Защита Завьяловой Н.А. 27 октября 2011г. отменяется

На правах рукописи
Завьялова Наталья Александровна
НЕЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА С РАСЩЕПЛЕНИЕМ ПО
ЭЛЕКТРОННОМУ И ИОННОМУ ДАВЛЕНИЯМ И ЕЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ДИНАМИКИ
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ
Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва - 2011
Работа выполнена на кафедре вычислительной математики
Московского физико-технического института
(государственного университета)
Научный
руководитель:
Доктор физико-математических наук,
профессор
ЛОБАНОВ Алексей Иванович
Официальные оппоненты
Доктор физико-математических наук,
профессор
ГАСИЛОВ Владимир Анатольевич
Кандидат физико-математических наук
ДАНИЛОВ Александр Анатольевич
Ведущая организация:
РНЦ Курчатовский институт
Защита состоится « 27 » октября 2011 года в 9.00 час. на заседании
диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом
институте (государственном университете) по адресу: 141700, г. Долгопрудный
Московской обл., Институтский пер. д.9, ауд. 903 КПМ.
Автореферат разослан « 23 » сентября 2011 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
2
О.С. Федько
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Большое значение в исследовании динамики
плазмы имеют численные расчеты, которые иногда оказываются
единственным способом получения детальной информации о динамике
плазмы в установках инерциального термоядерного синтеза.
Аналитические решения нелинейных нестационарных задач физики
плазмы, как правило, просто невозможны. Таким образом численное
моделирование плазменно-динамических процессов стало традиционным
методом исследования, наряду с натурным экспериментом.
Часто динамику плазмы описывают с помощью моделей
магнитной гидродинамики (МГД). В случае малых плотностей
(концентраций) плазмы существенную роль играет эффект Холла. При
этом можно построить некоторое упрощение двухжидкостной модели
МГД — модель электронной магнитной гидродинамики (ЭМГ).
Характерной особенностью ЭМГ режимов является вмороженность
магнитного поля в электронные течения. Считается, что такое течение
можно полностью охарактеризовать вводимой электронной токовой
скоростью.
Z-пинч является важным объектом для исследования физики
высокотемпературной плазмы. Он интересен тем, что используется для
получения фундаментальных знаний по физике плазмы, а также в
качестве прикладного объекта. Z-пинчи служат мощными и доступными
источниками нейтронов, жесткого и мягкого рентгеновского излучения,
быстрых ионов, релятивистских электронов, больших магнитных полей.
В [Имшенник B.C., Боброва Н.А., Динамика столкновительной плазмы
М.: Энергоатомиздат, 1997.] приведены оценки применимости ЭМГ к
описанию z-пинча и показано, что классическая модель МГД
неприменима.
Развитие компьютерной архитектуры идет по пути увеличения
количества вычислительных узлов. Вычислительные кластеры позволяют
уменьшить время расчетов по сравнению с одиночным компьютером,
разбивая задание на параллельно выполняющиеся ветки, которые
обмениваются данными по связывающей сети. В силу этого актуальны
алгоритмы, пригодные для параллельной реализации. Наиболее
популярными языками написания таких алгоритмов являются Си и
Фортран.
3
Увеличение мощности современных компьютеров и кластерных
систем позволило применять более ресурсоемкие, с вычислительной
точки зрения, алгоритмы. В их основе лежат сложные математические
модели, включающие описания тонких эффектов. Для подобных моделей
целесообразно разрабатывать новые, адекватные им численные методы,
поскольку известные на сегодня методы позволяют работать далеко не со
всеми интересными эффектами.
Объекты и методы исследования. В диссертационной работе
исследована
динамика
медного
и
углеродного
z-пинчей.
Соответствующая математическая модель основана на уравнениях
движения двухтемпературной плазмы в приближении электронной
магнитной гидродинамики. Для решения системы уравнений был
применен метод расщепления. Предложена новая неявная разностная
схема с расщеплением по электронному и ионному давлениям.
Исследованы свойства этой разностной схемы. Соответствующий
программный комплекс реализован на языке фортран. Расчеты
проводились с использованием вычислительного кластера МФТИ-60.
Цели и задачи работы. Цель диссертационного исследования
заключалась в математическом моделировании динамики z-пинчей. При
этом были решены следующие задачи:
 разработка полностью неявной схемы для решения системы
МГД-уравнений на подвижной сетке c расщеплением по давлениям и
теоретическое изучение ее свойств;
 численная реализация модели для включения в имеющийся
программный комплекс на языке фортран;
 проведение вычислительных экспериментов, характеризующих
динамику сжатия медного и углеродного z-пинча. Получение оценок
потерь энергии на излучение. Эти потери являются следствием
закона сохранения энергии, при условии консервативности
разностной схемы.
Научная новизна. Все выводы и
диссертации, являются оригинальными.
динамики высокотемпературной плазмы
неявная разностная схема с расщеплением
свойства разностной схемы. Оценен
4
результаты, приведенные в
В частности, для расчета
построена консервативная
по давлениям. Исследованы
порядок аппроксимация
инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной
четырехугольной сетке.
Анализ динамики излучения медного лайнера показал, что в
процессе сжатия существенная часть энергии идет на излучение. При
этом максимум значения интегрального потока излучения через границу
наступает до максимального сжатия пинча по радиусу.
На защиту выносятся следующие положения и результаты:
Построенная неявная разностная схема с расщеплением по
электронному и ионному давлениям для вычисления движения плазмы с
вмороженным магнитным полем позволяет производить итерации по
ионному давлению отдельно от итераций по полному. Схема имеет
второй порядок аппроксимации.
Эффект Холла влияет на динамику быстрых z-пинчей, определяя
проникновение магнитного поля вдоль электродов. Когда температура
электронов за ударной волной превышает 250 эВ, формируется тепловая
волна.
Расчеты показывают, что на 60-й наносекунде динамики
углеродного z-пинча появляется горячая точка — образуются максимумы
температуры и плотности на оси пинча. Этот результат качественно
согласуется с экспериментальными данными.
Достоверность положений и результатов, выносимых автором на
защиту диссертации, обеспечивается проведенными аналитическими
исследованиями разностной схемы и согласованностью результатов,
полученных при расчетах, с экспериментальными.
Теоретическая и практическая значимость. Модели и
предложенные методы их численной реализации вносят вклад в
разработку методов математического моделирования динамики
высокотемпературной плазмы. Проведенные исследования могут быть
полезны при изучении свойств разностных схем на подвижных сетках.
Разработанный автором модуль программного комплекса на
языке фортран позволяет проводить расчеты динамики плазмы z-пинчей
из различных материалов, эволюцию их магнитного поля и потери на
излучение.
Результаты расчетов могут быть использованы в физике плазмы
для изучения динамики z-пинчей, в изучении свойств различных
материалов в физике высоких плотностей и энергий.
5
Результаты работы также могут использоваться в педагогических
целях –в курсе лабораторных работ.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на
всероссийских и международных конференциях и семинарах ведущих
институтов:
 50-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2007 г., Москва.
 International conference “Numerical geometry, grid generation and
scientific computing” (NUMGRID2008), июнь 2008 г., Москва.
 51-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2008 г., Москва.
 Третья всероссийская научно-инновационная школа «Математика и
математическое моделирование», апрель 2009 г , Саров
 52-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2009 г., Москва.
 International conference “Numerical geometry, grid generation and
scientific computing” (NUMGRID2010) октябрь 2010 г., Москва.
 Четвертая всероссийская научно-инновационная школа «Математика
и математическое моделирование», апрель 2010 г, Саров.
 XXIII Международная научная конференция "Математические
методы в технике и технологиях - MMTT-23" июнь 2010 г, Белгород.
 Пятая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и
математическое моделирование», апрель 2011 г, Саров.
 Семинары кафедры вычислительной математики Московского
физико-технического института, научные семинары ФУПМ, 2009 –
2011 гг, Москва.
Публикации. Результаты диссертационного исследования
опубликованы в 11-ти работах, в том числе в одной из списка,
рекомендованного ВАК РФ [11].
Личный вклад автора. Все научные результаты, изложенные в
диссертации, получены лично автором. Автору принадлежит ведущая
роль в комплексном исследовании динамики высокотемпературной
плазмы
на
основании
математического
моделирования
и
вычислительного эксперимента, построении разностной схемы, изучении
ее свойств, написании программы и интерпретации результатов.
Роль соавтора заключается в следующем. Лобанову А.И.
принадлежит постановка задач проводимых исследований, обсуждение
результатов и их интерпретации.
6
Связь
исследования
техническом
проектов:



