Математические_поиски_истиныx

ГБОУ СОШ с углубленным изучением иностранных языков № 1288
имени Героя Советского Союза Надежды Викторовны Троян
Проектная работа
«Математические поиски истины»
Выполнили: ученицы 10 «А»
Ефимова Дарья и Раенок Дарья
Руководитель:
учитель математики
Пласкунова Надежда Анатольевна
Москва 2015 год
Гораздо легче найти ошибку, нежели истину. Ошибка
лежит на поверхности, и ее замечаешь сразу, а
истина скрыта в глубине, и не всякий может
отыскать ее. (Гёте)
Есть люди, которые никогда не заблуждаются,
потому что никогда не задаются никакими
разумными мыслями. (Гёте)
Ощущения – это обман наших чувств (Декарт)
Введение
Многие часто задаются вопросом: «Зачем нужно учить математику?» Нередко сам
факт того, что эта дисциплина входит в обязательную программу университетов и
школ, ставит людей в недоумение. Это недоумение выражается в следующем: «Мол,
для чего мне, человеку, чья будущая (или нынешняя) профессия не будет связана с
ведением расчетов и применением математических методов, знать математику? Чем
мне это может пригодиться в жизни?» Таким образом, большое количество людей не
видят никакого смысла для себя в освоении этой науки, даже на элементарных началах
предмета. Но мы знаем, что математика, точнее навыки математического мышления,
ее методы и алгоритмы нужны всем и каждому.
В нашем проекте мы постараемся показать вам, почему мы так уверены. Также мы
запланировали небольшое исследование для доказательства, что математика может
действовать, как реальный метод научного познания и определить ее роль в
человеческой культуре.
Сначала мы расскажем, зачем эта дисциплина, как научное знание и метод, нужна
вообще, и где находится ее место в системе всех естественных наук и как она
применяется на практике.
Математика — это фундаментальная наука, методы которой активно применяются во
многих естественных дисциплинах, таких как физика, химия и даже биология. Сама по
себе, эта область знаний оперирует абстрактными отношениями и взаимосвязями, то
есть такими сущностями, которые сами по себе не являются чем-то вещественным.
Она представляет собой науку точную, не терпящую произвола в толковании и
различных спекуляций. Это воплощение порядка и жесткой логики. Она помогает
понять мир вокруг нас, узнать больше о его законах, так как эти законы подчинены
тому же самому порядку, что царит в математике. Математика тренирует такие
умственные качества, которые формируют каркас и скелет всего вашего мышления.
Это, в первую очередь, логические способности. Это все то, что организует все ваши
мысли в связанную систему понятий, представлений и связей между ними.
Математика сама является воплощением природного порядка, и нет ничего
удивительного в том, что она упорядочивает ваш ум. А без логики в голове человек не
способен делать верные логические выводы, сопоставлять понятия разного рода, он
теряет способность к здравому анализу и рассуждению. Что может повлечь за собой
путаницы в мыслях и рассуждениях, невнятность аргументации. Такого человека
легко вводить в заблуждение, что собственно обычно и происходит, так как он не
способен выявить явное нарушение логики в утверждениях. Знание математики не
позволяет вас обмануть!
Так что это не только расчеты и формулы, это, прежде всего, логика и
упорядоченность! Это набор правил и функций, которые делают ваше мышление
последовательным и логичным. Это отражается на вашем умении рассуждать,
формулировать мысли, удерживать в голове сложные концепции и выстраивать
витиеватые взаимосвязи. Например, наглядным примером того, насколько важны
навыки математического мышления являются оптические иллюзии.
Мы наделены пятью чувствами: зрением, слухом, осязанием, вкусом и обонянием. С
их помощью мы получаем информацию об окружающем нас мире.
Но если бы мы полагались только на наши органы чувств, то последствия этого могли
бы быть самыми печальными. Ведь очень часто возникают ситуации, когда наши
чувства обманывают нас.
Считается, что самым ценным из пяти чувств является зрение. Орган зрения человека
– глаза, с их помощью мозг получает визуальную информацию, необходимую нам для
ориентации в пространстве и связи с внешним миром. Световой поток, отраженный от
предмета, проникает через роговицу, хрусталик и стекловидное тело глаза на сетчатку,
где зарождается нервный импульс. По зрительному нерву он поступает в зрительные
центры, расположенные в затылочных долях головного мозга. И именно там
происходит формирование единого изображения, полученного одновременно с двух
глаз. Вот какой сложнейший процесс.
Но всегда ли мы может доверять нашим глазам?
За долгие годы ученые придумали и построили много обманчивых картинок, наглядно
демонстрирующих, сколь ограничены возможности нашего глаза.
