Document 677786

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Панарина С.Н.
Математический анализ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления
44.03.01 «Педагогическое образование»,
профиль подготовки «Математическое образование»,
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2014
Панарина С.Н. Математический анализ. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов направления 44.03.01 «Педагогическое образование», профиля
подготовки «Математическое образование». Форма обучения очная, Тюмень, 2014, 50 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по специальности.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Математический
анализ [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР
Заведующий кафедрой математического
анализа и теории функций ТюмГУ,
канд. физ.-мат. наук, доцент Хохлов А.Г.
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Панарина С.Н., 2014.
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Цель курса "Математический анализ" - ознакомление с фундаментальными
методами исследования переменных величин посредством анализа бесконечно малых,
основу которого составляет теория дифференциального и интегрального исчисления.
Объектами изучения в данной дисциплине являются, прежде всего, функции. С их
помощью могут быть сформулированы как законы природы, так и разнообразные
процессы, происходящие в экономике, природе, технике. Отсюда объективная важность
математического анализа как средства изучения функций. Дисциплина "Математический
анализ" отражает важное направление развития современной математики, в ней
рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений.
Задачи курса. Развить математический кругозор студентов. Обучить студентов
важнейшим теоретическим положениям математического анализа, аналитическим
методам, выработать у них навыки решения конкретных задач, требующих исследования
функций и вычисления связанных с ними величин.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Учебная дисциплина «Математический анализ» входит в математический и
естественнонаучный цикл (базовая часть). Требования к входным знаниям и умениям
студента – знание элементарной математики: алгебры, элементарных функций, умение
дифференцировать.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.3
+
3.2
+
3.1
+
2.3
+
2.2
+
2.1
+
1.1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.1-3.3
+
2.3
+
2.1-2.2
3.1-3.3
Теоретическая
механика
Основы
математической
обработки
информации
Конструктивная
геометрия и методы
изображений
Дифференциальные
уравнения
Системы
компьютерной
математики
Теория
вероятностей
Дополнительные
главы теории
вероятностей и
математической
статистики
Случайные
процессы
1.1-1.2
2.1-2.3
1.
3.1-3.4
Темы дисциплины, необходимые для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1 семестр
2 семестр
3 семестр
4 семестр
2.1-2.3
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
1.1
№
п/п
1.1-1.3
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
+
+
+
+
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Избранные вопросы
дифференциального
и интегрального
исчисления
Функциональный
анализ
Дифференциальные
уравнения и
уравнения с
частными
производными
Основы
вариационного
исчисления
Теоретикомножественная
топология
Информационные
технологии
Физика
Теория функций
действительного
переменного
Теория функций
комплексного
переменного
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
ОК-1 Владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей ее достижения
ОК-6 Способен логически верно выстраивать устную и письменную речь
ОПК-2 Способен использовать систематизированные теоретические и
практические знания при решении социальных и профессиональных задач
ПК-1 Способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в
различных образовательных
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
Знать: основные понятия, определения и свойства объектов математического
анализа, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства,
возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и
дисциплинах естественнонаучного содержания.
Уметь: доказывать утверждения математического анализа, решать задачи
математического анализа, уметь применять полученные навыки в других областях
математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.
Владеть: аппаратом математического анализа, методами доказательства
утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания и
дисциплинах естественнонаучного содержания.
2. Структура и трудоемкость дисциплины
Семестры 1, 2, 3 и 4. Форма промежуточной аттестации во всех семестрах –
контрольная работа, в 1, 2, 4 – экзамен, в 3 – зачет. Общая трудоемкость дисциплины
составляет 18 зачетных единиц, 648 академических часов, из них 316,35 часа, выделенных
на контактную работу с преподавателем, 205,65 часа, выделенных на самостоятельную
работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Иные виды работ:
Самостоятельная
работа
(всего):
Общая трудоемкость
зач.
ед.
час
Вид промежуточной аттестации
(зачет, экзамен)
Всего
часов
314,35
298
1
94,65
90
Семестры
2
3
72,55
74,6
68
72
36
54
4,65
34
34
4,55
36
36
2,6
110,35
100,45
60,4
18
5,75
4,75
3,75
3,75
648
205
173
135
135
Э
Э
З
140
158
16,35
207,65
4
72,55
68
34
34
4,55
62,45
Э
3. Тематический план
1 СЕМЕСТР
Таблица 3.
Итого количество баллов
2
2
0-6
0-7
0-7
0-20
1
2
3
4
5
6
7
1-2
3-4
5
4
4
2
10
3
2
5
10
10
10
10
30
17
16
17
50
6-7
4
6
10
20
8-9
9-10
4
4
12
6
4
16
10
10
30
20
18
58
11-12
13
4
2
10
2
10
10
24
14
0-10
0-10
14
14-15
15-18
2
2
4
4
4
8
5
10
15,35
11
16
27,35
2
4
0-5
0-10
0-10
14
28
0-45
54
12
92,35
4,65
205
6
36
50,35
4,65
115
12
12
0-100
Лекции
Самостоятельная
работа
9
Тема
Семинарские
(практические)
занятия
8
№
неделя семестра
Итого
часов
по
теме
Из них в интерактивной
форме
Виды учебной работы
и самостоятельной
работы, в час.
Модуль 1
1.1. Элементы теории множеств
1.2. Действительные числа
1.3. Числовые функции
Всего
Модуль 2
2.1. Предел числовой
последовательности
2.2. Предел числовой функции
2.3. Непрерывные функции
Всего
Модуль 3
3.1. Производные и дифференциалы
3.2. Основные теоремы о
дифференцируемых функциях
3.3. Правила Лопиталя
3.4. Формула Тейлора
3.5. Приложения дифференциального
исчисления к исследованию
функций
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
*с учетом иных видов работ
0-10
2
2
4
0-13
0-12
0-35
2 СЕМЕСТР
Таблица 4.
Итого количество баллов
1
2
3
4
5
6
7
1-5
10
10
30
50
0-20
10
10
30
50
0-20
Лекции
Самостоятельная
работа
9
Тема
Семинарские
(практические)
занятия
8
№
неделя семестра
Итого
часов
по
теме
Из них в интерактивной
форме
Виды учебной работы
и самостоятельной
работы, в час.
Модуль 1
1.1.
Неопределённый интеграл
Всего
Модуль 2
2.1.
Определённый интеграл
6-9
8
8
12
28
0-10
2.2.
Несобственные интегралы
10
2
2
12
16
0-5
2.3.
Приложения определенного
11-12
4
4
12
20
0-10
14
14
36
64
0-25
13-14
4
4
6,45
14,45
0-20
15
2
2
10
14
2
0-15
2
0-10
интеграла
Всего
Модуль 3
3.1.
Производные и дифференциалы
функций многих переменных
3.2.
Локальные экстремумы функций
многих переменных
3.3.
Неявные функции
16
2
2
8
12
3.4.
Условный экстремум
17
2
2
10
14
10
10
34,45
54,45
4,55
4,55
105
173
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
*с учетом иных видов работ
34
34
4
0-10
4
0-55
4
0-100
4
3 СЕМЕСТР
Таблица 5.
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельная
работа
Итого
часов
по
теме
Из них в интерактивной
форме
Итого количество баллов
2
3
4
5
6
7
8
9
1-5
10
10
20
40
2
0-20
10
10
20
40
2
0-20
6-9
8
8
6
22
1
Лекции
Тема
неделя семестра
№
Виды учебной работы
и самостоятельной
работы, в час.
Модуль 1
1.1.
Числовые ряды
Всего
Модуль 2
2.1.
Функциональные
0-16
последовательности и ряды
2.2.
Степенные ряды
10-11
4
4
6
14
2
0-16
2.3.
Ряды Фурье
12-14
6
6
6
18
2
0-8
18
18
18
54
4
0-40
15
2
2
6
10
0-15
16
2
2
9
13
0-15
17-18
4
4
7,4
15,4
0-10
8
8
22,4
38,4
2,6
2,6
63
135
Всего
Модуль 3
3.1.
Интегралы, зависящие от
параметров
3.2.
Эйлеровы интегралы
3.3.
Преобразование Фурье
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
*с учетом иных видов работ
36
36
8
2
0-40
8
0-100
8
4 СЕМЕСТР
Итого количество баллов
9
1
2
3
4
5
6
7
1
2
2
8
12
0-10
2-5
6
6
9
21
0-25
8
8
17
33
0-35
6-8
6
6
10
22
0-20
9
2
2
5
9
10-11
4
4
10
18
12
12
25
49
Лекции
Тема
Самостоятельная
работа
8
№
Семинарские
(практические)
занятия
Итого
часов
по
теме
неделя семестра
Виды учебной
работы и
самостоятельной
работы, в час.
Из них в интерактивной форме
Таблица 6.
Модуль 1
1.1.
Мера Жордана
1.2.
Кратный интеграл Римана
Всего
Модуль 2
2.1.
Криволинейные интегралы
2.2.
Формула Грина
2.3.
Элементы теории поля
Всего
2
0-10
0-5
4
0-35
Модуль 3
3.1.
Поверхностные интегралы
12-14
6
6
10
22
0-10
3.2.
Формула Стокса
14-15
4
4
5
14
0-10
3.3.
Формула Гаусса-Остроградского
16-17
4
4
5,45
13,45
0-10
14
14
20,45
48,45
4,55
4,55
67
135
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
*с учетом иных видов работ
34
34
6
2
0-30
6
0-100
6
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
1 СЕМЕСТР
реферат
контрольная
работа
Письменные работы
ответ на
семинаре
собеседование
№ темы
коллоквиумы
Устный опрос
Итого количество
баллов
Таблица 7.
Модуль 1
Тема 1.1.
0-2
0-4
Тема 1.2.
0-2
0-3
Тема 1.3.
0-2
0-5
Всего
0-6
0-12
0-6
0-2
0-7
0-7
0-2
0-20
Модуль 2
Тема 2.1.
0-3
0-2
0-5
0-10
Тема 2.2.
0-3
0-3
0-7
0-13
Тема 2.3.
0-3
0-3
0-4
0-2
0-12
Всего
0-9
0-8
0-16
0-2
0-35
Модуль 3
Тема 3.1.
0-2
0-8
0-10
Тема 3.2.
0-2
0-8
0-10
0-5
0-5
Тема 3.3.
Тема 3.4.
0-2
0-2
0-6
0-10
Тема 3.5.
0-2
0-2
0-6
0-10
Всего
0-4
0-8
0-33
0-45
0-12
0-8
0-61
Итого
0-15
0-4
0-100
2 СЕМЕСТР
реферат
контрольная
работа
Письменные работы
ответ на
семинаре
собеседование
№ темы
коллоквиумы
Устный опрос
Итого количество
баллов
Таблица 8.
Модуль 1
Тема 1.1.
0-2
0-2
0-2
0-14
0-20
Всего
0-2
0-2
0-2
0-14
0-20
0-8
0-10
Тема 2.2.
0-5
0-5
Тема 2.3.
0-8
0-2
0-10
0-21
0-2
0-25
Модуль 2
Тема 2.1.
Всего
0-2
0-2
Модуль 3
Тема 3.1.
0-2
0-16
0-20
Тема 3.2.
0-15
0-15
Тема 3.3.
0-10
0-10
Тема 3.4.
0-10
0-10
0-55
Всего
Итого
0-4
0-2
0-2
0-2
0-51
0-6
0-7
0-79
0-4
0-100
3 СЕМЕСТР
реферат
контрольная
работа
Письменные работы
ответ на
семинаре
собеседование
№ темы
коллоквиумы
Устный опрос
Итого количество
баллов
Таблица 9.
Модуль 1
Тема 1.1.
0-5
0-15
0-20
Всего
0-5
0-15
0-20
Модуль 2
Тема 2.1.
0-4
0-10
0-16
Тема 2.2.
0-4
0-10
0-16
Тема 2.3.
Всего
0-8
0-10
0-2
0-8
0-30
0-2
0-40
0-5
0-15
Модуль 3
Тема 3.1.
0-5
0-5
Тема 3.2.
0-5
0-10
0-15
0-10
0-10
Тема 3.3.
Всего
0-10
0-25
0-5
0-40
Итого
0-23
0-70
0-7
0-100
4 СЕМЕСТР
реферат
контрольная
работа
Письменные работы
ответ на
семинаре
собеседование
№ темы
коллоквиумы
Устный опрос
Итого количество
баллов
Таблица 10.
Модуль 1
Тема 1.1.
0-5
0-5
Тема 1.2.
0-25
Всего
0-5
0-25
0-10
0-25
0-5
0-35
Модуль 2
Тема 2.1.
0-20
0-20
Тема 2.2.
0-10
0-10
Тема 2.3.
0-5
Всего
0-5
0-5
0-30
0-35
Модуль 3
Тема 3.1.
0-7
0-3
0-10
Тема 3.2.
0-5
0-5
0-10
Тема 3.3.
0-5
0-5
Всего
0-5
0-17
0-8
0-30
0-10
0-72
0-13
0-100
Итого
0-5
0-10
5. Содержание дисциплины
1 СЕМЕСТР
Модуль 1
Тема 1.1. Элементы теории множеств
Множества и действия над ними. Функции. Свойства образов и прообразов. Аксиомы
Пеано натуральных чисел. Аксиома математической индукции. Свойства натуральных
чисел. Конечные множества. Основная теорема о конечных множествах. Бесконечность
множества натуральных чисел. Сравнение множеств по мощности. Теорема КантораБернштейна. Счётные множества. Множество подмножеств и теорема Кантора.
Тема 1.2. Действительные числа
Аксиомы действительных чисел. Классификация вещественных чисел. Модуль
вещественного числа. Основное модульное неравенство. Геометрическая интерпретация
вещественных чисел. Числовые промежутки. Предельные точки, открытые и замкнутые
множества. Расширенная числовая прямая. Грани числовых множеств. Теорема о точной
верхней грани. Принцип Архимеда. Теорема о плотности рациональных и
иррациональных чисел. Мощность множества действительных чисел. Лемма ГейнеБореля-Лебега о покрытиях. Построение системы действительных чисел при помощи
сечений Дедекинда.
Тема 1.3. Числовые функции
Числовые функции и способы их задания. Монотонные, чётные, нечётные, периодические
функции. Основные элементарные функции и их графики. Степень с вещественным
показателем.
Модуль 2
Тема 2.1. Предел числовой последовательности
Понятие числовой последовательности. Аналитическое и геометрическое описание
предела числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
Теорема о пределе монотонной последовательности. Число е. Теорема Штольца.
Подпоследовательности и частичные пределы. Верхний и нижний пределы
последовательности. Теорема о промежуточной последовательности. Принцип Кантора о
вложенных
отрезках.
Принцип
Больцано-Вейерштрасса
о
сходящейся
подпоследовательности. Фундаментальные последовательности и критерий Коши.
Замечательные пределы. Эквивалентные последовательности и их применение при
вычислении пределов. Таблица эквивалентных последовательностей.
Тема 2.2. Предел числовой функции
Определения предела числовой функции по Гейне и по Коши. Эквивалентность двух
определений. Свойства функций, имеющих предел. Критерий Коши существования
предела функции. Предел по множеству. Односторонние пределы. Предел монотонной
функции. Бесконечные пределы функции. Частичные пределы, верхний и нижний
пределы функции. Замечательные пределы. Сравнение роста функций. Символы
Э. Ландау «О» и «о». Примеры сравнения роста функций. Эквивалентные функции.
Тема 2.3. Непрерывные функции
Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Непрерывность
функции на промежутке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность
сложной функции. Непрерывность обратной функции. Непрерывность элементарных
функций. Точки разрыва и их классификация. Теоремы о функциях, непрерывных на
отрезке: теоремы Вейерштрасса, теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях,
теорема Кантора о равномерной непрерывности.
Модуль 3
Тема 3.1. Производные и дифференциалы
Производная функции, её геометрический и физический смысл. Дифференцируемость
функции. Сравнение понятий производной и дифференцируемости. Дифференциал
функции и его геометрический смысл. Сравнение понятий непрерывности и
дифференцируемости.
Критерий
дифференцируемости.
Дифференцирование
арифметических операций. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование
сложной функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Производные
элементарных функций. Высшие производные. Высшие дифференциалы. Формула
Лейбница.
Тема 3.2. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Теорема Дарбу о промежуточных значениях
производной.
Тема 3.3. Правила Лопиталя
Первое правило Лопиталя (неопределённость вида
(неопределённость вида
0
). Второе правило Лопиталя
0

