Тема: «История развития чисел».

Министерство образования Российской Федерации
МОУ «Чергинская СОШ»
Тема:
«История развития
чисел».
Научно- исследовательская работа по
математике.
Ф.И.О.учащейся Миронова А.О.
Руководитель : Миронова И.Н.
Черга 2011 г.
1
Оглавление
Введение.
2
Глава 1.
1.1. Дроби обыкновенные.
1.1.1. Египет.
1.1.2. Вавилон.
1.1.3. Древний Рим.
1.1.4. Греция.
1.2. Дроби десятичные.
1.3. Отрицательные числа.
1.4. Нуль.
1.5. Рациональные числа.
1.6. Иррациональные числа.
Заключение .
Список литературы.
Приложения.
4
4
4
5
5
6
7
9
10
11
12
13
2
Введение
Понятие числа относится к наиболее древним понятиям. В простейшем виде оно возникло в
первобытном обществе.
Люди рано осознали важность числовых представлений. И хотя их появление у разных народов
происходило независимо и часто параллельно, в народных преданиях упорно стремились назвать
изобретателей числа. Считая число таким же величайшим благом, как и огонь, старинные поверья
указывали на тех мифических благодетелей, которые вооружили человека числом.
В древнегреческой мифологии изобретение числа приписывали смелому борцу за счастье
человечества Прометею. В трагедии «Прикованный Прометей» великого греческого драматурга
Эсхила (525-456гг.до н.э.) легендарный герой произносит такие слова:
«Послушайте, что смертным сделал я …
Число им изобрел
И буквы научил соединять,
Им память дал, мать муз, всего причину»
Этой и многими другими легендами о возникновении понятия числа нельзя отказывать в
художественности. Но они не отражают действительности.
Фридрих Энгельс сказал о числе так:
«Понятие числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять
пальцев, на которых люди учились считать, т.е. производить первую арифметическую
операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукты свободного творчества
разума»
Исторические материалы убедительно доказывает справедливость этого утверждения.
Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их.
Для практических нужд требовалось не только уметь обозначать числа, но и выполнять с ними
арифметические действия.
Наряду с натуральными числами применялись дроби- числа, составные из целого числа долей
единиц. Множества натуральных чисел и дробей было достаточно, чтобы выразить результат
любого измерения. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в
виде натурального числа, или в отношения двух таких чисел, т.е. дроби. Древнегреческий
философ и математик Пифагор учил , что «…элементы чисел являются элементами всех вещей и
весь мир в целом является гармонией и числом». Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен
открытием , сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата не
соизмерима с его стороны. Отсюда следовало, что натуральных чисел и дробей не достаточно для
того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.Если основания утверждать, что
именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование
несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было
невозможно.
3
Открытие несоизмеримых величин наложило глубокий отпечаток на развитии древнегреческой
математики. Так как в то время не знали чисел, отличны от натуральных и дробей, возникли две
науки, которые развивались параллельно, но имели различные объекты изучения: арифметиканаука о числах и геометрия, в которой, в частности, рассматривалось учение о величинах- длинах,
площадях, объемах.
Древнегреческие ученые умели складывать и вычитать величины, находить их кратные и доли, а
над их отношениями умели выполнять операции умножения, деления, возведения в степень.
Однако, поскольку не существовало общей идеи числа, все эти операции невозможно было
объединить в единую систему, в арифметику действительных чисел. Это тормозило развитие
древнегреческой науки, скрывало, как панцирь, живое тело античной математики.
С развитием алгебры, уже при решении линейных уравнений с одним неизвестным, возникает
необходимость в отрицательных числах. Еще до нашей эры их стали употреблять китайские
математики. Широко использовали отрицательные числа и индийские математики(Брахмагупта,
VII в.).замечательным достижением индийских математиков было введение понятия нуля и
знака для него, что позволило им создать десятичную систему записи натуральных чисел и
разрабатывать правила операции над записанными так числами. Эту запись чисел стали
применять математики восточных стран, откуда она попала в Европу.
