
как мы должны выбрать либо мальчика из одного множества, либо девочку из другого.
В 6 классе продолжаем вероятностную линию. Начинаем с повторения, что такое
случайное событие,
определение его достоверности
(невозможное, достоверное,
маловероятное). Новой задачей становится формирование умения оценивать вероятности
двух и более событий (более или менее вероятно).
Полезно рассматривать задачи, в которых при ответе на вопросы необходимо опираться
на свою интуицию. Можно рассматривать реальные жизненные ситуации, чтоб учащиеся
видели непосредственную связь изучаемого с действительностью.
Вы купили в магазине телевизор, на который фирма-производитель дает два года
гарантии. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:
А) телевизор не сломается в течении года.
Б) телевизор не сломается в течении двух лет.
В) в течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора.
Г) телевизор сломается на третий год.
Здесь нужно обратить внимание учащихся, что первые два события случайные, так как,
во-первых, гарантия фирмы производителя вовсе не обозначает, что в течение двух лет
телевизор будет работать идеально, а во-вторых, можно рассмотреть и тот случай, когда
телевизор может сломаться по вине покупателя. Событие Г также является случайным,
так как нельзя говорить, что телевизор обязательно сломается после того, как закончится
срок гарантии.
Хотя оба первых события являются случайными, мы можем говорить о том, что одно из
них более вероятно, а другое менее вероятно. Учащиеся должны осознавать большую или
меньшую вероятность того или события.
Сравните между собой на основе жизненного опыта общения по телефону шансы
следующих случайных событий и определите, какие их них наиболее вероятны.
А) вам никто не позвонит с 5 до 6 утра.
Б) вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра.
В) вам кто-нибудь позвонит с 6 до 9 вечера.
Г) вам никто не позвонит с 6 до 9 вечера.
Здесь нужно учесть индивидуальные особенности, в результате которых для разных
людей возможны различные ответы на поставленные вопросы.
Так, поскольку ранним утром звонки вообще бывают очень редко, у событияБ шансов
крайне мало, оно маловероятное, почти невозможное. Но вот у событияА очень много
шансов, это практически достоверное событие.
Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому
событиеВ для большинства людей вероятней, чем событие Г. Хотя, если человеку вообще
звонят редко, событие Г может оказаться вероятнее события В.
Полезно рассмотреть задачи следующего плана:
1) Вини Пух, Пятачок и все-все-все садятся за круглый
стол праздновать день
рождения. При каком количестве «всех-всех-всех» событие «Вини и Пятачок будут
сидеть рядом» является достоверным, а при каком случайным?
2) В школе учится N учеников. При какихN событие: «В школе есть ученики с
совпадающими днями рождения» является случайным, а при каких – достоверным?
Здесь учащиеся сами должны придумать условие, при которых эти события являются
случайными, а при которых достоверными.
В 6 классе учащимся предлагается качественно новая деятельность для урока математики
– проведение экспериментов. Это могут быть эксперименты с подбрасыванием кубика,
монеты или кнопки. Все результаты экспериментов необходимо оформлять в виде таблиц,
которые заполняются по ходу эксперимента.
Для проведения экспериментов учащихся лучше разбить группы по 2-3 человека, один из
которых будет фиксировать результаты эксперимента, а остальные проводить его.
Могут быть предложены следующие задания-эксперименты.
Задание №1. 100 раз подбросить монету и зафиксировать количество выпадений «орла» и
«решки».
Задание №2. 100 раз подбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка
упала острием вниз и количество раз, когда кнопка упала острием вверх.
Задание №3. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число
слов, составленных из 6 букв.
Задание №4. Выберите 7 строк произвольного текста (можно несколько различных
текстов). Подсчитайте сколько раз встречаются в тексте буквы о, е, а, ю.
Результатом должны быть таблицы примерно такого плана:
Таблица №1. «Эксперимент по подбрасыванию монеты».
Событие
Выпал «орел»
Выпала «решка»
Количество выпадений
///// ///// ///// ///// ///// //////////
///// ///// ///// ///// ///
///// ///// ///// ///// ///// //////////
///// //
итого
58
42
После проведения эксперимента, введем понятие частота и вероятность случайного
события. В качестве примера рассмотрим таблицу №1. Для проведенного эксперимента
подсчитаем, какую часть составляет выпадение «орла» от общего числа бросаний монеты,
или, как говорят, подсчитаем частоту. Тоже самое подсчитаем для «решки». Для нашего
случая это будет 0,58 для «орла» и 0,42 для «решки». Можно составить общую таблицу, в
которой будут отражены общие результаты проведенного эксперимента.
После этого
можно обратиться к результатам проведенных ранее экспериментов. Французский
естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в 18 столетии 4040 раз подбрасывал монету – герб
выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале 20 столетия подбрасывал ее 24 000 раз –
герб выпал 12 012 раз. Американские экспериментаторы повторили опыт. При 10 000
подбрасываний герб выпал 4979 раз. Таким образом, опираясь на собственные результаты
и полученные ранее можно заметить, что при подбрасывании монеты частота появления
«орла» примерно равна 0,5. Следовательно, хотя каждый результат подбрасывания
монеты – случайное событие, при многократном повторении эксперимента видна
отчетливая закономерность: при увеличении количества экспериментов значение частоты
сосредотачивается около некоторого числа р. Это число р и будет вероятностью данного
события.
Для нашего примера число 0,5 – это вероятность случайного события «выпадения
«орла». Так как в этих экспериментах «решка» появляется также примерно в половине
случаев, то и вероятность выпадения «решки» равна 0,5.
Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р. Если обозначить
событие «выпадет «орел» буквой А, а событие «выпадет «решка» буквой В, наш результат
можно записать так:
Р(А) = 0,5,
Р(В) = 0,5.
