Раздел 8.2

8.2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ
8.2.1. Основные теоретические положения
При анализе переходных процессов в ЛРП делаются следующие допущения:
- рассматриваются переходные процессы, возникающие только в результате коммутаций;
- при анализе переходных процессов в ЛРП не требуется высокая точность, что позволяет сделать нижеприведенные допущения;
- пренебрегают резистивными элементами ЛРП r0 и g0, то есть рассматриваются только линии без потерь. В этом случае расчёт упрощается, поскольку
в ЛБП волны распространяются без затухания, а характеристическое сопротивление является чисто резистивным, благодаря чему не искажается фронт волны
при её движении;
- в течение переходного процесса источники считаются постоянными,
поскольку длительность пробега волны вдоль линии почти всегда значительно
меньше периода переменного источника;
- при рассмотрении многократных отражений в линиях ограничиваются
только резистивными цепями. Если источники считаются постоянными, то в
линии будут только волны с прямоугольным фронтом.
Исходными для расчётов являются уравнения линии без потерь в частных производных:
u
i
i
u
- = L0 ;
- = C0 .
(8.13)
x
x
t
t
Уравнения (8.13) сводятся к виду дифференциальных уравнений второго
порядка без правой части
 2u 1  2u
 2i 1  2i
=
или
=
.
(8.14)
 x 2 v 2 t 2
x 2 v 2  t 2
Решение записывают в виде наложения двух встречных волн, прямой
x
x
и обратной:
u(x;t) = 1(t – ) + 2(t + ) = uпр + uобр;
v
v
x
x
1
i(x;t) =
·[1(t – ) – 2(t + )] = iпр – iобр.
(8.15)
ZC
v
v
Поскольку линии без потерь имеют чисто активное волновое сопротивление, то закон Ома в пределах каждой из волн (но не для результирующих u, i) применим и к мгновенным значениям величин:
uпр = ZC·iпр;
uобр = ZC·iобр;
u ≠ ZC·i.
(8.16)
Уравнения для тока и для напряжения волны совершенно одинаковы,
причём, в них производные по координате пропорциональны производным по
времени от тех же величин. Это означает, что в переходном процессе достаточно найти зависимость либо тока, либо напряжения от времени при фиксированной координате, а затем, для получения зависимости от координаты для
фиксированного момента времени, перейти к аргументу [tф – х/v].
Началом линии будем называть место подключения к линии источни162
ка, а концом линии – место, где подключается нагрузка. Волны, движущиеся
от начала линии к концу (в направлении возрастания координаты х, отсчитываемой от начала линии), называются прямыми. Волны, движущиеся обратно (в направлении возрастания координаты у, отсчитываемой от конца
линии), называются обратными. Возникающую в результате коммутации
волну назовём падающей, а возникшую в результате отражения падающей –
отражённой. Таким образом, если коммутация происходит в начале линии,
падающая волна является прямой, а отражённая обратной. В случае коммутации в конце линии обратная волна есть падающая, а прямая – отражённая.
Расчёт как возникающих волн, так и отражённых и преломлённых, выполняется по схемам замещения, составленным для сечений линии, где эти
волны возникают. Если волна вызвана коммутацией в произвольном сечении
линии, то её расчёт на основании принципа наложения сводится к рассмотрению переходного процесса от включения соответствующей пассивной цепи
на эквивалентный источник ЭДС eэкв = uруб (при замыкании рубильника, см.
задачи 8.30-8.33) или тока jэкв = iруб (при размыкании рубильника, см. задачи
8.34-8.36). Здесь uруб – напряжение на разомкнутом рубильнике, iруб – ток через
замкнутый рубильник в докоммутационном режиме. В схему замещения для
соответствующего сечения линии включаются все элементы с сосредоточенными параметрами, имеющиеся в данном сечении, а линия представляется
резистором ZC. Вычисленные в переходном процессе i(t), u(t) накладываются
на установившиеся значения допад
i22 2
2 а) б)
коммутационного режима.
Расчёт переходного про1
ZC
цесса, возникающего в результаZ
Z
те прихода падающей волны в
2uпад u22
конец линии (в узел неоднород- 1 ZС, l, v
ности 2-2), нагруженной на про2
2 Рис. 8.2
извольное сопротивление Z (рис.
8.2,а), выполняется по эквивалентной схеме с сосредоточенными параметрами (рис. 8.2,б) при нулевых независимых начальных условиях. Далее, из
формул i22 = iпад – iотр и u22 = uпад + uотр, основанных на принципе наложения, зная параметры падающей волны, можно рассчитать напряжение и ток
отражённой волны в функции времени t для нулевой координаты у = 0 (см.
задачу 8.37). Сопротивление Z может включать в себя другие линии, представленные своими характеристическими сопротивлениями. Рассчитанные
для них токи и напряжения по схеме 8.2,б являются параметрами преломлённых волн, записанные в функции времени для нулевой координаты х = 0 (см.
задачи 8.44-8.48).
При анализе многократных отражений расчет последующих волн ведётся через коэффициенты отражения от внутренних цепей источника (n1) и
R  ZC
R  ZC
от нагрузки (n2): n1 = BH
; n2 = H
;
RBH  Z C
RH  Z C
uотр k = n2·(n1·n2)k-1·uпад1; uпад k+1 = (n1·n2)k·uпад1.
(8.17)
163
Результирующие ток и напряжение на любой момент времени находятся наложением всех прошедших к данному моменту волн. Переходный процесс может иметь апериодический или колебательный характер. Переходный
процесс считают закончившимся, когда результирующие ток и напряжение
достигают 95-98% от установившихся значений: ТПП = k·tпробега.
8.2.2. Расчёт возникающих волн
ЗАДАЧА 8.30. Линия без потерь с параметрами ZС = 250 Ом, l = 140 км,
v = 280·103 км/с подключается к источнику постоянного напряжения Е0 =120
кВ с внутренней индуктивностью L0 = 0,15 Гн. Конец линии разомкнут (рис.
8.3,а). Требуется построить графики распределения напряжения u(tф, у) и тока i(tф, у) вдоль линии для двух моментов времени: t1 = 0,75l/v и t2 = 1,5l/v.
Решение
iпад
а)
б)
1
1 ZС, l, v
2
UРУБ
UРУБ =E0
E0
uпад
ZC
L0
L0
1
2
1
Рис. 8.3
1. На момент времени tф = t1 = 0,75l/v = 0,375 мс в линии будет только
падающая волна. Её параметры рассчитываем по схеме замещения для сечения “1-1” (рис. 8.3,б):
iпад(t) = iпр(t) + Ае pt;
iпад(0+) = iпад(0-) = 0, iпр(t) = Е0/ZС = 120·103/250 = 480 А,
А = iпад(0) – iпр(0) = 0 – 480 = -480,
р = -ZС/L0 = -250/0,15 = -1667 1/с.
iпад(t) = 480 – 480е -1667t А;
uпад(t) = ZС·iпад(t) = 120 – 120е -1667t кВ.
Для получения зависимостей тока и напряжения от координаты, по коx
торым будут построены графики, переходим к аргументу [tф – ]:
v
3
3
iпад(tф; х) = 480 – 480 е 1667 [ 0 ,375 10  x / 280 10 ] = 480 – 480 е 1,667 [ 0 ,375  x / 280 ] А;
uпад(tф; х) = 120 – 120 е 1,667 [ 0 ,375  x / 280 ] кВ.
При tф = 0,375 мс выражения справедливы для координаты
х ≤ v·tф = 105 км.
uпад, кВ
График распределения напряРис. 8.4
жения
uпад(tф; х)
вдоль линии для
v
момента времени t1
представлен на рис.
8.4. Кривая тока
iпад(tф; х) аналогична,
х, км
так как
iпад =
uпад/ZС.
164
2. К моменту времени tф = t2 = 1,5l/v = 0,75 мс в линии будут существовать падающая и отражённая волны. Поскольку конец линии разомкнут,
волна отражается полностью и без перемены знака: п2 = 1. Таким образом,
выражения для построения графиков в этом случае будут:
uпад(tф; х) = 120 – 120 е 1,667 [ 0 ,75  x / 280 ] кВ,
0 ≤ х ≤ 210 км,
1,667 [ 0 ,75  x / 280 ]
iпад(tф; х) = 480 – 480 е
А;
uотр(tф; y) = 120 – 120 е 1,667 [ 0 ,25  у / 280 ] кВ,
0 ≤ у ≤ 35 км,
1,667 [ 0 ,25  у / 280 ]
iотр(tф; y) = 480 – 480 е
А.
Заметим: время существования падающей волны t = t2 = 0,75 мс, время
существования отражённой волны t′′ = t2 – tпробега = 0,75 – 0,5 = 0,25 мс.
Расчётные значения волн в нескольких точках линии даны в табл. 8.1
Таблица 8.1
x, км
uпад, кВ
iпад, А
y, км
uотр, кВ
iотр, А
210
0
0
35
22,57
90,3
105
55,78
223,1
17,5
32,21
128,9
70
67,86
271,4
0
40,9
163,6
0
85,63
342,5
–
–
–
Графики падающей, отражённой волн и результирующих значений
напряжения u и тока i рекомендуется строить раздельно (рис. 8.5). Напомним: u = uпад + uотр; i = iпад – iотр.
u, В
i, А
i = iпад – iотр
u
Рис. 8.5
u = uпад + uотр
i
165
iобр
ЗАДАЧА 8.31. К линии без по1
2
терь, работающей в режиме холостого
ZС, l, v
хода, подключается rC-нагрузка (рис.
UРУБ
rН
8.6). Определить параметры возникаюЕ0 U0
U0
щей обратной волны и построить граCН
фик распределения волны по линии че1
2
рез tф = 150 мкс после подключения
Рис. 8.6
нагрузки. Числовые данные: E0 = 100 В,
3
ZC = 250 Ом, l = 25 км, v =10010 км/с, rН = 150 Ом, СН = 0,125 мкФ.
Решение
iобр 2
1. В докоммутационном установившемся
режиме линии определяем величину напряжения
ЕЭКВ rН
на рубильнике: uуст(0-) = U0 = E0 = 100 В,
iуст(0-) = 0, UРУБ = U0 = 100 В.
ZC
iН
uобр
2. Для сечения 2-2 в момент возникновения
CН
2
обратной волны составляем схему замещения (рис.
8.7): ЕЭКВ = UРУБ направлена с полярностью, проРис. 8.7
тивоположной полярности напряжения на рубильнике, линия представлена своим волновым сопротивлением.
В схеме замещения рассчитаем ток нагрузки.
uС(0+) = uС(0-) = 0,
р = -1/[(rН + ZC)·CН] = -20·103 1/с,
Eэкв
iН(t) = iсв =
e -20000t = 0,25e -20000t А.
rH  Z C
Ток и напряжение обратной волны запишутся:
iобр(t, у = 0) = -iН = -0,25e -20000t А,
uобр(t, у = 0) = ZC·iобр = -62,5e -20000t В.
В
мА
uуст
iуст
100
у
км
В
у
20
10
0 км
км
20
мА iобр
у
uобр
x
v
В
iуст=0
у
x
10
x
0 км
x
v
мА i
u
v
v
у
x
км
км
км
Рис. 8.8
у
166
x
км
3. Для построения графиков тока и напряжения в функции координаты
переходим к аргументу [tф – у/v].
iобр(у; tф) = -0,25e -20·[0,15 – y/100] А,
у ≤ v∙tф = 15 км;
–20·[0,15 – y/100]
uобр(у; tф) = - 62,5e
В.
Графики падающей, отражённой и преломлённой волн, а потом и результирующий график (u = uуст + uобр и i = iуст – iобр) целесообразно выполнять раздельно, как это и показано на рис. 8.8.
ЗАДАЧА 8.32. Воздушная линия (l = 70 км, ZC = 400 Ом), присоединённая к генератору с напряжением U0 = 100 кB (r0 = 0), длительно работала в
режиме холостого хода.
Построить графики распределения напряжения и тока вдоль линии для
момента времени спустя 0,2 мс после подключения к концу линии неразветвлённой активно-индуктивной нагрузки: r = 200 Ом, L = 100 мГн.
Решение
Для наглядности выполним рисунок исходной схемы и составим расчётную схему для определения параметров возникающей обратной волны
(рис. 8.9,а и б).
а)
б) 2
1
2
iобр
r
ZC
U0
uобр
L
1
UРУБ = U0 r
L
2
2
Рис. 8.9
Напряжение и ток вдоль линии до коммутации:
u(t-) = U0 = 100 кB, i(t-) = 0.
Напряжение на рубильнике в момент коммутации: UРУБ = U0 = 100 кB.
Расчёт возникающей обратной волны выполняем по схеме рис. 8.9,б
при нулевом независимом начальном условии (iобр(0) = 0):
rZ
600
Ct