). Неопределенности других видов.

Тема 3.4. Формула Тейлора
Многочлен Тейлора. Общий вид формулы Тейлора. Формула Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано. Единственность представления функции многочленом. Формула
Тейлора с остаточным членом в формах Шлёмильха-Роша, Лагранжа, Коши. Формула
Тейлора в дифференциалах. Разложения основных элементарных функций по формуле
Тейлора.
Тема 3.5. Приложения дифференциального исчисления к исследованию функций.
Критерий постоянства функции. Условие строгой монотонности функции. Локальные
экстремумы. Необходимое условие локального экстремума. Достаточные условия
локального экстремума в терминах первой, второй, n -той производной. Выпуклые
функции. Достаточное условие строгой выпуклости в терминах первой и второй
производной. Расположение графика выпуклой функции относительно касательной.
Неравенство Йенсена. Неравенства Гёльдера, Коши-Буняковского, Минковского. Точки
перегиба. Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба. Расположение
графика функции относительно касательной в точке перегиба. Асимптоты функции.
2 СЕМЕСТР
Модуль 1
Тема 1.1. Неопределённый интеграл
Первообразная. Строение множества первообразных. Начальные условия Коши.
Неопределенный интеграл. Табличные интегралы. Свойства неопределённого интеграла.
Замена переменной и интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
Интегрирование
рациональных
функций.
Интегрирование
дробно-линейных
иррациональностей. Дифференциальный бином. Интегрирование квадратичных
иррациональностей. Подстановки Эйлера. Интегрирование тригонометрических
выражений.
Универсальная
тригонометрическая
подстановка.
Интегрирование
трансцендентных функций.
Модуль 2
Тема 2.1. Определённый интеграл
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определение интеграла Римана.
Интеграл Римана, как предел по базе. Интеграл Римана на языке последовательностей.
Ограниченность интегрируемой функции. Неинтегрируемость по Риману функции
Дирихле. Интегральные суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости Римана.
Критерий интегрируемости в терминах колебаний функции. Интегрируемость
непрерывной функции и функции, имеющей конечное число точек разрыва.
Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость сложной функции.
Арифметические операции с интегрируемыми функциями. Верхний и нижний интегралы
Дарбу. Интегралы Дарбу как пределы сумм Дарбу. Критерий интегрируемости функции в
терминах равенства её интегралов Дарбу. Основные свойства определённого интеграла:
интеграл от единицы, монотонность, линейность, аддитивность. Неравенства для
интегралов. Первая теорема о среднем значении. Интеграл с переменным верхним
пределом. Непрерывность интеграла по верхнему пределу. Дифференцирование интеграла
по верхнему пределу. Вторая теорема о среднем значении. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. Формула
Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Интегральные неравенства
Гёльдера, Коши-Буняковского и Минковского.
Тема 2.2. Несобственные интегралы
Определение несобственного интеграла с одной особой точкой. Формула Ньютона
b
dx
dx
Лейбница для несобственных интегралов. Сходимость интегралов 
и
.



