Задачи Безу - Воронежский государственный педагогический

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
РАЗВИТИЕ АЛГЕБРЫ
В ЕВРОПЕ В XV–XIX СТОЛЕТИЯХ
Учебное пособие
для студентов дневного отделения
физико-математического факультета
Воронеж 2007
УДК 51 (09)
Составитель:
кандидат физико-математических наук, доцент Н.А.Гордиенко
Развитие алгебры в Европе в XV–XIX столетиях. Учебное пособие
для студентов дневного отделения физико-математического факультета /
сост.: Гордиенко Н.А. – Воронежский госпедуниверситет, 2007. – 120 с.
Учебное пособие охватывает один из основных разделов истории
математики – становление и развитие современной алгебры: первоначально
как науки о решении уравнений; позднее – как науки, изучающей
алгебраические структуры и многомерные объекты. Пособие состоит из трех
частей. Первая часть посвящена изучению развития алгебры в Европе в XV –
XVII веках. Во второй части рассматривается формирование современной
алгебры в XVIII–XIX столетиях. Третья часть содержит решение наиболее
известных задач математиков XV–XIX столетий.
Предназначено
для
студентов
дневного
отделения
физикоматематического факультета Воронежского госпедуниверситета.
© Гордиенко Н.А., составление, 2007
2
Предыстория вопроса
В настоящее время интерес к истории науки вообще и к истории
математики в особенности все возрастает. Современная наука достигла той
степени зрелости, когда хочется оглянуться на прошлое, понять пути
развития. Рассматриваемый период (XV – XIX века) можно разделить на два
этапа: первый – с XV по XVII век, второй – XVIII и XIX века.
Развитие алгебры в период с XV по XVII столетия является важным
рубежом в математических науках и, прежде всего, именно в алгебре: был
найден общий метод аналитического решения уравнений третьей и четвертой
степеней и в основном завершена разработка символики, ставшей языком
математики.
В первой части работы рассматривается основной вклад в развитие
алгебры таких знаменитых итальянских и французских математиков, как
Джироламо Кардано, Франсуа Виет, Пьер Ферма и Рене Декарт.
XVI век был веком возрождения европейской математики после
средневекового сна. На тысячу лет были забыты, а частично безвозвратно
утрачены, труды великих греческих геометров. Из арабских текстов
европейские ученые узнавали не только о математике Востока, но и об
античной математике. Характерно, что в распространении математики в
Европе большую роль сыграли купцы, для которых поездки были средством
и получения информации, и ее распространения. Особенно выделяется
фигура Леонардо из Пизы (1180 – 1240), более известного как Фибоначчи
(сын Боначчи). Его имя увековечено в названии замечательной числовой
последовательности (числа Фибоначчи).
Наука может утратить высочайший уровень очень быстро. Для его
восстановления могут потребоваться века. Три века европейские математики
оставались учениками, хотя у того же Фибоначчи были, безусловно,
интересные наблюдения. Лишь в XVI веке в Европе появились
математические результаты принципиального значения, которых не знали ни
античные, ни восточные математики. Речь идет о решении уравнений третьей
и четвертой степени.
Характерно, что достижения новой европейской математики относятся к
алгебре, новой области математики, пришедшей с Востока, и, по существу,
делавшей только первые шаги. По крайней мере, еще сто лет математикам
Европы будет не по силам не только сделать в геометрии что-нибудь
сопоставимое с достижениями Евклида, Архимеда, Аполлония, но даже
усвоить до конца результаты великих геометров.
Легенда приписывает Пифагору фразу: «Все есть число». Но после
Пифагора в греческой математике постепенно все подчинила геометрия. В
геометрической форме имелись у Евклида и элемента алгебры. Например,
квадрат разрезался прямыми, параллельными сторонам, на два меньших
квадрата и два равных прямоугольника (рис. 1).
Из сопоставления площадей получалась формула
3
a
 b   a 2  2ab  b 2 .
2
b
a
Рис. 1
Разумеется, символики еще не было, и формулировка с площадями
оставалась окончательной. Подобные формулировки получались очень
громоздкими. Задачи на построение циркулем и линейкой по существу
приводили к решению квадратных уравнений и рассмотрению выражений,
содержащих квадратные корни (т.е. к рассмотрению квадратичных
иррациональностей). Например, у Евклида (естественно, в других
обозначениях) изучались выражения вида
a  b .
В определенной степени греческие геометры понимали связь
классических неразрешимых задач на построение циркулем и линейкой
(задачи об удвоении куба и трисекции угла) с кубическими уравнениями.
В первом параграфе первой главы разобраны некоторые работы арабских
математиков, прежде всего, аль-Хорезми, и изучено их влияние на развитие
европейской математики. У арабских математиков алгебра постепенно
отрывается от геометрии. Впрочем, решение кубического уравнения было
получено геометрическим путем (алгебраический вывод формул для решения
даже квадратного уравнения появился лишь в 1572 году у Бомбелли).
Алгебраические рассуждения появляются у арабских математиков как
рецепты для решения однотипных арифметических задач, обычно с
«житейским» содержанием (например, задача о разделе наследства). Правила
формулируются на конкретных примерах, но с таким расчетом, чтобы можно
было решить подобную задачу. Так, например, формулировались правила
для решения арифметических задач («тройное правило» и т.д.).
Формулировка правил в общем виде почти неминуемо требует развитой
символики, до которой было еще далеко. Арабские математики не пошли
дальше решения квадратных уравнений и некоторых специальных типов
кубических уравнений (которые можно было с помощью подстановки или
разложения на множители свести к квадратным уравнениям).
Проблема решения кубических уравнений волновала как арабских
математиков, так и их европейских учеников. Удивительный результат в
4
этом направлении принадлежит Леонардо Пизанскому. Он показал, что
корни уравнения
x 3  2 x 2  10 x  20
не могут быть выражены через евклидовы иррациональности вида
a  b .
Поразительная для начала XIII века постановка задачи, которая ставила
вопрос о разрешимости уравнений в радикалах и была осмыслена
значительно позже. Путей же к решению общего кубического уравнения
математики того времени не видели.
Состояние математики на рубеже XV – XVI веков было подытожено в
книге Луки Пачоли (1445 – 1514) «Сумма (знаний) по арифметике,
геометрии, отношениям и пропорциональности» (1494), одной из первых
печатных книг по математике, написанной к тому же не на латыни, а на
итальянском языке. В конце книги говорится, что для решения кубических
уравнений «искусством алгебры еще не дан способ, как не дан способ
квадратуры круга». Сравнение звучит внушительно, а авторитет Пачоли был
настолько велик, что большинство математиков считало, что кубические
уравнения в общем случае решить вообще нельзя.
Во втором параграфе первой главы рассмотрен труд францисканского
монаха Луки Пачоли, занимавшего кафедру математики в Миланском
университете, «Сумма (знаний) по арифметике, геометрии, отношениям и
пропорциональности» (1494). Отмечено, что Пачоли привел созданную
арабами классификацию уравнений второй степени. Именно эта работа
послужила отправным пунктом для работ итальянских алгебраистов по
решению кубических уравнений в радикалах, открытие которого было
первым крупным математическим достижением европейских ученых.
Третий параграф первой главы посвящен отысканию способов решения
приведенных кубических уравнений Николо Тартальей.
В четвертом параграфе первой главы подробно изучается математические
творчество Джироламо Кардано (прежде всего, его знаменитая работа
«Великое искусство или О правилах алгебры», 1545, а также другие
алгебраические работы). К моменту опубликования «Великого искусства»
Кардано был самым опытным алгебраистом во всей Европе. В этой работе он
рассматривал большое число примеров на решение кубических уравнений, а
также сформулировал правило сведения общего кубического уравнения к
приведенному и привел искусственный способ решения уравнения четвертой
степени (найденный его учеником Людовико Феррари) сведением этого
уравнения к кубическому. В «Великом искусстве» Кардано впервые
появляется новый математический объект – мнимые величины. Кардано
называл мнимые величины «число отрицательными» и, считая их
бесполезными, стремился не применять их.
Первым математиком, оценившим пользу мнимых величин, в частности,
при решении кубических уравнений, был Рафаэль Бомбелли. Изучению его
вклада в развитие алгебры посвящен шестой раздел первой части работы.
5
Вторая глава посвящена развитию алгебры французскими математиками.
В первом параграфе второй главы изучается вклад в развитие алгебры
Франсуа Виета, который ввел и использовал на практике метод буквенного
представления в алгебре, исследовал классические задачи второй и третьей
степени, а также некоторые задачи более высоких степеней. Последнее
утверждение трактата «Аналитическое искусство» Виета (получившее его
имя)
легло в основу теории уравнений, дав соотношение между
коэффициентами и корнями.
Во втором параграфе второй главы разобраны некоторые труды
величайшего французского математика Пьера Ферма, интересовавшегося в
теории чисел (арифметике) в основном простыми числами и делимостью.
Среди множества его теоретико–числовых результатов можно отметить
следующие:
 малая теорема Ферма: «Для всякого простого числа р и числа а , не
делящегося на р , имеет место сравнение a p  1  1 mod p  » ;
 числа Ферма вида
n
Fn  2 2  1 ,
которые Ферма все считал
простыми, а Эйлер доказал, что составным является число F5  2 32  1 ;
 знаменитая гипотеза, которую называют последней (великой) теоремой
Ферма: для целых n , больших 2 , равенство x n  y n  z n не возможно в
множествах Z и Q .
В третьем параграфе второй главы проведен сравнительный анализ
математических обозначений того времени у Рене Декарта и Франсуа Виета.
Если алгебраическая символика Виета страдала большими недостатками
(неудобным был словесное обозначение степеней, имеющее первостепенное
значение в символической алгебре), то у Декарта математические
обозначения достигли почти современного уровня. В частности, неизвестные
обозначались не гласными, а последними буквами латинского алфавита,
сформулировано «правило знаков Декарта» и «метод неопределенных
коэффициентов».
Второй значительный период в развитии математики – XVIII – XIX
столетия. Прежде всего, конечно, это появление математики переменных
величин, создание основ дифференциального и интегрального исчисления,
появление новых геометрий – дифференциальной и проективной. В алгебре –
это зарождение современной науки, изучающей группы, кольца, поля,
многомерные объекты (векторы, кватернионы, гиперкомплексные числа) и
их свойства.
Современная алгебра имеет множество направлений, большинство из
которых построены на основе различного рода уравнений и способов их
решения. С давних пор уравнения, способы их решения и составления
волновали умы многих великих ученых-математиков. Эта проблема остается
актуальной и для многих современных ученых.
Третья глава посвящена истории зарождения и развития современной
алгебры, раскрытию содержания и значения различных математических
6
направлений, ее составляющих, а также теорий, сыгравших значительную
роль в ее становлении.
После того как Феррари решил уравнение четвертой степени, начались
поиски формулы корней уравнения пятой степени, формула должна была
дать решение этого уравнения в радикалах. Многие математики посвятили
этой проблеме долгие годы напряженного труда. Но затем было сделано
открытие, поразившее многих ученых того времени, – уравнение пятой
степени неразрешимо в радикалах. Абель и Галуа, признанные, к сожалению,
только после своей смерти, поняли это одними из первых. И самыми
первыми в своих исследованиях они использовали свойства групп
подстановок корней уравнений, описанные нами в работе. С помощью групп
подстановок можно не только решать уравнения, подстановками можно
охарактеризовать также симметрию многоугольников и многогранников. В
этой же главе рассмотрены предпосылки создания многомерной алгебры, её
основные составляющие – кватернионы Гамильтона, многомерные векторы,
матрицы и определители, а также изложены основы алгебры Буля,
математика, сумевшего превратить логические рассуждения в вычисления.
В третьей части работы решены некоторые задачи европейских
математиков XVI–XIX веков.
7
Часть первая. РАЗВИТИЕ АЛГЕБРЫ В ЕВРОПЕ
В XV – XVII ВЕКАХ
Глава 1. Развитие алгебры в Италии в XV – XII веках.
§1. Алгебра аль-Хорезми и ее влияние
на европейских математиков.
В первой главе «Великого искусства» (1545) Джироламо Кардано
называет создателем алгебры Мохаммеда, сына араба Мусы. Совершенно
очевидно, что он имел в виду Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми (787 –
около 850), написавшего в 820 году «Китаб аль-джебр валь-мукабала»
(«Трактат об операциях восстановления и приведения»). Название работы
аль-Хорезми соответствует методам решения уравнений: операция альджебр (восстановления) означает перенос отрицательного члена из одной
части уравнения в другую с положительным знаком; действие аль-мукабала
(противопоставление) заключается в уничтожении в обеих частях уравнения
одинаковых членов (приведении подобных).
Например, выполнив преобразование уравнения
x 2  2 x  5x  4 ,
с помощью операции аль-джебр мы получим уравнение
x 2  2 x  5x  4 ,
а с помощью операции аль-мукабала соответственно получим уравнение
x 2  3x  4 .
В трактате аль-Хорезми содержались методы решения уравнений первой
и второй степени, которые автор приводил в числовой форме, но
сопровождал
геометрическими
доказательствами,
заимствованными
арабскими учеными у древних греков.
В качестве примера можно привести решение методом аль-Хорезми
уравнения
x 2  bx  c .
Прежде чем рассмотреть способ, которым аль-Хорезми решает данное
уравнение, заметим, что действие аль-джебр (перенос отрицательных членов
уравнения из одной части в другую с положительным знаком)
осуществлялось арабскими математиками (а позднее и их европейскими
последователями) с целью обеспечить себе положительность всех
коэффициентов уравнения, так как отрицательные числа в математике еще не
рассматривались
(в
то
время
«действительными»
назывались
положительные числа, а «мнимыми» - отрицательные).
Предполагая уравнение решенным (т.е. найденным положительное число
х , или, что то же самое, известной длину отрезка х ), аль-Хорезми строит
8
квадрат со стороной
х , который достраивает до большего квадрата,
b
увеличивая длину каждой стороны исходного квадрата на величину .
4
b
4
х
b
4
х
Рис. 2
b
.
2
С одной стороны, площадь полученного квадрата определяется по
2
b

формуле S   x   . С другой стороны, площадь большего квадрата
2

складывается из площади меньшего квадрата со стороной х , площадей
b
четырех равных прямоугольников со сторонами х и
, а также площадей
4
b
четырех равных квадратов со стороной :
4
2
b2
b
b
2
2
, т.е. S  x  bx 
.
S  x  4x   4 
4
16
4
b2
2
Учитывая, что по условию x  bx  c , получаем формулу S  c 
.
4
Приравнивая правые части, приходим к уравнению
2
b
b2

,
x   c
2
4

решая которое, окончательно получаем
В результате получается квадрат со стороной x 
x
b2
b
c
 .
4
2
b
b2
При этом если величина
была меньше числа
, то считалось,
c
4
2
что уравнение не имеет решений.
Замечательным является тот факт, что хотя аль-Хорезми и пользуется
геометрическим способом доказательства полученной формулы, сама
9
формула представляет собой по существу современную формулу нахождения
корней квадратного уравнения с помощью дискриминанта.
Сочинение Мохаммеда, сына араба Мусы, переведенное на латинский
язык, пользовалось большой известностью в средневековой Европе.
Поначалу переводчики полностью переписывали заглавие книги, но
постепенно вторая часть стала воспроизводиться все реже и, наконец, совсем
исчезла. Осталось только слово «аль-джебр», которое затем превратилось в
«алгебру». Аналогично слово «алгорифмус» («алгоритм») произошло в
процессе латинизирования фамилии аль-Хорезми.
Интересно, что «аль-джебр» имеет также смысл «исправление того, что
сломано». Историк математики В.П.Шереметевский указывал, что в
народном испанском языке слово «algebraista» означает «костоправ» (и
Санчо Панса тоже искал для побитого Дона Кихота «алгебраиста»).
Алгебраические термины, которые использовали переводчики альХорезми, представляли собой латинские эквиваленты арабских слов,
означающих те же понятия. Неизвестная называлась res (вещь) или radix
(корень), квадрат неизвестной – census (имущество), куб – cubus (куб),
постоянная в уравнении – numero (число). Позднее итальянские математики
использовали вместо латинского «res» народное «cosa» и иногда
именовали алгебру «arte della cosa». Немцы в XV веке исказили «cosa» в
«coss», поэтому немецких алгебраистов называли также и «коссистами».
Упоминается «коссическое искусство» или «косс» и в первой русской
арифметике Л.Ф.Магницкого.
Спустя примерно 350 лет после смерти аль-Хорезми результаты
арабских алгебраистов изложил в своей «Книге абака» сын купца Боначчи из
Пизы, известный в истории математики как Леонардо Пизанский, или
Фибоначчи. Его сочинение во многом способствовало усилению интереса
европейцев к алгебре и появлению других алгебраических работ.
Европейская алгебра (как, впрочем, и арабская) вплоть до XV века не
использовала символы, поэтому уравнения записывались в словесной форме.
Например, запись уравнения
x 2  qx  r
выглядела так: «census et radices aequantum numeris» («квадрат и корни
равны числам»).
Символическая алгебра впервые появилась в уже упоминавшейся нами
«Сумме» (1494) Луки Пачоли. В своей «Сумме» Лука Пачоли рассматривал
правила решения уравнений первой и второй степени, а также некоторых
частных видов уравнений четвертой степени. В соответствии с традицией,
идущей от аль-Хорезми, он указывал для квадратных уравнений два корня,
но отрицательный опускал. Не рассматривались им также корни, равные
нулю. Что касается уравнений третьей степени, то Пачоли отрицал
возможность их решения. «Сумма» как бы подводила итог результатам,
полученным в алгебре до XV века. На это сочинение опирались в своем
10
творчестве выдающиеся итальянские алгебраисты XVI века – дель Ферро,
Тарталья, Кардано.
§2. Лука Пачоли.
Наибольших успехов математики Европы XV – XVI веков добились в
области алгебры. Крупнейшим европейским алгебраистом XV века был
итальянец Лука Пачоли.
Основным трудом Пачоли была «Сумма (знаний) по арифметике,
геометрии, отношениям и пропорциональности», изданная в Венеции в 1494
году.
В арифметической части «Суммы» излагались различные приемы
арифметических действий, в том числе индийский прием умножения с
помощью решетки, именуемый «gelosia».
Алгебру Пачоли называет «regula della cosa» − «правилом вещи» и «arte
maggiore» − «великим искусством». Он пользуется алгебраическими
символами (алгебраическими буквами «caralleri algebraieri»); квадратный
корень обозначает R («radice» − «корень»), или R 2 ; кубический корень −
R 3 , или Rcuba ; корень четвертой степени − R 4 , или RR . Обозначение
степеней неизвестной приведем в следующей таблице.
Современное
обозначение
Свободный член
х
x2
x3
x4
Обозначение
Пачоли
n0
co
ce
cu
ce.ce.
Итальянский
термин
numero
cosa
censo
cubo
censo de censo
x5
p0r0
primo relato
x6
x7
ce.cu.
20r0
censo de cubo
secondo relato
x8
ce.ce.ce.
censo de censo
de censo
x9
x 10
cu.cu.
ce.p0r0
x 11
30r0
cubo de cubo
censo de
primo relato
tersi relato
...
...
...
11
Перевод
число
вещь
квадрат
куб
квадрат
квадрата
первое
невыразимое
квадрат куба
второе
невыразимое
квадрат
квадрата
квадрата
куб куба
квадрат первого
невыразимого
третье
невыразимое
...
Система названий степеней у Пачоли была мультипликативной:
x 6  x 23 ;
x8  x 222 ;
x 9  x 33 .
Названия простых степеней, которые нельзя выразить в виде
произведений чисел 2 и 3 , у Пачоли состоят из номера простой степени и
слова
«relato» («невыразимое»). Этот принцип выдержан не вполне
последовательно: называя x 13 , x 17 , x 19 , x 23 соответственно четвертым,
пятым, шестым и седьмым невыразимыми, он называет x 25 не p0r0 de p0r0,
а восьмым невыразимым, x 27 − девятым невыразимым.
Второе неизвестное (т.е. у ) Пачоли называл «quantita» («количество») и
обозначал:
у − qp0 ; y2 − ce.de qp0 ;
и т.д. Сложение обозначалось знаком ~
p («plus», или «piu» − «больше»,
~ («minus», или «meno» −
откуда наше слово «плюс»), вычитание – знаком m
«меньше», откуда наше слово «минус»). Пачоли употребляет выражения типа
~ меньше нуля» и формулирует правило знаков при умножении чисел,
«m
~ . На трактовку Пачоли отрицательных
перед которыми стоят знаки ~
p и m
чисел, по-видимому, оказало влияние то, что он был изобретателем двойной
бухгалтерии, в которой все денежные операции записываются в столбцах
кредита (дохода) и дебета (долга). Теория бухгалтерии изложена Пачоли в
той же «Сумме».
§ 3. Решение уравнений третьей степени Николо Тартальей.
Пачоли закончил раздел «Суммы» об алгебраических уравнениях
замечанием о том, что для решения кубических уравнений
x 3  ax  b и x 3  b  ax
(коэффициенты а и b предполагаются положительными): «Искусство
алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ квадратуры круга».
Сравнение звучит внушительно, а авторитет Пачоли был настолько велик,
что большинство математиков считало, что кубические уравнения в общем
случае решить вообще нельзя.
Именно эти слова Пачоли послужили отправным пунктом для работ
итальянских алгебраистов по решению кубических уравнений в радикалах,
открытие которого было первым крупным математическим достижением
европейских ученых, существенно превзошедших открытия математиков
Востока.
Однако нашелся человек, которого мнение Пачоли не остановило. Это
был профессор математики Болонского университета Сципион дель Ферро
(1465 – 1526). Он нашел способ решать уравнения
x 3  ax  b .
(1)
Отрицательными числами тогда еще не пользовались и, например,
уравнение
12
x 3  ax  b
(1)*
воспринималось как совсем другое. Об этом решении известны лишь
косвенные сведения. Свое решение дель Ферро не опубликовал, а сообщил
его (по одним источникам – около 1506 года, а по другим источникам – в
1515 году) своему зятю и преемнику по кафедре Аннибалу дела Наве и
ученику Антонио Марио Фиоре.
С современной точки зрения утаивание научного открытия может
показаться странным. Но в те времена поступок Дель Ферро был легко
объясним. Журналов, предназначенных для публикации научных статей, еще
не было, выпуск книги – дело длительное и дорогостоящее. Но главное даже
не в этом. Обладание общим методом решения некоторого класса задач
доставляли ученому большие преимущества перед другими математиками. В
описываемую эпоху получил распространение особый вид общения и
соревнования ученых – научный диспут (поединок, турнир). Такой поединок
по математике состоял в том, что два математика предлагали друг другу для
решения определенное количество задач (несколько десятков) с числовыми
данными. Выигрывал поединок тот, кто решал большее число предложенных
задач. Победитель получал денежное вознаграждение и известность; нередко
ему предлагались должности на выгодных условиях.
Неизвестно, принимал ли участие дель Ферро в таких диспутах, но Фиоре,
математик посредственный, участвовал в турнирах неоднократно. Основным
его «оружием» был способ, найденный дель Ферро для решения уравнения
x 3  ax  b .
12 февраля 1535 года его жертвой едва не стал Николо Тарталья.
Николо Тарталья (1500 – 1557), настоящая фамилия которого, повидимому, Фонтана, был выдающимся математиком, обладал блестящими
способностями и большой силой воли. Он прожил тяжелую жизнь.
Шестилетним мальчиком в 1560 году он вместе с родственниками спасался в
церкви от жестокости завоевателей его родной Бреши – французских солдат.
Старинный обычай прятаться в храмах не уберег от несчастья: Тарталья
получил увечье гортани (в некоторых источниках – языка, нижней челюсти
от удара саблей). После этого он остался на всю жизнь заикой, что
отразилось на его прозвище («tartaglia» - «заика»).
Бедность не позволила Тарталье получить достаточное образование: он не
мог даже обучиться грамоте. Мальчик под наблюдением учителя выучил
лишь половину алфавита. Дальше Тарталья овладевал знаниями уже
самостоятельно и проявил необыкновенную любовь к наукам и
настойчивость в учении.
Тарталья был «опытным» бойцом в математических поединках и надеялся
одержать над Фиоре легкую победу. Он не испугался и тогда, когда
обнаружил, что все 30 задач Фиоре содержат уравнения (1) при различных
а и b . Тарталья думал, что Фиоре сам не умеет решать предложенные
задачи и надеялся разоблачить его. Когда уже почти истекли 50 дней, после
которых надлежало сдать решения нотариусу, до Тартальи дошли слухи, что
13
Фиоре обладает таинственным способом решения уравнения (1). Тарталья
приложил титанические усилия, и за восемь дней до назначенного срока
(срок истекал 12 февраля 1535 года) желанный способ был найден. За два
часа Тарталья решил все задачи. Его противник не решил ни одной.
Странным образом он не справился с одной задачей, которую можно было
решить по формуле дель Ферро (Тарталья дал задачу, имея в виду
искусственный прием). Впрочем, воспользоваться формулой было нелегко.
Через день после диспута Тарталья нашел способ решать уравнение (2).
Все это было величайшим открытием. Нужно обладать достаточным
мужеством, чтобы взяться за задачу, не поддававшуюся усилиям
выдающихся математиков около двух тысячелетий. Популярность Тартальи
сильно возросла: его приглашали преподавать математику в Вероне,
Венеции, Пьяченце, Бреши.
Первым кубическим уравнением, решенный Тартальей было уравнение
x 3  px 2  r .
(1)
Он никогда не писал о пути, приведшем его к решению, но итальянскому
историку математики Э. Бортолотти удалось восстановить его ход
рассуждений.
Предположим, что корнем уравнения (1) является выражение
x  b  a.
(2)
Возведем обе части этого выражения в квадрат и куб, получим
соответственно
x 2  b  a 2  2a b ,
(3)

 
x 3   a 3  3ab  3a 2  b

b.
(4)
3a 2  b , а обе части
Умножим обе части равенства (3) на сумму
равенства (4) на 2а . Сложение полученных результатов даст равенство




(5)
.
(6)
2
2ax 3  3a 2  b x 2  a 2  b .
Теперь разделим почленно равенство (5) на 2а :

3a 2  b 2
a2 b
x 
x 
2a
2a
Из сравнения уравнений (1) и (6) следует, что
3a 2  b
,
p
2a
3
a
r 
2
b
2a


2
(7)
2
.
(8)
Из равенства (7) выразим b :
b  2ap  a 2
и, подставив его значение в равенство (8) , получим выражение для r :
2
r  2a 2a  p  .
(9)
14
Следовательно, если постоянный член уравнения (1)
выражением (9) , то одним из корней этого уравнения будет
определяется
x  2ap  3a 2  a .
Это важный, но все-таки частный результат. Все, что удалось найти
Тарталье, заключается в обнаружении вида одного из корней уравнения (1)
и открытия способа составления кубического уравнения по его заданному
корню вида b  a .
Для того, чтобы получить общую формулу решения, необходимо
определить значение а из равенства (9), т.е. опять решить полное
кубическое уравнение, чего Тарталья сделать не мог.
Следующим его достижением было решение уравнения вида
x 3  px  r .
(10)
Вероятно, так же, как и в предыдущем случае, он попытался искать
решение в форме какого-либо иррационального выражения и методом «проб
и ошибок» пришел к двучлену вида
x  3u  3 v.
(11)
Если, с одной стороны, возвести обе части равенства (11) в куб:
x 3  u  33 u 2 v  33 uv 2  v ,
(12)
а, с другой стороны, умножить обе части равенства (11) на 33 uv :
(13)
33 uv  x  33 u 2 v  33 uv 2 ,
и почленно сложить равенства (12) и (13), то придем к уравнению
x 3  33 uv  x  u  v .
(14)
Из сравнения равенств (10) и (14) следует, что
q  33 uv ;
r  u v.
(15)
Из равенства (15) получим уравнение для отыскания u :
3
q
u  ur     0 .
3
Вычислив затем u и проделав несложные выкладки, мы придем к
знаменитой формуле, которая во всех учебниках алгебры именуется (не
совсем справедливо) формулой Кардано:
x3u 3v 
2
2
3
2
3
r
r
r
q
r
q

 3      .
    