t

U0
 100  10 3
L
iобр(t) =
(1 – e
)=
(1 – e 0 ,1 ) = -167 + 167·е -6000t А,
r  ZC
200  400
uобр(t) = ZC·iобр = 400·(-167 + 167·е -6000t)·10 -3 = -66,7 + 66,7·е -6000t кВ.
Формулы uобр(t) и iобр(t) получены для координаты у = 0. Для перехода от функций времени к функциям координат при tФ = 0,2 мс делаем замену t → (tФ – у/v):
y
iобр(tФ, у) = -167 + 167·еxp[-6000(2·10 -4 –
)],
3  10 5
y
uобр(tФ, у) = -66,7 + 66,7·еxp[-6000(2·10 -4 –
)].
3  10 5
Расстояние, которое волна пройдёт за заданное фиксированное время
tФ: yФ = v·tФ = 3·10 5·2·10 -4 = 60 км. Поэтому формулы uобр(tФ, у) и iобр(tФ, у)
167
справедливы для координат у ≤ yФ = 60 км. При у > yФ uобр и iобр равны
нулю.
Результирующие значения напряжения и тока в линии определяются
наложением докоммутационного режима и обратной волны:
u = u(t-) + uобр; i = i(t-) – iобр.
Таким образом,
y

4
33
,
3

66
,
7
exp(

6000
(
2

10

)) кВ при 0  у  60 км ,
u(у) = 
3  10 5
 100 кВ при 60 км  у  70 км.

y

4
167

167
exp(

6000
(
2

10

)) А при 0  у  60 км ,
i(у) = 
3  10 5
 0 при 60 км  у  70 км.

Эпюры напряжения и тока для момента времени tФ = 2 мс приведены на
рис. 8.10.
u, кВ
100
u
50
у, км
60
40
20
0
uобр
-50
i, А
200
i
у, км
60
40
100
20
0
iобр
-100
Рис. 8.10
-200
168
ЗАДАЧА 8.33. Индуктивная нагрузка L = 0,015 Гн подключается посередине работающей линии (рис.8.11,a) с параметрами
ZC = 300 Ом,
3
v = 240·10 км/с, l = 120 км. Сопротивление резистивной нагрузки и ЭДС
источника: r = 600 Ом, Е0 = 1,2 кВ. Определить параметры возникающих обратной и прямой волн, построить графики напряжения и тока вдоль линии через
tф = 200 мкс после коммутации.
а)
iобр
A
1
inр
2
Uруб=E0
r
E0
ZC
L
1
б)
unр
iL
2
A
y1
uобр
ZC
L
x2
Рис. 8.11
Ответы: докоммутационный режим:
iуст(t-) = Е0/r = 2 А, uуст(t-) = Е0 = 1,2 кВ, Uруб = 1,2 кВ;
схема замещения для расчёта прямой и обратной волн на рис. 8.11,б:
iL(t) = 8 – 8е -10000t А, iпр(t, х2=0) = iобр(t, у1=0) = -0,5iL(t) = -4 + 4е -10000t А;
tф = 0,20 мс, iпр(tф, х2) = -4 + 4ехр[-10·(0,2 – x2/240] А,
0 ≤ х2 ≤ 48 км;
uуст(t-)
u, кВ
iуст(t-) 2 i, А
1
х
,
км
х2, км
2
у1, км
у1, км
0
60
60
0
60
2 i, А
х2, км
у1, км
0
60
у1, км
60
60
60
uпр
iпр
-4
-2
i, А
1,6 u, кВ
6
1,2
4
0,8
i1
2
у1, км
60
х2, км
0
uобр
iобр
60
1 u, кВ
0
-2
u1
х2, км
0,4
х2, км
у1, км
i2 60
Рис. 8.12
169
60
u2
0
60
uпр(tф, х2) = -1,2 + 1,2ехр[-10·(0,2 – x2/240] кВ, 0 ≤ х2 ≤ 48 км;
iобр(tф, y1) = -4 + 4ехр[-10·(0,2 – y1/240] А,
0 ≤ y1 ≤ 48 км;
uобр(tф, y1) = -1,2 + 1,2ехр[-10·(0,2 – y1/240] кB, 0 ≤ y1 ≤ 48 км;
результирующие значения тока и напряжения в каждой из половин линии определяются в соответствии с формулами:
i1 = iуст(t-) – iобр, u1 = uуст(t-) + uобр,
i2 = iуст(t-) + iпр,
u2 = uуст(t-) + uпр;
эпюры тока и напряжения для момента времени tф представлены на рис. 8.12.
ЗАДАЧА 8.34. Антенный кабель с параметрами l = 10 м, L0 = 0,1 мГн/м,
С0 = 0,1 нФ/м, был нагружен в соответствии с рис. 8.13,а: R1 = 1000 Ом,
R2 = 100 Ом, L = 1 мГн, напряжение на входе кабеля U = 100 В. В результате
коммутации (отключение ветви с R2) в кабеле возникает ПП. Построить графики распределения напряжения u и тока i вдоль кабеля для момента времени tф, когда возникшая волна пройдёт ¾ длины кабеля.
Решение
Предварительные вычисления:
1
1
- фазовая скорость волны v =
=
= 107 м/с;