(
b

x
)
x
a
1
Признаки сравнения для несобственных интегралов от неотрицательных функций.
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная сходимость
интеграла. Признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственного интеграла.
Тема 2.3. Приложения определенного интеграла.
Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Кривые в
многомерном пространстве. Длина дуги, площадь плоской фигуры. Площадь
поверхности. Центр тяжести. Статические моменты. Вычисление работы.
Модуль 3
Тема 3.1. Производные и дифференциалы функций многих переменных
Частные производные. Геометрический смысл частных производных. Частные
производные
и
непрерывность.
Дифференцируемость
функции.
Критерий
дифференцируемости. Сравнение понятий частных производных и дифференцируемости.
Сравнение понятий дифференцируемости и непрерывности. Касательная плоскость и
геометрический смысл дифференцируемости. Дифференциал. Геометрический смысл
дифференциала. Правило дифференцирования сложной функции. Инвариантность формы
записи первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Частные
производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
Непрерывно дифференцируемые функции. Дифференциалы высших порядков. Условие
инвариантности высших дифференциалов относительно замены переменных. Формула
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано. Формула конечных
приращений.
Тема 3.2. Локальные экстремумы функций многих переменных
Понятие локального экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие
локального экстремума.
Тема 3.3. Неявные функции
Понятие неявной функции. Теорема о неявной функции. Система неявных функций.
Якобиан системы функций. Теорема о системе неявных функций. Правила вычисления
производных и дифференциалов неявных функций. Геометрические приложения теории
неявных функций.
Тема 3.4. Условный экстремум
Понятие условного экстремума. Необходимое условие условного экстремума. Метод
неопределённых множителей Лагранжа. Достаточное условие условного экстремума в
методе Лагранжа.
3 СЕМЕСТР
Модуль 1
Тема 1.1. Числовые ряды
Понятие числового ряда. Сходящиеся ряды, сумма ряда. Критерий Коши сходимости ряда.
Свойства сходящихся рядов. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами.
Интегральный признак Коши-Маклорена. Ряд Римана. Признаки сравнения. Признак
Коши. Признак Даламбера. Признак Куммера. Признак Раабе. Признак Ермакова. Признак
Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница. Преобразование Абеля конечных сумм.
Признаки Абеля и Дирихле. Абсолютно сходящиеся ряды. Перестановка членов в
абсолютно сходящихся рядах. Перестановка членов в условно сходящихся рядах (теорема
Римана).
Модуль 2
Тема 2.1. Функциональные последовательности и ряды
Последовательности функций. Поточечная сходимость. Равномерная сходимость.
Метрический критерий равномерной сходимости. Признак Дини равномерной
сходимости. Критерий Коши равномерной сходимости. Непрерывность равномерного
предела непрерывных функций. Предельный переход под знаком интеграла. Предельный
переход под знаком производной. Ряды функций. Поточечная и равномерная сходимость
функционального ряда. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Признаки
Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости ряда. Непрерывность суммы
функционального ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.
Тема 2.2. Степенные ряды
Понятие степенного ряда. Первая теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости
степенного ряда. Формула Коши-Адамара. Непрерывность суммы степенного ряда.
Вторая теорема Абеля. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Действия
со степенными рядами. Понятие аналитической функции. Аналитичность суммы
степенного ряда. Единственность представления функции в виде степенного ряда. Пример
бесконечно дифференцируемой, но не аналитической функции. Ряд Тейлора. Принцип
единственности для аналитических функций. Пять основных разложений в степенные
ряды.
Тема 2.3. Ряды Фурье
Ряды Фурье. Фурье по тригонометрической системе функций. Принцип локализации.
Основная теорема о сходимости ряда Фурье в точке (условие Дини). Признак Липшица.
Суммирование рядов Фурье методом Чезаро-Фейера. Равномерная аппроксимация в
среднем непрерывных функций. Теоремы Вейерштрасса. Минимальное свойство
коэффициентов Фурье. Полнота и замкнутость тригонометрической системы функций.
Связь между степенью гладкости функции и скоростью сходимости ее
тригонометрического ряда Фурье. Дифференцирование, интегрирование рядов Фурье.
Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье. Ортогональные системы
функций. Ряды Фурье по ортогональным системам.
Модуль 3
Тема 3.1. Интегралы, зависящие от параметров
Семейства функций, зависящих от параметров. Собственные интегралы, зависящие от
параметров, с постоянными пределами интегрирования. Предельный переход по
параметрам под знаком интеграла. Непрерывность интеграла по параметрам.
Дифференцирование интеграла по параметрам (формула Лейбница). Интегрирование по
параметрам. Собственные интегралы, зависящие от параметров, с переменными
пределами интегрирования. Несобственные интегралы, зависящие от параметров.
Тема 3.2. Эйлеровы интегралы
Гамма-функция. Бета-функция. Множество сходимости и равномерной сходимости
эйлеровых интегралов. Формула понижения для гамма-функции. Разложение гаммафункции в бесконечное произведение. Формула дополнения для гамма-функции. Формула
удвоения Лежандра. Формула умножения Гаусса. Связь между эйлеровыми интегралами.
Тема 3.3. Преобразование Фурье
Понятие интеграла Фурье. Интегральная формула Фурье. Главное значение
несобственного интеграла. Комплексная запись интеграла Фурье. Преобразование Фурье
и обратное преобразование Фурье. Свойства преобразования Фурье. Преобразование
Фурье производной. Связь между гладкостью функции и скоростью убывания её
преобразования Фурье. Производная преобразования Фурье. Преобразование Фурье
бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций. Формула Планшереля.
Преобразование Фурье свёртки функций.
4 СЕМЕСТР
Модуль 1
Тема 1.1. Мера Жордана
Внутренняя и внешняя меры Жордана в R n , их свойства. Критерий измеримости
множества по Жордану. Свойства измеримых множеств. Основные свойства меры
Жордана. Мера прямого произведения множеств. Важнейшие примеры измеримых
множеств.
Тема 1.2. Кратный интеграл Римана
Конечно-аддитивные разбиения множества. Интегральные суммы и интеграл Римана.
Интегральные суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости Римана. Верхний и
нижний интегралы Дарбу. Интегралы Дарбу как пределы сумм Дарбу. Критерий
интегрируемости функции в терминах равенства её интегралов Дарбу. Классы
интегрируемых функций. Свойства кратного интеграла. Интегральная теорема о среднем.
Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле.
Модуль 2
Тема 2.1. Криволинейные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода, их физический смысл, вычислительная формула.
Свойства криволинейных интегралов первого рода. Криволинейные интегралы второго
рода, их физический смысл, вычислительная формула. Свойства криволинейных
интегралов второго рода.
Тема 2.2. Формула Грина
Ориентация границы плоской области. Формула Грина. Различные формы записи
формулы Грина. Вычисление площадей при помощи криволинейных интегралов.
Дифференциальный критерий потенциальности плоского векторного поля в односвязной
области.
Тема 2.3. Элементы теории поля
Скалярные поля. Градиент. Оператор Гамильтона. Векторные поля. Дивергенция. Поток
векторного поля. Циркуляция. Соленоидальное и потенциальное векторные поля.
Модуль 3
Тема 3.1. Поверхностные интегралы
Поверхностные интегралы первого рода, их физический смысл, вычислительная формула.
Свойства поверхностных интегралов первого рода. Поверхностные интегралы второго
рода, их физический смысл, вычислительные формулы. Свойства поверхностных
интегралов второго рода.
Тема 3.2. Формула Стокса
Формула Стокса. Векторная трактовка формулы Стокса. Геометрическое определение
ротора векторного поля. Дифференциальный критерий потенциальности векторного поля
в односвязной области.
Тема 3.3. Формула Гаусса-Остроградского
Формула Гаусса-Остроградского. Векторная трактовка формулы Гаусса-Остроградского.
Геометрическое определение дивергенции векторного поля. Вычисление объемов при
помощи поверхностных интегралов.
6. Планы семинарских занятий
1 СЕМЕСТР
Модуль 1
Тема 1.1. Элементы теории множеств
Множества и действия над ними. Функции. Свойства образов и прообразов. Аксиома
математической индукции. Свойства натуральных чисел. Конечные множества.
Бесконечность множества натуральных чисел. Сравнение множеств по мощности.
Счётные множества. Множество подмножеств и теорема Кантора.
Тема 1.2. Действительные числа
Аксиомы действительных чисел. Классификация вещественных чисел. Модуль
вещественного числа. Основное модульное неравенство. Геометрическая интерпретация
вещественных чисел. Числовые промежутки. Предельные точки, открытые и замкнутые
множества. Расширенная числовая прямая. Грани числовых множеств. Теорема о точной
верхней грани. Принцип Архимеда.
Тема 1.3. Числовые функции
Числовые функции и способы их задания. Монотонные, чётные, нечётные, периодические
функции. Основные элементарные функции и их графики. Степень с вещественным
показателем.
Модуль 2
Тема 2.1. Предел числовой последовательности
Вычисление предела числовой последовательности. Аналитическое и геометрическое
описание
предела
числовой
последовательности.
Свойства
сходящихся
последовательностей. Число е. Подпоследовательности и частичные пределы. Верхний и
нижний пределы последовательности. Фундаментальные последовательности и критерий
Коши. Замечательные пределы. Эквивалентные последовательности и их применение при
вычислении пределов. Таблица эквивалентных последовательностей.
Тема 2.2. Предел числовой функции
Вычисление предела числовой функции по Гейне и по Коши. Эквивалентность двух
определений. Свойства функций, имеющих предел. Односторонние пределы. Предел
монотонной функции. Бесконечные пределы функции. Частичные пределы, верхний и
нижний пределы функции. Замечательные пределы. Сравнение роста функций. Символы
Э. Ландау «О» и «о». Примеры сравнения роста функций. Эквивалентные функции.
Тема 2.3. Непрерывные функции
Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Непрерывность
функции на промежутке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность
сложной функции. Непрерывность обратной функции. Непрерывность элементарных
функций. Точки разрыва и их классификация.
Модуль 3
Тема 3.1. Производные и дифференциалы
Производная функции, её геометрический и физический смысл. Дифференцируемость
функции. Сравнение понятий производной и дифференцируемости. Дифференциал
функции и его геометрический смысл. Сравнение понятий непрерывности и
дифференцируемости.
Критерий
дифференцируемости.
Дифференцирование
арифметических операций. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование
сложной функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Производные
элементарных функций. Высшие производные. Высшие дифференциалы. Формула
Лейбница.
Тема 3.2. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Теорема Дарбу о промежуточных значениях
производной.
Тема 3.3. Правила Лопиталя
Первое правило Лопиталя (неопределённость вида
(неопределённость вида
0
). Второе правило Лопиталя
0

). Неопределенности других видов.