 Например, удивительное впечатление производит иллюзия Иоганна
Поггендорфа. Это классическая оптическая иллюзия, названная в честь
немецкого физика И. К. Поггендорфа, который обнаружил её в рисунке,
который ему прислал астрофизик И.Цёлльнер. Суть иллюзии: человеческий глаз
не может точно определить является ли черная линия продолжением синей или
красной. До настоящего времени нет ни одного приемлемого объяснения этой
иллюзии. Возможно, эффект возникает из-за того, что система зрительного









восприятия у человека крайне бедна при интерпретации диагональных линий,
хотя причины этого до сих пор не ясны.
Поразительная иллюзия. Окружности в центре левой и правой фигур равны,
хотя окружность в обрамлении шести окружностей большего радиуса кажется
меньше, чем окружность среди шести окружностей меньшего радиуса.
Иллюзия Мюллера-Лайера — оптическая иллюзия, возникающая при
наблюдении отрезков, обрамленных стрелками. Иллюзия состоит в том, что
отрезок, обрамленный «остриями», кажется короче отрезка, обрамленного
«хвостовыми» стрелками. Хотя, кажется, что они имеют различную длину, это
обусловлено величиной углов, образуемых с горизонтальными отрезками линий
на концах. В определённых пределах больший угол вызывает иллюзию
большего удлинения центрального горизонтального участка.
Иллюзия Понцо — оптическая иллюзия, впервые продемонстрированная
итальянским психологом Марио Понцо в 1913 году. Он предположил, что мозг
человека определяет размер объекта по его фону. Понцо нарисовал два
одинаковых отрезка на фоне двух сходящихся линий, наподобие уходящего
вдаль железнодорожного полотна. Верхний отрезок кажется крупнее, поскольку
мозг интерпретирует сходящиеся линии как перспективу (как две параллельные
линии, сходящиеся на расстоянии). Поэтому мы думаем, что верхний отрезок
расположен дальше, и полагаем, что его размер больше. Кроме сходящихся
линий силу эффекту добавляет уменьшающееся расстояние между
промежуточными горизонтальными отрезками.
Треугольник Каница. Иллюзия впервые была описана психологом Гаэтано
Каница. Когда вы смотрите на это изображение, ваш мозг создает контур
треугольника, хотя его не существует.
Иллюзия Ястрова названа в честь Роберта Ястрова в 1889 году. Нам кажется, что
фигуры имеют разный размер, хотя это не так. Фигуры кажутся нам разными по
размеру потому, что более короткий конец фигуры А примыкает к более
длинному краю фигуры В.
Спираль Фрейзера. Иллюзия была открыта в 1908 году британским психологом
Джеймсом Фрейзером. Хотя кажется, что параллельные арки уходят спиралью в
бесконечность, это всего лишь ряд концентрических окружностей.
Иллюзия Целльнера. Длинные черные линии на самом деле параллельны друг
другу. Иллюзия создается короткими линиями, которые находятся под углом к
длинным линиям, из-за чего кажется, будто один конец длинной линии ближе к
нам.
Иллюзия кафе "Wall". Иллюзия обнаружена Р. Грегори в кафе "Wall" в Бристоле.
Хотя кажется, что линии отклоняются друг от друга, они на самом деле
параллельны.
Иллюзия Перельмана. Буквы на самом деле параллельны друг другу. Такая
иллюзия создается за счет узорного фона.
В итоге нашего опроса мы выявили процент людей, которые не применяют свои
математические знания в жизни и не обладают высоким уровнем
математической культуры. Результаты были неутешительными.
Нам всем хорошо знакома иллюзия, используемая широко, сознательно и
высокопрофессионально, а именно реалистическая живопись. Художник
намеренно пытается изобразить трехмерную сцену на плоском (двухмерном)
холсте. Создание математической схемы, известной под названием теории
линейной перспективы, позволяет добиться желаемого эффекта.
С некоторыми простыми примерами иллюзии, рожденной линейной
перспективой, мы встречаемся в повседневной жизни. Принцип теории
линейной перспективы состоит в том, что линии в реальной сцене, идущие от
зрителя, должны казаться сходящимися в некоторой точке (в точке схода).
Простым примером могут служить два параллельных рельса железной дороги.
Питая горячее пристрастие к реалистичной живописи, мы охотно идем на то,
чтобы быть обманутыми. Более того, это доставляет нам удовольствие. Ведь
написанные в реалистической манере картины двумерны, но если они
нарисованы в соответствии с законами математической теории линейной
перспективы, то, глядя на них, мы испытываем такое ощущение, будто
разглядываем трехмерную сцену. Хорошим примером служит «Афинская
академия» Рафаэля.
Люди считают, что наша интуиция действует и за пределами чувственного
опыта, и мы можем с уверенностью полагаться на нее. Мы отобрали задачи,
чтобы путем опроса и анализа его результатов показать насколько можно
доверять интуиции.