4

10
L0C0
10  10
L0
10  4
- характеристическое сопротивление ZС =
=
= 1000 Ом;
C0
10 10
l 10
- длительность времени пробега волны tпроб = = 7 = 10 -6 с = 1 мкс;
v 10
- заданный фиксированный момент времени tф = ¾ tпроб = ¾ мкс.
а)
б)
iобр
iуст
IРУБ
IРУБ
L
L
R2
U
ZC
uобр
uуст
R1
R1
Рис. 8.13
Анализируем докоммутационное состояние цепи:
RR
1000  100
uуст = U = 100 В, RН = 1 2 =
= 90,9 Ом,
R1  R2 1000  100
iуст = uуст/RН = 100/90,9 = 1,1 А, IРУБ = uуст/R2 = 100/100 = 1 А.
Напряжение и ток возникающей обратной волны рассчитываем по схеме
замещения рис. 8.13,б при нулевом независимом начальном условии iL(0) = 0.
Обращаем внимание, что независимое начальное условие считается нулевым,
не взирая на то, что до коммутации ток в индуктивности имел место.
R1
1000
iобр(t) = iпр + Ае рt; iпр = IРУБ·
= 1·
= 0,5 А,
1000  1000
R1  Z C
170
 R1  Z C  1000  1000
=
= -2·106 с -1.
0 ,001
L
Постоянная времени цепи и длительность переходного процесса:
 = |р| -1 = 5·10 -7 с, TПП = 4 = 2·10 -6 с = 2 мкс.
Начальное значение тока iобр(0) с учётом iL(0) = 0:
iобр(0) = IРУБ = 1 А.
Тогда постоянная интегрирования А = iобр(0) – iпр = 1 – 0,5 = 0,5.
Ток и напряжение обратной волны в функции времени при нулевой кор=
ординате: iобр(t) = 0,5 + 0,5е -2000000t А, uобр(t) = ZС·iобр = 500 + 500 e  210 t В.
Ток и напряжение обратной волны в функции координаты при фиксированном моменте времени tф:
iобр(tф, у) = 0,5 + 0,5ехр[-2·106·(0,75·10 -6 – у/v)] = 0,5+ 0,5ехр[-2·(0,75 – у/10)]
А,
uобр(tф, у) = 500 + 500ехр[-2·(0,75 – у/10)] B.
Последние формулы справедливы для у  v·tф = 7,5 м. При у  7,5 м
обратная волна отсутствует.
Результирующие ток и напряжение в линии находим в соответствии с
формулами: u = uуст + uобр, i = iуст – iобр. Эпюры тока и напряжения приведены на рис. 8.14.
6
1.5
1500
1000
1
i1( x)
u1( x)
iobrx( x)
uobrx( x)
500
0.5
0
0
5
x
10
0
Рис. 8.14
0
5
10
x
ЗАДАЧА 8.35. Решить задачу 8.34 при условии, на входе кабеля действует источник переменного напряжения u(t) = 100sin(106t) B.
Решение
Воспользуемся результатами предварительных вычислений задачи 8.34:
v = 107 м/с; ZС = 1000 Ом; tпроб = 1 мкс; tф = ¾ мкс.
Дополнительно находим коэффициент фазы:
 = /v = 106/107 = 0,1 рад/м.
Установившийся режим до коммутации ввиду синусоидального источника рассчитаем символическим методом.
хL =  L = 106·10 -3 = 1000 Ом, Z1 = R1 + jхL = 1000 + j1000 Ом,
Z R
( 1000  j1000 )  100
ZH = 1 2 =
= 95,13·e j2,73° Ом.
Z 1  R2 1000  j1000  100
171
Значения комплексных амплитуд тока и напряжения в конце кабеля получим, используя основные уравнения ЛБП в комплексной форме с учётом закона Ома U2m = ZH ·I2m:
Z
U1m = U2m·cos( l) + j·ZС I2m sin( l) = U2m·(cos( l) + j· C sin( l)),
ZH
U1m
100
отсюда U2m =
=
=11,25·e -j83,79°
1000
Z
sin1
cos( l )  j C sin( l ) cos 1  j
j 2 ,73 
ZH
95,13e
В,
I2m = U2m/ZH = 11,25·e -j83,79°/95,13·e j2,73°= 0,118·e -j86,52° А.
Ток рубильника найдём по закону Ома:

U 2 m 11,25  e  j 83 ,79
IРУБm =
=
= 0,1125·e -j83,79° А.
R2
100
Возникающую обратную волну рассчитываем по схеме рис. 8.13,б:
1000  j1000
Z1
Iпрm = IРУБm·
= 0,1125·e -j83,79°·
= 0,071·e –j65,36° А.
Z 1  ZC
1000  j1000  1000
iпр(t) = 0,071sin(t – 65,36°) А, iпр(0) = 0,071sin(-65,36°) = 0,065 А,
р = -2·106 с -1, iобр(0) = iРУБ(0) = 0,1125sin(-83,79°) = -0,112 А,
А = iобр(0) – iпр(0) = -0,112 + 0,065 = -0,047,
iобр(t) = iпр(t) + Ае рt = 0,071sin(t – 65,36°) – 0,047 e  210
6
t
А,
uобр(t) = ZС·iобр = 71sin(t – 65,36°) – 47 e  210 t В.
Ток и напряжение обратной волны в функции координаты у при фиксированном моменте времени tф:
iобр(tф, у) = 0,071sin(1рад·(0,75 – у/10) – 65,36°) – 0,0476ехр[-2·(0,75 – у/10)] А,
uобр(tф, у) = 71sin(1рад·(0,75 – у/10) – 65,36°) – 47ехр[-2·(0,75 – у/10)] B.
Последние формулы справедливы для у  v·tф = 7,5 м. При у  7,5 м
обратная волна отсутствует.
Мгновенные значения напряжения и тока установившегося до коммутации режима в любом месте линии можно рассчитать по следующим формулам:
Um(у) = U2m·cos( у) + j·ZС I2m sin( у),
U
Im(у) = j· 2 m sin( у) + I2m·cos( у),
ZC
uуст(t, у) = Im(Um(у)·е jt), iуст(t, у) = Im(Im(у)·е jt).
Значения напряжения и тока установившегося режима в фиксированный
момент времени tф в функции координаты у: uуст(tф, у), iуст(tф, у). Представление этих значений в виде формул – сложная задача, поэтому для построения
эпюр напряжения и тока определим их численным способом с помощью компьютерной математической системы MathCAD:
U2m := 11.25·e –j·83.79deg I2m := 0.118·e –j·86.52deg
 := 0.1 ZС := 1000 tf := 0.75·10 -6
U(y) := U2m·cos( ·у) + j·ZС ·I2m·sin( ·у)
172
6
U 2m
·sin( ·у) + I2m·cos( ·у)
ZC
Ответ для Um(у):
simplify
U(y)
(.6087 – 5.593i)·(2.·cos(.1000·y) + sin(.1000·y)+ 21.·i·sin(.1000·y))
float ,4
uust(t, у) := Im(U(у)·е j··t) iust(t, у) = Im(I(у)·е j··t)
Напряжение и ток обратной волны:
iobr(x) :=
I(у) := j·
:=
0 if 0  x  2.5
0.071  sin[ 0.75  ( l  x ) / 10  1.141]  0.047  exp[ 2  ( 0.75  ( l  x ) / 10 ] if 2.5  x  10
uobr(x) := ZC·iobr(x)
Результирующие значения напряжения и тока в функции координаты:
i(x) := iust(tf, l-x) – iobr(x)
u(x) := uust(tf, l-x) + uobr(x)
Эпюры тока и напряжения для фиксированного момента времени представлены на рис. 8.15.
100
0.05
50
i1( x)
u1( x)
0
0
iobrx( x)
uobrx( x)
iustt ( tf  l x) 0.05
uustt ( tf  l x)
0.1
0.15
50
100
0
5
x
10
150
Рис. 8.15
0
5
10
x
ЗАДАЧА 8.36. В цепи рис. 8.16,а с параметрами Е = 100 В, r0 = 100 Ом,
С = 0,4 мкФ, R = 400 Ом, L = 0,09 Гн, ZС = 500 Ом, l = 10 км, v = 100·103
км/с происходит коммутация. Построить графики распределения напряжения
u(tф, х) и тока i(tф, х) вдоль линии для момента времени tф, когда падающая
волна достигнет середины линии.
а)
б)
iпад
ZС, l, v
R
Е
uпад
ZC
C
C
IРУБ
L
r
0
Рис. 8.16
Ответы. IРУБ = i(t-) = 0,2 А, u(t-) = 80 В; схема для расчёта падающей
волны на рис. 8.16,б: uпад(t) = -100 + 100е -5000t В, iпад(t) = -0,2 + 0,2е -5000t А;
tф = 0,05 мс,
uпад(tф, х) = -100 + 100ехр[-5·(0,05 – х/100)] В,
0 ≤ х ≤ 5 км,
173
iпад(tф, х) = -0,2 + 0,2ехр[-5·(0,05 – х/100)] А;
u(tф, х) = u(t-) + uпад(tф, х), i(tф, х) = i(t-) + iпад(tф, х);
эпюры тока и напряжения на рис. 8.17.
100
ipad( x) 0.1
upad( x) 50
irez ( x)
urez ( x)
0
0.1
0
0
2.5
5
7.5
10
x
50
Рис. 8.17
0
5
10
x
8.2.3. Расчёт отраженных волн
ЗАДАЧА 8.37. Нагруженная линия без потерь с параметрами
ZС =
3
= 250 Ом, l = 140 км, v = 280·10 км/с, подключается к идеальному источнику
постоянного напряжения Е0 = 120 кВ (рис. 8.16,a). Параметры нагрузки:
RН = 750 Ом, СН = 1,066 мкФ. Требуется:
- построить графики распределения напряжения u(tф, у) и тока i(tф, у)
вдоль линии для момента времени tф = 0,75 мс после включения линии;
- построить график изменения напряжения uА(t) в сечении АА посередине линии в течение времени, равного 2,5 пробега волны: 0 ≤ t ≤ 2,5tпробега.
а)
A
1
ZС, l, v
Е0
A
2
i22
2
RН
CН
1
б)
2uпад
ZC
CН
u22
2
2
RН
Рис. 8.18
Решение
Часть I. Время пробега волны tпробега = l/v = 0,5 мс. Следовательно, на
рассматриваемый момент tф = 0,75 мс в линии будут существовать падающая и отражённая волны, причём время существования отражённой волны
t′ф = 0,25 мс. Рассчитаем их.
1. Параметры падающей волны: uпад(t; х=0) = Е0 = 120 кВ,
iпад(t; х=0) = Е0/ZC = 120·103/250 = 480 А.
2. Через tпробега = 0,5 мс волна достигнет сечения “2-2”, где встретит
неоднородность. Волна частично пройдёт в нагрузку, а частично отразится.
Параметры отражённой волны рассчитываются через ток или напряжение i22,
u22 в сечении “2-2” линии. В схеме замещения линии для сечения “2-2”
(рис. 8.18,б) проще рассчитать напряжение на конденсаторе, которое и будет
равно искомому напряжению u22:
2 u пад
u22(t) = uС(t) = uпр + Ае pt =
 RH + [uС(0+) – uпр(0+)]∙е pt;
Z C  RH
174
2  120  10 3
 750 = 180 кВ, А = 0 – 180 = -180 кВ,
250  750
1
250  750
Z R
1

