çÌÁ×Á7ÆÏÒÍ

7. ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ
Если в цепи оказываются нелинейные элементы, то и при синусоидальном воздействии их реакция будет несинусоидальной с тем же периодом. В ряде областей науки и техники (автоматика, радиотехника,
телевидение и др.) просто необходимо использование несинусоидальных периодических сигналов для работы применяемых там устройств.
Поэтому нужно уметь рассчитывать подобные режимы работы.
Расчет включает в себя три этапа.
1. Разложение несинусоидальных ЭДС или токов источников в
ряд Фурье.
2. Применение принципа наложения и расчет постоянных и гармонических составляющих искомых токов и напряжений.
3. Определение мгновенных или действующих значений искомых величин.
Рассмотрим подробнее каждый из этапов.
7.1. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЬЕ
Из курса математики известна формула разложения в ряд Фурье
функции времени f(t) с периодом Т (рис. 7.1):

f  t   A0    B km sin  kt   Ñkm cos  kt  ,
k 1
ãäå  
2
;
T
A0 
1T
 f (t )dt;
T0
2T
Bkm   f (t )sin(kt )dt ;
T0
2T
Ñkm   f (t )cos(kt )dt.
T0
62
f(t)
T
0
t
Рис. 7.1
В теоретической электротехнике принято использовать иную форму записи:

f  t   A0   Akm sin  k t   k ,
ãäå
A0 
1 2
 f ( )d ;
2 0
1
C
2
2
Akm  Bkm
 Ckm
;  k  arctg km ,
Bkm
1 2
1 2
ï ðè÷åì Bkm   f ()sin(k )d ; Ckm   f ()cos  k   d 
 0
 0
и для сокращения записи введено обозначение   t.
Здесь A0  постоянная составляющая, A1m sin   1   первая (ос2
новная) гармоника, ее период T 
равен периоду самой функции.

Все остальные гармоники называются высшими. Так, Akm sin(k   k ) 
гармоническая составляющая k-го порядка, (k-я гармоника), чей период
2 T
Tk 
 . Каждой гармонике может быть сопоставлена ее комплексk k
ная амплитуда:
Akm  Akme jk  Bkm  jCkm .
В реальных условиях приходится иметь дело не с аналитическими
функциями, а с осциллограммами токов и напряжений. В этом случае
применяется приближенное разложение кривых в ряд Фурье с конечным числом членов, коэффициенты которых определяются по известным ординатам функций, соответствующих равноотстоящим точкам на
оси абсцисс (рис. 7.2).
63
f
2
0
  t

Рис. 7.2
2
 интервал между соседними точками деления, чисn
ло которых n (обычно четное).
Приближенное вычисление интегралов (например, по методу трапеций) приводит к следующим формулам:
2 n
2 n
Bkm   f ( s )sin(k s ); Ckm   f ( s )cos(k s );
n s 1
n s 1
Здесь  
1 n
s
 f ( s ), ãäå  s  s    2 .
n s 1
n
При этом можно определить лишь n неизвестных коэффициентов,
поэтому разложение в ряд Фурье может иметь постоянную составляющую и не более n 2 гармоник:
A0 
n/2
f ( )  A0   Akm sin(k   k ).
k 1
При четном n последняя гармоника (с номером n 2) содержит
лишь косинусную составляющую, чья амплитуда определяется по формуле с вдвое меньшим коэффициентом перед суммой, чем остальные.
При нечетном – верхний предел суммы равен (n  1) 2.
7.2. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РАЗЛОЖЕНИЯ
Функция, симметричная относительно оси абсцисс,
f ( )   f (   ) 

k 1,3,5...
Akm sin(k   k )
содержит только нечетные гармоники (рис. 7.3).
Функция, симметричная относительно оси ординат, (четная)
64
f ( )  f ( )  A0   Ckm cos(k )
содержит только косинусные составляющие (без начальных фаз). Пример на рис. 7.4.
Функция, симметричная относительно начала координат, (нечетная)
f ( )   f ( )   Bkm sin(k )
содержит только синусные составляющие (без начальных фаз). Пример
на рис. 7.5. Эти свойства функций легко доказываются при анализе
формул разложения в ряд Фурье с учетом их особенностей. Разумеется,
что для определения коэффициентов разложения в этих случаях достаточно учесть равноотстоящие ординаты функций на одной половине
периода.
f
f
f
0
2




