А(В + С) = АВ + АС

Физико-математический факультет
Кафедра математики и методики преподавания математики
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
«Математика1 (алгебра и аналитическая геометрия)»
для студентов 1 курса специальности
5В011000 «Физика»
1.
2.
3.
4.
5.
Содержание
Глоссарий по дисциплине
Краткий конспект лекций
Методические указания для проведения лабораторных и
практических занятий
Методические рекомендации по СРС
Контрольно-измерительные средства
2
4
19
97
120
122
Глоссарий по дисциплине
  11  12 ...  1n 


  21  22 ...  2 n 
Матрица – таблица чисел aik вида 
, состоящая из m строк и n столбцов.
.................... 





...

m2
mn 
 m1
Определитель второго порядка – число, равное a1b2  a2 b1 , где a1 , a 2 , b1 , b2 – элементы
матрицы, обозначается
a b1
 1
 a1b2  a 2 b1
a 2 b2
Определитель третьего порядка – число, равное
а11
а12
а13
А    а 21
а 22
а 23  а11а 22 а33  а12 а 23 а31  а 21а32 а13  а13 а 22 а31  а11а32 а 23  а 21а12 а33
а31 а32 а33
Вектор – каждый класс эквивалентности отношения эквиполлентности, заданное на
множестве направленных отрезков.
Репер – упорядоченная тройка точек A, B, C плоскости, не лежащие на одной прямой,
обозначается R=(A, B, C).
 
Аффинная система координат – тройка, состоящая из точки O и базиса e1 , e2 , обозначается

 
Oe1e2 или O, e1 , e2  .
Ранг матрицы A – наибольшее число линейно независимых строк (столбцов).
Уравнение линии – условие, определяющее линию γ в данной системе координат на
плоскости
Преобразование (непустого) множества X называется любое биективное отображение
множества X на себя.
Отображение. Пусть X и Y – непустые множества. Если каждому элементу x множества X
поставлен в соответствие определенный элемент y множества Y, то говорят, что дано
отображение множества X в множество Y или дана функция.
Сюръекция. Если f ( X )  Y , т.е. каждая точка множества Y является образом по крайней
мере одной точки множества X, то f называется отображением множества X на множество Y
или сюръективным отображением (сюръекцией)
Инъекция. Если для любых двух различных элементов x1 , x2  X имеем: f ( x1 )  f ( x2 ) , то
отображение f называется инъективным отображением или инъекцией.
f ( X )  Y одновременно является инъективным и
Биекция. Если отображение
сюръективным, то оно называется взаимно однозначным отображением множества X на
множество Y или биективным отображением множества X на множество Y (коротко
биекцией).
Подобие. Преобразование плоскости называется преобразованием подобия или просто
подобием, если существует такое число k  0 , что для любых двух точек A и B и их образов
A и B  выполняется равенство AB  kAB . Число k называется коэффициентом подобия.
Гомотетия. Зададим точку M0 и вещественное число m  0 . Каждой точке M плоскости
________
________
поставим в соответствие точку M/ так, чтобы M 0 M   m M 0 M . Такое отображение является
преобразованием плоскости и называется гомотетией.
Движение – преобразование плоскости, сохраняющее расстояния.
Инверсия. Зададим на плоскости окружность (O, r) и обозначим через E0 множество всех
точек плоскости без точки O. Каждой точке M множества E0 поставим в соответствие точку
M/ так, чтобы она лежала на луче OM и OM  OM   r 2 . Получаем преобразование множества
3
E0, которое называется инверсией относительно окружности (O, r) или просто инверсией.
Аффинные преобразования. Преобразование плоскости называется аффинным, если оно
любые три точки M1, M2 и M3, лежащие на одной прямой, переводит в три точки M1/, M2/ и
M3/, лежащие на одной прямой, и сохраняет их простое отношение, т.е.
M 1 M 2 , M 3   M 1M 2 , M 3 .
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма
расстояний до двух данных точек F1 , F2 (называемых фокусами) есть величина постоянная,
равная 2a, где 2a> F1F2=2c.
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний
которых до двух данных точек F1 , F2 (называемых фокусами) равен некоторому числу 2a,
меньшему, чем расстояние между фокусами (2a< F1F2=2c).
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых
расстояние до данной точки F (называемой фокусом) равно расстоянию до данной прямой d
(называемой директрисой), не проходящей через данную точку.
Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в
x2 y2 z2
некоторой прямоугольной системе координат удовлетворяет уравнению 2  2  2  1.
a
b
c
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида.
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
x2 y2 z2
прямоугольной системе координат определяется уравнением


 1 . Это
a2 b2 c2
уравнение называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
x2 y2 z 2
прямоугольной системе координат определяется уравнением


 1 . Это
a2 b2 c2
уравнение называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
x2 y2
прямоугольной системе координат определяется уравнением

 2 z . Это уравнение
a2 b2
называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.
Гиперболическим
параболоидом
называется
поверхность, которая в некоторой
x2 y2
прямоугольной системе координат определяется уравнением

 2 z . Это уравнение
a2 b2
называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.
Сфера. Уравнение второй степени ( x  a) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  R 2 , представляет сферу
радиуса R , с координатами центра a, b, c .
Конусом или конической поверхностью с вершиной в точке M0 называется поверхность,
которая обладает тем свойством, что вместе с каждой своей точкой M, отличной от точки M0,
эта поверхность содержит прямую M0M.
Поверхностью вращения называется поверхность, которая вместе с каждой своей точкой
содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой
фиксированной прямой d.
Цилиндрической поверхностью или цилиндром называется поверхность, обладающая тем
свойством, что вместе с каждой точкой M она содержит всю прямую, проходящую через M,

параллельную данному ненулевому вектору p .
Центральная проекция. Рассмотрим в евклидовом пространстве Е3 две плоскости
    е . S  , S   . M   SM   , M   . Соответствие, относящее точке M плоскости
 точку M  плоскости  называют центральной проекцией или центральным
проектированием из точки S .
4
Параллельная проекция. Возьмем в евклидовом пространстве E3 некоторую плоскость σ и

какой-нибудь ненулевой вектор p , не параллельный этой плоскости. Пусть A произвольная точка пространства. Проведем через эту точку прямую, параллельную вектору

p , и обозначим через A0 точку, в которой эта прямая пересекает плоскость σ. Точка A0

называется проекцией точки A на плоскость σ при проектировании параллельно вектору p ,
или, кратко, параллельной проекцией точки A .
5
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Данные о дисциплине:
Математика1 (Алгебра и аналитическая геометрия)
Данные о преподавателе:
Тайболдина Каламкас Радылхановна
Контакт с преподавателем: СГПИ, корпус №3, аудитория №319
Количество кредитов - 3
Место проведения – учебный корпус №3
Курс
семестр
кредиты
I
1
3
Лекции
(час)
30
Практика
СРСП
СРС
Всего
15
22,5
67,5
135
Форма
контроля
экзамен
Пререквизиты:
1. Школьный курс алгебры и начала анализа;
2. Школьный курс геометрии;
3. Элементарная математика.
Постреквизиты:
1. Основы линейной алгебры;
2. Элементы векторной алгебры
3. Аналитическая геометрия на плоскости
4. Аналитическая геометрия в пространстве
Краткое описание:
Курс представляет собой последовательное изложение основных положений, методов и
результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, которые на ряду с
математическим анализом составляют основу фундаментального математического
образования специалистов в различных областях знаний.
Целью изучения курса является выработка у студентов умения проводить анализ
прикладных задач и овладение основными математическими методами исследования и
решения таких задач.
Задачи курса: повышение уровня фундаментальной математической подготовки;
усиление прикладной направленности курса высшей математики; ориентация на обучение
студентов использованию математических методов при решении прикладных задач;
добиваться развития у студентов логического и алгоритмического мышления, умения
самостоятельно расширять и углублять математические знания.
Содержание курса: изучение курса начинается с изучения основ линейной алгебры и
аналитической геометрии, в том числе комплексного переменного. Линейная алгебра – это
теория алгебраических структур частного вида, а именно линейных пространств и линейных
отображений. В частности, линейная алгебра бесконечномерных линейных пространств
превратилась в современной физике в аппарат, используемый для формулировки
фундаментальных законов природы.
Наиболее близким по духу и по содержанию к линейной алгебре, среди преподаваемых
дисциплин, бесспорно, является курс аналитической геометрии. Кроме того, реализация
основных моделей линейной алгебры в случаях прямой, плоскости и обычного трехмерного
пространства служит естественной иллюстрацией общих конструкций.
6
Темы и продолжительность их изучения
всего: 3 кредита
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Наименование темы
Матрицы и действия над ними.
Обратная матрица. Ранг матрицы. Минор и
алгебраическое дополнение.
Определители и их свойства. Определители
второго и третьего порядка. Определители n – го
порядка.
Системы линейных уравнений, их
классификация. Решение систем линейных
уравнений по формулам Крамера.
Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса. Метод Жордана-Гаусса.
Понятие вектора. Линейные операции над
векторами.
Линейные операции над векторами. Модуль
вектора.
Скалярное, векторное, смешанное произведение
векторов, свойства. Приложение к решению
задач.
Преобразование аффинной системы координат,
прямоугольной системы координат. Угол между
векторами. Полярные координаты.
Векторное пространство. Линейная зависимость
векторов. Размерность. Базис, координаты
векторов.
Различные способы задания прямой. Общее
уравнение прямой.
Расстояние от точки до прямой. Нормальное
уравнение прямой.
Взаимное расположение двух прямых. Угол
между прямыми.
Геометрическое истолкование уравнения с двумя
переменными. Взаимное расположение двух
прямых. Нормальное уравнение прямой. Условие
параллельности и перпендикулярности двух
прямых
Изучение кривых второго порядка по их
каноническим уравнениям. Эллипс, гипербола,
парабола.
Фокусы и директрисы линий второго порядка.
Уравнение линий второго порядка в полярных
координатах.
Плоскость и прямая в пространстве. Общее
уравнение плоскости. Различные способы
задания плоскости: проходящей через данную
точку перпендикулярно данному вектору;
неполное уравнение плоскости. Частные случаи.
Различные способы задания прямой линии и
связь между ними. Взаимное расположение двух
прямых. Взаимное расположение прямой и
7
лекции
1
практика
1
СРСП
1
СРС
3
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
1
1
1
1
3
3
1
1
1
1
3
1
1
3
1
3
1
1
1
3
1
3
1
3
1
1
1
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
плоскости
Прямая в пространстве. Общие уравнение
прямой. Канонические уравнения прямой.
Прямая в пространстве. Параметрические
уравнения прямой в пространстве. Угол между
прямыми.
Поверхности вращения. Цилиндрические
поверхности второго порядка
Поверхности вращения. Конические поверхности
второго порядка. Конические сечения.
Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды
Комплексные числа. Определение комплексных
чисел и основные операции над ними.
Геометрическая интерпретация комплексных
чисел.
Геометрическое изображение
комплексных чисел. Модуль и аргументы
комплексного числа.
Различные формы записи комплексных чисел.
Алгебраические и тригонометрические формы
записи комплексных чисел. Умножение и
деление комплексных чисел, записанных в
тригонометрической форме.
Различные формы записи комплексных чисел.
Возведение в степень и извлечение корня.
Квадратные уравнения. Комплексная степень
числа е.
Разложение многочленов на множителей.
Показательная форма записи комплексного числа.
Формула Муавра, Формула Эйлера, выражения
тригонометрических функции через
показательную функцию.
Разложение многочленов на множителей.
Теорема Безу. Формула Муавра, Формула
Эйлера, выражения тригонометрических
функции через показательную функцию.
Всего
Планы лекционных занятий
Лекция № 1
Тема: Матрицы и действия над ними.
1. Матрицы и действия над ними.
Литература: 4, 5
Дополнительная литература: 1
Лекция № 2
Тема: Обратная матрица
1. Обратная матрица.
2. Ранг матрицы.
Литература: 4, 5
Дополнительная литература: 1
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
1
1
1
3
1
3
2
3
0,5
1,5
22,5
67,5
1
1
1
2
30
15
Лекция № 3
Тема: Определители и их свойства.
Дополнительный минор
Алгебраические дополнения.
Элементарное преобразования матрицы
Литература: 4, 5
Дополнительная литература: 1
Лекция № 4
Тема: Определители второго, третьего порядка и их свойства
1. Определители второго порядка и их свойства.
2. Определители третьего порядка и их свойства.
3. Определители n – го порядка.
Литература: 4, 5
Дополнительная литература: 1
Лекция № 5-6
Тема: Системы линейных уравнений, их классификация.
1. Системы линейных уравнений, их классификация.
2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Литература: 4, 5
Дополнительная литература: 1
Лекция №7-9
Тема: Векторы.
1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
2. Своитсав векторов.
3. Линейная зависимость векторов.
4. Линейные комбинации двух и трех векторов.
5. Скалярное произведение векторов, свойства.
6. Векторное произведение векторов, свойства
7. Смешанное произведение векторов, свойства
Литература: 1, 2
Дополнительная литература: 4
Лекция №10-11
Тема: Метод координат на плоскости. Преобразование системы координат.
1. Аффинная и прямоугольная система координат на плоскости.
2. Полярные координаты. Обобщение полярных координат
Литература: 1, 2
Дополнительная литература: 4
Лекция № 12
Тема: Векторы в Rn.
1. Евклидово пространство
2. Размерность и базис векторного пространства.
Литература: 1, 2
Дополнительная литература: 4
Лекция № 13-14
Тема: Прямая на плоскости
1. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой на плоскости.
9
2. Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
3. Разные виды уравнении прямой на плоскости.
Литература: 1, 2
Дополнительная литература: 4
Лекция № 15-16
Тема: Кривые второго порядка.
1. Каноническое уравнение эллипса, его свойства.
2. Построение эллипса. Параметрические уравнения эллипса.
3. Общее понятие кривых второго порядка.
4. Общее уравнение линии второго порядка и приведение его к каноническому виду.
Литература: 1,2, 5
Дополнительная литература: 4
Лекция № 17-19
Тема: Плоскость и прямая в пространстве.
1. Общее уравнение плоскости.
2. Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.
3. Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости.
4. Уравнение плоскости в отрезках.
5. Прямая в пространстве.
Литература: 1, 2
Дополнительная литература: 4
Лекция № 20-22
Тема: Поверхности второго порядка.
1. Уравнение поверхности второго порядка.
2. Метод сечений.
3. Цилиндрические и конические поверхности.
4. Поверхности вращения.
5. Цилиндрическая и сферическая системы координат.
Литература: 1, 2
Дополнительная литература: 4
Лекция № 23-26
Тема: Преобразования плоскости.
1. Движение плоскости.
2. Аналитическое выражение движения.
3. Классификация движения.
4. Аффинные преобразования.
Литература: 1, 2
Дополнительная литература: 4
Лекция № 27-28
Тема: Комплексные числа.
1. Определение комплексных чисел и основные операции над ними.
Литература: 1, 2
Дополнительная литература: 4
Лекция № 29-30
Тема: Разложение многочленов на множителей.
1. Показательная форма записи комплексного числа.
2. Формула Муавра, Формула Эйлера, выражения тригонометрических функции через
показательную функцию.
10
Литература: 1, 2
Дополнительная литература: 4
План практических занятий
Практическое занятие № 1
Тема: Алгебраические операции над матрицами.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 2
Тема: Определители и их свойства.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 3
Тема: Системы линейных уравнений, их классификация.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 4
Тема: Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 5
Тема: Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, свойства.
Приложение к решению задач.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 6
Тема: Преобразование аффинной системы координат, прямоугольной системы
координат. Угол между векторами. Полярные координаты.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 7
Тема: Векторное пространство.
Литература: [14], стр. 48 - 51
Практическое занятие № 8
Тема: Различные способы задания прямой.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 9
Тема: Взаимное расположение двух прямых.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 10
Тема: Изучение кривых второго порядка по их каноническим уравнениям. Эллипс,
гипербола, парабола.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 11
Тема: Фокусы и директрисы линий второго порядка. Общее уравнение линии второго
порядка.
Литература: [12], [13], [16]
11
Практическое занятие № 12
Тема: Различные способы задания плоскости.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 13
Тема: Различные способы задания прямой линии и связь между ними.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 14
Тема: Поверхности вращения.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 15
Тема: Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды
Литература: [12], [13], [16]
Список рекомендуемой литературы:
1. Основная литература:
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия ч I и II. М, Просвещение, 1986
Моденов П.С. Аналитическая геометрия, изд-во Московского Университета 1969
Баврин И.И., Курс высшей математики, М.: Просвещение, 1992
Базылев В.Т., Дуничев К.А, Геометрия ч II. М, Просвещение 1975
Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. М., «Наука», 1965
Л.Я. Куликов «Алгебра и теория чисел» М, 1979
Е.С.Ляпин, С.Е.Евсеев “Алгебра и теория чисел” 1и 2 ч. М, 1974
А.Г.Курош “Курс высшей алгебры” М, 1971
Рябушко А.П., Бархатов В.В. «Индивидуальные задания по высшей математике»
Минск. 2009
10. Клетеник Д.В.Сборник задач по аналитической геометрии. М., «Наука» 1986
11. Атанасян Л.С. , Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии ч I и II. М, Просвещение
1979
12. Л.Я. Куликов и др. “Сборник задач по алгебре и теории чисел”, М. 1993
13. И.В.Проскуряков “Сборник задач по линейной алгебре”, 1984
14. Д.К.Фадеев, И.С.Соминский “Сборник задач по высшей алгебре” М.1971
15. Л.Я.Окунев. Сборник задач по высшей алгебре. Изд. Просвещение 1964
16. Минорский В.П., Сборник задач по высшей математике, изд. Наука, М: 1971
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
2.Дополнительная литература:
1. А.И.Мальцев. Основы линейной алгебры. М.1970.
2.А.Г.Курош. Лекции по общей алгебре. М.1973.
3. И.М.Виноградов. Основы теории чисел.
4. Атанасян Л.С. Аналитическая геометрия ч I и II. М, Просвещение 1967, 1969
Время консультации: вторник, 10.00-12.00
12
График выполнения и сдачи СРС
№
тема
1
Деление отрезка в
данном
соотношении.
Вектор. Линейные
операции над
векторами.
Скалярное и
векторное
произведение двух
векторов.
Направляющие
косинусы векторов.
Системы линейных
уравнений, их
классификация.
Решение систем
линейных уравнений
по формулам
Крамера, методом
Гаусса.
Метод координат на
плоскости.
Аффинная и
прямоугольная
система координат.
Деление отрезка в
данном отношении.
Простейшие задачи
на плоскости.
2
3
4
5
6
7
8
Векторное
пространство.
Линейная
зависимость
векторов.
Размерность. Базис,
координаты
векторов.
Различные способы
задания прямой.
Общее уравнение
прямой. Расстояние
от точки до прямой.
Нормальное
уравнение прямой.
Взаимное
расположение двух
Цель и содержание
задания
Решение задач по
данной теме.
3
Сроки
Форма
выполнения
контроля
2 неделя
Проверка
домашнего
задания
3
2 неделя
Проверка
домашнего
задания
3
3 неделя
Проверка
домашнего
задания
Приложение
метода координат к
решению задач.
[1], [2] 3
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
4 неделя
Конспект
Нахождение
расстояния между
двумя точками;
деление отрезка в
данном отношении
и.т.д.
Линейная
зависимость
векторов.
[1], [2] 3
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
[1], [2] 3
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
5 неделя
Проверка
домашнего
задания
6 неделя
Проверка
домашнего
задания
Различные способы
задания прямой.
[1], [2] 3
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
7 неделя
Проверка
домашнего
задания
Решение основных
задач на прямую
[1], [2] 3
[3]
8 неделя
Проверка
домашнего
Применение
векторов к
решению задач.
Решение систем
линейных
уравнений
различными
способами.
13
Лит.
№ист.
[1], [2]
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
[1], [2]
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
[4], [5]
См.
УМК
Д, гл.
6
балл
9
прямых. Угол между
прямыми. Условие
параллельности и
перпендикулярности
двух прямых.
Изучение кривых
Линии второго
второго порядка по
порядка.
их каноническим
уравнениям. Эллипс,
гипербола, парабола.
См.
УМК
Д, гл.
6
10 Классификация
кривых второго
порядка
Приведение
уравнения линии
второго порядка к
каноническому
виду
11 Различные способы
задания плоскости.
Общее уравнение
плоскости. Частные
случаи.
Общее уравнение
плоскости.
12 Расстояние от точки
до плоскости.
Взаимное
расположение двух
и трех плоскостей.
Угол между
плоскостями.
13 Различные способы
задания прямой
линии и связь между
ними. Взаимное
расположение двух
прямых
14 Взаимное
расположение
прямой и плоскости.
Условие
параллельности и
перпендикулярности
плоскости и прямой.
15 Расстояние от точки
до прямой.
Расстояние между
двумя прямыми.
Основные задачи на
прямую и плоскость.
Взаимное
расположение двух
и трех плоскостей
Различные способы
задания прямой
линии и связь
между ними.
Условие
параллельности и
перпендикулярност
и плоскости и
прямой.
Основные задачи
на прямую и
плоскость.
14
задания
3
9 неделя
Проверка
домашнего
задания
3
10 неделя
Конспект
3
11неделя
Устный
опрос
3
12 неделя
Конспект
[1], [2] 3
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
[1], [2] 3
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
13 неделя
Устный
опрос
14 неделя
Конспект
[1], [2] 1,5
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
15 неделя
Конспект
[1], [2]
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
[1], [2]
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
[1], [2]
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
[1], [2]
[3]
См.
УМК
Д, гл.
6
Краткий конспект лекций
ЛЕКЦИЯ 1: Тема: Матрицы и действия над ними.
Цель: Ввести понятия матрицы, рассмотреть её свойства и действия над ними.
Основные вопросы:
1. Понятие матрицы.
2. Действия над матрицами.
1. Понятие матрицы.
Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов,
называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются
элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и
столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где iномер строки, а j- номер столбца.
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
А= 
...
... ... ... 


a

a
...
a
m3
mn 
 m1
Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря,
матрица может состоять даже из одного элемента.
Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица
называется квадратной.
Определение. Две матрицы А и В называются равными, если  i j  bij и они имеют
одинаковый тип.
Определение. Матрица вида:
 1 0 ... 0 


 0 1 ... 0 
 ... ... ... ... = E, называется единичной матрицей.


 0 0 ... 1 


Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической.
 2 1 5


Пример.  1 3 6  - симметрическая матрица
 5 6 4


 a11 0 ... 0 


 0 a 22 ... 0 
Определение. Квадратная матрица вида 
называется диагональной
... ... ... 0 


 0
0 ... a nn 

матрицей.
 0 0 ... 0 


0 0 ... 0 
Определение. Матрица вида 
 0 называется нулевой матрицей.
 ... ... ... ... 


