01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические
системы и оптимальное управление
Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 24 сентября 2010 г.
№200
Цель данной программы состоит в определении минимального объема теоретических
сведений, необходимого для овладения основами современной теории дифференциальных
уравнений и приобретения профессиональной эрудиции, достаточной для проведения
самостоятельных научных исследований по профилю специальности.
Для достижения этой цели в программу включены основные факты теории
дифференциальных уравнений, а также ряда разделов смежных математических
дисциплин.
Экзаменуемый должен владеть основами общей, асимптотической, аналитической и
качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, иметь представление
о теории уравнений Пфаффа, и уравнений с запаздывающим аргументом и теории
динамических систем, знать основные факты теории простейших уравнений в частных
производных. Кроме того, он должен владеть необходимыми для этого элементами
функционального анализа, вариационного исчисления и теории оптимального управления.
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы
1. Теорема существования и единственности решения задачи Кош и для систем
обыкновенных дифференциальных уравнений ([I], § 3, 21).
2. Теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметров
([I], § 23).
3. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами и специальными
правыми частями ([I], § 7, 8, 10, 12, 14).
4. Общая теория линейных уравнений и систем: область существования решения,
многообразие решений, фундаментальная матрица, матрица Коши, формула
Лиувилля - Остроградского, метод вариации произвольных постоянных ([I], § 17,
18).
5. Автономные системы дифференциальных уравнений. Положения равновесия,
предельные циклы. Классификация особых точек ([1], § 15, 16, 28).
6. Характеристические показатели Ляпунова. Спектр характеристических показателей
линейной однородной системы. Теория Флоке ([2], гл. III, § 1-3, 8, 15, 16, [3], § 1, п.
1.1- 1.2).
7. Устойчивость по Ляпунову. Функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об
устойчивости по линейному приближению ([!], § 26).
8. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка,
метод характеристик ([4], часть II, гл. I, §1).
9. Вполне интегрируемые системы с многомерной независимой переменной (системы
Пфаффа). Задача Коши. Условия полной разрешимости. Линейные уравнения ([5],
гл. I, § 2, 3, гл. И, § 6).
10. Уравнение с отклоняющимся аргументом, основные типы и простейшие свойства.
([6], гл. 3, §§ 3.1-3.5),
11. Общее понятие динамической системы. Примеры динамических систем ([11], гл.5,
дополнительная литература [15], гл. 3, 7).
12. Динамические системы вход-состояние-выход ([14], раздел «Вводная часть»).
13.Управляемость и наблюдаемость линейных динамических систем ([14], ч. I,
дополнительная литература [14], гл. 5).
2. Элементы функционального анализа, вариационного исчисления и теории
оптимального управления
1. Задачи вариационного исчисления. Функция Лагранжа (лагранжиан). Необходимые
условия экстремума. Уравнения Эйлера-Лагранжа. ([4], часть I, гл. И; [7], гл. I).
2. Задачи оптимального управления. Понятие о принципе максимума Понтрягина ([7],
[12]).
3. Метод динамического программирования [13].
4. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра второго рода. Метод
последовательных приближений. Теоремы Фредгольма ([8], гл.IV, § 17, 18).
5. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром; теорема Гильберта-Шмидта ([8], гл.
IV, § 19-22).
6. Обобщенные функции и их свойства. Свертка обобщенных функций. Обобщенные
функции медленного роста; преобразование Фурье обобщенных функций
медленного роста ([8], гл.И, § 5-9; гл.III, § 12).
3. Уравнения в частных производных
1. Уравнения в частных производных типа Ковалевской. Аналитические решения.
Теорема Ковалевской ([8], гл. I, § 4).
2. Классификация и канонические формы линейных уравнений в частных
производных второго порядка на плоскости. Характеристики уравнений. Задача
Коши, краевые задачи, смешанные задачи. Понятие о некорректных задачах для
уравнений в частных производных ([8], гл. I, § 3,4; [9], гл. I, § 1; [10], гл. IX, § 2-4,
гл. X, § 1-4, гл. XXV, § 8).