В XV в. самаркандский ученый ал-Каши ввел десятичные дроби. Это нововведение оставалось
неизвестным в европейским математикам, и лишь в 1584г.ниерландский математик и инженер С.
Стевин вновь пришел к этому открытию. Числа целые, дробные (положительные и
отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел.
4
Глава 1.
1.1. Дроби обыкновенные.
С древних времён людям приходилось не только считать предметы (для чего требовались
натуральные числа), но и измерять длину, время, площадь, вести расчёты за купленные
или проданные товары.
Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом.
Приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби.
«Дробь – число, состоящее из частей единицы».(малый толковый словарь)
«Дробь алгебраическая- число, состоящее из одной или нескольких равных частей
единицы».(математическая энциклопедия)
В русском языке слово «дробь» появилась в 8 веке, оно происходит от глагола «дробить»разбивать, ломать на части. В первых учебниках математики (в 8 веке) дроби так и назывались«ломаные числа».
Первая дробь, с которой познакомились люди, была половина- ½. Следующей дробью была треть1/3 .
1.1.1.
Египет.
У египтян были особые знаки для дробей ½ и 2/3 и общий способ записи для долей (т. е.
дробей с числителем 1). Все остальные дроби они записывали в виде суммы долей, т.е.
дробей вида 1/n.
Например: 7/12=1/3+1/4 , 5/24=1/8+1/12, 7/13=14/26=1/2+1/26.
В папирусе Ахмеса есть задача: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».
Решение: 7/8=1/2+1/4+1/8 ,т.е.4 хлеба нужно разрезать пополам, 2 хлеба- на четвертушки и один
хлеб- на осьмушки и распределить доли между людьми.
Но складывать такие дроби было неудобно. В оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и
тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А такие дроби египтяне не допускали. Поэтому
папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в
виде сумм долей. С помощью этой таблицы выполняли деление чисел. Вот, например, как 5
делили на 21:
5/21=1/21+2/21+2/21=1/21+(1/14+1/42)+(1/14+1/42)=1/21+2/14+2/42=1/7+1/21+1/21=1/7+2/21=1/7
+1/14+1/42.
5
1.1.2.
Вавилон.
Совсем иным путём пошли вавилоняне. Они работали только с шестидесятеричными
дробями. Так как знаменателями таких дробей служат числа 60,602,603 и т. д., то такие
дроби, как 1/7, нельзя было точно выразить через шестидесятеричные: выражали
приближённо. Шестидесятеричные дроби использовались вплоть до xvIIв. До сих пор
единицы времени выражаются в шестидесятеричной системе: 1 минута=1/60 часа, 1
секунда=1/602 часа.
1.1.3.
Древний Рим.
Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на деление на 12
долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А
путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например,
римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочёл пять унций книги. При
этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено
7/12 пути или прочитано 5/12 книги.
Из-за того, что в двенадцатеричной системе нет дробей со знаменателем 10 или 100, римляне
затруднялись делить на 10, 100 и т.д.
1.1.4.
Греция.
В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие учёные считали,
что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они
предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам и другому
«чёрному люду». Поэтому в научные сочинения греков дроби проникли с «с заднего
хода», т.е. они записывали знаменатель сверху, а числитель- снизу.
Дроби в привычном для нас виде впервые стали индусы около 1500 лет назад, но они не
использовали черту между числителем и знаменателем. Например, числа 1/5, 2 ⅓ записывались
так: 1 , 2. Черта дроби стала постоянно использоваться лишь около 300 лет назад. Первым
5
1
3
европейским учёным, который стал использовать и распространять современную запись дробей,
был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фибоначчи (Леонардо
Пизанский). В 1202 г. он ввёл слово «дробь». Названия « числитель» и «знаменатель» ввёл в xIII
веке Максим Плануд- греческий монах, учёный математик.