с научными проектами. В основу диссертационного
положены работы, выполненные в Московском физикоинституте (государственном университете) в рамках
ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры
инновационной России“ на 2009−2013 годы, ГК П954;
РФФИ 07-01-00381-a (2007-2009гг);
РФФИ 10-01-00751-a (2010-2011гг).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из
введения, четырех глав, заключения и списка использованных
источников. Общий объем диссертации составляет 108 стр., содержит
40 рисунков и список использованных источников из 66 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении обоснована актуальность и важность исследуемых
проблем, сформулированы цели и задачи диссертационной работы.
Отмечается научная новизна, практическая ценность, апробация работы
и благодарности.
В первой главе представлен обзор математических моделей
динамики высокотемпературной плазмы. Описаны основные задачи,
возникающие
перед
исследователями,
изучающими
z-пинчи.
Проанализированы экспериментальные и теоретические исследования
последних лет, касающиеся этой темы. Так же отдельным подразделом
описана модель электронной магнитной гидродинамики: ее
возникновение, изучение и применение.
Во второй главе приведены уравнения математической модели,
описан численный метод для решения этой задачи, исследованы свойства
разностной схемы на подвижной сетке. Данные результаты получены в
соавторстве с Лобановым А.И., были доложены на конференциях и
опубликованы в [1 - 5, 9, 11]
Математическая модель динамики быстрого z-пинча, включает в
себя уравнения движения двухтемпературной плазмы в ЭМГ
приближении [А.С. Кингсепп, К.В. Чукбар, В.В. Яньков, Электронная
магнитная гидродинамика / Вопросы теории плазмы. – М.:
Атомиздат, 1987., Морозов А.И. Введение в плазмодинамику, М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2006]:
7

