Программа государственного аттестационного экзамена

Программа государственного аттестационного экзамена
«Математики и информатика» по специальности
010501 «Прикладная математика и информатика» на 2014/2015 учебный год
Вопросы по дисциплинам:
Математическая логика и теория рекурсивных функций
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Множества. Основные операции над множествами и их свойства. Мощность множества. Счетные множества.
Счетность множества рациональных чисел. Существование несчетных множеств.
Бинарные отношения. Отношения частичного порядка. Линейный порядок. Отношения эквивалентности.
Классы эквивалентности и разбиения множеств.
Логика высказываний: язык, оценки и значения формул. Выполнимые и тождественно-истинные (тавтологии)
формулы. Критерий правильности рассуждения. Теоремы о приведении формулы логики высказываний к
дизъюнктивной и конъюнктивной нормальным формам.
Логика предикатов: формулы, свободные и связанные переменные, значение формулы в данной
интерпретации. Выполнимость и общезначимость (тождественная истинность). Основные равносильности
формул в логике предикатов. Предваренная нормальная форма формул.
Понятие формальной аксиоматической теории. Задание аксиоматической теории. Понятие логического вывода.
Вывод из множества посылок. Теоремы аксиоматической теории.
Понятие эффективной вычислимости. Рекурсивные функции и машины Тьюринга. Тезис Тьюринга и Черча.
Пример алгоритмически неразрешимой проблемы.
Формальные грамматики и формальные языки. Основные понятия. Классы языков и грамматик. Автоматные
грамматики.
Конечные автоматы. Минимизация конечных автоматов. Автоматы Мура и Мили.
Дискретная математика
9. Графы. Маршруты и компоненты связности. Матрица, ассоциированная с графом. Деревья и критерии
ацикличности связного графа.
10. Ориентированные и неориентированные графы. Поиск в ширину и поиск в глубину. Алгоритмы нахождения
кратчайших путей в ориентированном графе.
Линейная алгебра
11. Линейные пространства, их подпространства. Базис, размерность. Теорема о ранге матрицы, ее приложение к
теории систем линейных уравнений.
12. Билинейные и квадратичные функции и формы в линейных пространствах, их матрица. Приведение к
нормальному виду. Закон инерции.
13. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Условие приводимости матрицы к
диагональному виду. Нормальная Жорданова форма матрицы.
14. Евклидово пространство. Симметричные преобразования. Приведение квадратичной формы к главным осям.
15. Группы, подгруппы, теорема Лагранжа. Фактор-группа. Изоморфизм.
Математический анализ
16. Предел и непрерывность функции одной переменной, свойства непрерывных функций.
17. Производная функции одной переменной, ее физический и геометрический смысл. Условия монотонности,
экстремума, выпуклости. Исследование поведения функций. Формула Тейлора.
18. Функции нескольких переменных. Полный дифференциал и его геометрический смысл. Частные производные,
матрица Якоби, градиент.
19. Экстремум функций нескольких переменных; необходимые условия, достаточные условия.
20. Числовые ряды, виды сходимости. Достаточные признаки сходимости.
21. Ряды функций. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.
22. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус и круг сходимости. Свойства степенных
рядов. Разложение элементарных функций.
23. Определенный интеграл, его геометрический смысл. Формула Ньютона – Лейбница, замена переменной,
интегрирование по частям. Приложения определенного интеграла в геометрии и физике.
24. Кратные и криволинейные интегралы, их вычисление. Приложения в геометрии и физике.
25. Ряды Фурье. Достаточные условия представления функций рядом Фурье.
Дифференциальные уравнения
26. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Теорема о существовании и единственности решения.
27. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
28. Состояние равновесия динамических систем и его устойчивость. Теорема Ляпунова.
Уравнения математической физики
29. Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка и приведение их к каноническому виду.
30. Решение краевых задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности методом Фурье.
Теория функций комплексного переменного
31. Функции комплексного переменного. Условия Коши–Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля
производной.
32. Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши.
33. Теорема Лорана. Классификация изолированных особых точек.
34. Основная теорема теории вычетов. Приложения к вычислению определенных интегралов
Численные методы
35.