 0 0 ... 0 
2. Действия над матрицами.
Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их
элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены
только для матриц одинакового типа.
15
Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой
являются соответственно сумма (разность) соответствующих элементов исходных матриц.
сij  aij  bij
С = А + В = В + А.
(A+B)+C=A+(B+C)
 b11 b12 b13 
 a11 a12 a13 




Т.е. если даны A a21 a22 a23  , B b21 b22 b23  , то
b

a

 31 b32 b33 
 31 a32 a33 
 a11  b11 a12  b12 a13  b13 


A  B   a21  b21 a22  b22 a23  b23 
a b

 31 31 a32  b32 a33  b33 
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число
сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
A  
...
...
...
... 


 a

 m1 a m 2 ... a mn 
 (А+В) =А  В
()А = А  А
1 A  A
0 A  0
1 3 4
 1 2 3




Пример. Даны матрицы А   2 1 4  ; В   5 7 8  , найти 2А + В.
1 2 4
 3 2 3




 2 4 6
 3 7 10 




2А   4 2 8  ,
2 А  В   9 9 16  .
 6 4 6
 7 6 10 




Операция умножения матриц.
Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут
быть вычислены по следующим формулам:
AB = C;
n
сij   aik  bkj .
k 1
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена
только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
 a11 a12 a13 
 b11 


 
A a21 a22 a23  , B b21 
a

b 
 31 a32 a33 
 31 
 a11  b11  a12  b21  a13  b31 


A  B   a21  b11  a22  b21  a23  b31 
 a b  a b  a b 
 31 11 32 21 33 31 
Свойства операции умножения матриц.
1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба
произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то
такие матрицы называются перестановочными или абелевыми.
16
Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является
перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
АЕ = ЕА = А
Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
AO = O; OA = O,
где О – нулевая матрица.
2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения
АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если
имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:
А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:
(AB) = (A)B = A(B).
5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и
выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТАТ, где
индексом Т обозначается транспонированная матрица.
6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.
Определение. Матрицу В называют транспонированной для матрицы А, а переход
от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же
порядке в столбцы матрицы В.
 а11 a12 ... a1n 
 a11 a21 ... am1 




a
a
...
a
 a21 a22 ... a2 n 

22
m2 
А
В  АТ   12
;
;

...
... ... ...
... ... ... ... 




a

a

a
...
a
a
...
a
m
1
m
2
mn
1
n
2
n
mn




другими словами, bji = aij.
В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:
(ABC)T = CTBTAT,
при условии, что определено произведение матриц АВС.
 1 0 3
1
  1
 
 


Пример. Даны матрицы А =  2 4 1  , В =  3  , С =  2  и число  = 2. Найти
 2
1
 1  4 2
 
 


АТВ+С.
1 2 1 
 1 2 1   1   1 1  2  3  1 2   9 



   
  
AT =  0 4  4  ;
ATB =  0 4  4    3  =  0  1  4  3  4  2  =  4  ;
3 1 2 
 3 1 2   2   3  1  1  3  2  2  10 



   
  
  2
 9    2  7 
 
     
C =  4  ;
АТВ+С =  4  +  4  =  8  .
 2 
10   2  12 
 
     
1
 
Пример. Найти произведение матриц А   4  и В  2 4 1 .
 3
 
17
1
 
А  В   4   2 4 1 
 3
 
 1 2 1 4 11   2 4 1 

 

 4  2 4  4 4  1   8 16 4  .
 3  2 3  4 3  1  6 12 3 

 

1
 
В  А  2 4 1   4  = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.
 3
 
3 4

Пример. Найти произведение матриц А  1 2 , В  
5 6
3 4
  (3  10 4  12)  13 16
А  В  (1 2)  
5 6
Вопросы самоконтроля:
1. Определение матрицы.
2. Сложение матрицы на матрицу.
3. Умножение матриц.
4. Умножение матрицы на скаляр.
5. Виды матрицы: строчные, столбчатые, квадратные.
Литература: 4, 5
ЛЕКЦИЯ 2:
Тема: Обратная матрица
Цель: Понятие обратной матрицы, рассмотрение её свойств, пути нахождения обратной
матрицы.
Основные вопросы:
1. Обратная матрица.
2. Свойства обратных матриц.
3. Ранг матрицы.
Обратная матрица.
Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка,
удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где Е - единичная матрица того же самого
порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А1
.
Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную
матрицу и притом только одну.
Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:
n
AX = E   aik  x kj  eij , i=(1,n), j=(1,n),
k 1
eij = 0,
i  j,
eij = 1,
i=j.
Таким образом, получаем систему уравнений:
a11 x1 j  a12 x 2 j ... a1n xnj  0

................................................

a j1 x1 j  a j 2 x 2 j ... a jn x nj  1 ,

................................................
a n1 x1 j  a n2 x 2 j ... a nn xnj  0

18
Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.
 1 2
Пример. Дана матрица А = 
 , найти А-1.
 3 4
 a11 a12   x11

 
 a21 a22   x21
x12   1 0
 
.
x22   0 1
 x11  2
a11 x11  a12 x 21  e11  1
 x11  2 x 21  1

a x  a x  e  0
x  2x  0
 x12  1
 11 12
 12
12 22
12
22



a 21 x11  a 22 x 21  e21  0
3 x11  4 x 21  0
 x 21  3 / 2
a 21 x12  a 22 x 22  e22  1
3 x12  4 x 22  1
 x 22  1 / 2
1 
 2
Таким образом, А-1= 
.
 3 / 2  1 / 2
Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших
порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:
xij 
1i  j M ji
det A
, где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.
 1 2
Пример. Дана матрица А = 
 , найти А-1.
 3 4
det A = 4 - 6 = -2.
M11=4;
M12= 3;
x11= -2; x12= 1;
M21= 2;
x21= 3/2;
M22=1
x22= -1/2
1 
 2
Таким образом, А-1= 

 3 / 2  1 / 2
Свойства обратных матриц.
Укажем следующие свойства обратных матриц:
1) (A-1)-1 = A;
2) (AB)-1 = B-1A-1
3) (AT)-1 = (A-1)T.
3 2
 , найти А3.
Пример. Дана матрица А = 
1 4
 3 2   3 2  11 14 
 3 2  11 14 
 
 = 
 ;
 
 =
А2 = АА = 
A3 = 
 1 4   1 4   7 18 
 1 4   7 18 
 47 78 

 .
 39 86 
 3 2  11 14 
 и 
 являются перестановочными.
Отметим, что матрицы 
 1 4   7 18 
Пример.
Вычислить определитель
1
0
2
1 1 2
0
3
2 1
2
1
4 3
19
3 4
.
1
0
2
1 1 2
0
3
3 4
2 1
1 1 2
2 1  3 0
= -1 3
1 4 3
2 1 4 3
2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.
2 1 2
2 1 2
2
2 1 1
3
1  4 0
3
2+ 3
2 1 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) +
1
3
1
4
4 3
2
3
1 = 0
3
1 = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.
2
1
3
2
1
3
0
3
1
0  2 1
0
2 1 1
1 1 2
0 2 3
2= 0
3
2 = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
2 1 4 2 1
4
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.
Вопросы самоконтроля:
1. Определение обратной матрицы.
2. Минор.
3. Алгебраическое дополнение.
4. Ранг матрицы
Литература: 4, 5
ЛЕКЦИЯ 3: Тема: Определители и их свойства.
Цель: Ввести понятие определителя матрицы, рассмотрение свойств определителей матрицы
и элементарное преобразования матрицы.
Основные вопросы:
1. Детерминанты.
2. Свойства определителей.
3. Элементарное преобразование матрицы.
Определители.( детерминанты).
 а11 a12

 a 21 a 22
Определение. Определителем квадратной матрицы А= 
... ...

a
 n1 a n 2
называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по
n
det A =
 (1)
k 1
k 1
a1k M 1k ,
где
... a1n 

... a 2 n 
... ... 

... a nn 
формуле:
М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной
вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что
определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно
числу столбцов.
Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке,
также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:
det A =
n
 (1)
k 1
k 1
a k1 M k1
Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу
матрицы, т.е. справедлива формула:
20
n
detA =
 (1)
k 1
k i
aik M ik ,
i = 1,2,…,n.
Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.
Определитель единичной матрицы равен 1.
Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором
элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы
имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в
квадратных матрицах.
Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной
матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой
строки и j-го столбца.
Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:
det A = det AT;
Свойство 2.
det ( A  B) = det A  det B.
Свойство 3.
det (AB) = detAdetB
Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки
(или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной
величине.
Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель
умножается на это число.
Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если
существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные
нулю) решения.
Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее
определитель равен нулю.
Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее
определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно
именно по нулевой строке или столбцу.)
Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его
строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какоелибо число, не равное нулю.
Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно
соотношение: d = d1  d2 , e = e1  e2 , f = f1  f2 , то верно:
a b c
a b c
a b c
d
e
k
l
f  d1
e1
f1  d 2
e2
f2
m
k l m
k
l m
Элементарные преобразования матрицы.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие
преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование;
Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными
преобразованиями.
С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу
прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).
Миноры.
Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим
определение минора матрицы.
21
Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько
же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на
пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк
и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.
Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к
прямоугольным.
Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы,
то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.
Алгебраические дополнения.
Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его
дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и
номеров столбцов минора матрицы.
В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его
дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на
которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.
Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то
определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в
выбранных строках на их алгебраические дополнения.
3. Ранг матрицы.
Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы,
образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо
выбранных s строк и s столбцов.
Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если
он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе,
т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются
базисными.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих
одинаковый порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и
обозначается rang А.
Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они
не изменяют ранг матрицы.
Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования,
называются эквивалентными.
Надо отметить, что равные матрицы и эквивалентные матрицы - понятия
совершенно различные.
Теорема1 . Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу
линейно независимых строк.
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
Теорема 2 . Любой столбец матрицы А = 
является линейной
...
... ... ... 


a

 m1 a m 3 ... a mn 
комбинацией её базисных столбцов.
Доказательство: Предположим, что
а11
а12
а13
М  ...
...
...  М  0
аr1
аr2
аr3
Рассмотрим определитель ( r  1 )-го порядка
22
a11
a12
... a1r
a1s
a21
a22
... a2 r
ars
Dks  ...
...
...
...
...
ar1
ar 2
... arr
ars
ak 1
ak 2 ... akr
aks
(2)
Dks  0
1 k  m
1 s  n
Для любых k и s
Dks  0
если k  r
две строки совпадают
если s  r
два столбца совпадают
если k  r и s  r , то Dks - минор ( r  1 )-го порядка матрицы (1) поэтому 0  k  0 . Итак,
Dks  0
(3)
Dks  ak1 Ak1  ak 2 Ak 2  ...  aks Aks
Akj не зависит от k. Aks  M
M 0
A
A
A
C1   k1
C2   k 2
Cr   kr
…
M
M
M
(4)
C1ak1  C2 ak 2  ...  Cks aks  aks
Полагая k  1, 2,3,..., n , получаем следующую систему соотношений:
c1a11  c2 a12  ...  cr a1n  a1s
c a  c a  ....  c a  a
 1 21 2 22
r 2n
2s
(5)

..............................................
c1am1  c2 am 3  ...  cr anr  ans
(5) показывает, что s столбец матрицы (1) является линейной комбинацией первых r
столбцов этой же матрицы с коэффициентами C1  C2  ...  Cr .
Т.к. s - любое от 1 до m, то теорема доказана.
Теорема 3. Пусть
 a11 a12 ... a1n 
 a11 a12 ... a1n b1 




 a 21 a 22 ... a 2 n 
 a 21 a 22 ... a 2 n b2 
А  
А= 
...
... ... ... 
...
... ... ... ... 




a

a

a
...
a
a
...
a
b
m3
mn 
m3
mn m 
 m1
 m1
rangA=r,
rang A =R, причем первые n столбцов этих матриц совпадают. Если последний
столбец матрицы A линейно выражается через остальные столбцы, то r  R .
Доказательство: Пусть M r - базисный минор матрицы А, так как M r - минор A , то r  R .
M r 1 - произвольный минор ( r  1 )-го порядка матрицы A , если в этот минор не входят
элементы последнего столбца этой матрицы, то M r 1  0 , т.к. rangA=r. Если в этот минор
входят элементы последнего столбца матрицы A , то в силу линейного свойства
определителей M r 1 можно представить как сумму n определителей ( r  1 )-го порядка
матрицы А числовым множителем. Отсюда следует, что все эти определители равны нулю,
поэтому M r 1  0 . Мы приходим к выводу, что r  R .
Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно
упростить процесс нахождения ранга матрицы.
Пример. Определить ранг матрицы.
23
1 0 0 0 5 

 1 0 0 0 5  1 5 
1 5
  
 ,
 11  10  1  0  RgA = 2.
 0 0 0 0 0   
2 11
 2 0 0 0 11  2 0 0 0 11  2 11


Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу,
эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует
начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном
примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы
равен порядку этого минора.
Вопросы самоконтроля:
1. Определение детерминанта.
2. Свойства определителей.
3. Линейная зависимость определителей.
4. Эквивалентность матриц.
5. Базисная матрица.
6. Ранг матрицы.
Литература: 4,5
ЛЕКЦИЯ 4: Тема: Определители второго, третьего порядка и их свойства
Цель: Рассмотрение определителей 2-го, 3-го порядка и их свойств. определители n-ного
порядка, вычисление разложением по строке и столбцу.
Основные вопросы:
1. Определители второго, третьего порядка и их свойства.
2. Определители n-ного порядка.
1. Определители второго, третьего порядка и их свойства.
Рассмотрим таблицу, состоящую из четырех чисел:
 a b1 
 – квадратная матрица второго порядка.
(1)  1
 a2 b2 
Она имеет две строки и два столбца. Числа a1 , b1 , a 2 , b2 – элементы этой матрицы.
Выражение a1b2  a2 b1 , где a1 , a 2 , b1 , b2 – элементы матрицы, называется определителем
второго порядка и обозначается
a b1
(2)   1
 a1b2  a 2 b1
a 2 b2
Для матриц и их определителей применяются и другие обозначения:
 a b1 
 c d1 

 ,
А   1
В   1
 a2 b2 
 c2 d 2 
а определители этих матриц обозначают так:
или det A, det B.
А, В
a1 , a 2 , b1 , b2 – элементы определителя. Диагональ a1b2 – главная, a 2 b1 – побочная.
Пример:
Определитель и матрица – это существенно разные понятия. Матрица – это таблица
(1), а определитель – это число, вычисляемое по правилу (2).
Рассмотрим основные свойства определителей второго порядка.
Свойство 1: Определитель не меняет своего значения, если его строки заменить
соответствующими столбцами:
a1 b1 a1 a 2

a 2 b2 b1 b2
24
Это свойство может быть сформулировано иначе, если ввести понятие
транспонирования матрицы.
 a а2 
 называется транспонированной по отношению к матрице (1)
Матрица  1
 b1 b2 
 a1 b1 

 . Она получена из (1) заменой строк на столбцы с теми же номерами.
 a2 b2 
Если матрица А* является транспонированной по отношению к А, то
│А│= │А*│. Т.е. строки и столбцы определителя равноправны.
Свойство 2: Если в определителе элементы некоторого столбца (строки) равны нулю,
то определитель тоже равен нулю.
Свойство 3: При перестановке столбцов (строк) определитель умножается на (-1).
Свойство 4: Определитель с одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.
Свойство 5: Если элементы двух столбцов (строк) определителя пропорциональны:
а) a1  a2  0
b
б) a1  0 ,
b2  1  a 2  0
a1
b1

a1
b2   a 2
b1  a1
Теорема 1: Для того, чтобы определитель второго порядка был равен нулю, необходимо и
достаточно, чтобы столбцы (строки) определителя были пропорциональны.
Определители третьего порядка.
 a11 a12 a13 


(3) А   a 21 a 22 a 23  – квадратная матрица третьего порядка.
a

 31 a32 a33 
а11 а12 а13
(4)
А    а 21
а 22
а 23  а11а 22 а33  а12 а 23 а31  а 21а32 а13  а13 а 22 а31  а11а32 а 23  а 21а12 а33
а31 а32 а33
называется определителем третьего порядка матрицы (3).
Минором Mij элемента aij определителя  называется определитель матрицы, которая
получится из матрицы (3), если в ней вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которой
находится элемент aij.
Алгебраическим дополнением Аij элемента aij называется число
Aij  (1) i  j M ij .
Теорема 2: Определитель  равен сумме произведений всех элементов любого столбца
(строки) на их алгебраические дополнения, т.е.
  а11 А11  а12 А12  а13 А13
  а1 j А1 j  а 2 j А2 j  а3 j А3 j (5)
  аi1 Аi1  аi 2 Аi 2  аi 3 Аi 3
Формулы (5) применяется для практического вычисления определителя третьего порядка.
Они называются разложением (или раскрытием) определителя по элементам
соответствующего столбца (строки).
Свойства определителей третьего порядка.
25
Свойство 1: Определитель не меняет своего значения, если его строки заменить
соответствующими столбцами. (Значение определителя третьего порядка при
транспонировании матрицы не меняется).
а11 а12 а13
а11 а 21 а31
*
  а 21 а 22 а 23   а12 а 22 а32  =  *
а31 а32 а33
а13 а 23 а33
Свойство 2: Если в определителе  элементы некоторого столбца (строки) равны нулю, то
и  =0.
Свойство 3: При перестановке двух любых столбцов (строк) в матрице (3), значение
определителя этой матрицы умножается на (-1).
Свойство 4: Если у определителя соответствующие элементы двух столбцов (строк) равны,
то определитель равен нулю.
Свойство 5: Если элементы некоторой строки (столбца) умножить на алгебраическое
дополнение соответственных элементов другой строки (столбца), то полученная сумма равна
нулю.
Свойство 6: Если j-й столбец определителя (4) есть линейная комбинация некоторых
столбцов
a* j  1b*1  2 b*2  ...  k b*k , то
  11  2  2  ...  k  k , где 1 ,  2 , …,  k – получены из исходного определителя
заменой j-того столбца соответствующими столбцами линейной комбинации
 a11 
 a13 
 a12 
 
 
 
a*1   a 21  , a*2   a 22  , a*3   a 23  .
a 
a 
a 
 31 
 33 
 32 
  a*1a*2 a*3
  a1i 
 a1i  a1k 




a*i    a 2i 
a*i  a*k   a 2i  a 2 k 
 a 
a  a 
 3i 
3k 
 3i
Например:
b*  1a*1  2 a*2  ...  k a*k
Свойство 7: Общий множитель всех элементов некоторого столбца (строки) можно вынести
за знак определителя.
Свойство 8: Определитель равен нулю, если какой-либо столбец (строка) есть линейная
комбинация других столбцов (строк).
Свойство 9: Если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить одну и ту же
линейную комбинацию соответственных элементов других столбцов (строк), то его значение
не изменится.
Свойство 10: Если определитель равен нулю, то один из его столбцов (строк)
является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).
Теорема 3: Для того, чтобы определитель третьего порядка был равен нулю, необходимо и
достаточно, чтобы некоторый столбец (строка) этого определителя был линейной
комбинацией остальных столбцов (строк).
2.Определители n-ного порядка.
Пусть (1) 1 ,  2 ,...,  n
– некоторая перестановка чисел 1,2,…, n. Рассмотрим числа  i и
 j . Говорят, что  i и  j образуют инверсию или беспорядок, если большее из них
расположено левее меньшего, т.е. если i<j, а  i >  j . В противном случае числа  i и
 j инверсии не образуют.
Обозначим через I (1 ,  2 ,...,  n ) число всех беспорядков перестановки (1).
26
Если I (1 ,  2 ,...,  n )  2k , то (1) – четная.
Если I (1 ,  2 ,...,  n )  2k  1, то (1) – нечетная.
Последовательность чисел 3,2,1,4. И число инверсий I (3, 2,1, 4)  3 .
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
(2) А = 
– квадратная матрица n-ного порядка.
... ... ... ... 


a

a
...
a
n3
nn 
 n1
aij – элементы матрицы.
Выберем из n2 элементов (2) какие-либо n элементов так, чтобы они находились в разных
строках и одновременно в разных столбцах.
а11 , а 2 2 ,..., а n n
- выбранные элементы.
(1) I (1 ,2 ,..., n ) а11 , а2 2 ,..., аnn
(3)
Определителем матрицы (2) называется
всевозможных произведений вида (3).
n!
   (1)
алгебраическая
сумма,
состоящей
из
n!
I (1 , 2 ,...,  n )
a11a 2 2 ...a nn
1
a11
 .
a12
.
an1 an 2
a13
.  det A  det(aij )
an3
Пример: Вычислить определитель:
a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
a41
a42
a43
a44
Свойства определителя n-го порядка аналогичны свойствам, сформулированным и
доказанным для определителя третьего порядка.
Вопросы самоконтроля:
1. Определитель 2-го порядка, способы вычисления и свойства.
2. Определители 3-го порядка, метод треугольника, свойства.
3. Определители n-ного порядка, метод разложения по строке и столбцу.
Литература: 4,5
ЛЕКЦИЯ 5-6: Системы линейных уравнений.
Цель: Понятие системы линейных уравнении, системы двух линейных уравнении с
двумя, тремя неизвестными. система трех линейных уравнении с тремя неизвестными.
рассмотрения основных методов вычисления СЛУ: матричный метод, метод Крамера и
Гаусса.
Основные вопросы:
1. Системы линейных уравнений.
2. Критерии совместимости систем линейных уравнений.
3. Способы решения систем линейных уравнений.
4. Элементарные преобразования систем. метод Гаусса.
1. Системы линейных уравнений.
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
27
a1 x  b1 x  c1
(1)

a 2 x  b2 x  c2
Лемма: Если x 0 , y 0 – решение системы (1), то
x0     x и
y0     y
Решение и исследование системы.
y

I.   0
(2)
y0 
x0  x


Теорема 1: Если определитель системы (1) двух линейных уравнений с двумя неизвестными,
не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое определяется
по формулам (2)
II.   0  x  0,  y  0 , то система несовместна.
III.   0 ,  x   y  0 , то система совместна.
Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
a11 x  a12 y  a13 z  b1

(3)
a 21 x  a 22 y  a 23 z  b2
a x  a y  a z  b
23
33
3
 31
Решение и исследование системы.
а) при   0 система имеет не более одного решения
б)   0
г) b1  b2  b3  0
2. Критерии совместимости систем линейных уравнений.
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ....  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
(4)

..........
..........
..........
..........
......

a m1 x1  a m 3 x 2  ...  a mn x  bm
Пусть дана система m – линейных уравнений с n неизвестными.
Теорема 2: Система (4) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы
этой системы равен рангу основной матрицы.
Доказательство: Пусть (4) совместна, т.е. имеется хотя бы одно решение
x1  c1
x2  c2
………
xn  cn
Подставив в (4):
a11c1  a12 c 2  ...  a1n c n  b1
............................................
(5)
a m1c1  a m 2 c 2  ...  a mn c n  bm
Согласно теореме (3) т.2.п3. rangA  rangA .
Обратно, пусть ранги равны r . Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Они будут
также базисными столбцами матрицы A . Т.о. в матрице A существуют базисные столбцы.
По теореме (2)т.2.п3. последний столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы
A . Обозначив коэффициент этой линейной комбинации через с1 , с2 ,..., сn мы приходим к
выводу, что выполняется (5). Т.о. система совместна.
Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными.
28
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1

a21 x1  a 22 x2  a 23 x3  b2
 а11 а12 а13 
 а11 а12 а13 b1 


А  
А  
 a 21 a 22 a 23 b2 
 а21 а22 а23 
rangA  r
rangA  R
а) r  2 , тогда и R  2
Бесконечное множество решений
б) r  R  1
в) r  R
3. Способы решения систем линейных уравнений.
Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений
равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

..........
..........
..........
..........
.......

a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
 a11 a12 ... a1n 
 b1 
 x1 


 
 
 a 21 a 22 ... a 2 n 
 b2 
 x2 
Составим матрицы: A = 
;
B
=
;
X
=
 ... 
 ...  .
... ... ... ... 


 
 
a

b 
x 
 n1 a n 2 ... a nn 
 n
 n
Систему уравнений можно записать:
AX = B.
Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B,
т.к. А-1А = Е, то ЕХ = А-1В
Х = А-1В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может
быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Метод Крамера.
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где
число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести
ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно
независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
det A  0;
Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных,
то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какоелибо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку.
Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. (Правило Крамера):
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
29
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение
и это решение находится по формулам: xi = i/,
где  = det A, а i – определитель
матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов
bi.
a11 ...a1i 1 b1 a1i 1 ...a1n
a ...a
b a 2i 1 ...a 2 n
i = 21 2i i 2
...
...
...
a n1 ...a ni1 bn a ni1 ...a nn
Решение произвольных систем линейных уравнений.
Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем
системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений.
Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается
следующим образом:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2
,

..........
..........
..........
..........
.......

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые
при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется
совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно
решение и неопределенной, если более одного.
Определение. Для системы линейных уравнений матрица
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
А= 
называется матрицей системы, а матрица
...
... ... ... 


a

 m1 a m 2 ... a mn 
 a11

 a 21
А*= 
...

a
 m1
a12
... a1n
a 22
... a 2 n
...
...
am2
...
... a mn
b1 

b2 
называется расширенной матрицей системы
... 

bm 
Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная
система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.
Элементарные преобразования систем.
К элементарным преобразованиям относятся:
1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого,
умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
2)Перестановка уравнений местами.
3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
Метод Гаусса.
(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть
применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и
неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
30
Рассмотрим систему линейных уравнений:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
Разделим обе части 1–го уравнения на a11  0, затем:
1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения
2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т.д.
Получим:
 x1  d12 x 2  ...  d1n x n  d1
d x  d x  ...  d x  d
 22 2
23 3
2n n
2
, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.