2
2
2
3
2
3
Аналогичным путем, отправляясь от выражения
x  3 u  3 v,
Тарталья получил решение уравнения вида
x 3  qx  r .
(16)
3
15
О поединке Тарталья – Фиоре знали многие. После него Тарталья отверг
несколько просьб раскрыть его способ решения кубических уравнений. Но
нашелся проситель, который добился своего. Это был Джироламо Кардано
(который, правда, клятвенно заверил Тарталью никогда не публиковать и
никому не сообщать полученные сведения).
25 марта 1539 года Тарталья сообщил свое решение («великий секрет»)
Кардано в форме латинского стихотворения («capitola in rima» − «главы в
стихах»):
Когда куб рядом с вещью
Вместе равны какому-либо числу,
То найди два других числа,
На него разнящихся,
Потом допусти и всегда держись
Этого правила, что их произведение
Должно равняться кубу третьей вещи.
Возьми от них стороны куба
И правильно вычти их.
Остаток даст тебе искомую вещь…
Расшифруем послание:
«куб рядом с вещью» −
x 3  qx
«число» −
r
«на него разнящихся» −
u–v = r
3
произведение, равное «кубу третьей
q
uv   
вещи» −
3
3
«правильно вычти их» −
u 3v
«остаток» −
x
Далее аналогичным образом излагалось правило решения уравнения (16).
Что касается третьего уравнения
x 3  r  qx ,
(17)
то здесь Тарталья ограничился следующим замечанием: «Третье выражение
… разрешается вторым ввиду того, что по природе своей они почти
совпадают». Связь между этими двумя уравнениями состоит в том, что
положительные корни одного из них равны модулям отрицательных корней
другого.
В случае, когда
2
3
q
r
    ,
2
3
уравнение
x 3  qx  r
имеет один положительный корень и два мнимых, которые математики XVI
века не рассматривали.
В случае, когда
16
3
2
q
r
    ,
2
3
уравнение
x 3  qx  r
имеет один положительный корень и два отрицательных, и, следовательно,
уравнение
x 3  r  qx
имеет два положительных корня и один отрицательный. Этот случай Кардано
считал неразрешимым.
Этот «рецепт», по характеру своему напоминавший правила
средневековых практических арифметик, был, конечно, вполне достаточен
для механического решения кубического уравнения, но не давал никаких
указаний для понимания решения и доказательства формулы. Более того,
даже такой опытный математик, как Кардано, поначалу его не понял.
Попытавшись испытать формулу на уравнении
x 3  3 x  10 ,
3
3
q
q
он запутался, так как вместо
ошибочно взял
и
uv   
uv 
3
3
вынужден был обратиться к автору «рецепта» за разъяснением.
Тарталья в письме от 25 апреля 1539 года привел решение уравнения и
объяснил Кардано его ошибку, добавив, что справедливость и
целесообразность такого способа действий можно легко доказать
геометрическим путем.
Получив от Тартальи готовый способ решения уравнения (1) , без всяких
намеков на доказательство, Кардано затратил много сил на тщательную
проверку и обоснование правила, он провел годы напряженной работы,
пытаясь полностью разобраться с решением кубических уравнений. Он
получил «рецепты» (ведь формул писать еще не умели) для решения
уравнений (1) и (1)* , а также уравнения
x 3  b  ax
(1)**
2
и уравнений, содержащих
х . Нежелание похоронить результаты
многолетней работы привели к тому, что Кардано включил все ему известное
о кубических уравнениях (а также об уравнениях 4-й степени) в вышедшую в
1545 году книгу «Великое искусство или О правилах алгебры». Ее стали
называть кратко «Великое искусство» («Ars Magna»).
Мотивом, которым руководствовался Кардано, решив нарушить клятву,
скорее всего, может служить посещение в Болонье зятя Сципиона дель
Ферро, от которого Кардано узнал решение дель Ферро, совпадавшее с
найденным Тартальей. Результат был уже десятки лет известен другим
людям, которые вовсе не делали тайны из него. Поэтому Кардано мог счесть
себя свободным от клятвы.
17
Справедливости ради следует отметить, что Кардано в «Великом
искусстве» указал, что дель Ферро и Тарталье принадлежит честь открытия
«такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое
остроумие и все таланты человеческого духа, истинно небесный дар,
прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не
может считаться для него недостижимым». Несмотря на столь пышное
признание заслуг Тартальи, формула для решения уравнений третьей степени
носит название «формулы Кардано».
§4. Джироламо Кардано
Алгебраические работы Кардано
Основная алгебраическая проблема, занимавшая Кардано, − отыскание
способов решения уравнений третьей и четвертой степеней. В соответствии с
математическими традициями своего времени он рассматривал только
уравнения с положительными коэффициентами, поэтому, например,
уравнение
x 3  qx  r  0 ,
где коэффициент q мог быть как положительным, так и отрицательным,
распадалось у него на три отдельных случая:
x 3  qx  r ,
x 3  qx  r ,
x 3  r  qx
(эти уравнения вслед за Кардано мы будем называть в дальнейшем
«уравнениями Тартальи»). Кроме того, он никогда не записывал уравнения в
канонической форме, но следил, чтобы коэффициент при старшей степени
неизвестной был равен единице. Математическая символика Кардано была
заимствована в основном у Пачоли.
Заметим, что запись уравнения в каноническом виде, т.е. идея
приравнивания квадратичного выражения нулю (в случае уравнения второй
степени) была чужда математикам Возрождения. Впервые каноническую
форму уравнения привел англичанин Томас Гэрриот (1580 – 1621) в книге
«Применение аналитического искусства»
Первые попытки решения кубического уравнения встречаются у Кардано
уже в «Практике арифметики». Правда, Кардано удалось справиться лишь с
уравнением частного вида, но методы, которые он применял, заслуживают
внимания, так как впоследствии он их использовал в «Великом искусстве».
Кардано подметил, что кубическое уравнение иногда удается решить,
если добавить к обеим его частям одно и то же выражение, так, чтобы
образовался общий делитель, на который можно было бы сократить. При
этом решение кубического уравнения сводилось к решению квадратного.
Например, если к обеим частям уравнения
18
2 x 3  4 x 2  25  16 x  55
добавить 2 x 2  10 x  5 , то после простых преобразований можно получить
уравнение
2 x  6 x 2  5  2 x  6x  10  , или x 2  5  x  10 ,
откуда
1 1
x 
21 .
2 2
Заметим, что Кардано спокойно делит обе части уравнения на двучлен
2 x  6 , так как его корнем является отрицательное число (−3), которое, как
мы уже отмечали, не учитывалось итальянскими математиками того времени.
Однако частный результат, каким бы изящным методом он не достигался,
не идет ни в какое сравнение с общей формулой решения, которую Кардано
так и не удалось отыскать. Поэтому можно представить себе его волнение,
когда он узнал, что подобной формулой владеет простой учитель
арифметики. В конце концов, Кардано удалось получить «великий секрет» и
с этого времени начинается второй и наиболее плодотворный этап его
алгебраического творчества.


«Великое искусство» Кардано
Итак, в начале мая 1539 года Кардано имел в своем распоряжении:
1) зарифмованные правила решения уравнений
x 3  px  r
(10)
и
x 3  qx  r ;
(16)
2) численные пример, разъясняющий применение правила для решения
уравнения (10);
3) указание на геометрический способ доказательства формулы.
Ему оставалось:
1) найти правило решения уравнения
x 3  r  qx ;
(17)
2) доказать справедливость такого способа действий;
3) найти способ решения остальных десяти кубических уравнений, иначе
говоря, тех, в который встречается квадрат неизвестной.
Результаты этих исследований Кардано (вместе с изложением способа
решения уравнения четвертой степени, предложенного его учеником
Феррари) и образуют основное содержание «Великого искусства» (1545).
Решение уравнений Тартальи обсуждается в одиннадцатой, двенадцатой и
тринадцатой главах книги. Предварительно в шестой главе, где
геометрическим путем доказываются три предполагаемых чрезвычайно
полезных выражения
 y  z 3  y 3  3 y 2 z  3 yz 2  z 3 ,
(18)
19
 y  z 3
 y 3  3 y 2 z  3 yz 2  z 3 ,
y3  z3
 y 2  yz  z 2 .
yz
Если (18) и (19) записать в виде
 y  z 3  3 yz  y  z   y 3  z 3 ,
y  z
3

 3 yz  y  z   y
то из (22) следует, что величина
3
 z3

,
(19)
(20)
(21)
(22)
x  yz
удовлетворяет уравнению
x 3  qx  r ,
когда у и z определяются из системы уравнений:
 3 yz  q ,
 y3  z3  r .

Аналогично из (21) видно, что величина
x  yz
удовлетворяет уравнению
x 3  qx  r ,
если у и z определяются из системы уравнений:
 3 yz  q ,
 y3  z3  r ,

что согласуется с «capitola in rima».
Кардано предоставил читателям возможность самостоятельно найти
решение системы уравнений
 3 yz  q ,
 y3  z3  r ,

ограничившись лишь сообщением конечных результатов.
Он привел также формулу решения уравнения (17) , хотя и не указал,
каким способом она была получена.
Разумно предположить, что это было сделано следующим образом.
Рассмотрим уравнение (17) и вспомогательное уравнение
w 3  qw  r .
(23)
Сложив почленно (17) и (23), получим
x 3  w 3  q ( x  w) .
(24)
После деления обеих частей равенства (24) на двучлен х + w имеем:
x 2  wx  w 2  q ,
(25)
откуда
2
 1 
q  3  w  ,
 2 
1
x w
2
20
где w – корень уравнения (23), для которого применимо правило Тартальи.
Таким образом, здесь использован способ, который Кардано ранее уже
применял в «Практике арифметики».
Доказательство формулы Тартальи Кардано дает геометрическим путем
на частном примере уравнения
x 3  6 x  20 .
Решению десяти уравнений третьей степени, в которых встречается
слагаемое, содержащее квадрат неизвестной (х2), Кардано посвящает главы
с четырнадцатой по двадцать третью. Основная его идея состоит в том,
чтобы, используя подстановки определенного вида, избавиться в этих
уравнениях от квадратичного члена и свести их к одному из уравнений
Тартальи.
Другими словами, используя рациональное соотношение x  f ( y) , он
трансформирует различные типы уравнения
x 3  px 2  qx  r  0
в
различные типы уравнения y 3    y    0 и определяет значение корней
х первого уравнения функцией корней второго.
3
r2
Для уравнения x  r  px Кардано применяет подстановку x 
, в
y
1
1
остальных девяти случаях использует выражения x  y  p и x  y  p
3
3
(в зависимости от того, находится ли квадратный член в правой или левой
части соответственно).
x 3  px 2  r он иногда избавляется от
Кроме того, в уравнении
3
x 2  y 2  p , а в уравнении
1
x 3  qx  px 2  r с помощью подстановки x  p  y .
3
Кардано посвятил доказательству справедливости и целесообразности
предложенных им подстановок отдельную седьмую главу «Великого
искусства», стоившую ему большого умственного напряжения.
Не представляет труда убедиться в том, что все подстановки приводят к
желаемому результату.
Остановимся подробнее на одном моменте, связанном с решением
кубических уравнений, в которых встречается слагаемое с первой степенью
неизвестной.
1
Если к такому уравнению применить преобразование x  p  y , тогда
3
отрицательные
значения
переменной
у
будут
соответствовать
положительным значениям переменной х исходного уравнения. Поэтому
Кардано вынужден был принимать во внимание отрицательные и нулевые
значения корней уравнения с переменной у.
квадратичного члена с помощью подстановки
21
Признание отрицательных корней позволило ему, в частности, едва ли не
первому прийти к мысли о существовании двух корней всякого квадратного
уравнения. Однако, подобно своим современникам, Кардано рассматривал
отрицательные числа как особый род величин, характеризуемых термином
«minus purum» («чистый минус»). Поэтому, не исключая из рассмотрения
отрицательных корней, он не придавал им самостоятельного значения,
называл их «fictae» («ложные») или «falsae» («фальшивые»), в отличие от
положительных «verae» («истинных») корней, и рассматривал их в качестве
вспомогательного средства для нахождения положительных корней
уравнений с неизвестной х.
Для того чтобы найти отрицательные корни уравнения, Кардано
пользуется еще одной подстановкой:
x   y.
При этом преобразовании меняют знак слагаемые нечетной степени и
остаются неизменными слагаемые четной степени. Таким образом,
уравнение трансформируется в другое, корни которого имеют то же
абсолютное значение, что и у исходного, но противоположный знак.
«Нахождением
отрицательного
корня
мы
всегда
находим
соответствующий положительный корень другого уравнения», − пишет
Кардано. Он замечает, в частности, что если уравнение содержит только
слагаемые четной степени и постоянные и если оно имеет положительные
корни, то оно обладает столькими же отрицательными корнями с теми же
абсолютными значениями.
Во многих главах «Великого искусства» Кардано приводит примеры
кубических уравнений, которые могут быть решены не через общие
формулы, а с помощью некоторых искусственных приемов.
В частности, уравнения
1
1
и
x 3  px 2  p 2 x  r
x 3  p 2 x  px 2  r
3
3
он рекомендует сначала преобразовать в уравнения вида
3
p
p

,
x    r 
3
27

а затем извлечь кубический корень из обеих частей. Особенно много таких
примеров в других книгах Кардано – «Правила Ализа» и «Великое искусство
арифметики».
3
Решение уравнений четвертой степени в «Великом искусстве»
Тридцать девятая глава «Великого искусства» посвящена уравнениям
четвертой степени, их классификации и методам их решения.
Хотя Кардано привел в «Практике арифметики» несколько примеров
уравнений четвертой степени, решенных им тем же приемом, который он
применял и для кубических уравнений, найти общую формулу решения ему
22
так и не удалось. Честь этого замечательного открытия принадлежит
Людовико Феррари.
Около 1540 года да Кои предложил ученику Кардано следующую задачу:
«Разделить число
10
на три части так, чтобы они составляли
геометрическую прогрессию, причем произведение первых двух частей
равнялось 6». Легко видеть, что эта задача сводится к решению уравнения
четвертой степени.
Действительно, пусть х есть средняя часть. Тогда по условию:
6
x3
6
x3
,
или
:x x:
 x
 10 ,
x
6
x
6
следовательно,
x 4  6 x 2  36  60 x .
(26)
Следуя приему, предложенному Кардано, Феррари прибавил к обеим
частям уравнения (26) по 6x 2 , обратив тем самым левую часть уравнения в
полный квадрат:
x

2
 6  6 x 2  60 x .
(27)
Если бы и правая часть уравнения (27) тоже была бы полным квадратом,
то решение было бы очевидным. Поскольку это не так, то потребовалось
дальнейшее развитие идеи Кардано. Феррари задался целью найти
выражение, содержащее новую неизвестную, которое, обращая в полный
квадрат левую часть исходного уравнения, обращало бы (в зависимости от
этой неизвестной) в полный квадрат также и правую часть.
Обозначим новую неизвестную через у. Очевидно, что для того, чтобы
левая часть уравнения (27) обращалась при добавлении к ней новой
неизвестной в полный квадрат


2
x
2

2
6 y ,
ее необходимо дополнить
выражением 2 x 2  6 y  y 2 . Тогда уравнение (27) представится в виде
x



 6  y  2 y  6 x 2  60 x  y 2  12 y . (28)
Определим теперь неизвестную у из условия обратимости правой части
уравнения (28) в полный квадрат (квадратный трехчлен обращается в
полный квадрат, т.е. имеет два равных корня, если его дискриминант равен
нулю):
302  2 y  6 y 2  12  0 ,
или, как записывал это условие Феррари,
2 y  6 y 2  12  302 .
Из последнего равенства получаем кубическое уравнение, которое
называют обычно кубической резольвентой и которое позволяет определить
у:
y 3  15 y 2  36 y  450 .
(29)
Полагая 2 y  6  a , представим уравнение (28) в виде:
2
2




23

2

30 

x 6 y  x a 
 ,
a

откуда, после извлечения корня, имеем:
30
.
(30)
x2  6  y  x a 
a
Таким образом, остается подставить в уравнение
(30)
значение
переменной у, найденное из уравнения (29), и решить квадратное
уравнение.
Изложив метод Феррари, Кардано дал его геометрическое доказательство
и показал, что предложенная процедура справедлива не только для
различных видов уравнений четвертой степени
x 4  px 2  qx  r  0 ,
(т.е. уравнений без кубического слагаемого), но и для уравнений без
линейного слагаемого, т.е. уравнений вида
x 4  sx 3  px 2  r  0 ,
которые сводятся к уравнениям первого вида с помощью подстановки
s
x  y .
4
Удивительно, что ни Феррари, ни Кардано не обратили внимания на то,
что эта же процедура пригодна и для решения полного уравнения четвертой
степени
x 4  sx 3  px 2  qx  r  0 ,
s
так как подстановка x  y  приводит его к уравнению без кубического
4
слагаемого.
Историк математики Цейтен замечает по этому поводу: «Идея была
слишком новой, чтобы Кардано попытался сделать из нее полную теорию,
параллельно той, что он сделал для кубических уравнений, где любой пробел
мог быть признаком незнания».
В той же тридцать девятой главе Кардано привел ряд примеров уравнений
четвертой степени, которые он решил методом, отличным от предложенного
Феррари.
После открытия способов решения уравнений третьей и четвертой
степеней естественно было ожидать попыток нахождения подобных
способов и для уравнений высших степеней. Принимал ли Кардано участие в
этих попытках, нам неизвестно. Во всяком случае, он об этом не сообщает,
ограничившись решением некоторых частных типов уравнений, например,
уравнения
x 6  tx 4  p 2 x 2  r 3  5x 3 .
Отметим также, что в двадцать седьмой – тридцать восьмой главах
«Великого искусства» Кардано привел множество приемов, позволяющих
2
2
24
x2  y2  r
решать некоторые уравнения специального вида, например,
xy  x  y  r ,
или
путем введения облегчающих вспомогательных
величин, и предложил метод приближенного нахождения корней.
Суть этого метода, названного автором «золотым правилом», состоит в
следующем.
Пусть задано уравнение с положительными коэффициентами
f ( x)  a 0 x n  a1 x n 1  . . .  a n 1 x  k .
Тогда если для положительного целого значения
xa
выполняются неравенства f (a)  0 и f (a)  0 , то корень уравнения
находится между значениями а и а + 1.
Поскольку
f ( x)  f (a )
   1,
f (a  1)  f (a)
то в качестве второго приближения можно выбрать значение x  a   и т.д.
«Золотое правило» является дальнейшим развитием «правила двойного
ложного положения», широко применявшегося арабскими алгебраистами.
Теория алгебраических уравнений в «Великом искусстве»
Итак, усилиями дель Ферро, Тартальи, Кардано и Феррари в первой
половине XVI века были открыты способы решения кубических уравнений и
уравнений четвертой степени. Предложенный Кардано прием искусственной
подстановки оказался весьма плодотворным для дальнейшего развития
алгебры. Он явился той почвой, на которой великому французскому
математику Франсуа Виету (1540 – 1603) удалось создать применяемый до
настоящего времени «общий способ преобразования уравнений». Но заслуги
миланского врача на этом не ограничиваются: он первым из математиков не
только дал способы решения уравнений, но и попытался проникнуть в их
природу, сформулировать положения, общие для всех алгебраических
уравнений. В этом главная историческая ценность «Великого искусства».
Прежде всего, заметим, что до появления этой книги уравнения с более
чем одним корнем относили к диковинкам, а отрицательные корни, как
правило, вообще не принимались во внимание. Кардано, решая в
восемнадцатой главе уравнения
x 3  10 x  6 x 2  4 , x 3  21x  9 x 2  5 ,
x 3  26 x  12 x 2  5 ,
нашел, что каждое из них имеет по три корня:
 2, 2 2 , 2 2;
5, 2 3 , 2 3;
2 , 5  19 , 5  19
соответственно. Более того, в первой главе книги («Великое искусство»),
написанной, вероятно, позже остальных глав, он приводит примеры
уравнений, имеющих различное число корней:
x 4  12  6 x 2
−
ни одного корня,
25
x 3  6 x 2  20
−
один корень (2),
x 2  4 x  21
−
два корня (3; −7),
x 3  11x 2  72
−
три корня (−3;
40  4 ;  40  4 ),
x 4  12  7 x 2
−
четыре корня (2; −2; 3; −3).
Таким образом, Кардано возводит исключение в правило и открывает
перед алгеброй широкие горизонты, закладывая основы для определения
характера и числа корней уравнения по его виду и виду его коэффициентов.
В «Великом искусстве» Кардано учит различать не только характер
корней трехчленных кубических уравнений, но задолго до Декарта
высказывает основополагающую идею «правила знаков». В современной
формулировке это правило, записанное у Кардано, выглядит следующим
образом: если в уравнении
x n  a1 x n 1  . . .  an 1 x  an  0
сосчитать число перемен и повторений знаков между его последовательными
членами, то окажется, что уравнение может иметь столько положительных
корней, сколько перемен знаков, и столько отрицательных корней, сколько
повторений знаков.
Относительно этого правила Кардано приводит в главе семнадцатой
следующие соображения. Выделяя в уравнении «крайние деноминации»
(крайние знаки) и «средние (или «вставные») деноминации», он
рассматривает перечисленные ниже случаи.
1. Крайние деноминации равны между собой (иначе говоря, все члены
уравнения по одну сторону от знака равенства имеют более высокую
степень, чем члены, находящиеся по другую сторону).
Примеры:
x 3  3x 2  7 x  20 ,
x 3  3x 2  7 x  20 ,
x 3  3x 2  7 x  20 .
В этом случае имеется одно изменение знаков, и уравнение имеет один
положительный корень.
2. Крайние деноминации равны средним.
Примеры:
x 3  10  6 x 2 , x 4  3x 3  10  2 x 2  6 x .
Здесь два изменения знаков, и уравнение имеет два положительных корня,
если только оно не «ложное» (т.е. не имеет только комплексно сопряженных
корней).
3. Крайние и средние деноминации уравниваются, чередуясь между
собой.
Пример:
x 3  qx  px 2  r .
Здесь более двух изменений знаков, и уравнение может иметь три корня.
Кардано доказывает сформулированные положения.
Например, в случае уравнения x 3  r  px 2 его рассуждения таковы.
26
Имеются величины x  p , которые, по словам Кардано, «доставляют»
(удовлетворяют неравенству) x 3  r  px 2 . Тогда по мере увеличения х
кубический член увеличивается быстрее, чем квадратичный член рх2 , а по
мере того, как х становится меньше, х3 уменьшается медленнее, чем рх2,
поскольку пропорция x : px 2  x : p увеличивается и уменьшается вместе
с соответствующим изменением х.
x 3  r  px 2
Следовательно, неравенство
можно преобразовать в
равенство x 3  r  px 2 , которое можно заставить посредством изменения
х как увеличиваться, так и уменьшаться. Поэтому уравнение имеет два
корня.
Конечно, подобные «доказательства» лишены строгости, и их следует
рассматривать скорее как комментарии к сформулированным положениям.
Кардано использует их в первой главе, в которой он анализирует характер
корней трехчленных кубических уравнений.
Например, для уравнения
x 3  r  qx ,
(17)
он указывает следующие возможные случаи.
2
1
q
q r
1) При
есть два корня: один положительный и один
3
3
отрицательный, причем абсолютная величина положительного корня в два
раза больше абсолютной величины отрицательного.
2
1
q
q  r есть три корня: один положительный и два
2) При
3
3
отрицательных, причем абсолютная величина положительного корня
является суммой абсолютных величин отрицательных корней.
2
1
q
q  r есть один корень – положительный.
3) При
3
3
Аналогичным образом анализируются остальные пять видов трехчленных
кубических уравнений.
Как утверждал впоследствии голландский историк математики Гравелар,
карданово «различение характера корней в трехчленных уравнениях даже с
современной точки зрения едва ли оставляет желать лучшего».
Хотя Кардано при изложении результатов своего исследования
ограничился действительными значениями корней, все же мнимые величины
не ускользнули от его внимания.
Он впервые столкнулся с ними при решении уравнения
x 3  r  qx ,
(17)
3
2
1 
1 
когда при  q    r  ему пришлось извлекать кубический корень из
3 
2 
мнимой величины. После многих неудачных попыток он понял, что
27
столкнулся с «неприводимым случаем» (как он его назвал) – «casus
irreducibilis» − и обратился за разъяснением к Тарталье, но тот не захотел (а
точнее, не мог) помочь Кардано.
Этот «неприводимый случай» очень смущал Кардано, так как ограничивал
применимость формулы дель Ферро – Тартальи. Он не понимал, почему,
например, при решении уравнения x 3  7 x  6 получается бессмысленный
результат:
100
100
 3 
,
27
27
в то время как уравнению удовлетворяет «истинный» корень x  3 .
Заметим, что рассматриваемое уравнение имеет еще два отрицательных
корня:
и
Вообще же можно показать, что в
x  1
x   2.
«неприводимом случае» все корни действительные.
Так же, как впоследствии Рафаэль Бомбелли, Кардано пытался свести
x 3