36.
37.
38.
39.
Интерполяция и приближение функций.
Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений.
Численные методы решения систем линейных и алгебраических уравнений.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Методы квадратур.
Теория вероятности и математическая статистика
40. Аксиомы Колмогорова. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула
Байеса.
41. Моменты случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия. Их свойства.
42. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Приближение Пуассона.
43. Нормальное распределение случайной величины. Статистическая проверка принадлежности выборки
нормальному распределению. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра—Лапласа.
44. Сходимость последовательностей случайных величин. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.
45. Точечные и интервальные оценки параметров случайных величин. Их свойства. Построение линии регрессии.
Методы оптимизации и теория управления
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
Безусловная оптимизация. Метод градиентного спуска.
Условная оптимизация. Принцип расширения.
Метод Лагранжа. Метод штрафов.
Задача линейного программирования. Симплекс-метод.
Постановка задачи непрерывного оптимального управления и теорема Кротова о достаточных условиях
оптимальности.
Метод Беллмана и непрерывное управление с обратной связью.
Выпуклые задачи непрерывного оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
Постановка и достаточные условия оптимальности дискретного управления.
Множество достижимости управляемой системы и его оценка.
Литература
Математическая логика и теория рекурсивных функций
1. Сазонов В.Ю. Математическая логика. Переславль-Залесский: «Изд-во УГП».
2. Верещагин, Шень. Вычислимые функции
3.
В.Дж.Рейуорд-Смит. Теория формальных языков. Вводный курс. — М., «Радио и связь», 1988.
Дискретная математика
4.
5.
Ломазова И.А. Лекции по дискретной математике (учебное пособие), М.: «изд-во РУДН», 1998.
Нефедов В. Н., Осипова В. А. Курс дискретной математики. М.: «изд-во МАИ», 1992.
Линейная алгебра
6.
Кострикин А.И. Введение в алгебру.
7.
8.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.
Винберг Э.Б. Начала алгебры.
Математический анализ
9.
10.
11.
12.
13.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т.1,2. (базовый учебник)
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1,2.
Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1,2.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1,2.
Зорич В.А. Математический анализ. Т.1,2.
Дифференциальные уравнения
14. В.И.Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, — М: «Наука», 1975(1984).
15. В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, М: «Гл.изд-во физ.-мат. лит.», 1958.
16. И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М: «Наука», 1970.
Теория функций комплексного переменного
17. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. I. — М.: «Наука», 1976.
18. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного, — М.:
«Наука», 1989.
19. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. I. — М: «Наука», 1967.
Уравнения математической физики
20. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, — М: «Наука», 1972. - 736 с.
21. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — М.: «Физматлит», 2000. - 400 c.
Численные методы
Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М., «Физматлит», 2000.
Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. — М: «Наука»,1972.
Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. — М: «Наука», 1976.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.— М: «Наука», 1987.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.: «Гл.изд-во физ.-мат. лит.», 1963.659 c.
27. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. — М.: «Гл.изд-во физ.-мат. лит.»,
1963.-400 c.
22.
23.
24.
25.
26.
Теория вероятности и математическая статистика
28. Бочаров П.П., Печкин А.В. Теория вероятностей. — М.: «изд-во РУДН», 1994.
29. Цирлин А.М., Амелькин С.А. Теория вероятностей и ее приложения. —Переславль-Залесский:
УГП», 1996.
30. Бочаров П.П., Печкин А.В. Математическая статистика. — М.: «изд-во РУДН», 1994.
31. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: «Наука», 1969.
32. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: «Высшая школа», 1972.
33. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: «Наука», 1979
34. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: «Наука», 1988.
«Изд-во
Методы оптимизации и теория управления
35. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М: «Наука*Физматлит», 1980.
36. Гурман В.И. Методы оптимизации. Учебное пособие
http://u-pereslavl.botik.ru/NewSite/Data/Kafedry/SysAn/metOpt/metopt.pdf
37. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. — М: «Наука*Физматлит», 1997.
38. Гурман В.И. Теория управления и системный анализ (Дайджест-практикум). — Переславль-Залесский:
«Изд-во УГП», 1997