ЭФФЕКТИВНОСТЬ УСТАНОВЛЕНИЯ ЦЕНЫ ДЕРИВАТИВОВ

ЭФФЕКТИВНОСТЬ УСТАНОВЛЕНИЯ ЦЕНЫ ДЕРИВАТИВОВ:
ВОЗМОЖНОСТИ ИНДЕКСНОГО АРБИТРАЖА С ФЬЮЧЕРСНЫМ
КОНТРАКТОМ НА ИНДЕКС ММВБ
Белякова А.С., Масютин А.А., Родина В.А
Лаборатория анализа финансовых рынков
НИУ ВШЭ
Россия
1.
Введение.
Техника
арбитража,
состоящая
в
принятии
противоположных торговых позиций на спотовом и фьючерсном рынке
(фондовых индекс и фьючерсный контракт на него), называется индексным
арбитражем. Эта стратегия применяется с расчетом на априорное
получение
прибыли,
инвестирования.
превышающей
Индексный
прибыль
арбитраж
основан
от
на
безрискового
возможном
несоответствии теоретической (справедливой) и наблюдаемой цены
фьючерсного контракта. В соответствии с основными принципами оценки
производных финансовых инструментов, существует единственная цена
фьючерсного контракта, которая выводится из цены базового актива
(фондового индекса) в условиях отсутствия арбитражных возможностей.
Тогда, любое различие справедливой и наблюдаемой цены фьючерса
можно интерпретировать как нарушение этих условий, что в итоге
приводит к недооценке или переоценке контракта.
Когда фьючерсный контракт на фондовый индекс недооценен или
переоценен по сравнению с его теоретической ценой, следует принять одну
из двух возможных стратегий с целью извлечения арбитражной прибыли.
В случае недооцененного контракта целесообразно одновременно занять
короткую
позицию
по
портфелю
акций,
формирующих
индекс,
инвестировать вырученные средства под безрисковую процентную ставку
до момента исполнения фьючерсного контракта, занять длинную позицию
по фьючерсу. Данная стратегия позволяет трейдеру на начальном этапе
зафиксировать прибыль, которая будет реализована в момент истечения
фьючерсного
контракта
с
покупкой
обратно
портфеля
акций,
формирующих индекс. Стратегия получила название reverse cash and carry
arbitrage. Прямо противоположная стратегия, cash and carry arbitrage,
используется в ситуации, когда фьючерсный контракт переоценен. Следует
учесть, что обе стратегии имеют несколько вариантов реализации,
отличающихся друг от друга длительностью периода владения открытыми
позициями. Возможность извлечения арбитражной прибыли исчезает, как
только
наблюдаемая
цена
сравнивается
с
теоретической.
Этому
способствуют сами арбитражеры, поскольку их возрастающая активность в
совершении арбитражных сделок подталкивает наблюдаемую цену к более
приемлемому, с точки зрения эффективности рынка, уровню.
Тем не менее, остается открытым вопрос, насколько прибылен
индексный
арбитраж.
Существует
большое
количество
институциональных и регулирующих факторов, а также рыночных
несовершенств, которые, с одной стороны, способствуют несоответствию
теоретической
и
наблюдаемой
цены
фьючерсного
контракта
(миспрайсингу), но, с другой стороны, ограничивают возможности
осуществления арбитражных стратегий. К таким факторам относятся
транзакционные издержки совершения биржевых сделок, налоги, низкая
ликвидность акций, формирующих индекс, запрет на осуществление
короткой продажи, несовпадающие во времени торговые сессии на
спотовом и срочном рынке. К примеру, различия в уровне ликвидности
акций в портфеле могут явиться причиной невозможности одновременной
покупки фьючерсного контракта на фондовый индекс и продажи самого
фондового индекса или увеличат транзакционные издержки на спотовом
рынке, если продажа менее ликвидных акций будет осуществляться по
ценам бид. Тогда, reverse cash and carry arbitrage становится рискованной и
дорогой стратегией.
К
другим
рыночным
несовершенствам
относятся:
отставание
спотового от срочного рынка в скорости отражения новой информации в
ценах, редко обновляемые (и, следовательно, необъективные) котировки
менее активно торгуемых акций, несинхронность в подсчете и публикации
значений
фондового
индекса.