d

   (v, ) 
dt

t


d
  divv  0,
dt
(1)
 rot B  B ,
dv
1
   gradP 
dt

4π
(2)
 d
z eff  e  J ( z eff )   Pe div v e  div  e grad (Te )   Q  Qei  div S,
A dt
(3)
 d i
  Pi  div v  div  i  grad(Ti )  Qei ,
A dt
(4)
Система уравнений Максвелла, тепловые потери и перенос
излучения в одногрупповом диффузионном приближении.
B
  rot E,
t
(5)
1
j
rot B,
4
(6)
j
A
grad Pe  R ,
E  [ v e  B]  
σ ρz eff
(7)
ρz eff
3 ρz eff [B  grad Te ]
R  0,71
grad ||Te 
,
A
2 Aω e τ e
|B|
(8)

Q

j2
 ( j,R),

(9)
A
ve  v  j
,
ρz eff
e  AeTe ,
divS  
(10)
Pe  A p ρz eff Te ,


1
41σСБT 4  U ,
l
i  AeTi ,
Pi  ApTi ,
l
S   gradU ,
3
e  3,16 zeff Tee ,
i  3,9Ti i .
Предполагается, что вектор напряженности магнитного поля
имеет только азимутальную компоненту. Уравнения (1) – (4) описывают
МГД течения, проникновение магнитного поля в материал плазмы
описывается уравнениями (5-8). Для учета двужидкостных эффектов
введена ve – электронная токовая скорость (10). Все уравнения модели
записаны в безразмерном виде.
8
Большинство переменных в уравнениях дано в стандартных
обозначениях. Индексы i и e соответствуют электронам и ионам, zeff —
эффективный заряд ядра, J(zeff) — потери на ионизацию, ωeτe — параметр
Холла, κe и κi — электронная и ионная теплопроводность, А — число
нуклонов в ядре, константы, входящие в уравнения состояния Ae = 14,38,
Ap = 9,68·10-2. U — неравновесная интенсивность излучения, σ —
проводимость плазмы, σСБ — постоянная Стефана–Больцмана. Для
длины свободного пробега фотонов использовалась зависимость
l  l0Te22 .
Для расчета потерь на ионизацию использовался скейлинг
[D.E. Post, R.V. Jensen, C.V. Tarter et al. Steady-state radiative cooling rates
for low-density high-temperature plasmas / PPPL-1252, Princeton Univ.,
3
2
 zeff
zeff
zeff 

 , зависимость среднего
1977]: J ( zeff ) 


