x   

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
www.otlichka.ru
Задача 1. Написать разложение вектора
x по векторам p, q, r.
x  {13,2,18},
p  {1,1,4},
q  {3,0,2},
r{1,2,1}.
x  p  q  r.
  3    13,  3    15,   2,



   2  2 ,
   5,
  2  2,
4  2    18
2  9  10
  0.



Задача 2. Коллинеарны ли векторы
с1 и с2 , построенные по векторам a и b ?
a  {1,2,1}, b{2,7,1}, c1  6a  2b, c2  b  3a.
с1  6a  2b  {6  (1)  2  2;6  2  2  (7);1  6  (1)  2 1}  {10,26,8}.
с2  b  3a  {2  3  (1);7  3  2;1  3  (1)}  {5,13,4}.
 10
26
8


 векторы c1 и c2 коллинеарны.
 5  13
4
Задача 3. Найти косинус угла между векторами
AB и AC .
A(1,2,3),
B (3,4,6),
C (1,1,1).
AB  {4,2,3}, AB  4 2  2 2  (3) 2  29 .
AC  {2,1,2}, AC  2 2  (1) 2  (2) 2  3.
cos( AB^ AC ) 
( AB ^ AC ) 

2
4  2  2 1  3  2
3  29
 0.
.
Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
a
и
b.
a  6 p  q,
b  5q  p.
1
5
p  , q  4, ( p ^ q) 
.
2
6
S  (6 p  q)  (5q  p )  6 p  5q  6 p  p  5q  q  q  p  6 p  5q  p  q 
1
5
1
 31 p  q  sin( p ^ q )  31   4  sin
 31  2   31.
2
6
2
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
www.otlichka.ru
Задача 5. Компланарны ли векторы
a,b и
c.
a  {7,3,4}, b  {1,2,1}, c  {4,2,4}.
7
3
4
(a, b, c)   1  2  1  56  12  8  32  14  12  18  0  векторы a , b
4
2
4
и
c не
компланарны.
Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках
A1 , A2 , A3, A4
и его высоту, опущенную из
A4 на грань A1 A2 A3 .
А1 (0,1,1),
вершины
A2 (2,3,5),
A3 (1,5,9),
A4 (1,6,3).
A1 A2   2,4,6,
A1 A3  1,4,8,
A1 A4   1,5,4.
2 4
6
1
1
1
74
V  ( A1 A 2 , A1 A3 , A1 A4   1  4  8   32  30  32  24  80  16  .
6
6
6
6
1  5 4
1
3V
S A1A2 A3  h  h 
.
3
S
i
j
k
1
1
1
1
 A1 A2  A1 A3   2 4
6   8i  10 j  4k 
64  100  16 
2
2
2
2
1  4 8
V A1A2 A3 A4 
S A1A2 A3
1
180  45.
2
3  74
37
h

.
6  45
45

Задача 7. Найти расстояние от точки
М 0 до плоскости, проходящей через точки М 1 , М 2 , М 3 .
М1 (2,3,1),
М 2 (4,1,2),
М 3 (6,3,7),
М 0 (5,4,8).
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y 2  y1
z 2  z1  0,
x3  x1
y3  y1
z 3  z1
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
www.otlichka.ru
x2
y  3 z 1
2
2
4
0
 3  0,
6
 12( x  2)  24( y  3)  8( z  1)  0,
 12 x  24 y  8 z  88  0,
Ax0  By 0  Cz 0  D
d
d
A2  B 2  C 2
,
 12  (5)  24  (4)  8  8  88
(12) 2  (24) 2  8 2

308
784

308
 11.
28
Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
А перпендикулярно вектору BC .
A(0,2,8),
B ( 4,3,2),
C (1,4,3).
BC  {3,1,1}.
Т.к. вектор
BC  искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора нормали, следовательно
 3( x  0)  ( y  2)  ( z  8)  0,
 3x  y  z  6  0.
Задача 9. Найти угол между плоскостями.
6 x  2 y  4 z  17  0,
9 x  3 y  6 z  4  0.
n1  {6,2,4},
n2  {9,3,6}.
cos  
6  9  2  3  (4)  (6)
6  2  (4)  9  3  (6)
2
2
2
2
2
2

84
56  126

84
7056
  arr cos1  0.
Задача 10. Найти координаты точки
А , равноудаленной от точек B и C .
A( x,0,0), B(1,2,3), C (2,6,10).
AB  (1  x) 2  2 2  32  x 2  2 x  14 ,
AC  (2  x) 2  6 2  10 2  x 2  4 x  140.
AB  AC
по условию 
x 2  2 x  14 
x 2  4 x  140 ,
x 2  2 x  14  x 2  4 x  140,
2 x  126,
x  63

84
 1,
84
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
www.otlichka.ru
Отсюда,
A(63,0,0).
Задача 11. Пусть
k -коэффициент гомотетии с центром в начале координат. Верно ли, что точка A
принадлежит образу плоскости
?
A(1,1,1),  : 7 x  6 y  z  5  0, k  2.
При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскость
 переходит в плоскость   .
 : Ax  By  Cz  D  0,
  : Ax  By  Cz  k  D  0,
 ': 7 x  6 y  z  10  0.
A(1,1,1)  7  6  1  10  0,
12  0.
A не принадлежит образу плоскости  .
Таким образом, точка
Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.
x  3 y  2 z  2  0,
x  3 y  z  14  0.
i
j
k
S  n1  n 2  1  3 2  9i  j  6k .
1
3
1
S  {9,1,6}.
Найдем координаты одной из точек, через которые проходит прямая
Зададим координате
z значение z  0 .
 x  3 y  2  0,
 x  3 y  2  0,  x  8,



 x  3 y  14  0 6 y  12
 y  2
Итак, получается точка с координатами
(8,2,0).
Уравнение прямой
x8 y 2 z

 .
9
1
6
Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
( x0 , y 0 , z 0 ) .
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
www.otlichka.ru
x  2 y 1 z  3


,
1
1
2
x  2 y  z  2  0,
 x  t  2,

 y  t  1,
 z  2t  3.

Подставим в уравнение плоскости
(t  2)  2(t  1)  (2t  3)  2  0,
 t  2  2t  2  2t  3  2  0,
 t  1  0,
t  1.
Таким образом, координаты искомой точки
Задача 14. Найти точку
М (3,3,3),
( 3,2,1).
М ' , симметричную точке М
относительно прямой.
x  1 y  1,5 z  3


.
1
0
1
 1( x  3)  0( y  3)  1( z  3)  0,
 x  z  0.
Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
 x  t  1,
x  1 y  1,5 z  3 


  y  1,5,
1
0
1
 z  t  3.

 (t  1)  (t  3)  0,
2t  2  0,
t  1.
M 0 (2;1,5;2) - координаты точки пересечения.
Отсюда,
xM 0 
xM  xM 
 xM '  2 xM 0  xM  2  2  3  1,
2
yM0 
yM  yM 
 y M '  2 y M 0  y M  2  1,5  3  0,
2
zM  zM 
 z M '  2 z M 0  z M  2  2  3  1.
2
Следовательно, M ' (1,0,1) - искомая точка.
zM0 