0
Рис. 7.3
 
Рис. 7.4
0
 
Рис. 7.5
7.3. ДЕЙСТВУЮЩИЕ И СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть известно разложение некоторого тока в ряд Фурье:
i    I0   ik  I 0  I km sin(k   k ).
Найдем его действующее (среднеквадратичное) значение
I
1 2 2
 i ( )d .
2 0
Подставив i( ) в формулу для I и раскрыв скобки в выражении
квадрата суммы, легко убедимся, что интегралы от всех слагаемых, содержащих произведения разных гармоник, обращаются в нуль. Действительно,
2ik in  2sin  k   k  sin  n   n  
 cos  k  n    k  n   cos  k  n    k   n  ,
поэтому интеграл от такого произведения за период 2 есть интеграл от
гармонических функций за целое число периодов (k  n è k  n), который равен нулю. В свою очередь,
65
1 2 2
I 0 d  I 02 , à

2 0
2
I km
1 2 2
ik d 
 I k2 

2 0
2
квадрат действующего значения k-й гармоники. Поэтому
I2
I  I 02   I k2  I 02   km .
2
Действующее значение не зависит от начальных фаз гармоник. Его
можно измерить приборами электромагнитной и электродинамической
систем (а действующее значение напряжения – еще и электростатическими вольтметрами).
Среднее за период значение тока равно постоянной составляющей
1 2
в разложении I 0 
 i( )d и может быть измерено приборами маг2 0
нитоэлектрической системы.
1 2
Среднее по модулю значение тока I CP 
 | i( ) | d измеряется
2 0
магнитоэлектрическими приборами с выпрямителем.
7.4. ВОЛНОВЫЕ ДИАГРАММЫ И ЧАСТОТНЫЕ СПЕКТРЫ
При построении гармонических составляющих в функции времени
или   t следует иметь в виду, что период k-й гармоники в k раз
меньше периода основной. Во столько же раз уменьшится на графике и
отрезок, соответствующий ее начальной фазе  k . Суммируя ординаты
постоянной и гармонических составляющих при одной абсциссе, получим значение исходной несинусоидальной функции в данный момент
времени. В качестве примера на рис. 7.6 построена функция
i    1  3sin    / 6   2sin  3   / 2  A
и ее составляющие.
Совокупность комплексных амплитуд Akm всех гармоник данной
функции можно рассматривать как ее дискретный спектр. На графике
он может быть представлен в виде линейчатых амплитудно- и фазочастотных спектров, которые показывают зависимость амплитуд гармоник Akm их начальных фаз  k от номеров гармоник или их частот k.
На рис. 7.7 построены спектры функции, волновая диаграмма которой показана на рис. 7.6.
66
6
i
i
4
i1
A Ikm
2
1
  t
2
0
I0
2π
0
-2
-4

θ
i3
ωT3
ψk
6
0
ωT1

Рис. 7.6
1
2
3 k
k   1
3
1
2
k

2
Рис. 7.7
7.5. КОЭФФИЦИЕНТЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ФОРМУ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КРИВЫХ
Наиболее часто употребляются следующие коэффициенты:
коэффициент амплитуды kÀ , равный отношению наибольшего
F
значения функции к ее действующему значению kÀ  ì àêñ ;
F
коэффициент формы k , равный отношению действующего знаF
чения функции к среднему по модулю k 
;
FÑÐ
коэффициент искажения kÈ , равный отношению действующего
значения высших гармоник к действующему значению самой функции
F
kÈ  Ã ;
F
коэффициент гармоник kÃ, равный отношению действующего
значения высших гармоник к действующему значению основной
F
kà  à .
F1
В табл. 7.1 приведены значения этих коэффициентов для постоянного и синусоидального токов.
67
Таблица 7.1
Коэффициент
(формула)
kА  I МАКС I
k  I I СР
1
 I k2
I k  2,3...
1
kГ 
 I k2
I1 k  2,3...
kИ 
Ток
постоянный синусоидальный
1
1