Тема 3.4. Формула Тейлора
Многочлен Тейлора. Общий вид формулы Тейлора. Формула Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано. Единственность представления функции многочленом. Формула
Тейлора с остаточным членом в формах Шлёмильха-Роша, Лагранжа, Коши. Формула
Тейлора в дифференциалах. Разложения основных элементарных функций по формуле
Тейлора.
Тема 3.5. Приложения дифференциального исчисления к исследованию функций.
Условие строгой монотонности функции. Локальные экстремумы. Необходимое условие
локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума в терминах первой,
второй, n -той производной. Выпуклые функции. Достаточное условие строгой
выпуклости в терминах первой и второй производной. Расположение графика выпуклой
функции относительно касательной. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба.
Достаточное условие перегиба. Расположение графика функции относительно
касательной в точке перегиба. Асимптоты функции.
2 СЕМЕСТР
Модуль 1
Тема 1.1. Неопределённый интеграл
Первообразная. Строение множества первообразных. Неопределенный интеграл.
Табличные интегралы. Свойства неопределённого интеграла. Замена переменной и
интегрирование по частям в неопределённом интеграле. Интегрирование рациональных
функций. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. Дифференциальный
бином. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера.
Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая
подстановка. Интегрирование трансцендентных функций.
Модуль 2
Тема 2.1. Определённый интеграл
Вычисление определенного интеграла Римана. Верхний и нижний интегралы Дарбу.
Интегралы Дарбу как пределы сумм Дарбу. Критерий интегрируемости функции в
терминах равенства её интегралов Дарбу. Основные свойства определённого интеграла:
интеграл от единицы, монотонность, линейность, аддитивность. Неравенства для
интегралов. Первая теорема о среднем значении. Интеграл с переменным верхним
пределом. Непрерывность интеграла по верхнему пределу. Дифференцирование интеграла
по верхнему пределу. Вторая теорема о среднем значении. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
Тема 2.2. Несобственные интегралы
Определение несобственного интеграла с одной особой точкой. Формула Ньютона
b
dx
dx
Лейбница для несобственных интегралов. Сходимость интегралов 
и
.


