Лекция 2. Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона). Уравнения Лагранжа Самая общая формулировка закона движения системы с s степенями свободы дается принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу, каждая механическая система полностью характеризуется своей функцией Лагранжа. Функция Лагранжа зависит от обобщенных координат qi t , обобщенных скоростей q i t и времени t : L (q1, q2,....qs; q1, q2,....q s; t ) L (qi ; q i ; t ) i 1,2,....s (1) Для сокращения записи обычно пишут: L (q1, q2 ,....qs; q1, q 2 ,....q s; t ) L (q; q; t ) (2) Пусть в начальный и конечный моменты времени t t 1 и t t 2 , положение всех точек системы qi t характеризуются t 1 q1 и qi t двумя наборами i t 2 q2 ; значений обобщенных координат: 1,2,....s . Тогда интеграл по времени t2 S L qt ; q t ; t dt (3) t1 называется действием для данной механической системы. Принцип наименьшего действия формулируется следующим образом: пусть известна функция ; t для данной системы. Тогда, между начальным q Лагранжа L q; q 1 и конечным q2 положениями, система будет двигаться таким образом, чтобы интеграл действия имел наименьшее значение: t2 S L qt ; q t ; t dt min (4) t1 Только те функции q1 t ,....qs t , которые удовлетворяют условию минимума действия и будут являться истинными "траекториями" движения. Из условия (4) можно получить уравнения для истинных траекторий движения всех точек между начальным и конечным положением системы. Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа. Получим эти уравнения. Для простоты рассмотрим систему с одной степенью свободы: s 1; q1 qt . Пусть в моменты времени t t 1 и t t 2 система находилась в заданных положениях qt t 1 q 1 и qt t 2 q 2 ~t , «близкую» к . Рассмотрим траекторию q ~t qt gt qt и проходящую через те же самые точки q1 и q2 q 1 q Функция gt является «малой» добавкой к qt : qt gt qt . Понятно, что 2 q(2) q(t) для q+g начального и для конечного положения системы gt 1 gt 2 0 (см. рисунок). Тогда, для новой q(1) 1 ~ t будем иметь обобщенной скорости q ~ t q t g (t ) q t dg(t ) q dt t1 Условие экстремальности действия определяется равенством нулю его вариации: S Sq g; q g; t Sq; q; t 0 t2 (5) Это условие есть обобщение хорошо известного признака экстремальности функции f x : в тех точках, где функция f x имеет минимум или максимум, её производная df x / dx 0 . Следовательно, равен нулю и её дифференциал: df 0 . Формула (5) фактически обобщает признак экстремальности функции для функционала, которым и является интеграл действия. Вычислим эту вариацию S . Учитывая, что при gt 0 L q g; q g; t L q; q; t L L d g , g(t ) q q dt запишем t2 L L d g S gt dt q q dt t1 Проинтегрируем второе слагаемое по частям и учтем, что gt 1 gt 2 0 : t2 t2 t2 t2 t1 t1 L d g L d L d L dt g t g t dt g t dt q dt q dt q dt q t1 t1 Теперь условие экстремальности действия запишется так: t2 L d L S gt dt 0 q dt q t1 2 (6) Поскольку функция gt - произвольная, то условие (6) может быть удовлетворено только в случае - когда выражение в его фигурных скобках обращается в ноль: d L q; q; t L 0 dt q q (7) Это и есть уравнение Лагранжа. для мех. системы с одной степенью свободы. Конкретный вид уравнения (7) зависит от конкретного вида ф. Лагранжа. О том, что собой представляет ф. Лагранжа речь пойдет ниже. Поскольку уравнение Лагранжа (7) является дифференциальным уравнением второго порядка, его общее решение зависит от двух произвольных констант: q qt ; c1, c2 . Чтобы определить эти константы необходимо задать два начальных условия: qt 0 q0 и q t 0 q 0 . Таким образом, для определения закона движения системы с одной степенью свободы необходимо решить задачу Коши: d L q; q; t L ; qt 0 q0 ; q t 0 q0 dt q q (8) Если система имеет s степеней свободы ( L L (qi ; q i ; t ) i 1,2,...s), то вариацию действия нужно осуществлять независимо по каждой обобщенной координате qi t . В результате получим систему однотипных s уравнений с 2s начальными условиями: d L dt q 1 d L s dt q 2 d L dt q s L ; q1 L ; q2 L ; qs q1 t 0 q10 ; q1 t 0 q10 ; q2 t 0 q20 ; q 2 t 0 q 20 ; 2s . . . . . . qs t 0 qs ; q s t 0 q s 0 0 (9) В компактном виде систему уравнений и начальных условий (9) обычно записывают так: d L dt q i L ; qi t 0 qi 0 ; q i t 0 q i 0 q i i 1,2,3........ s Основные свойства функции Лагранжа: 3 (10) 1. Функцию Лагранжа можно умножить на любое число. Уравнения Лагранжа (10) при этом не изменяются. 2. Функция Лагранжа обладает важным свойством аддитивности. Пусть система АВ состоит из двух подсистем: А и В. Её Функция Лагранжа L АВ (qА , q А ; qВ , q В ; t ) будет зависеть от обобщенных координат и скоростей всех частиц подсистемы А, т.е. от (qА , q А ) , и всех частиц подсистемы В, т.е. от ( qВ , q В ) . Предположим теперь, что подсистемы А и В начнут удаляться друг от друга на очень большое расстояние: r АВ (см. рисунок). A A B B r AB B Понятно, что в этом случае движение точек в подсистемах А и В будет происходить независимо и никак не влиять друг на друга. Но это означает, что уравнения Лагранжа для системы АВ должны распасться на две независимые системы уравнений для подсистем А и В, соответственно: d L qА ; q А ; t L dt q А qА и d L qВ ; q В ; t L dt q В qВ Для этого необходимо, чтобы lim L АВ (qА , q А ; qВ , q В ; t ) L А (qА , q А ; t ) L В (qВ , q В ; t ) r АВ (11) 3. Функция Лагранжа любой мех. системы определена неоднозначно, а с точностью до полной производной по времени от произвольной функции координат и времени. ; t L q, q ; t df qt ; t / dt , где f q; t - произвольная Действительно, пусть L q, q ; t : функция. Запишем действие S , используя ф. Лагранжа L q, q S df qt ; t dt dt t t2 t2 t2 t1 t1 1 L q, q; t dt L q, q; t dt Следовательно 4 S S f qt 2 ; t 2 f qt 1 ; t 1 Величина, стоящая в фигурных скобках, есть некоторое число, которое исчезает при вариации действия. Поэтому S S при любом виде функции f q; t , а уравнения Лагранжа будут ; t или иметь один и тот же вид независимо от того, какую функцию Лагранжа L q, q L q, q; t мы выбираем. 5