Zвх(р) =
= 0, р = -5000 1/с,
 C H =
рС Z C  RH 1,066  10  6  р 250  750
Таким образом, u22(t) = 180 – 180е -5000t кВ.
Из соотношения u22(t) = uпад + uотр, а затем по закону Ома находим:
uотр(t) = u22(t) – uпад(t) = 180 – 180е -5000t – 120 = 60 – 180е -5000t кВ,
uотр ( 60  180e 5000 t )  10 3
iотр(t) =
= 240 – 720 е -5000t А.

ZC
250
3. Для построения графиков распределения напряжения и тока по линии, переходим к аргументу [tф – у/v]:
uпад(tф; х) = 120 кВ, iпад(tф; х) = 480 А,
0 ≤ х ≤ 140 км;
uотр(t′ф; у) = 60 – 180ехр[-5·(0,25 – y/280)] кВ,
t′ф = 0,25 мс,
iотр(t′ф; у) = 240 – 720 ехр[-5·(0,25 – y/280)] А,
0 ≤ у ≤ 70 км.
По этим выражениям на рис. 8.19 построены графики распределения
тока и напряжения вдоль линии. Результирующие значения напряжения
u = uпад + uотр и тока i = iпад – iотр.
i, А
u, кВ
uС(0+) = uС(0-) = 0, uпр =
i, А
u, кВ
i, А
i
u, кВ
u
Рис. 8.19
Часть II. Для построения графика изменения напряжения uА(t) в сечении АА посередине линии в течение времени, равного 2,5 пробега волны
0 ≤ t ≤ 2,5tпробега, воспользуемся результатами, полученными в первой части
решения.
В сечении АА до прихода падающей волны, т.е. в течение времени
175
t ≤ t1 = 0,5tпробега = 0,25 мс будем иметь: uА(t) = 0.
С момента t1 = 0,25 мс до момента t2 = 0,75 мс, пока падающая волна
достигнет конца линии, а затем отражённая волна достигнет точки А, напряжение uА(t) будет равно напряжению падающей волны uА(t) = uпад = 120 кВ.
В момент t2 отражённая волна приходит в точку А, происходит наложение падающей и отражённой волн:
uА(t) = uпад + uотр = 120 + [60 – 180ехр(-5000(t – 0,75·10 -3)] кВ.
Этот закон изменения uА(t) будет действовать в течение времени tпробега,
пока отражённая волна придёт в начало линии (0,25 мс), и пока возникшая новая падающая волна достигнет точки А (0,25 мс):
uпад2 = п1·uотр.
Процесс изменения напряжения во
времени в точке А линии представлен на
рис. 8.20:
t = 0 – 0,25 мс
uА(t) = 0;
Рис. 8.20
t = 0,25 – 0,75 мс uА(t) = 120 кВ;
t = 0,75 – 1,25 мс uА(t) = 180 – 180ехр(-5000(t – 0,75·10 -3) кВ.
ЗАДАЧА 8.38. К источнику постоZС, l, v
янного напряжения Е0 = 120 кВ с внутренЕ0
ней индуктивностью L0 = 0,15 Гн подклюRН
L0
чается нагруженная линия без потерь с параметрами
ZC = 250 Ом, l = 140 км,
3
Рис. 8.21
v = 280·10 км/с (рис. 8.21). RН = 750 Ом.
Построить графики распределения напряжения u(tф, у) и тока i(tф, у) вдоль
линии для момента времени tф = 1,5l/v.
Ответы: iпад(tф; х) = 480 – 480 е 1,667 [ 0 ,75  x / 280 ] А; uпад(tф; х) = ZC∙iпад;
iотр(t′ф; у) = -0,5iпад = -240 + 240 е 1,667 [ 0 ,25  у / 280 ] А.
400
Графики на
100
рис. 8.22.
ipad( x)
upad( x)
ipad2( x) 200
iotr ( x)
irez ( x)
50
uotr ( x)
urez ( x)
0
200
0
50
0
70
140
x
ЗАДАЧА 8.39. Нагруженная кабельная линия с параметрами ZC = 75 Ом, l =
= 50 км, v = 125·103 км/с подключается к
источнику постоянного напряжения (Е0 =
= 1,2 кВ, rвн = 5 Ом). На входе линия защи176
210
0
70
x
Рис. 8.22
Е0
1 ZС, l, v
C
rвн
140
2
RН
2
1
Рис. 8.23
щена от помех с помощью конденсатора С = 53,33 мкФ (рис. 8.23). Построить графики распределения напряжения u(tф, у) и тока i(tф, у) вдоль линии
для момента времени t1ф = 1,5l/v. RН = 225 Ом.
Ответы: iпад(tф; х) = 15 – 15 е 40 ,6  х / 125  А; uпад(tф; х) = ZC∙iпад;
iотр(t′ф; у) = -0,5iпад = -7,5 + 7,5 е 40 ,2  у / 125  А.
Графики на
20
рис. 8.24.
1000
ipad( x)
10
iotr ( x)
upad( x)
irez ( x)
urez ( x)
uotr ( x)
0
0
0
10
20
30
40
50
Рис. 8.24
x
0
10
20
30
40
50
x
ЗАДАЧА 8.41. Нагруженная линия без потерь с параметA
R1
рами ZC = 250 Ом, l = 140 км,
Е0
L
R2
v = 280·103 км/с подключается
ZС, l, v
к идеальному источнику постоянного напряжения Е0 = 120 кВ
A
Рис. 8.25
(рис. 8.25). Параметры элементов нагрузки: R1 = 500 Ом, L = 37,5 мГн, R2 = 250 Ом. Требуется:
- построить графики распределения напряжения u(tф, у) и тока i(tф, у)
вдоль линии для момента времени tф = 0,9 мс после включения линии;
- построить график изменения напряжения uА(t) в сечении АА посередине линии в течение времени, равного двум пробегам волны: 0 ≤ t ≤ 2tпробега.
Ответы: iпад(t) = 480 А, uпад(t) = 120 кВ;
u22(t) = 160 + 20е -5000t кВ, i22(t) = 320 – 80е -5000t А, t′ф = 0,4 мс,
uотр(t′ф; у) = 40 + 20 е 50 ,4  у / 280  кВ, iотр(t′ф; у) = 160 + 80 е 50 ,4  у / 280  А.
Графики на рис. 8.26.
600
200
ipad( x)
400
iotr ( x)
upad( x)150
irez ( x) 200
urez ( x)
200
uotr ( x) 100
ua( t ) 100
50
0
0
70
x
140
0
0
0
0
Рис. 8.26
ЗАДАЧА 8.42. Нагруженная линия
без потерь с параметрами ZC = 300 Ом, l =
= 140 км, v = 280·103 км/с подключается
к идеальному источнику постоянного
напряжения Е0 = 120 кВ (рис. 8.27). Па177
70
5 10
140
4
t
x
CН
Е0
ZС, l, v
Рис. 8.27
RН
раметры элементов нагрузки: RН = 950 Ом, СН = 0,1 мкФ. Построить:
- график тока i22 в конце линии в функции времени;
- графики распределения напряжения u(tф, у) и тока i(tф, у) вдоль линии
для момента времени tф = 0,86 мс после включения линии.
Ответы: i22(t) = 192е -8000t А; uотр(t′ф; у) = 120 – 57,6 е 80 ,36  у / 280  кВ,
iотр(t′ф; у) = 400 – 192 е 80 ,36  у / 280  А.
Графики на
400
250
рис. 8.28.
200
upad( x)
150
uotr ( x)
100
urez ( x)
ipad( x)
iotr ( x) 200
irez ( x)
50
0
0
70
140
Рис. 8.28
0
0
70
x
140
x
ЗАДАЧА 8.43. В условиях задачи 8.34 построить графики распределения напряжения u и тока i вдоль кабеля для момента времени tф, когда отражённая от начала кабеля волна пройдёт ½ длины кабеля.
Решение
Воспользуемся результатами вычислений задачи 8.34:
v = 107 м/с; ZС = 1000 Ом; tпроб = 1 мкс; tф = (1+½)tпроб = 1,5 мкс.
uуст = U = 100 В, iуст = 1,1 А,
iобр(t) = 0,5 + 0,5 e  210 t А, uобр(t) = 500 + 500 e  210 t В.
Ток и напряжение обратной волны в функции координаты при фиксированном моменте времени tф: iобр(tф, у) = 0,5 + 0,5ехр[-2·(1,5 – у/10)] А,
uобр(tф, у) = 500 + 500ехр[-2·(1,5 – у/10)] B.
Внутреннее сопротивление источника равно нулю, поэтому коэффициент
0  ZC
отражения от начала линии n1 =
= -1. Тогда формулы тока и напряжения
0  ZC
прямой волны для нулевой координаты в функции времени, причём отсчёт времени ведётся с момента отражения, следующие:
6
iпр(t) = -0,5 – 0,5 e  210
6
6
t
А,
uпр(t) = -500 – 500 e  210 t В.
6
1
1000
0.5
500
i2( x)
iobr2x( x)
u2( x)
uobr2x( x)
0
iprx( x)
0
uprx( x)
0.5
1
500
0
5
x
10
1000
Рис. 8.29
178
0
5
x
10
Они же в функции координаты с учётом того, что время существования
прямой волны равно tф – tпроб = 0,5 мкс:
iпр(tф, х) = -0,5 – 0,5ехр[-2·(0,5 – х/10)] А,
uпр(tф, у) = -500 – 500ехр[-2·(0,5 – х/10)] B.
Формулы справедливы для х  v·(tф – tпроб) = 5 м. При х  5 м прямая
волна отсутствует.
Результирующие ток и напряжение в линии находим в соответствии с
формулами: u = uуст + uобр + uпр, i = iуст – iобр + iпр. Эпюры тока и напряжения
приведены на рис. 8.29.
ЗАДАЧА 8.44. В условиях задачи 8.36 построить графики распределения
напряжения u(tф, х) и тока i(tф, х) вдоль линии для момента времени tф, когда
отражённая волна достигнет середины линии.
Комментарии и ответы: iуст = 0,2 А, uуст = 80 В;
uпад(t) = -100 + 100е -5000t В, iпад(t) = -0,2 + 0,2е -5000t А.
Отражённую волну можно рассчитать двумя способами, причём расчёты выполним, используя MathCAD. В первом способе используем коэффициент отражения в операторной форме:
- оригинал и изображение тока падающей волны:
 .2000
.2000
laplace,t
ipad(t) := -0.2 + 0.2·е -5000·t
ipad(t)