Анализ
арбитражных
возможностей,
основанный на подобной информации, приводит к неверным выводам,
указывая на наличие арбитражной прибыли там, где она на самом деле
отсутствует.
Очевидно, что важной проблемой становится не факт миспрайсинга, а
масштаб миспрайсинга. Колебания цены фьючерсного контракта внутри
определенных границ, называемых границами отсутствия арбитражных
возможностей
(no-arbitrage
band),
является
следствием
влияния
перечисленных выше институциональных и регулирующих факторов и
рыночных
несовершенств,
препятствующих
справедливой
оценке
фьючерса. В то же время пересечение этих границ свидетельствует о
рыночной неэффективности, то есть неспособности рынка подтолкнуть
цену фьючерсного контракта к справедливой цене.
Цель данного исследования – рассмотреть арбитражные возможности
на рынке России. Российскому рынку пока присущи многие черты
развивающегося рынка. Это небольшое количество институциональных
инвесторов и профессиональных финансовых посредников, недостаточные
профессиональные знания частных трейдеров, в силу чего каждый трейдер
действует с оглядкой на других (bandwagon effect), низкая активность
торговли многими акциями, низкие коэффициенты free-float и общая
недостаточная информационная прозрачность. В таких условиях вполне
справедливым является вопрос относительно индексного арбитража.
Может ли индексный арбитраж стать прибыльной стратегией для
участников российского рынка?
В исследовании рассматривается фьючерсный контракт на Индекс
ММВБ.
Несколько
соображений
относительно
способности
рынка
эффективно оценить данный фьючерсный контракт делают его интересным
объектом для исследований. С одной стороны, фьючерс на Индекс ММВБ
достаточно молодой производный инструмент, что дает основание сделать
предположение о не вполне устоявшихся связях между ним и спотовым
рынком. Базовый инструмент, Индекс ММВБ представляет 30 крупнейших
компаний основных отраслей экономики. Будущую динамику такого
индекса более сложно определить по сравнению, например, с динамикой
отраслевого индекса. С другой стороны, ММВБ предлагает благоприятную
торговую среду для совершения арбитражных сделок: спотовый и
фьючерсный рынок
характеризуются достаточной
ликвидностью и
невысокими транзакционными издержками. Исходя из этих (и других)
соображений невозможно сделать априорный вывод об эффективности
установления цены фьючерсного контракта на Индекс ММВБ, и
проведение дальнейшего исследования видится вполне обоснованным.
2. Методология и гипотеза. Теоретическая (справедливая) цена
фьючерсного контракта выводится на основе соответствующей цены
форвардного контракта. В условиях совершенного рынка капитала,
отсутствия транзакционных издержек, налогов и требований по депозитной
марже,
свободного
осуществления
коротких
продаж
и
равенства
безрисковых ставок по кредитам и депозитам цена форвардного контракта
в момент t с моментом погашения Т соотноситься со спотовой ценой по
следующей формуле:
Gt,T = Ste(r-d)(T-t),
где St – цена акции в момент t, r – годовая безрисковая ставка на срок (T-t),
d – доходность по дивидендам.
Для идентичности форвардной и теоретической фьючерсной цены
(Gt,T = F*t,T) требуется дополнительное условие: нестохастический характер
безрисковой процентной ставки и доходности по дивидендам. Поскольку
для Индекса ММВБ равномерное в течение гола распределение
дивидендных
выплат
не
является
типичным,
справедливо
будет
предложить видоизмененную конечную формулу:
F*t,T = Ster(T-t) – Dt,T,
где St – значение Индекса ММВБ на момент t, Dt,T – будущая стоимость
всех выплаченных за период (T-t) дивидендов.
Наблюдаемая цена фьючерса отличается от теоретической цены. Это,
по сути, равносильно утверждению о несовпадении цен фьючерсных и
форвардных контрактов. В случае если данное несовпадение вызвано
стохастическим
характером
процентной
ставки
или
дивидендной
доходности, то различие цен были бы незначительны. Однако различия
становятся более очевидными при дальнейшем приведении обозначенных
выше условий к реальности. Несовпадение наблюдаемой и теоретической
цены фьючерса называется миспрайсингом (mispricing), величина которого
в абсолютном и относительном виде определяется по следующим
формулам:
MAt = /Ft,T – F*t,T/,
MRt = (/Ft,T – F*t,T/)/F*t,T.
