ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Анютин А.П.
Для очной формы обучения
ВСЕГО
лекции
68
семинары
72
Всего аудиторных занятий
самостоятельная работа
270
140
130
Требования ГОС к обязательному минимуму содержания основной
образовательной программы:
Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ: представление чисел в
форме с фиксированной и плавающей запятой, диапазон и погрешности представления,
операции над числами, свойства арифметических операций; теоретические основы
численных методов: погрешности вычислений; устойчивость и сложность алгоритма (по
памяти, по времени); численные методы линейной алгебры; решение нелинейных
уравнений и систем; интерполяция функций; численное интегрирование и
дифференцирование; решение обыкновенных дифференциальных уравнений; методы
приближения функций; преобразование Фурье, Уолша, быстрое преобразование Фурье;
равномерное приближение функций; обзор и анализ численных методов, применяемых в
пакетах программ линейной алгебры.
Целью изучения дисциплины является ознакомление с основными методами
вычислительной математики. Развитие навыков практического использования методов
вычислительной математики с использованием среды программирования MathCad.
Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса:
Математика, Высшая математика, Геометрия и топология, Функциональный анализ,
Дифференциальные и интегральные уравнения.
В результате изучения дисциплины каждый студент должен:
- иметь представление о:
 основных методы аппроксимации и интерполяции функций одной и двух
переменных, методом численного дифференцирования и интегрирования
функций одной (двух) переменных
- знать:
 основных методы аппроксимации и интерполяции функций одной и двух
переменных, методом численного дифференцирования и интегрирования
функций одной (двух) переменных методом численного дифференцирования и
интегрирования функций одной (двух) переменных, методы решения систем
линейных и нелинейных алгебраических уравнений,
 методом решения интегральных уравнений (включая проекционные методы),
 метод сеток, построения явных и неявных конечно – разностных уравнений для
параболического и эллиптического типов дифференциальных уравнений
- уметь:
 владеть работой в среде MathLab.
Основные виды занятий: лекции и практические занятия.
Основные виды текущего контроля занятий: коллоквиумы.
Основной вид рубежного контроля знаний: контрольные работы, зачет и экзамен.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Введение:
Цели и задачи курса.Общие сведения о вычислительной математике ее связи с
основными разделами математики.
Тема 1. Приближение функций и интерполяция.
Равномерное приближение функций многочленами. Теорема Вейерштраса.
Приближение ортогональными многочленами. Приближение конечным рядом Фурье и
улучшение его сходимости. Вэйвлет приближение. Сплайн – аппроксимация. Метод
наименьших квадратов.
Тема 2. Численное дифференцирование
Основные схемы численного дифференцирования и их связь с теорией аппроксимаций
функций.
Тема 3. Численное интегрирование
Квадратурные формулы метода Симпсона. Квадратурные формулы метода Гаусса и их
модификации на случай функций с особенностью. Интегрирование осциллирующих
функций. Способы устранения особенностей интегрируемой функции.
Тема 4. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Метод Ньютона. Метод Рунге – Кутта. Метод Адамса. Метод Пикара. Метод
пристрелки и прогонки. Решение задачи Коши для системы ОДУ.
Тема 5. Вычислительные методы линейной алгебры.
Особенности решения систем уравнений большого порядка. Метод Гаусса.
Итерационные методы решения алгебраических уравнений (простые итерации, метод
Зейделя).
Тема 6. Нелинейные уравнения и системы.
Метод секущих, хорд и метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Метод
Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.
Тема 7. Проекционные методы численного решения ИУ.
Общая схема проекционных методов и их сходимости. Метод моментов при решении
ИУ Фредгольма второго рода. Метод Галеркина для решения ИУ Фредгольма первого
рода. Некорректность задач по Тихонову. Устойчивость исленного решения.
Тема 8. Метод сеток.
Способы аппроксимации дифференциальных выражений разностными. Построение
конечно – разностных уравнений для эллиптического и параболического
дифференциального уравнений. Метод конечных элементов.
Тема 9. Методы оптимизации.
Обзор методов решения одномерных и многомерных задач оптимизации. Метод
сканирования, деления отрезка пополам, золотого сечения, параболической
аппроксимации. Метод безусловной градиентной оптимизации (метод градиентов, метод
сопряженных градиентов, метод тяжелого шарика). Метод Гаусса – Зейделя. Метод
Розенброка. Многомерная случайная оптимизация.










Темы семинарских занятий
Среда MathCad и работа в нем.
Аппроксимация функций методом Ньютона, методом Лагранжа, методом
наименьших квадратов.
Аппроксимация функции рядами Фурье.
Решение систем алгебраических уравнений методом Зейделя.
Решение нелинейных методом хорд и методом Ньютона.
Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона
Сравнение результатов численного интегрирования методом Симпсона и
методом Гаусса.
Численное интегрирование быстроосциллирующих функций.
Решение дифференциальных уравнений методом Ньютона
Решение системы дифференциального уравнения методом Ньютона.




Решение дифференциальных уравнений методом Пикара.
Решение эллиптического дифференциального уравнения методом сеток.
Решение дифференциального уравнения параболического типа методом сеток.
Решение задачи оптимизации методом сопряженных градиентов.
ЛИТЕРАТУРА
Основная:
1. Крылов В.И., Бебков В.В., Монастырный П.И. «Вычислительные методы высшей
математики», Минск, т.1, 1972, т.2, 1975.
2. Мысковских И.П. Лекции по методам вычислений, СПб. 1998.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., наука, 1973.
Дополнительная:
1. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в
математическом моделировании. М.: Финансы и статистика, 1999.
2. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов , М. 1967.
3. Даугавст И.К. Введение в теорию приближенных функций, Л., 1977.
4. Хайзер Э., Нерстетт С., Веннер Г., Решение обыкновенных дифференциальных
уравнений. Нежесткие задачи. Н., 1990.
5. Дьяконов В.П. Справочник по MathCad 7 Pro. М.: СКПресс, 1998.
6. Тихонов А.Н. Самарский