Задача:
Часы пробили шесть ударов за пять секунд. За сколько секунд эти часы пробьют
двенадцать ударов? Интуиция подсказывает: за десять. Однако, правильный
ответ: за одиннадцать, т.к. шесть ударов разделены пятью паузами, а двенадцать
ударов – одиннадцатью.
Задача:
Дан ромб и квадрат с равными сторонами. Будет ли их площади равны? Наша
интуиция подсказывает нам: «Да, конечно!». В такие моменты люди совершенно
забывают про математику, забывают, что формула нахождения площади у ромба
и квадрата разная. Так что, правильный ответ: площадь ромба будет меньше
площади квадрата.
Задача: «Какой из двух работ отдать предпочтение?»
Начальный оклад в обоих случаях одинаков: 1800 долларов в год, но в одном
месте обещали ежегодную прибавку в 200 долл., а в другом – каждые полгода 50
долл. Какое из предложений заманчивее? На первый взгляд кажется, что ответ
очевиден: ежегодная прибавка в 200 долларов более весома, чем прибавка,
дающая в год лишь 100 долларов. Но займемся несложными расчетами и
выясним, сколько получит работник на одной и другой работе за
последовательные полугодия. На первой работе ему выплатят 900, 900, 1000,
1000, 1100, 1100, 1200, 1200…, на второй (с прибавкой в 50 долларов каждые
полгода) – 900, 950, 1000, 1050, 1100, 1150, 1200, 1250…
Из сравнения этих двух последовательностей видно, что вторая работа
выгоднее. Нехитрые подсчеты помогли с этим разобраться. Ведь прибавка в 50
долл. за каждый полгода означает, что заработная плата возрастает на 50 долл.
за шесть месяцев или на 100 долл. в год. Иначе говоря, получив за год две
прибавки по 50 долл., работник с начала следующего года будет получать
столько же, сколько он получал бы, имею годовую прибавку в 200 долл.С этой
точки зрения к началу каждого следующего года оба предложения оказываются
одинаково выгодными. Но на второй работе работник начинает получать
прибавку уже спустя полгода, тогда как на первой работе ему пришлось бы
ждать прибавки целый год. Именно поэтому на второй работе он будет
получать за второе полугодия больше, чем на первой.
Почему мы испытываем иллюзии, основываясь на своих ощущениях, и
совершаем ошибки, доверяясь интуиции? Достаточно понять, что и в иллюзиях,
и в ошибочных интуитивных предсказаниях повинны не только органы чувств,
но и мозг человека.
Что мы можем противопоставить иллюзиям и ошибочной интуиции? Наш самый
эффективный совет – использование математики. В этом проекте мы показали
вам, что в окружающем нас мире существуют явления, столь же реальные, как и
те, которые мы воспринимаем посредством наших органов чувств
(экстрасенсорные или даже вообще не воспринимаемые), и что в нашей
современной культуре мы используем и полагаемся на них ничуть не меньше,
чем на свои чувственные восприятия.
Мы отнюдь не утверждаем, будто математика не использует чувственные
восприятия и интуицию, но математика превосходит все эти подсказки.
Математика открывает нам удивительные вещи о внешнем мире. И самое
главное, она может служить критерием истины, а это дорогого стоит.
Не ленитесь! Учите математику! Мыслите по-новому: творчески, непредвзято,
нестандартно!
Результаты нашей проектной деятельности:
Собирая материал по теме нашего проекта, мы посетили новое интересное место
в Москве - «Музей оптических иллюзий» ( Малый Николопесковский пер., д.
4), прочитали интересные книги.
Экзаменуя учащихся нашей школы, друзей, родителей и знакомых, мы получили
удовольствие от общения с умными людьми, а также от неправильных ответов,
потому что они все больше подтверждали нашу гипотезу.
Мы доказали себе тот факт, что математика необходима в нашей жизни для того,
чтобы быть культурным человеком, правильно контактировать с внешним
миром. И, как нам кажется, убедили в этом и других людей, по крайней мере,
заставили задуматься об этом.
Также мы показали необходимость обладаниями математическими знаниями и
некоторые области их применения
.
Таким образом, цель проекта достигнута.
В дальнейшем мы собираемся накапливать задачи, иллюстрирующие тему
нашего проекта. В наших планах создать презентации уроков по решению таких
задач для разных возрастных групп.
Список литературы:
Морис Клайн – Математика. Поиск истины; Издательство «Мир»(1988 г.)
Эл Сикл – Новое измерение. Оптические иллюзии; Издательство «Астрель»
(2004 г.)
Большая детская энциклопедия; Издательство «РОСМЭН» (2005г.)