2 2
2
 1,11
0
0
–
0
В промышленной сети напряжение несколько отличается от синусоидального. В стандарте вводят понятие практически синусоидального
напряжения, у которого коэффициент искажения не должен превышать 5%.
7.6. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Пусть ток и напряжение на входе пассивного двухполюсника несиi  I 0   ik ,
u  U 0   uk .
нусоидальны:
Тогда мгновенная мощность p  u  i  ( I 0   ik )(U 0   uk ).
Очевидно, p  P0   pk , где P0  U 0  I 0 , pk  uk ik , за счет наличия в левой части неравенства произведений величин с разными индексами.
Активная мощность – это среднее значение мгновенной мощности
1 2
за период основной гармоники:
P
 pd  .
2 0
Подставляя сюда p  u  i и перемножая суммы почленно, легко
убедимся, что интегралы от произведений, содержащих разные гармоники тока и напряжения, обращаются в нуль (как интегралы от гармонических функций за целое число периодов). Остаются слагаемые вида
1 2
1 2
 U 0 I 0d  U 0 I 0  P0 è 2  uk ik d  Pk  U k I k cosk .
2 0
0
P  P0   Pk  U 0 I 0  U k I k cosk   I n2 Rn ,
Поэтому
где k – номер гармоники, а n – номер сопротивления. Так что активная
мощность в цепи с источниками несинусоидальных токов и напряжений
равна сумме активных мощностей отдельных гармоник.
68
По аналогии может быть записана и формула для вычисления реактивной мощности:
Q   Qk  U k I k sin k ,
причем понятно, что Q0 существовать не может.
Полная мощность S по определению является произведением
действующих значений тока и напряжения
S  UI  U 02  U k2  I 02   I k2 .
Очевидно,
S 2  P2  Q2.
Коэффициент мощности   P S  cos Ý.
Если исследователя интересует лишь энергетическая сторона
процесса, а не гармонический состав тока и напряжения, то реальные
несинусоидальные кривые заменяются эквивалентными синусоидами с
тем же периодом T, теми же действующими значениями тока и
P
напряжения I, U и таким углом сдвига фаз Ý  arccos
, который
U I
обеспечил бы ту же самую активную мощность Р.
7.7. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ С ИСТОЧНИКАМИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ
Пусть известно разложение в ряд Фурье ЭДС и задающих токов источников – иными словами, первый этап расчета выполнен. Обычно ряд
ограничивают несколькими гармониками, максимальными по амплитуде. В этом случае каждую из ЭДС можно рассматривать как последовательное соединение нескольких источников напряжения разной частоты
(рис. 7.8,а). А каждый задающий ток можно представить на схеме в виде
параллельного соединения нескольких источников тока различной частоты (рис. 7.8,б).
e
E0
e1
en
a
b
a
b
a
a
a
J0
J
b
b
Рис. 7.8
69
J1
Jn
б
Затем на втором этапе применяется принцип наложения (цепь линейная) и определяются постоянная и гармонические составляющие искомой величины. Разумеется, в подсхеме для постоянной составляющей
индуктивность заменяется закороткой, а конденсатор отключается (разрыв ветви). Расчет гармонических составляющих ведется комплексным
методом. При этом в комплексную схему для k-й гармоники вместо индуктивности L включается комплексное сопротивление jkL, а вместо
емкости C – комплексное сопротивление (j kC )1.
На третьем этапе мгновенные составляющие искомой величины
суммируются для нахождения ее мгновенного значения или вычисляется ее действующее значение (в зависимости от условия задачи).
Пример 7.1 (рис.7.9).
Äàí î :
i(t)
R  30 Î ì ; L0  10 ì Ãí ;
L  80 ì Ãí ; Ñ  140 ì êÔ;
R
e(t)
e(t )  30  72 2 sin(300  t ) 
L
L0
C


54 2 sin  900  t   Â.
Рис. 7.9
2

Найти: i, P, S.
Решение
Расчет ведем методом наложения.
В схеме для постоянной составляющей (рис. 7.10) индуктивности
замкнуты накоротко, а конденсатор отключен. Тогда
E
30
I0  0 
 1 À;
P0  U 0  I 0  I 02  R  30 Âò.
R 30
Гармонические составляющие тока (комплексная схема замещения
для k-й гармоники показана на рис. 7.11) рассчитываются по формулам:
I k  Ek / Z ýk ; Z Ýk  R  jX L0k  Z LCk ;
jX Lk    jX Ck 
1
; ÕCk 
; X L0k  k L0 ; X Lk  k L;
jX Lk  jX Ck
kC
где   300ðàä ñ.
Z LCk 
70
.
Ik
R
R
.
Ek
E0
jXLk
-jXCk
jXL0k
I0
Рис. 7.10
Рис. 7.11
Результаты расчета сведены в табл. 7.2.
k
1
3
Ek
В
72
j54
X L0k
X Lk
X Ck
Ом
3
9
Ом
24
72
Ом
24
8
Таким образом,
Z LCk
Ом

-j9
Z Эk
Ом

30
Таблица 7.2
Pk
Ik
А
Вт
0
0
j1,8
97,2

i  i0  i1  i3  1  1,8 2 sin(900  t  ) A;
2
I  I 02  I12  I32  12  1,82  2,06 A;
E  E02  E12  E32  302  722  542  95 B;
P  I 2 R  2,062  30  127,2 Âò.
Нетрудно видеть, что P  P0  P1  P3  30  97,2  127,2 Âò.
S  EI  95  2,06  196 Â  A.
7.8. ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРА ЦЕПИ
НА ФОРМУ КРИВЫХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ
Пусть несинусоидальное напряжение u (t )  U km sin(k   k )
приложено к активному сопротивлению R (рис. 7.12,а). Наличие постоянной составляющей U 0 не изменяет форму кривой, а лишь смещает
эту кривую вверх или вниз относительно оси абсцисс.
Тогда в этом сопротивлении протекает ток
u (t )
U
i(t ) 
  I km sin(k   k ), где по закону Ома I km  km .
R
R
Очевидно, кривые i(t) и u(t) подобны. Если же масштаб тока связать
с масштабом напряжения соотношением mi 
71
mu
, то графики амплиR
тудно-частотных спектров тока и напряжения будут совершенно одинаковы (рис. 7.12,б).
Ukm
i(t)
u(t)
R
0
а
1
б
2
3
k
Рис. 7.12
Если то же самое напряжение подать на индуктивность L
u (t )dt