кубические корни вида 3 a  b к виду c  d , чтобы при сложении
мнимые числа исчезли. Он посвятил много времени этим попыткам, получил
интересные частные результаты, которые затем привел в «Правиле Ализа»,
но окончательно справиться с «неприводимым случаем» так и не смог.
Однако в процессе своих исследований Кардано сделал важный шаг в
понимании природы мнимых величин, которые он называл «минусом корня»
(«radix m») или «воображаемым минусом» («m sofisticum»).
Решая задачу о делении числа 10 на две части, произведение которых
равно 40 , т.е. определяя корень квадратного уравнения x 10  x   40 , он
получил числа 5   15 и 5   15 . При этом он показал, что если с
этими числами производить вычисления как с обычными двучленами и
полагать   15   15  15 , то они действительно будут удовлетворять
условию задачи.
В тридцать седьмой главе «Великого искусства» Кардано ставит одну за
другой четыре задачи, которые сводятся к решению уравнения
x 3  r  qx .
Требуется найти две величины, для которых:
1) сумма равна 6, а произведение равно 40;
ответ: 3  31 ;
2) сумма равна 6, а произведение равно −40;
ответ: 10;  4 ;
3) сумма равна −6, а произведение равно 40;
ответ: 4;  10 ;
4) сумма равна −6, а произведение равно −40; ответ:  3  31 .
Кардано отмечает, что вторая и третья задачи дают «чистый минус», а
первая и четвертая – «воображаемый минус». Он вычисляет суммы и
произведения полученных ответов и подчеркивает, что первые всегда равны
коэффициенту при первой степени неизвестной (q), а вторые – свободному
члену (r).
28
Из приведенных примеров ясно, что Кардано понимал необходимость
учета комплексных корней при решении квадратных уравнений. Более того,
в тех случаях, когда ему удавалось свести решение кубического уравнения,
например,
x 3  21  2 x
к решению квадратного уравнения
x 2  7  3x ,
3 1
которому удовлетворяли комплексные корни  
 19 , от его внимания
2 2
не мог ускользнуть тот факт, что среди корней исходного уравнения также
3 1
имеются и корни комплексного вида  3;  
 19 .
2 2
Именно поэтому можно утверждать, что современное деление корней на
положительные, отрицательные и комплексные, о котором впервые было
четко заявлено в книге «Новое открытие в алгебре» (1629) голландца
Альбера Жирара (1590 – 1632), ведет свое начало от «Великого искусства».
Вместе с тем необходимо отметить, что Кардано, свободно складывавший
и перемножавший мнимые числа, так и не понял окончательно их природы и
считал их совершенно не нужными и бессмысленными. Именно по этой
причине он не мог справиться с «неприводимым случаем», заслуга в
разрешении которого принадлежит Рафаэлю Бомбелли, Альберу Жирару и
другим математикам.
Кардано знал и говорил о некоторых соотношениях между корнями и
коэффициентами уравнения. В главе восемнадцатой, решая уравнения, для
которых он определяет количество корней,
x 4  12  6 x 2
−
ни одного корня,
x 3  6 x  20
−
один корень (2),
x 2  4 x  21
−
два корня (3; −7),
x 3  11x 2  72
−
три корня (−3;
40  4 ;  40  4 ),
x 4  12  7 x 2
−
четыре корня (2; −2; 3; −3),
Кардано делает вывод: «Ясно, что коэффициент при второй степени
неизвестной в этих примерах, в которых х имеет три значения, всегда можно
найти путем их сложения».
Другими словами, для уравнения
x 3  qx  px 2  r
наблюдается соотношение
x1  x 2  x3  p ,
где x1 , x 2 , x3 − корни уравнения.
Тот факт, что Кардано пришел к своему открытию через решение этого
уравнения, легко объясним: оно является единственным из тринадцати
кубических уравнений, у которых «крайние деноминации равны средним
29
переменным», и, таким образом, возможно появление трех положительных
корней.
Однако впоследствии Кардано не подчеркивает, что это положение имеет
особую силу, так как среди действительных корней обнаруживаются
отрицательные корни при условии, что можно предположить следующее:
«сложить минус» сводится к тому же, что и «отнять плюс» (глава
восемнадцатая). Кардано приводит это выражение и в первой главе, поясняя
решение уравнений
x 3  px 2  r и
x 3  r  px 2 ,
и говорит, что разность абсолютной величины между положительными и
отрицательными корнями этого уравнения означает коэффициент при
квадратичном члене.
Кардано иллюстрирует свое утверждение с помощью уравнения
x 3  72  11x 2 ,
40  4 ;  40  4 .
три корня которого равны 3;
Он знает, что это же положение относится и к уравнениям
x 3  qx  r
(16)
и
x 3  r  qx ,
(17)
2
в которых отсутствует квадратичный член (т.е. член с х ) и, значит, сумма
корней равна нулю.
Действительно, Кардано сводит решение уравнения (17) к решению
квадратного уравнения
x 2  wx  w 2  q
(25)
с помощью вспомогательного уравнения
w 3  qw  r
(23)
и почленного сложения уравнений (17) и (23), которое приводит к
уравнению
x 3  w 3  q ( x  w) .
(24)
Последнее уравнение после деления обеих частей (24) на двучлен x  w
принимает вид:
x 2  wx  w 2  q ,
(25)
откуда
2
1
 1 
x   w  q  3  w  .
2
 2 
Следовательно, уравнению (17) соответствуют две величины, для
которых w – положительный корень уравнения (23) − является суммой.
Кроме того, знак минус перед w означает, что сумма корней этого
уравнения равна нулю. Следует особо отметить, что Кардано знал о
30
зависимости , которая существует между корнями квадратного уравнения и
коэффициентом w при первой степени неизвестной.
Наконец, решение уравнения третьей степени, в котором встречается
1
квадратичный член, Кардано сводит посредством подстановки x  y  p
3
к решению уравнения третьей степени без этого члена. Такое уравнение
должно иметь вид
y 3  q1 y  r
если x1 , x 2 , x3 − действительные величины, для чего должно соблюдаться
равенство
y1  y 2  y 3  0 ,
следовательно,
x1  x 2  x3   p .
Таким образом, Кардано можно с полным правом считать
предшественником Виета, Гэрриота и Жирара, сформулировавших
положение о зависимости коэффициентов и корней уравнения.
Неалгебраические работы Кардано
Остановимся кратко на результатах, полученных Кардано в других
областях математики.
В «Новом сочинении об отношениях чисел» он качается некоторых
вопросов комбинаторики, основываясь главным образом на рассмотрении
свойств таблицы биномиальных коэффициентов, получившей впоследствии
название «треугольника Паскаля». Этот «треугольник» до него уже был
опубликован Штифелем (1549), Шлейбелем (1545), Пелетье (1549),
Рудольфом (1553) и Тартальей (1556).
Кардано выписывает все пятнадцать сочетаний из шести элементов по
два, утверждая без доказательства справедливость соотношения
C n1  C n2  . . .  C nn  2 n  1
и приводит правило для нахождения элементов треугольника Паскаля, из
которого следует, что ему было известно важное соотношение
n  r  1 r 1
C nr 
Cn .
r
Если бы Кардано применил это правило для разложения двучленов, он
мог бы предвосхитить биномиальную теорему для положительных степеней,
т.е. теорему о разложении бинома:
a  b n  C n0 a n  C n1 a n 1 b  C n2 a n  2 b 2  . . .  C nn 1 a b n 1  C nn b n .
Вместо этого он обратился к использованию чисел «треугольника» в
музыкальных гармониях.
До появления методов анализа бесконечно малых комбинаторика являлась
основным аппаратом теории вероятностей – еще одного раздела математики,
который привлек внимание Кардано. Он рассматривал некоторые
31
вероятностные задачи, связанные с игровыми ситуациями, в «Практике
арифметики», причем, как утверждает историк математики Л.Е.Майстров,
фактически уже пользовался теоремой сложения вероятностей, которая
появилась значительно позже.
Существенным шагом в развитии вероятностных представлений явилась
другая книга Кардано «Об игре в кости». Тщательное изучение этой работы
было предпринято известным норвежским математиком Оре в 1953 году и
Майстровым в 1968 году. Оценивая достижения Миланца (так звали Кардано
современники), Майстров писал: «Работа Кардано – существенный шаг в
развитии вероятностных понятий и представлений. Он сделал правильный
подсчет количества возможных исходов, как без повторений, так и с
повторениями при бросании двух и трех игральных костей. Он подошел к
пониманию
статистической
закономерности,
высказал
некоторые
соображения относительно вопроса, который впоследствии будет назван
законом больших чисел. Он, наконец, близко подошел к определению
вероятности через отношение равновозможных событий, используя
представление о математическом ожидании, ввел, по существу, понятие
безобидной игры».
Писал Кардано о совершенных и треугольных числах, о связи
«магических» квадратов с планетами, «о полезных и вредных для человека
числах», о различных геометрических проблемах, о правилах коммерческой
арифметики, о календарных вычислениях и о многом другом. Однако все, что
было сделано или написано им в различных областях математики, не идет в
сравнение с его алгебраическими результатами, так как «никто иной не
проник в тайну arte della cosa тех дней, как Джироламо Кардано, Миланец»
(Р.Бомбелли, «Алгебра», 1572).
Мнимые величины
Впервые новые математические объекты – мнимые величины –
встречаются в «Великом искусстве» (1545) Кардано. Он вводит эти величины
при решении задачи о делении числа 10 на две такие части, произведение
которых равно 30 или 40 (в то время, как максимальное произведение
действительных частей числа 10 равно 25).
Кардано пишет: «Если кто-нибудь потребует, чтобы разделить 10 на две
части, которые при перемножении дали бы 30 или 40, то ясно, что этот
случай или вопрос не возможен. Но мы поступим так: разделим 10 пополам,
половина будет 5; умноженная на саму себя она даст 25. Затем вычти из 25
то, что должно получиться при перемножении, скажем, 40; тогда останется
~ : 15 ;
m
если взять от этого R (т.е. квадратный корень) и прибавить к 5 и вычесть
из 5, то получаются части, которые, перемноженные между собой, дадут 40.
Таким образом, части эти будут
~ : Rm
~ : 15 ».
~ : 15 и 5 m
5~
p : Rm
32
В современных обозначениях решения Кардано имеют вид
5   15 , или 5  i 15 .
Кардано называл мнимые величины «чисто отрицательными» и, считая их
бесполезными, стремился не применять их.
Первым математиком, оценившим пользу мнимых величин, в частности,
при решении «неприводимого случая» кубического уравнения, был
работавший в Болонье инженер-гидролог Рафаэль Бомбелли (около 1526 –
1573). В 1572 году он издал «Алгебру», в первой книге которой рассмотрел
уравнение
x 3  px  q .
3
2
3
2
 p
q
 p
q
В случае, когда      , он пишет, что разность     
3
2
3
2
после извлечения из нее квадратного корня «не может быть названа ни
плюсом, ни минусом; поэтому я буду называть ее плюсом минуса, когда она
должна прибавляться, а в тех случаях, когда она должна вычитаться, я буду
ее называть минусом минуса… Корни этого рода покажутся многим скорее
софистическими, чем имеющими действительное значение; того же мнения
придерживался и я, пока не нашел доказательства на линиях».
Бомбелли указал восемь правил умножения мнимых и действительных
чисел, закладывая тем самым первый камень фундамента теории
комплексных чисел. В современных обозначениях эти правила выглядят
следующим образом:
 1 i   i ;
 i   i    1 ;
 i   i    1 ;
 1  i    i ;
 i   i    1 ;
 i   i    1 .
Других общих правил Бомбелли не приводит, но решает ряд примеров на
сложение, умножение и деление мнимых чисел. Например,
8 1  5 1  3 1 ;

3
3

 10  3 3 
 10 
3
19
и другие, более сложные.
Во второй книге «Алгебры» Бомбелли удалось показать, что в
неприводимом случае кубическое уравнение имеет действительные корни, но
большего достигнуть не удалось, поскольку его рассуждения содержали
порочный круг.
Ход рассуждений Бомбелли был такой.
3
2
 p
q
3
Пусть решение уравнения x  px  q при      , т.е. при
3
2
2
3
q
 p
      0 имеет вид:
2
3
x
3
a b 
Положим
33
3
a b .
3
a b  u v ,
(*)
a b  u v.
(*)’
Возведем эти равенства в куб и сложим полученные результаты, получим
u 3  3 uv  a .
(**)
Перемножив почленно левые и правые части тех же равенств, получим
3
u2  v  3 a2 b .
(**)’
Уравнения (**) и (**)’ связывают величины u и v. Исключим из них v
и получим уравнение для определения u :
4u  3 3 a 2  bu  a , или
где c 
3
4u 3  3 cu  a ,
a2  b .
Уравнение 4u 3  3 cu  a имеет действительный корень. Следовательно,
исходное уравнение относительно х в неприводимом случае содержит
действительный корень
x  u   v  u   v  2u ,
хотя этот корень и выражается через кубические корни из комплексных
чисел.
Однако общего решения задачи («неприводимого случая») метод
Бомбелли дать не мог, потому что вид уравнения для определения u
совпадает с видом исходного уравнения относительно х (в этом и состоит
x
q
p
порочный круг). В самом деле, при
получим
u , a , c
2
2
3
равенство
x 3  px  q .
Остальные числовые примеры Бомбелли удалось решить подбором.
Например, решая уравнение x 3  15 x  4 , Бомбелли получает корень
x  3 2   121  3 2   121 .
При этом уравнение относительно u
4u 3  15 u  2
имеет очевидный корень u  2 . Тогда v  1 и
3
2   121  2 
но в этом случае x  4 .
34
1 ,
Глава 2. Развитие алгебры во Франции в XV – XII веках
§ 1. Франсуа Виет
Символика Виета
Общие идеи и основные принципы новой алгебры Виет изложил во
«Введении в аналитическое искусство» (1591), которое должно было
составить начало большого всеобъемлющего алгебраического трактата.
Целью Виета было преобразование прежней алгебры в мощное
математическое исчисление.
«Искусство, которое я излагаю, − писал он, − ново, или, по крайней мере,
настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел
нужным придать ему совершенно новый вид… Все математики знали, что
под их алгеброй были скрыты несравненные сокровища, но не умели их
найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко
решаются десятками (людей) с помощью нашего искусства, представляющего
поэтому самый верный путь для математических изысканий».
При этом новую алгебру Виет делил на две части: одну, имеющую дело с
общими величинами, и другую, опирающуюся на первую и имеющую дело с
числами.
Общую алгебру Виет называл
«logistica speciosa», т.е. «видовой
логистикой» (термин «логистика» у древних греков обозначал совокупность
арифметических приемов вычислений, а термин «вид» имел здесь тот же
смысл, что и «символ», так как латинские слово «species» среди прочих
значений имеет также «вид» и «образ»). Предметом видовой логистики
является система математических объектов, частью геометрических, частью
псевдогеометрических, связанных между собой отношениями, аналогичными
арифметическим.
Эти объекты образуют шкалу, лестницу величин, суть которых сторона
(или корень), квадрат, куб, квадрато-квадрат, квадрато-куб и еще
бесконечное множество других скаляров («scalares»), принадлежащих к
различным реальным или фиктивным размерностям – длине или ширине,
площади, объему, площади-площади, площади-объему и т.д. Сложение,
вычитание и приравнивание скаляров подчинены, как и в древней
математике, «закону однородности» (правилу, по которому производить
перечисленные действия можно только с величинами одинаковой
размерности).
Когда величины выражены числами, они и отношения между ними
образуют предмет «logistica numerosa», т.е. «числовая логистика».
Между обеими частями алгебры существует тесная связь, и многие
управляющие ими законы находятся в прямом соответствии. Так,
умножению чисел соответствует «проведение» («ductio») одного скаляра по
другому, а именно, образование нового скаляра, размерность которого равна
сумме размерностей данных величин, аналогично. Аналогично делению
35
соответствует «приложение» («applicatio») скаляров. Благодаря такому
соответствию результаты видовой логистики можно применять к задачам
числовой логистики. Однако эти две алгебры не тождественны, и, в
частности, система скаляров не обладает ни свойствами поля, ни свойствами
кольца.
Видовой логистике Виет придал требуемую общность, создав символику,
в которой впервые появились знаки не только неизвестных, но и
произвольных, т.е. переменных данных величин. В качестве знаков скаляров
он принял прописные буквы алфавита: гласные для неизвестных и согласные
для известных. Виет отмечал, что необходимы наглядные и всегда
одинаковые символы, позволяющие отличать данные величины от
неизвестных, например, тем, что «искомые величины будут обозначены
буквой А или другой гласной E, I, O, U, Y, а данные – буквами B, C, D или
другими согласными». Это нововведение и особенно применение буквенных
коэффициентов положило начало коренному перелому в развитии алгебры:
только теперь стало возможным алгебраическое исчисление как система
формул, как оперативный алгоритм.
Само слово «коэффициент» восходит к Виету, который употреблял его,
правда, в несколько специальном смысле в «Первых замечаниях к видовой
логистике» (изданных в 1631 году), где вслед за «Введением» приводятся
различные преобразования алгебраических формул. Рассматривая выражения
вида
 A  B 2  D  A  B 
Виет называл величину D, участвующую с суммой A + B в образовании
D  A  B  , «longitude coefficiens» т.е. «содействующей
прямоугольника
длиной».
Из знаков действий Виет употреблял плюс ( + ) и минус ( − ),
произведение выражал словом «in» (в смысле«на»), в случае приложения
ставил разделительную дробную черту. Черта над многочленом играла у него
роль скобок (правда, случалось, что он применял фигурные скобки). Степени
он обозначал, приставляя к соответствующей букве слова «quadratum»,
«cubus» и т.д. или же их сокращения. Так, в «Дополнении к геометрии»
(1593) кубическое уравнение, записанное в современных обозначениях,
x 3  3r 2 x  r 3
в символике Виета имеет вид:
A cubus minus Z quadrato ter in A aequatur Z cubus.
Здесь соблюден, как видно, закон однородности и слово «ter» означает
«трижды», а слово «aequatur» − «равняется».
Обозначение степени неизвестной в числовой логистике были проще:
1-я степень
−
N
−
numero
−
число;
2-я степень
−
Q
−
quadratum −
квадрат;
3-я степень
−
C
−
cubus
−
куб;
и т.д.
36
В качестве числового примера только что написанного общего уравнения
Виет приводит запись
1C – 3N aequatur 1
3
т.е. x  3x  1 .
Употребляя для обозначения величин прописные, а не строчные буквы,
Виет следовал древним грекам.
Своей символикой Виет пользовался регулярно. Очень часто решение
задачи в буквенном виде он сопровождал числовыми примерами. Его
символику применяли и некоторые другие математики (среди которых был и
знаменитый Пьер Ферма) вплоть до середины XVII века.
Но символика Виета страдала недостатками. Неудобным было словесное
обозначение степеней, имеющее главное значение в символической алгебре.
К тому же Виет последовательно применял его только к неизвестным
величинам, а размерность буквенных коэффициентов устанавливал,
приписывая рядом с буквой слова «planum» («плоскость») и «solidum»
(«тело»), а также их комбинации или их сокращения.
Вот как выглядит, например, уравнение
x 3  3b 2 x  2 z 3
в сочинении «Об анализе и усовершенствовании уравнений» в издании 1646
года:
A cubus + B plano 3 in A aequatur Z solido 2 .
Корень этого уравнения, найденный по формуле Тартальи – Кардано, в
символике Виета имеет вид:
C
B plano  plano  plani  Z solido  solido  Z solido 
 C B plano  plano  plani  Z solido  solido  Z solido .
Громоздкость такой символики, обусловленная, в частности, требованием
однородности, вскоре стала очевидной. Трудность, связанная с обозначением
степеней (которые оказались непригодными для распространения на
произвольные показатели) выявилась несколько позднее.
Может показаться, что Виет ввел в символику алгебры совсем немного.
Буквами для обозначения величин пользовались еще Евклид, Архимед и
Диофант, их успешно применяли Леонардо Пизанский, Иордан Неморарий,
Николь Орем, Лука Пачоли, Джироламо Кардано, Рафаэль Бомбелли и
многие другие математики. Но сделал существенный шаг вперед Виет. Его
символика позволила решать не только конкретные задачи, но и находить
общие закономерности и полностью обосновывать их. Это, в свою очередь,
способствовало выделению алгебры в самостоятельную ветвь математики, не
зависящую от геометрии.
Решение уравнений первых четырех степеней
Преимущества символики предоставили Виету возможность не только
получить новые результаты, но и более полно и обоснованно изложить все
37
известное ранее. Если предшественники Виета высказывали некоторые
правила или «рецепты» для решения конкретных задач и иллюстрировали их
примерами, то Виет дал полное изложение вопросов, связанных с решением
уравнений первых четырех степеней.
Рассмотрим ход рассуждений Виета на примере решения кубического
уравнения.
Пусть требуется решить уравнение x 3  3ax  2b . Положим a  t 2  xt .
Выразим отсюда х:
a t 2
x
t
и подставим найденное выражение в исходное уравнение:
a  t 
2 3
a t2
 3a
 2b .
t
t3
Для определения t получим квадратное уравнение относительно t 3 :
t 
3 2
 2bt 3  a 3  0 .
Из последнего уравнения определяется t , а затем и х.
Заметим, что подстановка a  t 2  xt приводит исходное уравнение к
виду:
x  t 3  t 2  2b ,
которое вместе с уравнениями
x  t t  a
x  t 3 t 3  a 3
и
дало бы возможность применить метод дель Ферро – Тартальи. Но Виет не
пошел таким путем. Найдем методом Виета действительный корень
уравнения
x 3  24 x  56 ;
здесь а = 8 , b = 28 .
Запишем уравнение относительно t :
t 
3 2
 56t 3  8 3  0
и решим его:
t 3   28 
28 2  8 3   28  36 ;
t1  3 8  2 ;
t2 
Теперь найдем х:
3
 64   4 .
84
8 16
 2 ; x2 
 2  x1 .
2
4
Виет, верный последователь древних греков, оперировал только
рациональными положительными числами, которые он обозначал буквами.
Если в результате подстановки в уравнение значений параметров неизвестная
оказывалась иррациональной, он давал этому случаю особое обоснование. В
x1 
38
качестве примера такого обоснования приведем «геометрическое» решение
кубического уравнения по способу дель Ферро – Тартальи.
Прежде всего, Виет представляет уравнение с помощью своей символики
в форме:
A3  3 BA  D .
Известное решение имеет следующий вид: «А есть разность сторон,
которые образуют площадь В и разность кубов которых равна D», т.е., если
обозначить эти стороны через u и v, то получим соотношения:
uv  B ;
3
u  v3  D ;
u  v  A.
Для того, чтобы применить «геометрическое» решение, Виет пишет затем
вместо «D solidum» произведение «B planum» на D, так что получается
уравнение:
A 3  3 BA  BD .
Затем он определяет четыре величины, образующие геометрический ряд,
так, чтобы прямоугольник, построенный на средних или крайних, равнялся
В, а разность крайних равнялась D. В таком случае А будет разностью
средних. Если обозначить эти четыре величины через z, u, v, t, то можно
выразить сказанное следующим образом:
z : u  u : v  v : t;
zt  uv  B ;
z t  D;
u  v  A.
Отсюда видно, что оба решения совпадают (если в решении Тартальи D
заменить на BD) и что последний способ выражения соответствует античной
замене кубического корня двумя средними геометрическими. Действительно,
пропорции дают следующие соотношения:
v 3  zt 2 ,
u 3  v 3  zt  z  t   BD .
u 3  z 2t ,
Виет особо рассматривал трехчленные уравнения различных степеней и в
первую очередь интересовался количеством их корней, имея в виду только
положительные корни. Отрицательные корни он определял как корни
уравнения, в котором неизвестная х заменена на (−у). Виет получал
трехчленные уравнения из квадратных. Он поступал так, чтобы число
положительных корней оставалось прежним. При этом он пользовался
подстановкой x  ky m или специальными приемами.
Один из приемов Виета выглядит следующим образом. Пусть дано
уравнение
x 2  ax  b , a  0 , b  0 ,
x 2  ax  b  0 .
или
Для получения уравнения четвертой степени возведем левую и правую
части уравнения в квадрат:
x
2
 ax  b

2
 0;
x 4  a 2 x 2  b 2  2ax 3  2bx 2  2abx  0 .
39
Полученное уравнение можно переписать в виде:
x 4  2ax 3  2a 2 x 2  a 2 x 2  b 2  2bx 2  2abx  0 .
Воспользуемся равенством x 2  ax  b , тогда


2ax 3  2a 2 x 2  2ax x 2  ax  2 abx .
Значит,


x 4  2ax 3  2a 2 x 2  a 2 x 2  b 2  2bx 2  2abx  0 ,
x 4  2abx  a 2 x 2  b 2  2bx 2  2abx  0 ,
x 4  a 2 x 2  b 2  2bx 2  0 .
x 2  b  ax
Теперь из условного равенства выразим х2:
полученное выражение в последнее равенство:
x 4  a 2  2b x 2  b 2  0 ,



и подставим

x 4  a 2  2b b  ax   b 2  0 ,


x 4  a 3  2ab x  b 2  a 2 b .
Полученное уравнение четвертой степени имеет те и только те
положительные корни, которые были у исходного уравнения.
Для нахождения трехчленного уравнения третьей степени Виет в качестве
исходного брал уравнение:
ax  x 2  ab .
При умножении левой и правой частей на двучлен x + b получается
уравнение:
a  b x 2  x 3  ab .
Новые уравнения имеют в обоих случаях те же положительные корни, что
и исходные уравнения.
В уравнении
ax m  x m  n  b ,
которое может иметь два корня, Виет определяет коэффициенты так, чтобы
корни имели данные значения. Если обозначить последние через у и z, то
ymn  zmn
ymn zm  ym zmn
a
b
,
.
ym  zm
ym  zm
Аналогичное определение коэффициентов Виет предпринимает и для
уравнений вида
ax m  x m  n  b ,
где m + n − четное число, а m – нечетное число.
Важно то, что Виет распространил известные ранее частные
преобразования на все алгебраические уравнения.. Подстановку x  y  k ,
которую Кардано применял для исключения из кубического уравнения члена
второй степени, он применил к уравнениям любой степени. Известную
Кардано обратную подстановку
40
k
y
Виет использовал, чтобы освободиться в некоторых
отрицательных коэффициентов и иррациональностей.
Например, уравнение
x 4  8 x  3 80
x
Виет подстановкой x 
3
случаях
от
80
преобразовывал к уравнению вида
y
y 4  8 y 3  80 .
a
y Виет преобразовывал уравнение n-й степени
b
так, что коэффициент при члене n  1 -й степени становился равным b, в то
время, как старший коэффициент оставался равным единице.
Подстановку
x  ky Виет применял, чтобы избавиться от дробных
коэффициентов.
Подстановкой
x
Формулы Виета
Особый интерес представляет исследование Виета по составлению
уравнений из линейных множителей и по установлению связей между
корнями уравнения и его коэффициентами.
Рассмотрим ход рассуждений Виета на следующих примерах.
Пусть х1 и х2 − корни приведенного квадратного уравнения
x 2  px  q  0 .
Перемножим двучлены  x  x1  и  x  x 2  :
x  x1 x  x 2   x 2  x1  x2  x 
x1 x 2 ,
тогда, сравнение с исходным уравнением дает систему равенств:
 p   x1  x 2  ,
q  x  x .

1
2
Выполняя аналогичные действия для приведенного кубического
уравнения
x 3  a1 x 2  a 2 x  a3  0 ,
считая х1 , х2 и х3 корнями исходного кубического уравнения, получаем:
x  x1 x  x2 x  x3   x 3  x1  x2  x3  x 2  x1 x2  x2 x3  x1 x3  x  x1 x2 x3 ,
следовательно, имеет место система равенств
a1   x1  x 2  x3 ,

a 2  x1  x 2  x1  x3  x 2  x3 ,

a3  x1  x 2  x3 .
Такой результат для квадратного уравнения был известен Кардано (а в
случае положительных корней – еще раньше). Кардано отметил свойство


41
корней кубического уравнения относительно коэффициента при х2, но
никакого обоснования в общем виде он дать не мог. Это сделал Виет для
любого уравнения до пятой степени включительно.
Кардано в ту пору, когда еще не знал метода дель Ферро – Тартальи,
решал некоторые уравнения третьей степени разложением на множители.
Например, в уравнении
2 x 3  4 x 2  25  16 x  55
он прибавлял к обеим частям уравнения выражение 2 x 2  10 x  5 , а затем
преобразовывал исходное уравнение к виду
2 x  6 x 2  5  2 x  6x  10  ,
сокращал на двучлен 2 x  6  (так как не учитывал отрицательные корни) и
получал квадратное уравнение
x 2  5  x  10 .
При нахождении положительного корня кубического уравнения
x 3  b  ax
Кардано складывал его почленно с уравнением
y 3  ay  b ,
и получал квадратное уравнение делением на двучлен x  ( y) . Такое
преобразование позволило Кардано установить, что коэффициент при члене
второй степени в правой части исходного кубического уравнения равен
сумме его корней. Это был первый шаг к установлению зависимости между
корнями и коэффициентами алгебраического уравнения.
Виет составил полные уравнения с заданными положительными корнями
вплоть до пятой степени и показал, как образуются коэффициенты при x n 1 ,
x n  2 , x n 3 и т.д. (при этом коэффициент при старшей степени Виет считал
равным 1 или (−1)). Он установил, что эти коэффициенты при условии, что
свободный член в правой части должен был стоять со знаком «+»,
представляют собой взятые с чередующимися знаками суммы: самих корней,
попарных произведений корней, произведений корней, взятых по три и т.д.
Работа, в которой Виет подробно рассмотрел это утверждение, до нас не
дошла. Неизвестно, как он поступал в том случае, когда уравнение имело
отрицательные корни. Скорее всего, это не представляло для Виета особых
трудностей: достаточно было в исходном уравнении сделать замену
x  y
и можно оперировать с положительными корнями нового уравнения. Такие
примеры в его работах встречались. Например, если уравнение
x 3  q  px
имеет два положительных корня х1 и х2 , то уравнение
y 3  py  q
имеет один положительный корень y1   x3 , причем y 2  x1  x 2 .
Тогда


42
 p  x1 2  x 2 2  x1 x 2
 q  x  x  x x .

1
2
1 2
В исследованиях Виета встречались начала теории симметрических
многочленов и разложения многочленов на линейные множители, что вскоре
привело к открытию основной теоремы алгебры о числе корней уравнения
произвольной натуральной степени.
Метод приближенного решения уравнений
с числовыми коэффициентами
В работе «О численном решении чистых и связанных степеней с
доказательством» (которая написана в 1591, а опубликована в 1600 году)
Виет изложил метод приближенного решения уравнений с числовыми
коэффициентами. Этот метод применялся математиками до конца XVII века,
а затем был вытеснен более простым методом Ньютона. Виет предложил
искать положительный корень уравнения в виде
x  x1  x 2  x3  . . .  x n ,
где xn − единицы, xn 1 − десятки и т.д.
Рассмотрим метод Виета сначала на примере квадратного уравнения
x 2  cx  a .
Положим
x  x1  x 2  x3 ,
где x 3 − единицы, x 2 − десятки и x1 − сотни. Подставим х в уравнение и
преобразуем последнее к виду
2
2
2
x1  cx1  2 x1  c  x 2  x 2  2 x1  x 2   c x3  x3  a .
Значение х1 легко находится подбором (это будет видно из приведенного
ниже примера). Определив х1 , вычислим сумму двух первых слагаемых и
вычтем ее из а. Назовем полученную разность первым остатком и
обозначим ее R1 . Коэффициент при х2 можно вычислить, так как х1 и с
известны. При определении х2 Виет пренебрегал членом х2 2 и членами,
содержащими х3 , а при определении х3 − членом х3 2.
Разделим R1 на двучлен 2 x1  c  и получим
х2 . Подсчитаем
коэффициент при х3 и найдем второй остаток
2
R2  R1  2 x1  c  x 2  x 2 .
Разделив R 2 на коэффициент при х3 , т.е. на выражение 2 x1  x2   c ,
найдем х3 .
Чтобы уяснить подробности метода, разберем пример, принадлежащий
Виету.
Решим уравнение
x 2  7 x  60750 .
Установим пробой число сотен:
43
x1  100 2  10 000
это явно мало; х1 = 200 дает 40 000, а х1 = 300 приводит к 90 000, что
превышает а = 60750. Следовательно, нужно взять х1 = 200, тогда
2
x1  cx  41 400 .
Найдем R1 :
R1  60750  41400  19350 .
Подсчитаем теперь коэффициент при х2 : 2 x1  c  407 . Делим R1 на
2 x1  c :
19350
 47,54 .
407
Отсюда x 2  40 . Теперь можно вычислить второй остаток:
2
2 x1  c  x2  x 2 2
 407  40  1600  17880 ,
новый остаток будет
R2  19350  17880  1470 .
Коэффициент при х3 равен
2 x1  x 2   c  487 .
Найдем х3 :
1470
x3 
 3,01 .
487
Берем x3  3 . Окончательно получаем:
x  x1  x 2  x3  243 .
Подстановка х в левую часть исходного уравнения дает 60750.
Естественно, что решать приближенно квадратные уравнения нет смысла,
но так легче ознакомиться с реализацией метода.
Обратимся теперь к кубическому уравнению. Пусть необходимо найти
положительный корень уравнения
x 3  px  q ,
где р и q − целые положительные числа и q − многозначное число,
значительно превосходящее р.
x 3  q  px ,
Так как
то
Это позволяет
x3  q ;
x  3 q.
утверждать, что первая слева цифра числа х не превосходит первой цифры
числа 3 q . Предположим, пробами установлено, что x1  a1 . Пусть
x1  a1  x 2 .
истинное значение корня
Подставим его в исходное
уравнение:
3
q  a1  x 2   p a1  x 2  .
Тогда первый остаток будет
3
2
3
R1  q  a1  pa1  3a1  3a1 x 2  p x 2  x 2 .