Иногда вероятность выражают в процентах, тогда: Р(А)=50%, Р(В)=50%.
Тот факт, что вероятность появления «орла» равна 0,5, конечно, не означает, что в любой
серии экспериментов «орел» появится ровно в половине случаев. Но если число
экспериментов достаточно велико, мы можем дать прогноз, что «орел» выпадет примерно
в половине случаев.
Таким образом, в каждом из экспериментов подсчитаем частоту рассматриваемых
событий с помощью формулы:
Частота = (число появлений события)/(число экспериментов).
Затем, используя найденную частоту, оценим вероятность рассматриваемых событий.
Кроме экспериментов, рассматриваются задачи с уже известными данными о появлении
некоторого события, и требуется вычислить вероятность этого события.
Известно, что на 100 батареек попадаются 3 бракованные. Какова вероятность
купить бракованную батарейку.
В этой задаче необходимо вычислить вероятность события А: «купить бракованную
батарейку», зная, что из ста случаев, это событие произошло 3 раза. Таким образом,
получаем, что Р(А) = 0,03.
Составляя таблицы с результатами, проведенных экспериментов, учащиеся приобретают
навыки работы со статистическими данными (представление статистических данных и
некоторые выводы из них).
Кроме этого в 6 классе рассматриваются задачи непосредственно направленные на работу
с таблицами (чтение и составление).
Некоторые таблицы бывают очень простые (с ними мы работали в 5 классе), но бывают
таблицы и посложнее. Например, турнирные таблицы, в которых записывается ход
соревнования и его результаты.
Рассмотрим турнирную таблицу, в которой представлены итоги шахматного
турнира с четырьмя участниками:
№
Фамилия
1
2
3
4
0
0
1
½
1
1
Виноградов О.
2
Галкин М.
1
3
Поликарпов С.
1
½
4
Антипов Е.
0
0
Очки
Место
0
1
За победу участник получает 1 очко, за проигрыш – 0, а за ничью -1/2.
По данной таблице могут быть заданы следующие вопросы:
1) сколько партий сыграл каждый участник
2) как сыграл Поликарпов с каждым из участников
3) заполнить последний столбец, сосчитав, сколько очков набрал каждый участник.
4) определить, используя данные в столбце «Очки», как распределились места между
участниками.
Приложение.
Сборник основных правил комбинаторики и упражнений для их применения
Примеры комбинаторных задач
1.
Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов,
Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях.
Сколько существует вариантов выбора такой пары?
Решение: Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем
писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.
Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар
две: ГС, ГФ.
Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая
пара только одна: СФ.
Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже
составлены.
Итак, мы получили 6 пар:
АГ, АС, АФ
ГС, ГФ
СФ,
т.е. 3·2·1=6. значит, существует всего шесть вариантов выбора тренером пары
теннисистов из данной группы.
Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют
перебором возможных вариантов.
Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в
записи числа каждую из них не более одного раза?
При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных вариантов.
Первая 1
3
5
7
цифра
Вторая
цифра
3
5
7
1
5
3 7
3 5
5 7
1
7
1
3
7
1
3
5
Третья
цифра
5
7
7
1
5
3
7
1
7
1
3
3
5
1
5
1
3
Заметим, что ответ на поставленный в примере вопрос можно получить, не выписывая
сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру
трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры
останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя
способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя
способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению
4·3·2 = 24.
Ответ на поставленный в примере 2 вопрос мы нашли, используя так называемое
комбинаторное правило умножения.
Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов.
Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно
выбрать из оставшихся n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число
способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению
n1·n2·n3·…·nk.
Пример 3. Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из
города С до пристани – две дороги (рис. 1). Туристы хотят проехать из города А через
города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?
АВС Пристань Рис. 1
Решение. Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае
они могут проехать из Вв С тремя способами. Значит, имеется 2·3 вариантов маршрута из
А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего
существует 2·3·2, т.е. 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани.
Упражнения в данном пункте направлены на составление различных комбинаций и
подсчет числа возможных вариантов этих комбинаций.
Упражнения
1.В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых блюда:
гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может
заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.
2. Имеется белый хлеб, черный хлеб, сыр, колбаса и варенье. Сколько видов бутербродов
можно приготовить?
3.На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один
плод?
Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин –
четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его,
согласно правилу суммы, можно осуществить 5 + 4 = 9 способами.
4.На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару
плодов, состоящую из яблока и апельсина?
Решение: По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин –
четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе пары (яблоко, апельсин), то ее, согласно
правилу произведения, можно выбрать 5·4=20 способами.
5.Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 7, 4 и 5 при условии, что они
в записи числа не повторяются?
Решение: чтобы записать двузначное число, надо выбрать цифру десятков и цифру
единиц. Согласно условию на месте десятков в записи может быть любая из цифр 7, 4 и 5.
другими словами, выбрать цифру десятков можно тремя способами. После того, как
цифра десятков определена, для выбора цифры единиц остается две возможности, цифры
в записи числа не должны повторяться. Так как любое двузначное число – это
упорядоченная пара, состоящая из цифр десятков и цифр единиц, то ее выбор, согласно
правилу произведения, можно осуществить 3·2=6 способами.
6.Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?
Решение: в данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры в записи
этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно
выбрать тремя способами каждую. Поскольку запись трехзначного числа представляет
собой упорядоченный набор из трех элементов, то, согласно правилу произведения, его
выбор можно осуществить 3·3·3=27 способами.
7.Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?