(рис. 7.13,а), то
i(t )  
  I km sin  k   k  ,
L
2

U
U
X Lk  k L  kX L1;
X L1   L.
где
I km  km  km ;
X Lk kX L1
m
Если mi  u , то при равенстве отрезков, изображающих U m1 и
X L1
I m1 на графиках амплитудно-частотных спектров, отрезок I m 2
(рис. 7.13,б) будет вдвое короче отрезка U m 2 (рис. 7.12,б), а I m3 втрое
короче U m3 . Поэтому кривая тока в катушке i(t) окажется больше похожей на синусоиду, чем кривая u(t). Говорят, что индуктивность сглаживает кривую тока по сравнению с кривой напряжения. Заметим, что
по катушке может протекать постоянный ток I 0 , если в остальной части
цепи есть источники этого тока.
i(t)
I
km
L
u(t)
а
0
1
б
2
3
k
Рис. 7.13
Подключим, наконец, к тому же источнику напряжения конденсатор С (рис. 7.14,а). Тогда ток в нем
72
du (t )

  I km sin(k   k  ).
dt
2
U
kU km
X
1
1
ãäå I km  km 
; X Ck 
 C1 ; X C1 
.
X Ck
X C1
kC
k
C
m
Если выбрать масштаб тока равным mi  u , то окажутся равX C1
ными отрезки, изображающие U m1 (рис. 7.12,б) и I m1 (рис. 7.14,б) на
графиках амплитудно-частотных спектров. В то же время отрезок I m 2
будет вдвое длиннее отрезка U m 2 , а I m3 втрое длиннее U m3 . Поэтому
кривая тока в конденсаторе i(t) окажется менее похожей на синусоиду,
чем кривая u(t). Говорят, что конденсатор искажает кривую тока по
сравнению с кривой напряжения.
i(t )  C
i(t)
Ikm
u(t) С
0
2
1
а
3
k
б
Рис. 7.14
Понятие резонанса в цепях с источниками несинусоидальных токов
и напряжений можно применять только к какой-то конкретной гармонике (нельзя говорить о совпадении по фазе кривых различной формы).
Тогда условия резонанса напряжений и резонанса токов будут соответственно иметь вид
Im ZÝk  X Ýk  0 è bÝk  Im YÝk  0.
Для последовательного соединения элементов R, L, C (рис. 7.15):
1
X Ýk  X Lk  X Ck  0; X Lk  k L 
 X Ck ; k 2 2 LC  1.
kC
Для параллельного соединения тех же элементов (рис. 7.16) получим
1
bÝk  bLk  bCk  0; bLk 
 kC  bCk
k L
и, наконец, то же соотношение k 2 2 LC  1.
73
i(t)
L
u(t)
i(t)
C
R
u(t)
Рис. 7.15
C
L
R
Рис. 7.16
Простейшие электрические фильтры предназначены для того, чтобы не пропустить какую-либо гармонику тока в нагрузку или обеспечить ей преимущественное прохождение (при наименьшем сопротивлении). Они используют явление резонанса. Так, если цепь питается от
источника напряжения, то, включив последовательно с нагрузкой параллельно соединенные L и C, которые подобраны в соответствии с
условием резонанса токов для k-й гармоники (рис. 7.18), получим так
называемый «фильтр-пробку». Он препятствует попаданию в нагрузку
гармонической составляющей тока k-ого порядка, поскольку
X Ýk  , I k  0.
А при питании от источника тока ту же роль сыграет «шунтирующая ветвь» из последовательно соединенных L и C, настроенных на резонанс напряжений для k-й гармоники и подключенных параллельно
нагрузке (рис. 7.18). При этом X Эk  0, тогда ток k-й гармоники замыкается по этой ветви и в нагрузке не протекает ( I k  0).
В рассмотренном выше примере 7.1 «фильтр-пробка» не пропускал
1
первую гармонику (Ð 
 300 ñ1), зато для третьей гармоники
LC
полное сопротивление цепи было минимальным ( z3  R, X 3  0) в соответствии с условием резонанса напряжений.
L
e(t)
C
J(t)
R
C
i(t)
i(t)
Рис. 7.17
L
R
Рис. 7.18
74