+
float ,4
s
s  5000
 .2000
.2000
Ipad(p) :=
+
p
p  5000
- операторное сопротивление нагрузки линии Z(p) := R + p·L
Z ( p )  ZC
- операторный коэффициент отражения n(p) :=
Z ( p )  ZC
( .1000 e5 )  9.  p
simplify
n(p)
 .1111·
float ,4
.1000 e5  p
- изображение и оригинал тока отражённой волны:
Iotr(p) := n(p)·Ipad(p)
invlaplace, p
Iotr(p)
 .2222·e(-.1000e5)·t + .2222e-1 – .2444·e(-5000.)·t
float ,4
Во втором способе сначала рассчитаем ток
i
переходного процесса в конце линии по схеме замеZC
щения рис. 8.30. Поскольку напряжение источника
R
2uпад имеет экспоненциальную форму, расчёт выu(t) = 2uпад
полним с помощью интеграла Дюамеля.
L
u(t) := -200 + 200·е -5000·t
R  ZC
1
1
g(t) :=
–
·exp(·t)
R  ZC R  ZC
L
Рис. 8.30
simplify
g(t)
 .1111e-2 – .1111e-2·e(-.1000e5)·t
float ,4
179
 d

i(t) := u(0)·g(t) +   u(  )   g( t   )d

0  d
simplify
i(t)
 .4444·e(-5000.)·t – .2222 – .2222·e(-.1000e5)·t
float ,4
iotr(t) := ipad(t) – i(t)
simplify
iotr(t)
 .2222·e(-.1000e5)·t + .2222e-1 – .2444·e(-5000.)·t
float ,4
Таким образом, ток и напряжение отражённой волны для нулевой координаты у = 0:
iотр(t) = 0,0222 + 0,2222·е -10000·t – 0,2444·e -5000t А,
uотр(t) = ZC·iотр(t) = 11,1 + 111,1·е -10000·t – 122,2·e -5000t В.
Причём в этих формулах отсчёт времени начинается с момента отражения волны. Таким образом, к моменту tф = 1,5tпроб = 0,15 мс падающая
волна существует как раз 0,15 мс, а отражённая волна – 0,05 мс.
Напряжение и ток падающей и отражённой волн в функции координаты: uпад(tф, х) = -100 + 100ехр[-5·(0,15 – х/100)] В,
iпад(tф, х) = -0,2 + 0,2ехр[-5·(0,15 – х/100)] А;
uотр(tф, х) = 11,1 + 111,1ехр[-10·(0,05 – у/100)] – 122,2·ехр[-5·(0,05 – у/100)] В,
iотр(tф, х) = 0,0222 + 0,2222ехр[-10·(0,05 – у/100)] –
– 0,2444·ехр[-5·(0,05 – у/100)] А.
В этих формулах у = 10 – х  5 км.
Результирующие ток и напряжение в линии находятся в соответствии с
формулами:
u(tф, х) = uуст + uпад(tф, х) + uотр(tф, х), i (tф, х) = iуст + iпад(tф, х) – iотр(tф, х).
Эпюры тока и напряжения на рис. 8.31.
t
50
ipad( x)
upad( x) 25
0.1
irez ( x)
iotr2( x)
urez ( x)
0
uotr2( x)
0
25
0.1
0
2.5
5
7.5
10
x
50
Рис. 8.31
0
5
10
x
8.2.4. Расчёт волн при прохождении через R,L,С-элементы
ЗАДАЧА 8.45. По воздушной линии
пад
2
3
2
с параметрами ZC1 = 220 Ом, l1 = 150 км,
3
v1 = 300·10 км/с распространяется падаю- 1
R
щая волна с прямоугольным фронтом
L
напряжением uпад(t) = 220 кВ, переходя
ZС2, l2, v2
затем через корректирующие элементы R 1 ZС1, l1, v1
= = 180 Ом, L = 30 мГн в кабель с пара3
2
метрами ZC2 = 88 Ом, l2 = 75 км, v2 = Рис. 8.32 2
180
= 150·103 км/с, конец которого разомкнут (рис. 8.32).
Требуется: построить графики тока i22(t) и напряжения u22(t) в конце первой линии в функции времени, а также графики распределения вдоль обеих
линий результирующего напряжения и тока для момента времени tф = 0,5l1/v1,
считая с момента прихода волны в узел соединения линий.
Решение
1. Записываем ток и напряжение падающей волны:
uпад(t, х1=0) = 220 кВ; iпад(t, х1=0) = uпад/ZC1 = 220·103/220 = 1000 А.
2. Через время tпробега = l1/v1 = 0,5 мс волна достигнет сечения “2-2”, где
встретит неоднородность. Волна частично пройдёт в индуктивность, частично
отразится, а частично, в виде преломлённой волны, пройдёт во вторую линию.
Для определения отражённой и
iпрел
i22 2
преломлённой волн необходимо
2
рассчитать либо ток i22, либо
ZC1
R
напряжение u22 в сечении “2-2”,
uпрел
2uпад u22
L
ZC2
через которые затем можно записать выражения uотр, iотр, uпрел,
iпрел.
2
2
Рис. 8.33
Ток i22(t) рассчитываем по
схеме замещения линии для сечения “2-2” (рис. 8.33). Расчёт выполняем
классическим методом:
iL(0+) = iL(0-) = 0, i22(t) = iпр + Ае pt;
iпр(t) = 2uпад/ZC1 = 2·220·103/220 = 2000 А,
2 u пад
2  220  10 3
i22(0+) =
=
= 902 А,
Z C 1  R  Z C 2 220  180  88
А = i22 (0+) – iпр(0+) = 902 – 2000 = -1098 А;
Z  ( R  ZC 2 )
рL + C1
= 0,
р = -4027 1/с, τ = -1/р = 0,248 с ≈ 0,25 мс.
Z C1  R  Z C 2
Таким образом, i22(t) = 2000 – 1098е -4027t А.
Напряжение u22(t) находим по II закону Кирхгофа:
u22(t) = 2uпад – ZC1·i22(t) = 440 – 220·(2 – 1,098е -4027t) = 241,6е -4027t кВ.
По этим выражениям на рис. 8.34 построены графики u22(t), i22(t). Выражения справедливы для отрезка времени t  2tпробега = 2·0,5 = 1 мс.
Рис. 8.34
181
3. Уравнения отражённой и преломлённой волн в функции времени
находим через напряжение u22(t).
Отражённая волна: uотр(t, у1=0) = u22(t) – uпад = -220 + 241,6е -4027t кВ;
iотр(t, у1=0) = uотр/ZC1 = -1000 + 1098е -4027t А.
Преломлённая волна iпрел(t, х2=0) = u22/(R + ZC2) = 901,5е -4027t А;
uпрел(t, х2=0) = ZC2·iпрел = 88·0,9015е -4027t = 79,33е -4027t кВ.
4. Для построения графиков распределения тока и напряжения вдоль
обеих линий (рис. 8.35) выражения отражённой и преломлённой волн перепишем в функции аргумента [tф – у1/v1] или [tф – х2/v2]. В первой линии будут
падающая и отражённая волны:
uотр[tф, у1] = -220 + 241,6·ехр[-4,027·(0,25 – у1/300)] кВ,
iотр[tф, у1] = -1000 + 1098·ехр[-4,027·(0,25 – у1/300)] А, у1 ≤ v1·tф = 75 км.
Во второй линии будет только преломленная волна:
uпрел[tф, х2] = 79,33·ехр[-4,027·(0,25 – х2/150)] кВ,
iпрел[tф, х2] = 901,5·ехр[-4,027·(0,25 – х2/150)] А,
х2 ≤ v2·tф = 37,5 км.
Для удобства построения графиков расчёт отдельных значений тока и
напряжения в обеих линиях сведём в табл. 8.2.
Таблица 8.2
у1, км
uотр, кВ
iотр,А
х2, км
uпрел, кВ
iпрел, А
75
+21,65
+98,4
37,5
79,33
901,5
60
-22,42
-101,9
30,0
64,86
737,1
45
-58,46
-265,7
22,5
53,03
602,7
30
-87,92
-399,6
15,0
43,36
492,8
15
-112,0
-509,1
0
28,99
329,4
0
-131,7
-598,6
------пад
ЗАДАЧА 8.46. По воздушной ли3
2
2
нии с параметрами ZC1 = 220 Ом, l1 =
L
= 150 км, v1 = 300·103 км/с распростра- 1
R
няется волна с прямоугольным фронтом,
ZС2, l2, v2
переходя затем через корректирующие 1 ZС1, l1, v1
элементы R = 180 Ом, L = 30 мГн в
3
2