Решение: Запись четырехзначного числа представляет собой упорядоченный набор
(кортеж) из четырех цифр. Первую цифру – цифру тысяч можно выбрать только одним
способом, так как запись числа не может начинаться с нуля. Цифрой сотен может быть
либо ноль, либо три, т.е. имеется два способа выбора. Цифру десятков можно выбрать
двумя способами, цифру единиц – двумя. Чтобы узнать, сколько всего четырехзначных
чисел можно составить из цифр 0 и 3, согласно правилу произведения, способы выбора
каждой цифры надо перемножить: 1·2·2·2=8. таким образом, имеем 8 четырехзначных
чисел.
8.Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если
каждая из них может быть использована в записи только один раз?
Решение:Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру сотен можно
выбрать пятью способами; выбор можно также осуществить пятью способами, поскольку
цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести цифр будет уже
использована для записи сотен; после выбора двух цифр (для записи сотен и десятков)
выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда, по правилу
произведения, получаем, что трехзначных чисел можно образовать 5·5·4 = 100 способами.
9.У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них
пригласить в кино укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких
вариантов?
10.Сколько можно составить пар, выбирая:
а) первый предмет из 4, а второй из 8;
б) первый предмет из 6, а второй из 3;
в) первый предмет из 15, а второй из 12;
11.В школе есть все классы с 1 по 11. каждый из них имеет дополнительную букву «а»,
«б», «в», «г» или «д».сколько всего классов в этой школе?
12.На каждом барабане игрального автомата изображены символы: «вишня», «лимон» и
числа от 1 до 9. автомат имеет три одинаковых барабана, которые вращаются независимо
друг от друга. Сколько всего комбинаций может выпасть?
13.Первый класс праздновал Новый год. Каждая девочка подарила каждому мальчику
открытку, а каждый мальчик подарил каждой девочке гвоздику. Чего было больше –
подаренных открыток или подаренных гвоздик?
14.Стадион имеет 4 входа: А, В, С и Д. укажите все возможные способы, какими
посетитель может войти через один вход и выйти через другой. Сколько таких способов?
15.Укажите все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы (учтите при этом
случаи, когда одна из ваз окажется пустой).
16.Составьте все возможные двузначные числа, используя в записи указанные цифры не
более одного раза:
а) 1, 6, 8;
б)0, 3, 4.
17.Из цифр 1, 2, 3 составьте все возможные двузначные числа при условии, что:
а) цифры в числе не повторяются;
б) допускается повторение цифр в числе.
18.Используя цифры 0, 2, 4, 6, составьте все возможные трехзначные числа, в которых
цифры не повторяются.
19.В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной
партии. Сколько всего партий было сыграно?
20.В соревнованиях по футболу участвовало 12 команд. Каждая команда провела с каждой
из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на поле соперника. Сколько
всего игр было сыграно?
21.При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано
рукопожатий?
22.Учащиеся 6 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого
потребуется, если в классе 24 человека?
23.На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9. каждая квартира получает кодовый замок из двух цифр типа 0-2, 3-7, 7-3, 8-8 и
т.п., позволяющий открывать входную дверь. Хватит ли кодовых замков для всех квартир
дома, если в доме 96 квартир?
24.Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село
Першино – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Датлова в Першино
через Матвеевское?
25.В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими
способами посетитель кафе может выбрать ответ, состоящий из первого, второго и
третьего блюд?
Решение. Первое блюдо можно выбрать 3 способами. Для каждого выбора первого блюда
существует 5 возможностей выбора второго блюда. Значит, первые два блюда можно
выбрать 3·5 способами. Наконец, для каждого выбора третьего блюда, т.е. существует
3·5·2 способов составления обеда из трех букв. Итак, обед из трех букв может быть
составлен 30 способами.
26.Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему
предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть
камзолов, три шляпы и две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов
можно составить из этих предметов?
2. Перестановки
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного
множества являются перестановки.
Рассмотрим пример 1. Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b, c. Эти книги
можно расставить на полке по-разному:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в
определенном порядке.
Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (читается «Р из n»).
Мы установили, что Р3 = 6. для того, чтобы найти число перестановок из трех элементов,
можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться правилом умножения. Будем
рассуждать так. На первое место можно поставить любой из трех элементов. Для каждого
выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух
элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остается единственная
возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трех элементов
равно 3·2·1, т.е. 6.
Выведем теперь формулу для числа перестановок из п элементов.
Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для
каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся
n-1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно
поставить один из оставшихся n-2 элементов и т.д. в результате получим, что
Pn = n(n-1)(n-2) ·…·3·2·1.
Расположив множители в порядке возрастания, получим
Pn = 1·2·3·…·(n-2)(n-1)n.
Для произведения первых n натуральных чисел используется специальное обозначение: n!
(читается «n факториал»).
Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по
формуле Pn = n!
Например, 2!=1·2=2; 5!=1·2·3·4·5=120.
По определению считают, что 1!=1.
Применение данной формулы иллюстрируется в пособии следующими примерами.
Пример 2. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега
на восьми беговых дорожках?
Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа
перестановок находим, что Р8 = 8!= 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320.
Значит, существует 40320 способов расстановки участниц забега на восьми беговых
дорожках.
Пример 3. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются,
можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?
Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р4 перестановок. Из этого числа надо исключить те
перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с
цифры 0. число таких перестановок равно Р3. значит, искомое число четырехзначных
чисел (без повторения цифр), которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, равно Р 4 – Р3.
Получаем, Р4 – Р3 = 4! – 3! = 24 – 6 = 18.
Пример 4. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими
способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?
Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить
не 9, а 6 книг это можно сделать Р6 способами. В каждой из полученных комбинаций
можно выполнить Р4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов
расположения книг на полке равно произведению Р6·Р4 = 6! ·4! = 720·24 = 17280.
Упражнения
1.Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?
2.Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он
может выбрать?
3.Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?
4.В автосервис одновременно приехали 3 машины для ремонта. Сколько существует
способов выстроить их в очередь на обслуживание?