..........
..........
..........
..........
......

d m 2 x 2  d m 3  ...  d mn x n  d m
dij = aij – ai1d1j
i = 2, 3, … , n;
j = 2, 3, … , n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для
третьего и т.д.
Вопросы самоконтроля:
1. СЛУ.
2. Виды СЛУ.
3. Классификация методов решения СЛУ.
4. Элементарное преобразования СЛУ.
Литература:
ЛЕКЦИЯ 7-9: Векторы.
Цель: Углубленно рассмотреть понятия вектора, линейные операции над ними.
Коллинеарность,
компланарность векторов. Рассмотрения линейных операции над
векторами. Ввести понятия базиса.
Основные вопросы:
1. Понятие вектора.
2. Линейные операции над векторами.
3. Линейная зависимость векторов.
4. Понятие базиса.
5. Скалярное произведение векторов
6. Векторное произведение векторов и его свойства.
7. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
Величины, характеризующиеся числовым значением, называются скалярными.
Величины, характеризующиеся числовым значением и направлением в пространстве,
называются векторными.
Определение1: Отрезок, имеющий определенную длину и направление в пространстве,
называется вектором.
Вектор обозначается AB или a . А – начало вектора, точка его приложения. Длина вектора
AB , a .
1.
В
А
а
Если A  B , то AB - нулевой, его длина AB  0 . Это
позволяет
отождествить
нулевой
вектор
с
действительным числом 0.
31
Определение2: Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой,
либо на параллельных прямых.
Определение3: Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют
одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.
a
a
a
a
b
b
b
b
Из определения 3 следует: каковы бы ни были вектор a и точка Р, существует, и притом
единственный, вектор PQ с началом в точке Р, равный вектору a .
Точка приложения вектора a может быть выбрана произвольно (мы не различаем двух
равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого
параллельным переносом).
В соответствии с этим, векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (скользящие)
и связанные.
Линейные операции над векторами.
Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию
умножения векторов на вещественные числа.
Определение 4: Суммой a  b двух векторов a и b называется вектор, идущий из начала
вектора a в конец вектора b , при условии, что вектор b приложен к концу вектора a .
Правило сложения векторов, основанное на этом определении, называется правилом
треугольника.
b
ab
a
Свойства
1. a  b = b  a
2. (a  b)  c  a  (b  c)
3. Существует нулевой вектор 0 такой, что a  0  a для любого вектора a .
4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a такой, что
a + a  0 .
Определим вектор a , противоположный вектору a , как вектор, коллинеарный вектору
a , имеющий с ним одинаковую длину и противоположное направление.
Доказательство первого и второго свойства следует из рисунков.
32
В
b
a
b
С
ba
a
ab
О
ab
bc
b
a
c
А
( a  b)  c
a  (b  c)
При доказательстве свойства 1 обосновано ещё одно правило сложения векторов,
называемое «правилом параллелограмма»: если векторы a и b приложены к общему началу
и на них построен параллелограмм, то сумма a  b ( b  a )этих векторов представляет собой
диагональ указанного параллелограмма, идущей из общего начала векторов a и b .
Если a и b коллинеарны, то первое правило нужно применять для нахождения a  b .
Доказанные свойства позволяют нам оперировать с суммой векторов так же, как суммой
действительных чисел.
Сумма любого числа векторов может быть построена с помощью следующего правила: Если
приложить вектор a 2 к концу вектора a1 , вектор a 3 к концу вектора a 2 , …, вектор a n к
концу вектора a n1 , то
n
a
n 1
i
будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора a1
в конец вектора a n .
a2
a1
a3
a
Правило замыкания ломаной
до многоугольника.
i
О
an
a n 1
An
Определение 5: Разностью a  b векторов a и b называется такой вектор c , который в
сумме с вектором b дает вектор a .
С помощью свойств 1-4 доказывается, что существует, и притом единственный, вектор c ,
представляющий собой разность a  b , причем, этот вектор равен c = a  b , где b - вектор
противоположный вектору b .
Действительно, c = a  b , c  b  (a  b )  b  a  (b  b )  a  0  a , т.е. c существует.
Пусть существует d  b  a , d  b  b  a  b  c , d  b  b  d  (b  b )  d , c  d
Из определения 5 и правила 1 следует правило построения разности a  b : разность a  b
приведенных к общему началу векторов a и b , представляет собой вектор, идущий из конца
вычитаемого вектора b , в конец уменьшаемого вектора a .
a
a b
b
33
Определение 6: Произведением  a (или a ) вектора a на действительное число 
называется вектор b , коллинеарный вектору a , имеющий длину, равную   a , и имеющий
направление, совпадающее с направлением вектора a в случае   0 и противоположное
направлению вектора a в случае   0 .
Замечание: Если   0 или a  0 , то  a - нулевой вектор.
Геометрический смысл: при умножении вектора a на число  вектор a «растягивается» в
 раз.
Свойства операции:
5  ( a  b)   a   b
(распределительное
свойство
числового
сомножителя
относительно суммы векторов)
6 (   )a   a   a
(распределительное
свойство
векторного
сомножителя
относительно суммы чисел)
7  (  a )  ( ) a (сочетательное свойство относительно числовых сомножителей)
Доказательство пятого и шестого свойств следуют из рисунков:
a
 ( a  b)
ab
a
(   )a
a
b
b
пятое свойство
шестое свойство
Линейные операции над векторами обладают свойствами 1-7.
Теорема 1: Если вектор b коллинеарен ненулевому вектору a , то существует
действительное число  такое, что b =  a .
Доказательство:
О
a
b
В
А
Пусть О – общее начало. Т.к. a ненулевой, A  O , возможны два случая:
О
a
b
b
(если b нулевой, то   0 )
если b ненулевой, A  B   1
Точка О делит BA в некотором отношении: (1)
34
BO
 
OA
a
(2)
BO   OA
OB   OA
ОВ, ОА – величины направленных отрезков.
В первом случае О лежит вне ВА и   0 , если a и b имеют разные направления,   0 .
Докажем, что в обоих случаях b =  a .
Докажем, что b и  a а) коллинеарны; б) имеют одинаковую длину и в) направление.
а) это следует из коллинеарности a и b и определения 6
б) b =  a . Из определения 6 и 5.
в) из определения 6.
2. Линейная зависимость векторов.
(1) 1 a1   2 a2  ...   n a n - линейная комбинация n - векторов.
1 ,  2 ,...,  n  D
Определение 1: Векторы a1 , a 2 ,...a n называются линейно зависимыми, если найдутся такие
вещественные числа 1 ,  2 ,...,  n , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная
комбинация векторов
a1 , a 2 ,...a n
с указанными числами обращается в нуль, т.е.
 1 a1  2 a2  ...  n an  0
Векторы a1 , a 2 ,...a n не являющиеся линейно зависимыми будем называть линейно
независимыми.
Определение 2: Векторы a1 , a 2 ,...a n называются линейно независимыми, если равенство
нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда все числа 1 ,  2 ,...,  n
равны нулю.
Теорема 2: Если хотя бы один из векторов a1 , a 2 ,...a n является нулевым, то эти векторы
являются линейно зависимыми.
Доказательство: Пусть a1  нулевой.
 1 a1  2 a2  ...  n an  0
При 1  1  2   3  ...   n  0
Теорема 3: Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторов линейно зависимы, то и все n
векторов линейно зависимы.
Доказательство: Пусть a1 , a 2 ,...a n 1 линейно зависимы, т.е.
1 a1  2 a2  ...  n1 an1  0
И хотя бы одно из чисел  i  0
(4)
1 a1  ...  n1 an1  0  an  0
Теорема верна, если среди n векторов линейно зависимыми являются не (n-1), а любое
меньшее n число векторов.
Линейные комбинации двух и трех векторов.
Теорема 4: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов
является их коллинеарность.
Доказательство: Необходимость. Пусть a и b линейно зависимы.
a  b  0   0

a

b   a , т.е. a и b коллинеарны.
Достаточность. Пусть a и b коллинеарны. Если a или b нулевой, то в силу теоремы 1 a и b
b
линейно зависимы.
35
 a   1 b  0
b  a
 1  0 , то a и b линейно зависимы.
Следствие 1: Если векторы a и b не коллинеарны, то они линейно независимы.
Следствие 2: Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора.
Определение 3: Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной
плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Теорема 5: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов
является их компланарность.
Доказательство: Необходимость.
a  b  c  0
 0


c  a b


c   a  b
Если все три вектора приложены к общему началу 0, то c – диагональ параллелограмма,
стороны которого  a и  b , но это означает, что a, b, c лежат в одной плоскости, т.е.
компланарны.
Достаточность. Если какая-либо пара из указанных трех векторов коллинеарна, то теорема
доказана. Пусть в тройке векторов ни одна пара не коллинеарна (отсутствует нулевой
вектор). Тогда
c
b
b
a
a
c   a  b
 a   b  (1)c  0
 1  0 , т.е.
a, b, c – линейно зависимы.
Следствие 1: Каковы бы ни были неколлинеарные векторы a и b для любого вектора c ,
лежащего в одной плоскости с векторами a и b , найдутся такие действительные числа  и
 , что справедливо равенство:
c   a  b .
Следствие 2: Если векторы a, b, c не компланарны, то они линейно независимы.
Следствие 3: Среди трех некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных
векторов и не может быть ни одного нулевого вектора.
Линейная зависимость четырех векторов.
Теорема 6: Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство: Пусть ни одна тройка векторов из четырех не является компланарной (нет
ни одной пары коллинеарных векторов и ни одного нулевого вектора). Приведем векторы
a, b, c и d к общему началу О и проведем через D
D
плоскости, параллельные плоскостям, определяемым
d
парами векторов bc, ac, ab .
B
C
c
E
b
OD  OA  OB  OC
OD  OC  OE
OE  OB  OA
36
O
a
A
OD  OC  OB  OA
d   a   b  c
 a   b  c  (1)d  0
 1  0 , то a, b, c и d – линейно зависимы.
Следствие 1: Каковы бы ни были некомпланарные вектора a, b, c , для любого вектора d
найдутся такие вещественные числа  ,  , , что
d   a   b  c
Понятие базиса.
Определение 4: Говорят, что три линейно независимых вектора a, b, c образуют в
пространстве базис, если любой вектор d может быть представлен в виде некоторой
линейной комбинации векторов a, b, c , т.е. если для любого вектора d найдутся такие  ,  ,
 , что d   a   b  c .
Определение 5: Говорят, что два лежащих в плоскости  линейно независимых вектора a и
b образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в плоскости  вектор с может
быть представлен в виде линейной комбинации векторов a и b , т.е.
c   a  b .
Теорема 7: а) Любая тройка некомпланарных векторов a, b, c образует базис в пространстве.
б) Любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов a и b образует базис
на этой плоскости.
Доказательство: Пусть a, b, c – произвольный базис в пространстве. Тогда для любого d
d   a   b  c .
(1)
Принято называть равенство (1) разложением вектора d по базису a, b, c , а числа  ,  ,  координатами вектора d относительно базиса a, b, c .
Теорема 8: Каждый вектор d может быть единственным способом разложен по базису a, b, c
(или координаты каждого вектора d относительно базиса a, b, c определены однозначно).
d   a  b  c
d   a   b  c
(   )a  (   )b  (  )c  0
a, b, c – линейно независимы.
    0
  

 0
  
    0
  
Линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными
операциями над числами – координатами этих векторов.
Теорема 9: При сложении двух векторов d 1 и d 2 их координаты (относительно любого
базиса a, b, c ) складываются. При умножении вектора d 1 на любое число его координаты
умножаются на это число.
d 1  1 a  1 b  1 c
d 2  2 a   2 b  2 c
d 1 + d 2 = (1  2 )a  (1   2 )b  ( 1  2 )c
 d 1  (1 )a  (1 )b  (1 )c
2.Скалярное произведение векторов
37
Определение 1: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное
произведению длин этих векторов на угол между ними.
 
ab  a b cos ab
Теорема 1: Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является
равенство нулю их скалярного произведения.
Под углом между двумя векторами будем подразумевать тот угол, который не превосходит
.
Теорема 2: Два ненулевых вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только
тогда, когда их скалярное произведение больше нуля (меньше нуля).
Свойства скалярного произведения векторов:
1) ab  ba
2) ( a)b   (ba)
3) (a  b)c  ac  bc
4) aa  0 если a  0
и aa  0 если a - нулевой вектор.



 

 
Пример. Найти (5 a + 3 b )(2 a - b ), если a  2, b  3, ab .
2
 
2
   
 
10 a  a - 5 a  b + 6 a  b - 3 b  b = 10 a  3 b  40  27  13 ,
  2
  2
 
т.к. a  a  a  4, b  b  b  9, a  b  0 .
Выражение скалярного произведения в декартовых координатах
а   x1 , y1 , z1 ,
b   x2 , y2 , z2 ,
ab  x1 x2  y1 y2  z1 z2
a  x1i  y1 j  z1k
b  x2i  y2 j  z2k
ab  x1 x2 ii  y1 y2 j j  z1z2 kk  x1 y2 i j  x1z2 ik  y1x2 ji  y1z2 jk  z1x2 ik  z1 y2 k j
ii  1
ji  0
jj  1
jk  0
kk  1
ik  0
Следствие 1: Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов a и b
является равенство x1 x2  y1 y2  z1 z 2  0
Следствие 2: Угол  между векторами a и b определяется по формуле
x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2
cos  
;
x12  y12  z12  x 22  y 22  z 22
cos  
ab
ab
2.Векторное произведение векторов и его свойства.
Правые и левые тройки векторов и системы координат.
Определение 1: Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если
указано, какой из этих векторов является первым, какой – вторым и какой – третьим. Их
обычно располагают по порядку.
Определение 2: Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой (левой), если
выполнено одно из следующих условий:
1) если будучи приведены к общему началу эти векторы располагаются так, как могут
быть расположены соответственно большой, не согнутый указательный и средний
пальцы правой (левой) руки;
38
2) если после приведения к общему началу вектор c располагается по ту сторону от
плоскости, определенной векторами a и b , откуда кратчайший поворот от a к b
кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке);
3) если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу
векторами a, b, c , мы видим поворот от a к b и от него к c совершающимся против
часовой стрелки (по часовой стрелке)
1, 2, 3 – эквивалентны между собой.
c
a
c
b
a
b
Рассматривают тройки одной ориентации и противоположной ориентации:
abc
bca cab
bac
acb cba
Определение 3 Аффинная или декартова система координат называется правой (левой),
если 3 базисных вектора образуют правую (левую) тройку.
Будем рассматривать правые системы координат.
Определение 4: Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c
обозначаемый символом c   a, b  и удовлетворяет следующим требованиям:
1. Длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла  между
ними, т.е.
c  a  b  sin   a, b  .
2. Вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b , т.е.
c  a, c  b
3. Вектор c направлен так, что тройка abc является правой.
Понятие c   a, b  родилось в механике. Если вектор b изображает приложенную к
некоторой точке М силу, а вектор a идет из некоторой точки О в точку М, то c   a, b 
представляет собой момент силы b относительно точки О.
Теорема 1: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является
равенство нулю их векторного произведения.
Теорема 2: Длина (модуль) векторного произведения  a, b  равняется площади S
параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b .
Определение 5: Ортом произвольного ненулевого вектора c назовем единичный вектор,
коллинеарный с c и имеющий одинаковое с c направление.
Следствие 1 из теоремы 2: Если e - орт  a, b  , а S – площадь, то
 a, b  = S e .


abc является правой, ибо является правой тройка ab  a, b  .
39
Теорема 3: Если c - какой-нибудь вектор,  - любая плоскость, содержащая его, e единичный вектор, e   и ортогонален к c , g - единичный вектор, ортогонален к
плоскости  и направленный так, что тройка ecg является правой, то для любого лежащего
в плоскости  вектора справедлива формула:
 a, b  =пре a c g .


 a, b  и пре a c g имеют одинаковую длину a, b   S .


 
Свойства векторного произведения векторов:
 
 
1) b  a  a  b ;

 
 

2) a b  0 , если a  b или a = 0 или b = 0;

  
 
3) (m a ) b = a (m b ) = m( a  b );
  
   
4) a ( b + с ) = a  b + a  с ;


5) Если заданы векторы a (xa, ya, za) и b (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе
  
координат с единичными векторами i , j , k , то



i
j k
 
a  b = xa y a z a
xb
yb
zb
6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь
 
параллелограмма, построенного на векторах a и b .
3.Смешанное произведение векторов и его свойства.
Смешанным произведением векторов a, b, c называется число  a, b  c .


 a, b  c
равно объему
параллелепипеда,


построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком +, если
Теорема 1: Смешанное произведение
тройка a, b, c левая. Если же вектора a, b, c компланарны, то  a, b  c = 0.
Следствие 1:  a, b  c = a  a, b 
Следствие 2: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов
является равенство нулю их смешанного произвдедения.
Следствие 3: Смешанное произведения трех векторов, два из которых совпадают равно
нулю.
Свойства векторного произведения.
1. a, b  b, a;
2. (a)b   ab ;
3. (a  b)c  ac  bc;
4. a, a  0
Выражение векторного произведения в декартовых координатах.
40
a  x1 , y1 , z1 ,
b  x2 , y2 , z 2 ,
ab  y1 z2  y2 z1 , z1 x2  z2 x1 , x1 y2  x2 y1
i
j k
ab  x1 y1 z1
x2 y 2 z 2
Доказательство: Составим из i,j,k.
ii   0
 ji  k
ki  j
ij   k
 jj  0
kj  i
ik    j
 jk   i
kk  0
ab  x1 x2 ii   x1 y2 ij   ...  z1 z2 kk  ( y1 z2  y2 z1 )i  ( z1 x2  z2 x1 ) j  ( x1 y2  x2 y1 )k
Следствие: Если два вектора коллинеарны, то координаты их пропорциональны.
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
     
2) (a  b )  c  a  (b  c )
  
  
  
  
  
  
3) (a , b , c )  (b , c , a )  (c , a , b )  (b , a , c )  (c , b , a )  (a , c , b )

  
  
  
4) (a1  a 2 , b , c )   (a1 , b , c )   (a 2 , b , c )
  
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами a , b и c , равен
1   
a, b , c
6



6)Если a  ( x1, y1, z1 ) , b  ( x2 , y2 , z 2 ), c  ( x3 , y3 , z3 ) , то


x1
  
(a , b , c )  x 2
y1
z1
y2
z2
x3 y 3 z 3
Выражение смешанного произведения в декартовых координатах.
x1 y1 z1
  
(a , b , c )  x 2 y 2 z 2
x3 y 3 z 3
Следствие: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является
равенство
x1 y1 z1
x2
y2
z2  0
x3 y 3 z 3
Двойное векторное произведение.
 
a bc
Теорема2: abc  bac  cab
  
4.Приложение операций над векторами к решению задач.
Векторную алгебру можно с успехом применять к доказательству теорем и решению задач.
Задача 1: точка М – середина отрезка АВ, а О – произвольная точка пространства. Доказать,
что
41
1
(OA  OB ) .
(1)
2
Решение: По правилу треугольника OM  OA  AM и OM  OB  BM . Сложив эти
равенства, получим: 2OM  OA  OB  ( AM  BM ) . Так как М – середина отрезка АВ, то
OM 
AM  BM  0 . Т.о. справедлива формула (1).
Задача 2: Точка М – центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника АВС, а О –
произвольная точка пространства. Доказать, что
1
O
OM  (OA  OB  OC )
(2)
3
Решение:
М
В
AM 1
N
Возьмем M1  AA1 , так что
 2 , отсюда AM 1  2 M 1 A1 .
M 1 A1
А
С
Рис 1
OM 1  OA  2(OA1  OM 1 )
3OM 1  OA  2OA1  OA  OB  OC
Возьмем
точку
M 2  BB1 ,
такую,
что
BM 2
2
M 2 B1
тогда
по
аналогии
по
аналогии
3OM 2  OB  2OB1  OA  OB  OC
Возмем
точку
M 3  CC1 ,
так
что
CM 3
 2,
M 3C1
тогда
3OM 2  OC  2OC1  OA  OB  OC
Сравнивая полученные равенства, видим, что OM1  OM 2  OM 3 , т.е. точки M1  M 2  M 3 .
Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой
пересечения медиан противолежащей грани.
Доказать, что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую из
них в отношении 3:1, считая от соответствующей вершины.
Решение: M1  AA1
AM 1 3

M 1 A1 1
OM 1  OA  3(OA1  OM 1 )
4OM 1  OA1  3OA
1
4OM 1  OA1  3 (OB  OC  OD )
3
4OM 1  OA  OB  OC  OD
1
OM 1  (OA  OB  OC  OD )
4
1
Аналогично, находим для M 2  BB1 : OM 2  (OA  OB  OC  OD ) и
4
1
Для M 2  CC1 : OM 3  (OA  OB  OC  OD )
4
Сравнивая полученные равенства, видим, что OM1  OM 2  OM 3 , т.е. точки M1  M 2  M 3 .
42
Задача 3: В треугольнике АВС вычислить длину медианы m a , зная угол А и две стороны:
AB  c и AC  b .
1
Решение: Пусть М – середина стороны ВС. По формуле (1) AM  ( AB  AC ) . Возведя в
2
1
квадрат это равенство, получим: AM 2  ( AB  AC )( AB  AC ) .
4
1
1 2
b  c 2  2bc cos A .
Отсюда ma2  (b 2  c 2  2bc cos A) , или ma 
4
2
Задача 4: Доказать, что угол  между противолежащими ребрами тетраэдра вычисляется по
формуле
c 2  c  2  b 2  b 2
(3)
cos  
2aa 
Где aa - длины рассматриваемых ребер, а b и b , c и c - длины двух других пар
противоположных ребер.
Решение: Пусть ОАВС – данный тетраэдр, ОА и ВС –
рассматриваемые ребра .(рис 2)
С
Введем обозначения: OA  a , OB  b , OC  c ,
с
OA  a, OB  b, OC  c , BC  a , AC  b, AB  c  .
b
В
Формулу (3) можно записать в следующем виде:
О
2aa  cos   c 2  c  2  b 2  b 2
или
2
2
2a  BC  c  b  AB 2  AC 2 ,
a
2
А
Рис 2
2
т.е.
2a(c  b)  c  b  (b  a)  (c  a)
Но это равенство является тождеством, в чем легко
убедиться, если раскрыть скобки. Следовательно,
2
2
справедлива и формула (3).
Задача 5: Доказать, что если в тетраэдре две пары противолежащих ребер взаимно
перпендикулярны, то и третья пара ребер взаимно перпендикулярна.
Решение: Пусть ОАВС – данный тетраэдр, у которого OA  BC и OB  AC . (рис 2). Надо
доказать, что OC  AB . Введем обозначения: OA  a , OB  b , OC  c . Т.к. OA  BC , то
OA  BC  0 или a(b  c)  0 . Аналогично, т.к. OB  AC , то b(c  a)  0 . Вычитая из второго
равенства первое, находим: c(b  a)  0 , т.е. OC  AB  0 . Отсюда следует, что OC  AB .
См. в тетр
Вопросы самоконтроля:
1. Понятие вектора.
2. Коллинеарность, компланарность векторов.
3. Линейные операции над векторами: сложение, вычитание, умножение на скаляр. метод
треугольника и параллелограмма.
4. Линейная зависимость: двух, трех, четырех векторов. Линейно независимые вектора.
5. Понятие базиса.
6. Скалярное произведение векторов
7. Ортогональность двух векторов.
8. Векторное произведение векторов и его свойства.
9. Геометрический смысл векторного произведения.
10. Смешанное произведение векторов и его свойства.
11. Выражение векторов в координатной системе.
Литература: 1,2
ЛЕКЦИЯ 10-11: Метод координат на плоскости. Преобразование системы координат.
43
Цель:
Ввести понятие аффинной системы координат, рассмотрение прямоугольной,
полярной системы координат. Понятие проекции вектора на ось. Преобразования координат
на плоскости и в пространстве.
Основные вопросы:
1. Аффинная и прямоугольная система координат на плоскости.
2. Формулы преобразования координат на плоскости и в пространстве
3. Полярные координаты.
1.Аффинная и прямоугольная система координат на плоскости.
Аффинными координатами любой точки М называются координаты вектора OM
(относительно базиса a, b, c ) они определяются заданием базиса и точкой О. Декартовы
координаты – это частный случай аффинных координат. (соседний – смежный), когда
берется тройка взаимно ортогональных и единичных базисных векторов.
Проекция вектора на ось и её свойства.

u – ось.
а  AB

Проекцией вектора a  AB на ось u называется величина AB  направленного отрезка AB 
оси u.
В
А
v
А

u


В
Угол наклона а к оси u может быть определен как угол  между двумя выходящими из
произвольной точки М лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с
направлением вектора а , а другой - направление совпадающее с направлением оси u.
Теорема 1: Проекция вектора а на ось u равна длине вектора а , умноженной на косинус 
угла наклона вектора а к оси u.
прvВ=С
AB  AC
AC  а cos 
прu a = а cos 
При сложении двух векторов d 1 и d 2 их проекции на произвольную ось u складываются.
При умножении вектора d 1 на любое число  проекция этого вектора на произвольную ось
u также умножается на число  .
Декартова прямоугольная система координат как частный случай аффинной системы
координат.
  
i , j, k i  j  k  1
  
Углы между единичными векторами i , j , k равны по 900.
d  xi  y j  z k
d  x, y, z
d  OM
M x, y, z
Теорема 2: Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора d равны проекциям этого
вектора на оси OX, OY, OZ.
Доказательство: аналогично теореме 6
Обозначим через  ,  ,  углы наклона к осям OX, OY, OZ.
44
d
y
z

k
o i
x
cos  , cos  , cos  - направляющие косинусы вектора d .
x  d cos 
y  d cos 
z  d cos 
d  x2  y2  z 2
cos  
x
y
cos  
d
d
cos  
z
d
cos 2  + cos 2  + cos 2   1
Сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна 1.
Вектор d однозначно определяется заданием трех его направляющих косинусов и его длины.
При сложении двух векторов d 1 и d 2 их проекции на произвольную ось u складываются.
При умножении вектора d 1 на любое число  проекция этого вектора на произвольную ось
u также умножается на число  .
прu (d 1  d 2 ) = прu d 1 + прu d 2 .
прu ( d 1 ) =  прu d 1
2. Формулы преобразования координат на плоскости и в пространстве.
x  x0  c11 x  c12 y
(*)
y  y0  c21 x  c22 y
Если система координат является прямоугольной декартовой, т.е. базисом является тройка
 
 
 
0, i , j то можно рассмотреть геометрический смысл компонентов b (*) (0, i , j )  (0' , i ' , j ' )




i '  C11i  C 21 j
0 (х0, у0)


 * i,
j '  C12 i  C 22 j
(i ' i )  C11i 2  C21 ( j , i )
cos(i ', i )  C11
cos(i ', j )  C21
cos( j , i )  C12
cos( j , j )  C22
Если системы координат имеют одинаковую ориентацию, тогда первая система координат
может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса вдоль вектора 00 и
последующего поворота в плоскости вокруг начала на угол  .
c11  cos 
a21  sin 
,
c22  cos 
a12   sin 
45
j
М
i
i
j

O
j
i
 
( j p , j')   
a11  cos 
i
j
j
a22   cos 

a12  sin 
a21  cos(   )  sin 
2
Будем рассматривать только правые системы координат, тогда
x  x0  x 'cos   y 'sin 
y  y0  x 'sin   y 'cos 
Если   0,
то
 x  x0  x'

 y  y0  y'
 x  x 'cos   y 'sin 

 y  y 'sin   y 'cos 
В трёхмерном пространстве базис можно задать с помощью тройки некомпланарных
векторов.
  