Наличие институциональных и регулирующих факторов и рыночные
несовершенства приводят к тому, что осуществление арбитражной
торговли сопровождается транзакционными издержками, которые состоят
из расходов по совершению сделок, упущенных возможностях ликвидных
средств, используемых для депозитной маржи, и налоговых отчислений.
Величина некоторых транзакционных издержек зависит от длительности
принятой трейдером стратегии. В данном исследовании предполагается,
что трейдер держит фьючерсный контракт до момента исполнения.
Тогда, актуальными становятся следующие транзакционные издержки:
брокерские и биржевые комиссии для сделок на спотовом и срочном
рынке,
клиринговые
исследовании
не
сборы,
учитываются
расходы
расходы
на
на
депозитную
маржу.
вариационную
В
маржу,
поскольку они составляют несущественную часть совокупных расходов, и
налоговые отчисления.
Последним предположением для выполнения исследования является
совершение арбитражной торговли квазиарбитражером, то есть, таким
инвестором, который владеет портфелем, включающим необходимые для
арбитража акции. Владение таким портфелем для занятия короткой
позиции и наличие на счету средств, достаточных для занятия длинной
позиции, не составляет трудностей для институциональных инвесторов.
Также, институциональный инвестор должен выполнять функции брокера.
Это наиболее часто встречающийся подход в академической литературе по
исследованию индексного арбитража относительно типа арбитражера, и
его преимуществом является возможность не учитывать расходы по
короткой продаже и брокерские комиссии.
Таким образом, транзакционные издержки для целей настоящего
исследования определяются следующим образом:
Сf = φf + χf + ψf (для фьючерса),
Сs = φsSt + φsST (для портфеля акций),
где φf – биржевые комиссии за совершение сделки, χf,s – клиринговые
сборы, ψf – упущенные возможности ликвидных средств, используемых
для депозитной маржи, St и ST – стоимость индексного портфеля в момент t
и T соответственно. Совокупные транзакционные издержки, Сt = Ct,f + Ct,s,
формируют границы отсутствия арбитражных возможностей. Арбитражная
прибыль будет реализована только в случае, если наблюдаемая цена
фьючерсного контракта лежит вне интервала [F*t,T+ Ct; F*t,T – Ct].
Исследование возможности осуществления арбитражной торговли
основывается на использовании прокси-портфеля. Прокси-портфель – это
портфель наиболее ликвидных акций, формирующих базу расчета Индекса
ММВБ, составленный таким образом, чтобы стоимость максимально точно
повторяла
стоимость
первоначального
портфеля.
Манипулирование
прокси-портфелем – это обычная практика среди арбитражеров, поскольку
исключение
менее
ликвидных
акций
позволяет
осуществить
покупку/продажу акций в минимальные сроки и сократить транзакционные
издержки,
не
включающие
какую-либо
значительную
плату
за
немедленное исполнение сделки. Очеидно, что стоимость прокси-портфеля
не в полной мере совпадает со стоимостью первоначального портфеля.
Отклонение в стоимости называется ошибкой отслеживания (tracking
error), которую необходимо учитывать для определения границ отсутствия
арбитражных возможностей. Пусть ошибка отслеживания обозначается Et.
Тогда окончательным интервалом, в пределах которого колебания цены
фьючерсного контракта не свидетельствуют о неэффективности оценки,
будет интервал [F*t,T + Ct + Et; F*t,T – Ct – Et].
В академической литературе по исследованию индексного арбитража
наиболее часто проверяемой гипотезой является арбитраж ex post. Это
возможность совершения арбитражной торговли на основе абсолютно
синхронных данных на спотовом и срочном рынках, предполагающая
одновременные действия. Таким образом, в исследовании тестируется
утверждение:
Наблюдаемые цены фьючерсного контракта на Индекс ММВБ не
противоречат принципу отсутствия арбитражных возможностей (noarbitrage rule). Любые нарушения данного принципа устраняются
немедленно.
3. Описание данных. Для проведения исследования были собраны
следующие данные: 1) котировки фьючерсного контракта на Индекс
ММВБ и акций, формирующих данный индекс; 2) значения Индекса
ММВБ; 3) процентные ставкам MIBOR; 4) информация по выплате
дивидендов; 5) информация по депозитной марже и биржевым комиссиям.