5.Сколько есть способов раздать спортивные номера с 1 по 5 пяти хоккеистам?
6.Сколько существует выражений тождественно равных произведению аbcde, которые
получаются из него перестановкой множителей?
7.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 6, 7, но забыла, в каком
порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется
перебрать, чтобы дозвониться подруге.
8.Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:
а) 1, 2, 5, 6, 7, 8;
б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
9. Сколько среди четырехзначных чисел (без повторения цифр), составленных из цифр 3,
5, 7, 9, таких, которые:
а) начинаются с цифры 3;
б) кратны 15?
10. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1,
3, 5, 7 (без их повторения).
11.Сколько чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, таких
которые:
а) больше 3000;
б) больше 2000?
12.Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите
число возможных комбинаций, если:
а) Олег должен находиться в конце ряда;
б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце;
в) Олег и Игорь должны стоять рядом.
Решение. а) так как место Олега фиксировано, то число комбинаций зависит от
расположения
остальных
шести
мальчиков.
Значит
число
комбинаций
равно
Р6=6!=1·2·3·4·5·6=720.
б) Так как места Олега и Игоря фиксированы, то число комбинаций зависит от
расположения пяти остальных мальчиков, т.е. равно Р5=5!=1·2·3·4·5=120.
в) Будем рассматривать пару Олег-Игорь как один элемент. Расположение этой пары и
пяти остальных мальчиков может быть выполнено Р6=6! способами. В каждой из этих
комбинаций Олег и Игорь могут располагаться Р2=2! Способами. Значит искомое число
способов расположения мальчиков равно Р6·Р2=6! ·2!=720·2=1440.
13.В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история,
физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так,
чтобы два урока математики (алгебра и геометрия) стояли рядом?
14.Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы к, о, н стоят
рядом?
15.Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это
сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом?
16.Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду
места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть
на нечетных местах, а девочки – на четных?
Решение. Если мальчики и девочки сядут в один ряд в произвольном порядке, то это
можно сделать Р10=10!=3628800 способами. Если мальчики сядут на нечетные места, то
существуют Р5 способов их расположения. Столькими же способами могут расположиться
девочки на четных местах. Каждому способу расположения мальчиков соответствует Р 5
способов расположения девочек. Значит, расположиться так, что мальчики будут сидеть
на нечетных местах, а девочки – на четных, можно Р5·Р5=5! ·5!=120·120=14400 способами.
17.Делится ли число 30! на:
а) 90; б) 92;
в)94;
г) 96?
Решение. а) 90=2·5·9. Среди множителей числа 30! есть числа 2, 5 и 9. значит, число 30!
делится на 90.
б) 92=4∙23. Среди множителей 30! есть числа 4, 23. Значит, число 30! делится на 92.
в) 94=2·47. Число 47 простое и больше, чем 30. Так как среди множителей числа 30! нет
числа 47, то число 30! не делится на 94.
г) 96=2·3·16. Среди множителей 30! есть числа 2, 3, 16. Значит, число 30! делится на 96.
18.Делится ли число 14! на:
а) 168; б) 136; в) 147; г) 132?
19.Найдите значение выражения:
а)
15!
8!
б)
14!
10!
Решение: а)
в)
42!
40!
г)
16!
14!3!
15! 14!15

 15
14!
14!
б)
42! 40!41  42

 41  42  1722
40!
40!
в)
8!
8!
1
1



10! 8!9  10 9  10 90
г)
16!
14!15  16 15  16


 5  8  40
14!3! 14!1  2  3
23
д)
100!
;
99!
20.Вычислите значение дроби:
5!
7!
; б) ;
2!
5!
а)
в)
10!
15!
; г)
;
8!
13!2!
е)
12!
9!3!
21.Выпишите все натуральные делители числа:
а) 4!; б) 5!;
в)6!
22.Докажите, что если n<m, то m! делится на n! без остатка.
23.Что больше и во сколько раз:
а) 6!∙5 или 5! ∙6
б) (п+1)! ∙п или п! ∙(п+1)
3. Размещения
Пусть имеется 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. в пустые
ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора шаров. Если мы поместим
шар a в первую ячейку, шар b во вторую, а шар св третью ячейку, то получим одну из
возможных упорядоченных троек шаров:
a
b
c
Выбирая по-разному первый, второй и третий шары, будем получать различные
упорядоченные тройки шаров, например:
a
c
b
b
a
c
a
b
c
Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов,
называют размещением четырех элементов по три.
После этого дается определение и вводится соответствующее обозначение.
Размещением из n элементов по k (k ≤ n) называется любое множество, состоящее из
любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.
Число размещений из n элементов по k обозначают Ank (читают «А из n по k»).
Из определения следует, что два размещения из п элементов по k считаются различными,
если они отличаются самими элементами или порядком их расположения.
Составим из элементов a, b, с, d все размещения по три элемента. В первой строке
запишем все размещения, которые начинаются с элемента a, во второй – с элемента b, в
третьей – с элемента c, в четвертой – с элемента d. Получим такую таблицу:
abc,
abd,
acb,
acd,
adb,
adc,
bac,
bad,
bca,
bcd,
bda,
bdc,
cab,
cad,
cba,
cbd,
cda,
bdc,
dab, dac,
dba,
dbc,
dca,
dcb.
Из составленной таблицы видно, что А43 =24.
Число размещений из четырех элементов по три можно найти, не выписывая самих
размещений. Первый элемент можно выбрать четырьмя способами, так как им может
быть один из четырех элементов. Для каждого выбранного первого элемента можно тремя
способами выбрать второй элемент из трех оставшихся. Наконец, для каждых первых
двух элементов можно двумя способами выбрать из двух оставшихся третий элемент. В
результате получаем, что А43 =4·3·2=24.
