Высшая математика - Философский факультет ТГУ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТГУ)
Философский факультет
Кафедра социологии
УТВЕРЖДАЮ
Декан философского
факультета ТГУ
____________ С. С. Аванесов
"
" февраля 2011 г.
Рабочая программа дисциплины
Высшая математика
Направление подготовки
040100 Социология
Профиль подготовки
Общий
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Томск 2011
1 Цели освоения дисциплины «Высшая математика»
Цель данного курса заключается в том, чтобы обеспечить студентам необходимую математическую
подготовку для успешного усвоения специальных курсов и самостоятельного изучения дополнительной
литературы по специальности.
1.2 Задачи изучения дисциплины.
В данном курсе следует изучить матричную алгебру и методы решения систем линейных уравнений,
метод координат, кривые первого и второго порядка на плоскости, дифференцирование и интегрирование
функций одной и многих переменных. В данном курсе изучаются следующие четыре раздела высшей
математики:элементы линейной алгебры; Аналитическая геометрия на плоскости; математический анализ
функции одного действительного переменного; функции многих переменных.
2 Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Курс «Высшая математика» относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла
Б. 2. Направленность данного курса состоит в том, чтобы обеспечить студентам необходимую
математическую подготовку для успешного усвоения специальных курсов и самостоятельного изучения
дополнительной литературы по направлению «Социология».
Для успешного освоения дисциплины необходимо овладение компетенциями, сформированными в
результате освоения программы средней общеобразовательной школы.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Высшая
математика»
Результаты освоения ООП бакалавриата определяются приобретаемыми выпускником компетенциями,
т.е. его способностью применять знания, умения и личные качества в соответствии с задачами
профессиональной деятельности.
В результате освоения данной ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующей
компетенцией:
– способностью использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования (ОК-11).
Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):
– способностью применять в профессиональной деятельности базовые знания по математике по
основам социальной теории и методам социологического исследования (ПК-1);
– способностью приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные
образовательные и информационные технологии (ПК-2).
Обучающийся должен: Знать
– определения, теоремы, подходы к решению задач из основных разделов высшей математики;
– основные модели и математические методы принятия решений, методы оценивания параметров,
критерии;
– проверки статистических гипотез.
Уметь
 решать типовые математические задачи, используемые при принятии управленческих решений;
применять методы математического анализа и моделирования социальных процессов,
 использовать средства дескриптивной статистики, основные подходы к статистическому выводу,
 обрабатывать эмпирические и экспериментальные данные;
Владеть
 математическими, статистическими и количественными методами решения типовых социологических
задач;
 навыками научного анализа социальных проблем и процессов,
 навыками практического использования базовых знаний и методов математики и естественных наук.
2
Элементы линейной алгебры
Неделя семестра
1
Семестр
4 Структура и содержание дисциплины «Высшая математика»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единицы, 288 часов, 108 аудиторных, 2 экзамена
№
Формы текущего
Виды учебной
п/
контроля
работы, включая
п
успеваемости
(по
самостоятельную
работу студентов неделям семестра)
Раздел дисциплины
Форма
и трудоемкость (в
промежуточной
часах)
аттестации (по
Лекции
1
1-4
6
Матрицы и действия над ними. Определители и их
свойства. Понятие обратной матрицы. Понятие ранга
матрицы. Решение систем линейных уравнений
методами: Крамера, Гаусса, матричным способом.
Теорема Кронекера-Капелли. Примеры
экономических приложений методов линейной
алгебры
2
3
4
5
Аналитическая геометрия на плоскости
Линии первого порядка (прямая линия).
Определение положения точки на плоскости.
Расстояние между двумя точками, деление отрезка в
данном отношении. Понятие об уравнении линии.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом;
уравнение прямой, проходящей через данную точку
в данном направлении; уравнение прямой,
проходящей через две данные точки; уравнение
прямой в отрезках. Угол между двумя
пересекающимися прямыми. Условия
параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Общее уравнение прямой и его исследование.
Геометрический смысл линейных неравенств и
систем линейных неравенств.
Линии второго порядка Окружность, эллипс,
гипербола, парабола и их канонические уравнения.
