Задача 1 (Доугерти, № 3.10, разные альтернативные гипотезы) Для зависимости EARNINGSi 1 2TRAININGi ui по 50 наблюдениями были получены оценки b1 , b2 . Требуется на уровне значимости 5% и 1% проверить на значимость ( H 0 : 2 0 ) оценку коэффициента 2 при следующих результатах оценивания: 1) b2 0,30 , b2 0,12 , H1 : 2 0 2) b2 0,55 , ˆ b2 0,12 , H1 : 2 0 3) b2 0,10 , ˆ b2 0,12 , H1 : 2 0 4) b2 0, 27 , ˆ b2 0,12 , H1 : 2 0 Решение: 1) t b2 0.3 - обозначение для двусторонней альтернативы 2.5 t n 2 ( 2 2 ˆ b2 0.12 H1 : 2 0 , т.е. слева и справа от критических значений, в «хвостах», должно быть по половине от ). Критические значения: t0.05 50 2 t0.05 48 2.011 (5%, two-tailed test) 2 2 2 2 t0.01 50 2 t0.01 48 2.682 (1%, two-tailed test) 2.011 t 2,5 2.682 На 5% уровне значимости основная гипотеза отвергается ( b2 значим), на 1% уровне значимости основная гипотеза не отвергается ( b2 незначим). b 0.55 2) t 2 4.58 t n 2 . 2 ˆ b2 0.12 Критические значения те же самые. 2.011 t 4.58 . На 5% уровне значимости основная гипотеза отвергается ( b2 значим), 2.682 на 1% уровне значимости основная гипотеза отвергается ( b2 значим). 3) t b2 0.10 0.83 t n 2 ˆ b2 0.12 Критические значения меняются, т.к. имеем дело с односторонней альтернативой H1 : 2 0 . t0.05 48 1.677 t0.01 48 2.407 1.677 . На 5% уровне значимости основная гипотеза не отвергается, на 1% t 0.83 2.407 уровне значимости основная гипотеза не отвергается. 1 4) t b2 0.27 2.25 t n 2 ˆ b2 0.12 Критические значения те же самые. 1.677 . На 5% уровне значимости основная гипотеза отвергается, на 1% уровне t 2.25 2.407 значимости основная гипотеза не отвергается. _____________________________________________________________________________ Задача 2. (Доугерти № 3.14) n=570 (пример из учебника) Постройте 95% и 99% доверительные интервалы для коэффициента 2 в регрессии: EARNINGSi 1 2TRAININGi ui b2 1, 073 , b2 0,132 и объясните, почему в 99% доверительный интервал включены некоторые значения 2 , которые 95% доверительный интервал не содержит. Решение: По условию количество наблюдений велико: n=570. Как найти критические значения: (1) Найдем критические значения, используя Excel, функция СТЬЮДРАСПОБР: t0.05 568 1,964 , t0.01 568 2,585 . 2 (2) 2 По таблицам можно найти приблизительное критической точки: например, для t0.05 568 t0.05 600 1,964 . 2 (3) значение отсутствующей 5% нам известны 2 Также для больших выборок ( n , по таблицам при n 600 , т.е. не совсем наш случай) выполнено свойство: t n 2 N 0,1 . Для стандартного n нормального распределения z0.05 1,96 . 2 Для построения доверительных интервалов воспользуемся точными критическими значениями из п. (1). В общем виде 1 -процентный симметричный доверительный интервал для i-го коэффициента регрессии i (интервальная оценка i ) строится следующим образом: Prob t t 2 1 n 2 b i Prob t n 2 i t n 2 1 2 bi 2 Prob bi bi t 1 n 2 i bi b t 2 n 2 i 2 95% доверительный интервал для 2 : 1,073 0,132 1,964 2 1,073 0,132 1,964 0,813 2 1,333 99% доверительный интервал для 2 : 1,073 0,132 2,585 2 1,073 0,132 2,585 2 0,732 2 1, 414 Почему 99% доверительный интервал шире 95% доверительного интервала? Увеличивая доверительную вероятность 1 , мы снижаем уровень значимости , т.е. процент ошибок первого рода (вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда на самом деле она была верна P H1 | H 0 ). Если мы снижаем , мы тем самым уменьшаем области, где H 0 отвергается. Т.е. увеличивается область t n 2 ; t n 2 , где H 0 не 2 2 отвергается: _____________________________________________________________________________ Задача 3. (Доугерти № 3.16, проверка гипотез) n=20 (пример из учебника) (А) Постройте 95% доверительный интервал для 2 в следующем примере: Price 1, 21 0,82 WAGE ( s.e.) (0, 05) (0.10) Какой можно сделать вывод на основе полученного доверительного интервала? (В) Для этого же примера проверьте гипотезу о значимости оценки коэффициента 2 ( H 0 : 2 0 ) при альтернативной гипотезе H1 : 2 0 (т.е. предполагаем, что с ростом затрат на заработную плату фирма увеличивает цену выпускаемой продукции). Решение: (А) Критические значения для построения симметричного 95% доверительного интервала: t0.05 20 2 t0.05 18 2,101 2 2 0,82 0,10 2,101 2 0,82 0,10 2,101 0, 610 2 1, 030 Судя по интервальной оценке коэффициента 2 , в ответ на увеличение зарплаты (издержек) производители могут повысить цену как больше, чем увеличились издержки Price WAGE , так и меньше Price WAGE . Хотя точечная оценка b2 0,82 говорит нам, что при увеличении выплачиваемой зарплаты на 1 рубль фирма поднимает цену на 82 коп., т.е. меньше, чем на рубль. (В) Критические значения для проверки гипотезы против односторонней альтернативы: t0.05 18 1,734 (по таблицам 5%, one-tailed test) t0,01 18 2,552 (по таблицам 1%, one-tailed test) 3 1, 734 0,82 . На 5% уровне значимости основная гипотеза отвергается, на 1% 8, 2 0,10 2,552 уровне значимости основная гипотеза отвергается. Можно сказать, что t -статистика в данном случае велика: основная гипотеза отвергается при любом разумном уровне значимости. t 4