2
6 
0,85  0,15Z 2 / 3  6

1/ 3
заряда иона от температуры zeff  9Te , Z — зарядовое число.
0,131
Для электрон-ионной релаксации использовалось соотношение
2
3
 z eff
T T
Qei  8,48  10 
 e 3/ 2 i .
3
A
Te
Выражение для частоты электронно-ионных столкновений
необходимо для оценки коэффициентов теплопроводности и
электропроводности, а также для оценки параметра Холла. Для времени
столкновений имеем [Брагинский С.И. явления переноса в плазе. – в сб.
Вопросы теории плазмы – М.: Атомиздат, 1963, вып. 1, с.183-272 1969]
3
e 
(Te )3 / 2 , λ — кулоновский логарифм.
2
4 2ni zeff
1
Для проводимости использовались формулы [Брагинский С.И.
явления переноса в плазе. – в сб. Вопросы теории плазмы – М.:
Атомиздат, 1963, вып. 1, с.183-272 1969 г]
  ne  e 
3n e
4
2
2ni z eff
(Te ) 3 / 2 
3
4 2z eff
(Te ) 3 / 2 .
Послойный переход осуществляется по схеме расщепления по
физическим процессам [Н.Н. Яненко, В.М. Ковеня, Метод расщепления в
задачах газовой динамики. – Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1981]. В
рамках такого подхода решение системы уравнений сводится к
9
последовательности задач, которые по отдельности не аппроксимируют
исходную систему, но для решения отдельных подзадач можно
предложить эфективные численные алгоритмы. Совокупность этапов
расщепления в сумме аппроксимирует исходную задачу.
На первом этапе рассматривалось идеальная магнитная
гидродинамика — движение плазмы без учета диссипативных эффектов
и излучения. Неявная разностная схема для этого этапа строилась на
основе вариационного метода [А.А. Самарский, А.В. Колдоба, Ю.А.
Повещенко Разностные схемы на нерегулярных сетках – Минск:
Критерий,1996.].
Уранение движения:
 rot B  B ,
dv
1
   gradP 
dt

4π
Проекции уравнения движения узлов сетки на оси системы
координат:
uˆ ml  u ml
1

ˆ

M ml
vˆml  vml
1

ˆ

M ml
4
k

ˆ
Bˆ k2  
k
,
8  rˆml
(11)
k

ˆ
Bˆ k2  
k
,
8  zˆ ml
(12)

  Pˆ
k 1
4

  Pˆ
k 1
Для исключения давления из уравнений движения используем
уравнение ионной энергии первого этапа расщепления
 d i
  pi div v,
A dt
которое не включает в себя диссипативные слагаемые, слагаемые,
связанные с обменом энергиями электронов и ионов за счет
столкновений, и теплопроводность. Для записи разностного аналога
оператора дивергенции использовалась разностная аппроксимация [А.А.
Самарский, А.В. Колдоба, Ю.А. Повещенко и др. Разностные схемы на
нерегулярных сетках – Минск: «Критерий», 1996]. Дискретный аналог
уравнения для ионной энергии
 ˆ i   i
1
  pˆ i
ˆ
A 
 ml
4
ˆ
 
ml
 
k 1
rˆk
uˆ k 
ˆ


ml
vˆk  .

zˆ k

Давление зависит от температуры pi=ApρTi/A отсюда Ti=piA/Apρ
внутренняя энергия выражается через температуру соотношением
εi=AeTi ,следовательно, εi=AeA/Ap ∙pi/ρ.
10
Подставляя в уравнение энергии значение внутренней ионной
энергии на верхнем слое, выраженное через давление, получаем
разностные уравнения:

ˆ  Ae

ml 
 Ap
4  ˆ
ˆ


 pˆ i  mml  i  pˆ i
  ml uˆ k   ml vˆk   0.



A
rˆk
zˆ k

k 1 

них можно исключить û ml и v̂ml , воспользовавшись

Из
уравнениями движения (11) и (12).
Теперь рассмотрим уравнение электронной энергии
ˆ ml zˆ eff ˆ e  J ( zˆ eff )  z eff  e  J ( z eff )
1
  pˆ e
ˆ
A

 ml
ˆ
ˆ
 


ml
ml

uˆ k 
vˆk  .
 rˆk

zˆ k

k 1 
4

Действуя аналогично, исключим электронную внутреннюю энергию на
верхнем слое. Тогда
ˆ

ml
A
 Ae

 Ap


ˆ
ˆ
 pˆ e  m ml J ( zˆ eff )  m ml ( z eff  e  J ( z eff )) 

A
A

4  ˆ
ˆ

1
  ml uˆ k   ml vˆ k   0.
pˆ e


ˆ
ˆ
ˆ
z k
 ml k 1  rk


Построенная разностная схема немонотонна [9]. Для уменьшения
амплитуды осцилляций на разрывных решениях использовалась
искусственная вязкость  , w — весовой коэффициент [А.А. Самарский,
Ю.П. Попов. Разностные методы решения задач газовой динамики. – М.:
Наука, 1980. – 392 с]. Кроме того, из разностного уравнения для
электронной энергии исключим электронное давление на верхнем слое,
заменив его разностью полного и ионного давлений. Окончательно
получим систему разностных уравнений для полного и ионного
давлений:

ˆ
ˆ
( pˆ  pˆ i  w)  mml J ( zˆ eff )  mml ( z eff  e  J ( z eff )) 