Приведенный способ рассуждений используем для вывода формулы числа размещений из
n элементов по k, где n≤ k.
Первый элемент можно выбрать n способами. Так как после этого остается n-1 элементов,
то для каждого выбора первого элемента можно n-1 способами выбрать второй элемент.
Далее, для каждого выбора первых двух элементов можно n-2 способами выбрать третий
элемент (из n-2 оставшихся). Наконец, для каждого выбора первых k-1 элементов можно n
– (k – 1) способами выбрать k-й элемент (из n – (k -1) оставшихся).
Значит, Ank =n(n – 1)(n – 2)∙…∙(n – (k – 1))
Мы получили формулу для вычисления числа размещений из п элементов по k.
Например, число размещений из шестнадцати элементов по пять равно произведению
пяти множителей, первый из которых – число 16, а каждый следующий на 1 меньше
предыдущего, т.е. А165 = 16·15·14·13·12=524160.
В пособии приводятся примеры применения формулы числа размещений.
Пример 1. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно
составить расписание на один день, чтобы в нем было четыре различных предмета?
Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от
другого либо предметами, либо порядком следования предметов. Значит, в этом примере
идет речь о размещениях из 8 элементов по 4. Имеем, А84 = 8·7·6·5 = 1684.
Расписание можно составить 1680 способами.
Пример 2. Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6?
Если среди семи цифр нет нуля, то трехзначных чисел (без повторения), которые можно
составить из этих цифр, равно числу размещений из 7 элементов по 3. однако среди
данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из
размещений из 7 элементов по 3 надо исключить те элементы, у которых первой цифрой
является 0. их число равно числу размещений из 6 элементов по 2. значит, искомое число
трехзначных чисел равно А73  А62  7  6  5  6  5  210  30  180 .
Из данных цифр можно составить 180 трехзначных чисел (без повторения цифр).
Упражнения
1.Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном
купе, если других пассажиров в купе нет?
2.Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими
способами это можно сделать?
3.Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц
финального забега на дистанцию 100 м?
4.На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?
5.Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными
полосами, если имеется материал 7 различных цветов?
6.На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими
способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4×100 м на первом,
втором, третьем и четвертом этапах?
Решение. В этом задании идет речь о размещениях из 12 элементов по 4. Таким образом,
искомое число выбора спортсменок равно А124 = 12·11·10·9 = 11880 способов.
7.Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между
15 участниками конкурса?
8.Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в
которой стоит 20 одноместных столов?
9.На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно
вложить в свободные места:
а) 2 фотографии;
б) 4 фотографии;
в) 6 фотографий?
10.На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими
способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?
11.Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из
цифр:
а) 1, 3, 5, 7, 9;
б) 0, 2, 4, 6, 8?
12.Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без
повторения цифр), сколько таких, в которых:
а) не встречаются цифры 6 и 7;
б) цифра 8 является последней?
13.Сколько существует семизначных телефонных номеров, в каждом из которых все
цифры различные и первая цифра отлична от нуля?
Решение. В этом задании идет речь о размещениях из 10 элементов по 7, т.е. А107 . Но
первая цифра номера должна отличаться от нуля, т.е. размещение из 9 элементов по 6.
Так как из всех размещений надо исключить те, которые начинаются с цифры 0, то имеем:
А107  А96 = 10·9·8·7·6·5·4 – 9·8·7·6·5·4 = 604800 – 60480 = 544320.
14.Сколько различных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из
цифр 1, 2, 3, 4, 5, таких, которые являются:
а) четными;
б) кратными 5?
4.Сочетания
Пусть имеется пять гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами a, b, c, d, е. требуется
составить букет из трех гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть составлены.
Если в букет входит гвоздика а, то можно составить такие букеты:
abc, abd, abe, acd, ace, ade
Если в букет не входит гвоздика а, но входит гвоздика b, то можно получить такие
букеты:
bcd, bce, bde.
Наконец, если в букет не входит ни гвоздика а, ни гвоздика b, то возможен только один
вариант составления букета: cde.
Мы указали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному
сочетаются три гвоздики из данных пяти. Говорят, что мы составили все возможные
сочетания из пяти элементов по три.
Сочетанием из п элементов по k (0<k<n) называется любое множество, составленное из k
элементов, выбранных из данных п элементов.
Число сочетаний из п элементов по k обозначают С nk (читают «С из n по k»).
В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны
элементы. Два сочетания из n элементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним
элементом.
В рассмотренном примере, составив все сочетания из 5 элементов по 3, мы нашли, что
С53  10.
Выведем формулу числа сочетаний из п элементов по k, где k≤n. Для этого сначала
выясним, как С53 выражается через А53 и Р3 .
Мы нашли, что из пяти элементов a, b, c, d, e можно составить следующие сочетания по
трем элементам:
abc, abd, abe, acd, ace, ade, bed, bec, bde, cde.
В каждом сочетании выполним все перестановки. Число таких перестановок равно Р 3. В
результате получим все возможные комбинации из 5 элементов по 5, которые отличаются
либо самими элементами, либо порядком элементов, т.е. все размещения из 5 элементов
по 3. всего мы получим А53 размещений.
Значит, С 53  Р3  А53 . Отсюда С53 
А53
.
Р3
Аналогично будем рассуждать и в общем случае. Допустим, сто имеется множество,
содержащее n элементов, и из его элементов составлены все возможные сочетания по k
элементов. Число таких сочетаний равно С nk . В каждом сочетании можно выполнить Pk
перестановок. В результате мы получим все размещения, которые можно составить из n
элементов по k. Их число равно Аkn .
Значит, Ank  C nk  Pk . Отсюда, C nk 
Мы получили формулу: C nk 
Ank
.
