Программа ГЭК 2008 - Кемеровский государственный университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО «КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Математический факультет
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебно-организационной
работе КемГУ
"___"___________2010 г.
Программа вступительного экзамена в магистратуру
по магистерской программе «Геометрия и топология»
для направления 010100 «Математика» и специальности 010101 «Математика»
Кемерово 2009 г
Программа экзамена составлена на основании требований Государственного образовательного стандарта по специальности и направлению «Математика».
Программа обсуждена и одобрена на методической комиссии
Протокол N __ от "___"________2010 г.
Председатель _________________ В.А. Шалаумов
Рассмотрена на Ученом Совете математического факультета КемГУ
Протокол N __ от "___"________2010 г.
Председатель Совета факультета МФ, профессор
________________ Данилов Н.Н.
Программа вступительного экзамена по математике составлена в соответствии с
Программой Государственного экзамена по специальности/ направлению 010101/010100 –
математика. Каждый раздел программы содержит вопросы позволяющие определить основные умения и навыки, которыми должен обладать поступающий в магистратуру по магистерской программе «Геометрия и топология»
Целью экзамена по математике является определение теоретической и практической подготовленности специалиста к выполнению профессиональных задач, установленных Государственным образовательным стандартом, то есть комплексная оценка знаний,
умений и навыков в области математики и её приложений с учетом специфики магистерской программы «Геометрия и топология».
Форма проведения Государственного экзамена: письменная
Комплексный государственный экзамен по математике включает в себя следующие дисциплины:
 Математический анализ;
 Алгебра и геометрия;
 Теория функций комплексного переменного (ТФКП);
 Функциональный анализ;
В программе представлены:
 основные теоретические вопросы, которыми должен владеть поступающий для выполнения письменной работой по математике.
 учебная и учебно-методическая литература по теоретическим и практическим разделам.
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
ПО МАТЕМАТИКЕ
I. АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Алгебра
Понятие группы, кольца и поля. Поле комплексных чисел. Кольцо многочленов.
Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена, ее связь со
значениями производных. Разложение многочлена на неприводимые множители над полями комплексных и действительных чисел. Формулы Виета; наибольший общий делитель многочленов, его нахождение с помощью алгоритма Евклида. Кольцо многочленов
от нескольких переменных. Симметрические многочлены.
Группа подстановок, четность подстановки. Циклические группы. Разложение
группы на смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
Векторные пространства, базис и размерность. Подпространства. Сумма и пересечение подпространств. Прямые суммы.
Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к нормальному виду. Закон инерции. Положительно определенные квадратичные формы. Ортонормированные базисы и ортогональные дополнения.
Линейные отображения векторных пространств, их задание матрицами. Ядро и образ линейного отображения. Матрицы оператора в различных базисах. Собственные векторы и собственные значения. Достаточные условия приводимости матрицы линейного
оператора к диагональному виду. Понятие о жордановой нормальной форме. Самосопряженные и ортогональные (унитарные) операторы.
Приведение квадратичной формы в евклидовом пространстве к каноническому виду. Ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации. Ортогональные и унитарные
матрицы, примеры. Соответствие между билинейными формами и линейными операторами. Линейный оператор, сопряженный к данному. Симметрические и эрмитовы линейные
операторы, их спектр. Существование собственного ортонормированного базиса. Приведение квадратичной (эрмитовой) формы к главным осям. Ортогональные и унитарные
линейные операторы, канонический базис для них.
Геометрия
Линии второго порядка. Квадратичные функции на плоскости и их матрицы. Ортогональные инварианты квадратичных функций. Приведение уравнения линий второго порядка к каноническому виду. Свойства эллипса, гиперболы и параболы. Центры линий
второго порядка. Асимптоты и сопряженные диаметры. Главные направления и главные
диаметры.
Поверхности второго порядка. Теорема о канонических уравнениях поверхностей
второго порядка (без доказательства). Эллипсоиды; гиперболоиды; параболоиды. Цилиндры. Конические сечения.
Пространственные кривые, репер Френе, кривизна и кручение пространственных
кривых. Формулы Френе, натуральное уравнение кривой. Эволюта и эвольвента.