Общее уравнение линий второго порядка и его
приведение к каноническому виду. Примеры
экономических приложений методов аналитической
геометрии
Математический анализ действительной
функции одного действительного аргумента
Вещественные (действительные) числа и
множества Основные свойства действительных
чисел и их геометрическое представление. Понятие
множества, операции над множествами. Принятые
обозначения, логические символы. Числовые
множества, грани числовых множеств. Абсолютная
величина действительного числа и ее свойства
Понятие функции Определение функции,
способы ее задания. Классификация функций.
Элементарные функции и их графики. Суперпозиция
функций. Общие свойства функций (однозначность,
ограниченность,
монотонность,
периодичность,
четность, симметричность). Понятие обратной
функции.
Практика
СРС
8
14
семестрам)
Контрольная
работа
1
4-6
2
4
6
1
5-9
4
6
10
Контрольная
работа
1
710
2
2
4
1
811
2
2
4
3
6
7
8
Предел числовой последовательности
Числовые последовательности и арифметические
действия над ними. Ограниченные и неограниченные
последовательности, монотонные
последовательности. Определение предела числовой
последовательности, понятие сходящейся
последовательности, бесконечно малые и бесконечно
большие последовательности и их свойства.
Основные свойства сходящихся
последовательностей. Предельный переход в
неравенствах. Признак сходимости монотонных
последовательностей (теорема Вейерштрасса). Число
«е» как предел числовой последовательности.
Примеры применения числовых
последовательностей для расчетов в финансовой
математике, простые и сложные проценты, понятие
эффективной годовой процентной ставки
Предел функции Определение предела функции.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции и
связи между ними. Основные теоремы о пределах
функций, типы неопределенностей. Первый и второй
замечательные пределы
Непрерывные функции Непрерывность
функции в точке и на множестве. Непрерывность
сложной функции. Арифметические действия над
непрерывными функциями. Непрерывность
элементарных функций. Точки разрыва функции и их
классификация. Основные свойства непрерывных
функций
1 семестр
1
2
3
Дифференцирование Определение производной
функции в точке. Геометрический и физический
смысл производной. Правила и формулы вычисления
производной функции. Производная сложной и
обратной функции, логарифмическая производная,
производная
показательно-степенной
функции.
Производные
высшего
порядка.
Понятие
эластичности
функции.
Основные
свойства
эластичности и ее применение в экономическом
анализе. Геометрический смысл эластичности
функции. Эластичности функции в дискретном
случае. Общие свойства эластичности функции и
примеры ее вычисления
Дифференциал Определение дифференцируемой
функции и дифференциала. Необходимые и
достаточные условия дифференцируемости функции
в точке. Основные свойства и таблица формул
дифференциалов элементарных функций. Свойство
инвариантности дифференциала первого порядка.
Применение дифференциала к приближенному
вычислению функций. Дифференциалы высших
порядков.
Основные теоремы дифференциального
исчисления Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа,
1
913
2
4
6
1
1015
2
4
6
1
1116
2
2
4
Контрольная
работа
ЗАЧЕТ по
практике
1
2
25
22
2
32
2
54
4
2
26
2
2
4
2
2728
2
4
6
Коши.
Правило
Лопиталя
(раскрытие
неопределенностей типа « 0 / 0 » и « /  » ).
Формулы Тейлора и Маклорена.
4
Экзамен
4
5
6
7
Исследование
поведения
функций
помощью производной
Возрастающие
с
и
убывающие функции, признак монотонности.
Максимум и минимум функции, точки локального
экстремума. Необходимые и достаточные условия
существования экстремума функции. Понятие
выпуклой функции, точки перегиба функции.
Асимптоты графика функции. Общая схема
исследования функции и построение ее графика
Неопределенный интеграл Понятие
первообразной функции. Неопределенный интеграл
и его свойства. Табличные интегралы. Основные
методы интегрирования: замена переменной,
интегрирование по частям. Методы интегрирования
различных классов функций. Интегрирование
правильных рациональных дробей. Интегрирование
простейших иррациональностей. Методы повторного
интегрирования по частям. Интегрирование
некоторых трансцендентных функций.
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный
интеграл
Определение
определенного интеграла с использованием предела
интегральной суммы. Геометрический смысл
определенного интеграла. Основные свойства и
методы вычисления определенного интеграла.
Замена переменной интегрирования в определенном
интеграле, формула интегрирования по частям.