 
3

Отбросим x2 и положим в скобках х2 = 1 , тогда получим
44
x2 

q  a1  pa1
3
.
3a1  3a1  p
Первая цифра
х2
не превосходит первой цифры правой части
неравенства. Найдем ее и обозначим а2 , получим новое приближение корня
x  a1  a 2 , в котором известны уже две цифры. Тогда
2


R2  q  a1  a 2   p a1  a 2  .
Далее найдем третью цифру корня. Пусть x  a1  a 2  x3 . Подставим
это значение в исходное уравнение:
3
q  a1  a 2  x3   p a1  a 2  x3  
3
2
2
3
 a1  a 2   3a1  a 2  x3  3a1  a 2 x3  p a1  a 2   px3  x3 .
Тогда
3
2
3
R2  q  a1  a 2   p a1  a 2    3a1  a 2   3a1  a 2 x 3  p x 3  x 3 .

3


Отыскание х3 производится так же, как и х2 .
Всех этих формул у Виета нет; он только
последовательного нахождения каждой цифры корня.

поясняет
прием
§2. Пьер Ферма
Теория уравнений у Ферма
Ферма – величайший французский математик XVII столетия, пришел к
своим теоретико-числовым открытиям, которые по значению далеко
опередили свое время, в результате изучения работ Диофанта в издании Баше
де Мезириака. Часть открытых Ферма важных теорем была обнаружена лишь
после его смерти на полях его рабочего экземпляра книги Диофанта.
Большое значение приобрела проблема целочисленного решения
уравнения
ax 2  1  y 2 ,
где а есть данное не квадратное число. Ферма сначала поставил эту задачу
перед Френиклем в 1657 году, а затем, согласно обычаю, предложил ее в
открытом письме всем современным математикам. Найти ее решение, весьма
сложное, удалось Валлису и Броункеру. Оно было опубликовано в 1658 году.
Вследствие этого недоразумения Эйлер приписал решение этой проблемы
Пеллю. С тех пор проблема получила наименование «уравнение Пелля»,
которое сохранилось за ней и в современной литературе, хотя Пелль вовсе не
занимался приведенным уравнением. Было бы справедливее присвоить ей
имя Ферма. Он обладал ее общим решением, а также доказательством того,
что уравнение
ax 2  1  y 2
всегда разрешимо.
45
Более подробные указания Ферма собирался привести в сочинении,
посвященном теоретической арифметике. Однако такое сочинение, к
сожалению, не увидело свет. Частные случаи этой важной проблемы были
изучены еще греками, а индусы дали гениальное ее решение, в основном
совпадающее с более поздним способом Лагранжа. Но все это не умаляет
славы Ферма, вновь открывшего проблему и оценившего ее значение.
Стремясь обобщить теоремы древних о составлении прямоугольных
треугольников с рациональными сторонами, Ферма пришел к ряду теорем о
невозможности некоторых равенств. Важнейшая из них утверждает, что
уравнение
xn  yn  zn
при n > 2 не разрешимо в целых числах.
Эта теорема, которая в начале ХХ столетия приобрела столь громкую
известность благодаря учреждению Вольфскелем премии в 100 000 марок за
ее решение, находилась среди замечаний, сделанных Ферма на полях книги
Диофанта. Рядом стояли такие слова: «Для этого я располагаю поистине
чудесным доказательством, но поля слишком узки, чтобы его можно было на
них поместить». Общее доказательство предложения Ферма безуспешно
искали величайшие математики до нашего времени. Ее доказательство
привел в своем докладе на научной конференции в Кембридже 23 июня 1993
года (после семилетней работы над проблемой) английский математик
Эндрю Уайлс.
Вспомним, как решалась эта проблема математиками XVIII – XIX веков.
Куммеру удалось получить доказательство для всех простых чисел n , таких
что 3  n  100 , причем доказательство можно было провести только с
помощью средств, которые не могли быть известны в XVII столетии.
Поэтому некоторые математики и историки науки утверждение Ферма о том,
что он располагал соответствующим доказательством, считают ошибочным.
Однако до нас дошло его доказательство для n = 4, которое содержится в
другом предложении.
Это утверждение гласит: «Не существует прямоугольного треугольника,
стороны которого суть целые числа, а площадь − квадрат».
Для доказательства этого предложения Ферма показал, что если допустить
существование одного такого треугольника, то должен существовать другой
треугольник с площадью, выражающейся квадратом, и с меньшими
целочисленными сторонами, а от этого треугольника можно перейти к
следующему и т.д. до бесконечности. Но так как бесконечного числа
убывающих положительных целых чисел не существует, то принятое
допущение ошибочно.
Доказательство
невозможности
существования
треугольника
с
описанными свойствами содержит в себе, если следовать рассуждениям
Ферма, невозможность существования квадрата, равного разности двух
четвертых степеней: u 4  v 4 и, следовательно, равенство
46
u 4  v 4  w4
невозможно.
Именно, если представить три целочисленные стороны прямоугольного
треугольника в виде
x 2  y 2 , 2 xy , x 2  y 2


x 2  y 2 xy
и если допустить, что площадь
есть квадрат, то должны
выполняться равенства
x  u2 ,
y  v2,
значит, произведение
u
4

 v4 u2 v2
также было бы квадратом, откуда
следовало бы, что u 4  v 4 также есть квадрат.
Френикль де Бесси, который был знаком с общим методом Ферма, дал
основывающееся на нем доказательство «великой теоремы Ферма» при n = 4
уже в 1676 году в «Трактате о числовых прямоугольных треугольниках». Его
доказательство, по сути, совпадало с тем, которое нашел Эйлер.
Впрочем, как указывал Ферма, он применял свой метод доказательства к
теоремам не только отрицательного, но и положительного характера.
Во второй части «Нового открытия», представляющего ключ ко многим
замечаниям, сделанным Ферма на полях «Арифметики» Диофанта,
разбирались, в частности, так называемые «трехкратные равенства»,
которые Ферма считал собственным открытием.
Речь шла о том, чтобы сделать квадратными сразу три выражения, что,
впрочем, нередко встречалось и у Диофанта. Выражения эти имеют либо
форму a 2  bx (например, 1 + х , 4 + 2х , 9 + 6х ), либо форму a 2 x 2  bx
(например, x 2 + х , 4 x 2 + 2х , 9 x 2 + 6х ).
Теория чисел у Ферма
В арифметике Ферма в основном интересовали простые числа, отношение
делимости и их свойства.
Ферма дал обстоятельные пояснения приема для нахождения множителей
данного числа. Этот прием позволяет после того, как небольшие
первоначальные множители выделены путем обычных проб, отыскивать
такие множители, которые лежит вблизи квадратного корня из числа. Если
само число есть N , а наименьшее из целых чисел, превышающих N есть
а , то
N  a2 b .
Если b не квадрат, что в большинстве случаев сразу видно по его
последней или двум последним цифрам, то полагаем b1  b  2a  1 и имеем
N  a  1  b1 .
Далее получаем аналогичным образом
2
47
N  a  2  b2
и т.д. Продолжаем так до тех пор, пока не получим разложение
N  p 2  q 2   p  q  p  q .
Так как N путем выделения множителя 2 уже с самого начала было
сделано нечетным, то этот прием выявляет все возможные разложения.
Полученные Ферма результаты, касающиеся делимости чисел некоторого
определенного состава, связаны с одним классом исследований, которые
занимали его с раннего времени и в которых он, судя по его письмам, достиг
постепенно высокого мастерства. Исследования эти касались нахождения
занимавших еще древних математиков так называемых совершенных и
дружественных чисел, а также чисел, находящихся в данном отношении к
сумме их делителей.
Чтобы понять замечания Ферма относительно применяемых им методов,
нужно вспомнить, что сумма всех делителей числа
N  p  q   . . . ,
где p и q – простые множители, равна выражению
1  p  . . .  p  1  q  . . .  q  . . .  p   q  . . .
или
p   1 1 q  1 1
N  

. . .  p  q . . .
p 1
q 1
Этого общего закона Ферма нигде не выставляет. Наиболее подробные его
замечания относятся к таким простым случаям, в которых речь идет о числах
вида 2   p или 2   p  q , где р и q – простые числа.
Ферма сообщает, что он владеет методом, с помощью которого он может
из числа вида 2   p  q , равного половине суммы своих делителей, (т.е.
совершенного числа), например, числа
120  2 3  3  5 ,
получить следующее за ним число, обладающее тем же свойством, (т.е. снова
совершенное число):
672  2 5  3  7 .
Таким образом, Ферма получил из равенства вида
2   1  1 1  p 1  q   3  2   p  q ,
где   3 , p  3 , q  5 , новое, в котором   5 , q  7 .
Тем же методом он пользуется для того, чтобы из дружественных чисел
220  2 5  5  11 и 284  2 2  71
образовать новые дружественные числа
17 296  2 4  23  47 и 18 416  2 4  1151 ,
т.е. имея одно решение системы
2   1 1 1  p 1  q   2   p  q  2   r  2   1 1 1  r  ,
где р , q и r – простые числа, получить из него другое, более сложное.
2








48

Ферма пришлось столкнуться с вопросом о делимости чисел вида
Он установил следующие утверждения:
 2 n  1 есть число составное, если n – число составное;
2 n 1 .
 2 n  2 делится на 2n , если n – простое число (кроме 2); в этом случае
число 2 n  1 не делится ни на какие другие простые числа, кроме тех,
которые имеют вид 2rn  1.
В скором времени он обобщил второе из указанных утверждений, показав,
что простое число n , не являющееся делителем числа а , является
делителем числа a n 1  1 . Этому утверждению, широко известному под
именем «малая теорема Ферма» сам Ферма также не дал доказательства.
Это утверждение находит применение также в исследованиях о сумме
делителей, когда рассматриваемые числа содержат простые множители,
отличные от 2.
2 n  1 Ферма перешел к
От вопроса о разложимости чисел вида
рассмотрению разложимости чисел вида 2 n  1 , тем более, что этот вопрос
также имел для него большое значение при исследованиях чисел,
находящихся в данном отношении к сумме их делителей.
Ферма утверждал, что:
 такие числа разложимы, если число n не является степенью двойки;
n
 2 2  1 есть всегда простое число.
Справедливость первого утверждения очевидна. Что касается второго, то
Эйлер обнаружил впоследствии его ошибочность, найдя число
2 32 + 1,
которое делится на 641. По этому поводу следует отметить, что сам Ферма
всегда указывал на тот факт, что он не имеет полного доказательства, хотя в
своих письмах он выражал все большую убежденность в справедливости
своего утверждения. Убежденность эта основывалась не только на том
n
обстоятельстве, что первые числа вида 2 2  1 действительно являются
простыми, но, по словам Ферма, и на том, что для большого количества
чисел он доказал, что они не могут служить делителями чисел такого ряда.
Результаты, полученные Ферма, имели бы для нас значение (вне
зависимости от их связи с ошибочным утверждением), если бы они
сохранились.
§3. Рене Декарт
Построение математики на арифметико-алгебраической основе
содержалось уже в работах Виета и его ближайших последователей. Однако
лишь Декарт воспринял эту новую идею с глубоким пониманием ее
значения. В сочинении «Исчисление Декарта» неизвестный автор изложил
арифметические основы математики Декарта. Он писал: «Эта новая
арифметика состоит из букв a , b , c и т.д., а также из цифр 1, 2, 3 и т.д.
49
1
c , то это означает,
4
что величина а берется двойной, величина b – тройной, а от величины с
берется четверть. Но если они находятся позади букв, например, a 3 , b 4 , то
это означает, что величина а умножается сама на себя три раза, а величина
b – четыре раза. Сложение производится с помощью знака «+». Чтобы
сложить а и b , пишут а + b . Вычитание производится с помощью знака
«−». Чтобы вычесть a из b пишут b – a и т.д. Если в вычитаемом
выражении есть несколько частей, то у них в нем меняются лишь знаки. Так,
если из d требуется вычесть a – b + c , то получится d – a + b – c .Точно
так же при вычитании a 2  b 2 из c 2  d 2 останется c 2  d 2  a 2  b 2 . Но
если имеются присоединенные цифры и члены одинакового вида, то их
следует подписывать друг под другом и производить их сложение и
вычитание как в обыкновенной арифметике (имеется в виду приведение
подобных членов). Если требуется умножить одну букву на другую, то их
следует лишь соединить вместе, но если имеются присоединенные числа, то
они следуют законам обыкновенной арифметики. Что касается знаков, то
известно, что + на + дает в произведении + , и что − , умноженный на − ,
также дает в произведении + . Но + на − , или же − на + , дает в
произведении − ».
Точно так же определялись действия деления, операции с дробями по
правилам обыкновенной арифметики. Например, рассуждения о корне были
следующими: «Когда корень извлечь из квадрата нельзя, то квадрат
помещают под связку
, чтобы отметить, что его следует рассматривать
как корень, и тогда его корень называют иррациональной величиной».
Формализации алгебры способствовало то, что Декарт усовершенствовал
буквенную символику. Он обозначал известные величины буквами a , b , c
… , неизвестные («неопределенные») буквами х , у , z … Он ввел
обозначение степеней: a 2 , a 3 , x 2 , x 3 … Правда, квадраты величин он
выражал также с помощью символов аа и хх .
Обозначение корня несколько отличается от современного. Например,
выражение
Если цифры стоят перед буквами, например, 2а , 3b ,
1
1
1 3
c q
qq 
p
2
4
27
Означает один из кубических корней, входящих в формулу Кардано.
Все буквы формулы Декарта считались положительными величинами.
Для обозначения отрицательных величин ставился знак минус. Если знак
коэффициента произволен, то перед ним ставилось многоточие. Знак
равенства имел необычный вид: ∞ . Вот как, например, выглядело уравнение
с произвольными коэффициентами:
 x 4 ... px 3 ... qx ... 0 .
3
50
Чтобы отметить отсутствующие члены уравнения, Декарт применял
звездочки, например:
x5     b  0.
Уравнения, по утверждению Декарта, представляют собой равные друг
другу суммы неизвестных и известных членов, или же «если рассматривать
эти суммы вместе, то они равны «ничему» (нулю). Декарт указал, что
уравнения часть удобно рассматривать именно последним образом, т.е. в
виде
P x   0 .
Для теоретических построений Декарта такая запись уравнений играла
важную роль. Этой формой он пользовался при установлении числа корней
алгебраического уравнения, что привело к формулировке основной теоремы
алгебры: число корней уравнения (положительных – «истинных»,
отрицательных – «ложных» и мнимых – «воображаемых») равно числу
единиц в наивысшем показателе степени входящей в уравнение неизвестной
величины. Справедливость теоремы Декарт аргументировал тем, что при
перемножении n двучленов вида (х – а) получается многочлен степени n .
Если все корни положительные, то, по словам Декарта, дело обстоит так:
«Всякое уравнение может иметь столько же различных корней или же
значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений; так
как если, например, принять х = 2 или же х – 2 равным ничему, а также
х = 3 или же х – 3 равным ничему, то, перемножив оба эти уравнения
х–2=0 и х–3=0,
мы получим
хх – 5х + 6 = 0 ,
или же
хх = 5х – 6 ,
уравнение, в котором величина х имеет значение 2 и вместе с тем значение
3.
Если принять еще х – 4 = 0 и умножить это выражение на
хх – 5х + 6 = 0 ,
то мы получим
x 3  9 xx  26 x  24  0 ,
другое уравнение, в котором х обладает тремя измерениями и имеет три
значения 2 , 3 , 4».
Если же
х
выражает собой недостаток какой-нибудь величины,
например, 5, то мы получим
х+5=0.
Умножив последнее уравнение на предыдущее, получим
x 4  4 x 3 19 xx  106 x 120  0 ,
(1)
уравнение, у которого четыре корня: три истинных (положительных) 2 , 3 , 4
и один ложный (отрицательный) −5.
Построение левой части уравнения в виде произведения двучленов
приводит к тому, что степень уравнения можно понизить, разделив левую
часть на двучлен х – а , где а – корень уравнения. С другой стороны, если
51
такое деление невозможно, то число а не будет корнем уравнения.
Например, левую часть уравнения (1) можно разделить на х – 2 , х – 3 ,
х – 4 , х + 5 , но нельзя разделить на любой другой двучлен х – а , что
показывает наличие у этого уравнения только четырех перечисленных
корней.
Декарт сформулировал правило знаков, дающее возможность установить
число положительных и отрицательных корней уравнения: «Истинных
(положительных) корней может быть столько, сколько раз в нем изменяются
знаки + и − , а ложных (отрицательных) столько, сколько раз встречаются
подряд два знака + или − ». Впоследствии Декарт внес уточнение: при
наличии невозможных (мнимых) корней уравнения число положительных
корней может (а не должно) быть равным числу перемен знаков.
Декарт выразил правила и на примерах показал, какие следует выполнять
преобразования, чтобы изменить знаки корней уравнения, увеличить или
уменьшить корни, получить уравнение, не содержащее второго члена и т.д.:
«Легко сделать так, чтобы все корни одного и того же уравнения, бывшие
ложными, стали истинными, и вместе с тем все бывшие истинными стали
ложными. Это можно сделать, изменив на обратные все знаки + или − ,
стоящие на втором, четвертом, шестом и других, обозначенных четными,
местах, не изменяя знаки первого, третьего, пятого и им подобных,
обозначенных нечетными числами, мест».
Применив такое преобразование к уравнению (1), получим уравнение
x 4  4 x 3 19 xx 106 x 120  0 ,
(2)
имеющее один положительный корень 5 и три отрицательных корня: −2, −3,
−4.
Можно, не зная корней уравнения, увеличить их на какую-либо величину,
для чего необходимо сделать следующую замену. Например, уравнение (2)
после замены x  y  3 преобразуется к виду
y3 8y2  y  0 .
Его положительный корень 8 превышает положительный корень
уравнения (2) на 3.
Декарт заметил, что «увеличивая истинные (положительные) корни, мы
уменьшаем ложные (отрицательные), и наоборот», при этом он имел в виду
абсолютные величины корней.
Правило исключения второго члена уравнения, известное еще Виету,
Декарт иллюстрировал примерами. Например, уравнение
x 4  16 x 3  71x 2  4 x 120  0
подстановкой z – 4 = х он сводил к уравнению
z 4  25 z 2  60 z  36  0 ,
корнями которого являются числа –3, –2, –1, 6.
Второй член уравнения
x 4  2ax 3  x 2 2a 2  c 2  2a 3 x  a 4  0


52
1
он исключал, используя подстановку x  z  a , которая преобразует его к
2
виду
1
1
1

z 4  z 2  a 2  c 2   z a 3  ac 2  a 4  a 2 c 2  0 .
16
4
2

Декарт отмечал, что можно также сделать, «чтобы все ложные
(отрицательные) корни уравнения стали истинными (положительными), но
истинные не стали ложными». Он утверждал, что легко оценить величину
неизвестных отрицательных корней уравнения. В этом можно усмотреть
постановку вопроса о границах действительных корней уравнения, которому
впоследствии большое внимание уделял Ньютон.
Для умножения и деления неизвестных корней уравнения на число,
приведения дробных и иррациональных коэффициентов к целым Декарт
пользовался теми же подстановками, которые были известны Виету.
Рассмотрим пример. Если положить
y  x 3 и z  3y ,
то уравнение
26
8
x3  x2 3 
x
0
27
27 3
преобразуется последовательно в уравнение
26
8
y3  3y 2  y   0 ,
9
9
а затем в уравнение
z 3  9 z 2  26 z  24  0 .
Корнями последнего уравнения являются числа 2, 3, 4; предыдущего
2 3 3 4 3
2
4
,
,
уравнения  , 1 , , первого 
.
9
3
9
3
3
О воображаемых (мнимых) корнях Декарт писал: «Как истинные, так и
ложные корни не всегда бывают действительными, иногда оказываясь
воображаемыми. Другими словами, хотя всегда можно представить себе, у
каждого уравнения столько корней, сколько я сказал (т.е. столько корней,
какова степень многочлена), но иногда не существует ни одной величины,
которая соответствует этим воображаемым корням. Так, например, хотя у
уравнения
x 3  6 xx  13 x 10  0
можно представить себе три корня, но на самом деле оно имеет только один
действительный корень, именно 2. Что касается двух других корней, то
сколько бы их ни увеличивать, уменьшать или умножать так, как я только
объяснил (т.е. избавляться от иррациональности), все равно их не удастся
сделать иными, чем воображаемыми».
Декартом была поставлена еще одна чрезвычайно важная задача алгебры
– задача приводимости уравнений, т.е. представления многочлена с


53
рациональными (целыми) коэффициентами в виде произведения
многочленов низших степеней. Декарт установил, что корни уравнения
третьей степени с целыми коэффициентами старшим коэффициентом,
равным единице, строятся с помощью циркуля и линейки (другими словами,
уравнение разрешимо в квадратных радикалах) тогда и только тогда, когда
это уравнение имеет целый корень (т.е. его левая часть может быть
представлена в виде произведения множителей первой и второй степеней).
Для уравнения четвертой степени Декарт также указал условие его
разрешимости: оно состоит в разрешимости его кубической резольвенты, т.е.
соответствующего уравнения шестой степени, кубического относительно у2.
54
Часть вторая. ФОРМИРОВАНИЕ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ
Глава 3. Попытки решения в радикалах уравнений выше пятой
степени
§1. Решение уравнений в радикалах
После того как Феррари решил уравнение четвертой степени, начались
поиски формулы корней уравнения пятой степени, т. е. уравнения вида
x 5 + a1 x 4 + a2 x 3 + a3 x 2 + a4 x + a5 = 0 (1)
Формула должна была дать решение этого уравнения в радикалах, т. е.
выразить корни уравнения через его коэффициенты с помощью четырех
арифметических действий и извлечения корня. Многие математики
посвятили этой проблеме долгие годы напряженного труда.
Бесплодность их поисков ослабила интерес к задаче, тем более что к
концу XVII в. почти все математики были захвачены новой бурно
развивающейся областью знаний – анализом бесконечно малых. Его методы
позволяли найти приближенные значения корней любого уравнения с
наперед заданной точностью. Поэтому задача отыскания формулы корней
перестала быть актуальной. Но давно уже сказано, что не хлебом единым
жив человек. Хотя эта проблема утратила свой практический интерес,
находились энтузиасты, продолжавшие поиск решения в радикалах
уравнений пятой и более высоких степеней.
Одним из них был немецкий барон Эренфрид Вальтер фон Чирнгауз
(1651–1708), который, впрочем, занимался не только алгеброй, но и
математическим анализом, а еще строил заводы для изготовления
невиданных тогда больших оптических линз и зеркал, был одним из
изготовителей знаменитого саксонского фарфора. Предки барона жили в
северных областях Чехии и носили фамилию Черноус.
a
x  y  1 , свел уравнение (1) к более
Чирнгауз, произведя замену
5
простому уравнению
y 5 + b2 y 3 + b3 y 2 + b4 y + b5 = 0,
не содержащему слагаемого с четвертой степенью неизвестного. Пытаясь
сделать то же самое со всеми другими степенями неизвестного, меньшими
пятой, он рассмотрел более сложную подстановку
x = c1 y 3 +c2 y 2 +c3 y + c4
подбирая специальным образом коэффициенты c1, c2 , c3 , c4 .
Однако все меньшие степени ему исключить не удалось. Как показал
позднее шведский любитель математики, профессор истории Лундского
университета Эрланд Самуэль Бринг (1736—1798), этим методом можно
свести уравнение пятой степени лишь к уравнению
y 5 + py + q = 0.
Освободиться же от слагаемого py никак не удается.
55
В 30-е годы XVIII в. проблемой решения уравнения пятой степени занялся
величайший из математиков этого века Леонард Эйлер. Он заметил, что
уравнения второй, третьей и четвертой степеней сводятся к уравнениям
более низкой степени, которые он назвал aequato resolvens—разрешающими
уравнениями; сейчас их называют резольвентами. Опираясь на то, что
решение кубического Уравнения получается в виде
применил к уравнению
x 4 = ax2 + bx + c
x  3 A  3 B , он
аналогичную подстановку x  4 A  4 B  4 C и получил новый способ
решения уравнения четвертой степени.
Вдохновленный этим успехом, Эйлер предпринял попытку решить
уравнение n - й степени с помощью подстановки x  4 A  4 B  ..... 4 C , где
число слагаемых равно n – 1. Как и у Чирнгауза, метод дал осечку при
п
= 5 – уравнение пятой степени устояло. Не помогли и подстановки более
сложного вида. Единственным существенным успехом было открытие
способа решения так называемых возвратных уравнений. Это уравнения, у
которых коэффициенты членов, равноудаленных от начала и от конца, одинаковы. Например, возвратное уравнение пятой степени имеет вид
а х 5 + b x 4 + с х 3 + с х 2 + b х + а = 0,
шестой степени – вид
а х 6 + b x 5 + с х 4 + d х 3+ c х 2 + b x + a = 0
Для возвратных уравнений Эйлер доказал несколько предложений.
Во-первых, уравнение нечетной степени имеет корень –1; в результате
деления такого уравнения на x + 1 вновь получается возвратное уравнение
уже четной степени.
Во-вторых, уравнение четной степени вместе с корнем x = α содержит и
1
корень x 
(нулевого решения возвратное уравнение не имеет).