(b  x )
x
a
1
Признаки сравнения для несобственных интегралов от неотрицательных функций.
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная сходимость
интеграла. Признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственного интеграла.
Тема 2.3. Приложения определенного интеграла.
Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Кривые в
многомерном пространстве. Длина дуги, площадь плоской фигуры. Площадь
поверхности. Центр тяжести. Статические моменты. Вычисление работы.
Модуль 3
Тема 3.1. Производные и дифференциалы функций многих переменных
Частные производные. Геометрический смысл частных производных. Частные
производные и непрерывность. Дифференцируемость функции. Касательная плоскость и
геометрический смысл дифференцируемости. Дифференциал. Геометрический смысл
дифференциала. Правило дифференцирования сложной функции. Инвариантность формы
записи первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Частные
производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
Непрерывно дифференцируемые функции. Дифференциалы высших порядков.
Тема 3.2. Локальные экстремумы функций многих переменных
Нахождение локального экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточное
условие локального экстремума.
Тема 3.3. Неявные функции
Понятие неявной функции. Правила вычисления производных и дифференциалов неявных
функций. Геометрические приложения теории неявных функций.
Тема 3.4. Условный экстремум
Нахождение условного экстремума. Необходимое условие условного экстремума. Метод
неопределённых множителей Лагранжа. Достаточное условие условного экстремума в
методе Лагранжа.
3 СЕМЕСТР
Модуль 1
Тема 1.1. Числовые ряды
Понятие числового ряда. Сходящиеся ряды, сумма ряда. Свойства сходящихся рядов.
Интегральный признак Коши-Маклорена. Ряд Римана. Признаки сравнения. Признак
Коши. Признак Даламбера, Признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница.
Преобразование Абеля конечных сумм. Признаки Абеля и Дирихле. Абсолютно
сходящиеся ряды. Перестановка членов в абсолютно сходящихся рядах. Перестановка
членов в условно сходящихся рядах (теорема Римана).
Модуль 2
Тема 2.1. Функциональные последовательности и ряды
Последовательности функций. Поточечная сходимость. Равномерная сходимость.
Предельный переход под знаком интеграла. Предельный переход под знаком
производной. Ряды функций. Поточечная и равномерная сходимость функционального
ряда. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и
Дирихле равномерной сходимости ряда. Непрерывность суммы функционального ряда.
Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.
Тема 2.2. Степенные ряды
Нахождение радиуса и интервала сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара.
Непрерывность суммы степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование
степенных рядов. Действия со степенными рядами. Ряд Тейлора. Пять основных
разложений в степенные ряды.
Тема 2.3. Ряды Фурье
Ряды Фурье. Фурье по тригонометрической системе функций. Принцип локализации.
Основная теорема о сходимости ряда Фурье в точке (условие Дини). Признак Липшица.
Минимальное
свойство
коэффициентов
Фурье.
Полнота
и
замкнутость
тригонометрической системы функций. Связь между степенью гладкости функции и
скоростью сходимости ее тригонометрического ряда Фурье. Дифференцирование,
интегрирование рядов Фурье. Комплексная форма записи тригонометрического ряда
Фурье. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам.
Модуль 3
Тема 3.1. Интегралы, зависящие от параметров
Семейства функций, зависящих от параметров. Собственные интегралы, зависящие от
параметров, с постоянными пределами интегрирования. Предельный переход по
параметрам под знаком интеграла. Непрерывность интеграла по параметрам.
Дифференцирование интеграла по параметрам (формула Лейбница). Интегрирование по
параметрам. Собственные интегралы, зависящие от параметров, с переменными
пределами интегрирования. Несобственные интегралы, зависящие от параметров.
Тема 3.2. Эйлеровы интегралы
Гамма-функция. Бета-функция. Формула понижения для гамма-функции. Разложение
гамма-функции в бесконечное произведение. Формула дополнения для гамма-функции.
Формула удвоения Лежандра. Формула умножения Гаусса. Связь между эйлеровыми
интегралами.
Тема 3.3. Преобразование Фурье
Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье. Свойства преобразования
Фурье. Преобразование Фурье производной. Связь между гладкостью функции и
скоростью убывания её преобразования Фурье. Производная преобразования Фурье.
Преобразование Фурье свёртки функций.
4 СЕМЕСТР
Модуль 1
Тема 1.1. Мера Жордана
Внутренняя и внешняя меры Жордана в R n , их свойства. Критерий измеримости
множества по Жордану. Свойства измеримых множеств. Основные свойства меры
Жордана. Мера прямого произведения множеств. Важнейшие примеры измеримых
множеств.
Тема 1.2. Кратный интеграл Римана
Интегральная теорема о среднем. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена
переменных в кратном интеграле.
Модуль 2
Тема 2.1. Криволинейные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода, их физический смысл, вычислительная формула.
Свойства криволинейных интегралов первого рода. Криволинейные интегралы второго
рода, их физический смысл, вычислительная формула. Свойства криволинейных
интегралов второго рода.
Тема 2.2. Формула Грина
Ориентация границы плоской области. Формула Грина. Различные формы записи
формулы Грина. Вычисление площадей при помощи криволинейных интегралов.
Тема 2.3. Элементы теории поля
Скалярные поля. Градиент. Оператор Гамильтона. Векторные поля. Дивергенция. Поток
векторного поля. Циркуляция. Соленоидальное и потенциальное векторные поля.
Модуль 3
Тема 3.1. Поверхностные интегралы
Поверхностные интегралы первого рода, их физический смысл, вычислительная формула.
Свойства поверхностных интегралов первого рода. Поверхностные интегралы второго
рода, их физический смысл, вычислительные формулы. Свойства поверхностных
интегралов второго рода.
Тема 3.2. Формула Стокса
Формула Стокса. Векторная трактовка формулы Стокса. Геометрическое определение
ротора векторного поля. Дифференциальный критерий потенциальности векторного поля
в односвязной области.
Тема 3.3. Формула Гаусса-Остроградского
Формула Гаусса-Остроградского. Векторная трактовка формулы Гаусса-Остроградского.
Геометрическое определение дивергенции векторного поля. Вычисление объемов при
помощи поверхностных интегралов.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ОП.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
1 СЕМЕСТР
Таблица 11.
обязательные
1.1.
Модуль 1
Элементы теории
множеств
1.2.
Действительные числа
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
1.3.
Числовые функции
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к контрольной
работе.
2.1.
Всего
Модуль 2
Предел числовой
последовательности
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к собеседованию
и коллоквиуму.
дополни
тельные
Подгото
вка
сообщен
ия на
семинар
Написан
ие и
защита
реферат
а
Количество
баллов
Модули и темы
Объем часов
№
Неделя
семестр
Виды СРС
1-2
10
0-6
3-4
10
0-7
5
10
0-7
30
0-20
10
0-10
6-7
2.2.
Предел числовой
функции
2.3.
Непрерывные функции
3.1.
Всего
Модуль 3
Производные и
дифференциалы
3.2.
Основные теоремы о
дифференцируемых
функциях
3.3.
Правила Лопиталя
3.4.
Формула Тейлора
3.5.
Приложения дифф.
исчисления к
исследованию функций
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к коллоквиуму.
Выполнение. дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к контрольной
работе.
Написан
ие и
защита
реферат
а
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к устному
опросу.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к устному
опросу.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к собеседованию
и устному опросу.
Подготовка к контрольной
работе.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка контрольной
работе.
8-9
10
0-13
9-10
10
0-12
30
0-35
11-12
10
0-10
13
10
0-10
14
5
0-5
14-15
10
0-10
15-18
15,35
0-10
50,35
4,65
115
0-45
Всего
Иные виды работ
Итого
0-100
2 СЕМЕСТР
Таблица 12.
2.1.
Модуль 1
Неопределённый
интеграл
Всего
Модуль 2
Определённый интеграл
обязательные
дополнитель
ные
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к
собеседованию и устному
опросу.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к коллоквиуму.
Подготовка
сообщения
на семинар
Количество
баллов
1.1.
Модули и темы
Объем часов
№
Неделя
семестр
Виды СРС
1-5
30
0-20
30
0-20
12
0-10
6-9
2.2.
Несобственные
интегралы
2.3.
Приложения
определенного
интеграла
Всего
Модуль 3
Производные и
дифференциалы
функций многих
переменных
3.1.
3.3.
Локальные экстремумы
функций многих
переменных
Неявные функции
3.4.
Условный экстремум
3.2.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к контрольной
работе.
Работа с литературой.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к
собеседованию и устному
опросу.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Написание и
защита
реферата
Подготовка
презентации
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к контрольной
работе.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к контрольной
работе.
10
12
0-5
11-12
12
0-10
36
0-25
13-14
6,45
0-20
15
10
0-15
16
8
0-10
17
10
0-10
34,45
4,55
105
0-55
Всего
Иные виды работ
Итого
0-100
3 СЕМЕСТР
Таблица 13.
Модуль 1
Числовые ряды
2.1.
Всего
Модуль 2
Функциональные
последовательности и
ряды
2.2.
Степенные ряды
обязательные
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к
собеседованию и устному
опросу.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к
собеседованию и устному
опросу.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к
дополнитель
ные
Написание и
защита
реферата
Подготовка
сообщения
на семинар
Количество
баллов
1.1.
Модули и темы
Объем часов
№
Неделя
семестр
Виды СРС
1-5
20
0-20
20
0-20
6-9
6
0-16
10-11
6
0-16
2.3.
3.1.
Ряды Фурье
Всего
Модуль 3
Интегралы, зависящие
от параметров
3.2.
Эйлеровы интегралы
3.3.
Преобразование Фурье
собеседованию и устному
опросу.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к
собеседованию и устному
опросу.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к
собеседованию и устному
опросу.
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к
собеседованию и устному
опросу.
Написание и
защита
реферата.
12-14
6
0-8
18
0-40
15
6
0-15
16
9
0-15
17-18
7,4
0-10
22,4
2,6
63
0-40
Написание и
защита
реферата
Написание и
защита
реферата
Всего
Иные виды работ
Итого
0-100
4 СЕМЕСТР
Таблица 14.
дополните
льные
Количество
баллов
обязательные
1
8
0-10
2-5
9
0-25
17
0-35
10
0-20
семестр
Модули и темы
Неделя
№
Объем часов
Виды СРС
Модуль 1
1.1.
Мера Жордана
Работа с литературой.
1.2.
Кратный интеграл
Римана
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к собеседованию
и к контрольной работе.
Написание
и защита
реферата
Всего
Модуль 2
2.1.
Криволинейные
интегралы
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к собеседованию
6-8
и устному опросу.
2.2.
Формула Грина
Выполнение дом заданий.
Подготовка к контрольной
работе.
9
5
0-10
2.3.
Элементы теории поля
Выполнение дом заданий.
Подготовка к контрольной
работе.
10-11
10
0-5
25
0-35
Всего
Модуль 3
3.1.
Поверхностные
интегралы
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к собеседованию
и устному опросу.
12-14
10
0-10
3.2.
Формула Стокса
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к собеседованию.
14-15
5
0-10
3.3.
Формула ГауссаОстроградского
Выполнение дом. заданий.
Работа с литературой.
Подготовка к собеседованию
и контрольной работе.
16-17
5,45
0-10
Всего
20,45
0-30
Иные виды работ
4,55
Итого
67
0-100
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и
практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических занятиях,
развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на
самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа реализуется
в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического
материала, предусмотренного учебным планом ОП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к
лекционным и практическим занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и
контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и
литературу, предложенную в соответствующем разделе данной рабочей программы. В нем
расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые
интернет-ресурсы.
При подготовке к контрольным работам и коллоквиумам рекомендуется
использовать учебно-методические комплексы из списка дополнительной литературы. В
этих комплексах содержится подробное описание контрольных работ, коллоквиумов,
приводится решение образца варианта контрольной работы по каждому модулю, а также
варианты для самостоятельного решения. Указанная литература имеется в библиотеке
ТюмГУ, а также на кафедре математического анализа и теории функций Института
математики и компьютерных наук.
Примерная тематика реферативных работ
Реферат - это самостоятельная научно-исследовательская работа студента, где автор
раскрывает суть исследуемой проблемы; приводит различные точки зрения, а также
собственные взгляды на нее. Содержание материала должно быть логичным, изложение
материала носит проблемно-поисковый характер. Следует отметить, что самостоятельный
выбор студентом темы реферата или направления исследования только приветствуется.
Прежде чем выбрать тему реферата, автору необходимо выяснить свой интерес,
определить, над какой проблемой он хотел бы поработать, более глубоко ее изучить и
получить консультацию преподавателя.
1 семестр
1.
2.
3.
4.
5.
Основные понятия математического анализа в трудах Л.Эйлера.
Концепция предела у Ж. Даламбера, Л.Карно, С.Люилье, С.Гурьева
Обоснование математического анализа в работах О.Коши.
М.В.Остроградский и его работы в области математического анализа.
Проблемы обоснования математического анализа в трудах Б.Больцано и
К.Вейерштрасса.
2 семестр
1.Вычисление интегралов методом Монте-Карло.
2. Метод Симпсона вычисления интегралов.
3. Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры.
4. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников.
4 семестр
1.Вычисление двойных интегралов методом ячеек
2.Вычисление потока и циркуляции векторного поля.
3.Интегралы по параметру.
4.Диалектика развития понятия функции.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
+ + + +
ОК-1
+ + +
+ + + +
ОК-6
+ + +
ОПК-2
+ + +
ПК-1
* отмечены дисциплины базового цикла
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Геометрия*
Математический анализ*
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Теория чисел
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Теоретико-множественная
топология
3 семестр
Внеклассная работа по математике
в школе
Дополнительные главы алгебры
Социальная педагогика*
Возрастная психология*
Элементарная математика*
+
Математический анализ*
+
Дифференциальные уравнения*
+
Иностранный язык в профессиональной
сфере*
Алгебра*
+
Основы дидактики*
2 семестр
Естественнонаучная картина мира*
Иностранный язык в профессиональной
сфере*
Иностранный язык*
Практикум по воспитательной работе
классного руководителя
Педагогическая режиссура
Избранные вопросы дифференциального
и интегрального исчисления
Конструктивная геометрия и методы
изображения
1 семестр
Действительные числа
Геометрическое построение на плоскос
ти и в пространстве
+
Математический анализ*
+
Геометрия*
компетенции
Алгебра*
Основы воспитания*
Иностранный язык в профессиональной
сфере*
Иностранный язык*
Математический анализ*
Геометрия*
Алгебра *
Общие основы педагогики*
Иностранный язык в профессиональной
сфере*
Иностранный язык*
Культура речи*
Выдержка из МАТРИЦЫ соответствия компетенции и составных частей ООП
Б.1-Б.3 Дисциплины
4 семестр
+
+
компетенц
ии
ОК-1
ОК-6
ОПК-2
ПК-1
Теория вероятностей и математическая
статистика*
Философия*
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+ +
+
+
Компетенции
ОК-1
ОК-6
ОПК-2
ПК-1
* отмечены дисциплины базового цикла
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
7 семестр
+
+
+
+
+
+
История развития
математических понятий
Преподавание математики в
профильных классах
Проектирование и реализация
элективных курсов по математике
Доп.главы теории и методики
обучения математики
Методика подготовки к государственной аттестации по математике
История математики
Практикум по решению
математических задач*
Числовые системы*
Функциональный анализ
+
Избранные вопросы ТФДП
Теория экстремальных и
оптимизационных задач
Методология и методы психологопедагогических исследований
Практикум по решению
математических задач*
Основы вариационного исчисления
Дискретная математика*
Методы обучения и воспитания*
Методика обучения учащихся
стереометрии посредством решения
задач
Обучение учащихся доказательству
теорем
Экономика образования*
6 семестр
Педагогическая инноватика
+
Дополнительные главы ТВиМС
5 семестр
Практикум по решению
математических задач*
Теория функций комплексного
переменного*
Элементарная математика*
Основы математической обработки
Информации*
Методы обучения и воспитания*
Неевклидовы геометрии
Физика
Математическая логика и теория
автоматов*
Теория функций действительного
переменного*
Элементарная математика*
Теоретическая механика
+
Основания геометрии
+
Педагогическая психология*
Методы обучения и воспитания*
Циклы,
дисципли
ны
(модули)
учебного
плана ОП
Б.1-Б.3 Дисциплины
8 семестр
+
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ОП
Б.5
Б.6
Педагогическая практика
Учебная практика
Выпускная квалификационная
работа
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал
оценивания:
код
Таблица 15.
Формулировка
компетенции
Результат
обучения
в целом
ОК-1
Знает: основные
понятия,
определения, типы
задач; утверждения,
теоремы и методы их
доказательств;
приложения в
разнообразных
областях.
Владеет культурой
мышления, способен
к обобщению,
анализу, восприятию
информации,
Умеет: пользоваться
постановке цели и
аппаратом
выбору путей ее
математического
достижения
анализа в областях
математического
знания и
дисциплинах
естественнонаучного
содержания.
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
повышенный
базовый (хор.)
(удовл.)
(отл.)
76-90 баллов
61-75 баллов
91-100 баллов
основные понятия,
определения,
свойства
объектов
математического
анализа;
формулировки
основных
утверждений.
определять
задачи
для
достижения
поставленной цели,
определять
тип
каждой поставленной
задачи, ее основные
характеристики;
решать
основные
задачи
математического
анализа.
отличительные
особенности
различных
типов
задач,
рассматриваемых
в
курсе
изучения
математического
анализа;
методы
доказательств
утверждений и теорем.
доказывать основные
утверждения, теоремы;
решать
задачи
прикладного
характера;
использовать
теоретический
и
практический
материал,
необходимый
для
представления задачи
в терминах и понятиях
изучаемой
дисциплины.
связи и приложения
математического
анализа
в
других
областях
математического
знания и дисциплинах
естественнонаучного
содержания.
глубоко вникать в
содержательную
сущность
поставленной задачи;
адекватно применять
аппарат
математического
анализа
в
разнообразных
областях
математического
знания и дисциплинах
естественнонаучного
содержания.
Виды
занятий
Оценочные
средства
Аудиторные
контрольные
работы,
Лекции,
выполнение
практичес индивидуаль
кие
ных
занятия
заданий,
собеседован
ия,
коллоквиум
Аудиторные
контрольные
работы,
Лекции,
выполнение
практичес индивидуаль
кие
ных
занятия
заданий,
собеседован
ия,
коллоквиум
Владеет:
ОК -6
математическим
инструментарием
достижения
поставленных целей.
Способен логически
верно выстраивать
устную и
письменную речь
Знает: способы и
приемы логически
верно выстраивать
письменную и
устную речь.
необходимым
инструментарием и
знаниями,
чтобы
понять поставленную
задачу и выбрать
способы ее решения;
в соответствии с
поставленной целью
определить пути ее
достижения.
математическим
инструментарием
в
соответствии
со
спецификой
анализируемого класса
реальных
задач,
необходимых
для
достижения
поставленной
цели;
методами анализа и
моделирования
реальных
исходных
данных.
способы и приемы способы и приемы
логически
верно логически
верно
выстраивать
выстраивать
письменную
и письменную и устную
устную в рамках речь
в
изучаемой
профессиональной
дисциплины.
сфере в стандартной
ситуации.
математическим
инструментарием
в
соответствии
со
спецификой
анализируемого класса
реальных
задач,
необходимых
для
достижения
поставленной
цели;
методами анализа и
моделирования
реальных
исходных
данных;
методами
преобразования
разнообразных форм
исходных данных с
целью их удобного
представления
для
дальнейшего анализа и
моделирования и, как
следствие, достижения
поставленной цели.
способы и приемы
логически
верно
выстраивать
письменную и устную
речь
в
профессиональной
сфере
с
целью
решения прикладных
задач исследования.
Аудиторные
контрольные
работы,
Лекции,
выполнение
практичес индивидуаль
кие
ных
занятия
заданий,
собеседован
ия,
коллоквиум
Аудиторные
контрольные
работы,
Лекции,
выполнение
практичес индивидуаль
кие
ных
занятия
заданий,
собеседован
ия ,
коллоквиум
сообщать
идеи,
проблемы и решения
простейших
задач,
как
специалистам,
так
и
неспециалистам.
представлять
идеи,
проблемы и решения
стандартных
задач,
как специалистам, так
и
неспециалистам,
используя
диапазон
качественной
и
количественной
информации.
способами
и
Владеет: способами методами
и методами
представления
представления
решений простейших
решений задач,
задач.
алгоритмов,
доказательств
утверждений и
теорем как
известных, так и
самостоятельно
доказанных.
способами и методами
представления
доказательств
основных
утверждений и теорем
стандартной учебной
ситуации;
ОПК-2
Умеет: на разных
уровнях
представлять идеи,
проблемы и
решения.
Способен
использовать
систематизированны
е теоретические и
практические знания
при решении
Знает: законы,
связи и
приложения
математического
анализа.
основные
законы основные связи
и
математического
приложения
анализа.
математического
анализа в дисциплинах
математического
содержания.
на научном уровне
представлять
свои
идеи, проблемы и
решения,
как
специалистам, так и
неспециалистам,
используя
диапазон
качественной
и
количественной
информации;
обоснованно
сопоставлять
полученный результат
с имеющимися.
способами
представления
решений задач по
самостоятельно
разработанным
алгоритмам;
способами и методами
составления
сообщений,
представления
самостоятельно
доказанных
утверждений и теорем.
основные связи
и
приложения
математического
анализа в дисциплинах
естественнонаучного
содержания.
Аудиторные
контрольные
работы,
Лекции,
выполнение
практичес индивидуаль
кие
ных
занятия
заданий,
собеседован
ия,
коллоквиум
Аудиторные
Лекции,
контрольные
практичес работы,
кие
выполнение
занятия
индивидуаль
ных заданий
Аудиторные
Лекции,
контрольные
практичес работы,
кие
выполнение
занятия
индивидуаль
ных заданий
социальных и
профессиональных
задач
Умеет:
использовать
законы, связи и
приложения
математического
анализа как в
учебном процессе,
так и в
профессиональной
деятельности.
ПК - 1
Владеет: аппаратом
математического
анализа для
решения
разноплановых
задач.
Способен
реализовывать
учебные программы
базовых
и
элективных курсов в
различных
образовательных
учреждениях
Знает: учебную
программу
математического
анализа.
Умеет: с помощью
извне или
самостоятельно
анализировать и
реализовывать
учебные
программы.
применять
практические
математические
знания
при
моделировании
профессиональной
деятельности
в
учебном процессе.
применять
практические
и
теоретические
естественнонаучные
знания
при
моделировании
профессиональной
деятельности
в
учебном процессе.
применять
практические
и
теоретические
естественнонаучные
Лекции,
знания
в практичес
профессиональной
кие
деятельности.
занятия
Аудиторные
контрольные
работы,
выполнение
индивидуаль
ных
заданий,
собеседован
ия,
коллоквиум
основными методами
математического
анализа,
используемыми
учебном процессе.
аппаратом
математического
анализа при
моделировании
профессиональной
деятельности в
учебном процессе.
на высоком уровне
аппаратом
математического
анализа для решения
разнообразных
профессиональных
задач.
необходимый
минимум
учебной
программы
математического
анализа.
реализовывать
учебные программы
курса
математического
анализа, опираясь на
помощь извне.
на хорошем уровне
учебную
программу
математического
анализа.
на высоком уровне
Лекции,
учебную
программу
Коллоквиум,
практичес
математического
индивидуаль
кие
анализа.
ные задания
занятия
самостоятельно
реализовывать
учебные
программы
курса математического
анализа
в
образовательных
учреждениях.
проводить
анализ
учебных
программ
курса математического
анализа,
выбирать
наилучшие
учебные
программы
и
самостоятельно
их
реализовывать
в
различных
образовательных
учреждениях.
Аудиторные
Лекции,
контрольные
практичес работы,
кие
выполнение
занятия
индивидуаль
ных заданий
Лекции,
Коллоквиум,
практичес
индивидуаль
кие
ные задания
занятия
Владеет: навыками
и инструментарием
реализации
учебных программ
курса.
необходимыми
навыками
и
инструментарием для
реализации учебных
программ
курса
математический
анализ;
навыками
работы
с
программными
средствами общего и
профессионального
назначения.
необходимыми
навыками
и
инструментарием для
самостоятельной
реализации учебных
программ
курса
математический
анализ в некоторых
образовательных
учреждениях;
методами построения
учебного
курса;
навыками работы с
программными
средствами
общего
назначения.
на высоком уровне
навыками, знаниями и
инструментарием для
самостоятельной
реализации и выбора
наилучших учебных
программ
курса
математический
анализ в различных
образовательных
учреждениях, исходя
из
их
специфики;
навыками работы с
программными
средствами
профессионального
назначения.
Лекции,
Коллоквиум,
практичес
индивидуаль
кие
ные задания
занятия
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Содержание контрольных мероприятий 1 семестра
Контрольная работа по теме «Введение в анализ функций одного переменного и
предел последовательности»
1) Найти область определения функции (2 функции).
2) Решить неравенство с модулем.
3) Найти пределы последовательностей (2 предела)
Примерный вариант:
1) Найти область определения:
sin5 x arccos x

