Перпендикуляр и наклонные.

41. Перпендикуляр и наклонные.
Для решения задач необходимо напомнить свойства проекций,
наклонной и перпендикуляра, теорему о трех перпендикулярах, формулу
(лучше с выводом) нахождения медианы по сторонам треугольника, как
устанавливается угол между прямой и плоскостью.
Задачи [16,с.60-62], [37,с.24]. Литература
Задача 1. Плоскость  проходит через основание трапеции на расстоянии 8см от
средней линии и на расстоянии 10см от точки пересечения диагоналей
трапеции. Найдите отношение длин оснований трапеции.
Решение.
C
Q
B
плоскости  (рис.1), тогда sin  
O
O
M
Пусть  - угол наклона плоскости трапеции к
C
N
O1
P
K
D
A

sin  
A
Рис.1
P
K
D
Рис.2
82
CK

OP 10 5

 .
CK 16 8
OO1 10

OP
OP
На рис.2 вынесен
АСD. Имеем: АОР АСК ( А общий,
ОР||СК  по трем углам) 
АО ОР 5


АС СК 8
С другой стороны ВОСAOC по трём углам (ВОС=АОD- как
вертикальные,
другие

накрест
лежащие).

ВС OC

АD AO
,
т.к.
AC AO  OC
OC 8
OC 3
BC 3

 1
 
 
 .
AO
AO
AO 5
AO 5
AD 5
Задача 2. Точка М удалена от вершины угла ВАС, равного 60, на 25см, а от
сторон АВ и АС на 20см и 7см. Найдите расстояние от точки М до
плоскости АВС.
Решение:
Задача 3. Точки А и С находятся в плоскости , а точки В и D  в плоскости ,
причем АВ=9см, CD=15cм, АС=7см, ВD=11cм и отрезок АВ
перпендикулярен плоскостям  и . Найдите расстояние между
серединами отрезков АВ и СD.
Решение. Пусть М и К соответственно середины АВ и СD. Спроектируем на 
АВ и СD.
C 
A
M
K
B
D
O
E 
В  проекция точек А и М (АВ). пусть Е и Осоответственно
проекции точек С и К  АВ||KO||CE  точки М, В, К, О лежат
в одной плоскости, также и В, А, С, Е.  МВКО, ВАСЕ 
прямоугольники (четырехугольники, полученные пересечением
пар параллельных прямых).  МК=ВО, АС=ВЕ, СЕ=АВ.
BD 2  BE 2 DE 2

ВОмедиана ВЕD  ВО 2 
.
2
4
ВD=11, BE=7, DE  CD 2  CE 2  152  9 2  12 (см). Отсюда
ВО 
,
121  49 144

 7(см).  Искомое расстояние МК=7см.
2
4
Задача 4. Плоскость  параллельна гипотенузе АВС. Проекции сторон
треугольника на плоскость  соответственно равны 51см, 43см, 20см.
Определите периметр и площадь АВС.
Решение:
Задача 5. Стороны АВС равны 15см, 15см, 24см. Точка М удалена от каждой
из прямых АВ, АС, ВС на 12см. Найдите расстояние от точки М до плоскости
АВС.
Решение:
Задача 6. Из точки М опущены перпендикуляры: МО на плоскость АВС, МD и
МЕ на стороны АВ и АС равностороннего треугольника, периметр которого
Р=72см. Известно, что точка ОВС, а углы между МD и МЕ и плоскостью
треугольника составляют 30и 60.Найдите длину МО.
Решение:
Содержание