6
1.2.
Дроби десятичные.
В старину применяли в основном обыкновенные дроби. Это объяснялось разными
соотношениями между единицами измерения: они делились на 12, на 16, на 40 частей. Но потом
было замечено, что самыми удобными для вычислений являются десятичные дроби.
Заслуга введения в науку десятичных дробей принадлежит самаркандскому математику и
астроному ал-Каши Джемшид Ибн Масуд, работавшего в обсерватории Улугбека в начале XV века.
Записывал ал-Каши десятичные дроби так же, как принято сейчас, но не пользовался запитой:
дробную часть он записывал красными чернилами или отделял вертикальной чертой. В своём
сочинении «Ключ к арифметике», написанном в 1427 году, он рассказывает о действиях с
десятичными дробями, формулирует правила для отыскания результатов различных вычислений
и их приближённого выполнения.
Но об этом в Европе в то время не узнали, и только через 150 лет десятичные дроби были заново
изобретены фламандским инженером и учёным Симоном Стевином. Он является автором
маленькой брошюры «Десятая»,изданной в 1585 году. В ней изложены основы учения о
десятичных дробях, выяснены их преимущества, а также убедительно доказана целесообразность
введения десятичной системы денежных единиц, мер и весов. Стевин записывал десятичные
дроби довольно сложно.
Например, число 24,56 выглядело так: 24 0 5 1 6 2 или 2456- вместо запятой нуль в кружке ( или 0
над целой частью), цифрам1,2,3, … помечалось положение остальных знаков.
В России впервые изложил учение о десятичных дробях Леонтий Филиппович Магницкий. В его
«Арифметике» (1703г.) описаны «астрономическая» арифметика, имеющая дело с
шестидесятеричными дробями, и иная арифметика, «яже децималь или десятичная именуется».
Излагая последнюю, Магницкий описывает десятичные меры длины и площади.
Запятая или точка для отделения целой части стали использоваться с XVll века. С XVll-XVlllвв.
Десятичные дроби получили всеобщее распространение, особенно после создания и введения в
большинстве стран метрической системы мер.
7
1.3.
Отрицательные числа.
Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных
дробей.
Наглядно представить себе дробь может каждый: для этого достаточно посмотреть на
разрезанный арбуз, пирог или на огород, разделенные на грядки. Но представить себе число
– 5 труднее. Ведь нельзя ни отметить – 5 м. ткани, ни отрезать 500г. хлеба. За чем же нужны
такие странные числа с ещё более странными правилами действия над ними?
Дело в том, что существует много вещей, которые могут как увеличиваться, так и уменьшаться.
Если на товар большой спрос, фабрике увеличивают план по его выпуску, а если товар вышел
из моды, то план приходится уменьшать. При обработке деталей на станке её масса
уменьшается, а если к ней приваривают другую деталь, то масса увеличивается.
Увеличивается и уменьшается с течением времени температура воздуха и т.е.
Положительные и отрицательные числа как раз и служат для описания изменений величин.
Если величина растет, то говорят, что ее изменение положительно, а если она убывает, то
изменение называют отрицательным.
Первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в.до н.э.
Более точно сказать трудно, так как император Ши Хуан Ди, разгневавшись на учёных, повелел
все научные книги сжечь, а их авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло до
нас лишь в отрывках, откуда известно, что китайцы не знали правила знаков при умножении
положительных и отрицательных чисел.
Положительные числа тогда толковались как имущество, а отрицательные – как долг,
недостача.
Например, можно считать, что положительные числа выражают имущество, а отрицательныедолг. Если у кого-то в кармане 8р., но он должен из них 5р. отдать, то располагать он может
только 3 р. поэтому считают, что 8+(-5)=3. Если же, наоборот, у него в кармане только 5р., а
должен он 8р., то после того, как отдана вся наличная сумма, останется ещё 3р. долга. Это и
выражают равенством 5+(-8)=-3
Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательных чисел не знали. Лишь в Vll в.
индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились к
ним с некоторым недоверием.
В индийской математической литературе отрицательные числа первые встречаются у
Брамагупты. Он своеобразно формулирует правила сложения и вычитания положительных и
отрицательных чисел.
Правила сложения следующие: сумма двух имуществ есть имущество, сумма долгов- долг,
имущества и долга – их разность, а если они равны- нуль. Сумма нуля и долга есть долг,
имущества и нуля- имущество, двух нулей- нуль.
Правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел впервые появляются у
индийского математика Xll в. Бхаскары.
В Европе к введению отрицательных чисел довольно близко подошёл итальянский математик
начала Xlll в.Леонардо Пизанский. В связи с решением уравнений он высказывает мысль о
возможности отрицательного решения как долга. Таким образом, Леонардо, как и математик
8
Востока, исходя из стремления расширить область применения не которого алгоритма,
подходит к идее расширения понятия числа.
Геометрическое истолкование отрицательных чисел существенно способствовало их
признанию. Большой шаг в этом направлении был сделан знаменитым французским
математиком Декартом в классическом труде «Геометрия» (1637). Отрицательные числа
получили у него реальное истолкование в виде направления отрезков на вертикальной
оси(оси ординат).
Исключительно велика роль числовой оси в преодолении к отрицательным числам,
утверждений о их фиктивности, нелепости, ложности, и тому подобное.
Окончательно и всеобщее признание как действительно существующие отрицательные числа
получили лишь в первой половине XVlll в. Тогда же утвердилось и современное обозначение
для отрицательных чисел.
9
1.4.Нуль .
В истории развития науки нуль сравнительно поздно присоединился к членам числовой
семьи. Латинское слово «nullum»- «ничто», указывает на то, что первоначальный термин
«нуль» означает отсутствие числа.
Его назначение было узким: указывать на отсутствие в числе единиц определённого разряда.
Это произошло в Вавилонии, математики которой были пионерами в создании позиционного
принципа записи чисел.
Индийские математики рассматривают нуль не только в качестве знака отсутствия в числе
единиц определённого разряда. Они в первые в истории науки начинают оперировать с нулём
как с числом. Так. В сочинении Брамагупты, написанном около 628г., имеются правила
выполнения действий в тех случаях, когда одним из компонентов или результатом действия
является нуль. В современной символике эти правила записываются так:
а+(-а)=0,
0+0=0,
+а-0=+а.
Дальнейшее уяснение свойств нуля как числа было осуществлено индийскими математиками X-Xl
вв. Они приводят словесные формулировки следующих правил для выполнения действий с нулём:
а+0=а,
0+а=а,
а-а=0,
а*0=0*а=0,
0:а=0.
Осознанию невозможности деления на нуль положил начало Брамагупта.
10
1.5. Рациональные числа.
С рациональными числами люди, знакомились постепенно. Вначале при счёте предметов
возникли натуральные числа.
Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, с присоединением к ним
числа нуль образуют множество чисел, именуемое множеством рациональных чисел.
Рациональными числами называют числа, которые могут быть представлены в виде дробей
p/q, где p и q – целые числа, причём q≠0.
В множестве рациональных чисел действия сложения, вычитания, умножения и деления( на
делитель, отличный от нуля) всегда выполнимы. Это означает, что сумма, разность,
произведение и частное двух любых рациональных чисел всегда существуют и выражаются
рациональными числами.
Между любыми двумя различными рациональными числами существует, по крайне мере,
одно число. Например, между ними всегда заключено их среднее арифметическое. Так,
между числами 2 и 3 находится число 2+3 =2,5
2
Заметим, что между числами 2 и 2,5 заключено число 2+2,5 =2,25,между числами 2 и 2,25
2
Находится число 2+2,25 = 2,125 и так далее до бесконечности.
2
11
1.6. Иррациональные числа.