3. Уравнение Лапласа. Основные свойства гармонических функций: формула Грина,
теорема о среднем, принцип максимума, теорема об устранимой особенности ([8],
гл. V, § 24; [9], гл. IV, § 1-3; [10], гл. X, § б, гл. XI, § 1-8).
4. Решение краевых задач для уравнения Лапласа методом потенциалов. Применение
функции Грина к решению задачи Дирихле. Формула Пуассона для шара и круга
([8], гл. V, § 27, 28, 31; [9], гл. IV, § 4,5; [10], гл. XII, § 1-4, гл. XIII, § 1).
5. Уравнение теплопроводности. Задача Коши и смешанные задачи для уравнения
теплопроводности. Свойства решений: гладкость, принцип максимума,
единственность, бесконечная скорость теплопередачи. Фундаментальное решение
([8], гл. I, § 4, гл. III, § 11, гл. VI, § 34; [9], гл. III, § 1,3; [10], гл. XX, § 1-4, гл. XXIII,
§ 4).
6. Метод Фурье (разделения переменных) решения смешанной задачи для уравнения
теплопроводности. Обоснование метода Фурье. ([8], гл. VI, § 32; [9], гл. III, § 2;
[10], гл. XXII, § 1-3).
7. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона ([8],
гл. III, § 16; [9], гл. III, § 1, гл. VI, § 1; [10], гл. XXIII, § 2,3).
8. Уравнения гиперболического типа. Постановка основных краевых задач. Интеграл
энергии, единственность решений. Конечная гладкость решений волнового
уравнения. Фундаментальное решение ([8], гл. I, § 4; гл. III, § 11, 12, гл. VI, § 33;
[9], гл. II, § 1,2; [10], гл. XXI, § 1-3).
9. Решение смешанной задачи для волнового уравнения методом Фурье. Обоснование
метода Фурье ([8], гл. VI, § 32; [9], гл. И, § 3; [10], гл. XXII, § 4-7).
10. Решение задачи Коши для волнового уравнения. Формулы Даламбера, Пуассона,
Кирхгофа. Распространение волн в пространстве, на плоскости и на прямой ([8], гл.
III, § 13, 14; [9], гл. II, § 2, гл. V, § 1,2; [10], гл. XXI, § 5, гл. XXIV, § 1-7).
11. Понятие об обобщенных и слабых решениях уравнений в частных производных
([4], часть I, гл. III; [8], гл. VI, § 33, 34; [10], гл. XVII, XX, § 6, гл. XXI, § 6).
12. Рекомендуемая литература
Основная
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Мн.: Б ГУ, 2006.
Смирнов В.И. Курс высшей математики, t.IV, части I и И, М.: Наука, 1981.
Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения.
Мн.: Наука и техника, 1983.
6. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.
7. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин СВ., Оптимальное управление. М.: Наука,
1979.
8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1978.
9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: Наука,
1972.
10. Ю.Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968.
11. И.Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных
уравнений. М. Гостехиздат, 1949.
12. Понтрягин Л.С. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф.
Математическаятеория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
13. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.
И.Калманн Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем.
М:Наука, 1971.
1.
2.
3.
4.
5.
Дополнительная
1. Бибиков Ю.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа.
1991.
2. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1976.
3. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. Линейная теория. М.:
Высшая школа. 2001.
4. Гайшун И.В. Линейные уравнения в полных производных. Мн.: Наука и техника.
1989.
5. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: 1971.
6. Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и
приложения. М.: Наука, 1986.
7. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.
Мн.: Наука и техника. 1972.
8. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
9. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука,
1983.
10. Ю.Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М: Высшая школа.
1977.
11. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
М.: МГУ, 1984.
12. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз,
1961.
13. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М. Мир. 1984.
14. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М: Наука, 1979.
15. Биргоф Дж. Динамические системы. М.: ГИТЛ, 1941.
16. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. М: Наука, 1978.