(0, е1 , е2 , е3 )  аффинная система координат
Если x0  y0  0,
то
(0, i , j , k )  (0', i ', j ', k ')
0'( x0 , y0 , z0 )
00'  x0i  y0 j  z0
i '(C11 , C21 , C31 )
j '(C12 , С22 , С32 )
k '(C13 , C23 , C33 )
OM  OO ' OM
xi  yj  zk  x0i  y0 j  z0 k  x '(C11i  C21 j  C31k )  y '(C12i  C22 j  C32k )  z '(C13i  C23 j  C33k )
 x  x0  C11 x ' C12 y ' C13 z '

 y  y0  C21 x ' C22 y ' C23 z '
 z  z  C x ' C y ' C z '
0
31
32
33

3. Полярные координаты.
Аффинная система координат дает удобный, но не единственный способ определять
положения точек плоскости при помощи чисел. Если указано правило, по которому положения
точек плоскости можно определить с помощью упорядоченных пар вещественных чисел, то
говорят, что на плоскости задана система координат.

0, i Пара, состоящая из точки О и вектора i , называются
М
полярной системой координат и обозначается так:
О

Р

0, i

0
,
i
или (
)
46
О –полюс, ОР- полярная ось
  (i , OM )
  OM
  полярный радиус,   полярный угол.
M ( , )
   0;   
Иногда бывает целесообразно считать, что полярный угол точки М (  ;  )
равен также   2 если  <0
  2 если  >0. В этом случае полярный угол каждой точки, отличной от полюса, имеет
два значения и изменяется от [0;  2 ]

Присоединяем к полярной системе координат 0i положительно ориентированную

прямоугольную систему координат 0i j
у
M(  ;  )
М
M(x;y)
j
О
  x2  y 2
x   cos 
i
р
y   sin 
х
cos  
x
sin  
y
 0
x  y2
x y
Обобщенные полярные координаты.
(  ;  ) – упорядоченная пара.
Если   0 и       , то этой парой определяется точка с полярными координатами,
указанными в предыдущем пункте.
Если   0 и    или    , то выразим  в виде    0  2 , R  Z
2
2
2
   0   .
Будем считать, что парой (  ;  ) определяется точка М(  ;  0 ).
Если   0 , то будем считать, что парой (  ;  ) определяется точка М, симметричная точке

М  (  ;  ) относительно точки О. Точка М (-1; )
4
М
М
Такие координаты точки называются обобщенными полярными координатами. В
обобщенной системе координат две пары чисел (  ;  ) и (   ;    ) определяют одну и ту
же точку плоскости.
Вопросы самоконтроля:
1. Понятие аффинной системы координат, её связь с прямоугольной системой координат.
2. Проекция вектора на ось, свойства.
3. Формула преобразования координат на плоскости и на пространстве.
4. Полярные координаты.
47
5. Обобщенные полярные координаты.
Литература: 1,2
ЛЕКЦИЯ 12: Векторы в Rn.
Цель: Понятие Rn мереного вектора. Евклидова пространство. Размерность и базис
векторного пространства.
Основные вопросы:
1 Векторное пространство.
2 Евклидово пространство.
3 Базис n-мерного пространства
1. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел
x  ( x1 , x2 ,..., xn ) , где xi - i-я компонента вектора x(i=1,..., n)
2. Векторы x  ( x1 , x2 ,..., xn ) , y  ( y1 , y 2 ,..., y n ) равны, т.е x=y, если xi = yi (i=1, 2, ..., n).
3. Произведением вектора x  ( x1 , x2 ,..., xn ) на число  называется вектор u  x если
u i  xi (i=1,2,...,n).
4. Суммой двух векторов x  ( x1 , x2 ,..., xn ) и y  ( y1 , y 2 ,..., y n ) называется вектор z  x  y ,
если z i  xi  yi (i=1,2,..., n).
5. Векторным (линейным) пространством называется множество векторов (элементов) с
действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и
умножения вектора на число, удовлетворяющим определенным свойствам,
(рассматриваемым как аксиомы).
6. Вектор am называется линейной комбинацией векторов a1 , a 2 ,..., a m1 , если
am  1a1  2 a2  ...  m1am1 , где 1 , 2 ,..., m1 – некоторые числа.
7. Векторы a1 , a2 ,..., am называются линейно зависимыми, если существуют такие числа
1 , 2 ,..., m не равные одновременно нулю, что
1a1  2 a2  ...  m am  0
Если равенство в третьем пункте выполняется только при 1  2  ...  ь  0 , то векторы
a1 , a2 ,..., am называются линейно независимыми.
Евклидово пространство
Размерность и базис векторного пространства
1. Размерность пространства – максимальное число содержащихся в нем линейно
независимых векторов.
2.Базисом n-мерного пространства называется совокупность n линейно независимых
векторов.
3. Разложение вектора х по базису (e1 , e2 ,..., en ) :
x  x1e1  x2 e2  ...  xn en , где ( x1 , x2 ,..., xn ) – координаты вектора.
*
*
*
4.Переход от старого базиса (e1 , e2 ,..., en ) к новому (e1 , e2 ,..., en ) задается матрицей
 a11 a 21 ... a n1 


 e1* 
 e1 
 
 
 a12 a 22 ... a n 2 
перехода A  
так, что  ...   A ...  .

 e* 
e 
 ... ... ... ... 
 n
 n
a

a
...
a
2n
nn 
 1n
5.Переход от координат x1 , x2 ,..., x n вектора х относительно старого базиса к координатам
*
*
*
вектора x1 , x2 ,..., xn относительно нового базиса осуществляется по формулам:
48
 x1* 
 x1 
 *


 x 2   A 1  x 2 
 ... 
 ...  или
 *
x 
 n
 xn 
 x1* 
 x1 
 *
x 
 2   A x 2  , где А – матрица перехода.
 ... 
 ... 
 *
x 
 n
 xn 
6. Длиной (нормой) вектора х в евклидовом пространстве называется число
x  ( x, x)  x12  x22  ...  xn2
7. Угол  между векторами х и у определяется равенством:
( x, y)
Соs  
,где 0    
xy
Вопросы самоконтроля:
1 Векторное пространство.
2 Базис n-мерного пространства.
3 Операции над векторами в евклидовом пространстве.
Литература: 1,2
ЛЕКЦИЯ 13-14: Прямая на плоскости
Цель: Понятие прямой на плоскости, основные операции над ними.
Основные вопросы:
1. Уравнение линии на плоскости.
2. Уравнение прямой на плоскости.
a. Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
b. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
c. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
d. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
e. Уравнение прямой в отрезках.
f. Нормальное уравнение прямой
3. Угол между прямыми на плоскости.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
Уравнение линии на плоскости.
Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какойлибо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от
выбора базиса и начала координат.
Определение. Уравнением линии
называется соотношение y = f(x) между
координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то
есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.
Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра
играет время.
Уравнение прямой на плоскости.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого
порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В2
 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные
случаи:
- C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат
- А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
- В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
- В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу
- А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох
49
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от
каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с
компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С=0.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно

вектору n (3, -1).
Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения
коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.
Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.
Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение
прямой, проходящей через эти точки:
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y 2  y1 z 2  z1
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю
соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
y  y1
y  y1  2
( x  x1 )
x2  x1
если х1  х2 и х = х1, еслих1 = х2.
y  y1
Дробь 2
= k называется угловым коэффициентом прямой.
x2  x1
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Применяя записанную выше формулу, получаем:
42
y2
( x  1)
3 1
y  2  x 1
x  y 1  0
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
A
C
y  x
B
B
A
C
и обозначить   k ;   b; т.е. y  kx  b , то полученное уравнение называется
B
B
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали
можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор а (1, 2), компоненты которого
удовлетворяют условию А1 + В2 = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву
+ С = 0.
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С  0, то, разделив на –С,
А
В
x y
C
C
получим:  х  у  1 или   1 , где a   ; b  
С
С
a b
A
B
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является
координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения
прямой с осью Оу.
50
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой
в отрезках.
х у
С = 1,    1 ,
а = -1, b = 1.
1 1
Нормальное уравнение прямой.
1
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число   
,
A2  B 2
которое называется нормирующем множителем, то получим
xcos + ysin - p = 0 – нормальное уравнение прямой.
Знак  нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0.
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а  - угол,
образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать
различные типы уравнений этой прямой.
12
5
х
у 1
65
65
уравнение этой прямой в отрезках:
х
y

1
(65 / 12) (13)
уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)
12
65 12
y
x

x  13. нормальное уравнение прямой:
5
5
5
1
1
12
5


х  у 5  0;
cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.
2
2
13
13
13
12  (5)
Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках,
например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.
Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки.
Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками
равна 8 см2.
x y
Уравнение прямой имеет вид:   1 ,
a = b = 1; ab/2 = 8;
a = 4; -4.
a b
a = -4 не подходит по условию задачи.
x y
Итого:   1 или х + у – 4 = 0.
4 4
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало
координат.
x  x1
y  y1
Уравнение прямой имеет вид:
, где х1 = у1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

x2  x1 y 2  y1
x0
y0
x
y

;

;
3x  2 y  0.
20 30
2 3
Угол между прямыми на плоскости.
Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол
между этими прямыми будет определяться как
k  k1
.
tg  2
1  k1k 2
Две прямые параллельны, если k1 = k2.
Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.
51
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда
пропорциональны коэффициенты А1 = А, В1 = В. Если еще и С1 = С, то прямые
совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы
уравнений этих прямых.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данной прямой.
Определение. Прямая, проходящая через точку М1(х1, у1) и перпендикулярная к
прямой у = kx + b представляется уравнением:
1
y  y1   ( x  x1 )
k
Расстояние от точки до прямой.
Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0
определяется как
Ax0  By 0  C
.
d
A2  B 2
Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из
точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:
(1)
d  ( x1  x0 ) 2  ( y1  y0 ) 2
Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
 Ax  By  С  0

 A( y  y 0 )  B( x  x0 )  0
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0
перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
A
x  x0   2
( Ax0  By 0  C ),
A  B2
B
y  y0   2
( Ax0  By 0  C )
A  B2
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Ax0  By 0  C
.
d
A2  B 2
Теорема доказана.
Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
2  (3)
 1 ;  = /4.
1  (3)2
Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.
Находим: k1 = 3/5, k2 = -5/3, k1k2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение
высоты, проведенной из вершины С.
x  0 y 1 x y 1

;

Находим уравнение стороны АВ:
; 4x = 6y – 6;
6  0 5 1 6
4
2
2x – 3y + 3 = 0; y  x  1.
3
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.
k1 = -3; k2 = 2
tg =
52
3
3
. Тогда y =  x  b . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты
2
2
3
3
удовлетворяют данному уравнению:  1   12  b, откуда b = 17. Итого: y   x  17 .
2
2
Ответ: 3x + 2y – 34
Вопросы самоконтроля:
1. Уравнение линии на плоскости.
2. Уравнение прямой на плоскости.
3. Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
5. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
6. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
7. Уравнение прямой в отрезках.
8. Нормальное уравнение прямой
9. Угол между прямыми на плоскости.
10. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
Литература: 1,2
k = 
ТЕМА 15-16: Кривые второго порядка.
Цель: ввести понятие кривых второго порядка, рассмотреть их свойства, канонические
уравнения.
Основные вопросы:
1. Каноническое уравнение эллипса, его свойства.
2. Построение эллипса. Параметрические уравнения эллипса.
3. Каноническое уравнение гиперболы, ее свойства.
4. Каноническое уравнение параболы, ее свойства.
5. Фокусы и директрисы линий второго порядка.
6. Общее уравнение линии второго порядка и приведение его к каноническому виду.
1. Каноническое уравнение эллипса, его свойства.
x2 y2
Определение. Эллипсом называется кривая, заданная уравнением 2  2  1 .
a
b
Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых
до любой точки эллипса есть постоянная величина.
у
М
r1
F1
r2
F2
O
х
F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)
с – половина расстояния между фокусами;
a – большая полуось;
b – малая полуось.
Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:
a2 = b2 + c2.
Доказательство:
В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с
вертикальной осью, r1 + r2 = 2 b 2  c 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М
53
находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по
определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:
a2 = b2 + c2
r1 + r2 = 2a.
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является
отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.
е = с/a.
Т.к. с < a, то е < 1.
Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а
величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.
Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.
Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.
Как зависит форма эллипса от эксцентриситета:
b 2  a 2  c 2  a 2   2 a 2  a 2 (1   2 )
с  а
b
 1   2 , т.е., чем больше  и чем больше стремится к 1, тем меньше b, стремящемся к
a
нулю при постоянном а . С увеличением эксцентриситета увеличивается «ширина» эллипса.
x2 y2
Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: 12  12  1 , то она находится внутри
a
b
2
2
x
y
эллипса, а если 12  12  1 , то точка находится вне эллипса.
a
b
Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны
соотношения:
r1 = a – ex, r2 = a + ex.
Доказательство.
Выше было показано, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из
геометрических соображений можно записать:
r1  ( x  c) 2  y 2
r2  ( x  c) 2  y 2
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a
После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:
( x  c ) 2  y 2  4a 2  4a ( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2
4cx  4a 2  4a ( x  c) 2  y 2
c
( x  c) 2  y  a  x  a  ex.
a
Аналогично доказывается, что r2 = a + ex. Теорема доказана.
С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:
x = a/e; x = -a/e.
Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно,
чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы
равнялось эксцентриситету е.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю
x2 y2

 1.
вершину эллипса, заданного уравнением:
25 16
1) Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.
2) Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).
3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:
x0
y4
x
y4

;

;
4 x  3 y  12;
4 x  3 y  12  0
30 0 4
3
4
54
Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось
равна 2.
x2 y2
Уравнение эллипса имеет вид: 2  2  1 . Расстояние между фокусами:
a
b
2c =
(1  0) 2  (1  0) 2  2 , таким образом, a2 – b2 = c2 = ½
по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = a 2  c 2  1  1/ 2  2 / 2.
x2
y2
Итого: 2 
 1.
1/ 2
1
Частным случаем эллипса является окружность. В окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр
имеет координаты (a; b).
Построение эллипса. Параметрические уравнения эллипса.
у
 x  a cos t

 y  b sin t
x2 y2

1
a2 b2
М1
М2
М(х;у)
M 1 (a cos t ; a sin t )
х
M 2 (b cos t ; b sin t )
M (a cos t; b sin t )
Точка М ( х; у ) принадлежит эллипсу.
2. Каноническое уравнение гиперболы, ее свойства.
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых
модуль разности расстояний от двух данных точек F1,F2, называемых фокусами есть
величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами, и равная длине данного отрезка
PQ, причем PQ<F1F2.
M(x, y)
b
r1
r2
x
F1
a
c
F1F2 - фокальное расстояние.
F1,F2>PQ>0
F1,F2 – различные точки.
55
F2
Если точка М(х,у) принадлежит гиперболе, то F1М, F2М – фокальные радиусы точки М

Выведем уравнение гиперболы в прямоугольной системе координат 0i j
По определению r1 – r2= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.
Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:
r1  ( x  c) 2  y 2
r2  ( x  c) 2  y 2
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a
( x  c ) 2  y 2  4a 2  4a ( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2
4a ( x  c) 2  y 2  4a 2  4 xc
a 2 ( x  c) 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 xc  x 2 c 2
a 2 x 2  2a 2 xc  a 2 c 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 xc  x 2 c 2
a 2 x 2  a 2c 2  a 2 y 2  a 4  x 2c 2  0
 x 2 (c 2  a 2 )  a 2 (c 2  a 2 )  a 2 y 2  0
x 2 (c 2  a 2 )  a 2 y 2  a 2 (c 2  a 2 )
обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)
a 2b 2  b 2 x 2  a 2 y 2
x2 y2

1
a2 b2
(*)
Получили каноническое уравнение гиперболы.
Покажем обратное. Пусть М(х,у) удовлетворяет (*), тогда
y2 x2

1
b2 a2
x2  a2
y2  b2
a2
b2 (x 2  a 2 )
a 2 x 2  2a 2 cx  a 2 c 2  x 2 b 2  a 2 b 2
F1 M  ( x  c) 2 


a2
a2

a 2 x 2  2a 2 cx  a 2 c 2  x 2 c 2  a 2 x 2  a 2 c 2

a2
a 4  2a 2 cx  x 2 c 2

a2
c
F2 M  a  x
a
c
1
x a
a
xa

x0
c
xa
a
a 2 (a 2  2cx  c 2 )

a2
(a 2  cx) 2
c
c
c
 (a  x) 2  a  x  x  a
2
a
a
a
a
c
xa0
a
с
с
xa
F2 M  x  a
x0
a
a
с
с
F1 M   x  a
F2 M   x  a
x0
a
a
F1 M  F2 M  2a , т.е. М принадлежит гиперболе.
F1 M 
56
с
xa
 a x  a,
с
F1 M  x  a  
a
 c x  a , x   a
 a
с
xa
 a x  a,
с
F2 M  x  a  
a
 c x  a , x   a
 a
Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и
относительно осей координат.
Ось 2а называется действительной осью гиперболы.
Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.
2
x
y2

 1 - каноническое уравнение гиперболы. a и b - действительные и мнимые
a2 b2
полуоси гиперболы.
y  kx
x2
 1)b 2
a2
b2
y 2  2 (x 2  a 2 )
a
b
y
x2  a2
a
x2 k 2 x2
 2  1 /  a 2b 2
2
a
b
b 2 x 2  a 2 k 2 x 2  a 2b 2
x 2 (b 2  a 2 k 2 )  a 2 b 2
ab
b2  a2k 2  0
x
2
2 2
b a k
Две точки:


ab
kab

M 1 
;
2
2 2
2
2 2 
b k a 
 b k a
y2  (


ab
kab

M 2  
;
2
2 2
2
2 2 
b k a
b k a 

2
2 2
b k a 0
b2  k 2a2  0
k 2a2  b2
b
b2
k 
k2  2
a
a
b
b
b
b
 k
  tg 
a
a
a
a
2
2 2
b k a 0
b
b
k
y   x.
a
a
Т.е. гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых y  
57
b
x.
a
b
x.
a
ba
Пусть M ( x, y1 ) принадлежит гиперболе, а N ( x, y2 ) принадлежит прямой y 
b
b 2
b
b( x 2  ( x 2  a 2 ))
x
x  a 2  (x  x 2  a 2 ) 

a
a
a
a( x  x 2  a 2 ) x  x 2  a 2
Если x   , то MN  0 .
c
Определение. Отношение e   1 называется эксцентриситетом гиперболы, где с –
a
половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.
С учетом того, что с2 – а2 = b2:
c2 a2  b2 b2
e2  2 
 2
a
a2
a
b
 e2 1
a
b2 c2  a2 c2

 2 1   2 1
a2
a2
a
b
  2 1
tg   2  1 .
a
Чем меньше  , том больше  , т.е. тем больше гипербола вытянута вдоль оси ОУ.
Если а = b, e = 2 , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).
2
2
x  y  a2
MN  y 2  y1 
ab
2 2
 2
m
a2
.
y   x - асимптоты если их принять за оси, то xy  m , откуда y  , где m 
x
2
Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и
расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются
a
директрисами гиперболы. Их уравнения: x   .
e
Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо
фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы,
то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.
Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.
a/e
у
d
M(x, y)
r1
0
a
F1
OF1 = c
58
x
Из очевидных геометрических соотношений можно записать:
a/e + d = x, следовательно d = x – a/e.
(x – c)2 + y2 = r2
x 2b 2
Из канонического уравнения: y 2  2  b 2 , с учетом b2 = c2 – a2:
a
2 2
x b
r 2  x 2  2 xc  c 2  2  b 2 
a
2
c2 x2
c

2
2
2
2
2
 x  2 xc  c  2  x  c  a   x  a 
a
a

c
r  xa
a
Тогда т.к. с/a = e, то r = ex – a.
r ex  a
Итого: 
 e.
a
d
x
e
Для левой ветви гиперболы доказательство аналогично. Теорема доказана.
Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в
x2 y2
соответствующих вершинах и фокусах эллипса

 1.
8
5
Для эллипса: c2 = a2 – b2.
Для гиперболы: c2 = a2 + b2.
3
5
3
8
2
8
2
x
y

1.
3
5
Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы
x2 y2
совпадают с фокусами эллипса с уравнением

 1.
25 9
Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.
Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16,
e = c/a = 2;
c = 2a;
c2 = 4a2;
a2 = 4;
2
b = 16 – 4 = 12.
x2 y2
Итого:

 1 - искомое уравнение гиперболы.
4 12
3. Каноническое уравнение параболы, ее свойства.
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых
находится на одинаковом расстоянии от данной точки F, называемой фокусом, и от данной
прямой d, называемой директрисой и не проходящей через фокус F.
Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.
Уравнение гиперболы:
у
59
А
М(х, у)
О
p/2
F
x
p/2
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы.
Выведем каноническое уравнение параболы.
Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
y2 = 2px
(*)
Уравнение директрисы: x = -p/2.
Пусть M ( x, y ) .
p
y2 = 2px, F ( ;0)
2
2
p
p2
p
p


MF   x 2    2 px  x 2  px 
  x    x    ( M , d ) , т.е. М принадлежит
2
4
2
2


параболе.
Уравнение (*) y2 = 2px – каноническое уравнение параболы.
О(0;0) принадлежит параболе, О – центр параболы. x  0 .
Если M ( x, y ) принадлежит параболе, то M ( x, y ) также принадлежит параболе, т.е. ось ОХ –
ось симметрии параболы.
k 2 x 2  2 px  0
y  kx
x1  0
2p
x 2  2 x(k 2 x  2 p)  0
y 2  2 px
k
Прямая y  kx имеет с параболой две общие точки:
 2p 2p 
M 2 ;
 и О(0;0).
k 
k
Если x   , то y   .
Чем больше фокальный параметр р, тем больше парабола «вытянута» вдоль оси ОУ.
Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.
Из уравнения параболы получаем, что р = 4.
r = x + p/2 = 4; следовательно:
x = 2; y2 = 16; y = 4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).
4. Фокусы и директрисы линий второго порядка.
60
Определение. Директрисой эллипса (или гиперболы), соответствующей данному фокусу,
a
называется прямая, параллельная второй оси, отстоящая от неё на расстояние
и лежащая

с данным фокусом по одну сторону от второй оси эллипса (гиперболы).
d1 , d 2 - директрисы, соответствующие фокусам F1(с;0) и F2(-с;0).
a
Уравнения d1 : x   0

a
d2 : x   0

A1 (a;0)
A2 (a;0)
d1  OX  D1
d 2  OX  D2
Для эллипса
x2 y2

1
a2 b2
Так как   1 ,
Для гиперболы
x2 y2

1
a2 b2
Так как   1 ,
то  (0; D1 )   (0; D2 ) 
а
то  (0; D1 )   (0; D2 ) 
a

А1 лежит между точками 0 и D1
А2 лежит между точками 0 и D2
а
a

D1 лежит между точками 0 и A1
D2 лежит между точками 0 и A2
с
эллипса (гиперболы) уменьшается, то
а
директриса эллипса (гиперболы) всё дальше располагаются от второй оси.
Окружность не имеет директрисы.
Теорема: Эллипс (гипербола) есть геометрическое место точек плоскости таких, что
отношение расстояния от каждой точки М  
до фокуса к расстоянию от неё до
соответствующей директрисы равно эксцентриситету  .
x2 y2
x2 y2
Обозначаем эллипс 2  2  1 (  1 ), а гиперболу 2  2  1 (  2 )
a
b
a
b
I.
Пусть M ( x, y)   1 или M ( x, y)   2
Если (при данном а ) эксцентриситет  
 (M , F1 )  a  x
 (M , F2 )  a  x
 ( M , d1 )  x 
 (M , d 2 )  x 
a

a
отсюда имеем

Следовательно, М  
 ( M , F1 )
II. Пусть М   , т.е.