A
A

4  ˆ
ˆ

1
  ml uˆ k   ml vˆk   0,
 ( pˆ  pˆ i  w)
 rˆk

ˆ
zˆ k

ml k 1 

4  ˆ
ˆ A 
ˆ


mˆ
1
ml  e 
  ml uˆ k   ml vˆk   0.
( pˆ i  (1  w))  ml  i  ( pˆ i  (1  w))
 rˆk

ˆ
A  Ap 
A
zˆ k

ml k 1 

ˆ

ml
A
 Ae

 Ap



Вектор напряженности магнитного поля в рассматриваемых
11
задачах имеет только один компонент по азимутальному углу
B  (0, B ,0) . Тогда уравнение вмороженности магнитного поля в
материал плазмы есть
dB
  B div v.
dt
Следствием этого уравнения является интеграл Bml Sml  Bˆml Sˆml .
Интеграл вмороженности, записанный для каждой ячейки, замыкает
систему разностных уравнений.
Определив ионное давление, полное давление и напряженность
магнитного поля на верхнем слое, можно определить скорости с
использованием (11, 12). Новые координаты узлов сетки получаются при
численном интегрировании уравнений движения. Термодинамические
параметры вычисляются с использованием уравнений состояния.
Для решения нелинейных разностных уравнений используется
метод Ньютона. Возникающая система линейных уравнений для
приращений аргумента в методе Ньютона решается методом
последовательной верхней релаксации с использованием программ
вычислительной библиотеки численного анализа НИИВЦ МГУ
[Библиотека численного анализа НИВЦ МГУ: [Электронный ресурс]:
Электрон.
ст.
–
Режим
доступа
к
ст.:
http://www.srcc.msu.su/num_anal/lib_na/cat/cat5.htm ]. Затем, зафиксировав
найденное значение ионного давления на верхнем слое, с помощью
линеаризации по Ньютону находится значение полного давления и
напряженности магнитного поля (магнитной индукции) без учета
диссипативных эффектов (конечной электропроводности среды).
Для перестроения расчетной сетки использовался вариационный
метод [Charakhch’yan A. A variational form of the Winslow grid generator./
A. Charakhch’yan, S. Ivanenko // Journal of Computational Physics. – 1997. № 136. – P. 385-398.]. В том случае, когда после завершения первого
этапа расчета (МГД - предиктор) величина шага по времени достигала
минимального допустимого значения, применялась процедура
перестроения подвижной сетки с последующим консервативным
пересчетом значений на новую сетку.
Граничные условия.
Для достижения однородности разностной схемы вводились
фиктивные ячейки, имеющие общую грань с приграничными. Их форма
и способ задания величин в них зависели от конкретного вида
граничного условия.
12
На электродах ставилось условие непротекания  V, n   0 ,
P n  0 . Фиктивные ячейки строились зеркальным отражением узлов
относительно поверхности электрода, значения плотности и давления
определялись сносом.Считалось, что ток течет нормально к поверхности
электродов и B / n  0, где n — направление внешней нормали.
На границе с вакуумом область окружалась фиктивными
ячейками нулевого объема, плотность и давление в них полагались
нулевыми. Напряженность магнитного поля связана с полным током во
внешней цепи B  0, 2I R , газокинетическое давление P  0 .
Вблизи особой точки r  0 представляют интерес только
B получаем условие
ограниченные решения. Из неразрывности
B
r 0
 0 . Скорость на оси симметрии v r  0 . Тепловой поток также
равен нулю  T r  0, , отсюда получаем условие для производной
температуры T / r
 0.
r 0
На оси пинча для системы дифференциальных уравнений
ставится условие симметрии. Но система разностных уравнений теряет
аппроксимацию при r  0. Поэтому для сохранения аппроксимации
условия на оси заменялись условиями на жесткой стенке, расположенной
на расстоянии 0,01 от оси симметрии.
Считается, что падающее извне излучение отсутствует. Тогда
интенсивность излучения связана с потоком соотношением
1
U  (S,n)  0 , где U — интенсивность излучения.
2
Для систем гиперболического типа расчет по неявным схемам
дает адекватные результаты при числе Куранта, не превосходящем
единицу. Но применение неявной схемы позволяет снять существенные
ограничения на шаги по времени при взаимодействии ударных волн. В
этом случае условие устойчивости Куранта для явных схем дает значение
временного шага, стремящееся к нулю.
На подвижной сетке были исследованы дискретные аналоги
дифференциальных операторов, используемые в записи разностных
уравнений. Результаты теоретических исследований были проверены на
тестовых сетках. Форма сетки сильно на порядок аппроксимации
инвариантных дифференциальных операторов: в случае наличия у
ячейки острых или тупых углов невязка обратно пропорциональна
13
синусу этого угла, т.е. в случае вырождения ячеек стремится к
бесконечности.
Если использовать сетку, ячейки которой максимально