Для получения данных использовался портал Bloomberg Terminal, сайты
ЦБ РФ и ММВБ.
Период выборки с 25 октября 2010 года по 03 марта 2011 года (129
торговых дней). Частота временных рядов минутная, и, если за минуту
было совершено несколько сделок, то принимается значение показателя по
последней за данную минуту сделке. Такой период выборки обусловлен
тем, что база расчета Индекса ММВБ в течение всего интервала оставалась
неизменной. Это, безусловно, облегчает исследование арбитражных
возможностей, поскольку для расчетов по индексному портфелю более не
требуется
учитывать
его
качественную
перебалансировку
(только
количественную). Напомним, что индексный портфель рассматривается
как базовый актив, если бы фьючерсный контракт на Индекс ММВБ
являлся поставочным, а не расчетным.
В течение рассматриваемого периода в базу расчета индекса входили
акции следующих компаний: Аэрофлот, Северсталь, ФСК ЕЭС, Газпром,
ГМК Норильский Никель, РусГидро, ИНТЕР РАО ЕЭС, Лукойл, ММК,
Магнит,
Холдинг
МРСК,
Мосэнерго,
Мобильные
ТелеСистемы,
Новолипецкий металлургический комбинат, НОВАТЭК, ОГК-3, Полюс
Золото, Полиметалл, Распадская, НК Роснефть, Ростелеком, Сбербанк
России, Газпром нефть, Сургутнефтегаз, Татнефть, АК Транснефть,
Уралкалий, Банк ВТБ.
Покупая эти ценные бумаги на спотовом рынке, трейдер составляет
индексный портфель, то есть, портфель идентичный по структуре индексу
ММВБ. Очевидно, стоимость индексного портфеля пропорциональна
стоимости
вложенных
минимальный
средств.
индексный
В
исследовании
портфель,
который
рассматривается
содержит
одну
привилегированную акцию Транснефти (поскольку выпуск Транснефти
наименьший), а остальные акции в пропорциональном количестве. В таком
формировании
портфеля количество
некоторых
акций оказывается
дробным или некратным объему лота. Дальнейшее округление количества
акций до лота необходимо для избежания издержек торговли дробными
лотами.
Совершение арбитражной стратегии предполагает одновременное
занятие позиций на фьючерсном и спотовом рынке, следовательно, трейдер
должен быть уверен, что акции из базы расчета индекса ликвидны.
Несмотря на то, что все рассматриваемые акции – это акции компаний с
наибольшей капитализацией, характеризующиеся активной торговлей на
ММВБ, акции четырех компаний имеют невысокую ликвидность, и
построение арбитражной стратегии в расчете на то, что в любой момент
времени
удастся
рациональным.
включить
Это
акции
их
в
портфель,
компаний
металлургический комбинат, ОГК-3
и
не
Аэрофлот,
представляется
Магнитогорский
Распадская. Трейдер будет
систематически переплачивать за немедленность выполнения сделки с
этими акциями.
Для исследования был составлен прокси-портфель, исключающий
неликвидные акции. Основным требованием к прокси-портфелю является
близкое к исходному минимальному индексному портфелю значение
стоимости в каждый момент времени. Этого возможно добиться, если в
качестве заменителей исключенных акций взять акции, наиболее полно с
ними коррелирующие. Так, для акций компании Аэрофлот наилучшим
заменителем являются привилегированные акции Сбербанка, коэффициент
корреляции составляет 0,861.
Заменители \
Исключаемые
AFLT
MAGN
OGKC
RASP
SBERP (Сбербанк, а.п.) 0,861655
CHMF (Северсталь)
0,912885
HYDR (РусГидро)
0,827337
GMKN (Норникель)
0,956182
Таблица 1. Наиболее высокие коэффициенты корреляции для
исключаемых акций
В
прокси-портфеле
стоимость
каждой
исключенной
акции
используется для пополнения акции-заменителя.