1
позволяет уменьшить степень
x
уравнения в два раза. Надо отметить, что такую подстановку при решении
возвратных уравнений применял в 1730 году уже Муавр.
Некоторые уравнения сводятся к возвратным при помощи подстановки
1
x = . Для этого достаточно, чтобы коэффициенты уравнения
z
а0 х 2n + a1 x 2n–2 +…+ an–1 х 2 +аn = 0
удовлетворяли условию
аk l n-k = an-k l k,
0  k  n,
т.е. ak = an-k l 2k-n.
Издавна было известно, что допускают понижение степени уравнения
вида а0х2n + a1x2–-2 +…+ an–1 х2 +аn = 0. Здесь достаточно сделать
подстановку у = х2. При этом корни таких уравнений обладают следующей
симметрией: вместе с корнем α у них есть противоположный ему корень (–α).
Таким образом, подстановка y  x 
56
Исследования Эйлера наводили на мысль, что существует какая-то связь
между возможностью понизить степень уравнения и симметриями его
корней. Однако пролить свет на этот вопрос удалось не ему, а другому
выдающемуся математику XVIII в – Жозефу Луи Лагранжу.
Вопросом решения алгебраических уравнений Лагранж занялся во время
отдыха от сложнейших размышлений о дифференциальных уравнениях и их
приложениях к теоретической физике. В результате проведенных
исследований он установил связь между разрешимостью таких уравнений в
радикалах и перестановками их корней.
Чтобы понять идею Лагранжа, вспомним формулы Виета, выражающие
элементарные симметрические многочлены от корней уравнения степени п
через его коэффициенты. Очевидно, решение самого уравнения равносильно
решению системы, составленной из соотношений Виета. Но задача при этом
не упрощается, поскольку решение системы сводится к исходному
уравнению. Лагранж пришел к мысли, что надо рассматривать не только
симметрические многочлены, которые не меняются ни при какой
перестановке корней, но и многочлены, меняющиеся только при некоторых
перестановках. На этом пути можно найти резольвенту – вспомогательное
уравнение, по корням которого определяются корни данного уравнения.
Обратимся к примеру.
Рассмотрим многочлен y = x1 x2 + x3 x4 от корней уравнения четвертой
степени. Он не изменяется при следующих перестановках:
 1 2 3 4
 – здесь меняются местами x1 и x2; 
 2 1 3 4
a) 
1 2 3 4 
 – здесь меняются местами x3 и x4;
1
2
4
3


б) 
1 2 3 4
 – здесь меняются местами x1 и x3 , x2 и x4.
3
4
1
2


в) 
Кроме того, можно по-разному комбинировать друг с другом эти
перестановки. В результате получаются следующие восемь перестановок,
сохраняющих неизменным многочлен x1x2 + x3x4 .
1 2 3 4   1 2 3 4  1 2 3 4   1 2 3 4 

 , 
 , 
 , 
 ,
1 2 3 4   2 1 3 4  1 2 4 3   2 1 4 3 
1 2 3 4 1 2 3 4  1 2 3 4  1 2 3 4

 , 
 , 
 , 
 .
 3 4 1 2  3 4 2 1   4 3 1 2  4 3 2 1 

 1 2 3 4
 называется подстановкой.
 4 3 1 2
В современной литературе по алгебре запись вида 
57
Общее число перестановок из 4 букв равно 4! = 1 2  3  4 . Так как восемь
из них не изменяют многочлена x1x2 + x3x4, то при всевозможных
перестановках получатся лишь 24:8 = 3 различных многочлена:
y1 = x1x2 + x3x4,
y2 = x1x3 + x2x4,
y3 = x1x4 + x2x3.
Образуем теперь многочлен от t вида
F1(t) = (t – y1) (t – y2) (t – y3) = (t – x1x2 – x3x4) (t – x1x3 – x2x4) (t – x1x4 – x2x3).
При любой перестановке корней x1 , x2 , x3 , x4 в этом многочлене разве что
переставляются множители, а поэтому сам многочлен не изменяется.
Следовательно, не будут меняться коэффициенты при различных степенях t.
Значит, эти коэффициенты – симметрические многочлены от корней x1, x2,
x3 , x4 уравнения x 4 + a1 x 3 + a2 x 2+ a3 x +a4 = 0 .
В силу основной теоремы о симметрических многочленах коэффициенты
многочлена F(t) запишутся в виде многочленов от a1 , a2 , a3 , a4 .
Поэтому по корням кубического уравнения F(t)=0 можно восстановить
корни x1 , x2 , x3 , x4 исходного уравнения 4-й степени.
Лагранж в «Размышлениях об алгебраическом решении уравнений»
(1771—1773) доказал теорему: пусть x1, x2, x3, x4 – корни уравнения
x n + a1 x n-1 + … + an-1 x + an = 0
и пусть число y - значение некоторого многочлена от этих корней; пусть,
далее, при всевозможных перестановках корней x1, x2,…, xn этот многочлен
принимает лишь k различных значений, тогда y является корнем уравнения
F(t)=0 степени k , коэффициенты которого – многочлены от
коэффициентов a1, a2,…, an исходного.
Зная корни многочлена F, можно восстановить корни исходного
уравнения. Многочлен F и является резольвентой данного уравнения.
Лагранж показал, что для уравнения n - й степени резольвента имеет
n  1!
степень, равную
, где n  – функция Эйлера. При n = 3 выражение
n 
n  1!
равно 1, при n = 4 оно равно 3, а при n = 5 равно 6.
n 
Значит, кубическое уравнение сводится к линейному, уравнение 4-й
степени – к кубическому, а вот уравнение 5-й степени – к уравнению 6-й
степени, т.е. степень резольвенты не уменьшается по сравнению со степенью
исходного уравнения, а увеличивается.
Получив этот результат, Лагранж написал: «Весьма сомнительно, чтобы
методы, которые мы рассмотрели, могли дать общее решение уравнения
пятой степени» и закончил свой труд следующими пророческими словами:
«Вот, если я не ошибаюсь, истинные принципы решения уравнений и анализ,
наиболее пригодный, чтобы привести к решению; как мы видели, все сводится к некоторому исчислению комбинаций, с помощью которого получают
a priori результаты, которые следует ожидать».
Исследованиями Лагранжа теория алгебраических уравнений была
поставлена на правильные рельсы: все до тех пор известное получается с
единых позиций, покончено с кустарными рассмотрениями частных случаев,
58
четко выделены трудности. Главное, указывается роль перестановок корней.
Именно эта идея позволила в дальнейшем полностью решить проблему
разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Но это уже было
сделано в следующем столетии.
§2. Абель и Галуа
Латинская поговорка гласит, что боги рано забирают к себе своих
любимцев. Дальнейшая история решения алгебраических уравнений
подтверждает эту невеселую мысль. Два молодых гения решили вопрос,
стоявший перед математиками почти 300 лет, и оба рано ушли из жизни.
Норвежец Нильс Хенрик Абель родился в 1802 году в небольшой
деревушке. Первоначальные школьные успехи в математике у Нильса были
не слишком большими. Но, когда он учился в старших классах, в школу
пришел новый учитель математики Б. М. Хольмбое, который первым заметил
математический талант юноши. Под его руководством Нильс стал
продвигаться вперед с быстротой, отличающей гения. С особенным
интересом изучал он работы Лагранжа. Еще не окончив школу, молодой
математик пытался решить общее уравнение пятой степени. После
нескольких недель напряженной работы ему показалось даже, что нужная
формула найдена. Но, применяя ее к конкретным уравнениям, он понял, что
где-то в рассуждения закралась ошибка. Учась в университете, он вернулся к
этим исследованиям и в 22 года получил выдающийся результат.
На этот раз Абель не ставил перед собой цель отыскать формулу корней
уравнения пятой степени. Он задался вопросом: может ли вообще
существовать такая формула? Преодолев большие трудности, он доказал, что
такой формулы не существует – общее уравнение пятой степени
неразрешимо в радикалах. Тем самым проблема, над которой математики
столь долго бились, была полностью решена. Чтобы сделать поскорее
полученный результат достоянием математиков, Абель за свой счет
отпечатал брошюру с доказательством на французском языке, который был
тогда самым распространенным в математике. Из-за отсутствия средств ему
пришлось сократить изложение и предоставить читателям возможность
додумать детали рассуждения. Неудивительно, что лишь немногие
математики смогли полностью разобраться в содержании этой работы.
Вскоре выяснилось, что за четверть века до Абеля аналогичный результат
получил итальянский ученый Паоло Руффини (1765—1822). И хотя доказательство Руффини было неполным, все же теорему о неразрешимости
уравнений пятой степени в радикалах теперь называют теоремой Руффини –
Абеля.
Итак, формулы решения произвольного уравнения 5-й степени не
существует. Тем не менее, отдельные виды уравнений 5-й и более высоких
степеней решаются в радикалах. Например, уравнение
x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1= 0 .
59
В качестве примера уравнения, неразрешимого в радикалах, годится
уравнение x 5+ 2x + x = 0. Но как это установить? Вопрос о том, как
определить, разрешимо ли вообще данное уравнение в радикалах, пока
оставался открытым.
Результат, полученный Абелем, выдвинул его в ряды первых математиков
мира. Окончив университет в Осло, он получил стипендию для
образовательной поездки за границу. В это время немецкий инженер и
математик Август Леопольд Крелль (1780—1855) основал «Журнал чистой и
прикладной математики». Благодаря своим личным качествам он сумел
привлечь к участию в своем журнале маститых ученых и одаренную молодежь. В первом номере журнала Крелля было опубликовано пять работ
Абеля. Продолжал он печататься и в последующих номерах. Результаты
Абеля открыли новые направления в математике. Он развил теорию
специальных интегралов и положил начало изучению так называемых
эллиптических функций (в дальнейшем и интегралы, и функции стали
называться абелевыми). Абель первым рассмотрел уравнение, содержащее
интеграл, доказал теорему об области сходимости степенного ряда, носящую
теперь его имя.
Но на родине эти работы не принесли автору заслуженного успеха. После
возвращения домой он вынужден был давать частные уроки. Нужда
преследовала его. Ухудшилось и без того слабое здоровье: развился
туберкулез. Тем не менее, он продолжал усиленно заниматься математикой.
Через год Абель, наконец, получил должность доцента в университете и в
том же году был избран в Королевское общество Норвегии. Но вскоре он
сильно простудился, болезнь обострилась, и молодой ученый скончался в
1829 году в возрасте 26 лет. «Он работал не для себя, а лишь для науки,
которую горячо любил, – писал журнал Крелля, – давайте же воздадим
должное памяти человека, который отличался столь огромным талантом и
столь необычайной душевной чистотой. Давайте почтим в его лице одного из
тех редких людей, которых природа раз в столетие создает на нашей земле».
Ф. Клейн, характеризуя творчество Абеля – этого «математика милостью
божьей», сравнивает его с блистательным Моцартом. В «Лекциях о развитии
математики в XIX столетии» он пишет: «...дух Абеля обладает силой,
позволяющей ему подыматься ввысь и, обозревая все окрест, в полете, на
первый взгляд не требующем никаких усилий, достигать еще более общих
целей».
Еще в более раннем возрасте оборвалась жизнь другого юного гения –
французского математика Эвариста Галуа. В глазах окружающих он был
недоучившимся студентом, изгнанным из Подготовительной школы,
участником тайных революционных кружков, недавним арестантом. Но сам
он знал, что создал новый мир в математике, открыл пути, по которым
пойдут будущие исследователи. Однако чтобы это свершилось, нужна была
одна малость – успеть записать новые идеи, чтобы они дошли до современников и потомков.
60
Эварист Галуа родился в 1832 году в небольшом городке близ Парижа. В
12 лет он поступил в Парижский лицей Людовика Великого, где стал одним
из лучших учеников. Вначале он был увлечен изучением древних языков, но
растущая страсть к математике постепенно завладела всем его временем.
Эварист приступил к самостоятельному изучению работ Лагранжа, Эйлера,
Гаусса. В 16 лет он решил, что нашел формулу корней общего уравнения 5-й
степени, сделав ту же ошибку, что и Абель.
Попытка поступить в одно из лучших учебных заведений Европы –
знаменитую Политехническую школу окончилась неудачей, и он был
вынужден вернуться в опостылевший ему лицей. Но тут ему повезло.
Эварист попал в класс учителя Ж. Ришара, который был в курсе
современных достижений науки и стремился расширить кругозор учащихся.
В 17 лет Галуа получил первый научный результат. Одна его заметка была
послана в известный научный журнал и вскоре увидела свет. Другую работу
он послал в Парижскую академию наук, но она была там затеряна. Повторная
попытка поступить в Политехническую школу тоже оказалась неудачной:
предложенный им оригинальный способ решения труднейшей задачи не был
понят экзаменаторами. Через несколько дней после провала на
вступительном экзамене на Эвариста свалилась новая, неизмеримо большая
беда. Его отец покончил жизнь самоубийством.
В феврале 1830 года Галуа был зачислен в Подготовительную школу –
бледную тень прежней Нормальной школы, созданной Наполеоном и
упраздненной Бурбонами в 1826 году. В ней готовились будущие
преподаватели. Во время обучения в этой школе он опубликовал еще три
научные работы и представил рукопись на конкурс в Академию наук. Но она,
как и первая, бесследно там исчезла. В июле 1830 года Галуа сделал попытку
присоединиться к народным массам, восставшим против режима Бурбонов.
Это привело к столкновению с директором школы и через некоторое время к
исключению из нее. Юноша начал давать уроки математики и продолжал
научные исследования. Свою очередную работу он снова послал в
Парижскую академию. Но продолжал он и революционную деятельность, за
что был арестован и заключен в тюрьму. В тюрьме Эварист не переставал
заниматься математикой. Здесь он узнал, что рукопись его возвращена из
Академии наук с письмом, где сказано, что его «рассуждения недостаточно
ясны, недостаточно развернуты и не дают возможности судить, насколько
они точны...». Галуа открыл новую математику, в которой идеи важнее
формул, а для математиков, воспитанных на формальных преобразованиях,
такой метод рассуждений был недоступен.
Вскоре после освобождения из тюрьмы Галуа был убит на дуэли, по
некоторым данным, подстроенной полицией. В ночь перед дуэлью он
написал письмо своему другу Огюсту Шевалье, в котором изложил свои
результаты и попросил опубликовать их. Просьба была выполнена, но работа
осталась не замеченной математиками. Лишь через 14 лет на нее обратил
внимание Ж. Лиувилль. Он изучил другие работы Галуа и опубликовал их в
61
основанном им «Журнале чистой и прикладной математики». Только после
этого результаты Галуа были признаны научным миром.
Сейчас общеприняты термины «поле Галуа», «группа Галуа»,
«когомологии Галуа». И когда, читая какую-нибудь научную работу,
встречаешь сокращение Gal, не надо долго размышлять о его смысле: буквы
Gal означают Galois (Галуа) – имя гениального юноши, построившего
фундамент современной алгебры.
§3. Группы подстановок
 1 2 ... n 

 означает подстановку, при которой
 k1 k2 ... kn 
число 1 переходит в число k1, число 2 – в k2, …..., а число n переходит в kn,
где k1,…, kn – те же числа 1, 2,...., n
взятые в другом порядке. Две
 1 2 ... n 
 1 2 ... n 
 , b = 
подстановки a = 
можно выполнить

k
k
...
k
l
l
...
l
n
1 2
1 2
n
последовательно одну за другой. Результат последовательного выполнения
двух подстановок а и b называют их произведением и обозначают ba.
Найдем, например, ba, если
 1 2 3 4
1 2 3 4
 ,
a  

 .
b


4 1 3 2 
3
4
2
1




Напомним, что запись
Так как при подстановке а число 1 переходит в 3, а при подстановке b
число 3 переходит в 3, то при bа число 1 переходит в 3. Таким же образом
находим, что 2 переходит в 2, далее 3 переходит в 1, а 4 – в 4. Значит,
1 2 3 4
 .
ba  
3
2
1
4


1 2 3 4 

 . Следовательно, произведение, подстановок
ab

В то же время
1
3
2
4


не обладает свойством коммутативности. Но оно обладает свойством
ассоциативности. Иными словами, если а, b, с – три подстановки, то
c(ba) = (cb) a.
Кроме того, среди подстановок есть тождественная подстановка
1 2 ... n 
 ,
e  
1 2 ... n 
такая, что для любой подстановки а выполняются равенства ae = ea = a.
Наконец, для каждой подстановки а есть обратная к ней подстановка a–1
такая, что a a –1 = a –1a = e.
Чтобы написать ее, достаточно поменять местами в подстановке а
верхнюю и нижнюю строки, после чего расположить столбцы в порядке
62
 1 2 3 4
 будет
возрастания чисел верхней строки. Например, обратной к 
2
3
4
1


подстановку
 2 3 4 1
 1 2 3 4

 , т.е. 
 .
1
2
3
4
4
1
2
3




Легко проверить, что для любых двух подстановок выполняется равенство
(ab) –1= b –1a –1.
Обозначим множество всех подстановок чисел 1, 2, .... n через Sn. Мы, вопервых, определили в множестве Sn операцию умножения (бинарную
операцию), обладающую свойством ассоциативности. Во-вторых, множество
Sn содержит единицу (нейтральный элемент). И, наконец, в-третьих, вместе с
каждым элементом
а
множество Sn содержит ему обратный
а–1.
Множество, обладающее тремя указанными свойствами, называют группой.
Таким образом, Sn является группой. Поскольку под действием ее элементов
(подстановок) симметрические многочлены от n переменных остаются
неизменными, то Sn называют симметрической группой (отсюда и
обозначение). Число элементов группы называют ее порядком. Порядок
симметрической группы Sn равен n! , в частности, порядок группы S3
равен 3! = 1∙2∙3 = 6, а порядок S4 равен 4! = 1∙2∙3∙4 = 24.
Если взять не все множество Sn , а только какую-то его часть
(подмножество), то может оказаться, что для двух подстановок этой части их
произведение в нее не входит. Может случиться и так, что какая-то
подстановка входит в выбранную часть, а обратная к ней не входит. Но если
подстановки выбираются не произвольно, а отражают симметрию некоторого
многочлена, то таких неприятностей не будет. Рассмотрим, например,
подстановки переменных x1, x2,…, xn, оставляющие неизменным многочлен
Dn   xi  x j  (произведение всех разностей xi – xj для которых i < j ).
1 i  j  n
Ясно, что все такие подстановки образуют группу. Обозначим ее An . При
подстановках, не вошедших в эту группу, многочлен Dn меняет знак на
противоположный. В связи с этим многочлен
Dn
называют
знакопеременным, а группу An —знакопеременной группой. Решение
уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней тесно связано с этой группой.
Подмножество в группе, само образующее группу относительно той же
операции, называется подгруппой данной группы. Так что An является
подгруппой Sn . Она содержит ровно половину подстановок из Sn , а поэтому
ее порядок вдвое меньше порядка Sn . В Sn , помимо элементов подгруппы
An , имеется еще ровно столько же подстановок, но они группы не образуют,
так как среди них нет единичной (тождественной) подстановки.
Еще один вид групп подстановок возникает при решении задачи о
построении правильных многоугольников. Они состоят из таких подстановок
чисел 1, 2, ..., n, при которых не меняется их порядок, если они записаны на
окружности. Например, при n = 4 к числу таких подстановок относятся
63
1 2 3 4 
 ,
e  
1
2
3
4


1 2 3 4 
,
a  

2
3
4
1


 1 2 3 4
,
b  

3
4
1
2


 1 2 3 4
 .
c  
4
1
2
3


Так как эти подстановки связаны с вращением окружности, то состоящую
из них группу называют циклической (от греч. “кюклос” - круг).
2
3
1
4
0
5
При этом заметим, что a 2 = b, a 3 = c, a 4 = e, т. е. все элементы группы
являются степенями одного из них. Именно это свойство является
характеристическим для циклической группы и положено в основу
определения такой группы. Из этого определения легко видеть, что любая
циклическая группа коммутативна: a m ∙ a k = a m+k = a k+m = a k ∙ a m .
Приведем еще два примера циклических групп в S4 :
1 2 3 4 
 1 2 3 4
 1 2 3 4
1 2 3 4
 , d  
 , f  
 , g  
 ,
e  
1 2 3 4 
 2 4 1 3
 4 3 2 1
 3 1 4 2
здесь d 2 = f, d 3 = g , d 4 = e ,
1 2 3 4
 1 2 3 4
 1 2 3 4
1 2 3 4 
 , l  
 , m  
 ,
 , k  
e  
3
4
2
1
2
1
4
3
4
3
1
2
1
2
3
4








где k 2 = l , k 3 = m , k 4 = e .
Очевидно, все три указанные циклические группы являются подгруппами
S4 , но не являются подгруппами A4.. В нее входят только подстановки b, f, l и
е. Они также образуют группу, ее обозначают B4. Поскольку b 2 = f 2 = l 2 = e,
то B4 имеет три циклические подгруппы второго порядка. Обозначив одну из
них через C4 , получим следующую цепочку:
S4  A4  B4  C4 .
Исследования Лагранжа, о которых говорилось выше, были основаны на
следующей теореме, называемой ныне теоремой Лагранжа: если Н –
подгруппа в группе перестановок G, то порядок группы G делится на
порядок подгруппы Н. (Правда, сам Лагранж не употреблял слова “группа”, а
формулировал утверждение в иных терминах.) Проблему разрешимости
уравнения в радикалах Лагранж свел к отысканию подгрупп группы Sn ,
сохраняющих некоторые многочлены.
Утверждение, доказанное Абелем, гласит: уравнение
a 0 x n + a1 x n–1 + … + an–1 x + an = 0
(2)
64
разрешимо в радикалах, если каждый его корень xk выражается в виде
рациональной функции rk (x) от одного фиксированного корня, допустим, x1
причем для любых k и m выполняются равенства
rk(rm(x1))= rm(rk(x1)).
Напомним, что рациональной функцией называется частное двух
многочленов. Из условия теоремы ясно, что функции r1 (x),…, r n (x),
составляют группу относительно операции образования сложной функции,
причем группа эта коммутативна. Коммутативные группы называют еще
абелевым. В случае уравнения деления круга
x n–1 + x n–2 + … + x + 1 = 0
(3)
k
рациональными функциями являются r k (x) = x , так как x k = r k (x1) = x1 k.
Они образуют циклическую группу порядка п. По теореме Абеля уравнение
(3) разрешимо в радикалах (необязательно квадратных) при любом п.
Рассмотрим частный случай этого уравнения при п=5:
x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0.
Покажем, что утверждение Абеля связано с перестановками его корней.
Сопоставим каждой из функций r1 (x) = x , r2 (x) = x 2 , r 3 (x) = x 3 ,
r4
4
(x) = x подстановку корней уравнения по правилу
 x1
k
 x1
r k (x)= 
x2
x2
k
x3
x3
k
x4 
k 
x 4 
Для простоты вместо самого корня будем записывать его номер. Тогда
1 2 3 4 
 1 2 3 4
 = e, r 2 (x) ↔ 
 = d,
1
2
3
4
2
4
1
3




1 2 3 4 
 1 2 3 4
 = g, r 4 (x) ↔ 
 = f.
r 3 (x) ↔ 
1 2 3 4 
 4 3 2 1
В результате получили знакомую нам циклическую подгруппу
симметрической группы S4.
Однако исследования Абеля выделили лишь некоторый класс уравнений,
разрешимых в радикалах. Их называют абелевыми. А как найти все такие
уравнения? Ответ на этот вопрос дал Галуа.
Имеем произвольное алгебраическое уравнение (2) с рациональными
коэффициентами. Будем считать, что его левую часть невозможно разложить
на множители более низкой степени так, чтобы коэффициенты остались
рациональными (иначе наше уравнение свелось бы к более простым
уравнениям). Каждому такому уравнению сопоставляется некоторая группа
подстановок его корней – подгруппа в Sn. Описать ее можно следующим
образом. Найдем все рациональные соотношения между корнями уравнения.
Рассмотрим группу всех подстановок корней, при которых эти соотношения
переходят друг в друга или не меняются. Эту группу называют группой Галуа
данного уравнения. Пусть для нее можно построить цепочку подгрупп (обладающих специальными свойствами) так, что каждая следующая является
подгруппой предыдущей и завершающая эту цепочку подгруппа содержит
только тождественную перестановку. В этом случае группу называют
r 1 (x) ↔ 
65
разрешимой. Заметим, что любая подгруппа разрешимой группы тоже
является разрешимой.
Критерий Галуа гласит: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах
в том и только в том случае, если его группа Галуа разрешима.
В теории групп доказывается разрешимость симметрической группы S4.
Соответствующая цепочка подгрупп для нее имеет вид:
S4  A4  B4  C4  {e}.
Отсюда сразу вытекает, что любое уравнение степени n ≤ 4 разрешимо в
радикалах: его группа Галуа является одной из подгрупп группы S4. А вот
для n ≥ 5 группа Sn неразрешима, поэтому уравнения пятой и более высоких
степеней в общем случае неразрешимы в радикалах. Тем не менее, имеются
отдельные виды таких уравнений, составляющие исключение из общего
правила (их группы Галуа являются разрешимыми подгруппами в Sn).
Например, абелевы уравнения. Они имеют своей группой Галуа конечную
коммутативную (абелеву) группу, а они все разрешимы. Разрешимы и все
конечные циклические группы как частный случай абелевых, поэтому
разрешимо в радикалах уравнение (3).
В настоящее время построена теория, позволяющая для данного
уравнения с числовыми коэффициентами найти его группу Галуа и тем
самым ответить на вопрос о его разрешимости в радикалах. Если ответ
положительный, то для решения уравнения в рамках общей теории Галуа
составляют резольвенты Лагранжа, при этом существенно используются
первообразные корни из единицы.
§4. Циклические группы
Симметрия господствует в окружающем нас мире. Многочисленные
примеры симметрии поставляет нам живая природа – флора и фауна. Вид
симметрии живого организма (зеркальная, осевая, поворотная) определен
способом его существования и принципом минимальности (экономности).
Труднее разглядеть образы симметрии в неживой природе. Но и здесь ей
подчинено устройство и небесных тел, и кристаллов, и молекул. Оно тоже не
случайно, а обусловлено физическими законами.
Человек живет среди симметричных предметов, созданных его руками.
Это дома и машины, мебель и книги, почти все предметы нашего обихода.
Своей соразмерностью радуют глаз замечательные произведения искусства и
66
великолепные архитектурные сооружения. Но в строительстве и технике, да
и при изготовлении предметов быта симметрия используется не только из
соображений красоты и удобства. Пропорциональность и уравновешенность
всех частей сооружения являются основой его прочности.
Немецкий математик Герман Вейль (1885—1955) писал: «Симметрия
является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков
пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Возникает
вопрос: можно ли измерить симметричность Парфенона или выразить
числом симметричность морской звезды? Снова обратимся к группам.
Сначала понятие группы связывали только с подстановками корней
уравнений. Но затем обнаружили, что подстановками можно
охарактеризовать симметрию многоугольников и многогранников. Это и
понятно: ведь для задания симметрии достаточно указать, какая вершина
переходит в какую. Приведем примеры.
Сначала рассмотрим равнобедренный треугольник; на (рис.1)
его
вершины занумерованы. Этот треугольник имеет одну ось симметрии.
Симметрия его относительно этой оси определяется подстановкой
 1 2 3
a = 
 его вершин. Очевидно, a2 = e, где e — тождественная
 2 1 3
подстановка, оставляющая вершины на месте. В самом деле, выполняя
последовательно два раза отражение от оси, мы возвращаемся в исходное
состояние. Таким образом, осевая симметрия описывается циклической
группой второго порядка.
3
3
1
2
1
Рис.1
2
Рис.2
Правильный треугольник обладает тремя осями симметрии – это прямые,
содержащие высоты треугольника (рис. 2). Его осевые симметрии
определяются следующими подстановками вершин:
 1 2 3
1 2 3 
 1 2 3
a = 
b = 
 , c = 
 ,
 .
3
2
1
1
3
2
2
1
3






Каждая из этих подстановок задает циклическую группу 2-го порядка:
a 2 = b 2 = c 2 = e.
67
Кроме осевых симметрии, правильный треугольник обладает двумя
поворотными симметриями вокруг центра О на 120° и на 240° против
часовой стрелки. Они задаются подстановками
 1 2 3
 1 2 3
d = 
f = 
 ,

 2 3 1
 2 1 3
Легко видеть, что d 2= f, - выполнение двух последовательных поворотов
на 120° дает поворот на 240°. Еще один поворот на 120° - и мы возвращаемся
в исходное положение: d 3 = e. Итак, поворотные симметрии правильного
треугольника описываются циклической группой третьего порядка,
состоящей из подстановок d, f, e. Далее, так как
ad = bc = ca = d, ba = cb = ac = f,
то все шесть подстановок а, b, с, d, f, e образуют группу. Ее называют
группой симметрии правильного треугольника. Она совпадает с
симметрической группой S3. У прямоугольника имеются лишь две оси
симметрии, с которыми связаны подстановки
 1 2 3 4
 1 2 3 4
a = 
 и b = 
 .
2
1
4
3
4
3
2
1




Причем a 2 = b 2 = e. Повороту прямоугольника вокруг центра на 180°
1 2 3 4
отвечает подстановка c = 
 ; легко видеть, что с 2 = e, т. е. группа
3 4 1 2
симметрии прямоугольника имеет три циклические подгруппы второго
порядка.
Квадрат обладает четырьмя осевыми симметриями, задаваемыми
подстановками:
 1 2 3 4
 1 2 3 4
1 2 3 4 
1 2 3 4
a = 
 ; b = 
 ; c = 
 .
 ; a = 
2
1
4
3
4
3
2
1
1
4
3
2
3
2
1
4








2
2
2
2
Ясно, что a = b = c = d = e. Еще у квадрата четыре поворотные

симметрии вокруг центра О против часовой стрелки на углы, кратные
.
2
Они описываются подстановками:
 1 2 3 4
 1 2 3 4
1 2 3 4 
1 2 3 4
f = 
 ; f 2 = 
 ; f 4 = 
 .
 ; f 3 = 
2
3
4
1
4
1
2
3
1
2
3
4
3
4
1
2