приближены к прямоугольникам (построенную с оптимизацией по углу),
то вырождения ячеек не происходит в начале процесса. Это
соответствует
теоретическим
оценкам аппроксимации.
z
Третья глава посвящена
Z
результатам
численного
исследования динамики медного zпинча.
Данные
результаты
получены
в
соавторстве
с
Лобановым А.И., были доложены
0
r на конференциях и опубликованы в
R
[2, 6 – 8, 10, 11].
Рис. 1. Схема разрядной камеры
В
межэлектродное
пространство из сопла выдуваются
пары меди. Первоначальное распределение материала гауссово.
Линейные размеры образующейся медной перемычки составляют
несколько сантиметров (R=1 см, Z=1 см, см рис. 1).
При запуске установки на электроды подается 2 импульса тока.
Первый - предимпульс, его амплитуда составляет несколько
мегаамперов. В результате его воздействия происходит электрический
пробой, материал, находящийся между электродами ионизуется. Второй,
основной,
импульс
тока,
нарастает
по
синусоиде,
имеет
продолжительность 100 нс и амплитуду несколько мегаампер. Время
переходных процессов очень мало, так что ими можно пренебречь.
Считать, что после включения тока (подаче второго импульса) во
внешней цепи между электродами находится плазма, однородная по
составу, которая начинает свое движение под воздействием магнитного
поля.
Приведены результаты расчетов на сетке 20 на 20 ячеек. Опишем
кратко динамику процесса.
На начальном этапе процесса, когда магнитное давление в
системе меньше газокинетического, происходит расширение плазмы в
вакуум. Ко времени 30 нс вблизи свободной границы повышается
плотность плазмы из-за эффекта «снежного плуга». Процесс развивается
как одномерный. Магнитное поле вытесняется в скин-слой около
14
свободной границы. Эти области соответствуют большим значениям
ротора магнитного поля. Здесь как следствие джоулева нагрева
происходит выделение тепла. Ионы нагреваются за ударной волной
вследствие адиабатического сжатия.
Примерно при 60 нс в расчете наблюдается первый нелинейный
эффект. Когда температура электронов за ударной волной превышает
250 эВ. Распространение электронной температуры происходит в виде
тепловой волны. Такие решения, присущи квазилинейным уравнениям
параболического типа. Профиль температуры имеет характерный для
этих решений вид (рис. 2). Скорость тепловой волны превышает скорость
ударной волны. Ко времени 70 нс тепловая волна достигает центра
области, прогревая материал плазмы до 250–300 эВ и повышая степень
ионизации. Так как перепад давлений на ударной волне уменьшился, то
скорость ее распространения по материалу лайнера тоже падает. Из-за
охлаждения электродов вблизи них формируются минимумы
температуры. Именно при этом времени начинают существенно
сказываться двумерные эффекты.
Сразу после фокусировки ударной волны на оси пинча
образуются локальные области повышенных температур (электронной и
ионной). При тех параметрах погонной плотности, которые
использованы в данном расчете, момент кумуляции ударной волны —
примерно 78 нс. Параметр Холла для этого расчета ωeτe = 0,01. Ко
времени кумуляции пинч сжимается примерно в 10 раз по радиусу.
При больших значениях параметра Холла (ωeτe = 5) образуются
«языки» магнитного поля, которые проникающие в материал плазмы
(рис. 3). Магнитное поле быстрее проникает в материал вдоль электродов
из-за эффекта Холла.
15
Рис. 2. Сверху — распределение электронной температуры для
времени 60 нс. Виден профиль температуры характерный для тепловой
волны, распространяющейся по холодному фону. Снизу — распределение
магнитного поля при времени 65 нс, ωeτe = 5. Начало формирования языка
около электрода
В малоплотной области внутри лайнера, по которой течет ток,
выделяется значительное джоулево тепло. Это приводит к повышению
температуры около анода (рис 3). При небольших значениях параметра
Холла такого эффекта не возникает.
16
Рис. 3. Слева — распределение напряженности магнитного поля
при значении параметра Холла ωeτe = 5 для времени 79,5 нс.
Справа -- распределение напряженности магнитного поля при смене
полярности эектродов и при значении параметра Холла ωeτe = 0,01 при
времени 82 нс. При большом значении параметра Холла видны «языки»
проникновения магнитного поля, сильное проникновение вдоль анода (при
r = 1). При уменьшении параметра Холла язык около анода слабо выражен.
В четвертой главе представлены результаты численного
исследования углеродного z-пинча. Данные результаты получены в
соавторстве с Лобановым А.И., были доложены на конференциях и
опубликованы в [4, 5, 10].
17