Pk
n(n  1)( n  2)    (n  (k  1))
.
1 2  3  k
Формулу числа сочетаний можно записать в другом виде. Умножим числитель и
знаменатель дроби на (n – k)!, где nk. Получим:
С nk 
n(n  1)( n  2)    (n  (k  1))( n  k )!
1  2  3    k  (n  k )!
Очевидно, что в числителе дроби записано произведение всех натуральных чисел от n до
1, взятых в порядке убывания, т.е. числитель дроби равен п!.
Получаем формулу: С nk 
n!
.
k!(n  k )!
Заметим, что эту формулу можно использовать и в случае, когда n=k, если принять по
определению, что 0!=1.
Пример 1. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими
способами можно сделать этот выбор?
Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным. Значит, здесь речь идет о
сочетаниях из 15 элементов по 3:
С153 
15!
12!13  14  15 13  14  15 2730



 455 .
3!12!
1  2  3  12!
1 2  3
6
Следовательно, трех дежурных можно выбрать 455 способами.
Пример 2. Из вазы с фруктами, в которой лежит 9 яблок и 6 груш, надо выбрать 3 яблока
и 2 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?
Выбрать 3 яблока из 9 можно С93 способами, а выбрать 2 груши из 6 можно С62 способами.
Так как при каждом выборе яблок груши можно выбрать С62 способами, то сделать выбор
фруктов, о котором говорится в задаче, можно С93  С62 способами.
С93  С62 
987 65

 1260.
1 2  3 1 2
Значит, указанный выбор фруктов можно сделать 1260 способами.
Упражнения
1.В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно
выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
2.В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных
спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Решение. Искомое число способа выбора трех наборов равно С83 
8!
5!6  7  8

 56 .
3!5! 1  2  3  5!
3.Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул.
Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
4.Из трех игроков, заявленных на теннисный матч, надо выбрать двух для выступления в
парном разряде (порядок игроков не важен). Сколькими способами это можно сделать?
5.Сколькими способами можно выбрать 49 предметов из 50
6.Сколькими способами можно отобрать стартовую шестерку в волейбольном матче, если
в команде заявлено 10 игроков?
7.Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5
человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;
б) заведующий лабораторией должен остаться?
8.На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на
английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если:
а) словарь нужен ему обязательно; б) словарь ему не нужен?
Решение. а) Так как выбор англо-русского словаря уже сделан, то оставшиеся 2 книги из
11 можно выбрать С112 способами. Следовательно, С112 
11! 9!10  11

 55 .
2!9! 1  2  9!
Значит, выбор можно сделать 55 способами.
б) В этом случае надо выбрать 3 книги из 11. это можно сделать С113 способами. Находим,
что С113 
11! 8!9  10  11

 165 .
3!8! 1  2  3  8!
Выбор можно сделать 165 способами.
Ответ: а) 55 способов;
б) 165 способов.
9.В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить
4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Четырех мальчиков из 16 можно выделить С164 способами, а трех девочек из 12
можно выделить С123 способами. Каждому выбору четырех мальчиков соответствует С123
возможностей выбора трех девочек. Значит, указанный выбор дежурных можно сделать
С164  С123 способами.
4
С16
 С123 
16! 12! 12!13  14  15  16 9!10  11  12



 1820  220  400400 .
4!12! 3!9!
12!1  2  3  4
9!1  2  3
Значит, выбор дежурных можно сделать 400400 способами.
Ответ: 400400 способов.
10.Сколько среди всех перестановок букв слова «высота» таких, которые:
а) начинаются с буквы в;
б) начинаются с буквы а, а оканчиваются буквой т?
11.Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную скамейку так, чтобы
каждая девочка сидела между двумя мальчиками. Сколькими способами они могут это
сделать?
12.Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд 3
человек. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) Иванов и Петров должны пойти в наряд;
б) Иванов и петров должны остаться;
в) Иванов должен пойти, а Петров – остаться?
13.В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может
выбрать из них для предстоящего турнира:
а) команду из четырех человек;
б) команду из четырех человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на
первой, второй, третьей и четвертой досках?
14.Для ремонта школы прибыла бригада, состоящая из 12 человек. Трех из них надо
отправить на четвертый этаж, а четырех на пятый. Сколькими способами это можно
сделать?
15.Номер машины в некотором городе состоит из двух различных букв, взятых из набора
М, Н, К, Т, С, и трех различных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими
номерами?
16.Из группы туристов четырех дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом
способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?
Дополнительные упражнения
1.Сколько существует четырехзначных чисел, кратных 10, если цифры в числах могут
повторяться?
2.Пешеход должен пройти один квартал на север и три квартала на запад. Выпишите все
возможные маршруты пешехода.
3.Выпишите все пятизначные числа, записанные тремя четверками и двумя единицами.
4.Из цифр 1, 2, 3, 5 составили все возможные четырехзначные числа (без повторения
цифр). Сколько среди них таких цифр, которые больше 2000, но меньше 5000?
5.Сколько четных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно
записать с помощью цифр:
а) 1, 2, 3, 7;
б) 1, 2, 3, 4?
6.Делится ли число 50! на:
а) 100;
б) 305; в) 1550?
7.Найдите наименьшее значение п, при котором число п! оканчивается:
а) одним нулем;
б) двумя нулями;
в) тремя нулями.
8.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (без повторения цифр).
Сколько среди них таких, которые:
а) кратны 2;
б) кратны 3?
9.Сократите дробь:
а)
( п  1)!
п!
; б)
;
п!
(п  2)!
в)
(п  1)!(п  3)
(п  4)!
10.Решите уравнение:
а)
(п  1)!
 42 ;
(п  1)!