Таким образом, группа симметрии квадрата содержит четыре циклические
подгруппы второго порядка и одну циклическую подгруппу четвертого
порядка. Она явно не совпадает с S4.
Мы видим, что группа симметрии фигуры полностью характеризует все ее
симметрии, при этом, чем большее число элементов содержит эта группа, тем
более симметрична фигура. У окружности, например, она содержит
бесконечное множество элементов: любая прямая, проходящая через центр
окружности, является ее осью симметрии; поворот на произвольный угол
вокруг центра переводит окружность в себя.
68
Исходя из теории групп русский кристаллограф Евграф Степанович
Федоров (1853—1919) и немецкий математик Артур Шенфлис (1853—1928)
независимо друг от друга дали в 1890 году классификацию кристаллических
решеток. Оказалось, имеется 17 плоских (так называемых “федоровских
групп”) и 230 пространственных. Этот результат имеет: с одной стороны,
важное значение для изучения кристаллов, c другой стороны, он оказался
первым связующим звеном теории групп с физикой.
Мы познакомились пока только с группами подстановок из n элементов и
группами симметрии многоугольников. Но большинство известных нам
числовых множеств с существующими в них операциями также являются
группами. Так, все рациональные числа без нуля образуют группу
относительно операции умножения. Группа с операцией умножения
называется мультипликативной. Если в качестве операции взять сложение,
то соответствующую группу называют аддитивной. В аддитивной группе
вместо единичного элемента рассматривают нуль, а вместо обратного противоположный. Множество целых чисел, а также множество всех
рациональных чисел образуют аддитивные группы. Относительно операции
сложения образуют группы и множество всех действительных чисел, и
множество всех комплексных чисел. Но чтобы рассматривать эти множества
как мультипликативные группы, надо (подобно случаю рациональных чисел)
удалить из них нуль, поскольку для него нет обратного элемента.
Глава 4. Создание многомерной алгебры
§1. Кватернионы Гамильтона
В связи с поисками общих методов решения алгебраических уравнений
возникло много разных вопросов. Из размышлений над этими вопросами в
математике родилось много различных направлений. Прежде чем была
доказана основная теорема алгебры многочленов, ученых задавались
вопросом: может быть, надо расширить множество комплексных чисел,
чтобы выразить все корни уравнений высших степеней. Но, оказалось, для
решения алгебраических уравнений этого не требуется. Однако мысль о
расширении множества комплексных чисел, однажды появившись, не
исчезла, тем более что этому способствовало геометрическое истолкование
комплексных чисел. На самом деле действительные числа изображаются
точками прямой, комплексные - точками плоскости... Может быть, добавить
к комплексному числу еще какое-нибудь “мнимое” слагаемое и выйти в
пространство?
Долго над этой проблемой размышлял Уильям Гамильтон (1805—1865),
ирландский математик, необычайные разносторонние способности которого
проявились очень рано. К 12 годам он изучил дюжину языков, знал наизусть
Гомера. В 10 лет освоил “Начала” Евклида, а в 13 лет - “Всеобщую
арифметику” Ньютона. В 22 года стал профессором Дублинского университета и директором обсерватории со званием королевского астронома
69
Ирландии. До самых последних лет он писал стихи. Его научная работа
связана с дифференциальными уравнениями и механикой. Именем
Гамильтона названы дифференциальные уравнения определенного типа,
оператор, группа, вариационный принцип в механике. Но наиболее
известным его открытием считается обобщение комплексных чисел.
Если добавить к комплексным числам еще одну мнимую единицу
j (j
2
= – 1), получим числа вида z = a + bi + cj, где a, b, c – действительные
числа. Их можно складывать и вычитать естественным образом как
многочлены от i и j, умножать на действительные числа. Трудность
возникала при перемножении таких чисел: неизвестно, куда отнести
произведение ij. Пусть, например, ij = 0, откуда и ji = 0. Тогда найдутся
отличные от нуля числа, произведение которых равно нулю: (ai + bj)( biaj)=-ab + ba = 0. Такие числа называются делителями нуля. Следовательно,
в таком множестве нельзя делить. Ведь при делении обеих частей равенства
(ai + bj)(bi - aj)= 0 на один из множителей левой части получим равенство
нулю второго множителя, а они оба отличны от нуля. Когда же строят
обобщение какого-нибудь множества чисел, стараются сохранить наиболее
естественные его свойства. Для действительных чисел одним из таких
свойств является деление, а оно не сохраняется при этом обобщении.
Поэтому указанное обобщение не могло удовлетворить Гамильтона.
В 1843 году он догадался, как обойти эту трудность: необходимо взять не
две мнимые единицы, а три, но отказаться от основы основ алгебры –
принципа коммутативности. Гамильтон догадался, какими должны быть
правила умножения в алгебре новых чисел:
i 2= j 2 = k 2 = - 1, ij = - ji = k, jk = - kj = i, kj = - ik = j,
где i, j, k - мнимые единицы. Так как запись числа с тремя мнимыми
единицами q = a + bi + cj + dk содержит 4 слагаемых, а четыре на латыни
quater, то новые числа получили название кватернионов.
Впоследствии английский математик Артур Кэли (1821—1895) построил
еще более общие числа, содержащие уже 8 слагаемых. Они были названы
числами Кэли или октавами (от латинского octo - восемь). К сожалению,
умножение октав не удовлетворяет не только коммутативному закону, но и
ассоциативному.
Мы замечаем интересную закономерность: комплексные числа
получаются «удвоением» действительных. В самом деле, любое комплексное
число z = a + bi можно рассматривать как пару (a,b), кватернионы - в виде
«удвоения» комплексных:
a + b + cj + dk = (a + bi) + (c + di) j = z1 + z2j.
Аналогично строятся октавы как удвоение кватернионов: X=q1 + q2I, где
q1, q2—кватернионы, I - новая мнимая единица, для которой I 2 = - 1.
Возникает вопрос: можно ли ввести другие числа, обобщающие
комплексные, но без процедуры «удвоения»? Оказывается, можно.
Рассмотрим число вида u = a 0 + a 1 e 1 +…+ a n-1 e n-1, где a0,…, an-1 действительные числа, e1,…, en-1 - новые единицы, которых нет среди
действительных. Теперь нужно знать, как с этими числами работать, т. е.
70
определить для них арифметические операции. Сложение, вычитание и
умножение на действительное число вводятся естественным образом. Чтобы
определить умножение таких чисел друг на друга, надо задать таблицу
умножения мнимых единиц e k e m , где 0 < k, m < n.
Получаемые при этом числа называются гиперкомплексными. Остается
определить в этом множестве деление. И вот здесь нас ждет главная
неприятность. Не при всех значениях n деление возможно, т. е. система
гиперкомплексных чисел (как мы уже убедились на примере n = 3) не всегда
является системой с делением. Деление возможно лишь в случае n = 2, 4, 8, т.
е. во множествах комплексных чисел, кватернионов и октав. В общем случае
системы гиперкомплексных чисел малоинтересны. Ведь в них нельзя даже
решить линейные уравнения ux = v или xu = v. Эти уравнения различны, так
как в общем случае умножение гиперкомплексных чисел не обладает
свойством коммутативности.
Обратим внимание на одну особенность - все вновь вводимые единицы i,
j, k, ... берутся такими, что их квадраты равны –1. Возникает вопрос: почему
нельзя в качестве квадратов новых единиц брать числа 1 или 0? Ответ
заключается в проблеме делимости. Рассмотрим для примера числа вида
z= a + be,
2
где a, b - действительные числа, e = 1. Они называются двойными числами.
В этом множестве имеются делители нуля: (1 + e)( 1 - e) = 0. Можно
показать, что для числа 1 + e нет обратного, т. е. такого z, для которого
(1 + e) z = 1. Делители нуля имеются также в множестве так называемых
дуальных чисел: z = a + b ,  2 = 0.
В самом деле, имеем (a)(b) =0. Поэтому в множествах двойных и
дуальных чисел отсутствует деление. Но и эти числа иногда используют в
математике.
Мы видели, как расширилась область исследований алгебры в XIX столетии. Комплексные числа не только утвердились, но и получили обобщения.
Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах оказался связанным с
группой подстановок корней уравнения. От изучения группы подстановок
перешли к изучению групп симметрии многоугольников. Была обнаружена
групповая структура различных числовых множеств. Постепенно понятие
группы отделилось от элементов, из которых она составлена, и само стало
предметом изучения. Алгебра вступила в современный этап своего развития.
Современная алгебра изучает различные алгебраические операции,
отвлекаясь от природы объектов, над которыми эти операции производятся.
Такой абстрактный подход к изучению операций, их свойств, взаимосвязей
оказался очень плодотворным. Он позволил алгебраическим методам
проникнуть не только в различные области математики, но и в физику,
кибернетику, экономику.
71
§2. Многомерные векторы
Понятие вектора появлялось в математической литературе и до
Гамильтона – векторами изображали комплексные числа Вессель, Арган и
Гаусс. Но именно Гамильтон подразделил величины на скалярные и
векторные и ввел термин вектор. Его работы послужили началом векторной
алгебры. Вектором Гамильтон назвал мнимую часть кватерниона. Название
становится понятным, если перейти к геометрическому истолкованию таких
чисто мнимых кватернионов. По аналогии с геометрической интерпретацией
комплексных чисел каждому кватерниону поставим в соответствие точку
М(b, с, а) в пространстве, а с ней и вектор с началом в точке О (0, 0, 0) и
концом в точке М. Сложению чисто мнимых кватернионов соответствует
сложение векторов, а умножению – сразу две операции, а именно скалярное
и векторное умножение векторов.
Слагаемое b1b2 + c1c2 + d1d 2 называют скалярным произведением
векторов

l1 = (b1, c1, d1)
и

l 2 = (b1, c1, d1)
а слагаемое
(с1d2 – c2d1)i+(b2d1 – b1d2)j+(b1c2 – b2c1)k
– их векторным произведением.
Векторы оказались удобным средством изображения различных
физических величин, имеющих направление (скорость, ускорение, сила,
электрическая напряженность и др.). По этой причине векторы на плоскости
и в трехмерном пространстве стали изучать и в школе. Являются они
незаменимым средством в таких областях науки, как аэро- и гидродинамика,
теоретическая механика, электродинамика и т. д. В этих науках приходится
иногда рассматривать векторы большей размерности, чем три.
Многомерные векторы впервые стал изучать Герман Грассман (1809 –
1877), немецкий ученый, обладавший разнообразными дарованиями: он был
выдающимся математиком, филологом, изучал богословие и философию.
Если гуманитарные науки Грассман изучал в Берлинском университете, то
математикой он стал заниматься самостоятельно несколько позже. Сдав
дополнительный экзамен, Грассман получил должность учителя математики
в гимназии своего родного города Штецин (Штеттин). В этой должности он
проработал до конца жизни. Хотя в математике он был самоучкой, здесь ему
принадлежат значительные достижения. Он первым рассмотрел
многомерные пространства, построил гиперкомплексные числа, ввел
скалярное произведение векторов. Недаром многие понятия в математике
носят его имя.
Многомерные векторы у Грассмана задавались в виде наборов, состоящих
из п чисел, взятых в определенном порядке. К сожалению, его изложение
векторной алгебры было сложным и малодоступным. Сейчас эта часть
математики благодаря многочисленным практическим приложениям
подробно разработана и стала достаточно прозрачной.
72
Может показаться странным, зачем ученые рассматривают многомерные
векторы, а тем более обращаются к многомерным пространствам. Ведь
окружающий нас мир трехмерен. Правда, иногда его считают
четырехмерным, добавляя временную координату: но это делается лишь для
удобства рассуждений, – большее число измерений нигде не может
встретиться. На самом деле именно запросы практики заставляют обращаться
к многомерным пространствам.
Рассмотрим пример: допустим, требуется описать движение точки. Для
этого нужно задать 6 чисел, 3 из которых – координаты точки, остальные –
координаты вектора скорости. Если же механическая система состоит из n не
связанных между собой точек, то приходится вводить уже 6n координат.
Получаемое при этом пространство в классической механике называют
фазовым.
В математике также приходится иногда выходить в пространства больших
размерностей. Пусть в плоскости расположены две фигуры, симметричные
относительно некоторой оси. Чтобы совместить их, надо произвести
вращение вокруг оси симметрии, т. е. выйти из плоскости в пространство.
Аналогично зеркально симметричные тела переводятся друг в друга лишь
путем выхода в 4-мерное пространство. Этот факт впервые отметил (1827)
немецкий математик Август Фердинанд Мебиус (1790-1868).
§3. Матрицы и определители
Рассмотрим совокупность квадратных матриц размера п  п, или, как
говорят, матриц п - го порядка:
 a11 a12 ... a1n 


a
a
...
a
 21
22
2n 
A= . . . . . . . .


a
a
...
a
 n1
n2
nn 
Среди них имеется так называемая единичная матрица
 1 0 ... 0 


 0 1 ... 0 
E= 
. . . . . . . .


0
0
...
1


Для любой матрицы A имеет место равенство AE=EA=A. Обратной к
матрице A называется такая матрица A-1, для которой A·A-1=E. Критерием
того, имеет ли данная матрица обратную, является наличие отличного от
нуля определителя; сама матрица в этом случае называется невырожденной
(в противном случае – вырожденной)
Определителем матрицы А называется число ∆, равное сумме
 = ∑ (-1) t a 1i ∙ a 2j ∙…∙ a nr,
73
где сумма берется по всем перестановкам из чисел 1, 2, ... , n ; t – число таких
перестановок, которые приводят набор (i, j ,..., r ) к натуральному порядку (1,
2, ... , n). Определитель матрицы обычно записывают следующим образом:
∆=
a11
a12
...
a1n
a 21
a 22
... a 2 n
. .
. .
. .
a n1
an2
... a nn
. .
.
Вырожденные матрицы не имеют обратных; более того, среди них есть
делители нуля, например:
 a 0  0 0   0 0

 
  

b
0
c
d
0
0


 

Произведение матриц не обладает свойством коммутативности.
Совокупность всех невырожденных матриц порядка п образует группу
относительно операции умножения.
В настоящее время создано целое матричное исчисление, где подробно
изучаются матрицы и их свойства. Матричные модели лежат в основе
балансовых расчетов в экономике, на их основе строится линейное
программирование и т. п.
Впервые в математике матрицы стали использовать китайские ученые. В
“Математике в девяти книгах” (около II века до н. э.) имеется задача: “Если
из зерна 5 снопов хорошего урожая убавить 1 доу 1 шэн, то это соответствует
количеству зерна 7 снопов плохого урожая. А если из зерна 7 снопов
хорошего урожая убавить 2 доу 5 шэн, то это соответствует количеству зерна
5 снопов плохого урожая. Спрашивается, сколько зерна получается из
каждого снопа хорошего и плохого урожаев”. (При решении задачи следует
учесть соотношение мер объема: 1 доу = 10 шэн.)
Если обозначить искомые величины через х и у, то условие задачи
записывается в виде системы
 5 x  11  7 y,
 5 x  7 y  11,


откуда
7 x  25  5 y,
7 x  5 y  25.
Китайские математики вместо полученной системы составляли таблицу,
записывая коэффициенты уравнений в столбцы
7
5
–5
–7
25
11
Затем они умножали первый столбец на 5 и вычитали из полученного
столбца семь раз второй столбец
35
5
30
5
0
5
 25  7

 18  7
...
24  7
125 11
114 11
48 11.
74
Из первого столбца полученной матрицы они находили у = 2, из второго
x = 5. Такой метод решения системы линейных уравнений в Китае получил
название «фан-чен» – буквально «выстраивание чисел по клеткам».
Приведенная задача интересна еще и тем, что здесь впервые в истории
математики в условии встречаются отрицательные числа. Метод “фан-чен”
приводит к последовательному исключению неизвестных, знакомому
читателю из школы. На самом деле первое уравнение системы умножается на
5, а второе – на (–7); полученные выражения складываются и записываются
на месте второго уравнения. В результате система принимает вид:
 5 x  7 y  11,

0  24 y  48,
откуда y = 2 и х = 5.
О достижениях китайских математиков ученые Европы узнали недавно.
Поэтому указанный метод решения системы уравнений в настоящее время
связывается с именем Гаусса, переоткрывшего его в 1849 году.
Идея нумерации элементов матрицы по строкам и столбцам восходит к
Г.Лейбницу, обозначившему в письме (1693) к французскому математику
Гийому де Лопиталю (1661–1704) систему трех уравнений следующим
образом:
 10  11x  12 y  0,

20  21x  22 y  0,
30  31x  32 y  0.

(Следует заметить, что коэффициенты – это не конкретные числа, а некие
обозначения). В этом же письме Лейбниц изложил способ решения системы
линейных уравнений с помощью определителей. Правда, десятилетием
раньше такой метод нашел японский математик Кова Секи (1642 – 1708). Но
оба эти результата не стали достоянием математиков Европы. Лишь в 1750
году он был переоткрыт швейцарским математиком Габриелем Крамером
(1704 – 1752) и получил название правила Крамера. Разберем его на примере.
Решим систему двух уравнений
 3x  5 y  1,

2 x  3 y  2.
Сначала вычислим определитель, составленный из коэффициентов
неизвестных; его называют определителем системы.
3 5
∆=
= 3∙3 – 2(-5) = 19.
2 3
Заменим в этом определителе первый столбец свободными членами
уравнений системы и найдем новый определитель:
1 5
∆1 =
= 3 + 10 = 13.
2 3
75
Заменяя далее в ∆1 второй столбец свободными членами, вычислим еще
один определитель:
3 1
∆2 =
= 6 – 2 = 4.
2 2
Решение системы находим по формулам


13
4
x 1  ,
y 2  .
 19
 19
Часть третья. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИКОВ XV–XIX СТОЛЕТИЙ
Глава 6. Наиболее известные задачи итальянских и французских
математиков XVI–XVII веков
§1. Задачи итальянских математиков
Задачи Кардано



Задача 1. Перемножить 5  15 5  15 .
Решение.
2
5  15 5  15  25   1  15  25   1  15  40 .
Ответ: 40.
Задача 2. Решить уравнение 13 x 2  x 4  2 x 3  2 x  1.
Решение. Прибавим к обеим частям 3х2:
16 x 2  x 4  2 x 3  3x 2  2 x  1 ;
2
16 x 2  x 4  2 x 3  2 x 2  x 2  2 x  1  x 2  x  1 ;
4 x  x 2  x  1 ; x 2  3x  1  0 ;
3
5
x 
.
2
2
3
5
Ответ: x  
.
2
2
Замечание. Кардано берет только эти два корня, так как они являются
положительными. Остальные корни можно найти, решив уравнение
5
21
 4x  x 2  x 1;
x 2  5x  1  0 ;
x 
.
2
2
Задача 3. Найти построением положительный корень уравнения
2
x  6 x  91.




76

H
F
E
x
x
3
D
A
G
3
B
C
Рис. 3
Решение. Пусть квадрат FD есть х2 (см. рис. 3). Следовательно, его
сторона FH = х . Тогда
DG = DB = 3 .
Построим квадрат AFEC. Прямоугольник AD равен прямоугольнику
DE, т.е. их площади равны 3х. Сумма площадей квадрата FD и двух
указанных выше прямоугольников равна х2 + 6х , что по условию равно 91.
Площадь малого квадрата BDGC равна 9 , следовательно, площадь
квадрата AFEC равна 100. Таким образом,
AC = 10 ,
AC = x + 3 ,
x = 7.
Ответ: 7.
Задача 4. Разложить 10 на два слагаемых с таким расчетом, чтобы их
произведение равнялось 40.
Решение.
x 2  10 x  40  0 ,
x1, 2  5   15 .
Ответ: x1,2  5   15 .
Задачи Бомбелли
Задача 1. Показать, что
3
2   121 
3
2   121  4 .
Решение.
2   121  3 2  11i  3 8  12i  6  i 
3
 3 2 3  3  2 2 i  3  2i 2  i 3  3 2  i   2  i .
3
2   121  3 2  11i  3 8  12i  6  i 
3
 3 2 3  3  2 2 i  3  2i 2  i 3  3 2  i   2  i .
3
3
2   121 
Задача 2. Решить уравнение
3
2   121  2  i  2  i  4 .
x 3  15 x  4 .
77
Решение.
x 3  4 x 2  4 x 2  16 x  x  4  0 ;
x 2  x  4   4 x x  4    x  4   0 ;
x  4 x 2  4 x  1  0 ;
x1  4 ; x 2 , 3   2  3 .


Ответ: x1  4 ; x2 ,3   2  3 .
§2. Задачи французских математиков
Задачи Виета
Задача 1.
Решить уравнение
x 2  px  q  0
подстановкой х = у + z, определяя z (пользуясь его произвольностью) так,
чтобы получилось чистое квадратное уравнение (т.е. уравнение, не
содержащее первой степени).
Решение. Пусть х = у + z, тогда
x 2  y 2  2 yz  z 2 ,
следовательно, уравнение примет вид:
y 2  2 yz  z 2  py  pz  q  0 ;
y 2  y 2 z  p   z 2  pz  q  0 .
Выберем z так, чтобы коэффициент при первой степени у обратился в
p
нуль, т.е. 2z + p = 0. Тогда z   . При этом имеет место равенство:
2
p2
p
p2
2
z  pz  q 

qq
4
2
4
2
p
 q , откуда
и, следовательно, уравнение принимает вид: y 2 
4
p2
y
q .
4
Но х = у + z, следовательно,
p
x 
2
p2
q .
4
p
p2
Ответ: x   
q .
2
4
Задача 2. Доказать, что если дано кубическое уравнение
x 3  a  b  c x 2  ab  ac  bc x  abc ,
то a, b, c – корни этого уравнения. Проверить на уравнениях:
1) x 3  6 x 2  11x  6  0 ;
78
2) x 3  4 x 2  4 x  16  0 .
Решение. Пусть х = а , тогда
a 3  a  b  c a 2  ab  ac  bc a  abc .
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем тождество:
abc = abc.
Аналогично производится проверка чисел b и с.
1) x 3  6 x 2  11x  6  0 .
x 3  1  2  3x 2  2  3  6x  6  0 при
Легко видеть, что
Следовательно, числа 1, 2, 3 являются корнями уравнения (1).
2) x 3  4 x 2  4 x  16  0 .
х = 1.
x 3  2  2  4x 2  4  8  8x  16  0 при
Легко видеть, что
Следовательно, числа 2, −2, 4 являются корнями уравнения (2).
Задача 3. Решить уравнение
y 6  2by 3  a 6 .
х = 2.
Решение. Пусть y 3  z , тогда
z 2  2bz  a 6  0 ,
z1, 2   b 3  b 6  a 6 .
Получаем два кубических двучленных уравнения:
z1   b 3  b 6  a 6 ;
z2   b3  b6  a 6 ;
y1  3  b 3  b 6  a 6 ;
y2  3  b 3  b 6  a 6 .
Ответ: y1  3  b 3  b 6  a 6 ;
y2  3  b 3  b 6  a 6 .
Задача 4. Если а и b – катеты прямоугольного треугольника, то
a2  b2
выражает гипотенузу, а если а – катет и с – гипотенуза, то c 2  a 2 выражает
другой катет. Пользуясь этим, построить: a 5 , a 11 , a 13 , a 17 , a 26 ,
a 34 .
Решение. По теореме Пифагора: с =
a
a2  b2 ;
c
b
Рис. 4
79
b=
c2  a2 .
Следовательно, зная числа а и b , например, можно не только вычислить
с , но и определить «размер» числа с построением.
Таким образом, можно по данной величине а построить a 5 . Для этого
преобразуем:
2
5a 2  a 2  4a 2  a 2  2a  ,
т.е. a 5 есть гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и 2а.
Аналогично:
6a 2  5a 2 ,
2
2
a 13 = 13a 2  4a 2  9a 2  2a   3a  ,
2
a 17 = 17a 2  a 2 16a 2  a 2  4a  ,
2
a 26 = 26a 2  a 2  25a 2  a 2  5a  ,
2
2
a 34 = 34a 2  25a 2  9a 2  5a   3a  .
a 11 = 11a 2  36a 2  25a 2 
Задача 5. Решить уравнение:
ax ax  ac

 a.
b
d
Решение.
axd  axb  abc  abd  0 ,
axd  b   abc  d   0 ,
abc  d  bc  d 
x

.
ad  b 
d b
bc  d 
Ответ:
.
d b
Задачи Ферма
Задача 1. Показать, что если
есть сумма бесконечно убывающей
a
S
геометрической прогрессии a1 , a 2 , … , то
 1.
S  a1 a 2
a
Решение. Известно, что S  1 , поэтому
1 q
a
a
S  a1  1  a1  2 .
1 q
1 q
a
S
Следовательно,
 1.
S  a1 a 2
Задача 2 (из письма к Робервалю). Проверить, что
2
 nn  1
4
4
4
4
5 1  2  3  . . .  n  4n  2 
 12  2 2  3 2  . . .  n 2 .

 2 
Решение. В своем письме к французскому математику Робервалю (1602 –
1675) от 4 ноября 1636 года Ферма привел правило суммирования четвертых
степеней натурального ряда.

S


80

Известно, что сумма четвертых степеней от 1 до n выражается
равенством:
n
4
n 12n 1 3n 2  3n 1 .
S 4  n 4  n 1  ...  2 4 14 
56
Отсюда
n
5 S 4  n 12n 1 3n 2  3n 1 .
6
Правая часть этого равенства должна тождественно равняться
выражению, данному Ферма.
n n 12n  1
Так как 12  2 2  32  ...  n 2 
, то
6
2
 nn  1
4n  2 
 12  2 2  3 2  . . .  n 2 

 2 
2
n n  12n  1
 nn  1 
 4n  2  



6
 2 
2
n 2 n  1 2n  1 n n  12n  1



2
6
 n2  n 1 
3n 2  3n  1
 n n  12n  1 
   n n  12n  1 
.
2
6
6


Таким образом,
n
5 S 4  n 12n 1 3n 2  3n 1 .
6
Замечание. Сумму четвертых степеней ряда натуральных чисел можно
вычислить, пользуясь тождеством
5
n 5  n 1  5n 4 10n 3  10n 2  5n  1 ,
полагая последовательно n = 1, 2, 3, . . . , n.
Задача 3 (теорема Ферма). Доказать, что если целое число N не делится
на простое число р , то число N p 1  1 кратно р.
Доказательство. Очевидно, что числа, кратные
N, это числа
N , 2 N , 3N , . . . ,  p 1N .
Разделим их с остатком на р:
N  q1 p  r1 ;
2 N  q 2 p  r2 ;
3 N  q3 p  r3 ;
...
 p 1N  q p 1 p  rp 1 .
Почленное перемножение полученных равенств дает равенство:
1  2  3  ...  p  1  N p 1  ap  r1r2 ... rp 1 .
Но второе слагаемое в правой части последнего равенства есть
1 2  3  ...  p  1 ,






81


так как среди р – 1 числа r1 , r2 , ... , rp 1 , меньших р, не может быть
равных. Следовательно,
1  2  3  ...  p  1  N p 1 1  ap ,
а так как произведение 1 2  3  ...  p  1 не делится на р , то ясно, что на р


делится число N p 1  1 .
Задача 4. Разделить данное число на такие две части, чтобы их
произведение имело наибольшую величину.
Решение. Пусть искомое число – это n . Тогда если одна часть – это х , то
другая часть равна n – x . Их произведение должно быть наибольшим. Это
n
возможно лишь в том случае, когда обе части равны, т.е. x  .
2
Глава 7. Задачи математиков XVIII–XIX столетий
§1. Задачи математиков XVIII столетия.
Задачи Маклорена
Маклорен Колин 1698-1746), профессор университета в Эдинбурге,
английский математик, известный своими трудами по высшему анализу
(«Treatise of fluxions») и особенно исследованиями свойств кривых, главным
образом, третьего порядка. Его имя обычно связывают с разложением
функций в ряд по степеням аргумента, хотя .тот ряд был известен и до него и
был им только впервые опубликован. Его трактат по алгебре, из которого
приведены 4 задачи, богат содержанием и мало чем отличается в смысле
символики от учебных курсов алгебры более позднего времени.
Задача 1. Решите систему
 x  y  z  26 ,
x  y  4 ,
 x  z  6 .
Решение. Сложив почленно все три уравнения, получаем равенство
3х = 36 ;
х = 12 .
Тогда из второго уравнения:
у=8,
а из третьего уравнения:
z=6.
Ответ: (12 , 8 , 6) .
3
20
Задача 2. Преобразуйте выражение 3
.
4 3 2
Решение.
82
3
3

3

3
20

43 2

3
20 23 2  2 
4
3

3
16  2 
20
3
3
4  2 16  2 
3
3
4
2 23 2  2 

3
= 23 5 
3
4
3
4

23 40  23 20  3 80


2
4

3
20  3 10 .
Ответ: 23 5  3 20  3 10 .
Задача 3. Несколько человек обедали вместе и по счету должны уплатить
175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при себе денег, поэтому
каждому из остальных пришлось уплатить за них на 10 шиллингов больше,
чем приходилось на их долю. Сколько человек обедало?
Решение. Пусть обедало х человек. Из условия следует, что
175
175

 10 ,
x 2
x
откуда
х2 – 2х = 35 ;
(х – 1)2 = 36 ;
х–1 = ±6;
х1 = 7 ; х2 = –5 .
Ответ: 7 ; –5 .
Задача 4. Решите уравнение:
х6 – 19х3 = 216 .
Решение. Обозначим x3 = z , тогда получаем уравнение
z2 – 19z – 216 = 0 .
Выделим в левой части последнего уравнения полный квадрат:
361
361
361
1225
;
;
z 2  19 z 
 216 
z 2  19 z 