2x  1 5 2x  1
2) Решить неравенство 5 | 2 x  7 | 5x
а)
y  ln(3x  4) ; б) y 
3) Найти пределы последовательности
а) lim
(2n  1)2  (3n3  5n  2)
n 
16n10  5n8  3n3  9
; б) lim
n 
(n 2  5)( n 4  2)  n6  3n3  5
n
Контрольная работа по теме «Предел и асимптоты функций»
1-10). Найти пределы
11) Найти асимптоты функции.
Примерный вариант:
1-10. Найти пределы
2
1. lim x  5 x  6
2
2
2. lim 2 x  11x  15
2
3. lim
4. lim
x 2
x  12 x  20
5 x 2  3x  1
x  
5. lim
3x  x  5
2
x  2x  4
5
x 2 x 4
x 1
x   1  2 x

lim x( x 2  1 
x 2  1)
x
3x  5 x  12
7x  4
x 3x
6.
 3x 2  1
7. lim  4  2 x 
9.
x3
3
 5x  1
x  x  12
x2  4 x
2
lim
x3
8. lim  2 x  3 
x 1
x   5 x  7 
10. lim ln(2 x  3)  e2 x
x2
cos( x  2)  1
11. Найти асимптоты функции
2 x 2  3x  5
а) y 
x ( x  4)
б) f ( x)
1
 3 2 x
1
Контрольная работа по теме «Полное исследование функций»
Полное исследование и построение графика функции
Примерный вариант:
Полное исследование и построение графика функции
y  arctg x
Контрольная работа по теме «Приложение дифференциального исчисления функций
одного переменного»
1) Предел функции.
2) Асимптоты функции.
3) Глобальные экстремумы функции
4) Монотонность и локальные экстремумы функции.
5) Выпуклость и точки перегиба функции.
Примерный вариант:
2
1  cos 2 x  e x  1