 ( M , d1 )
( x  c) 2  y 2

a
x

 ( M , F1 )  ( M , F2 )

;
 ( M , d1 )  ( M , d 2 )
 (M , F2 )

 (M , d 2 )
или
( x  c) 2  y 2

a
x

61
( x  c) 2  y 2
a

x  


2
( x  c) 2  y 2
x  a 2
2
или
1
или
( x  c) 2  y 2
a

x  


2
( x  c) 2  y 2
x  a 2
2
2
1
2
c

c

( x  c)  y   x  a  или
( x  c) 2  y 2   x  a 
a

a

2
2
c
c
2
2
2
2
2
2
2
2
x  2 xc  c  y  2 x  2cx  a или x  2 xc  c  y  2 x 2  2cx  a 2
a
a
2
2
a c 2
x  y2  a2  c2
2
a
b2 2
x  y 2  b2
2
a
x2 y2

 1 , т.е. M ( x, y)   1 , если   1
a2 b2
Если   1 , то b 2  c 2  a 2
b2
 2 x 2  y 2  b 2
a
2
x
y2

 1 , т.е M ( x, y)   2 .
a2 b2
 (M , F )
Если  3 - парабола и M ( x, y)   3 , то
1
 (M , d )
Число  =1 назовем эксцентриситетом параболы.
F1(с;0) – правый фокус  1 ( 2 )
F2(-с;0). – левый фокус  1 ( 2 ) .
Прямая проходящая через фокус F1 перпендикулярно фокальной оси, пересечет эллипс  1
2
2
(гиперболу  2 ) в точках M 1 (с,
xc
c2 y2

1
a2 b2
b2
b2
) , M 2 ( с,  )
a
a
 c2 
y 2  b 2 1  2 
 a 
b 2 (a 2  c 2 ) b 4
y2 
 2
a2
a
1
b2
Число P   ( M 1 , M 2 ) 
называется фокальным параметром эллипса (гиперболы).
2
a
5. Общее понятие кривых второго порядка.
В репере R  0; e1 , e2 общее уравнение линии второго порядка имеет вид:
(1) F ( x; y )  a11 x 2  2a12 xy  a 22 y 2  2a10 x  2a 20 y  a00  0 , причем
a11 , a12 , a22 одновременно не равны нулю.
Два уравнения вида (1) определяют одну и ту же линию второго порядка т. и т. т. к. одно из
них получается из другого умножением на   R ,   0 .
Следовательно, линия второго порядка определяется, если задать коэффициенты с
точностью до числового множителя и указать репер R .


62
 
Пусть в ортонормированном репере R  0; i, j линия второго порядка задана уравнением (1)


и репер R  0; i , j  - получен из R поворотом плоскости вокруг точки О на угол  .
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой
данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.
x2 y2
1)

 1 - уравнение эллипса.
a2 b2
x2 y2
2)

 1 - уравнение “мнимого” эллипса.
a2 b2
x2 y2
3)

 1 - уравнение гиперболы.
a2 b2
4) a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
5) y2 = 2px – уравнение параболы.
6) y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
7) y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых.
9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.
Общее уравнение линии второго порядка и приведение его к каноническому виду.
Линия второго порядка в любой аффинной системе координат задается уравнением
a11 x 2  2a12 xy  a22 y 2  2a10 x  2a20 y  a00  0
(1)
Где одновременно a11 , a12, a22  0 .
Два уравнения такого вида определяет одну и ту же линию тогда и только тогда, когда одно
из них получается из другого умножением на вещественное число   0 .
Значит, линия второго порядка определяется, если задать систему координат Oi j и все
коэффициенты a ij с точностью до числового множителя.
Пусть имеем Oi j и (1). Пусть дана Oi j , которая получена из Oi j поворотом на угол  .
Найдем уравнение линии  в репере R  .
x  x cos   y sin 
y  x sin   y cos 
Подставим (2) в (1), тогда получим
a11 ( x cos   y sin  ) 2  2a12 ( x cos   y sin  )( x sin   y cos  ) 
(1)
 a22 ( x sin   y cos  )2  2a10 ( x cos   y sin  ) 
2a20 ( x sin   y cos  )  a00  0
или
 x2  2a12
 xy  a22
 y2  2a10
 x  2a20
 y  a00
 0
a11
где
  a11 cos 2   2a12 cos  sin   a22 sin   0
a11
  a11 cos  sin   a12 cos 2   a12 sin 2   a22 sin  cos   0
a12
(3)
  a11 cos 2   2a12 cos  sin   a22 cos 2   0
a22
  a10 cos   a20 sin 
a10
  a10 sin   a20 cos 
a20
  a00
a00
  0 , т.е.
Если a12  0 , то найдем угол  , удовлетворяющий условию a12
63
a11 cos  sin   a12 cos 2   a12 sin 2   a22 sin  cos   0
(a11 cos   a12 sin  )sin   (a12 cos   a22 sin  ) cos   0
a11 cos   a12 sin 
a12 cos   a22 sin 
0
cos 
sin 
существует такое   0 , что
a11 cos   a12 sin    cos 
(4)

a
cos


a
sin



sin

 12
22
(a   ) cos   a12 sin   0
Или  11
a12 cos   (a22   )sin   0
(a11   ) cos   a12 sin   0

a21 cos   (a22   )sin   0
a11  
a12
Отсюда (5)
 0 - характеристическое уравнение.
a21
a22  
т.е.
(a11   )(a22   )a12 a21  0
 2  (a11  a22 )  a11a22  a122  0
  a22
  a11  a22
Из (3) следует a11
2
  a22
  a12
  a11  a22  a122
a11
Следовательно, корни 1 и  2 уравнения 5 не зависят от выбора репера R  (O; i; j ) .
Уравнение (5) называется характеристическим уравнением линии второго порядка, его
можно записать в виде.
2  I1  I 2  0 , где I1  a11  a22
I 2  a11  a22  a122
Т.к. a12  0 , то
2
D  (a11  a22 ) 2  4(a11a22  a122 )  a112  2a11a22  a22
 4a122 
 (a11  a22 ) 2  4a122  0
И имеем 1  2 .
Из (4) находим:
 a
  a11
tg1  1 11
tg 2  2
a12
a12
Т.к. 1  2  a11  a22
1  2  a11a22  a122 , то
tg1  tg 2 
1  a11 2  a11

=
12  a11 (1  2 )  a112

a122
 1
a12
a12
a12
a12
tg 2  tg1
tg( 2  1 ) 
1  tg 2 tg1

 2  1  .
4
Найдем уравнение линии  в репере R  O; i ; j  таком, что координаты векторов

i  cos  1 i  sin  2 j

j  cos  2 i  sin  1 j
Удовлетворяет условиям (4) при   1 ,   2 , где 1 и  2 - корни уравнения (5).

64

Из (3) и (4) следует
  (a11 cos 1  a12 sin 1 ) sin 1  (a12 cos 1  a22 sin 1 ) cos 1 
a12
 1 cos 1 sin 1  1 sin 1 cos 1  0
  (a11 cos 1  a12 sin 1 ) cos 1  (a12 cos 1  a22 sin 1 ) sin 1 
a11
 1 cos 2 1  1 sin 2 1  1
  a11
  1  2 , то a22
  2 .
a22


Уравнение линии  в репере R  O; i ; j  имеет вид
 x   2a 20
 y   a00
 0
(6) 1 x  2  2 y  2  2a10
Таким образом, для каждой линии второго порядка  , заданной уравнением (1) в репере




R  O; i ; j  существует ортонормированный репер R  O; i ; j 
уравнение вида (6), причем, 1 и  2 не равны нулю одновременно.
Возможны следующие случаи:
a11 x 2  2a12 xy  a22 y 2  2a10 x  2a20 y  a00  0
в котором 
имеет
1. 1  0 , 2  0 , I 2  a11  a22  a122  0
2
2


 a 
 a 
a
a 2 
a
a 2 
1  x 2  2 10 x  102   2  y  2  2 20 y   202   1  10   2  20   a 00  0
1
2
1 
2 
 2 
 1 


2
2


a 
a 
a2 a2
1  x   10    2  y   20   a00  10  20
1 
2 
2
1


a2 a2
  a00  10  20 и совершив преобразование координат по формулам
Обозначив a00
2
1
x  X 
2
a10
1

2
a 20

, получим уравнение линии  в репере R  O; i ; j  , где
2
 a a 
  0 (7)
1 X 2  2Y 2  a00
O   10 ; 20  в виде


1
2 

  0 , то уравнение (7) можно записать в виде
Если a00
y  Y  
2
X
Y
+
a 
a 
 00
 00
1
2
 1 (8)
2
  0 , то
Если a00

X
1
2


Y
1
2
 0 (9)
1
2
Итак, если 1 и  2 не равны нулю одновременно, то  является одной из следующих линий:
№
Каноническое уравнение
Название линии

a 00
1
2
1
Эллипс



x2 y2
 2 1
2
a
b
2
Мнимый эллипс



x2 y2
 2  1
2
a
b
2
3
0
Точка
(пара
мнимых


x
y2


0
пересекающихся прямых)
a2 b2
65
4


0
5


0
Гипербола
x2 y2

 1
a2 b2
x2 y2

0
a2 b2
Пара пересекающихся прямых
  0.
2. Случай, когда 1  0 , ( 2  0 ), a10
2
 x   2a 20
 y   a00
 0
2 y   2a10
2

a 
a 2
 x   a00  20  0
 2  y   20   2a10
2 
2

2 

a 20


a00 
2
 

a 20
2 

  2a10
  x 
 2  y  
0

 2 
2a10







2


a 20
 a 00

 x   X  2

2a10


a
 y   Y  20

2


Получим уравнение линии  в репере R  O; i ; j  , где

 a 20

 a 00


 
a 20
2

 X  0 или
2Y 2  2a10
;
в виде
O  


2a10
2




a
Y 2  2 10 X
2
  0 , то уравнение (6) приводится к виду
или если 2  0 , a 20
a
X 2  2 20 Y .
1
  0 или
Итак, если 1  0 , a10
  0,
2  0 , a 20
То (6) есть уравнение параболы.
 0
1  0 , a10
 y   a00
 0
2 y  2  2a 20
2

a 
a 2
 2  y   20   a00  20  0
2 
2

x  X

a 

 ,
O  0; 20 
a 20
 
2 

y  Y  
2

a
(6) в виде Y 2  00  0
2
И если

a00
2
 0,
 2  a2  0
66
1
2
3
4
5
6
7
8
9
  a  а  а  0
Вопросы самоконтроля:
уравнение эллипса.
уравнение “мнимого” эллипса.
уравнение гиперболы.
уравнение двух пересекающихся прямых.
уравнение параболы.
уравнение двух параллельных прямых.
уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
пара совпадающих прямых.
уравнение окружности.
Литература:
ЛЕКЦИЯ 17-19: Плоскость и прямая в пространстве.
Цель: Рассмотрение общего уравнения плоскости, частных случаев. Уравнение плоскости:
проходящей через три точки, по двум точкам и вектору, по одной точке и нормали и т.д.
Основные вопросы:
1. Общее уравнение плоскости
a. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
b. Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным
плоскости
c. Уравнение плоскости в отрезках и уравнение плоскости в векторной форме.
2. Прямая в пространстве.
a. Угол между прямыми в пространстве.
b. Угол между прямой и плоскостью.
c. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в
пространстве.
1. Общее уравнение плоскости.
Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой
удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,



где А, В, С – координаты вектора N  Ai  Bj  Ck -вектор нормали к плоскости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести
единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой
системе координат.
67
Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками
М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M были компланарны.
( M 1M 2 , M 1M 3 , M 1M ) = 0
M 1 M  {x  x1 ; y  y1 ; z  z1 }
Таким образом,
M 1 M 2  {x 2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 }
M 1 M 3  {x3  x1 ; y 3  y1 ; z 3  z1 }
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y 2  y1
z 2  z1  0
x3  x1 y3  y1 z 3  z1
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор a  (a1 , a 2 , a3 ) .
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную

точку М(х, у, z) параллельно вектору a .
M 1 M  {x  x1 ; y  y1 ; z  z1 }

Векторы
и вектор a  (a1 , a 2 , a3 ) должны быть
M 1 M 2  {x2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 }
компланарны, т.е.

( M1M , M1M 2 , a ) = 0
Уравнение плоскости:
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y 2  y1
z 2  z1  0
a1
a2
a3
Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости.


Пусть заданы два вектора a  (a1 , a 2 , a3 ) и b  (b1 , b2 , b3 ) , коллинеарные плоскости.
 
Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы a, b , MM 1
должны быть компланарны.
Уравнение плоскости:
x  x1 y  y1 z  z1
a1
a2
a3
0
b1
b2
b3
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости,
проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали N (A, B, C) имеет вид:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости,
составим вектор M 0 M  ( x  x0 , y  y0 , z  z 0 ) . Т.к. вектор N - вектор нормали, то он
перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору M 0 M . Тогда
скалярное произведение
M 0M  N = 0
Таким образом, получаем уравнение плоскости
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0
Теорема доказана.
68
Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)
A
B
C
 x  y  z 1  0 ,
D
D
D
D
D
D
заменив   a,   b,   c , получим уравнение плоскости в отрезках:
A
B
C
x y z
  1
a b c
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.
Уравнение плоскости в векторной форме.
 
r  n  p, где

 

r  xi  yj  zk - радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),


 
n  i cos   j cos   k cos  - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра,
опущенного на плоскость из начала координат.
,  и  - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.
p – длина этого перпендикуляра.
В координатах это уравнение имеет вид:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:
Ax0  By 0  Cz0  D
d
A2  B 2  C 2
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание
перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
OP  (4;3;12);
OP  16  9  144  169  13
4
3 12
N  ( ; ; )
13 13 13
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
4
3
12
( x  4)  ( y  3)  ( z  12)  0
13
13
13
4
16 3
9 12
144
x  y  z
0
13
13 13
13 13
13
4
3
12
169
x y z
0
13
13
13
13
4 x  3 y  12 z  169  0.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и
Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 N  (3;2;1) параллелен искомой
плоскости.
Получаем:
69
x2
y0
1 2
z 1
1 0 3 1  0
3
1
2
x2
y
z 1
1
1
4
3
2
1
0
( x  2)(1  8)  y (1  12)  ( z  1)( 2  3)  0
 7( x  2)  11 y  ( z  1)  0
 7 x  14  11 y  z  1  0
 7 x  11 y  z  15  0
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и
В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой
плоскости n1 (A, B, C). Вектор AB (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость,
перпендикулярная искомой имеет вектор нормали n2 (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат
обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то
  
i j k

 3  5 1  5 1 3


n1  AB  n2  1 3  5  i
j
k
 11i  7 j  2k .
1 2
1 2
1 1
1 1 2
Таким образом, вектор нормали n1 (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой
плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 112 +
71 - 24 + D = 0; D = -21.
Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание
перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Находим координаты вектора нормали OP = (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости
имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение
координаты точки Р:
16 + 9 + 144 + D = 0
D = -169
Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1),
A4(1; 2; 5).
1) Найти длину ребра А1А2.
A1 A2  {2  1;1  0;3  3}  {1;1;0};
A1 A2  1  1  0  2 (ед).
2) Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4.
A1 A4  {1  1;2  0;5  3}  {0;2;2}
A1 A4  2 2 (ед)
A1 A2  A1 A4  (1;1;0)(0;2;2)  2
A1 A2  A1 A4  A1 A 2 A1 A4 cos   2 2 2 cos   4 cos 
cos  
A1 A2  A1 A4
A1 A2 A1 A4

2
1
 ;
4
2
  120 0
70
3) Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.

Сначала найдем вектор нормали к грани А1А2А3 N как векторное произведение векторов
A1 A3 и A1 A2 .
A1 A3 = (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

 
i
j
k







N  1 1  2  i (0  2)  j (0  2)  k (1  1)  2i  2 j  2k ;
1 1

N  (2;2;2)
0

N 2 3
2. Прямая в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

Возьмем произвольную прямую и вектор S (m, n, p), параллельный данной прямой.

Вектор S называется направляющим вектором прямой.
На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z).
z

S
M1
M0
r0
0

r
y
x


Обозначим радиус- векторы этих точек как r0 и r , очевидно, что r - r0 = М 0 М .


Т.к. векторы М 0 М и S коллинеарны, то верно соотношение М 0 М = S t, где t – некоторый
параметр.


Итого, можно записать: r = r0 + S t.
Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то
полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.
Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:
 x  x 0  mt

 y  y 0  nt
 z  z  pt
0

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические
уравнения прямой в пространстве:
x  x0 y  y 0 z  z 0


.
m
n
p
Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие

косинусы вектора S , которые могут быть вычислены по формулам:
71
cos  
m
; cos  
n
; cos  
p
.
m2  n2  p2
m2  n2  p2
m2  n2  p2
Отсюда получим: m : n : p = cos : cos : cos.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. S - ненулевой вектор, то
m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут
равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю
соответствующие числители.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и
M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше
уравнению прямой:
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1


.
m
n
p
Кроме того, для точки М1 можно записать:
x  x1 y  y1 z  z1


.
m
n
p
Решая совместно эти уравнения, получим:
x  x1
y  y1
z  z1
.


x2  x1 y 2  y1 z 2  z1
Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
Общие уравнения прямой в пространстве.
Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух
плоскостей.
Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана
уравнением:
 
N  r + D = 0, где


N - нормаль плоскости; r - радиус- вектор произвольной точки плоскости.


Пусть в пространстве заданы две плоскости: N 1  r + D1 = 0 и N 2  r + D2 = 0, векторы

нормали имеют координаты: N 1 (A1, B1, C1), N 2 (A2, B2, C2); r (x, y, z).
Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:


 N1  r  D1  0



 N 2  r  D2  0
Общие уравнения прямой в координатной форме:
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к
каноническому виду.
Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.
При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное
произведение векторов нормали к заданным плоскостям.



i
j
k


 B C1  A1 C1  A1 B1 

S  N1  N 2  A1 B1 C1  i 1
j
k
 i m  j n  k p.
B2 C 2
A2 C 2
A2 B2
A2 B2 C 2
Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
2
x

y
 3z  1  0


5 x  4 y  z  7  0
72
Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем
подставим это значение в заданную систему уравнений.
 y  3z  1
 y  3z  1
 y  3z  1  y  2
, т.е. А(0, 2, 1).




4 y  z  7  0 12 z  4  z  7  0  z  1
z  1
Находим компоненты направляющего вектора прямой.
B C1  1 3
A C1
A B1 2  1
2 3
m 1

 11; n   1

 17; p  1

 13.
B2 C 2
A2 C 2
A2 B2 5 4
4 1
5 1
Тогда канонические уравнения прямой:
x
y  2 z 1
 

.
11
17
13
Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:
2 x  3 y  16 z  7  0

3x  y  17 z  0
Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения
указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:
2 x  3 y  16 z  7  0
; y  3x ;

3x  y  17 z  0
2x – 9x – 7 = 0;
x = -1; y = 3;
Получаем: A(-1; 3; 0).

 
i j
k




Направляющий вектор прямой: S  n1  n2  2 3  16  35i  14 j  7k .
3 1  17
x 1 y  3
z


;
 35  14  7
Угол между плоскостями.
Итого:
x 1 y  3 z

 ;
5
2
1
N2

1
0
N1
Угол между двумя плоскостями в пространстве  связан с углом между нормалями к
этим плоскостям 1 соотношением:  = 1 или  = 1800 - 1, т.е.
cos = cos1.
Определим угол 1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:


 N1  r  D1  0
, где



 N 2  r  D2  0
73
N 1 (A1, B1, C1), N 2 (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного
произведения:
N N
cos  1  1 2 .
N1 N 2
Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:
cos   
A1 A2  B1 B2  C1C 2
A  B12  C12 A22  B22  C 22
Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти –
острый, или смежный с ним тупой.
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями
можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы
косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:
A1 A2  B1 B2  C1C2  0 .
2
1
Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: N 1  N 2 .Это условие
A
B
C
выполняется, если: 1  1  1 .
A2 B2 C 2
Угол между прямыми в пространстве.
Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

l1: r  r1  S1t

l2: r  r2  S 2 t

r  ( x, y, z); r1  ( x1 , y1 , z1 ); r2  ( x2 , y2 , z 2 ); S1  (m1 , n1 , p1 ); S 2  (m2 , n2 , p2 ).
Угол между прямыми  и угол между направляющими векторами  этих прямых
связаны соотношением:  = 1 или  = 1800 - 1. Угол между направляющими векторами
находится из скалярного произведения. Таким образом:
cos   
S1  S 2
S1 S 2

m1 m2  n1 n2  p1 p 2
m12  n12  p12 m22  n22  p 22
.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие
векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были
пропорциональны.
m1 n1
p

 1
m2 n 2 p 2
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы
направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними
равен нулю.
m1m2  n1n2  p1 p2  0
Угол между прямой и плоскостью.
Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между
прямой и ее проекцией на эту плоскость.
74

S

N




 

Пусть плоскость задана уравнением N  r  D  0 , а прямая - r  r0  St . Из геометрических

соображений (см. рис.) видно, что искомый угол  = 900 - , где  - угол между векторами N

и S . Этот угол может быть найден по формуле:
 
N S
cos    
N S
 
N S
sin    cos     
N S
В координатной форме: sin   
Am  Bn  Cp
A  B2  C 2 m2  n2  p2
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно,
чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны.
Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
 
 
NS , N  S  0, sin   0,
Am  Bn  Cp  0.
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и
достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были
коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было
равно нулю.
 