кабель с параметрами ZC2 = 88 Ом, l2 = Рис. 8.36 2
= 75 км, v2 = 150·103 км/с, конец которого разомкнут (рис. 8.36).
Требуется: построить графики тока и напряжения в конце первой линии в
функции времени, а также графики распределения вдоль обеих линий результирующего напряжения и тока для момента времени tф = 0,25 мс, считая с
момента прихода волны в узел соединения линий. uпад = 220 кВ.
Пояснения. Чтобы было удобнее различать точки R,L-сечения, принадлежащие первой и второй линиям, на схеме они обозначены как 2-2 и 2′-2′.
Ответы: u22(t) = 93,17 + 104,83е -8000t кВ, i22(t) = 1576,5 – 476,5е -8000t А;
uотр[tф; у1] = -126,8 + 104,8еxp[-8·(0,25 – у1/300)] кВ,
iотр[tф; у1] = -576,5 + 476,5еxp[-8·(0,25 – у1/300)] А,
у1 ≤ v1·tф = 75 км.
Во второй линии будет только преломленная волна:
uпрел[tф; x2] = 93,18 – 93,18еxp[-8·(0,25 – x2/150)] кВ,
182
iпрел[tф; x2] = 1059 – 1059еxp[-8·(0,25 – x2/150)] А,
Графики на рис. 8.37.
183
х2 ≤ v2·tф = 37,5 км.
Рис. 8.35
Файл «Рисунки»
184
2
ipad( x)
upad( x) 200
iotr ( x) 1
uotr ( x)
iprel( x)
uprel( x)
irez ( x) 0
urez ( x)
1
150
100
50
0
50
Рис. 8.37
0
150
100
50
0
50
x
x
ЗАДАЧА 8.47. Воздуш2
2
1
3
ная линия с параметрами l1 =
= 150 км, ZC1 = 400 Ом, v1 =
ZС2, l2, v2
ZС1, l1, v1
R
= 300103 км/с, соединённая с
Е0
LН
C
другой воздушной линией l2 =
= 150 км, ZC2 = 250 Ом, v2 =
Рис. 8.38
= 300103 км/с через корректирующие элементы R = 150 Ом, С = 2 мкФ, включается на идеальный источник Е0 = 110 кВ (рис. 8.38). Требуется построить графики распределения
вдоль обеих линий результирующих напряжения u и тока i для момента
времени tф = 0,4 мс, считая с момента прихода волны в узел соединения линий. LН = 20 мГн.
Решение
1. Мысленно представляя себе схему замещения для сечения 1-1, запишем параметры падающей волны:
uпад(t; x=0) = E0 = 110 кВ, iпад(t; x=0) = uпад/ZC1 = 110/0,4 = 275 А.
2. Через tпробега = 0,5 мс волна доi22 2
iпрел
стигнет сечения 2-2, где встретит неод2
нородность, частично отразится и чаR
ZC1
стично пройдёт в виде преломлённой
ZC2
C uпрел
u22
волны во вторую линию. Составляем 2uпад
схему замещения для узла 2-2, по кото2
2
рой классическим методом выполняем
Рис. 8.39
расчёт либо тока i22, либо напряжения
u22 (рис. 8.39). В нашем случае проще найти напряжение u22 = uС:
uС(0) = 0, р = -1/τ;
Z ( R  ZC 2 )
400  ( 150  250 )
τ = C1
·С =
·2·10 -6 = 0,4·10 -3 с; р = -2500 с -1.
400  150  250
Z C1  R  Z C 2
R  ZC 2
150  250
uС(t) = uСпр + А·е pt; uСпр = 2uпад·
= 220·
= 110 кВ,
400  150  250
Z C1  R  Z C 2
А = uС(0) – uСпр = -110;
Окончательно имеем: u22(t; y=0) = uС(t) = 110 – 110·е -2500t кВ,
2u пад  u 22 220  110  110 е 2500 t
i22(t; y=0) =
=
= 275 + 275·е -2500t А.
0 ,4
Z C1
185
Выражения справедливы в течение 2tпробега, т.е. в течение времени, пока
волны дойдут до концов своих линий, отразятся и вновь достигнут сечения
2-2.
3. Через выражения тока и напряжения в конце первой линии записываем выражения отражённой и преломлённой волн:
uотр(t; у1=0) = u22 – uпад = -110·е -2500t кВ, iотр(t; у1=0) = iпад – i22 = -275·е -2500t
А.
u 22
110  110 e 2500 t
iпрел(t; х2=0) =
=
= 275 – 275·е -2500t А,
3
R  Z C 2 ( 150  250 )  10
uпрел(t; х2=0) = ZC2·iпрел = 68,75 – 68,75·е -2500t кВ.
4. Для построения графиков тока и напряжения в функции координаты,
полученные выражения переписываем в функции [tф – у1/v1] и [tф – х2/v2]:
uотр(у1; tф) = -110·ехр[-2,5·(0,4 – у1/300)] кВ, 0 < у1 < v1·tф = 120 км,
iотр(у1; tф) = -275·ехр[-2,5·(0,4 – у1/300)] А;
uпрел(х2; tф) = 68,75 – 68,75·ехр[-2,5·(0,4 – х2/300)] кВ, 0 < х2 < v2·tф = 120 км,
iпрел(х2; tф) = 275 – 275·ехр[-2,5·(0,4 – х2/300)] А.
Результаты расчётов по построению графиков сведены в табл. 8.3.
Графики представлены на рис. 8.40.
uпрел, кВ
iпрел, А
174 А
43,5 В
v2
v2
v1
v1
-275 А
i, А
u, кВ
v1
u = ипад + иотр
v1
iC
v2
Рис. 8.40
186
i = iпад – iотр
174 А
v2
y1, x2, км
120
90
60
30
0
uотр, кВ
-110
-85,67
-66,72
-51,96
-40,47
iотр, А
-275
-214,2
-166,8
-129,9
-101,2
Таблица 8.3
iпрел, А
0
60,83
108,2
145,1
173,8
uпрел, кВ
0
15,2
27,05
36,25
43,46
ЗАДАЧА 8.48. По воздушной линии рис. 8.41,а с параметрами ZC =
= 220 Ом, l = 200 км распространяется падающая волна U0 = 220 кB с прямоугольным фронтом, переходя затем мимо корректирующих элементов r =
= 440 Ом, C = 0,455 мкФ в следующую такую же воздушную линию.
Требуется: 1) построить графики тока и напряжения в конце первой
линии в функции времени; 2) построить графики распределения вдоль обеих
линий результирующих напряжений и токов для момента времени
tФ =
= 0,5 мс, считая с момента прихода волны в узел соединения линий.
пад
а)
б)
2
i2 2
iпрел
1
1 ZС, l, v
3
C
r
ZС, l, v 3
ZC
2uпад u22
C
r ZC
uпрел
2
2
Рис. 8.41
Ответы: 1) расчётная схема для определения i2(t) и u22(t) приведена на
рис. 8.41,б, i2(t) = 1000 + 200·e -4000t A, u22(t) = 220 – 44·e -4000t кB;
2) uотр(tФ, у1) = -44·exp[-4000·(5·10 -4 – у1/(3·10 5))] кB,
iотр(tФ, у1) = -200·exp[-4000·(5·10 -4 – у1/(3·10 5))] А,
uпрел(tФ, х2) = 220 – 44·exp[-4000·(5·10 -4 – х2/(3·10 5))] кB,
iпрел(tФ, х2) = 1000 – 200·exp[-4000·(5·10 -4 – х2/(3·10 5))] А,
эпюры напряжений и токов приведены на рис. 8.42.
ЗАДАЧА 8.49. По воздушной линии рис. 8.43 с параметрами: l = 150 км,
ZC = 220 Ом распространяется волна uпад = 220 кВ с прямоугольным фронтом,
переходя затем мимо корректирующих элементов r = 50 Ом, L = 20 мГн в
следующую такую же воздушную линию. Требуется:
- построить графики тока i22(t) и напряжения u22(t) в конце первой линии;
- построить графики распределения вдоль обеих линий результирующих
напряжения u и тока i для момента времени tф = 0,4 мс, считая с момента
прихода волны в узел соединения линий.
Ответы: u22(t) = 68,75 + 151,25е -8000t кВ, i22(t) = 1688 – 688е -8000t А,
uотр(tф, у1) = -151,3 + 151,3ехр[-8∙(0,4 – у1/300)] кВ,
iотр(tф, у1) = -688 + 688ехр[-8∙(0,4 – у1/300)] А,
у1 ≤ v1·tф = 120 км;