Ключевым фактором адекватности проверки гипотезы эффективности
рынка является точность, с которой стоимость прокси-портфеля
отслеживает стоимость минимального индексного портфеля. Существует
несколько источников ошибки отслеживания (tracking error): 1)
исключение акций четырех компаний; 2) округление числа акций при
переходе от минимального индексного портфеля к прокси-портфелю; 3)
динамика стоимости самого минимального индексного портфеля
отличается от динамики Индекса ММВБ, в котором для расчета весов
используются средневзвешенные цены 10 последних сделок, а стоимость
минимального индексного портфеля рассчитывается по текущим ценам. В
данном случае возможно только минимизировать отклонение проксипортфеля от минимального индексного портфеля. В результате, средняя
абсолютная и максимальная ошибка отслеживания составляют 0,15% и
0,85% соответственно.
Рис 1. Динамика минимального индексного портфеля и прокси-портфеля
На графике для примера представлены внутридневные расчетные
значения стоимости за период с 9 по 17 февраля 2011 года,
синхронизированные с наблюдениями по фьючерсу и Индексу ММВБ.
Хорошо заметно отрицательное отклонение, то есть, прокси-портфель
недооценен.
Это
объясняется
тем,
что
количество
покупаемых
дополнительных акций необходимо округлить до лотов. При этом цены
GMKN и CHMF значительно выше цен исключаемых RASP и AFLT,
поэтому часто на стоимость исключаемых акций возможно купить лишь
меньшее или вовсе нулевое число целых лотов. Цены двух других
исключаемых акций и их заменителей соизмеримы.
Важным
аспектом
расчета
теоретической
цены
фьючерсного
контракта является нисходящая корректировка на стоимость дивидендов
на период владения прокси-портфелем. Однако в рассматриваемый период
акция ни одной компании не получила статус ex-date. Процентные ставки
МИБОР по вкладам на срок 1, 7, 30, 90, 181 день были линейно
интерполированы для получения доходности по вкладам с 1 по 91
последовательный день.
Как упоминалось в начале статьи, отклонение наблюдаемой цены
фьючерсного контракта от теоретической не всегда свидетельствует о
наличии арбитражных возможностей. Отклонение должно превышать
границы отсутствия арбитражных возможностей (no-arbitrage band), для
определения которых в данном исследовании учитываются биржевые
комиссии, взимаемые по сделкам на спотовом и срочном рынке ММВБ, и
упущенные
возможности
ликвидных
средств,
используемых
для
депозитной маржи. Были учтены решения ММВБ по увеличению
депозитной маржи в предпраздничные и праздничные дни, поподающие на
период выборки. Возможность пополнения депозитной маржи ценными
бумагами на ММВБ не предусмотрена. Далее, для окончательного
определения
границ
отсутствия
арбитражных
возможностей,
к
обозначенным выше издержкам добавляется ошибка отслеживания
минимального индексного портфеля.
4. Результаты. Получившийся в результате временной ряд величины
миспрайсинга,
выраженной
в
процентах,
обладает
следующими
характеристиками: среднее ожидаемое значение составляет (0,31%),
медиана составляет (0,29%), асимметрия и эксцесс составляют (0,92) и 1,21
соответственно. Схожесть среднего ожидаемого значения и медианы
свидетельствует об отсутствии величин миспрайсинга, существенно
отличающихся от других во временном ряду. Действительно, величины
миспрайсинга компактно распределены в диапазоне от (0,99%) до 0,14%;
само распределение отличается о гауссовского ненулевыми третьим и
четвертым моментом, которые, тем не менее, придают временному ряду
только незначительные различия в левом и правом «хвостах» и некоторую
остроту вокруг ожидаемого среднего значения.
То, что ожидаемое среднее значение отрицательно, свидетельствует о том,
что наблюдаемая цена фьючерса в большинстве случаев отклоняется от
теоретической (справедливой) цены в меньшую сторону, то есть,
фьючерсный контракт чаще недооценен, чем переоценен. Это наглядно
демонстрирует представленная ниже диаграмма.
Рис. 2. Распределение величины миспрайсинга фьючерсного контракта на Индекс ММВБ
На
диаграмме
фьючерсные
отчетливо
контракты.
Оба
видны
декабрьский
контракта
и
мартовский
характеризуются
явной
недооценкой в начале периода обращения в качестве ближайшего
фьючерса. Диаграмма свидетельствует, что величина миспрайсинга
декабрьского фьючерсного контракта постепенно сводится к нулю с
приближением срока исполнения контракта. Это является логическим
следствием того, что с уменьшением дней до момента экспирации
неопределенность относительно индекса ММВБ снижается, что в итоге
обеспечивает сходимость наблюдаемой и теоретической цены на спотовом
уровне. Небольшие положительные отклонения наблюдаемой цены
декабрьского
фьючерса
ближе
к моменту экспирации,
возможно,
указывают на повышенную волатильность, в целом типичную для
фьючерсных контрактов в предшествующие моменту исполнения дни.