4
4
4
4
2
19 
1225
19 35

;
;
z 

z   
2
4
2
2

z1 = 27 ; z2 = –8 .
Следовательно,
х1 = 3 ; х2 = –2 .
Ответ: 3 ; –2 .
Задача Ламберта
Ламберт Иоганн Генрих (1728-1777), выдающийся немецкий математик,
член Берлинской и Мюнхенской академий, глубокий знаток геометрии,
работавший над исследованием свойств конических сечений и перспективы.
Ему наука обязана доказательством иррациональности числа π.
Задача. Докажите, что всякий нечетный квадрат, уменьшенный
единицей, всегда делится на 8 .
Решение. 1-й способ.
83
Нечетное число можно записать в виде 2n – 1 , тогда
(2n – 1)2 – 1 = 4n2 – 4n + 1 – 1 =
= 4n2 – 4n = 4n (n – 1) .
Произведение двух последовательных целых чисел всегда делится на 2,
следовательно, выражение 4n (n – 1) делится на 8 .
2-й способ (решение Ламберта).
Если 10a + b – нечетное число, то его квадрат
(10a + b)2
также нечетное число. Поэтому
(10a + b)2 – 1 = (10a + b – 1) (10a + b + 1) .
Оба множителя произведения (10a + b – 1) (10a + b + 1) четны, причем,
если первый множитель равен 2k , то второй равен 2k + 2 , следовательно,
произведение (10a + b – 1) (10a + b + 1) имеет вид:
(10a + b – 1) (10a + b + 1) = 2k ∙ (2k + 2) =
= 4k (k + 1) .
Из двух множителей k и k + 1 один также непременно четный, значит,
исходное выражение делится на 8.
Задача Чевы
Чева Джиованни (начало XVII века), итальянский геометр, доказавший в
своем трактате «De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructione»
теорему (см. задачу ниже), основываясь на началах статики.
Задача. Через вершины А, В, С, треугольника АВС и произвольную
точку О его плоскости проведены прямые, встречающие стороны АВ, АС и
ВС соответственно в точках С1 , В1 и А1 , определяя на каждой из них два
отрезка. Докажите, что произведение каждых трех отрезков, не имеющих
общей вершины, равны между собой, т.е.
АС1 ∙ ВА1 ∙ СВ1 = АВ1 ∙ СА1 ∙ ВС1
(см. рис. 1).
В
О
А1
С1
А
С
В1
Рис. 1
84
Доказательство. Так как треугольники АОВ и АОС имеют общее
основание АО , то площади их относятся, как их высоты или как отрезки
ВА1 и СА1 .
Аналогичное заключение можно сделать для треугольников ВОС и ВОА,
СОА и СОВ . Получаем:
SAOB : SAOC = BA1 : CA1 ;
SВOС : SВOА = СB1 : AВ1 ;
SСOА : SСOВ = AС1 : ВC1 .
Перемножение данных равенств дает:
1 : 1 = AС1 ∙ CA1 ∙ СB1 : AВ1 ∙ СA1 ∙ ВC1 .
Откуда:
AС1 ∙ CA1 ∙ СB1 = AВ1 ∙ СA1 ∙ ВC1 ,
что и требовалось доказать.
Задача из «Miscellania curiosa mathematica»
Автор этой книги – английский математик Chapple . Она была издана в
1746 году.
Задача. Докажите, что если a , b , c – стороны треугольника, R , r –
радиусы описанного и вписанного кругов соответственно, то справедливо
равенство:
a bc
.
Rr 
2(a  b  c)
a b  c
abc
S
Доказательство. Известно, что R 
и r
, где p 
,
4S
p
2
a bc
поэтому R  r 
.
2(a  b  c)
Задачи Эйлера
Эйлер Леонард (родился в Базеле в 1707 году, умер в Петербурге в 1783
году), швейцарец по происхождению, один из величайших математиков,
решавший труднейшие проблемы с удивительной легкостью и
виртуозностью; его ученая деятельность тесно связана с процветанием
Петербургской академии наук, издания которой украшались мемуарами
Эйлера, самого неутомимого из ее членов. Эйлер прожил в России в общей
сложности более 30 лет. Теория чисел, учение об уравнениях, геометрия,
тригонометрия, анализ бесконечно малых, механика, астрономия в равной
мере обязаны гению Эйлера, все труды которого поражают богатством и
глубиной идей, разнообразием методов и преобразований, остроумием и
оригинальностью доказательств и множеством удачных обозначений,
навсегда закрепившихся в науке. Перу Эйлера принадлежит прекрасный
учебник «Vollstandige Anleitung zur Algebra» (1770).
85
Задача 1. Преобразуйте
85 2
32 2
Решение.
8  5 2 3  2 2 
98
.
= 4+2 2 .
Ответ: 4 + 2 2 .
Задача 2. Рационализируйте выражение
(1)
y  (a  bx) (c  dx)
подстановкой
y = (a + bx)z .
(2)
Замечание. Смысл задания состоит в том, чтобы выразить переменную у
через переменную z с помощью дробно-рациональной функции.
Решение. Возводя обе части равенства (1) в квадрат с учетом
подстановки (2) , получаем:
c + dx = (a + bx) z2 ,
откуда
bc  ad
c  az 2
,
.
a  bx 
x  2
bz 2  d
bz  d
Следовательно,
(bc  ad ) z
.
y  (a  bx) z 
bz 2  d
(bc  ad ) z
Ответ:
.
bz 2  d
Задача 3. Рационализируйте выражение
y  a 2  bx  cx 2
(1)
подстановкой
y = a + xz .
(2)
Решение. Возведем в квадрат обе части равенства (1)) с учетом
подстановки (2) . Получим:
a2 + bx + cx2 = a2 + 2axz + x2z2 ,
откуда
b  2az
,
x 2
z c
следовательно,
bz  az 2  ac
.
y  a  xz 
z2  c
bz  az 2  ac
Ответ:
.
z2  c
86
Задача 4. Найдите число, четвертая степень которого, деленная на
1
половину самого числа и увеличенная на 14 , равнялась бы 100 .
4
Решение. Обозначим искомое число х , тогда по условию:
1
7
343
2х3 + 14 = 100 ;
х3 =
;
х= .
8
4
2
7
Ответ:
.
2
Задача 5. Несколько купцов внесли в общее дело 100 раз столько рублей,
сколько было купцов. Они отправили в Венецию доверенного, получавшего с
каждой сотни рублей число рублей, вдвое большее числа купцов.
Спрашивается: сколько было купцов, если доверенный получил 2662 рубля?
Решение. Пусть купцов было х . Каждый из купцов внес вклад 100х ,
значит, весь капитал равен
х ∙ 100х = 100х2 .
Прибыль на капитал:
2х3 = 2662 ,
откуда
х3 = 1331 ,
следовательно,
х = 11 .
Ответ: 11.
Задача 6. Некто продает свою лошадь по числу подкованных гвоздей,
которых у нее 32 . За первый гвоздь он просит 1 пфенниг, за второй – 2 , за
третий – 4 , за четвертый – 8 пфеннигов и всегда за следующий вдвое
больше, чем за предыдущий. Спрашивается, во сколько он ценит лошадь?
Решение. Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии
b1 1  q n
,
S 
1 q
а также условие:
b1 = 1 , q = 2 ,
получаем результат
S = 4 294 967 295 (пфеннигов).
Ответ: 4 294 967 295 пфеннигов.
Задача 7. (Тождество Эйлера). Докажите, что
 3 p 3  2q 3   3 2 p 3  q 3 
3
   q  3
  q3 .
p   p  3
3 
3 
p q  
p q 

Доказательство.
 3 p 3  2q 3   3 2 p 3  q 3 
 p  3
   q  3
  q3 
3 
3 
p q  
p q 



3
3
3
3
p 3  2q 3
3 2p  q  p  q
= p  3
=
q 
p  q3
p3  q3
3
87
p 3  2q 3
p 6  2 p3q3  3 p3q3
3 p3
3
= p  3
=
=
q  3
p  q3
p  q3
p3  q3
p3 p3  q3 
= р3 .
3
3
p q
3
Задача Франкера
Франкер, французский математик, профессор «Факультета наук» в
Париже,
автор
«Полного
курса
чистой
математики,
весьма
распространенного в свое время и переведенного на русский язык.
Задача. Несколько человек должны заплатить
800
франков за
производство судебного дела. У троих нет денег, поэтому остальным
приходится к своей доле добавить по 60 франков. Сколько всех участников
в платеже судебных издержек?
Решение. Обозначим через х число участников в платеже. Тогда,
согласно условиям задачи, получаем уравнение
800
800

 60 ,
x3
x
преобразуя которое, получаем квадратное уравнение
х2 + 3х – 40 = 0 ,
решая которое (с учетом того, что х  N), получаем
х=5.
Ответ: 5 .
Задача Софи Жермен
Жермен Софи (1776-1831), француженка по происхождению; за мемуар
о колебании упругих пластинок удостоена премии Парижской академии
наук; работала, главным образом, в области геометрии и теории чисел.
Задача. Покажите, что число вида n4 + 4 ( n > 1) есть составное.
Доказательство.
n4 + 4 = (n4 + 4n2 + 4) – 4n2 =
= (n2 + 2) – (2n)2 =
= (n2 – 2n + 2) (n + 2n + 2) ,
следовательно, число n4 + 4 составное, что и требовалось доказать.
Задачи Лагранжа
Лагранж Жозеф Луи (1736-1813), выдающийся математик, имя которого
связано с успехами анализа бесконечно малых, высшей алгебры, теории
рядов, теории чисел, механики и астрономии. Его по справедливости можно
наряду с Эйлером считать творцом вариационного исчисления и
аналитической механики, его методы отличаются необычайной общностью,
88
идеи – глубиной, приемы вычислений – изяществом. Изложение его, ясное и
блестящее, может служить образцом для математиков. Его сочинения изданы
в XVII томах Серре и Дарбу. Первые семь томов содержат его специальные
исследования, остальные тома посвящены его трактатам и переписке с
различными учеными (Даламбером, Кондорсе, Лапласом и Эйлером).
Задача 1. Если три простых числа образуют арифметическую прогрессию,
то разность этой прогрессии делится на 6 (исключение представляет случай,
когда одно из этих чисел есть 3 ) .
Решение. Обозначим разность арифметической прогрессии через d , а
сами числа:
p–d, p, p+d,
где р имеет форму 6m ± 1 , причем p – d и р + d – нечетны, а d
может быть только четным и будет иметь вид
6n ± 2 или 6n .
1) Если d = 6n + 2 и p = 6m + 1 , то простыми числами будут:
6(m – n) – 1 , 6m + 1 , 6(m + n) + 3 .
Этот случай невозможен, так как последнее число – составное (делится на 3).
2) Если d = 6n + 2 и p = 6m – 1 , то простыми числами будут:
6(m – n) – 3 , 6m – 1 , 6(m + n) + 1 .
Этот случай невозможен, так как первое число – составное (делится на 3).
3) Если d = 6n – 2 и p = 6m + 1 , то простыми числами будут:
6(m – n) + 3 , 6m + 1 , 6(m + n) – 1 .
Этот случай невозможен, так как первое число – составное (делится на 3).
4) Если d = 6n – 2 и p = 6m – 1 , то простыми числами будут:
6(m – n) + 1 , 6m – 1 , 6(m + n) – 3 .
Этот случай невозможен, так как последнее число – составное (делится на
3).
Таким образом,
d ≠ 6n ± 2 ,
а значит, возможет только случай
d = 6n ;
при р = 6m ± 1 простыми числами будут
6(m – n) ±1 , 6m ± 1 , 6(m + n) ± 1 .
Задача 2. Дано уравнение:
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 .
(1)
1
Покажите, что подстановкой y = x +
можно свести решение этого
x
уравнения к решению двух квадратных уравнений, корни которых и будут
корнями данного.
Решение. Заметим, что у Лагранжа (хотя это и не оговаривается особо)
а ≠ 0.
Тогда легко видеть, что нуль не является корнем уравнения (1) . Разделим
обе части данного уравнения на х2 :
89
b
a
 2 0;
x
x
1 
1


a  x2  2   b x    c  0.
x
x 


ax 2  bx  c 
Заметим, что
1
2 ,
x2
поэтому, используя указанную в условии подстановку, получаем уравнение:
a (y2 – 2) + by + c = 0 .
Последнее уравнение дает два корня (с учетом комплексных чисел): у1 и
у2 . Тогда совокупность
1

x

 y1 ,

x

1
x   y2
x

дает четыре решения, которые являются решениями исходного уравнения.
y2  x2 
Задачи Безу
Безу Этьен (1730-1783), французский математик, известный своими
исследованиями по теории уравнений; его именем называется способ
решения системы уравнений в элементарной алгебре (способ произвольного
множителя) и теорема о делимости многочлена на двучлен х – х0 , где х0
является корнем многочлена. Безу написал целый ряд учебных руководств,
которые в свое время были очень популярны.
Задача 1. Ленивому работнику объявили, что он будет получать по 24 су
за каждый отработанный им день при условии удерживать по 6 су за
каждый прогульный день. По истечении 30 дней оказалось, что ему ничего
не пришлось получать. Спрашивается, сколько дней он работал?
Решение. Составляя на основании условий задачи уравнение
24 х = 6 (30 – х) ,
находим
х=6.
Ответ: 6 .
Задача 2. Решите систему:
5 x  3 y  65 ,
2 y  z  11 ,
3 x  4 z  57 .
Ответ: (x , y , z) = (7 , 10 , 9) .
Задача 3. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал ее за 24
пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему
лошадь. Спрашивается, за какую сумму он ее купил?
Решение. Если лошадь куплена за х пистолей, то он теряет при продаже
90
следовательно,
x2
,
100
x2
x
 24 .
100
Решая последнее уравнение, получаем
х1 = 40 , х2 = 60 .
Ответ: 40 , 60 .
Задача Рейно
Рейно А., французский математик-педагог, автор целого ряда учебных
руководств, принимавший участие в обработке курсов Безу.
Задача. Некто, умирая, оставил завещание, согласно которому старший
сын получает из полного наследства 100 франков и десятую часть остатка,
второй – 200 франков и десятую часть нового остатка, третий – 300
франков и десятую часть нового остатка и т.д. При этом доли всех сыновей
должны быть равными. Найдите размер оставленного наследства, число
сыновей и долю каждого.
Решение. Пусть все наследство составляет х франков. Тогда первый по
условию получает
1
1
100 
( x  100) 
x  90 .
10
10
Остаток будет равен
9
x  90 .
10
Второй получает
19

200 
 290  .

10  10

По условию задачи доли первого и второго равны, поэтому
1
9
x  90  171 
x ,
10
100
следовательно,
х = 8100 .
Доля каждого при этом равна 900 франков, а количество сыновей –
девять.
Ответ: 9 сыновей; доля каждого сына 900 франков.
91
§2.Задачи математиков XIX столетия.
Задачи Лакруа
Лакруа Сильвестр Франсуа (1765-1841), известный французский
математик и педагог, в 17 лет уже бывший преподавателем, а с 1799 года –
профессором Политехнической школы; в свое время заслуженной славой
пользовался его трехтомный капитальный трактат по дифференциальному и
интегральному исчислению. Он является автором целого ряда
пользовавшихся большой популярностью учебных руководств по
элементарной математике.
13
Задача 1. Что стоят 15
локтя материи, если один локоть стоит 42
16
ливра 17 су 121 денарий?
Замечание. Ливр – старинная французская монета; 1 ливр – 20 су ;
1 су – 12 денариев.
Решение. Составляя пропорцию
1 локоть ————— 42 ливра 17 су 121 денарий
13
локтя ————— х ,
15
16
находим
х = 685 ливров 10 су 9
Ответ: 685 ливров 10 су 9
1
денария .
16
1
денария.
16
Задача 2. Один фонтан наполняет бассейн за 2,5 часа, другой – за 3
3
4
часа. За сколько времени оба фонтана, действуя вместе, наполнят бассейн?
Решение. Производительность первого фонтана (т.е. скорость, с которой
он наполняет бассейн) равна
1
2
 ;
1 5
2
2
производительность второго фонтана равна
1
4
;

3 15
3
4
общая производительность двух фонтанов равна
2
4 10 2


 .
5 15 15 3
Следовательно, время, за которое оба фонтана наполнят бассейн, равно
92
1
2
3

3
1
 1 (часа) .
2
2
1
часа.
2
Задача 3. Сколько километров проедет путешественник за 17 дней, тратя
на это по 10 часов в день, если он уже проехал за 29 дней 112 километров,
находясь в пути 7 часов каждый день?
Решение. Узнаем, используя условие задачи, какова скорость
путешественника. Она равна
112
16
(км/ч) .

29  7
29
Следовательно, за 170 часов путешественник проедет
170 16
23
(км) .
 93
29
29
23
Ответ: 93
км.
29
Замечание. Интересен тот факт, что Лакруа не доводит
вычислительные действия до конца; его ответ имеет вид
112 17  10
.
29  7
Задача 4. Восстановите перпендикуляр в конце прямой, не продолжая ее
за этот конец.
Решение.
Ответ: 1
С
О
А
В
D
Рис. 1
Пусть дан луч АВ . Требуется провести перпендикуляр к АВ в точке А
(см. рис. 1).
Из произвольной точки О вне луча АВ радиусом ОА опишем
окружность ω (О ; ОА). Проведем через точку D (пересечения окружности
с лучом АВ) диаметр DC и соединим точку С с точкой А . СА – искомый
93
перпендикуляр (это следует из того факта, что любой вписанный угол,
опирающийся на диаметр, есть прямой угол).
Схему построения можно записать следующим образом.
1. О  АВ .
2. ω (О ; ОА) .
3. D = ω (О ; ОА) ∩ AB .
4. DO .
5. C = DO ∩ ω (О ; ОА) .
6. CA – искомый перпендикуляр.
Задача 5. Опишите окружность, проходящую через данную точку и
касающуюся данного круга в данной на нем точке.
Решение.
О
А
С
В
О1
D
Рис. 2
Пусть данная окружность ω (О ; ОВ) (см. рис. 2), и данная точка А , не
принадлежащая окружности. Центр искомой окружности, с одной стороны,
должен лежать на срединном перпендикуляре отрезка АВ , а, с другой
стороны, на продолжении линии ОВ , т.е. на их пересечении.
Схему построения можно записать следующим образом.
1. АВ .
2. С ; АС = ВС .
3. СD  АВ .
4. ОВ .
5. О1 = ОВ ∩ CD .
6. ω (О1 ; О1В) – искомая окружность.
Задачи из «Cours de Mathematiques»
94
Задача 1. 600 учеников занимают четырехэтажный корпус учебного
заведения. На первом этаже помещается учеников вдвое больше, чем на
четвертом. Число учеников, размещенных на втором и третьем этажах, равно
числу учеников на первом и четвертом этажах, а на одном третьем этаже их
5
число составляет
того, что есть на втором. Сколько учеников проживает
7
на каждом этаже?
Решение. Обозначим число учеников, проживающих на первом, втором,
третьем и четвертом этажах соответственно x , y , z , u . Тогда по условию:
 x  y  z  u  600 ,
 x  2u ,
(1)
y  z  x  u ,
5
z  y .

7
Решая систему (1) , первоначально получаем следующую систему:
2 ( x  u )  600,
x  2u .
Следовательно,
x  200 ,
u  100 .
Подставляя полученные значения х и u в систему (1) , получаем
следующую систему:
 y  z  300 ,
 z  5 y,

7
решая которую, находим
y  175 ,
z  125 .
Ответ: на первом, втором, третьем и четвертом этажах живут
соответственно 300 , 175 , 125 и 100 учеников.
Задача 2. Полк кирасир покупает некоторое количество лошадей за 11
250 франков. Полк драгун покупает пятнадцатью лошадьми более за
16
000 франков. Каждая драгунская лошадь на 50 франков дешевле
кирасирской. Определите число лошадей каждого типа и их стоимость.
Решение. Обозначим количество кирасирских лошадей через х , тогда по
условию количество драгунских лошадей равно х + 15 . Стоимость первых
11 250
16 000
, стоимость вторых
. Тогда по условию
x
x  15
11 250
16 000
=
+ 50 .
x
x  15
Решение последнего уравнения сводится к решению квадратного
уравнения
х2 + 110х – 3375 = 0 ,



95
откуда
х = 25 ;
х + 15 = 40 ;
11 250
16 000
= 450 ;
= 400 .
x
x  15
Ответ: кирасирских лошадей 25 , стоимость каждой 450 франков;
драгунских лошадей 40 , стоимость каждой 400 франков.
Задача 3. Извлеките квадратный корень из многочлена:
16ac + 4a2 – 12ab + 9b2 – 24bc + 16c2 .
Решение. Перепишем данный многочлен в виде
16ac + 4a2 – 12ab + 9b2 – 24bc + 16c2 =
= (2a)2 + (3b)2 + (4c)2 – 2 ∙ 2a ∙ 3b + 2 ∙ 2a ∙ 4c – 2 ∙ 3b ∙ 4c =
= (2a – 3b + 4с)2 .
Поэтому квадратный корень из данного многочлена равен
± (2a – 3b + 4c) .
Ответ: ± (2a – 3b + 4c) .
Замечание. В «Курсе математики» приводится только ответ
2a – 3b + 4c .
Задача 4.
Суммируйте:
1 1 1
а)
   ... ;
2 4 8
1 1
1
б)
 
 ... ;
3 9 27
1
1
1
в)


 ....
4 16 64
Решение.
а) Решим задачу способом, предложенным еще Архимедом: не зная
формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найти
сумму ее членов.
1 1 1
1 11 1 1

   . . .       . . . .
2 4 8
2 22 4 8

Обозначим искомую сумму через S , тогда
1 1
S =
 S ,
2 2
Откуда
S = 1.
б) Решая аналогично, получаем
1
S =
.
2
в) Решая аналогично, получаем
1
S =
.
3
96
1
1
;
в)
.
3
2
Задача 5. Сумма трех сторон прямоугольного треугольника 156 метров.
Площадь равна 1014 квадратным метрам. Найдите стороны.
Решение. На основании условий и теоремы Пифагора получаем систему:
 x  y  z  156 ,
 xy  2028 ,
 x 2  y 2  z 2 ;
отсюда
(х + у)2 = х2 + у2 + 2ху = z2 + 4056 = (156 – z)2 ,
или
1562 – 312 z = 4056 ,
откуда
z = 65 ;
следовательно,
х + у = 91 .
По сумме и произведению находим:
х = 39 ; у = 52 .
Ответ: катеты треугольника равны 39 и 52, гипотенуза равна 65 .
Ответ: а) 1 ;
б)
Задачи Коши
Коши Огюстен Луи (1789-1857), знаменитый французский математик,
профессор Политехнической школы, факультета наук и «College de France».
Он написал более 700 мемуаров по различным отделам анализа, геометрии,
физики и астрономии. Ему обязана своим развитием теория функций
комплексного переменного. При необычайной плодовитости и богатстве
идей Коши не успевал детально обработать свои исследования, оставляя этот
труд на долю своих последователей.
2
2x
Задача 1. Разложите дроби
и
на сумму двух дробей
x2  1
x2  1
A
B
вида
.

x 1 x  1
Решение. Воспользуемся методом, получившим название метода
неопределенных коэффициентов.
1) Пусть
2
A
B


2
x 1 x  1
x 1
при условии, что
х ≠ ±1 .
Приводя к общему знаменателю, получаем уравнение
Ах + А + Вх – В = 2 ;
х(А + В) + А – В = 2 .
97
Левая и правая части последнего равенства должны быть тождественно
равны при любом допустимом значении х , поэтому
A  B  0,
A  B  2,
следовательно,
2А = 2 ,
откуда
А=1; В=–1.
Таким образом:
2
1
1
.


x 1 x  1
x2  1
2) Пусть
2x
A
B


x 1 x  1
x2  1
при условии, что
х ≠ ±1 .
Приводя к общему знаменателю, получаем уравнение
Ах + А + Вх – В = 2х ;
х(А + В) + А – В = 2х .
Левая и правая части последнего равенства должны быть тождественно
равны при любом допустимом значении х , поэтому
A  B  2,
A  B  0,
следовательно,
2А = 2 ,
откуда
А=1; В=1.
Таким образом:
2x
1
1
.


x 1 x  1
x2  1


1
1
1
1
;
.


x 1 x  1
x 1 x  1
Задача 2. Покажите, что если перемножить между собой два целых числа,
каждое из которых есть сумма двух квадратов, то полученное произведение
будет также состоять из суммы двух квадратов.
Решение. Возьмем две пары комплексно сопряженных чисел:
a + bi ; a – bi ; c + di ; c – di .
Перемножая каждую пару комплексно сопряженных чисел, найдем
произведение всех четырех:
(a + bi) (a – bi) (c + di) (c – di) =
= (a2 + b2) (c2 + d2) .
(1)
Ответ:
98
Если умножить первое комплексное число на третье, а второе на
четвертое, то общее произведение представится в виде:
[(ac – bd) + (ad + bc)i] [(ac – bd) – (ad + bc)i] =
= (ac – bd)2 + (ad + bc)2 .
(2)
Сравнивая полученные равенства (1) и (2) , получаем:
(a2 + b2) (c2 + d2) = (ac – bd)2 + (ad + bc)2 .
Если же умножить первое комплексное число на четвертое, а второе на
третье, то получим:
(a2 + b2) (c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2 .
Задачи Штейнера
Штейнер Якоб (1796-1863), известный немецкий математик, один из
творцов новой геометрии, основы которой разработаны им в классическом
произведении «Geometrische Konstructionen ausgefuhrt mittels der geraden
Linie und eines festen Krieses» (1833), где он трактует свойства алгебраических
кривых и поверхностей, пользуясь исключительно геометрическими
методами.
Задача 1.
Покажите, что если соединить точку Е пересечения
диагоналей трапеции с точкой F пересечения ее непараллельных сторон, то
большее основание разделится линией EF пополам.
Решение.
F
D
H
C
Е
А
G
Рис. 3
B
Из подобия треугольников DFH и AFG , а также CFH и CFB получаем
соотношения:
DH : AG = FH : FG = CH : BG ,
т.е.
AG : GB = DH : HC .
(1)
Аналогично, из подобия треугольников AEG и CEH , а также BEG и
DEH получаем соотношение
99
AG : GB = HC : DH .
(2)
Перемножая равенства (1) и (2) , получаем:
AG2 : GB2 = 1 ,
откуда получаем:
AG = BG .
Задача 2. На прямой даны точки G , D , F , из которых точка D лежит
посередине между двумя остальными. При помощи только линейки
проведите через произвольную точку Н прямую, параллельную данной.
Решение. Воспользуемся результатами задачи 1 (см. выше).
Мы знаем, что прямая, проведенная через точку пересечения диагоналей
трапеции и точку пересечения продолжения непараллельных сторон, делит
основания трапеции пополам.
Значит, последовательность действий выглядит следующим образом.
1) Проводим прямые GH и FH (см. рис. 6).
2) На прямой GH возьмем произвольную точку А и проведем прямые
AD и AF .
3) Точка О – точка пересечения прямых FH и AD .
4) Проводим через точки О и G прямую.
5) Точка В – точка пересечения прямых AF и GO .
6) Проводим через точки В и Н прямую
7) ВН || FD .
A
B
H
H
O
F
D
Рис. 6
G
Задача Бурдоне
Бурдоне, французский педагог-математик, автор распространенных в свое
время курсов по элементарной математике. Его «Elements d’Algebre»
выдержала более 20 изданий, а «Elements d’Arithmetique» - до 40 изданий.
Задача . Число состоит из трех цифр. Сумма этих цифр равна 11 ; цифра
единиц вдвое больше цифры сотен. Если прибавить к искомому числу 297 ,
100
то получается число, написанное теми же цифрами, как у искомого, но в
обратном порядке. Какое число обладает такими свойствами?
Решение. Пусть искомое число x y z . Тогда решение задачи сводится к
решению системы уравнений:
 x  y  z  11 ,
 z  2x ,
 100 x  10 y  z  297  100 z  10 y  x ,
откуда получаем:
х=3; у=2; z=6.
Следовательно, искомое число 326 .
Ответ: 326.
Задачи Монферье
Монферье, французский математик, автор целого ряда учебных курсов по
математике.
Задача 1. Решите уравнение:
х6 + 3х5 + 2х4 – 2х2 – 3х – 1 = 0 .
(1)
Решение. Нетрудно видеть (это можно установить проверкой), что одним
из корней уравнения является
х1 = 1 .
Поэтому, деля уравнение (1) на (х – 1) , получим:
х5 + 4х4 + 6х3 + 6х2 + 4х + 1 = 0 ;
(2)
5
3
2
(х + 1) + 4х (х + 1) + 6х (х + 1) = 0 ;
откуда
х2 = –1 .
Деля уравнение (2) на (х + 1) , получим:
х4 + 3х3 + 3х2 + 3х + 1 = 0 .
(3)
Это возвратное уравнение 4-й степени. Заметив, что число
х=0
не является корнем уравнения (3) , деля обе части этого уравнения на х2 и
осуществляя подстановку
1
z x  ,
x
приходим к квадратному уравнению, решая которое и переходя к замене,
получаем:
x3, 4 
x 5, 6 
Ответ: 1 ; –1 ;
3  5 
2  6 5
4
3  5 
4
2  6 5
3  5 
4
101
2  6 5
;
;
.
3  5 
2  6 5
4
.
Задача 2. Решите уравнение:
х4 + 5х3 – 3х2 – 35х – 28 = 0 .
Решение.
х4 + х3 + 4х3 + 4х2 – 7х2 –7х – 28х – 28 = 0 ; (1)
х3(х + 1) + 4х2(х + 1) – 7х(х + 1) – 28(х + 1) = 0;
х1 = –1 .
Разделив обе части уравнения (1) на (х + 1) , получим:
х3 + 4х2 – 7х – 28 = 0 ;
(2)
2
х (х + 4) – 7(х + 4) = 0 ;
х2 = – 4 .
Разделив обе части уравнения (2) на (х + 4) , получим:
х2 – 7 = 0 ;
х3,4 =  7 .
Ответ: –1 ; – 4 ;  7 .
Задача Пуассона
Пуассон Симеон Денис (1781-1840), знаменитый французский математик,
работавший преимущественно в областях высшей математики, кроме
значительного числа специальных исследований, относящихся к анализу,
теории уравнений, механике и астрономии, он написал двухтомный
«Трактат о механике». Что касается той задачи, которая приведена ниже, то
Араго рассказывает, что она решила судьбу Пуассона, так как,
заинтересовавшись ею, он тем самым открыл свое призвание и всю жизнь
посвятил математике.
Задача. Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из него половину,
но у него нет сосуда в 6 пинт. У него два сосуда: 8 пинт и 5 пинт.
Спрашивается, каким образом можно налить 6 пинт вина в сосуд емкостью
8 пинт?
Решение. Задача имеет два решения. Приведем результаты переливаний в
виде таблиц.
1-й способ
12 пинт
8 пинт
5 пинт
12
0
0
4
8
0
4
3
5
9
3
0
9
0
3
1
8
3
1
6
5
6
6
0
2-й способ
12 пинт
8 пинт
102
5 пинт
12
4
0
8
8
3
3
11
11
6
6
0
8
8
0
4
4
8
0
1
1
6
0
0
4
4
0
5
1
1
0
5
0
Задача Шлёмильха
Шлемильх Оскар (1832-1901)известный немецкий математик, имя
которого связано с выражением остаточного члена ряда Тейлора; автор
весьма полезного двухтомного курса по математике.
Задача. Решите кубическое уравнение
x3 + ax2 + bx + c = 0 ,
если его корни составляют:
а) арифметическую прогрессию;
б) геометрическую прогрессию.
Решение. Известно, что между корнями и коэффициентами кубического
уравнения существует следующая зависимость (формулы Виета):
(1)

 a   ( x1  x 2  x3 ) ,
(2)
 b  x1 x 2  x1 x3  x 2 x3 ,

(3)
 c   x1 x 2 x3 .
а) Если корни уравнения составляют арифметическую прогрессию, то
имеем дополнительное условие:
х1 – х2 = х3 – х4 .
(4)
Тогда из (1) и (4) следует:
a
x2   ;
3
из (1) и (3) :
3c
2
,
x1  x3   a ;
x1 x3 
3
a
откуда
a 1 a 3  27c
a 1 a 3  27c
,
.
x1   
x3   
3 3
a
3 3
a
Если подставить найденные корни в (2) , то получится условие, которому
должны удовлетворять коэффициенты для того, чтобы кубическое уравнение
имело корни, представляющие арифметическую прогрессию:
103
2a 3  27c
b.
9a
Обратно, если имеется указанная связь между коэффициентами
кубического уравнения, то его корни будут членами арифметической
прогрессии.
б) Если корни уравнения составляют геометрическую прогрессию, то
имеем дополнительное условие:
х1 : х2 = х3 : х4 .
(5)
Тогда из (5) и (3) следует:
x 2  3  c ; x1 x3  3 c 2
(6)
из (1) :
x1  x3   a  3 c ;
(7)
из (6) и (7) получим:
2
 a 3 c 
a 3 c
  3 c2 ,
x1 
 

2
 2 
2
 a 3 c 
a 3 c
  3 c2 ,
x1 
 

2
 2 
2
 a 3 c 
a 3 c
  3 c2 .
x3 
 

2
 2 
Если подставить найденные корни в (2) , то получится условие, которому
должны удовлетворять коэффициенты для того, чтобы кубическое уравнение
имело корни, представляющие арифметическую прогрессию:
b   a3 c .
Обратно, если имеется указанная связь между коэффициентами
кубического уравнения, то его корни будут членами геометрической
прогрессии.
2a 3  27c
Ответ: а)
 b ; б) b   a 3 c .
9a
Задачи Бертрана
Бертран Жозеф (1822-1900), знаменитый французский математик,
который уже в 17 лет был доктором математики, автор классического
трактата по дифференциальному и интегральному исчислению. На русский
язык переведены его курсы арифметики и алгебры.
Задача 1. Докажите, что
3
20  14 2  3 20  14 2  4 .
Доказательство.
1-й способ.
104
Возведем обе части равенства в куб:
20  14 2  20  14 2  33 20  14 2 3 20  14 2  4  64 ;
40  123 400  392  64 ;
40 + 24 = 64 – верное равенство.
2-й способ.
3
=
20  14 2 =
3
23  3  2 
8  12  12 2  2 2 =
3
 2
2
 3  22 
= 2
 2   2
3
=
2 .
Аналогично:
3
20  14 2 =
3
=
23  3  2 2 
3
8  12  12 2  2 2 =
 2  3 2   2   2
2
= 2
3
=
2 .
В результате получаем:
3
20  14 2 
= 2
3
2 +2
Задача 2. Докажите, что
2 3
2 2 3
Доказательство. Преобразуем:
2
=
2 = 4.
2 3

2
2 3 
 3
20  14 2

2 3
2 .
42 3
=
2
 2 3 1
3
1.
2
2
На основании этого данное выражение примет вид:
2 3 2
2 3 2

,
2  3 1
2  3 1
или
2 3 3 3  2 3 3 3
2

6
Задача 3. Докажите, что
=






 

=





847
847
 36
 3.
27
27
Доказательство. Возведем левую часть равенства в куб:
3
6
105
2 .
3

3 6 


847

27
6
3

 3  3  6 


 =


2
847  3
  6
27 

847
 3  3  6 
27

= 6
847
27
2
847  3
  6
27 
847
6 
27
847

27
847
=
27
847 3
847
847 3
 6
 3  3 36 
 6
27
27
27

847 3
847 
 6
= 12  5   3 6 
.