Пифагору (Vlв. до н.э.) приписывают изобретение иррациональных чисел.
Иррациональным числом называют непериодическая бесконечная десятичная дробь.
Иррациональные числа вместе с рациональными составляют множество, которое называют
множеством действительных чисел и обозначают буквой R (от лат. Realis - реальный,
вещественный, действительный, существующий в действительности).
Согласно Платону, Теодор из Киренаики уже знал, что√3, √5, √14, √15-не рациональные
числа. Что же касается числа√2, то строгое доказательство его иррациональности без ссылки
на источник имеется у Аристотеля.
Более 500 лет длилась эволюция знака радикала. Современное обозначение √ состоит из
двух частей- знака √ - модифицированной буквы r(от radix-«корень») и черты, заменявшей
ранее скобки.
Сам факт существования таких удивительных чисел долго не укладывался в сознания учёных
древности, убежденных в том, что всё в природе, все её явления и законы описывают
законами, представляющими различные отношения чисел.
Математики Индии, Ближнего и среднего Востока, а позднее и Европы пользовались
иррациональными величинами. Однако долгое время не признавали их за равноправные
числа. Их признанию способствовало появление «Геометрии» Декарта. На координатной
прямой каждое рациональное или иррациональное число изображается точкой, и, наоборот,
каждой точке координатной прямой соответствует некоторое рациональное или
иррациональные , т.е. действительное, число. С введением иррациональных чисел все
«просветы» на координатной прямой оказались заполненными. Имея в виду это свойство,
говорят, что множество действительных чисел (в отличии от множества рациональных чисел)
является непрерывным.
При изучении математики в школе мы фактически всё время используем именно это
множество, хотя и обходимся без глубокого его изучения. Как же это нам удаётся? Очень
просто. Бесконечные дроби мы «обрываем» на любом месте, лишь бы была обеспечена
необходимая точность, а дальше обращаемся с ними как с конечными десятичными дробями.
12
Заключение.
Число- одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счёта или
измерения. Постепенно расширялся запас чисел, с которыми можно было производить действия.
Завоёвывали права гражданства отрицательные числа, потом- комплексные, учёные стали
свободно применять иррациональные числа. При этом оказалось, что, несмотря на такое
расширение запаса чисел, ранее установленные правила алгебраических преобразований
сохраняют свою силу. Изучение понятия числа шло не только путем обобщения из общего понятия
числа важных частных случаев. Например, в множестве R действительных чисел были выделены
рациональные и иррациональные числа, т.е. числа, которые соответственно можно записать в
виде дроби p/q и которые нельзя записать в таком виде. По своей десятичной записи эти виды
чисел различаются тем, что в записи рационального числа, начиная с некоторого места,
неизменного повторяется одно и та же цифра или группа цифр, тогда как в записи
иррационального числа не может. Так,
0,333…(= 1/3), 5,0323232…(= 2491/495)- рациональные числа; 1,4142…(= √2),3,14159… (=π ) –
иррациональные числа.
Многое мы узнали- как зародилась эта наука и как она развивалась, какие трудности встречались
на её пути и какие учёные прилагали её к практике. Но всё это только начало знакомства с
математикой.
13
Литература
1. Берман Г.Н. Счёт и число. – М.: Ленинград, 1949. – 39с.
2. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. –
М.: Просвещение, 1989. – 288с.
3. Депман И. Я. Мир чисел: Рассказы о математике. – Л.: Детская
литература, 1982. – 72с.
4. Минковский В. Л., За страницами учебника математики. – М.:
Просвещение, 1966. - 118с.
5. Пичурин Л. Ф., За страницами учебника алгебры. – М.: Просвещение,
1990. – 224с.
6. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. Э-68 А.П.Савин.М.: Педагогика, 1989.- 352с.
7. Штейнгауз Гуго, Задачи и размышления.- М.: Мир,1972.-400с.
14
Приложения
15