uпрел(tф, х2) = 68,8 + 151,3ехр[-8∙(0,4 – х2/300)] кВ,
iпрел(tф, х2) = 313 + 688ехр[-8∙(0,4 – х2/300)] А,
х2 ≤ v2·tф = 120 км.
187
u, кВ
uпад
200
u
150
100
uпрел
50
у1, км
х2, км
100
200
0
uотр
100
200
-50
i, А
1400
i
1000
iпад
600
Рис. 8.42
у1, км
100
200
iотр
iпрел
200
0
-200
х2, км
100
200
пад
ЗАДАЧА 8.50. По кабельной линии рис. 8.44 с параметрами: l = 60 км,
2
ZC = 80 Ом распространяется
волна uпад = 1,2 кВ с прямоугольным фронтом,
переходя
затем через корректирующие
элементы в следующую такую же ка3
1
бельную линию.
Построить графики распределения вдоль обеих линий реr
зультирующих напряжения u и тока i для момента времени tф = 0,3 мс, считая
8.43 прихода волны в узел соединения линий, если нагрузка:
с Рис.
момента
L
а) R = 120 Ом,
б) L = 5 мГн, в) С = 6,25 мкФ.
Решение. Случай R = 120 Ом.
, l, v 2
ZС, l, v 3
1 ZС1.
Вычисляем параметры падающей волны
uпад(t; х=0) = 1200 В = const,
iпад(t; х=0) = uпад/ZC = 1200/80 = 15 А = const.
2. При чисто активной нагрузке
i22 2
iпрел
отражённая волна может быть выражена
ZC
черезпад
падающую волну с помощью ко2
R ZC
uпрел
2uпад u22
3
1
R
L
C
188
Рис. 8.45
2
Rн  Z C
. Для наглядности расчёта коэффициента
Rн  Z C
отражения волны от нагрузки, приведём схему замещения для сечения “2-2”
R  Z C 120  80
48  80
линии (рис. 8.45):
Rн =
=
= 48 Ом, п =
= -0,25.
R  Z C 120  80
48  80
3. Тогда напряжение и ток отражённой волны будут:
uотр(t; у1) = п∙uпад = -0,25∙1200 = -300 В = const,
iотр(t; у1) = п∙iпад = -0,25∙15 = -3,75 А = const,
у1 ≤ v1·tф = 45 км.
4. Напряжение и ток в конце первой линии:
u22(t) = uпад(t) + uотр(t) = 900 В, i22(t) = iпад(t) – iотр(t) = 18,75 А.
5. Напряжение и ток преломлённой волны (см. схему замещения):
uпрел(t; х2) = u22 = 900 В = const,
iпрел(t; х2) = uпрел/ZC = 900/80 = 11,25 А = const,
х2 ≤ v2·tф = 45 км.
Графики распределения напряжения и тока вдоль линий для случая а)
приведены на рис. 8.46.
эффициента отражения п =
u, В
i, А
u
i
Рис. 8.46
Расчёт отражённой волны в случаях б) и в) ввиду наличия реактивного
элемента выполняется с использованием коэффициента отражения в операторной форме.
pL  Z C
Z( p )  ZC
15
 8000
В случае б): Iпад(p) = ; Z(p) =
; п(p) =
=
;
pL  Z C
Z ( p )  Z C p  8000
p
 1,2  10 5
Iотр(p) = п(p)·Iпад(p) =
; iотр(t) = -15 + 15е -8000t А,
p( p  8000 )
189
iотр(t; у1) = -15 + 15ехр[-8∙(0,3 – у1/150] А,
у1 ≤ v1·tф = 45 км,
uотр(t; у1) = ZC ·iотр(t; у1) = -1,2 + 1,2ехр[-8∙(0,3 – у1/150] кВ;
u22(t) = uпад(t) + uотр(t) = 1,2е -8000t кВ, i22(t) = iпад(t) – iотр(t) = 30 – 15е -8000t А;
uпрел(t; х2) = 1,2ехр[-8∙(0,3 – х2/150] кВ,
iпрел(t; х2) = 15ехр[-8∙(0,3 – х2/150] А,
х2 ≤ v2·tф = 45 км.
1
Z
Z( p )  ZC
15
p
pC C
В случае в): Iпад(p) = ; Z(p) =
; п(p) =
=
;
1
Z ( p )  Z C p  4000
p
 ZC
pC
 15
Iотр(p) = п(p)·Iпад(p) =
; iотр(t) = -15е -4000t А,
p  4000
iотр(t; у1) = -15ехр[-4∙(0,3 – у1/150] А,
у1 ≤ v1·tф = 45 км,
uотр(t; у1) = ZC ·iотр(t; у1) = -1,2ехр[-4∙(0,3 – у1/150] кВ;
u22(t) = uпад(t) + uотр(t) =1,2 – 1,2е -4000t кВ, i22(t) = iпад(t) – iотр(t) =15 + 15е -4000t А;
uпрел(t; х2) = 1,2 – 1,2ехр[-4∙(0,3 – х2/150] кВ,
iпрел(t; х2) = 15 – 15ехр[-4∙(0,3 – х2/150] А,
х2 ≤ v2·tф = 45 км.
Попутно отметим, что задача в случаях б) или в) может быть решена и
по схеме замещения аналогично задачам 8.45 – 8.49.
ЗАДАЧА 8.51. По первой линии с
ZС2
U0
R
волновым сопротивлением ZС1 = ZС2 =
= ZС3 = 2R
распространяется волна с
ZС1
ZС3
Рис. 8.47
прямоугольным фронтом
U0 = 120 В,
переходя затем через резистор R в две другие такие же линии. На рис. 8.47
все три линии даны в однолинейном изображении. Требуется:
- определить напряжение uотр1 отражённой волны в первой линии, а
также напряжения uпрел2 и uпрел3 во второй и третьей линиях;
- выполнить расчёт при тех же параметрах, если волна распространяется по третьей линии.
Методическое указание. Для наглядности расчётов рекомендуется линии представить в обычном двухпроводном изображении.
Ответы: 1) uотр1 = 0, uпрел2 = uпрел3 = 60 В;
2) uотр3 = -30 В, uпрел2 = 90 В, uпрел1 = 60 В.
8.2.5. Многократные отражения волн в линии
ЗАДАЧА 8.52. Воздушная линия без потерь (рис. 8.48) длиной l и волновым сопротивлением ZC подключается к идеальному источнику ЭДС Е0. Рассчитать переходный процесс и построить графики напряжения и тока u11, i11 на
входе и u22, i22 – в конце линии для двух
i11 1
2 i22
случаев: RН = 4ZC и RН = ZC/3.
1. Сопротивление нагрузки больше
u22 RН
Е0
u11
волнового сопротивления линии RН = 4ZC.
2
ZС, l, v
Выполним некоторые подготовительные расчёты:
1 Рис. 8.48 2
190
0  ZC
4Z  Z C
= -1,
n2 = C
= +0,6.
0  ZC
4Z C  Z C
uуст = Е0, iуст = Е0/(4ZC) = 0,25I0, u1пад = Е0,
i1пад = Е0/ZC = I0.
Дальнейшие расчёты сводим в табл. 8.4, по которой строим графики
(рис. 8.49).
RН = 4ZC
n1 =
Рис. 8.49
Таблица 8.4
№ Промежуп\п
ток
u11
времени
1
E0
0 1l/v
2
E0
12l/v
3
E0
23l/v
4
E0
34l/v
5
E0
45l/v
6
E0
56l/v
7
E0
67l/v
15-й пробег
17-й пробег
i11
I0
I0
-0,2I0
-0,2I0
0,52I0
0,52I0
0,09I0
Волна в линии
u22
i22
u1пад = E0 →
0
0
← u1отр = 0,6E0
1,6E0
0,4I0
u2пад = -0,6E0 →
1,6E0
0,4I0
← u2отр = -0,36E0
0,64E0
0,16I0
u3пад = +0,36E0 →
0,64E0
0,16I0
← u3отр = 0,216E0
1,22E0
0,304I0
u4пад = -0,216E0 →
1,22E0
0,304I0
u8пад = [-0,6]7u1пад = -0,028E0 = 2,8%uуст
u9пад = [-0,6]8u1пад = +0,0168E0 = 1,68%uуст
Из табл. 8.4 и графиков рис. 8.49 следует, что переходный процесс имеет
колебательный характер, поскольку коэффициенты отражения в начале и
конце линии (n1 = -1 и n2 = +0,6) являются разного знака. В данном случае
ПП длится 14-15 пробегов волны, т.е. tпп = 15tпробега.
2. Сопротивление нагрузки меньше волнового сопротивления линии
RH = ZC/3.
Выполним аналогичные подготовительные расчёты:
uуст = Е0, iуст = Е0/(0,33ZС) = 3I0, u1пад = Е0,
i1пад = Е0/ZС = I0,
191
0  ZC
0,33Z C  Z C
= -1,
n2 =
= -0,5.
0  ZC
0,33Z C  Z C
Дальнейшие расчёты сводим в табл. 8.5, по которой строим графики