27
27


= 12  3  3 36 
847

27
Обозначим
847 3
847
 6
.
27
27
Тогда, сравнивая начало и конец преобразований, получаем равенство:
а3 – 5а – 12 = 0 .
Разложим левую часть этого равенства на множители:
а3 – 3а2 + 3а2 – 9а + 4а – 12 =
= а2 (а – 3) + 3а (а – 3) + 4(а – 3) =
= (а – 3) (а2 + 3а + 4) .
Таким образом, величина а может принимать следующие значения:
 a  3,

3  i 7
.
a 

2
Следовательно, одним из значений суммы
а =
3
3
6
6
847

27
3
6
847
27
является число 3 .
Задача 4. Решите уравнение
m
(1  x) 2  m (1  x) 2  m 1  x 2 .
Решение. Легко проверить (непосредственной подстановкой), что числа
± 1 не являются корнями данного уравнения.
Разделим обе части уравнения на выражение
m
1  x2 ,
получим уравнение вида:
m
1 x
1 x
m
 1 . Введем новую переменную:
1 x
1 x
106
t =
m
1 x
,
1 x
тогда уравнение примет вид:
1
или
t  1 ,
t
откуда получаем
1 5
t1 =
;
2
Решая совокупность уравнений:
1  x


1

x

1  x 
1  x

получаем:
х1 = 5  2 ;
t2 – t – 1 = 0 ,
t2 =
1 5
.
2
1 5
,
2
1 5
,
2
х2 =  5  2 .
5 2 ;  5 2 .
Ответ:
Задача из «Miscellany of Mathematical Problems»
Три крестьянина Джон, Питер и Алексис пришли на рынок со своими
женами Мэри, Китти и Дженни. Узнайте, кто на ком женат, если известно,
что каждое из этих шести лиц заплатило за каждую купленную вещь столько
пенсов, сколько вещей ими куплено. Каждый мужчина истратил на 63 пенса
больше своей жены. Кроме того, Джон купил на 23 вещи больше Китти, а
Питер на 11 вещей больше Мэри.
Решение. Пусть каждый мужчина купил х вещей, следовательно,
заплатил за них х2 пенсов; каждая жена купила у вещей и заплатила у2
пенсов.
Тогда по условию:
х2 – у2 = 63 ;
(х – у) (х + у) = 63 .
При этом х и у – целые числа, следовательно, возможны три случая.
x  y  63 ,
1)
х = 32 ; у = 31 .
x  y  1;
x  y  21,
2)
х = 12 ; у = 9 .
x  y  3;
x  y  9,
3)
х=8; у=1.
x  y  7;
Разность 23 дают только числа 32 и 9 , следовательно, 32 вещи
куплены Джоном, 9 – Китти.
Разность 11 дают только числа 12 и 1 , следовательно, 12 вещей
куплены Питером, 1 – Мэри.



107
Наконец, Алексис купил 8 вещей, а Дженни – 31 .
Таким образом, женой Джона была Дженни, Питера – Китти, а Алексиса
– Мэри.
Задача Каталана
Каталан Эжен (1814-1894), бельгийский математик, несмотря на работы
в области высшей математики, уделявший много внимания элементарной.
Приведенная задача взята из его работы «Теоремы и задачи элементарной
геометрии».
Задача. Из точки А вне окружности проведите секущую так, чтобы она
разделилась окружностью пополам.
Решение. Пусть АС – искомая секущая (см. рис. 7). Соединим точки С
и О . Продолжим СО до пересечения с данной окружностью в точке D .
Соединим точки D и А .
В треугольнике ACD точка В – середина отрезка АС ; точка О –
середина отрезка CD .
Следовательно, ОВ – средняя линия треугольника ACD , а значит,
отрезок ОВ параллелен отрезку АD и равен его половине. Следовательно,
отрезок AD равен диаметру данной окружности.
А
В
С
D
О
Рис. 7
Таким
образом,
построение
можно
описать
следующей
последовательностью действий.
1) В точке А (как в центре) строим окружность радиусом, равным
диаметру данной окружности.
2) Получаем точки пересечения двух окружностей: D и D1 .
3) Проводим DO и D1O .
4) Получаем точки пересечения построенных прямых с данной
окружностью: С и С1 .
5) Соединяем точку А с точками С и С1 .
6) АС и АС1 – искомые секущие.
108
Задача Желена
Пять разбойников отняли у прохожего кошелек, наполненный дукатами.
Самый сильный из них взял 81 дукат, каждый из 4 остальных
неодинаковую сумму. Вследствие неравного раздела возник спор, и
пришедший в то время атаман приказал, чтобы тот, кто взял больше всех,
удвоил каждому из остальных число его дукатов и чтобы то же самое сделал
затем захвативший второе по величине, потом захвативший третье, четвертое
и пятое. В результате оказалось, что каждый из пяти разбойников получил
одно и то же число дукатов. Узнайте, сколько дукатов было в кошельке и
сколько из них каждый захватил вначале.
Решение. После окончательного раздела у каждого из разбойников было
1
по
суммы.
5
1
6
Следовательно, до удвоения: у четырех – по
, у пятого –
.
10
10
1
11
Перед вторым удвоением: у первых трех – по
, у четвертого , у
20
20
6
пятого –
.
20
1
21
Перед третьи удвоением: у первых двух – по
, у третьего –
,
у
40
40
11
6
четвертого , у пятого –
.
40
40
1
41
Перед четвертым удвоением: у первого –
, у второго –
, у третьего
80
80
21
11
6
–
,
у четвертого , у пятого –
.
80
80
80
81
41
Перед пятым удвоением: у первого –
, у второго –
, у третьего –
160
160
21
11
6
,
у четвертого , у пятого –
.
160
160
160
При этом у первого 81 дукат. Следовательно, всего было 160 дукатов.
Ответ: 160 дукатов.
Задача Бальтцера
Бальтцер Рихард, немецкий математик-педагог, курс которого «Элементы
математики» пользовался в Германии большой популярностью.
Задача. Решите систему уравнений:
 x 2  y 2  xy ,
 x  y  xy .

109
Решение. Из первого уравнения получаем
х2 + у2 + 2ху = 3ху ,
или
(х + у)2 = 3ху .
Подстановка из второго уравнения дает
(х + у)2 – 3(х + у) = 0 ;
(х + у) (х + у – 3) = 0 .
Возможны два случая.
x  y  0,
1-й случай.
(х ; у) = (0 ; 0) .
x y  0.

xx y y 3. 3,
3  i 3 3  i 3
.
(х ; у) = 
;

2
2


3  i 3 3  i 3
.
Ответ: (0 ; 0) ; 
;

2
2


Замечание. У самого Бальтцера приведен только ответ (0 ; 0) .
2-й случай.
Задача Штурма
Штурм Яков-Карл (1803-1855), швейцарский математик, автор
двухтомного курса анализа, до сего времени не утратившего своего научнопедагогического значения.
Задача. Из города А выезжает курьер и в первый день проезжает 10
1
лье, а в каждый следующий – на
лье больше. Спустя три дня другой
4
курьер выезжает из города В , расположенного за городом А в 40 лье, и
едет в том же направлении, причем в первый день проезжает 7 лье, а в
2
каждый следующий – на
лье больше. Через сколько дней после выезда
3
первого оба курьера встретятся?
Решение. Обозначим искомое число дней через х .
Путь, пройденный первым курьером, есть сумма членов арифметической
прогрессии, крайние члены которой
x 1
10 и 10 +
,
4
т.е. она равна
x  1 x
(79  x) x

.
 20 
 
4 2
8

Второй курьер находится в дороге до встречи с первым (х – 3) дня и
проезжает
( x  4)  2  x  3

,
14 

3
2


110
или
(17  x) ( x  3)
(лье) .
3
По условию
(17  x) ( x  3)
(79  x) x
–
– 40 = 0 ,
8
3
(1)
или
5х2 – 125х + 552 = 0 ,
(2)
откуда
125  4585
.
10
Приблизительные значения х1 и х2 равны соответственно
х1 ≈ 5,72 ;
х2 ≈ 19,27 .
Казалось бы, что х должно быть целым числом, следовательно, корни
уравнения как бы не отвечают условию. Однако можно показать, что целые
части корней (5 и 19) означают, что были две встречи: одна по истечение 5,
а вторая – по истечение 19 дней.
Во-первых, если а есть путь первого курьера, а b – путь второго,
увеличенный на 40 лье, то, полагая, что первый находится в пути целое
число х дней, а второй целое число (х – 3) дня, получаем:
5х2 – 125х + 552 = 24(b – a) .
(3)
Это очевидно, так как уравнение (2) получается из уравнения (1)
изменением знаков всех членов на противоположные и умножением их на
24.
Подставим теперь в левую часть уравнения (2) вместо х сначала 5 , а
потом 6 , так как меньший корень х1 содержится между этими числами.
Тогда результат первой подстановки больше нуля, а второй – меньше нуля.
Но в силу тождества (3) разность b – a всегда имеет одинаковый знак с
квадратным трехчленом
5х2 – 125х + 552 .
Следовательно, в конце пятого дня a < b , а в конце шестого a > b .
Таким образом, первая встреча, как было отмечено выше, имела место
между пятым и шестым днем. Аналогично доказывается, что вторая встреча
имела место через 19 дней. Возможность этой второй встречи легко понять,
так как второй курьер, увеличивая свою скорость более первого, встретит
его, будучи сначала обойден первым.
х =
Задача из «Joural de Mathematiques elementaires»
Докажите что при всяком целом значении n число
n (n2 – 1) (n2 – 5n + 6)
кратно 120 .
Доказательство. Заметим, что
n (n2 – 1) (n2 – 5n + 6) = (n – 3) (n – 2) (n – 1) n (n + 1) .
111
Произведение
произведение
пяти
последовательных
целых
чисел
делится
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120 ,
что и требовалось доказать.
Задача из «Supplemento al Periodico di Matematica»
Решите систему уравнений:
 x  y  z  9,
1 1 1
    1,
y z
x
 xy  xz  yz  27 .
Решение. Второе из уравнений системы можно представить в виде:
yz  xz  xy
1 .
xyz
Подстановка из третьего уравнения дает:
x y z = 27 .
Получаем систему:
 x  y  z  9,
 xy  xz  yz  27 ,
 x y z  27 .
Следовательно, х , у , z – корни кубического уравнения
u3 – 9u2 + 27u – 27 = 0 ,
или
(u – 3)3 = 0 ; u = 3 ;
откуда x = y = z = 3 .
Ответ: (x ; y ; z) = (3 ; 3 ; 3) .
112
на
ПРИЛОЖЕНИЕ
Биографические справки
Джироламо Кардано
Джироламо Кардано родился 24 сентября 1501 года в семье
юрисконсульта Фацио Кардано в местечке недалеко от Милана. Род Кардано
древний и известный в Италии; один из предков Джироламо, Милоне
Кардано, был в XII веке префектом Милана.
Отец обучал Джироламо арифметике, геометрии, началам арабской
астрологии, искусству вести полемику. Мальчик показывал выдающиеся
способности, усваивал все быстро и хорошо и не подозревал, что он знал
гораздо больше, чем его сверстники, исправно посещающие школу. К
двенадцати годам Джироламо без принуждения одолел первые шесть книг
«начал» Евклида.
На восемнадцатом году Джироламо поступил на медицинский факультет
университета в Павии, где блистал знаниями языков, философии, астрологии
и математики.
В 1524 году Кардано окончил университет, а в 1525 году получил степень
доктора медицины. Он мечтал поселиться в Милане и в 1529 году обратился
с просьбой о приеме в коллегию миланских врачей. Коллегия отказала ему,
мотивируя отказ тем, что Кардано – незаконный сын Фацио.
С помощью влиятельных друзей осенью 1534 года Кардано удалось
получить в Милане сначала место преподавателя «геометрии и математики»
в школе, где раньше преподавал его отец, а затем место врача. В эти годы он
написал много работ по медицине, философии, математике.
Да Кои побудил Кардано году написать первую книгу по математике –
«Практическая арифметика», вышедшую в 1538 году. Книга была встречена
весьма холодно на родине автора и с большим одобрением во Франции и в
Германии.
В 1543 году Кардано преподавал медицину в Павии, а в 1544 году
вернулся в Милан. К этому времени он пользовался широкой известностью
как врач и превосходный лектор.
В 1545 году вышла в свет знаменитая книга Кардано «Великое искусство,
или О правилах алгебры», содержащая все сведения по теории уравнений,
известные и полученные к тому времени.
В 1554 году Кардано написал книгу по астрологии – «О значении звезд», −
в которой поместил гороскоп Христа и дату конца света. Гороскоп остался
незамеченным, но через несколько лет послужил поводом многих несчастий
Кардано.
С 1559 года Кардано снова жил в Павии и был профессором медицинского
факультета университета. С 1562 года Кардано преподавал в университете
Болоньи. Его слава постоянно росла; его сравнивали с Гиппократом.
113
В 1570 году Кардано попал в тюрьму. Причины осуждения высказывались
различные: обвинение в черной магии, обвинение инквизиции в связи с
опубликованием гороскопа Христа, большие долги Альдо и др.
В конце 1571 года Кардано переехал в Рим, а в 1573 году получил от Папы
Римского пожизненную пенсию. Тогда же он сжег 120 своих книг, отчасти
из-за того, что некоторые из них в чем-то отклонялись от церковных догм.
В последние годы Кардано был нелюдим, много размышлял в уединении,
приводил в порядок рукописи.
Умер Кардано в Риме 20 сентября 1576 года. Обстоятельства его смерти
неизвестны.
Франсуа Виет
Один из выдающихся математиков XVI века Франсуа Виет родился в 1540
году в небольшом городе Фонтене–ле–Конт – французской провинции
Пуату. Он окончил университет в Пуатье, получил юридическое образование
и в 19 лет начал адвокатскую практику в родном городе.
Занимаясь астрономией, он увлекся этой наукой и пришел к мысли
составить труд, посвященный усовершенствованию птолемеевой системы,
так как систему Коперника он считал неудовлетворительной. Для глубокого
исследования астрономии было необходимо, прежде всего, знание
тригонометрии, которая в те времена рассматривалась только как часть
вычислительной астрономии. Виет начал изучать тригонометрию и работал
над ней усердно и плодотворно.
Около 1570 года Виет подготовил большой труд по тригонометрии –
«Математический канон», содержащий таблицы синусов, тангенсов,
секансов, а также изложение плоской и сферической тригонометрии. Однако
этому сочинению не повезло: в 1579 году вышли первые две книги, но в них
было много опечаток, почти полностью обесценивших работу. Поэтому Виет
постарался собрать и уничтожить все издание. Оставшиеся экземпляры
представляют сейчас большую редкость. Голландский математик Ван
Схоутен (1615 – 1660) в 1646 году издал наиболее полное собрание
сочинений Виета, в которое однако не вошел «Математический канон».
Объясняется это тем, что Схоутен неправильно понял желание Виета. Виет
хотел избавить книгу от многочисленных опечаток, исправить изложение и
обозначения, но вовсе не считал таблицы ненадежными.
В 1571 году Виет переехал в Париж, где завязал знакомство с местными
математиками, в частности, с Расмусом.
В 1573 году Виет стал советником парламента в Бретани. Брак его
ученицы с герцогом де Роганом содействовал тому, что Виет завязал
знакомство с Генрихом Наваррским, ставшим впоследствии королем
Франции Генрихом IV, и его матерью.
Продвижение Виета по службе было стремительным: сначала он –
частный советник короля Генриха III Валуа, затем – на должности
114
«докладчика по ходатайствам». Громкую славу при дворе ему принесла
расшифровка переписки врагов Генриха III.
Но истинной страстью Виета была математика. Ей он посвящал все
свободное время и работал самозабвенно: рассказывают, что, работая над
каким-нибудь исследованием, Виет мог сидеть за письменным столом по
трое суток. С 1584 по 1589 год он потратил на глубокое изучение древних
классиков
(Архимеда,
Евклида,
Аполлония,
Диофанта),
своих
непосредственных предшественников (Тартальи, Кардано, Бомбелли) и на
создание основного труда – «Искусства анализа».
Одно событие, происшедшее с Виетом в 1594 году, способствовало
укреплению его авторитета среди математиков. Рассказывают, что в ноябре
1594 года Виет находился с Генрихом IV, на службе которого он тогда
состоял, в Фонтенбло. Во время разговора между королем и голландским
посланником о наиболее замечательных людях государства посланник
заметил, что Франция, видимо, не имеет математиков, так как Ван Роумен
среди тех, кому он в своем письме в особенности адресовал свой научный
вызов, не упомянул ни одного француза. «И все же, − отвечал король, − у
меня есть математик, и весьма выдающийся. Позовите Виета». Когда Виет
появился, посланник достал письмо Роумена. Виет прочел его, тотчас же
написал решение и на следующий день прислал еще 22 других. Речь идет об
уравнении 45-й степени, которое голландский математик Ван Роумен
предложил решить математикам Европы, и один из корней которого Виет
указал, едва прочитав письмо. Впоследствии Ван Роумен стал ревностным
почитателем таланта Виета. Из многочисленных математических работ Виета
часть опубликована при жизни, многие – посмертно, некоторые так и
остались в рукописях. Основные алгебраические идеи Виет изложил во
«Введении в аналитические искусство».
Пьер Ферма
Пьер Ферма родился 20 августа 1601 года в городе Бомон-де-Ломань на
юго-западе Франции. Он имел счастливую возможность получить
престижное образование во французском монастыре Грансельва, а затем в
течение некоторого времени учиться в университете Тулузы. Не сохранилось
никаких документов, свидетельствующих о том, что юный ферма проявил
блестящие способности к математике. Под давлением семьи Ферма поступил
на гражданскую службу и в 1631 году был назначен советником парламента
Тулузы.
Всю энергию, которую ему удавалось сохранить после исполнения
служебных обязанностей, Ферма отдавал математике. По-существу, Ферма
был истинным ученым-любителем, человеком, которого Э.Т. Белл назвал
«князем-любителем».
Живя вдали от Парижа, Ферма был изолирован даже от того небольшого
математического сообщества, которое тогда существовало. Встреча Ферма с
Мерсенном стала единственным его контактом с другим математиком.
115
Ферма отказывался публиковать свои доказательства. Публикация
результатов ничего для него не значила. Ферма получал удовольствие от
сознания того, что он в тиши своего кабинета без помех может создавать
новые теоремы. Однако при общении с другими математиками Ферма
направлял им письма с формулировками последних теорем и постоянно
умалчивал о доказательствах. То, что Ферма никогда не раскрывал своих
доказательств, вызывало у его коллег чувство разочарования.
Ферма стал основоположником наиболее плодотворных отраслей
математики: аналитической геометрии, исчисления бесконечно малых,
теории чисел, теории вероятностей. Однако он не оставил ни одной
законченной работы, и большинство его набросков не было опубликовано
при его жизни. Так, он не написал ни одного точного доказательства,
ограничиваясь лишь некоторыми указаниями. Часть открытых теорем Ферма
была обнаружена лишь после его смерти на полях его рабочего экземпляра
«Арифметики» Диофанта.
Сын математика, Самуил Ферма, опубликовал их в выпущенном им новом
издании Диофанта (1670). Первые 36 страниц этого издания занимало «Новое
открытие в аналитическом учении», представлявшее собой переработку
переписки Ферма с Жаком де-Билли по теоретико-числовым вопросам.
Другая часть результатов Ферма содержится в его «Различных сочинениях».
Рене Декарт
Одним из основоположников новой математики был Декарт. Термины в
математике до наших дней связаны с именем Декарта: декартовы
координаты, декартов лист, овалы Декарта, правило знаков Декарта, метод
неопределенных коэффициентов Декарта. Основные математические идеи и
построения Декарт изложил в «Геометрии», вышедшей как часть
«Рассуждения о методе» в Лейдене на французском языке осенью 1637 года,
и в переписке с крупнейшими математиками того времени.
Рене Декарт родился 31 марта 1596 года в местечке Лаэ провинции
Турень. Первые семь лет Рене воспитывался вместе со старшим братом
Пьером и сестрой Жанной в Лаэ. Стремление к наукам проявилось у него
рано. На восьмом году он был отдан в школу Ла Флеш – одно из лучших
учебных заведений того времени. Школа Ла Флеш отличалась от других
школ тем, что наравне с традиционными предметами – грамматикой,
риторикой, богословием – в ней изучались физика и математика.
Начало книги Декарта «Рассуждение о методе» (1636, опубликована в
1637 году на французском языке) содержит много ценных высказываний,
касающихся школы, изучаемых предметов, постановки обучения.
В начале 1613 года Декарт отправляется в Париж и ведет там светскую
жизнь. Там он знакомится с парижским математиком Мидоржем (1585–
1647). В 1618 году состоялось знакомство Декарта с голландским ученым И.
Бекманом (1588 – 1637), который возбудил интерес Декарта к физикоматематическим исследованиям. 1619 – 1620 годы – знаменательный этап
116
жизни Декарта. Он открыл идеи универсальной математики, или
преобразование алгебры с помощью единой символики, или выражение
алгебраических величин с помощью геометрических, а геометрических через
алгебраические уравнения, что было основной идеей построенной Декартом
аналитической геометрии.
Осенью 1628 года Декарт уехал в Голландию. В это время он
переписывался с учеными Франции и Италии. Мерсенн информировал его о
научных открытиях, посылал для решения физические и математические
задачи. В ту пору среди ученых решение предложенных задач считалось
делом чести, поэтому Декарт уделял этому занятию много внимания. В
университетском городке Франекере, на севере Голландии, Декарт в течение
9 – 10 месяцев писал свой первый очерк, содержащий основные философские
идеи, созревшие в результате глубоких размышлений. Затем он принялся за
большое сочинение, в котором намеревался ответить на многие вопросы
физики.
Первую часть сочинения о мире Декарт назвал «Трактат о свете», вторую
– «Трактат о человеке». В 1641 году в Париже вышли на латинском языке
«Размышления о первой философии, в которых доказывается бытие Бога и
бессмертие души». В русском переводе этот труд известен как
«Метафизические размышления».
В 1644 году в Амстердаме на латинском языке вышли «Начала
философии» − самое обширное сочинение Декарта.
Деятельность Декарта-математика, как и большинства математиков того
времени, была тесно связана с кружком Мерсенна. Мерсенн неустанно вел
переписку, будучи, своего рода, главным почтамтом для всех ученых
Европы.
117
ЛИТЕРАТУРА
1. Архимед. Сочинения. – М.: Физматгиз, 1962.
2. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи. – М.: Просвещение, 1994.
3. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. – М.: Мир, 1963.
4. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX
столетия. – М.: Наука, 1966.
5. Гариг Г.Г. Спор Тарталья и Кардано о кубических уравнениях и его
общественные основы. – М.: Архив истории науки и техники, 1935.
6. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. – М.: Мир, 1986.
7. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия /
Под ред. А.Н.Колмогорова и А.П.Юшкевича. Т.1. – М.: Наука, 1970.
8. Кольман Э. История математики в древности. – М.: Наука, 1961.
9. Математическая энциклопедия. – М.: Советская энциклопедия, 1977.
10. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI – XVII веков. – М.:
Наука, 1979.
11. Пачоли Лука. Трактат о счетах и записях. – М.: Финансы и статистика,
1983.
12. Попов П.С. Исторические задачи. М.: Наука, 1968.
13. Рыбников К.А. История математики. – М.: Изд-во МГУ, 1960.
14. Сингх С. Великая теорема Ферма. – М.: Изд-во МЦНМО, 2000.
15. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М.: Наука, 1978.
16. Цейтен Г.Г. История математики в XVI и XVII веках. – М.: Наука,
1958.
17. Чистяков В.Д. Рассказы о математиках. – Минск: Выш. шк., 1963.
18. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. –
Минск: Выш. шк., 1978.
19. Шереметьевский В.П. Очерки по истории математики. – М.:
Физматгиз, 1940.
118
Оглавление
Предыстория вопроса
3
Часть первая. Развитие алгебры в Европе в XV – XVII веках
Глава 1. Развитие алгебры в Италии в XV – XVII веках
§1. Алгебра аль-Хорезми и ее влияние на европейских
математиков
8
§2. Лука Пачоли
11
§3. Решение уравнений третьей степени Николо Тартальей.
12
§4. Джироламо Кардано
Алгебраические работы Кардано
18
«Великое искусство» Кардано
19
Решение уравнений четвертой степени в «Великом искусстве»
22
Теория алгебраических уравнений в «Великом искусстве»
25
Неалгебраические работы Кардано
31
Мнимые величины
32
Глава 2. Развитие алгебры во Франции в XV – XVII веках
§1. Франсуа Виет
Символика Виета
35
Решение уравнений первых четырех степеней
37
Формулы Виета
41
Метод приближенного решения уравнений
с числовыми коэффициентами
43
§2. Пьер Ферма
Теория уравнений в работах Ферма
45
Теория чисел в работах Ферма
47
§3. Рене Декарт
48
Часть вторая. Формирование современной алгебры
Глава 3. Попытки решения в радикалах уравнений выше
пятой степени
§1. Решение уравнений в радикалах
55
§2. Абель и Галуа
62
§4. Циклические группы
66
Глава 4. Создание многомерной алгебры
§1. Кватернионы Гамильтона
69
§2. Многомерные векторы
72
§3. Матрицы и определители
73
Часть третья. Задачи математиков XV–XIX столетий
Глава 6. Наиболее известные задачи итальянских и французских
математиков XVI – XVII вв.
§1. Задачи итальянских математиков
76
§2. Задачи французских математиков
78
Глава 7. Задачи математиков XVIII–XIX столетий
§1. Задачи математиков XVIII столетия
82
119
§2. Задачи математиков XIX столетия
Приложение. Биографические справки
Литература
120
92
114
119