Между электродами находится перемычка из органического
материала (майлар или агар-агар). Ее начальная
форма показана на рис. 4. Линейные размеры
перемычки Z = 10 мм, R = 2 мм. Начальное
значение погонной плотности ρ = 1,8810–2 г/см.
Значение параметра Холла ωeτe = 0,1.
Опишем динамику процесса. Расчеты
проведены на сетке 20 на 80 ячеек. Под
действием
газокинетического
давления
начальная округлая выемка в материале начинает
затягиваться, что заметно на распределении
осевой скорости. Ко времени 25 нс в области
выемки падают термодинамическое давление и
электронная и ионная температуры из-за
магнитного давления. Такое падение является
Рис. 4. Начальная форма
перемычки
следствием проникновения магнитного поля в
материал плазмы в окрестности первоначальной
выемки. Неоднородность в распределении магнитного поля внутри
плазмы на начальном этапе процесса (при разлете плазмы) приводит к
образованию ионной струи в области первоначальной выемки (рис. 5). В
этой же окрестности начинается сжатие плазмы под действием
магнитного давления. Струя направлена в вакуум (рис. 5).
В начале процесса ток незначительно нагревает плазму.
Экранировки поля не происходит, следствием этого является
диффузионное проникновение магнитного поля в материал.
К 40 нс свободная граница становится несимметричной. Это
вызвано влиянием силы электронного трения, зависящей от
разнонаправленных градиентов электронной температуры.
Из-за сильной неравномерности прогрева материала и
образования зон с повышенной электронной температурой формируются
«языки» проникновения поля. Поскольку магнитная вязкость зависит от
температуры, высокотемпературные области приводят к экранировке
поля и вытеснению его на границу. В области низкой температуры
плазмы из-за большого значения коэффициента магнитной диффузии
поле активно проникает в материал.
18
Рис. 5.
25 нс. Ионная скорость. Видно образование ионной струи.
Рис. 6. Распределение скоростей 58 нс.
Ко времени 58 нс по краям выемки формируются 2 вихря (см.
рис 6). В области первоначального выреза, где идет активное сжатие.
Распространяющаяся в радиальном направлении ударная волна выходит
на ось. В это же время «языки» магнитного поля достигают внутренней
границы.
19
Рис. 7. 60 нс распределение электронной температуры
К 50 нс во всей окрестности первоначального выреза идет
активный процесс сжатия. В центре области, формируются три ударных
волны. Прямая волна распространяется от середины правой границы к
оси пинча. Две косые волны, расширяя выемку, идут к электродам. За
счет адиабатического сжатия ударными волнами образуются несколько
максимумов ионной температуры Ti max  0,16КэВ ( Te max  0,016 КэВ ).
По-видимому, в этих областях прогрев электронов также
происходит благодаря джоулеву нагреву и, в силу достаточно большой
плотности, из-за обмена энергией с ионной компонентой за счет
электрон-ионных столкновений.
К 60 нс значение магнитного поля на внутренней границе
увеличивается. Здесь значительно возрастает плотность электрического
тока и начинается формирование горячей точки – образуются локальные
максимумы электронной температуры и плотности. Глобальный
максимум электронной температуры все еще находится на правой
границе и составляет Te max  0,055 КэВ (см. рис. 7).
20
Рис. 8. 60 нс. Распределение магнитного поля.
Прогрев ионов происходит за счет адиабатического сжатия
ударной волной. Ионная температура существенно превосходит
электронную Ti max  70КэВ .
В распределение электронной температуры есть несколько
максимумов, находящихся возле свободной границы (см. рис. 7). В
область более низких температур магнитное поле проникает быстрее изза низкого значения магнитной вязкости. Характер проникновения
диффузионный. В областях больших скоростей и температур перенос
магнитного поля осуществляется за счет электронных течений (рис. 8).
В динамике пинча из органического материала эффект Холла
играет несущественную роль. Характер первоначального прогрева во
многом определяется начальной геометрией расчетной области.
Возможно, дальнейшая эволюция поля будет зависеть от параметра
замагниченности.
В заключении приведены основные результаты диссертации.
21
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ
1. На основании анализа ЭМГ-модели динамики высокотемпературной
плазмы проведено расщепление системы уравнений по физическим
процессам. Для первого этапа расщепления разработана полностью
неявная схема для решения системы МГД-уравнений на подвижной
сетке c отдельными итерациями по давлениям. Исследованы свойства