A B C
N  S  0;
 
m n p
Вопросы самоконтроля:
1.Общее уравнение плоскости
2.Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
3.Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости
4.Уравнение плоскости в отрезках и уравнение плоскости в векторной форме.
5.Прямая в пространстве.
6. Угол между прямыми в пространстве.
7. Угол между прямой и плоскостью.
8. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
Литература:
2
ЛЕКЦИЯ 20-22: Поверхности второго порядка.
Цель: понятие поверхности второго порядка. виды поверхностей второго порядка.
Основные вопросы:
1. Уравнение поверхности второго порядка.
2. Метод сечений
75
3.
4.
5.
6.
Цилиндрические и конические поверхности
Поверхности вращения.
Цилиндрическая и сферическая системы координат.
Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной.
6. Уравнение поверхности второго порядка.
Уравнением поверхности в некоторой системе координат в пространстве называется
уравнение
F ( x, y , z )  0
(1),
которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют
координаты ни одной точки, не принадлежащей этой поверхности. Все поверхности делятся
на два класса: алгебраические и неалгебраические (или трансцендентные).
Определение. Поверхность S называется алгебраической, если в какой-нибудь аффинной
системе координат ее уравнение можно записать в виде (1), в котором F ( x, y, z ) – многочлен
относительно x, y, z т.е. алгебраическая сумма конечного множества членов вида ax p y q z r ,
где коэффициент a
– действительное число, отличное от нуля, а p , q и r –
неотрицательные целые числа. Число p  q  r называется степенью члена ax p y q z r , где
a  0 . Степенью многочлена называется наивысшая из степеней его членов.
Определение. Порядком алгебраической поверхности называют степень её уравнения в
какой-либо аффинной системе координат.
Определение. Поверхностью второго порядка называется множество всех точек
пространства, координаты которых в какой-либо аффинной системе координат
удовлетворяют уравнению второй степени:
a11x 2  a22 y 2  a33 z 2  2a12 xy  2a13 xz  2a23 yz  2a10 x  2a20 y  2a30 z  a00  0
(2)
Где a11, a22 ,...a00 – действительные числа, причем не все коэффициенты при членах второй
степени равны нулю.
7. Метод сечений.
Метод сечений применим к любой поверхности, а не только к поверхности второго порядка,
при этом оказывается удобно пользоваться прямоугольной системой координат. Сущность
метода сечений состоит в следующем.
Пусть поверхность S задана в прямоугольной системе координат уравнением (1).
Поверхность S пересекаем плоскостями, параллельными координатным плоскостям (или
самими координатными плоскостями), и находим линии пересечения поверхности с этими
плоскостями. По виду этих линий и выносится суждение о форме поверхности S .
Применение метода сечений основано на следующей теореме.
Теорема. Пусть в прямоугольной системе координат O i j k заданы поверхность S
уравнением (1) и плоскость  , параллельная плоскости Oxy или совпадающая с ней,
уравнением z  h . Если поверхность S пересекается с плоскостью  по линии  , то
проекция  на плоскость Oxy в системе координат Oi j имеет уравнение
F ( x, y, h)  0
(3).
Доказательство: Пусть   – проекция линии  на плоскость Oxy . Докажем, что на
плоскости Oxy координаты любой точки линии   удовлетворяют уравнению (3), а
координаты точки плоскости Oxy , не лежащей на линии   , не удовлетворяют этому
уравнению.
76
Возьмем произвольную точку M     , которая в системе координат Oi j на плоскости Oxy
имеет координаты x, y  . Эта же точка в системе координат O i j k в пространстве имеет
координаты ( x, y,0) . Т.к. точка M     , то она является проекцией некоторой точки М
кривой  . Ясно, что точка М в пространстве имеет координаты ( x, y, h) . Но точка М лежит
и на поверхности S , поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению (1):
F ( x, y, h)  0 . Мы получили, что координаты произвольной точки M  , лежащей на кривой
  , удовлетворяют уравнению (3).
Возьмем теперь на плоскости Oxy произвольную точку P( x* , y* )    . Проведем через точку
P  прямую с направляющим вектором k и обозначим через Р точку пересечения этой
прямой с плоскостью  . Т.к. точка P  имеет в пространстве координаты ( x* , y * ,0) , то точка
Р имеет координаты ( x* , y* , h) . Но точка P  не лежит на кривой   , поэтому точка Р не
может лежать на кривой  . Следовательно, координаты точки Р не удовлетворяют
уравнению (3) поверхности S : F ( x, y, h)  0 . Значит, если точка плоскости Oxy не лежит
на линии   , то её координаты не удовлетворяют уравнению (3).
Следствие: Линия  пересечения поверхности S с плоскостью  , параллельной плоскости
Oxy , равна проекции   этой линии на плоскость Oxy .
8. Цилиндрические и конические поверхности.
Определение: Поверхность, обладающая тем свойством, что вместе с точкой М она
содержит всю прямую, проходящую через М, параллельную данному ненулевому вектору
p , называется цилиндрической поверхностью или цилиндром.
Прямые, параллельные вектору p и принадлежащие цилиндрической поверхности,
называются образующими этой поверхности.
Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом. Пусть  –
некоторая линия, а p
– ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми,
каждая из которых проходит через некоторую точку линии  параллельно вектору p будет
цилиндрической. В этом случае линия  называется направляющей этой поверхности.
p

Теорема: Пусть в пространстве дана прямоугольная система
координат O i j k и в плоскости Oxy в системе координат Oi j
задана линия  своим уравнением
F ( x, y )  0 . (1)
Тогда
уравнение
(1)
определяет
в
пространстве
цилиндрическую поверхность S с направляющей линией  и
образующими, параллельными вектору k .
77
Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е.
направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется
направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим
некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих.
Если уравнение (1) является уравнением второй степени относительно x и y (т.е. если  –
линия второго порядка), то цилиндрическая поверхность с направляющей  и образующими,
параллельными вектору k , является цилиндрической поверхностью второго порядка
(короче, цилиндром второго порядка). Этот цилиндр называется эллиптическим,
гиперболическим, параболическим в зависимости от того, является ли его направляющая (1)
эллипсом, гиперболой или параболой.
Возможен также случай, когда направляющая  цилиндрической поверхности распадется на
прямые d1 и d 2 (пересекающиеся, параллельные или слившиеся). Проведя через каждую
точку линии 
прямую, параллельную вектору k , мы получим плоскости  1 и  2 ,
проходящие через прямые d1 и d 2 и параллельные вектору k . В этом случае мы скажем, что
цилиндр второго порядка распадается на пару плоскостей  1 и  2 .
Если прямоугольную
систему координат
Oi j k
выбрать так, чтобы образующие
цилиндрической поверхности второго порядка были параллельны вектору k , а
направляющая  в системе Oi j имела каноническое уравнение, то указанные выше
цилиндрические поверхности определяются следующими уравнениями.
x2 y2
1)

 1 - эллиптический цилиндр.
a2 b2
2)
x2 y2

 1 - гиперболический цилиндр.
a2 b2
3) x2 = 2py – параболический цилиндр.
78
x2 y2
4) 2  2  0
a
b
плоскостей.
– цилиндр, распавшийся на пару пресекающихся по оси Oz
z
k
y
i
0
j
x
5)
x2  a2  0
a0
– цилиндр, распавшийся на пару параллельных плоскостей.
z
y
k
x
j
i
0
x 2  0 p – цилиндр, представляющий собой пару слившихся плоскостей.
79
Определение. Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке М 0 называется
поверхность, которая обладает тем свойством, что вместе с каждой своей точкой М,
отличной от точки М0, эта поверхность содержит прямую М0М.
Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими
этого конуса.
Коническую поверхность можно получить следующим образом. Рассмотрим в пространстве
линию  и точку М 0 , не лежащую на линии  . Поверхность, образованная всеми прямыми,
каждая из которых проходит через точку М 0 и через некоторую точку линии  , является
конической поверхностью с вершиной М 0 .
Внизу изображена коническая поверхность с вершиной в начале прямоугольной системы
координат O i j k , направляющей которой служит эллипс  :
x2 y 2

 1 , z  c , ( c  0)
a 2 b2
М0
(1)
M1 ( x1, y1, z1 )
эллипс
N1 ( x2 , y2 , c)

Найдем каноническое уравнение этой поверхности. Пусть точка M ( x, y, z ) отличная от
точки О, принадлежит конусу Ф. Тогда прямая ОМ пересечет направляющую  в некоторой
точке N ( x1, y1, c) . Т.к. OM  0 и векторы ON и OM коллинеарны, то найдется такое
вещественное число t , что ON = t OM , или в координатах: x1  tx , y1  ty , c  tz .
Отсюда, учитывая, что z  0 , т.к. (c  0) , находим:
cx
cy
x1  , y1 
. Подставив полученные выражения x1 , y1 в первое из равенств (1). После
z
z
очевидных преобразований найдем:
x2 y 2 z 2
(2).

 0
a 2 b2 c2
9. Поверхности вращения.
Определение. Поверхность, которая вместе с каждой своей точкой содержит всю
окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой d ,
называется поверхностью вращения с осью вращения d.
Вращение точки вокруг оси
Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:
происходит в плоскости, перпендикулярной оси. В сечении поверхности вращения
получаются окружности, которые называются параллелями. Плоскости, проходящие через
ось вращения, пересекают поверхность вращения по линиям, называемым меридианами.
F(x2 + y2, z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.
Аналогично: F(x2 + z2, y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,
F(z2 + y2, x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.
80
Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:
x2  y2 z2
1)
 2  1 - эллипсоид вращения
a2
c
2
2
x y
z2
2)
 2  1 - однополостный гиперболоид вращения
a2
c
2
2
x y
z2
3)

 1 - двуполостный гиперболоид вращения
a2
c2
x2  y2
4)
 2 z - параболоид вращения
p
Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей
вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.
Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями
поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:
Сфера: ( x  a) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  r 2
x2 y2 z2


1
a2 b2 c2
В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются
эллипсы с различными осями.
Трехосный эллипсоид:
Однополостный гиперболоид:
x2 y2 z2


1
a2 b2 c2
81
Двуполостный гиперболоид:
x2 y2 z 2


 1
a2 b2 c2
x2 y2
Эллиптический параболоид:

 2 z, где p  0, q  0
p
q
Гиперболический параболоид:
Конус второго порядка:
x2 y2

 2z
p
q
x2 y2 z2


0
a2 b2 c2
Цилиндрическая и сферическая системы координат.
Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено
тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой
прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются
обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно
рассмотрена выше.
Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор


nl , n  1 . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную

вектору нормали n .
82
Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой
прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой
прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор
нормали – с осью z.
Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда
уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат
выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими.
Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет
значительно упростить вычисления, что будет показано далее.
М


h

r
0
x
M1
y
OM  ; ОМ1 = r; MM1 = h;
Если из точки М опустить перпендикуляр ММ 1 на плоскость, то точка М1 будет иметь
на плоскости полярные координаты (r, ).
Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, ,
h), которые определяют положение точки М в пространстве.
Определение. Сферическими координатами точки М называются числа (r,,), где
 - угол между  и нормалью.
Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной
системами координат.
Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения,
связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для
цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид:
x
y
h = z;
x = rcos; y = rsin; cos =
; sin =
.
x2  y2
x2  y2
Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной.
В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:
z   cos ;
  arctg
y   sin  sin ; x   sin  cos ;   x 2  y 2  z 2 ;
x2  y2
y
;   arctg
; cos  
x
z
z
x2  y2  z 2
; sin  
x2  y2
x2  y2  z2
Вопросы самоконтроля:
1. Уравнение поверхности второго порядка.
2. Метод сечений
3. Цилиндрические и конические поверхности
4. Поверхности вращения.
5. Цилиндрическая и сферическая системы координат.
6. Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной.
Литература: 1,2
83
;
ЛЕКЦИЯ 23-26. Преобразования плоскости.
Цель: Понятие сюръективных, биективных отображении. движение плоскости и
аналитическое выражение движения. Рассмотрение классификации движения.
преобразование, аффинное преобразование.
Основные вопросы:
1. Движение плоскости.
2. Аналитическое выражение движения.
3. Классификация движения.
4. Преобразование подобия. Аффинные преобразования.
Определение: Если каждому элементу x  X поставлен в соответствие определенный
элемент y  Y , говорят, что дано отображение множества Х в множество У или дана
f : X Y
функция. Обозначают :
или
f
X

Y
Х – область определения, f ( X ) - область значения функции. Ясно, что f ( X )  Y .
В геометрии рассматриваются множества Х и У различной природы, не только числовые и
чаще всего применяется термин «отображение», а не «функция». Мы будем рассматривать
только такие отображения, в которых область определения и область значений являются
точечными множествами.
x - прообраз, а y  f (x) - образ.
Пусть f : X  Y - данное отображение.
Определение:
1) Если для любых двух различных элементов x1  x2  X имеем
f ( x1 )  f ( x2 ) , то отображение f называется инъективным.
2) Если У  f ( x ) , то f называется сюръективным.
3) Если f есть инъекция и сюръекция, то оно называется биекцией или
биективным отображением.
4) Если в отображении f : X  Y множество Y  f ( x)  X , то говорят, что
дано отображение множества Х на себя.
5) Преобразованием (непустого) множества Х называется любое биективное
отображение множества Х на себя.
Движение плоскости.
Определение1: Преобразование плоскости, сохраняющее расстояние, называется движением
(или перемещением).
Примеры движений: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости, прямой,
относительно некоторой точки и др.
Теорема 1. В любом движении репер переходит в репер, в частности ортонормированный
репер в ортонормированный.
Теорема 2: Пусть R  ( A, B, C ) и R   ( A, B , C ) произвольные ортонормированные реперы
плоскости  . Тогда существует одно и только одно движение, которое репер R переводит в
репер R  . При этом движении любая точка M с данными координатами в репере R
переходит в точку M  с теми же координатами в репере R  .
Из этих теорем следует:
1. Движение переводит прямую в прямую, а параллельные прямые – в параллельные
прямые.
2. Движение переводит полуплоскость с границей а в полуплоскость с границей а , где
а - образ прямой а .
3. Движение сохраняет простое отношение трех точек прямой.
Пусть в репере R : A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x, y )
84
Если   ( AB; C ) , то
x  x2
y  y 2
(1) x  1
y 1
1 
1 
R  R , то A  A( x1 , y1 )
B  B( x2 , y2 )
C  C ( x, y )
Тогда из (1) следует, что ( AB ; C ) = ( AB; C ) ,
*
AC В т. и т. т., когда ( AB; C )  0 .
4. Движение сохраняет отношение «лежать между».
5. Движение переводит отрезок АВ в отрезок АВ  , где А и В  - образы точек А и В .
При этом середина отрезка АВ переходит в середину отрезка АВ  .
6. Движение переводит луч в луч, а угол в равный ему угол.
7. Движение переводит взаимно перпендикулярные прямые во взаимно
перпендикулярные прямые.
Два вида движения. Аналитическое выражение движения.
Определение2: Говорят, что реперы R  (О, A, B) и R  (О, A, B) одинаково
(противоположно) ориентированы, если базисы ОА , ОВ и ОА , ОВ одинаково
(противоположно) ориентированы.
Определение3: Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет (меняет)
ориентацию плоскости, если любой репер и его образ одинаково (противоположно)
ориентированы.
Теорема 3: Любое движение либо сохраняет, либо меняет ориентацию плоскости. В первом
случае движение называется движением первого рода, во втором – движением второго рода.
Движение первого рода задается формулами:
 x  x cos   y sin   x0

 y  x sin   y cos   y0
Движение второго рода задается формулами:
 x  x cos   y sin   x0

 y  x sin   y cos   y0
Классификация движения.
Название движения и его аналитическое
выражение
1. Поворот на угол 
а)   0 и   
x  x cos   y sin 
y  x sin   y cos 
б) Тождественные преобразования
(  0 )
в) Центральная симметрия
  
2. Параллельный перенос
x  x  x0
y  y  y0
а) Параллельный перенос на p  0
Инвариантные точки
Инвариантные прямые
Центр поворота
нет
Любая точка
плоскости
Центр симметрии
Любая прямая плоскости
нет
Любая прямая параллельная
вектору p
Любая прямая
Любая точка
плоскости
Движения второго рода
Все точки оси
б) Тождественное преобразование p  0
3. Осевая симметрия
85
Любая прямая, проходящая
через центр симметрии
Ось симметрии и любая
прямая перпендикулярная к
x  x cos  y sin   x0
ней
y  x sin   y cos   y0
4. Скользящая симметрия
нет
Одна прямая
(произведение параллельного
переноса на осевую симметрию )
Преобразование подобия.
Определение1: Преобразование подобия есть такое преобразование плоскости, при котором
AB  kAB . При k  1 есть движение, а при k  1 есть гомотетия.
SA  k SA
k  1 преобразование есть движение.
k  1, то центральная симметрия.
Аффинные преобразования.
Преобразование плоскости называется аффинным, если оно любые три точки М1 , М 2 , М 3 ,
лежащие на одной прямой переводит в три точки М1, М 2 , М 3 лежащие на одной прямой
( М1М 2 ; М 3 )  ( М1М 2 ; М 3 )
Любое движение и подобие есть аффинное преобразование.
Инверсия.
w(O; r )
M  M
O, M , M   l
OM  OM   r 2
Построение инверсных точек.
O (0;0)
M ( x; y )
M ( x; y)
M  M
OM  OM   r 2
OM   k OM
x  kx
y  ky , k  0
xx  yy  r 2
k ( x2  y 2 )  r 2
r2
x2  y 2
r2
r2
x  2
x
x

x
x  y2
x2  y2
r2
r2

y  2
y
y 2
y
x  y2
x  y2
Теорема 1: Прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя, а прямая, не
проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр
инверсии.
k
86
Аx  Вy  1  0
Axr 2
Byr 2

1  0
x2  y2 x2  y2
x2  y2  Аr 2 x  Вr 2 y  0
Окружность.
Следствие: Если прямая d , не проходящая через центр О инверсии переходит в окружность
(С ; r ) , то прямые ОС и d перпендикулярны.
 Ar 2 Br 2 
 , O (0;0) .
С  
;
2 
 2
 Ar 2 Br 2 

OС 
;
2
2


Аx  Вy  C  0
l ( B; A)
OС l  0
Теорема 2: Окружность, проходящая через центр О инверсии (без точки О) переходит в
прямую, не проходящую через точку О, причем точка О лежит на линии центров этих
окружностей.
x 2  y 2  Аx  Вy  С  0
2
2
 xr 2   yr 2 
Axr 2
Byr 2
 2






С 0
2 
2 
 2
x2  y2 x2  y2
 x  y    x  y  
С ( x2  y2 ) 2  ( Аr 2 x  Вr 2 y)( x2  y2 )  r 4 ( x2  y2 )  0
С ( x2  y2 )  Аr 2 x  Вr 2 y  r 4  0
 A B
С  0 прямая O1   ; 
 2 2
 Ar 2 Br 2 

O2  
;
2C 
 2C
O(0;0)  l .
Вопросы самоконтроля:
1. Отображение, отображение множества.
2. Инъективное отображение.
3. Сюръективное отображение.
4. Движение, движение плоскости.
5. Аналитическое выражение движения.
6. Классификация движения.
7. Преобразование, аффинное преобразование.
Литература:1,2
ЛЕКЦИЯ № 27-28: Комплексные числа.
Цель: Понятие комплексных чисел, виды его записи и геометрическая интерпретация.
Основные вопросы:
2. Определение комплексных чисел и основные операции над ними.
3. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи комплексного
числа.
4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
87
Комплексные числа. Истоки и история.
При изучении новой теории необходимо учитывать конкретную историческую
обстановку, в которой происходило ее зарождение и становление. Комплексные числа,
функций от комплексных переменных и, вообще, комплексный анализ прошел довольно
длинный путь эволюции от первой своей версии до той формы, в какой он пребывает в
настоящее время. История комплексных чисел полна драматизма. Дж. Кардано впервые
(1545) ввел мнимые числа, хотя считал их бесполезными, непригодными к употреблению. Р.
Бомбелли (1572) впервые оценил пользу мнимых чисел при решении кубических уравнений.
Числа вида a  ib при b  0 в 16-17 веках назывались мнимыми. Однако даже для многих
крупных ученых 17 века сущность мнимых величин представлялась неясной, загадочной и
мистической. И.Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа. Систематическое
использование мнимых величин в задаче о степени начал М.Муавр (1707,1724) и Р.Котес
(1722).  1 через i обозначил Л.Эйлер (1777). К.Гаусс (1799) доказал, что множество
комплексных чисел алгебрайчески замкнуто. Термин комплексное число ввел Л.Карно
(1803). Геометрическую интепретацию комплексных чисел дали К.Вессель (1799), Ж.Арган
(1803). В 1851 году Б.Риман защитил докторскую диссертацию на тему: «Основы общей
теории функций одной комплексной переменной». Эту дату можно считать официальным
рождением новой дисциплины
Современную математику трудно представить без
комплексных чисел. Теория функций комплексного переменного – одна из красивейших
ветвей математики. Цель читаемого курса показать красоту и мощь данного раздела
математики. Надо отметить, что в этом курсе изучаются только функций заданные на
комплексной плоскости. За его пределами остались такие бурно развивающиеся разделы
комплексного анализа, как теория функций на римановых поверхностях, теория функций
многих комплексных переменных.
Необходимость расширения множества действительных чисел.
Натуральные числа необходимы для счета небольших количеств. Уравнение 2  x  1
во множестве натуральных чисел не имеет решения, поэтому возникла проблема расширения
множества натуральных чисел. В результате возникло его расширение - это множество
целых чисел. Уравнение 2 * x  1 во множестве целых чисел не имеет решения, поэтому
возникла проблема расширения множества целых чисел. В результате возникло его
расширение- это множество рациональных чисел. Уравнение x 2  2 во множестве
рациональных чисел не имеет решения, поэтому возникла проблема расширения множества
рациональных чисел. В результате возникло его расширение- это множество действительных
чисел 1. Уравнение x 2  1 во множестве действительных чисел не имеет решения, поэтому
возникла проблема расширения множества действительных чисел.2 В результате возникло
его расширение- это множество комплексных чисел. Отметим, что при этом не все свойства
действительных чисел наследуются комплексными числами. Генетическими оказались
следующие свойства действительных чисел:
 Коммутативность сложения и умножения;
 Дистрибутивность сложения относительно умножения;
 Ассоциативность;
 Существование единичного и нулевого элементов;
 Существование обратных и противоположных элементов.
В то же время множество комплексных чисел неупорядочено, хотя произвольные два
действительных числа подчинены отношению порядка.
Реализация комплексных чисел.
1
На самом деле возникнет расширение


R1  a  b 2 , a, b  Q , которое не совпадает с R . Какое надо
x 2  2 , чтобы расширение совпало с множеством действительных чисел? Не спасает
положение даже уравнение с многочленом P ( x)  0 , у которого коэффициенты произвольные рациональные
взять уравнение вместо
числа.
2
А может надо было исходить из другого неразрешимого в R уравнения? К примеру, exp( x)   1 .
88
Напомним несколько различных реализации множества действительных чисел.
1. Действительное число – это десятичная (конечная или бесконечная ) дробь.
2. Действительное число – это точка на числовой оси.
3. Действительное число – это точка на проколотой окружности.
Перечисленные множества изоморфны между собой в том смысле, что между каждой парой
множеств существует взаимно-однозначное соответствие, которое сохраняет операции
сложения и умножения. В математике изучаются не отдельные объекты (множества), а целые
классы изоморфных между собой объектов. К примеру, следующее множество
a 0 

M  
, a  R 

 0 a 

также изоморфно множеству действительных чисел, то есть элементы множества M также
представляют собой действительные числа.
Цель: решить уравнение x 2  1 во множестве действительных чисел, то есть решить
указанное уравнение хотя бы в одной из реализации действительных чисел.
 0 1
2
Теорема 1. Матрица i  
 удовлетворяет матричному уравнению X   E .

1
0


Доказательство заключается в непосредственной проверке матричного соотношения
 0 1   0 1   1 0 
 1 0  1 0    0 1


 

Введем множество специальных матриц
 a b 

C  
, a, b  R 

b a 

Теорема 2.Множество C есть расширение множества M и матрица i  C .
 a b
Доказательство. Если b  0 , то матрица вида 
 принадлежит множеству M .Если
 b a 
 a b
b  1, a  0 , то матрица вида 
 совпадает с матрицей i .
 b a 
Таким образом, построено расширение C множества действительных чисел, в котором
уравнение x 2  1 разрешимо. Отметим, что подобных расширении много.
Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
Согласно предыдущей лекции комплексное число – это матрица специального вида
a
b


 b a  . Для дальнейших рассуждений удобно преобразовать эту матрицу в виде линейной


комбинации двух фиксированных матриц.
 a b  a 0   0 b
1 0 
 0 1
 b a    0 a    b 0  a 0 1   b  1 0

 
 





1 0 
Единичная матрица 
 принадлежит множеству M , поэтому сответствует
0 1 
действительному числу 1 и часто будем называть ее просто единицей. Вторая матрица
 0 1
 1 0  совпадает с матрицей i , которая введена в теореме 1 и в дальнейшем будет


называться мнимой единицей.. Итак, справедливо
Утверждение. Произвольное комплексное число представляет собой линейную комбинацию
единицы и мнимой единицы, то есть комплексное число имеет вид a 1  b i или просто
a  b i . Надо помнить, что коэффициенты линейной комбинации действительные числа.
89
Коэффициент при единице называется реальной частью комплексного числа, а
коэффициент при мнимой единице – мнимой частью комплексного числа.
Таким образом, получена алгебраическая форма записи комплексного числа.
Сложение и вычитание комплексных чисел проводится покомпонентно, то есть
 реальная часть суммы равна сумме реальных частей слагаемых,
 мнимая часть суммы равна разности мнимых частей слагаемых.
Умножение комплексных чисел в алгебраической записи вычисляется гораздо сложнее:
 Re  z1  z2   Re z1  Re z2  Im z1  Im z2 ,
 Im  z1  z2   Re z1  Im z2  Re z1  Im z2
Приведенное правило умножения трудно запомнить. Лучше формально раскрыть скобки:
z1  z2   a1  i b1    a2  i b2  и учесть, i 2   1 .
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
Согласно предыдущей лекции комплексное число – это матрица специального вида
 a b
 b a  . Показана алгебраическая запись комплексного числа a  b i , то есть каждое


комплексное число имеет две характеристики:
реальная и мнимая части. Иначе говорят, что комплексное число однозначно определяется
парой действительных чисел  a , b  . Известно, что пара  a , b  определяет вектор на
плоскости.
ib
z=a+bi
r

a
рис. 1 Комплексное число в полярной системе координат.
Комплексное число z  a  b i в полярной системе координат записывается в виде
z  r ( cos   i sin  ) , где r - длина вектора  a , b  ,  - угол соответствующий направлению
вектора  a , b  . Подробности показаны на рисунке 1. Величину r называют модулем, угол 
аргументом комплексного числа z и обозначают z и arg z соответственно. К примеру,
1 i  2, arg (1  i)   / 4 . Представление z  r ( cos   i sin  ) называют тригонометрической
формой записи комплексного числа.
Показательная форма записи комплексных чисел.
Вспомним различные представления комплексного числа
 a b
z

 в виде матрицы частного вида,
 b a 
 z  a  b i в виде линейной комбинации единицы и мнимой единицы,
 z  r ( cos   i sin  ) в полярной системе координат.
В настоящем пункте покажем еще одно представление для комплексных чисел, для вывода
которого необходимо
Теорема 3 Экспоненциальная функция с чисто мнимым аргументом представляет линейную
комбинацию тригонометрических функций, то есть справедливо равенство
exp  i   cos   i sin  при всех действительных 
Доказательство. Согласно упражнению 6 имеем соотношение
90
cos   (i )0 
(i )2 (i )4 (i )6 (i )8