Определенный интеграл с переменным верхним
пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Понятие
несобственных интегралов. Некоторые приложения
определенного
интеграла.
Вычисление
коэффициента Джини по кривой Лоренца для оценки
степени неравномерности доходов населения.
Функции многих переменных Определение
функций многих переменных, основные понятия и
обозначения. Понятие предела и непрерывности
функции многих переменных. Дифференцирование
функции многих переменных. Частные производные
первого порядка функций многих переменных.
Понятие полного дифференциала функции многих
переменных. Применение полного дифференциала к
приближенным вычислениям функции многих
переменных.
Частные
производные
и
дифференциалы высших порядков. Производные
сложных
функций
многих
переменных.
Дифференцирование неявных функций. Экстремум
функции многих переменных на примере функции
двух переменных. Необходимые и достаточные
условия существования локального экстремума
функции двух переменных. Условный экстремум
функции двух переменных. Определение параметров
эмпирических
формул
методом
наименьших
квадратов.
2
2829
2
2
4
Контрольная
работа
2
2932
4
6
10
2
3137
4
10
14
Контрольная
работа
2
3340
6
6
12
Контрольная
работа
ЗАЧЕТ по
практике
2семестр
2
22
32
54
ЭКЗАМЕН
Итого
12
44
64
108
2 экзамена
5
Распределение часов курса по темам и видам работ
№
1
2
3
4
5
6
Наименование темы
Линейная алгебра
Аналитическая геометрия
Теория предела
Дифференцирование функций
Интегрирование функций
Функции многих переменных
ИТОГО
Всего часов
14
16
24
20
30
10
108
Лекции
6
6
10
8
8
6
44
Практика
8
10
14
10
16
6
64
Форма контроля
Практическое задание
Контрольная работа
Практическое задание
Контрольная работа
Контрольная работа
Практическое задание
Экзамен
5 Образовательные технологии
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки реализация
компетентностного подхода должна предусматривать широкое использование в учебном процессе
активных и интерактивных форм проведения занятий. При изложении материала отдается
предпочтение классическому подходу и там, где это возможно, приводится геометрический и
экономический смысл математических понятий (балансовые модели, сложные проценты,
эластичность функции и т.п.).
6 Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства
для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины.
Основными этапами контроля самостоятельной работы студентов по изучению дисциплины
являются:
1. Выполнение практических заданий
2. Контрольные работы
3. Устный экзамен при наличии двух зачетов по практике
Перечень контрольных и экзаменационных вопросов
Линейная алгебра. Аналитическая геометрия
1. Что изучает линейная алгебра? Понятие матрицы. Основные определения.
Действия над матрицами. Определение равенства матриц. Линейные операции над матрицами (сложение и вычитание
матриц, умножение матрицы на действительное число).
Умножение матриц. Свойства произведения матриц.
Определение операции транспонирования матриц. Свойства операции транспонирования матриц.
Понятие определителя матрицы. Определители 1-ого, 2-ого и 3-ого порядков. Определители n – ого порядка.
Определение минора и алгебраического дополнения элемента матрицы.
Свойства определителей.
Понятие обратной матрицы. Определение невырожденной матрицы. Правило вычисления обратной матрицы. Общие
свойства обратной матрицы.
Решение систем линейных уравнений. Основные понятия, терминология и определения.
Решение систем n – линейных уравнений с n – неизвестными матричным способом.
Метод Крамера для решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
Метод Гаусса для решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
Теорема Кронекера – Капелли (без доказательства).
Примеры экономических приложений методов линейной алгебры. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
Что изучает аналитическая геометрия? Прямоугольная и полярная системы координат. Понятие уравнения линии.
Простейшие задачи аналитической геометрии. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.
Площадь треугольника.
6
Линии первого порядка. Общее уравнение линии первого порядка в прямоугольной системе координат. Уравнение
прямой линии с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном
направлении. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой линии в отрезках.
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых линий.
Координаты точки пересечения двух прямых, заданных общими уравнениями.
Расстояние от заданной точки до прямой линии, заданной общим уравнением.
Линии второго порядка. Общее уравнение линий 2 – ого порядка в прямоугольной системе координат.
Определение окружности. Каноническое уравнение окружности в прямоугольной системе координат.
Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса в прямоугольной системе координат, смысл его параметров,
понятия эксцентриситета и директрисы эллипса. Формулы для вычисления фокальных радиусов текущей точки
эллипса.
Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы в прямоугольной системе координат, смысл её параметров,
асимптоты гиперболы, понятия эксцентриситета и директрисы гиперболы. Формулы для вычисления фокальных
радиусов текущей точки гиперболы.
Общее определение кривых второго порядка, основанное на использовании понятий эксцентриситет и директриса.
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат, смысл её параметра. Уравнение директрисы
параболы.
Анализ общего уравнения кривых второго порядка. Приведение его к канонической форме (теорема без доказательства).
Примеры.
Второй семестр: Математический анализ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Понятие функции. Общие свойства функций. Понятие обратной функции.
Определение числовой последовательности. Ограниченные и монотонные числовые последовательности.
Определение предела последовательности. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
Основные теоремы о пределах последовательностей. Предельный переход в неравенствах.
Число «е».
Определение предела функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
Теоремы о пределе функций.
Первый и второй замечательные пределы функций.
Сравнение бесконечно малых функций.
Понятие непрерывной функции. Непрерывность функции в точке и на множестве.
Точки разрыва функции и их классификация. Основные свойства непрерывных функций.
Понятие производной функции. Определение односторонних производных.
Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к функции в точке.
Общие правила дифференцирования и вычисления производной функции.
Связь между понятиями дифференцируемость и непрерывность функций.
Вычисление производной сложной функции. Производная обратной функции. Производная неявной функции.
Понятие эластичности функции. Общие свойства эластичности функции.
Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Правила вычисления дифференциала функции.
Производная и дифференциал высших порядков.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
Правило Лопиталя.
Формулы Тейлора и Маклорена.
Исследование поведения функций с помощью производной. Возрастающие и убывающие функции, признак
монотонности.
Точки локального экстремума функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции.
Понятие выпуклой функции. Точки перегиба функции.
Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функций с помощью производной.
Первообразная функции. Определение неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла.
Методы интегрирования. Метод замены переменной интегрирования. Интегрирование по частям.
Определение определенного интеграла, основные свойства.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной интегрирования в определенном интеграле.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Понятие несобственных интегралов.
Основные понятия и определения функций многих переменных.
7
37.
38.
39.
40.
41.
42.
Понятие предела и непрерывности функций многих переменных.
Частные производные 1-ого и 2-ого порядков функций многих переменных.
Понятие полного дифференциала функции многих переменных.
Экстремум функций многих переменных на примере функций двух переменных.
Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума функции двух переменных.
Определение параметров эмпирических зависимостей методом наименьших квадратов.
Контрольные задачи и примеры приведены в задачниках и методических разработках
7 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература
1. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2006.
2. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш.Кремера. М. Изд-во «ЮНИТИ» 2009.
3. Кочегурова В. Г. Математика для экономистов. Часть вторая. Изд-во «НТЛ» Томск, 1997.
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Высшая школа, 2008.
б) дополнительная литература
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1985.
6. Кочегурова В.Г. Практические занятия по элементам линейной алгебры. Томск: МГК ТГУ, 1997.
7. Кочегурова В. Г. Практические занятия по аналитической геометрии на плоскости. МГК ТГУ, Томск, 1997.
8. Замков О. О. и др. Математические методы в экономике. М.: Изд-во «ДИС» 1998.
9. Герасимович А.И., Рысюк Н.А. Математический анализ. Минск. Высшая школа 1989.
10. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1985.
8 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Кафедра социологии ТГУ располагает всем необходимым материально-техническим обеспечением
для выполнения настоящей программы. Оно включает в себя:
– наличие компьютерного класса;
– наличие доступного для студента выхода в Интернет;
– наличие специально оборудованных кабинетов и аудиторий для мультимедийных презентаций.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП
ВПО по направлению подготовки 040100 Социология
РЕКОМЕНДОВАНО методической комиссией факультета прикладной математики и кибернетики
Председатель комиссии, профессор С. Э. Воробейчиков “___” января 2011 г.
Автор: Шуленин Валерий Петрович, кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической
кибернетики
Рецензент: Смагин В. И., доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики
Программа одобрена на заседании методической комиссии философского факультета ТГУ от
01.02.2011 года, протокол № 2.
8