.
1) Вычислить предел lim
2
x 0 ln 1  arctg x  sin 2 x




2) Найти асимптоты функции
x
x

.
2 x 1
3) Определить глобальные экстремумы функции
2
f  x   xe x при 0  x  1 .
4) Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции
4
f  x   x 4  x3  1 .
3
5) Указать промежутки выпуклости и точки перегиба функции
f ( x)  x3  3x 2  7 .
f ( x) 
Содержание контрольных мероприятий 2 семестра
Контрольная работа по теме «Техника неопределенного интегрирования»
1-10) Найти неопределенный интеграл
Примерный вариант:
1)
 arcsin
dx
2
x
(2 x  1)dx
 ( x  1) 2 ( x  2)
10)

ex
 e2 x  1dx
5)
dx
 1  sin x
8)
6
1 x 2
4)  arcsin 3x dx
7)
2)
( x  2)
x 2  4x  8
3)  x 2 cos 3 x dx
3
6) sin xdx
 cos x  3
9)  x 2 1  x 2 dx
x dx
 3 x 2  4 x3
dx
Контрольная работа по теме «Определенный интеграл»
1-3) Найти определенные интегралы
4-5) Приложения определенных интегралов (площадь области, длина дуги, объем тела
вращения, площадь поверхности вращения)
Примерный вариант:
1-3) Найти определенные интегралы

1
dx
1)  2
;
2x  2х 1
0
6
2)


12
dx
;
sin 2 3 x
0
3)
 (2 x  1)e
0.5
x /2
dx .
4) Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох астроиды
x  a cos3 t , y  a sin 3 t , 0  t  2
5) Найти длину дуги кривой
y  x2 1, отсеченной осью абсцисс.
Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление функций многих
переменных»
1) Найти область определения функции и изобразить ее графически.
2) Найти частные производные функции.
3) Найти полный дифференциал функции
4) Найти производную по направлению и градиент
5) Проверить, удовлетворяет ли заданная функция дифференциальному уравнению.
Примерный вариант:
1) Найти область определения функции z 
y 2  x2


2
3
2) Найти частные производные второго порядка функции z  ln 4 x  5 y и
  z yx
 .
убедиться в том, что z xy
3) Найти полный дифференциал функции z 
x3  y 3
2x 2  3 y 2

4) Найти производную функции z  f ( x; y) в точке М по направлению вектора MN
и градиент функции z  f ( x; y) в точке М
2
2
z  x  4 y  y , M (1;2),
N (2;3).
5) Проверить, удовлетворяет ли заданная функция дифференциальному уравнению.
x
u
u
u  x 2  y 2 tg , x  y
 2u
y
x
y


Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление функций многих
переменных»
1) Найти локальные экстремумы функции
2) Найти условные экстремумы функции
3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  z(x,y) в области D .
Примерный вариант:
3
3
1) Найти локальные экстремумы функции u  x  y  6 xy .
2) Найти условные экстремумы функции u  e
xy 2
, если
x 2  2 y 2  12, y  0 .
3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  z(x,y) в области D ,
ограниченной заданными линиями z  3x  y  xy,
D : y  x, y  4, x  0.
Контрольная работа по теме «Несобственные интегралы»
1) Несобственный интеграл 1-го рода
2) Несобственный интеграл 2-го рода
Примерный вариант:
Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость

1
dx
ln x
1)  3 2) 
dx
x
x
1
0
Содержание контрольных мероприятий 3 семестра
Контрольная работа по теме «Числовые ряды»
1) Проверить необходимое условие сходимости ряда
2-3) Исследование на сходимость знакопостоянный ряд
4) Исследование на сходимость знакопеременный ряд
5) Исследовать на абсолютную сходимость ряд
Примерный вариант:
  5  n 3 n
1) Проверить необходимое условие сходимости ряда  

2) Исследовать на сходимость ряд
3) Исследовать на сходимость ряд
 n12  n


n


n1
 6  2n 
1
.
tg
n 3  3 3n
n1
 (n  3)!
1
4) Исследовать на сходимость ряд
n 1
5 2
n
sin
1
n!
sin(5n  3)
arctg n (n  2)
 ( 1) n3
5) Исследовать на абсолютную сходимость ряд

n1
n3
Контрольная работа по теме «Степенные ряды»
1) Определить радиус и интервал сходимости.
2) Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х0.
3) Вычислить приближенно с помощью разложения в ряд.
4) Найти сумму степенного ряда.
Примерный вариант:
1) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

 (1)n(n 2)
n0
x  2n .
2 n 2 n
2) Разложить в ряд Тейлора функцию f ( x)  ( x  2) ln( 3x 2  12x  13) в окрестности
точки x0  2 .
3) Вычислить 3 11 с заданной точностью  =0,001
x 4 x6 x8
4) Найти сумму степенного ряда x 


 ... при x  1.
2
3
4
2
Контрольная работа по теме «Ряды Фурье»
1) Разложить функцию в ряд Фурье
2) Представить функцию f (x) рядом Фурье в действительной и комплексной формах
3) Написать интеграл Фурье для функции f (x) в комплексной и действительной форах
Примерный вариант:
1) Разложить в ряд Фурье функцию f (x) . Построить графики функции f (x) и
суммы ряда.
 2 x,    x  0,
T  2 .
f ( x)  
3
x
,
0

x


.

2) Представить функцию f (x) рядом Фурье в действительной и комплексной
формах.
f ( x) 

4
 x ,   ;  , T  2 .
3) Написать интеграл Фурье для функции f (x) в комплексной и действительной
f ( x)  e
форах.
x
I
;
cos
 1   d .

2
0
Самостоятельная работа по теме «Эйлеровы интегралы»
 9
.
 2
1) Гамма-функция и ее свойства. Вычислить Г  
1
2) Бета-функия и ее свойства. Вычислить

0
dx
1 x
5
.
2
Содержание контрольных мероприятий 3 семестра
Контрольная работа по теме «Двойные интегралы»
1) Начертить область интегрирования, изменить порядок интегрирования.
2) Вычислить двойной интеграл
3) Найти центр тяжести одной фигуры, ограниченной данными линиями.
4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
5) Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл
Примерный вариант:
1) Начертить область интегрирования, изменить порядок интегрирования
1
3
y
2
2 y
1
0
 dy  f ( x, y)dx   dy
0
0
 f ( x, y)dx.
2) Вычислить двойной интеграл
 4 y
2
sin 2 xydxdy; D : x  0; y  2 ; y  2 x.
( D)
3) Найти центр тяжести одной фигуры, ограниченной данными линиями.
x  y 2 ; x  4.
4) Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
3
x 2  y 2  50; y  0; y  5 x ; z  0; z  x.
11
5) Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл

sin x 2  y 2
dxdy; D : x 2  y 2 
2
; x2  y2   2.
x y
Контрольная работа по теме «Криволинейные и поверхностные интегралы»
( D)
2
2
9
1) Вычислить криволинейный интеграл.
2) Вычислить повехностный интеграл.
3) Вычислить двумя способами: непосредственно и по формуде Грина.
dl
1) Вычислить криволинейный интеграл первого рода 
, где L – отрезок
2
x  y2  4
L
ОА и О(0,0), А(1,2)
2) Вычислить поверхностный интеграл первого рода
d

 (1  x  z )
2
, где  – часть
плоскости x  y  z  1 при условии x  0, y  0, z  0 .


3) Вычислить  2 x  y dx   x  y  dy , если L- контур треугольника с
2
2
2
L
вершинами (1;1), (2;2) и ((1;3) и проверить результат с помощью формулы Грина.
Самостоятельная работа по теме «Элементы теории поля»
1) Скалярное поле. Градиент скалярного поля и его свойства. Найти величину и
направление градиента функции u  tgx  x  3sin y  sin y  z  ctgz в точке
3
   