 ...
2!
4!
6!
8!
(i  )3  i  
Из упражнения 7 следует равенство
i sin   i  

 . Остается сложить
3!
5!
правые части выписанных соотношений и вспомнить для экспоненты разложение в ряд
Тейлора.
В качестве следствия из теоремы 3 получаем экспоненциальное представление
комплексного числа z  r exp  i  , где r - называется модулем комплексного числа,  называется аргументом комплексного числа.
Геометрическая интерпретация операции над комплексными числами.
Таким образом, для комплексных чисел получены несколько представлений:
матричное, алгебраическое, тригонометрическое и показательное. Было показано, что
матричное представление обосновывает существование комплексных чисел. Покажем, что
алгебраическое представление наглядно при геометрическом толковании операции сложения
комплексных чисел. Экспоненциальное представление полезно при умножении и
вычислении корня некоторой степени из комплексного числа. Формулу Муавра лучше всего
записать, используя тригонометрическое представление.
Геометрическая интерпретация сложения.
5
z2
z1
z1  z2
Сложение комплексных чисел производится по правилу треугольника, как это происходит с
векторами. Сложение удобнее производить в алгебраической записи:
z1  z2  z  Re z1  Re z2  Re z , Im z1  Im z2  Im z
Геометрическая интерпретация умножения.
z1 z 2
z2


z1

Умножение удобно осуществлять, используя экспоненциальную форму записи комплексных
чисел.
z1 z2  z1 z2 exp i  arg z1  arg z2    z1z2  z1 z2 ,arg  z1z2   arg z1  arg z2
Геометрически сложение аргументов комплексных чисел означает поворот против часовой
стрелки числа с большим аргументом на угол равный меньшему аргументу. На рисунке z2
повернут на угол  , так как    .
91
Упражнение. Дать геометрическую интерпретацию делению.
Геометрическое изображение корней натуральных степеней из комплексных чисел.
arg z
Поскольку n z n z n z  z , то arg z  arg n z  arg n z  arg n z или arg n z 
.
n
Следовательно, для нахождения аргумента одного из корней аргумент z надо разделить
на n . С другой стороны,
 i arg z  2 ki 
n
z  n z exp(i arg z  2 ki )  n z exp 

n


 i arg z 
 2k i 
 2k i 
 n z exp 
 exp 
  z1 exp 

 n 
 n 
 n 
где z1 - первый корень. Отсюда следует, что последующие корни отличаются от первого
корня только значением аргумента. Иначе говоря, последующие корни получаются
2
k . Таких поворотов на плоскости может быть ровно
поворотом первого корня на угол
n
n . Таким образом, все корни (их ровно n ) лежат на одной окружности и делят эту
окружность на равные дуги. На рисунке приведены корни четвертой степени из мнимой
единицы.
z2
z1
z3
z4
Алгоритм определения корней n - той степени из комплексного числа.
1. аргумент числа делим на n и на плоскости рисуем луч соответствующий
полученному углу.
2. на луче отложим длину равную корню из модуля исходного числа.
3. через полученную точку проводим окружность с центром в начале координат.
поделим окружность на n равных частей так, чтобы одна из точек деления совпала с
отмеченной точкой на луче.
Вопросы самоконтроля:
История появления комплексных чисел.
Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
Показательная форма записи комплексных чисел.
Литература: 1, 2
ЛЕКЦИЯ № 29-30: Разложение многочленов на множителей.
3. Формула Муавра, Формула Эйлера, выражения тригонометрических функции через
показательную функцию.
Литература: 1, 2
92
Методические указания для проведения лабораторных и практических занятий
Практическое занятие № 1
Тема: Алгебраические операции над матрицами.
Цель: Сформировать понятие матрицы, научиться
матрицами.
выполнять операции над
№ 1 Определить виды и размеры данных матриц .Какие операции можно выполнить над
данными матрицами?
1
 
С  2 
1 0
7 2 1 5 
 2  1 3


E







 1
0
1


 , Т  1 2  1
,
À   3  2 4  3  , Â  . 4 2 0  ,
2 1 1 2 
 1 1 1




5 2 1 
15


 6 38 4  5 

L



 4 1  1
0
D   7 2  3 4 ; F  
. ,

1 3 2
3  2 3


1 

2 7 1 


№ 2 . Найти 7А - 4B, если
7 2 1 5 
5 4 3



А   3  2 4  3
B  2 3  2
2 1 1 2 
1 0 2



,
Найти произведение матриц:
 8  1  1 3 
 .
  

№3
 2 1   0  1
0

71
0

1
4 
 а  а а   а 1 а 

 

1
1    а 1  а
 1
 а а  а  а 1 а 

 

№4
Выполнить действия :
 3
 
6  1 3   3 
 2
 
№ 5 (2)
5

№ 6 (2)  1
1

2

 1
1
№ 7 (2) 
4   5
4
4 
 

1  3    3  5  4 
3 0   1
3
4 
3  4 1 2 3
 

1 3   3 1 1
 2 5   1 2 2 
2
Вопросы самоконтроля:
1.Что называют матрицей?
2. Какие виды матриц вы знаете?
3. Перечислите элементарные операции, производимые над матрицами.
93
4. Как выполняются операции умножения матрицы на число, сложение,
умножение матриц?
5.В чем отличие матрицы от определителя?
6.Как вычисляются определители первого, второго, третьего , n го порядка?
7.Перечислите свойства определителей.
8.Каким образом считается обратная матрица?
9.Чем различаются и чем схожи процедуры подсчета определителя и вычисления
ранга матрицы?
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 2
Тема: Определители и их свойства.
Цель: Сформировать понятие определителя квадратной матрицы, элемента аij ,
алгебраического дополнения элемента аij матрицы А .; освоить правило вычисления
определителей 2-го, 3-го порядков методом Саррюса, n-го порядка по теореме Лапласа.
Уметь применять свойства определителей.
1 1 1
1
№1. Вычислить определитель
1 1 1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
№2 Вычислить определители второго порядка.
2
3
3
2
 0 1  1


M
a
№3. Вычислить минор 21 элемента 21 матрицы  1 2 0 
0 1 2 


2 3 4 1
№4 Вычислить определитель, разлагая его по элементам 3-й строки 4  2 3 2
a
b
3
1 4 3
.
c d
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 3
Тема: Системы линейных уравнений, их классификация.
Цель: Сформировать понятие системы линейных уравнений, находить решения
системы уравнений с помощью обратной матрицы, определителей по формуле Крамера,
овладеть методом Гаусса. Ознакомить с моделью Леонтьева, научить решать задачи на ее
использование.
№1.
Решить систему уравнений методом обратной матрицы:

3 x1  4 x 2  6

3 x  4 x  18

2
 1
№2. Решить систему уравнений по формулам Крамера :
№3.
3x1  2 x2  x3  5

Решите методом Гаусса 2 x1  x2  x3  6
x  x
 3
 1 2
94
3x1  5 x2  13

2 x1  7 x2  81
2 x  y  z  3

№4 Дана система уравнений 3 x  2 y  4 z  1 . Выберите верное утверждение:
x  2 y  5z  3

А) Система определенная; В) Система несовместная; С) Система неопределенная.
 x1  2 x2  x3  8

№5. Решите систему уравнений  2 x1  3x2  3x3  5
3x  4 x  5 x  10
2
3
 1
4 x1  4 x2  5 x3  5 x4  0
2 x  3 x  x  10
 1
3
4
№6. Решите методом Гаусса 
  10
 x1  x2  5 x3
 3 х2  2 x3
1
Вопросы самоконтроля:
1.Какие системы уравнений называются совместными, несовместными?
2. Сколько решений может иметь совместная система уравнений?
3. Записать систему линейных уравнений в матричном виде.
4. Как найти матрицу-столбец из предыдущей формулы?
5. Какие формулы носят название формул Крамера?
6. Почему не всякую систему линейных уравнений можно решить по формулам
Крамера или методом обратной матрицы?
7.В чем заключается суть метода Гаусса?
8.Опишите «прямой» и «обратный ход» Гаусса.
9.Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
10.Какое решение системы называется базисным?
11.Какая система линейных уравнений называется однородной?
12.В каких случаях система линейных однородных уравнений имеет ненулевое
решение?
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 4
Тема: Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
Цели: Сформировать понятие n-мерного вектора , векторного пространства, линейной
комбинации векторов, базиса. Уметь раскладывать вектор по базису, переходить от старого
базиса к новому, выполнять операции над n-мерными векторами
1. Пусть ABCD – параллелограмм, О – точка пересечения диагоналей, а Е и F – соответственно
середины параллельных сторон ВС и AD. Построить на чертеже следующие векторы:
a) AB  DC ;
b) AE  DF
c) OC  CD  OB
В
С
O
А
D
Решение:
a) AB  DC , AB  DC , ибо выполняются условия:
95
1) AB  DC (по свойству параллелограмма противоположные стороны равны).
AB и DC сонаправленные .
2)
Отсюда, AB  DC  2 АВ
А1
В
С
O
А
D
b) AE  DF
DF  EB , т.к. ВС=AD, (по свойству параллелограмма) соответственно равны и их половины,
и выполняется второе условие, векторы сонаправленные.
Из чертежа видно, что AE  DF  АВ .
c) OC  CD  OB
OC  CD  OD
Но, OD  OB , т.к. точкой О диагональ делится пополам,
OD  OB
и векторы
противоположно направленные. В таком случае, OC  CD  OB  0
2. Пусть ABCD – параллелограмм, О – точка пересечения диагоналей, а точки M, N, P и Q –
соответственно середины сторон AB, BC, CD и
DA.
Построить на чертеже следующие векторы:
a) MO  OA
b) OQ  OB
Решение:
a) Правило построения разности a  b :
разность a  b приведенных к общему началу векторов a и b , представляет собой вектор,
идущий из конца вычитаемого вектора b , в конец уменьшаемого вектора a . Т.е. MO
96
совместим с вектором OР (т.к. они равны по модулю и сонаправлены). Т.о. разность
MO  OA  АР
b) OQ  OB  ВQ .
3. Начертить произвольный вектор a и построить векторы:
a. 2a
b. a 2
Решение:
a
a
a 2
2a
a)
b)
4. Даны векторы a  {4;2;4} , b  {6;3;2} .
Вычислить:
a)
a2  a , a  x 2  y 2  z 2 .
a  4 2  (2) 2  (4) 2  36  6
b)
b2  b , b  x 2  y 2  z 2
b  6 2  (3) 2  2 2  49  7
c) (2a  3b)( a  2b)
2a  3b  {8  18;4  9;8  6}  {10;5;14}
a  2b  {16;2  6;4  4}  {16;8;0}
(2a  3b)( a  2b)  10  16  5  (8)  (14)  0  200
d) (a  b) 2
a  b  {4  6;2  3;4  2}  {10;5;2}
(a  b) 2  100  25  4  129
e) (a  b) 2
a  b  {4  6;2  3;4  2}  {2;1;6}
(a  b) 2  4  1  36  41
97
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 5
Тема: Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, свойства.
Приложение к решению задач.
1.(1). Даны точки А(1;2;3) и B (3;5;9). Найти координаты вектора А, В, его длину и
направляющие косинусы.




2.(1). Определить, при каких значениях  и  векторы а  2i  3 j  k и




в  2i  6 j  2k коллинеарны?


3.(1). Определить угол между векторами a  (2;4;4) и в  (3;2;6)


 



5. (1). На плоскости O xy построить векторы OA  a  2i ; OB  b  3i  3 j и



 
OC  c  2i  6 j . Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам a и в .
№3.37 [8]
В некотором базисе заданы векторы а1  (2;0;1), а2  (1;1;0), а3  (0;1;2). Выяснить,
является ли вектор а4  (2;3;4) линейной комбинацией а1 , а2 , а3 .
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 6
Тема: Преобразование аффинной системы координат, прямоугольной системы
координат. Угол между векторами. Полярные координаты.
Цели: Отработать и закрепить навыки работы с прямой, плоскостью в пространстве,
уметь составлять уравнения прямой через две точки, каноническое, общее, а также общее
уравнение плоскости. Использовать условия параллельности, перпендикулярности прямых
и плоскостей, находить угол между ними.
Дан параллелепипед ABCDD1 A1B1C1 . В котором известны AB{4;3;0} , AD{2;1;2} , AA1{3;2;5} .
Найти 1) объем; 2) площади граней; 3) высоту параллелепипеда; 4) угол между ребром B1 A1 и
диагональю параллелепипеда B1D .
Решение:
B1
C1
A1
D1
В
С
1)
4
3
0
V  ( AB, AD, AA1 )  2
1
2  20  12  0  30  16  12
3 2 5
(куб. ед)
2) S ABCD  S A1B1C1D1  [ AB, AD]
А
D
3 0 4 0 4 3
[ AB, AD]  
;
;
  {6;8;2}
1 2 2 2 2 1 
[ AB, AD]  36  64  2  104  2 26
3) S AA1B1B  SCC1D1D  [ AB, AA1 ]
 3 0 4 0 4
3 
[ AB, AA1 ]  
;
;
  {15;20;1}
 2 5 3 5 3  2
[ AB, AA1 ]  225  400  1  626
98
4) S AA1D1D  SCC1B1B  [ AA1 , AD]
 1 2 2 2 2
1 
[ AA1 , AD]  
;
;
  {9;16;1}
 2 5 3 5 3  2
[ AA1 , AD]  81  256  1  338
V
12
6 26

S ABCD 2 26
26
6) Косинус угла между векторами можно вычислить по формуле:
x1 x2  y1 y2  z1 z2
cos  
.
x12  y12  z12  x22  y22  z22
5) A1 H 

Для чего найдем координаты вектора B1 D . Координаты вектора AB{4;3;0} известны по
условию.
B1D  DB  BB1 , DB  DA  AB , отсюда B1D  DA  AB  BB1   AD  AB  BB1 .
B1D  {2  4  3;1  3  2;2  0  5}  {1;0;3}
4(1)  3  0  0  3
cos  
(1)  0  3  4  3  0
2
2
3
2
2
2

4
4
.

10  25 5 10
4
5 10
Установить, компланарны ли векторы a , b , c , если даны координаты векторов.
x1 y1 z1
Решение: Если смешанное произведение трех векторов abc  x2 y2 z2 равно нулю, то эти
  arccos
x3
y3
z3
векторы компланарны.
1) a{2;3;1} , b{1;1;3} , c{1;9;11} .
2
1
3
a bc  1  1
1
9
3  22  9  9  1  54  33  0 , векторы компланарны.
 11
2) a{3;2;1} , b{2;1;2} , c{3;1;2} .
3 2
abc  2
3
1
2  6  2  12  3  6  8  37  0 , векторы не компланарны.
1
1  2
3) a{2;1;2} , b{1;2;3} , c{3;4;7} .
2
ab c  1
1
2
2
 3  28  8  9  12  24  7  0 , векторы компланарны.
3 4 7
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 7
Тема: Векторное пространство.
Литература: [14], стр. 48 - 51
Практическое занятие № 8-9
99
Тема: Различные способы задания прямой. Взаимное расположение двух прямых.
Цели: : Отработать и закрепить навыки работы с прямой, плоскостью в пространстве,
уметь составлять уравнения прямой через две точки, каноническое, общее, а также общее
уравнение плоскости. Использовать условия параллельности, перпендикулярности прямых
и плоскостей, находить угол между ними.
Найти координаты точек, симметричных точкам A(1;1) , B (3;2) , С (3;0) , D(4;3) , E (2;1) ,
относительно начала координат.
Решение:
А(1;1)
А/(-1;-1)
A(1;1) ,
Аналогично B(3;2) , С (3;0) , D(4;3) , E (2;1)
2. Даны две смежные вершины квадрата А(3;-7), В(-1;4). Найти его площадь.
Решение: вспомним, что площадь квадрата равна квадрату его стороны. Найдем значение отрезка
АВ: АВ  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2
АВ  (1  3)2  (4  (7)) 2  137
Площадь, соответственно равна: S  ( 137 ) 2  137 кв. ед.
3. Даны три вершины А(3;-7), В(5;-7), С(-2;5) параллелограмма ABCD, четвертая вершина
которого D противоположна В. Определить длину диагоналей этого параллелограмма.
Решение: По определению параллелограмма сторона CD равна и параллельна АВ. Координаты
АВ: АВ(3  5;7  7)  (2;0)
y 5  0
Составим уравнения, чтобы найти точку D: x  2  2
y5
x  4
По формулам найдем длины диагоналей:
АС  (2  3)2  (5  7)2  169  13
BD  (4  5)2  (5  7)2  225  15
Ответ: 13, 15.
4. Даны две смежные вершины параллелограмма А(-3;5), В(1;7) и точка пересечения диагоналей
М(1;1). Определить две другие вершины:
Решение: Точка пересечения диагоналей делит их пополам. Найдем координаты векторов:
Решение:
В(1;7)
С
x A  xC
y A  yC
 xM
 yM
2
2
xC  2 xM  xA  2  3  5
yC  2 yM  y A  2  3  3
C(5;-3)
D
А(-3;5)
xD  2xM  xB  2  3  1
yD  2 yM  yB  2  7  5
D(1;-5)
5. Даны две противоположные вершины квадрата: P(3;5) , Q(1;3) . Найти площадь квадрата.
Решение:
M(1;1)
100
Зная противоположные стороны квадрата, мы можем найти диагональ. А затем по формуле
1
S  d 2 найти площадь.
2
PQ  (1  3)2  (3  5)2  68
 
2
1
68  34 кв. ед.
2
6. Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть А(-3;2) и В(1;6)
a2 3
Решение: зная сторону треугольника, площадь можно найти по формуле: S 
4
S
АВ  (1  3)2  (6  2)2  32
 32 
S
2
3
32 3
 8 3 кв.ед.
4
4
7. Вычислить площадь треугольника, вершинами которого являются точки: A( 2;3) , B(3;2) ,
C (2;5)
Решение: Каковы бы ни были три точки A( x1; y1 ) , B( x2 ; y2 ) , C ( x3 ; y3 ) , площадь треугольника АВС

дается формулой: S 
1 x2  x1
2 x3  x1
y 2  y1
y3  y1
.
1 3 2 23 1 1 5 1

 (8  20)  14 (кв. ед.)
2 22 53 2 4 8 2
8. Даны вершины треугольника А(1;-3), В(3;-5), С(-5;7). Определить середины его сторон.
Решение: Пусть М – середина отрезка АВ, N – середина отрезка ВС, а Р – середина отрезка АС.
По формулам:
x x
y  y2
x 1 2;
y 1
2
2
найдем координаты середин отрезков:
1 3
35
Mx 
2
Mу 
1
2
2
S
Nx 
53
 1
2
Nу 
75
1
2
 5 1
73
 2
Nу 
2
2
2
9. Написать формулы преобразования координат, если начало координат (без изменения
направления осей) перенесено в точку
a) А(3;4)
b) В(-2;1)
Решение:
x  x  3
a) А:
y  y  4
x  x  2
b) В:
y  y  1
Px 
x  2 y  5
№ 329(2). Вычислить углы, образованные с осями координат прямой 
 x  3z  8  0
101
№331(2) Найти уравнение прямой, проходящей через точку N (5, -1,3) и параллельной
2 x  3 y  z  6  0
прямой 
.
4 õ  5 y  z  2  0
№333(1) . Даны три последовательные вершины параллелограмма А(3;0;-1), В (1; 2;-4),
С (0;7;-2). Найти уравнение сторон АВ и СД.
№ 335(2) Вычислить расстояние между параллельными прямыми х/1=(у-3)/2=(z-2)/1 и
(х-3)/1=(у+1)/2=(z-2)/1.
4 х  y  z  12  0
3х  2 y  16  0


№337(2). Найти угол между прямыми  y  z  2  0
и 3x  z  0
1.Какие виды прямой вам известны?
2. Сформулируйте условие параллельности, перпендикулярности двух прямых.
3. Как вычисляется расстояние от точки до прямой?
4. Как определить угол между двумя прямыми?
5.Приведите уравнение прямой с угловым коэффициентом.
6. Напишите уравнение прямой, проходящей через одну точку, две точки, пучка
прямых.
7. Запишите уравнение прямой в отрезках, общее уравнение прямой, каноническое
уравнение прямой.
8. Как записывается общее уравнение плоскости?
9. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору n(A,В,С)
10.Сформулируйте условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 10-11
Тема: Изучение кривых второго порядка по их каноническим уравнениям. Эллипс,
гипербола, парабола.
1. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
a) Точки А(3;2) и В(-1;6) являются концами одного из диаметров окружности.
b) Центр совпадает с точкой С (1;-1) и прямая l : 5 x  12 y  9  0 является касательной к
окружности.
Решение: уравнение ( x   ) 2  ( y   ) 2  R 2 определяет окружность радиуса R 2 с центром
C ( ;  ) .
a) Чтобы найти центр окружности найдем середину отрезка АВ, который по условию является
диаметром.
3 1
26
2 и y
 4 . Т.е. координаты центра окружности будут О(2;4).
О: x 
2
2
Теперь найдем радиус окружности АО:
(1  1) 2  (6  4) 2  8 .
Т.о. уравнение окружности запишется следующим образом: ( x  1)2  ( y  4) 2  8
b) Чтобы найти радиус окружности, вычислим расстояние от центра окружности до касательной.
5 1  12  (1)  9
 (С, l ) 
2
25  144
Т.о. уравнение окружности запишется следующим образом: ( x  1) 2  ( y  1) 2  4
2. Определить уравнение линии центров
( x  3) 2  y 2  9 и ( x  2) 2  ( y  1) 2  1 .
двух
102
окружностей,
заданных
уравнениями:
Решение: из уравнений найдем координаты центров окружностей: O1 (3;0) и O2 (2;1) . Теперь
напишем уравнение прямой, проходящей через две точки:
x  x1
y  y1
x 3
y0
l:


,
 2  3 1 0
x2  x1 y2  y1
l : x  3  5 y
l : x  5y  3  0
Ответ: x  5 y  3  0 .
3. Составить уравнение диаметра окружности x 2  y 2  4 x  6 y  17  0 , перпендикулярного к
прямой 5 x  2 y  13  0 .
Решение: преобразуем уравнение окружности: x 2  4 x  4  4  y 2  6 y  9  9  17  0
( x  2)2  ( y  3)2  30
Из этого уравнения найдем центр О(-2;3).
Теперь составим уравнение прямой проходящей через точку О и перпендикулярную прямой
A
5
2
1
5 x  2 y  13  0 . Коэффициент k 1  , k 1  , k 2   , т.е. k 2  ,
2
B
5
k1
2
( y  3)  ( x  2)
5
5 y  2 x  15  4  0
5 y  2 x  19  0
Ответ: 5 y  2 x  19  0
4. Определить, как расположена прямая относительно окружности (пересекает, касается или
проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:
a) l : y  2 x  3 и x 2  y 2  3x  2 y  3  0
Решение: Преобразуем уравнение окружности x 2  2 1,5x  2,25  2,25  y 2  2 y  1  1  3  0
( x  1,5) 2  ( y  1) 2  6,25
Радиус равен 6,25  2,5 . Центр окружности О (1,5;-1).
Найдем расстояние от центра окружности до прямой l : y  2 x  3 и сравним с радиусом.
1  (1)  2  1,5  3
1
 (O, l ) 

 0,42
1 4
5
0,42  2,5 , т.е. прямая пересекает окружность.
1
1
y  x  и x 2  y 2  8x  2 y  12  0
b)
2
2
Решение: Преобразуем уравнение окружности x 2  2  4 x  16  16  y 2  2 y  1  1  12  0
( x  4)2  ( y  1)2  5
Радиус равен 5 . Центр окружности О (4;-1).
Найдем расстояние от центра окружности до прямой l : 2 y  x  1  0 и сравним с радиусом.
2  (1)  (1)  4  1
5
 (O, l ) 

 5
1 4
5
5  5 , т.е. прямая является касательной к окружности.
c) l : y  x  10 и x 2  y 2  1  0
Решение: x 2  y 2  1 . Радиус равен 1 . Центр окружности О (0;0).
Найдем расстояние от центра окружности до прямой l : y  x  10  0 и сравним с радиусом.
1 0  (1)  0  10 10
 (O, l ) 

 7,1
11
2
103
7,1  1 , т.е. прямая проходит вне окружности.
5. Дан эллипс 9 x 2  25 y 2  225 . Найти его 1) полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения
директрис.
x2 y2
Решение: приведем данное уравнение к каноническому виду: 2  2  1 . Для этого разделим
a
b
2
2
x
y
уравнение на 225:

 1.
25 9
1) полуоси равны a  25  5 и b  9  3 ;
2) расстояние между фокусами равно 2с, т.е. чтобы найти координаты фокусов надо найти с:
с  a 2 b2  25  9  16  4 . F1 (4;0) и F2 (4;0) .
c
4
3) Эксцентриситет равен   ,    0,8
a
5
a
25
4) Т.к. a  b , директрисы определяются уравнениями: x   , т.е. x  

4
6. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса
x 2  5 y 2  20 , а две другие совпадают с концами его малой оси.
Решение:
x2 y 2
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

1.
20 4
c  a 2  b2  20  4  16  4
Т.е. фокусы имеют координаты: F1 (4;0) и F2 (4;0) . Фокусы находятся на одинаковом расстоянии
от начала координат. Малая ось равна 2b , т.е. 2  2  4 .
ОА=ОВ, отсюда делаем вывод, что четырехугольник AF1BF2
есть ромб. А(0;2) и
В(0;-2).
1
S  d1d 2 . Зная координаты точек ромба видим, что d1  8 , а
2
d2  4 . Подставим найденные значения в формулу и получим:
1
S   8  4  16 кв. ед.
2
Ответ: 16 кв. ед.
5
x
y

7. Дана точка M 1  2;  на эллипсе

 1 ; составить уравнения прямых, на которых лежат
3
9
5

фокальные радиусы точки M1 .
Решение: фокальные радиусы есть отрезки F1M1 и F2 M1 . Чтобы найти уравнения прямых,
содержащих фокальные радиусы, достаточно найти координаты фокусов и по формулам
x  x1
y  y1

найти искомые уравнения. c  a2  b2  9  5  4  2 . Т.е. фокусы имеют
x2  x1 y2  y1
координаты: F1 (2;0) и F2 (2;0) .
x2
y0
x2
y0
l1 :

l2 :

22  5 0
22  5 0
3
3
2
2
104
5
5
l1 :  ( x  2)  4 y | 3
l2 :  ( x  2)  0
3
3
l1 : 5 x  12 y  30  0
l2 : x  2  0
Ответ: l1 : 5x  12 y  30  0 и l2 : x  2  0
8. Найти точки пересечения прямой 2 y  x  7  0 и эллипса x 2  4 y 2  25 .
2 y  x  7  0
Решение: решим систему уравнений:  2
2
 x  4 y  25
x  7  2 y
 2
2
 x  4 y  25
(7  2 y) 2  4 y 2  25  0
49  28 y  4 y 2  4 y 2  25  0
2 y2  7 y  6  0
7  49  48
7 1
7 1 3
 2 , y2 
 .
, y1 
4
2
4
4
3
x2  7  2   4
x1  7  2  2  3
2
 3
Ответ: (3;2) и  4; 
 2
9. Дана гипербола 16 x 2  9 y 2  144 . Найти 1) полуоси, 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения
асимптот; 5) уравнения директрис.
x2 y 2
Решение: запишем уравнение гиперболы в каноническом виде, т.е. в виде формулы 2  2  1 .
a
b
2
2
x
y

 1.
9 16
1) a  9  3 и b  16  4 ;
y1; 2 
2) c  a2  b2  9  16  25  5 ; т.е. фокусы имеют координаты F1 (5;0) и F2 (5;0)
c
5
3)   ,   ;
a
3
b
4
4) y   x , y   x ;
a
3
a
9
5) x   , x  

5
10. Эксцентриситет гиперболы   3 , расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4.
Вычислить расстояние от точки М и до фокуса, одностороннего с этой директрисой.
Решение: Каждая директриса обладает следующим свойством: если r – расстояние от
произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d – расстояние от той же точки до
r
односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение
есть постоянная величина, равная
d
r
эксцентриситету гиперболы:   .
d
Отсюда r  d   , т.е. r  4  3  12
Ответ: 12.
105
11. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет  
5
, фокус F (5;0) и
4
уравнение соответствующей директрисы 5x 16  0
a
16
Решение: x   (1), а из 5x 16  0 выведем: x   .