б)
( п  1)! п! 5
 .
( т  1)!
6
11.Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:
а) двух дежурных; б) старосту и помощника старосты?
12.У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них.
Определите общее число возможных вариантов.
13.Сколько команд участвовало в финале первенства, если известно, что каждая команда
сыграла с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на своем
поле и по одной игре на поле соперника, причем всего было сыграно 30 игр?
14.Сколькими способами четыре пассажира: Алексеев, Смирнов, Федоров и Харитонов –
могут разместиться в девяти вагонах поезда, если:
а) все они хотят ехать в разных вагонах; б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном
вагоне, а Смирнов и Харитонов в других вагонах, причем различных?
15.В 9 «А» классе учатся 25 учащихся, в 9 «Б» - 20 учащихся, а в 9 «В» - 18 учащихся. Для
работы на пришкольном участке надо выделить трех учащихся из 9 «А», двух – из 9 «Б» и
одного – из 9 «В». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на
пришкольном участке?
16.Из группы туристов требуется выбрать дежурного и его помощника. Если туристов
было бы на одного больше, то возможностей выбора было бы в 1,25 раза больше. Сколько
туристов в группе?
17.Сколькими способами группу из 12 человек можно разбить на две группы:
а) по 4 и 8 человек;
б) по 5 и 7 человек?
18.В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо
послать двух ведущих и трех старших научных сотрудников. Сколькими способами может
быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в командировку?
19.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (с повторением цифр)
сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:
а) 3; б) 4;
в) 6?
20.Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (без повторения
цифр). Сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:
а) 6; б) 9?
21.Найдите значение выражения:
А84  А83
Р6  Р4
а)
; б) 3
;
Р5
А7  А72
С63  С62
в)
.
А62
22.Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз
больше, чем число размещений из них по 2?
23.Число размещений из п элементов по 4 в 14 раз больше числа размещений из п – 2
элементов по 3. Найдите п.
24.Решите уравнение:
а) 14  Спп  2  15  Ап2 3 б) 6  Спп  3  11  Ап21 в) 13  С2пп1  7  С2пп11 г) 21  С2пп1  11  С2пп11
25.Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге
Нижний Новгород. Из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе
или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву на самолете, теплоходе или автобусе.
Сколькими различными способами ребята могут осуществить свое путешествие?
Назовите все возможные варианты этого путешествия.
26.Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3, 4, 5 и 6?
Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа
каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.
27.Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю
цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры будут взяты? Укажите какой-нибудь
способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть
пропущено.
28.Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 так,
чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если
вместо цифры 4 будет дана цифра 0?
29.Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить, используя для записи
цифры 1, 2, 3 и 4? Какова разность между самым большим и самым маленьким из них?
30.Сколько пятизначных чисел, первые (слева) три цифры которых 2, 3 и 4, можно
составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5? Изменится ли ответ этой задачи, если цифры числа не
будут повторяться?
31.Из цифр 0, 1, 2, 3,4 составляют всевозможные пятизначные числа, причем так, что в
записи данного числа содержатся все данные цифры. Сколько можно составить таких
чисел? Чему будет равна разность между наименьшим и наибольшим из полученных
чисел?
32.Сколько натуральных чисел, меньших 1000, можно записать, используя цифры 7, 4 и 5?
Сколько среди них четных? Нечетных? Кратных 5?
Размещения и сочетания
1.Покажите, что в нижеприведенных задачах рассматриваются размещения из n элементов
по k; определите значения n и k и найдите число размещений:
2. Из 20 учащихся класса надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты.
Сколькими способами это можно сделать?
3. В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими
способами можно составить расписание на среду?
4. В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться
между ними места?
5. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 3, 4, 5 и
6?
6.Покажите, что в нижеприведенных задачах рассматриваются сочетания из n элементов
по k; определите значения n и k и найдите число C nk для каждой задачи:
7. Сколькими способами можно выбрать из 6 человек комиссию, состоящую из трех
человек?
8.Сколькими способами можно выбрать 4 краски из 10 различных красок?
9.Два человека обменялись своими фотокарточками. Сколько было фотокарточек?
10.Два человека пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий? А если 15 человек
пожали друг другу руки, то, сколько будет рукопожатий?
11.Сколькими способами можно расставить на полке 3 различные книги?
12.15 человек сыграли друг с другом по одной партии в шахматы по одной партии.
Сколько было сыграно партий?
13.На плоскости отметили 7 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько
получилось отрезков?
14.Решите следующие задачи, используя формулы. Ответ проверьте с помощью перебора
всех возможных вариантов:
15. Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить
непосредственно с любого из четырех языков – русского, английского, немецкого и
французского на любой другой из этих языков?
16. Государственные флаги некоторых стран состоят из трех горизонтальных полос
разного цвета. Сколько различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосами
можно составить?
17. Мальчик выбрал в библиотеке 5 книг. По правилам библиотеки одновременно можно
взять только две книги. Сколько у мальчика вариантов выбора двух книг из пяти?
18.Четыре друга собрались на футбольный матч. Но им удалось купить только три билета.
Из скольких вариантов им надо выбрать тройку счастливцев? Как осуществить выбор,
чтобы у всех ребят были равные шансы попасть на матч?
19.В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет
показывать фокусы. Скольким способами можно осуществить концертную бригаду из
певца, гитариста и фокусника?
20. Задача Леонарда Эйлера. Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои
шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существуют вариантов, при которых
каждый из них получит чужую шляпу?
21. Имеется ткань двух цветов: голубая и зеленая, и требуется обить диван, кресло и стул.
Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели?
22.Аня, Боря, Вера и Гена – лучшие лыжники школы. На соревнования надо выбрать
троих из них. Сколькими способами это можно сделать?