Поверхности, способы задания поверхностей. Координаты на поверхности, касательная плоскость. Первая квадратичная форма поверхности, площадь поверхности. Вторая квадратичная форма и ее свойства. Средняя и гауссова кривизна поверхности. Кривизна кривых на поверхности. Асимптотические, геодезические и линии кривизны на поверхности и их свойства.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру.
3. Моденов П.С.. Аналитическая геометрия.
4. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Действительные числа. Основные принципы полноты множества R: существование
точной верхней (нижней) грани числового множества, принцип вложенных отрезков,,
лемма о конечном покрытии.
Предел числовой последовательности, основные свойства и признаки существования предела. Предельные точки множества и теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности. Предел монотонной последовательности; верхний и нижний пределы. Критерий Коши существования предела.
Предел функции в точке, основные свойства. Непрерывные функции. Локальные
свойства непрерывных функций. Непрерывность композиции. Свойства непрерывных
функций на отрезке (теоремы Вейерштрасса, Кантора, о промежуточном значении).
Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения: теоремы
Ролля, Лагранжа и Коши о конечных приращениях; локальная формула Тейлора; разложения элементарных функций; формула Тейлора с остаточным членом; применение
дифференциального исчисления к исследованию функций, признаки постоянства, монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба, раскрытие неопределенностей;
геометрические приложения.
Определенный интеграл Римана. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции и ограниченной функции с конечным числом
точек разрыва. Свойства определенного интеграла, теорема о среднем значении, Дифференцирование по переменному верхнему пределу. Существование первообразной от непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница, Замена переменной; интегрирование
по частям. Длина дуги и другие геометрические, механические и физические приложения.
Функции многих переменных. Евклидово пространство n измерений. Основные
метрические и топологические характеристики множеств евклидова пространства. Предел, непрерывность функции многих переменных. Свойства непрерывных функций. Дифференциал и частные производные функции многих переменных. Дифференцирование
сложных функций. Дифференциалы высших порядков. Производная по направлению,
градиент. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Экстремум, необходимые условия, достаточные условия локального экстремума. Отображения Rn в Rm, их
дифференцирование, матрица производной.
Числовые ряды. Сходимость и сумма числового ряда, критерий Коши. Знакопостоянные ряды. Признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости.
Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Преобразование Абеля и его
применение к рядам. Двойные ряды. Понятие о бесконечных произведениях.
Функциональные последовательности и ряды, равномерная сходимость. Признаки
равномерной сходимости. Свойства предельной функции функциональной последовательности и суммы функционального ряда. Степенные ряды, радиус сходимости, формула
Коши-Адамара. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда.
Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Ряд Тейлора; разложение элементарных функций в степенные ряды. Ряды с комплексными членами, формулы Эйлера.
Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от
неограниченных функций, признаки сходимости.
Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость, непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру. Эйлеровы интегралы и их свойства.
Ряды Фурье. Ортогональные системы функций, тригонометрическая система. Тригонометрический ряд. Равномерная сходимость тригонометрического ряда и его свойства.
Ряд Фурье. Признаки сходимости ряда Фурье в точке. Принцип локализации. Минимальное свойство частничных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Достаточные условия
разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье. Равенство Парсеваля. Преобразование Фурье.
Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Формула Грина. Интегралы 1-го и 2-го рода по поверхности. Формула
Остроградского. Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла от
формы пути.
ЛИТЕРАТУРА
1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 2000.
2. Демидович. Б.П. Сборник задач и упражнений по мат.анализу. М.:Наука, 1972г. (и
другие издания).
3. Зорич В.А. Математический анализ. Часть1, М.: Наука, 1981, Часть 2, М.: Наука,
1984.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1, Часть 2 (любое
издание).
5. Кудрявцев Л.Д.. Курс математического анализа. Т-1, 1988; Т-3, 1991; - М.: Наука.
6. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: МФТИ,
2000.
7. Смоленцев Н.К. Курс лекций по математическому анализу. Кафедра математического анализа КемГУ. 2002 . (электронный вариант на сайте кафедры МА).
3. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Комплексные числа, модуль и аргумент. Сфера Римана. Евклидова и сферическая
метрика. Топология на С, области, пути и кривые на С.