5
c
В то же время   (2). т.к. фокус имеет координаты F (5;0) , то с  5 (3). Из (2) и (3) выводим,
a
что a  4 . Найдем b  c 2  a 2  25  16  3 .
x2 y 2

1
16 9
12. Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей
следующих парабол:
1) y 2  6 x ; 2) x 2  5 y .
Теперь запишем каноническое уравнение гиперболы:
Решение: запишем каноническое уравнение параболы: y 2  2 px или x 2  2 py .
1) y 2  6 x распишем так: y 2  2  3  x . Отсюда p  3 . Параметр p положительный,
следовательно парабола располагается в верхней полуплоскости, относительно оси ОХ.
2) x 2  5 y распишем так: x 2  2  2,5  y , отсюда p  2,5 . Параметр p положительный,
следовательно парабола располагается в верхней полуплоскости, относительно оси ОУ.
13. Вычислить фокальный радиус точки М параболы y 2  20 x , если абсцисса точки М равна 7.
Решение: фокальный радиус произвольной точки M ( x; y ) параболы может быть вычислен по
p
формуле: r  x  .
2
2
Из y  20 x найдем p : y 2  2 10 x , т.е. p  10 .
10
r  7
 12
2
Ответ: 12
14. Определить точки пересечения прямой x  y  3  0 и параболы x 2  4 y .
Решение: решим систему уравнений.
x  y  3  0
 2
x  4 y
y  3  y
 2
 x  4(3  y )  0
x 2  12  4 x  0
x1; 2  2  4  12  2  4
x1  6 , x1  2
y1  3  6  9 , y1  3  2  1
Ответ: (-6;9) и (2;1).
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 12
Тема: Различные способы задания плоскости.
1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2;1;-1) и имеет нормальный
вектор n  {1;2;3}
106
Решение: Уравнение A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0 определяет плоскость, проходящую через
точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и имеющую нормальный вектор n  { A; B; C} .
Т.о. 1 ( x  2)  2( y  1)  3( z  1)  0
x  2  2 y  2  3z  3  0
x  2 y  3z  3  0
2. Даны две точки M1 (3;1;2) и M 2 (4;2;1) . Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку M1 перпендикулярно вектору M 1M 2 .
Решение: Общее уравнение плоскости имеет вид: Ax  By  Cz  D  0 найдем координаты вектора
M 1M 2  {4  3;2  1;1  2}  {1;1;3}
Задача свелась к составлению уравнения плоскости, проходящей через точку и имеющей
нормальный вектор:
1  ( x  3)  ( y  1)  3( z  2)  0
x  3  y  1  3z  6  0
x  y  3z  2  0
3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1 (3;4;5) параллельно двум
векторам a1  {3;1;1} и a 2  {1;2;1} .
Решение: Уравнение плоскости, которая проходит через точку M параллельно двум векторам
x  x0 y  y0 z  z0
записывается в следующем виде: l1
m1
n1  0 .
l2
x3
Т.о.
m2
n2
y4 z 5
3
1
1
2
1  0
1
x  3  6( z  5)  ( y  4)  ( z  5)  2( x  3)  3( y  4)  0
x  3  6 z  30  y  4  z  5  2 x  6  3 y  12  0
 x  4 y  7 z  16  0
x  4 y  7 z  16  0
4. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки M1 (2;1;3) и
M 2 (3;1;2) параллельно вектору a  {3;1;4}
Решение: Уравнение плоскости, которая проходит через две точки M1 и M 2 параллельно
x  x1 y  y1 z  z1
вектору записывается в следующем виде: x2  x1 y2  y1 z2  z1  0 .
l
m
n
x2
y 1 z  3
3  2 11 2  3  0
x2
1
y 1 z  3
2
1  0
3
1
4
3
1
4
8( x  2)  ( z  3)  3( y  1)  6( z  3)  ( x  2)  4( y  1)  0
8 x  16  z  3  3 y  3  6 z  18  x  2  4 y  4  0
7x  7 y  7z  0
x yz  0
107
5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через три точки M1 (3;1;2) , M 2 (4;1;1) и
M 3 (2;0;2) .
Решение: Уравнение плоскости, которая проходит через три точки M1 , M 2 и M 3
x  x1
y  y1
z  z1
записывается в следующем виде: x2  x1
y2  y1
z2  z1  0 .
x3  x1
y3  y1
z3  z1
x3
y 1
z2
x  3 y 1 z  2
4  3 11 1 2  0
1
2  3 0 1 2  2
1
0  z  2  3( y  1)  0  3( x  3)  0  0
z  2  3 y  3  3x  9  0
3x  3 y  z  8  0
0
1
3  0
0
6. Установить, какие из следующих пар следующих пар уравнений определяют параллельные
плоскости.
A
B
C
D
Решение: Условие параллельности двух плоскостей 1  1  1  1 .
A2 B2 C2 D2
1) 2 x  3 y  5 z  7  0 , 2 x  3 y  5 z  3  0
2 3 5 7

 
плоскости параллельны.
2 3 5
3
2) 4 x  2 y  4 z  5  0 , 2 x  y  2 z  1  0
4 2 4
5
 

плоскости не параллельны.
2 1
2
1
3) x  3z  2  0 , 2x  6z  7  0
1 3
2
 
плоскости параллельны.
2 6 7
7. Установить, какие из следующих пар следующих пар уравнений определяют перпендикулярные
плоскости.
Решение: Условие перпендикулярности двух плоскостей A1 A2  B1B2  C1C2  0
1) 3x  y  2 z  5  0 , x  9 y  3z  2  0
3 1  9  (1)  2  (3)  3  9  6  0 плоскости перпендикулярные.
2) 2 x  3 y  z  3  0 , x  y  z  5  0
2  1  3  (1)  1  (1)  2  3  1  0 плоскости перпендикулярные.
3) 2 x  5 y  z  0 , x  2z  3  0
2 1  5  0  2 1  4  0 плоскости не перпендикулярные.
8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1 (2;1;1) перпендикулярно к
плоскостям: 2x  z  1  0 и y  0 .
x  x0 y  y0 z  z0
Решение:
A1
B1
C1
A2
B2
C2
0
108
x2
2
y 1 z 1
0
1  0
0
1
0
2( z  1)  x  2  0
2z  2  x  2  0
2z  x  4  0
9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1 (3;2;7) параллельно к
плоскости: 2x  3z  5  0 .
A
B
C
D
Решение: Условие параллельности двух плоскостей 1  1  1  1 , т.е.
A2 B2 C2 D2
2( x  3)  3( z  7)  5  0
2x  3z  27  0
10. Дано уравнение плоскости x  2 y  3z  6  0 . Написать для нее уравнение «в отрезках».
Решение: Данное уравнение является общим уравнением прямой: Ax  By  Cz  D  0 . Уравнение
x y z
D
D
D
«в отрезках» имеет вид:    1 , где a   , b   , c   .
a b c
A
B
C
D
D
D
6
6
6
a    
  6 , b    
  2
  3 , c    
C
A
B
 1 
 3
 2 
x y
z
 1.
Т.о. уравнение «в отрезках» будет иметь вид:  
6 3 2
11. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3x  4 y  24 z  12  0 на координатных осях.
D
D
D
Решение: a   , b   , c   есть величины отрезков, которые плоскость отсекает на
A
B
C
координатных осях (считая каждый от начала координат).
a
D
D
D
 12 
 12 
 12  1
    4 , b    
  3 , c    

B
C
A
4
  24  2
3
12. Привести к нормальному виду общее уравнение плоскости:
1) x  2 y  2 z  12  0
2) 12 y  5 z  39  0
Решение: общее уравнение плоскости приводится к нормальной форме следующим образом:
Ax  By  Cz  D  0 / : A2  B2  C 2
A
B
C
D
x
y
z
0
 A2  B 2  C 2
 A2  B 2  C 2
 A2  B 2  C 2
 A2  B 2  C 2
Если D положительно, то перед корнем ставим знак «-», и наоборот.
1) A2  B2  C 2  1  4  4  3 берем положительный знак, т.к. D число отрицательное.
x 2
2
 y z40
3 3
3
2) B2  C 2  122  52  169  13 . Берем отрицательный знак, т.к. D число положительное.
12
5
y  z 3 0.
13
13
109
13. Составить уравнение прямой:
1
3


1) Проходящей через две точки M 1  2;3;  и M 2  3;5; 
2
2


x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 y2  y1 z2  z1
1
z
x2 y 3
2


1
8
1
2) Если дана точка, принадлежащая прямой и направляющий вектор.
M 0 2;1;3 и p  {1;3;1}
x  x0 y  y0 z  z0


- каноническое уравнение.
l
m
n
x  2 y 1 z  3


1
3
1
14. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M1 1;1;3
параллельно:
1) вектору p  {2;3;4}
x 1 y 1 z  3


t
2
3
4
 x  lt  x0

Параметрические уравнение прямой имеют вид:  y  mt  y0
 z  nt  z
0

 x  2t  1

Т.о.  y  3t  1
 z  3  4t

2) параллельно прямой
x 1 y  2 z 1


.
2
4
0
 x  2t  1

 y  4t  1
 z  3

 x  3t  1

3) параллельно прямой  y  2t  3
 z  5t  2

 x  3t  1

 y  2t  1
 z  5t  3

15. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки
M1 3;1;2 и M 2 2;1;1 .
x2
y 1 z 1


Решение:
3  2 1 1 2 1
x  2 y 1 z 1


1
2
1
110
x  t  2

 y  2t  1
z  t  1

Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 13-14
Тема: Различные способы задания прямой линии и связь между ними. Поверхности
вращения.
1.
Показать, что плоскости 2 x  y  z  4  0 , x  y  z  2  0 , 2 x  y  3z  6  0
пересекаются в одной точке. Найти ее координаты.
Решение:
2 x  y  z  4  0

x  y  z  2  0
2 x  y  3 z  6  0

3 x  6  0

x  y  z  2  0
2 x  y  3 z  6  0

4  y  z  4  0

2  y  z  2  0
4  y  3z  6  0

4  y  3y  6  0
x
6
2
3
 yz 0
yz
2y  2
y  z 1
Ответ: (2;1;1)
2. Вычислить расстояние d от точки P(1;1;2) до плоскости, проходящей через точки
M1 (1;1;1) , M 2 (2;1;3) и M 3 (4;5;2) .
Решение: расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:
Ax  By  Cz  D
 (M , )  0 2 0 2 0 2
A  B C
x 1
y 1
z 1
Найдем уравнение плоскости  :  2  1
4 1
11
3 1  0
 5 1  2 1
x 1 y 1 z 1
3
2
2 0
3
4 3
 6( x  1)  12( z  1)  6( y  1)  6( z  3)  8( x  1)  9( y  1)  0
 6 x  6  12 z  12  6 y  6  6 z  18  8 x  8  9 y  9  0
 2 x  3 y  6 z  14  0
 2  (1)  6 1  3  (2)  14 28
 ( P, ) 

4
7
4  36  9
Ответ: 4.
3. Определить двухгранный угол между следующими плоскостями:
1) 16 x  8 y  2 z  1  0 и 2 x  2 y  z  5  0 .
111
Решение: cos  
cos  
A1 A2  B1B2  C1C2
A12  B12  C12  A22  B22  C22
32  16  2

18
1

18  3 3
256  64  4  4  4  1
1
  arccos
3
2) 2 x  5 y  4 z  15  0
6x  3z  2  0
12  12
cos 
0
4  25  16  36  9

 .
2
4. Установить расположение плоскости 2 x  2 y  z  9  0 относительно сферы в каждом из
следующих случаев:
a)
( x  3) 2  ( y  3) 2  ( z  3) 2  36
Решение: из уравнения сферы находим координаты центра сферы, затем находим
расстояние от точки до плоскости и сравниваем с радиусом сферы.
С(3;-3;3)
2  3  2  (3)  1  3  9 18
 (С , ) 

6
3
4  4 1
r  36  6
6  6 , плоскость является касательной к сфере.
b)
( x  1) 2  ( y  2)2  ( z  11) 2  5
Решение: С(-1;-2;11)
2  (1)  2  (2)  111  9 0
 (С, ) 
 0
3
4  4 1
r 5
5 0
Внутри окружности
Литература: [12], [13], [16]
Практическое занятие № 15
Тема: Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды
Составить уравнение сферы, если:
1) Сфера проходит через точку А(2;-1;-3) и имеет центр С(3;-2;1).
Решение: В декартовых координатах сфера, имеющая центр С ( ;  ;  ) и радиус r ,
определяется уравнением ( x   ) 2  ( y   ) 2  ( z   ) 2  r 2 . Чтобы найти радиус сферы,
вычислим длину отрезка АС по формуле: d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
d  (3  2) 2  (2  1) 2  (1  3) 2  1  1  16  18
Уравнение сферы запишется в виде: ( x  3) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  18
2) Сфера имеет центр С(3;-5;-2) и плоскость  : 2 x  y  3z  11  0 является касательной к
сфере.
Решение: чтобы найти радиус сферы вычислим расстояние от точки С до плоскости  .
Ax  By  Cz  D
2  3  1  (5)  3  (2)  11
28
 (С , )  0 2 0 2 0 2


4 1 9
14
A  B C
2
2
Уравнение сферы запишется в виде: ( x  3)  ( y  5)  ( z  2) 2  56
112
2. Составить уравнение сферы радиуса r  3 , касающейся плоскости  : x  2 y  2 z  3  0 в
точке M1 (1;1;3) .
Решение: Расстояние от центра сферы до плоскости равно
Ax  By  Cz  D
x  2 y  2z  3
 (С , )  0 2 0 2 0 2

3
4 1 4
A  B C
x  2 y  2z  3  9
x  2 y  2z  6  0
Возьмем точку M1 (1;1;3) , C  {1  1;2  1;3  2}  {2;3;1}
Уравнение сферы запишется в виде: ( x  2) 2  ( y  3) 2  ( z  1) 2  9
3. Установить как расположена точка А(2;-1;3) относительно каждой из следующих сфер
(внутри нее, вне или на поверхности сферы):
1) ( x  3)2  ( y  1)2  ( z  1) 2  4
Из уравнения видно, что радиус r  2 , центр сферы С(3;-1;1). Чтобы определить положение
точки относительно сферы, вычислим расстояние от нее до центра и сравним с величиной
радиуса.
АС: d  (3  2) 2  (1  1) 2  (1  3) 2  1  0  4  5
5  2 , значит, точка находится вне сферы.
2) ( x  14)2  ( y  11)2  ( z  12)2  625
Из уравнения видно, что радиус r  25 , центр сферы С(-14;11;-12). Чтобы определить
положение точки относительно сферы, вычислим расстояние от нее до центра и сравним с
величиной радиуса.
АС: d  (14  2) 2  (11  1) 2  (12  3) 2  256  144  225  625  25
25  25 , значит, точка находится на поверхности сферы.
3) ( x  6)2  ( y  1)2  ( z  2)2  25
Из уравнения видно, что радиус r  5 , центр сферы С(6;1;2). Чтобы определить положение
точки относительно сферы, вычислим расстояние от нее до центра и сравним с величиной
радиуса.
АС: d  (6  2) 2  (1  1) 2  (2  3) 2  16  4  1  21
21  5 , значит, точка находится внутри сферы.
4. Определить вид поверхности второго порядка.
1) 2 x 2  3 y 2  2 z 2  8x  6 y  12 z  21  0
Приведем к каноническому виду:
2 x 2  8x  3 y 2  6 y  2 z 2  12 z  21  0
2( x 2  4 x  4)  3( y 2  2 y  1)  2( z 2  6 z  9)  34  0
2( x  2) 2 3( y  1) 2 2( z  3)


1
34
34
34
( x  2) 2 3( y  1) 2 ( z  3)


 1 данная поверхность есть эллипсоид.
17
34
17
2) x 2  2 y 2  4 z 2  8 z  8  0
x 2 y 2 4( z 2  2 z  4)


 12
1
1
1
x 2 y 2 ( z 2  2 z  4)


 1 данная поверхность есть гиперболоид.
12 12
4
Литература: [12], [13], [16]
113
Методические рекомендаций по СРСП
Тема: Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы. Обратная матрица.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 35 – 38, № 2.1-2.30.
Тема: Определители и их свойства. Определители второго и третьего порядка. Определители
n – го порядка.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 33-35, №1.1-1.30.
Тема: Системы линейных уравнений, их классификация. Решение систем линейных
уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 42-47, №1.1.-1.30., №2.1.-2.30, 3.1-3.30.
Тема: Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 69-76, №1 (1.1-1.30), №2 (2.1-2.30), №3 (3.1-3.30)
Тема: Скалярное, векторное, произведение векторов, свойства.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 78 – 83, №1.1-1.30.
Тема: Смешанное произведение векторов, свойства. Приложение к решению задач.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 78 – 83, №2.1-2.30.
Тема: Преобразование аффинной системы координат, прямоугольной системы координат.
Угол между векторами. Полярные координаты.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Работа по карточкам
Тема: Векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Размерность. Базис,
координаты векторов.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 92-93, № 1-6, СМ: 1-4.
1-рубежная контрольная работа
Решение задач
Тема: Различные способы задания прямой. Общее уравнение прямой. Расстояние от точки до
прямой. Нормальное уравнение прямой.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 101-106, №1.1-1.30, 2.1-2.30, 3.1-3.30
Тема: Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Условие параллельности
и перпендикулярности двух прямых.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 110-119, №1.1-1.30, 2.1-2.30,1-22
Тема: Изучение кривых второго порядка по их каноническим уравнениям. Эллипс,
гипербола, парабола.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 137-141, №1.1-1.30.
114
Тема: Фокусы и директрисы линий второго порядка. Уравнение линий второго порядка в
полярных координатах. Общее уравнение линии второго порядка. Асимптоты. Касательные.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 137-141, №2.1-2.30.
Тема: Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Частные случаи.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 137-141, №3.1-3.30.
Тема: Различные способы задания прямой линии и связь между ними. Взаимное
расположение двух прямых
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 146-149, №1.1-3.30.
Тема: Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности второго порядка.
Конические сечения.
Цель: Научить решать задачи по данной теме
Задания: [9], стр. 153-155, №1-20.
2- рубежная контрольная работа
Решение задач
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
В ходе изучения дисциплины каждый студент получит индивидуальные домашние
задания, которые охватывают основные разделы курса и позволяют выяснить, насколько
хорошо усвоены теоретические положения и может ли студент применять их для решения
практических задач.
Работа должна быть написана разборчивым почерком. На обложке расчетнографической работы необходимо указать специальность, курс, группу, фамилию и имя
студента, номер варианта и дату сдачи работы.
Решение задач следует сопровождать краткими пояснениями, обязательно приводить
все формулы, используемые в задаче, необходимые построения производить с учетом
масштаба. После завершения домашней работы необходимо сделать ссылку на
использованную литературу.
Не откладывайте выполнение задания на последний день перед его сдачей. К
сожалению, некоторые студенты так и поступают. В этом случае у вас возникнут
затруднения при решении более сложных задач.
Если вы будете придерживаться установленного графика выполнения работы, то во
время проведения СРСП, я смогу ответить на возникшие у вас вопросы при решении задач.
Номера контрольных задач следует выбрать согласно списку в журнале успеваемости.
115
Методические рекомендации по СРС
Тема: Деление отрезка в данном соотношении. Вектор. Линейные операции над векторами.
Цель: Рассмотрение примеров по теме, составление конспекта.
Тема: Скалярное и векторное произведение двух векторов. Направляющие косинусы
векторов.
Цель: Применение векторов к решению задач. Рассмотрение примеров.
Тема: Системы линейных уравнений, их классификация. Решение систем линейных
уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса.
Цель: Решение систем линейных уравнений различными способами.
Тема: Метод координат на плоскости. Аффинная и прямоугольная система координат.
Деление отрезка в данном отношении.
Цель: Приложение метода координат к решению задач.
Тема: Простейшие задачи на плоскости.
Цель: Нахождение расстояния между двумя точками; деление отрезка в данном отношении
и.т.д.
Тема: Векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Размерность. Базис,
координаты векторов.
Цель: Линейная зависимость векторов. Конспект.
Тема: Различные способы задания прямой. Общее уравнение прямой. Расстояние от точки до
прямой. Нормальное уравнение прямой.
Цель: Различные способы задания прямой. Рассмотрение примеров.
Тема: Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Условие параллельности
и перпендикулярности двух прямых.
Цель: Рассмотрение примеров задач на данную тему.
Тема: Изучение кривых второго порядка по их каноническим уравнениям. Эллипс,
гипербола, парабола.
Цель: Линии второго порядка. Конспект.
Тема: Классификация кривых второго порядка
Цель: Рассмотрение примеров приведения уравнения линии второго порядка к
каноническому виду.
Тема: Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Частные случаи.
Цель: конспект, общих уравнений плоскости и рассмотрение примеров.
Тема: Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.
Угол между плоскостями.
Цель: Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Конспект.
Тема: Различные способы задания прямой линии и связь между ними. Взаимное
расположение двух прямых
Цель: Различные способы задания прямой линии и связь между ними. Конспект.
Тема: Взаимное расположение прямой и плоскости. Условие параллельности и
перпендикулярности плоскости и прямой.
116
Цель: Условие параллельности и перпендикулярности плоскости и прямой. Рассмотрение
примеров.
Тема: Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя прямыми. Основные задачи
на прямую и плоскость.
Цель: Основные задачи на прямую и плоскость. Решение задач.
117