Диаграмма показывает, что в течение всего периода выборки
фьючерсный контракт на Индекс ММВБ систематически недооценен, это
ситуация, подходящая для осуществления арбитражной стратегии «reverse
cash and carry». Возможными причинами этому является преобладание
осторожных (или пессимистических) ожиданий относительно поведения
Индекса ММВБ у участников торгов или их невысокая активность в
осуществлении упомянутой выше стратегии.
Однако
будет
ли
прибыльным
арбитраж,
если
отклонение
наблюдаемой цены от теоретической цены колеблется в пределах одного
процента? Для каждого наблюдения были сопоставлены величина
миспрайсинга
и
границы
отсутствия
арбитражных
возможностей.
Полученные результаты можно обобщить следующим образом: для 79,63%
наблюдений
отклонение
наблюдаемой
от
теоретической
цены
фьючерсного контракта не превышает совокупные издержи, сопряженные
с
осуществлением
арбитражных
стратегий.
Совокупные
издержки
включают различные комиссии, взимаемые на спотовом и фьючерсном
рынках, упущенные возможности ликвидных средств, используемых в
качестве депозитной маржи, и отклонения прокси-портфеля от индексного
портфеля.
Величина
положительной
после
миспрайсинга,
вычета
таким
совокупных
образом,
издержек
для
остается
20,33%
наблюдений.
Возможность осуществления прибыльных арбитражных стратегий для
одной пятой части выборки свидетельствует, что участники рынка далеко
не всегда могут эффективно оценить фьючерс на Индекс ММВБ. Другими
словами, интеграция спотового и фьючерсного рынков ММВБ не является
вполне завершенной.
Литература
[1] Alexander, C.J. On Back-Testing “Zero-Investment” Strategies. Journal of
Business 73, 255-278, 2000.
[2] Bae, K.H., Chan, K., Cheung, Y.L. The Profitability of Index Futures
Arbitrage: Evidence from Bid-Ask Quotes. Journal of Futures Markets 18(7),
743-763, 1998.
[3] Beelders, O., Massey, J. The Relationship between Spot and Futures Index
Contracts After the Introduction of Electronic Trading on the Johannesburg
Stock Exchange. Working paper, Emory University, Atlanta, The United States,
2002.
[4] Brennan, M.J., Schwartz, E.S. Arbitrage in Stock Index Futures. Journal of
Business, 63, 7-31, 1990.
[5] Brenner, M., Subrahmanyam, M. G., Uno, J. The Behavior of Prices in the
Nikkei Spot and Futures Market. Journal of Financial Economics, 23, 363-383,
1989.
[6] Copeland, L., Zhu, Y. Hedging Effectiveness in the Index Futures Market.
Working paper, Cardiff Business School, 2006.
[7] Cornell, B., French, K.R. The Pricing of Stock Index Futures. Journal of
Futures Markets, 3, 1-14, 1983.
[8] Finnerty, J.E., Park, H.Y. Stock Index Futures: Does the Tail Wag the Dog?
A technical note, Financial Analysts Journal 43, 57-61, 1987.
[9] Frino, A., West, A. The Lead-Lag Relationship between Stock Indices and
Stock Index Futures Contracts: Further Australian Evidence. ABACUS, 35 (3),
333-341, 1999.
[10] Hogan, S., Jarrow, R., Teo, R., Warachka, M. Testing Marking Efficiency
Using Statistical Arbitrage with Applications to Momentum and Value
Strategies. Journal of Financial Economics 73, 525- 565, 2004.
[11] Kawaller, I. G., Koch, P.D., Koch, T.W. The Temporal Relationship
between S&P 500 Futures and S&P 500 Index. Journal of Finance 42, 13091329, 1987.
[12] MacKinlay, A. C., Ramaswamy, K. Index-Futures Arbitrage and the
Behavior of Stock Index Future Prices. Review of Financial Studies 1, 137-158,
1988.