Функции комплексного переменного. Предел функции, непрерывность в С и в
расширенной комплексной плоскости. R-дифференцируемость, С-дифференцируемость,
аналитичность функции. Условия Коши-Римана. Свойства аналитических функций. Критерий аналитичности для класса непрерывно дифференцируемых функций. Конформные
и локально-конформные отображения, теорема Меньшова. Геометрический смысл модуля
и аргумента для производной от аналитической функции. Гидродинамическая и геометрическая интерпретация для аналитической функции. Комплексный потенциал векторных
полей на плоскости.
Степенные ряды, аналитичность суммы степенного ряда, почленное дифференцирование степенных рядов. Гармонические функции. Формула Гурса. Свойства гармонических функций. Степенная функция, экспоненциальная функция и им обратные. Функция Жуковского. Многозначные аналитические функции. Дробно-линейные отображения.
Основные свойства. Круговое свойство. Симметрия. Инверсии. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы. Геометрия Евклида, Лобачевского и Римана.
Три определения интеграла, основные свойства. Теорема Коши для односвязной
области (три варианта). Теорема о существовании первообразной. Теорема Коши для замкнутой области. Интегральная формула Коши. Формула Бореля-Помпею.Теорема о
среднем.
Теорема Тейлора. Неравенства Коши, теорема Лиувилля. Существование всех
производных у аналитической функции. Теорема единственности. Порядок нуля аналитической функции. Теорема Морера. Теорема Вейерштрасса о рядах аналитических
функций. Теорема Лорана, неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана. Связь
рядов Лорана и Фурье. Классификация изолированных особых точек аналитических
функций. Теорема Сохоцкого. Целые и мероморфные функции.
Вычеты. Теоремы о вычетах, формулы вычисления вычетов. Принцип аргумента.
Основная теорема алгебры. Теорема Руше. Интегралы трех видов. Принцип сохранения
области, принцип максимума модуля аналитической функции. Лемма Шварца.
ЛИТЕРАТУРА
1. Маркушевич А.И. Краткий курс аналитических функций. М.: Наука, 1978.
2. Привалов А.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.:
Наука, 1977.
3. Лаврентьев М.А., Шабат В.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
4. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович.И.Г. "Сборник задач по теории функций комплексного переменного". Москва: Наука, 1972.
4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Банаховы пространства. Определение линейного нормированного пространства,
примеры норм. Банаховы пространства. Сопряженное пространство, его полнота. Теорема
Хана-Банаха о продолжении линейного функционала. Общий вид линейных функционалов в некоторых банаховых пространствах. Линейные операторы, норма оператора. Сопряженный оператор. Обратный оператор. Спектр и резольвента. Теорема Банаха об обратном операторе. Компактные операторы. Компактность интегральных операторов.
Гильбертовы пространства. Скалярное произведение. Неравенство КошиБуняковского-Шварца. Ортогональные системы. Неравенство Бесселя. Базисы в гильбертовом пространстве. Общий вид линейного функционала. Самосопряженные (эрмитовы)
и унитарные операторы.
Линейные топологические пространства и обобщенные функции. Полинормированные пространства. Функционал Минковского. Нормируемость и метризуемость. Топологии в сопряженном пространстве. Слабая компактность шара в сопряженном пространстве.
Основные примеры функциональных пространств: L1, Lр (p>1), С0, Сk, С. Пространства обобщенных функций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
2. Рудин У. Функциональный анализ.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
РЕГЛАМЕНТ
Комплексного государственного экзамена по математике
Время проведения экзамена 2 часа : с 10:00 до 12:00
Экзаменационный билет (по математике) содержит три вопроса – два теоретических и одна задача.
Во время экзамена запрещено пользоваться учебниками, конспектами, другой литературой, а также техническими средствами связи.
Ответ оформляется на листе устного ответа и содержит подробные ответы на все
вопросы.
Ответ проверяет комиссия, состоящая не менее чем из трех экзаменаторов.
Каждый вопрос оценивается по бальной шкале: «0 – 33». Общая оценка выставляется комиссией по сумме баллов.
Критерии общей оценки по сумме баллов:
 «0» – «30» – оценка неудовлетворительно;
 «31» – «60» – оценка удовлетворительно;
 «61» – «80» – оценка хорошо;
 «81» – «99» – оценка отлично.
Апелляция проводится в день экзамена не более, чем через 1 час после объявления
результатов экзамена, на основании поданного на имя председателя комиссии заявления.