(рис. 8.50).
n1 =
Таблица 8.5
№ Промежуп\п
ток
u11
времени
1
E0
0 1l/v
2
E0
12l/v
3
E0
23l/v
4
E0
34l/v
5
E0
45l/v
6
E0
56l/v
7
E0
67l/v
11-й пробег
12-й пробег
i11
I0
I0
2I0
2I0
2,5I0
2,5I0
2,75I0
Волна в линии
u22
i22
u1пад = E0 →
0
0
← u1отр = -0,5E0
0,5E0
1,5I0
u2пад = +0,5E0 →
0,5E0
1,5I0
← u2отр= -0,25E0
0,75E0
2,25I0
u3пад = +0,25E0 →
0,75E0
2,25I0
← u3отр = -0,125E0 0,875E0 2,625I0
u4пад = +0,125E0 → 0,875E0 2,625I0
u6пад = [n1n2]5u1пад = 0,031E0 = 3,13%uуст
u6отр = n2[n1n2]8u1пад = 1,56%uуст
Рис. 8.50
В случае, если коэффициенты отражения (n1 = -1 и n2 = -0,5) одного знака, переходный процесс имеет апериодический характер. В данном случае
он длится 11-12 пробегов волны, т.е. tпп = 12tпробега.
ЗАДАЧА 8.53. Воздушная линия без потерь длиной l и волновым сопротивлением ZC подключается к идеальному источнику Е0 (рис. 8.48). Рассчитать переходный процесс и построить графики напряжения и тока u11, i11 на
входе и u22, i22 – в конце линии для двух случаев: RН = ∞ и RН = 0,05ZC.
Ответы: - при RН = ∞ в течение 4 пробегов в линии устанавливаются
незатухающие колебания прямоугольной формы, амплитуда которых равна
1
1 v
l
2E0, а частота зависит от параметров линии: Т = 4 , f = = =
.
v
T 4l 4l L0 C 0
192
- при RН = 0,05ZC в линии, по сути, имеет место режим короткого замыкания. Ток в линии апериодически, скачками, равными 2I0, растет до бесконечности, в нашем случае – до величины IКЗ = Е0/0,05ZC.
ЗАДАЧА 8.54. Воздушная линия (l = 300 км, ZC = 200 Ом), присоединённая к генератору (Е = 100 кB, r0 = 50 Ом), длительно работала на нагрузку
R1 = 950 Ом. Нагрузка изменяется за счёт параллельного подключения к резистору R1 сопротивления R2 = 111,8 Ом. Построить графики изменения во
времени тока и напряжения в сечении А-А посередине линии.
Решение
Для наглядности выполним рисунок исходной схемы и составим расчётную схему для определения параметров возникающей обратной волны
(рис. 8.51,а и б).
а)
б)
2
1
Е
А
iобр1
2
R1
ZC
R2
uобр1
UРУБ
R1
R2
r0
1
А
2
2
Рис. 8.51
Ток и напряжение вдоль линии до коммутации, а также напряжение на
рубильнике в момент коммутации:
E
100  10 3
I(t-) =
=
= 100 А, U(t-) = UРУБ = R1·I(t-) = 950·0,1 = 95 кB.
r0  R1 50  950
Рассчитаем установившийся режим в линии после коммутации:
100  103
E
Iуст =
=
= 666,7 А, Uуст = RН·Iуст = 100·0,6667 = 66,67 кB.
r0  RH 50  100
Выполним вспомогательные вычисления:
- сопротивление нагрузки после коммутации
RR
950  111,8
RН = 1 2 =
= 100 Ом;
R1  R2 950  111,8
- коэффициенты отражения в начале и конце линии:
r  Z C 50  200
R  Z C 100  200
K1 = 0
=
= -0,6; K2 = H
=
= -0,333;
r0  Z C 50  200
RH  Z C 100  200
300
l
- длительность пробега волны tПР = =
с = 1 мс;
v 3  10 5
- 5% величины от установившихся значений напряжения и тока в линии:
5%Iуст = 33,3 А, 5%Uуст = 3,33 кB.
Расчёт первой обратной волны выполняем по схеме рис. 8.51,б:
193
 U РУБ
R1
 95  10 3
950
iобр1 =
·
=
·
= -283,3 А,
R1Z C R1  Z C
950  200 950  200
111,8 
R2 
950  200
R1  Z C
uобр1 = ZC·iобр1 = 200·(-0,2833) = -56,67 кB.
Напряжение и ток последующих возникающих прямых и обратных
волн рассчитываем по формулам: iпp q = K1·iобр q; uпp q = K1·uобр q;
iобр q+1 = K2·iпр q; uобр q+1 = K2·uпр q.
Расчёт выполняем до тех пор, пока напряжение и ток новых возникающих волн не станут меньше 5% установившихся значений. Результирующие
значения напряжения и тока в сечении А-А вычисляем по формулам:
u = U(t-) + Σuобр + Σuпр; i = I(t-) – Σiобр + Σiпр.
Расчёты рекомендуется выполнять в виде табл. 8.6.
Таблица 8.6
№ Интервал Параметры возникающих волн,
Ток в
Напряжение в
про- времени,
А и кВ
сечении
сечении А-А
бега
мс
А-А iрез, А
uрез, кВ
1
0÷0,5
iобр1 = -283,3; uобр1 = -56,67
100
95
1-2
0,5÷1,5
iпр1 = 170; uпр1 = 34
383,3
38,33
2-3
1,5÷2,5
iобр2 = -56,67; uобр2 = -11,33
553,3
72,33
3-4
2,5÷3,5
iпр2 = 34; uпр2 = 6,8
610
61
4-5
3,5÷4,5
iобр3 = -11,33; uобр3 = -2,27
644
67,8
5-6
4,5÷5,5
655,3
65,53
По результатам табл. 8.6 строим графики u(t), i(t) (рис. 8.52).
i, А u, кВ
700
Iуст
2
600
iобр1
i
IРУБ
500 100
ZC
400 80
300 60
u
0
R1
Uуст
2
200 40
100 20
uобр1
Рис. 8.53
1
2
3
4
№ПР
Рис. 8.52
ЗАДАЧА 8.55. Решить задачу 8.54 при условии размыкающегося рубильника и следующих числовых данных: l = 3 км, ZC = 20 Ом,
v = 1,5·105 км/c, Е = 6 кB, r0 = 2 Ом, R1 = 40 Ом, R2 = 10 Ом.
194
Ответы: I(t-) = 600 А, U(t-) = 4,8 кB,
IРУБ = 480 А; Iуст = 142,9 А, Uуст = 5716 B;
K1 = -0,818, K2 = 0,333; схема для расчёта первой обратной волны на
рис. 8.53;
значения токов и напряжений возникающих обратных и прямых волн:
iобр = 320; -87,3; 23,8; -6,5 А; uобр = ZC·iобр = 6400; -1746; 476; -130 B;
iпp = -262; 71,3; -19,5 А;
uпр = ZC·iпр = -5240; 3426; -390 B;
последовательность значений, которые принимают ток и напряжение в сечении А-А: iА-А = 600; 280; 18; 105,3; 176,6; 152,8; 133,3; 139,8 А;
uА-А = 4800; 11200; 5960; 4214; 5640; 6116; 5726; 5596 B.
а)
б)
S
Е
iпр1
IРУБ
RН
R1
R1
uпр1
ZC
r0
Рис. 8.54
ЗАДАЧА 8.56. Схема подключения нагрузки и линии к источнику
представлена на рис. 8.54,а. Коммутация осуществляется размыканием
рубильника S. Числовые данные: l = 75 км, ZC = 110 Ом, v = 3·105 км/c,
Е = 110 кB, r0 = 6,111 Ом, R1 = 440 Ом, RН = 55 Ом.
Построить графики изменения во времени тока в начале и напряжения
в конце линии.
Ответы: IРУБ = 2 кА, I(t-) = 1,778 кА, U(t-) = 97,78 кB; Iуст = 0, Uуст = 0;
K1 = 0,6, K2 = -0,333; схема для расчёта первой прямой волны на рис. 8.53,б;
значения токов и напряжений возникающих прямых и обратных волн:
iпp = -1,6; 0,32; -0,064 кА; uпр = -176; 35,2; -7,04 кВ;
iобр = 0,533; -0,107 кА;
uобр = 58,7; -11,73 кВ;
последовательность результирующих значений тока и напряжения:
i = 0,178; -0,035; 0,008 кА; u = 97,78; -19,52; 3,95; -3,09 кВ;
графики представлены на рис. 8.55.
i, А u, кВ
100
200 80
60
100 40
u
20
0
-20
i
№ПР
1
2
3
195
4
Рис. 8.55
196