M ; ; .
4 3 2
2) Соленоидальное и потенциальное поля. Найти дивергенцию градиента функции
u  е x y  z .
Вопросы к экзамену
1 семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества. Понятие
переменной величины и функции (отображения).
Действительные функции одной действительной переменной. Область определения.
Сложная, обратная функция. Элементарная функция. Основные элементарные
функции.
Понятие окрестности. Предел функции в точке. Определение, графическая
иллюстрация. Доказательство единственности предела.
Доказательство ограниченности функции, имеющей конечный предел. Доказательство
теоремы о сохранении знака функции, имеющей конечный предел.
Бесконечно малые функции, их свойства (доказательство теорем о сумме и
произведении бесконечно малых). Следствия. Теорема о связи бесконечно малой и
функции, имеющей предел.
Бесконечно малые функции.
Доказательство арифметических свойств пределов функций.
Первый замечательный предел (доказательство). Односторонние пределы. Бесконечно
большие функции. Доказательство теоремы о связи бесконечно больших и бесконечно
малых функций.
Предел функции на бесконечности. Предел последовательности. Второй
замечательный предел.
Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке (доказать).
Классификация точек разрыва.
Сравнение функций. Эквивалентные функции. Функции одного порядка. Понятие "омалой", главной части.
Сравнение функций. Основные определения. Доказательство теоремы о применении
эквивалентных при вычислении пределов (случай суммы, произведения, частного).
Производная функции в точке. Геометрический смысл. Доказательство теоремы о
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
непрерывности функции, имеющей производную.
Производная функции в точке. Доказательство правил дифференцирования (случай
суммы, произведения, частного).
Производная сложной и обратной функции (доказательства). Производная
параметрически заданной функции.
Вывод формул таблицы производных. Производная показательно-степенной функции.
Логарифмическое дифференцирование.
Производные высших порядков. Дифференцируемость функции. Доказательство
теоремы о дифференцируемости функции. Дифференциал.
Приближенное вычисление значений функции. Свойства дифференциала.
Инвариантность формы дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
Теорема Ролля (доказательство).
Доказательство теоремы Лагранжа. Теорема Коши.
Правило Лопиталя-Бернулли (доказательство).
Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Применение
формулы Тейлора в вычислениях с заданной точностью.
Монотонность, экстремумы. Необходимое и достаточные (с доказательствами)
условия экстремума.
Исследование поведения функции. Доказательство теоремы о выпуклости, вогнутости
графика функции. Асимптоты.
2
семестр
Первообразная, неопределённый интеграл и его свойства
Вывод формул таблицы интегралов. Интегрирование квадратного трехчлена.
Интегрирование по частям, циклическое интегрирование(на примере), замена
переменной.
4. Разложение рациональной дроби на целую часть и сумму простейших дробей.
5. Интегрирование простейших дробей.
6. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая
подстановка.
7. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование дифференциального
бинома.
8. Понятие интегральной суммы и определённого интеграла. Геометрический и
механический смысл. Теорема существования определенного интеграла.
9. Свойства определённого интеграла (с доказательствами).
10. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с
переменным верхним пределом (доказательство). Формула Ньютона-Лейбница
(вывод). Формулы интегрирования по частям и замены переменной для
определённого интеграла.
11. Площадь криволинейной трапеции для функции, заданной явно, параметрически, в
полярных координатах.
12. Объём тела с известной площадью поперечного сечения. Объем тела вращения для
функции, заданной явно, параметрически, в полярных координатах..
13. Длина дуги кривой для функции, заданной явно, параметрически, в полярных
координатах. Дифференциал длины дуги. Площадь поверхности вращения.
14. Определение функций нескольких переменных. Линии и поверхности уровня.
Понятие окрестности и области на плоскости.
15. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных.
Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области.
16. Частные производные. Геометрический и физический смысл.
1.
2.
3.
17. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Необходимое и
достаточное условие дифференцируемости функции.
18. Производные и дифференциал сложной функции. Дифференциал сложной функции.
19. Неявные функции и их дифференцирование (теоремы существования, вывод формул).
20. Касательная плоскость и нормаль к поверхности(вывод формул). Геометрический
смысл дифференциала функции 2 переменных.
21. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.
22. Экстремумы функций двух переменных. Доказательство необходимого и
достаточного условия существования. Наибольшее и наименьшее значение функции в
замкнутой области.
23. Производная по направлению. Доказательство теоремы о существовании производной
по направлению.
24. Градиент. Геометрический смысл. Доказательство теоремы о связи производной по
направлению с градиентом.
25. Условный экстремум.
4
Семестр
1. Задача об определении объема цилиндрического тела. Определение двойного
интеграла. Теорема существования.
2. Определение двойного интеграла. Свойства.
3. Вычисление двойного интеграла (сведение к повторному интегралу, привести
примеры).
4. Двойной интеграл. Замена переменных в двойном интеграле. Полярная и обобщенная
полярная системы координат.
5. Приложения двойных интегралов. Задача о массе пластинки переменной плотности.
6. Тройной интеграл. Свойства.
7. Тройной интеграл. Сведение к повторному интегралу.
8. Приложения тройных интегралов. Привести пример.
9. Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги). Вычисление.
10. Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги). Свойства, применения.
11. Криволинейный интеграл II рода (по координатам). Задача о работе переменной силы
вдоль кривой.
12. Криволинейный интеграл II рода (по координатам). Свойства, вычисление для
плоской и пространственной кривой.
13. Формула Грина (с доказательством). Пример применения.
Вопросы к зачету
3
1.
2.
семестр
Числовые ряды. Сходимость, частичная сумма и сумма ряда. Остаток ряда.
Свойства сходящихся рядов.

3.
Доказать необходимый признак сходимости и расходимость ряда
n 1

 aq
4.
5.
6.
1
n
n
сходимость ряда n1
.
Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Ряды-эталоны.
Ряды с положительными членами. Признак Даламбера.
Ряды с положительными членами. Радикальный признак Коши.
. Исследовать
7.
Ряды с положительными членами. Интегральный признак Коши. Исследовать

1
n
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.

сходимость ряда n1
.
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
Ряды с произвольными членами (по знаку). Достаточный признак сходимости.
Пример.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
Функциональные ряды. Область сходимости. Пример.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложить функции ex, sin x, cos x в ряд Маклорена.
Указать область сходимости.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложить функции ln(1+x), arctg x в ряд Маклорена.
Указать область сходимости.
Ряд Фурье на [-,], [-L,L]. Ряд Фурье для периодических функций, для четных и
нечетных функций. Теорема Дирихле.
Интеграл Фурье.
Интегралы, зависящие от параметров.
Эйлеровы интегралы.
Преобразование Фурье.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика
фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля,
предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода семестровых баллов в оценку
Таблица 16.
Баллы
0 – 60
61 – 75
76 – 90
91 – 100
Экзамен
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
Неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны сдать
экзамен.
Экзаменационные билеты включают: два теоретических вопроса по курсу
дисциплины за семестр и пять практических задач.
Ответ на вопрос и решение каждой задачи оценивается максимально в 5 баллов.
Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:
5 баллов ставится в случае, если:
- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;
- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике,
указанной в билете.
При этом допускаются незначительные неточности и частичная неполнота ответа при
условии, что в процессе беседы экзаменатора с экзаменуемым последний самостоятельно
делает необходимые уточнения и дополнения.
4 балла ставится в случае, если
- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное
изложение материала.
- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы
студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не
обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.
3 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах
экзаменатора были частично исправлены;
- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и
терминологии дисциплины;
- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.
2 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже с
помощью наводящих вопросов экзаменатора;
- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.
1 балл ставится в случае, если:
- хотя бы одна формулировка (определения или теоремы) в ответе верна;
- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам, но при этом
они частично верны и относятся к тому же разделу курса, что и экзаменационный вопрос.
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Критерии оценивания решения практической задачи:
5 баллов ставится в случае, если решение содержит
- все необходимые этапы, каждый из которых не содержит ошибок;
- развернутые ответы и грамотные комментарии,
- правильно используется терминология и математические символы.
При этом допускаются незначительные ошибки в расчетах на последнем этапе
решения.
4 балла ставится в случае, если
- решение содержит все необходимые этапы, некоторые из которых могут содержать
ошибки вычислительного характера, которые не оказали существенного влияния на
дальнейшее решение;
- решение не содержит необходимых комментариев, обоснований выводов и
переходов от одного этапа решения к другому;
- неверно используются символьный аппарат и терминология при правильном
решении.
3 балла ставится в случае, если:
- в решении пропущены некоторые необходимые этапы без какого-либо комментария;
- в решении допущены ошибки в вычислениях, повлекшие за собой неверные выводы
и ответы, но при этом сами выводы сделаны верно с учетом данных ошибок.
- промежуточные этапы проведены верно, но при этом либо ответ не соответствует
постановке задачи, либо требуемое в постановке задачи вообще не найдено.
2 балла ставится в случае, если:
- студент показал знание алгоритма решения, провел решение по алгоритму, но этапы
решения содержали существенные ошибки.
1 балл ставится в случае, если:
- решение содержит менее трети необходимых этапов, но при этом хотя бы один из
этапов выполнен верно;
- студент показал знание алгоритма, проведя по нему решение, но при этом ни один из
этапов не был выполнен правильно;
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Шкала перевода экзаменационных баллов в оценку
Таблица 17.
Баллы
0-14
15-25
26-31
32-35
Экзамен
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
В 3 семестре по плану – зачет.
Шкала перевода семестровых баллов в зачет
Таблица 18.
Баллы
0 – 60
61 – 100
Экзамен
Незачтено
Зачтено
Неуспевающие студенты должны сдать зачет.
Билеты на зачет включают: два теоретических вопроса по курсу дисциплины за
семестр. Для получения зачета необходимо ответить хотя бы на 1 вопрос билета.
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности студентов для
достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных
компетенций.
Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его
примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об
их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике,
программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и
групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре;
взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный
диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих
приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения
изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения.
Они включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность
обучающихся и вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую
активность.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Математика: математический анализ и линейная алгебра: учеб. пособие для студентов
вузов / авт.-сост. А. П. Девятков [и др.]. - Тюмень : Изд-во ТюмГУ, 2011. - 468 с.
2.
3.
Ильин, В.А. Математический анализ Ч.1 [Электронный ресурс] / Ильин В.А.,
Садовничий В.А., Сендов Б.Х. – М.:Издательство Юрайт, 2015 – 660 с. Гриф УМО.
Режим доступа http://www.biblio-online.ru/thematic/?15&id=urait.content.5DD4321CDD8D-42BF-AF93-29CC4E9DA072&type=c_pub (дата обращения 12.10.2014)
Ильин, В.А. Математический анализ Ч.2 [Электронный ресурс] / Ильин В.А.,
Садовничий В.А., Сендов Б.Х. – М.:Издательство Юрайт, 2015 – 357 с. Гриф УМО.
Режим доступа http://www.biblio-online.ru/thematic/?16&id=urait.content.3535181A1F1A-463D-A3B1-51A9FF6DD619&type=c_pub (дата обращения 12.10.2014)
12.2 Дополнительная литература:
1. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб.
пособие для вузов/ Б. П. Демидович. -Москва: АСТ, 2009 .-558 с.
2. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу : учеб.
пособие/ Г. И. Запорожец. -5-е изд., стереотип.. -Санкт-Петербург: Лань, 2009 .-464 с.
3. Пилиди, В. С.. Математический анализ: учебник/ В. С. Пилиди. - Ростов-на-Дону:
Феникс, 2009. - 239 с.
4. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа : [учеб.] / Г. М. Фихтенгольц. 7-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань. - (Учебники для вузов. Специальная
литература). - Ч. 1. - 2005. - 448 с.
5. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа : [учеб.] / Г. М. Фихтенгольц. 7-е изд., стер. - Санкт-Петербург : Лань. - Ч. 2. - 2005. - 464 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Методические рекомендации по написанию реферата.
http://www.hse.spb.ru/edu/recommendations/method-referat-2005.phtml
2. Реферат (выбор темы, структура)
http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-24860/
3. Единое окно доступа к образовательным ресурсам
http://window.edu.ru/window/library
4. Сайт, посвященный математике и математикам http://math.ru
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
ПАКЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ПРОГРАММ (ПППП)
1. Microsoft Excel. Встроенные математические функции.
2. Microsoft Word. Встроенный редактор формул.
3. Microsoft PowerPoint.
В организации
учебного процесса
необходимыми
являются средства,
обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное
демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля
знаний и др.).
 микрофон и соответствующие установки (для работы в больших аудиториях
с многочисленными группами студентов).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной
доски.