схемы.
2. МГД-модель реализована числено. Разработан соответствующий
программный комплекс.
3. Проведены серии вычислительных экспериментов, характеризующие
динамику сжатия медного и углеродного z-пинчей.
4. Выявлены новые закономерности динамики z-пинчей. В частности, в
процессе сжатия медного z-пинча максимум значения интегрального
потока излучения через границу наступает до максимального сжатия
пинча по радиусу. Большое влияние на процесс сжатия медного
пинча оказывает эффект Холла, который определяет проникновение
магнитного поля вдоль электродов. Проникновение магнитного поля
в плазму углеродного пинча носит диффузионный характер. К 60 нс
вблизи оси симметрии возрастает плотность электрического тока и
формируется горячая точка. Эти результаты качественно согласуются
с экспериментальными данными.
Публикации автора по теме диссертации.
1. Завьялова Н.А., Лобанов А.И. Применение математического
моделирования динамики высокотемпературной плазмы к решению
пинчевой задачи //Современные проблемы фундаментальных и
прикладных наук. Часть III. Аэрофизика и космические
исследования.: Труды XLV научной конференции. /Моск. физ. – техн.
ин-т.- М. – Долгопрудный: МФТИ, 2007. - Т – 2, С. 12 – 15.
2. Завьялова Н.А. Лобанов А.И. Моделирование динамики быстрого zпинча с использованием неявной разностной схемы для уравнений
магнитной гидродинамики. //Труды XI научной конференции МГТУ
«Станкин»
и
«Учебно-научного
центра
математического
моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН по Математическому
моделированию и информатике» - М.: МГТУ «Станкин», – 2008. С. 24-26.
3. Zavyalova N.A., Lobanov A.I. Computation of high temperature plasma
dynamics in Z-pinches using grid rebuilding algorithm //Proc.
22
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
International conference “Numerical geometry, grid generation and
scientific computing” (NUMGRID2008). M.:ВЦ РАН – 2008. - P. 56–58.
Завьялова Н.А., Лобанов А.И. Особенности построения расчетных
сеток при решении задачи о динамике высокотемпературной плазмы
в Z-пинче //Современные проблемы фундаментальных и прикладных
наук. Часть III. Аэрофизика и космические исследования.: Труды
XLVI научной конференции. /Моск. физ. – техн. ин-т. - М. –
Долгопрудный: МФТИ, 2008. – T – 2, C. 119-122.
Zavyalova N.A., Lobanov A.I. Selection of the initial grid for solving the
dynamics of liner made from organic material. //Proc. International
conference “Numerical geometry, grid generation and scientific
computing” (NUMGRID2010). M.:Фолиум – 2010. - P. 86 – 90.
Завьялова Н.А. Лобанов А.И. Изучение динамики излучения медного
z-пинча //Четвертая всероссийская научно-инновационная школа
«Математика и математическое моделирование»: Cб.cт. /Саров:
СагГФТИ. – 2010 г. - С. 53-54.
Завьялова Н.А., Лобанов А.И. Математическое моделирование
быстрого медного z-пинча //XXIII Международная научная
конференция "Математические методы в технике и технологиях MMTT-23" – Саратов: СГТУ. – 2010, Т. – 8, С. 82-85.
Завьялова Н.А., Лобанов А.И. Результаты математического
моделирование медного z-пинча //Современные проблемы
фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладные
математика и экономика: Труды XLVII научной конференции. /Моск.
физ. – техн. ин-т. - М. – Долгопрудный: МФТИ. – 2009. - Т. – 3,
С. 125 – 128.
Завьялова Н.А. Лобанов А.И. Исследование порядка аппроксимации
инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной
четырехугольной сетке //Пятая всероссийская научно-инновационная
школа «Математика и математическое моделирование»: Cб.cт./Саров:
СагГФТИ. – 2011 г. - С. 76 - 77.
Завьялова Н.А., Лобанов А.И. Численное моделирование динамики zпинчей. //Третья всероссийская научно-инновационная школа
«Математика и математическое моделирование»: Cб.cт./ Саров:
СагГФТИ. – 2009 г. - С. 47 - 49.
Завьялова Н.А., Лобанов А.И. Численные расчеты динамики лайнера,
сформированного парами меди //Математическое моделирование. –
М.: 2011. – Т. 23, № 4 - С. 103 - 119.
23
Завьялова Наталья Александровна
НЕЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА С РАСЩЕПЛЕНИЕМ ПО
ЭЛЕКТРОННОМУ И ИОННОМУ ДАВЛЕНИЯМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К
МОДЕЛИРОВАНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ
АВТОРЕФЕРАТ
Подписано в печать __________ Формат 60  84 1/16. Усл. печ. л. 1,0.
Тираж _____ экз. Заказ №
.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт
(государственный университет)»
Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
24