23.Круг разделили на две части и решили раскрасить их карандашами разных цветов.
Сколькими способами можно это сделать, если имеются красный, синий и зеленый
карандаши?
24.При изготовлении авторучки корпус и колпачок могут иметь одинаковый или разный
цвет. На фабрике есть пластмасса четырех цветов: белого, красного, синего и зеленого.
Какие отличающиеся по цвету ручки можно изготовить?
25.На прямой взяли 4 точки. Сколько всего получилось отрезков, концами которых
являются эти точки?
26.За свои рисунки ученик получил две положительные отметки. Какими они могут быть?
27.В соревнованиях участвуют 5 футбольных команд. Каждая команда играет один раз с
каждой из остальных команд. Сколько матчей будет сыграно?
Литература.
1. Виленкин Н.Я. «Индукция. Комбинаторика», М. «Просвещение».
2. Антипов И.Н., Березин В.Н., Егоров А.А. и др. «Методика факультативных занятий
в 9-10 классах», М., «Просвещение».
3. Глейзер Г.И. «История математики в средней школе», М., «Просвещение».
4. Журналы «Математика в школе» №№4, 5, 2002, №№3-5, 2003.
5. Ларичев П.А. «Сборник задач по алгебре», ч.2, М., «Просвещение».
Рецензия
на учебно-методическое пособие для общеобразовательных учреждений
«Методика обучения решению комбинаторных задач и формирование первичного
представления о вероятности в 5-6 классах», представленное Яхиной З.Г., учителем
математики муниципального общеобразовательного учреждения «Катмышская средняя
общеобразовательная школа»
Представленное на рецензию авторское учебно-методическое пособие предназначено для
школьников 5–6 классов. Основная цель данного пособия обучение учащихся решению
комбинаторных задач и формирование первичного представления о вероятности в 5-6
классах. Данное учебно-методическое пособие – является учебным, законченным и
готовым
к
изданию
материалом,
содержащим
систематизированные
сведения,
изложенные в доступной и удобной с методической точки зрения форме. Отличительной
чертой этого учебно-методического пособия является комплексный характер подачи
материала, т.е. теория в логическом сочетании с практикой.
Принципиальное отличие и новизна предложенного автором методического пособия
заключаются в том, что материалы по этой теме в школьном курсе недостаточно.
Обучение по данному пособию лично ориентировано, позволяет педагогу выстраивать как
групповую, так и индивидуальную работу с учащимися.
Особенностью рецензируемого пособия является то, что позволяет значительно повысить
интерес учащихся к обучению, развивает внимание, логическое мышление, память.
Данная тема актуальна для наших детей в связи с тем, что современные школьники стали
более развиты и им требуются не просто задачи на вычисление, а задачи, требующие в
своем решении участия логического мышления, а также задачи, наиболее приближенные
к жизненным ситуациям.
Соответствие
материала
возрастным
особенностям
детей
10-11
лет,
индивидуализированная подача дидактического материала преимущественно в игровой
форме, наиболее доступной для детей, помогает прочно освоить полученный материал.
По своей структуре представленное Яхиной З.Г. учебно-методическое пособие
представляет сочетание методических и практических материалов.
Структура
и
объем
представленных
материалов
соответствуют
требованиям,
предъявляемым к учебно-методическим пособиям. Современные стандарты и программы
математического образования в основной школе предполагают пропедевтику основных
понятий, знакомство на наглядном, интуитивном уровне с вероятностно-статистическими
закономерностями в 5-6 классах.
Вводная часть пособия содержит аннотацию. В аннотации обоснована актуальность
внедрения курса решения комбинаторных задач.
Автор грамотно формирует набор задач, решаемых учебно-методическим пособием,
которые адекватны поставленной цели.
В качестве особого достоинства этого учебно-методического пособия следует отметить
интегративный и системный характер элементов его содержания. Основное содержание
структурировано по темам. Согласно современным представлениям о качественной
учебной литературе каждая тема предваряется целевыми установками. Кроме того даны
подробные алгоритмы действий. Материал подобран в соответствии не только с
возрастными особенностями, но и с интересами детей. Смена видов задач повышает
интерес ребенка к занятию, развивает творческие навыки, формирует познавательный
интерес, повышает мотивацию к обучению.
Язык и стиль изложения материала отличается ясностью, убедительностью, логично
построен и соответствует заявленной специфике: способствуют развитию творческих
способностей личности ребёнка, стимулируют его познавательную деятельность.
Учебно-методическое пособие «Методика обучения решению комбинаторных задач и
формирование первичного представления о вероятности в 5-6 классах» утверждено
методическим советом МБОУ «Катмышская СОШ».
Таким образом, представленное Яхиной З.Г. авторское учебно-методическое пособие
направлено
на решение комбинаторной задачи, позволяющих,
положительную
мотивацию к учению.
Учебно-методическое пособие «Методика обучения решению комбинаторных задач и
формирование первичного представления о вероятности в 5-6 классах» рекомендуется к
реализации в работе учителей, работающих в 5-6 классах в общеобразовательных
учреждениях.
Данное пособие рекомендуется к публикации в педагогических и методических изданиях.
Рецензенты:
Мухамадеева Ю.С., методист МУ «ИМЦ»
Мамадышского
муниципального района.
Литература.
6. Виленкин Н.Я. «Индукция. Комбинаторика», М. «Просвещение».
7. Антипов И.Н., Березин В.Н., Егоров А.А. и др. «Методика факультативных занятий
в 9-10 классах», М., «Просвещение».
8. Глейзер Г.И. «История математики в средней школе», М., «Просвещение».
9. Журналы «Математика в школе» №№4, 5, 2002, №№3-5, 2003.
10. Ларичев П.А. «Сборник задач по алгебре», ч.2, М., «Просвещение».