AspPKtdsReitmann (новое окно)

Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
___________________________________
(учебной дисциплины, практики и т.п.)
Теория динамических систем
The Theory of Dynamical Systems
Язык(и) обучения
русский
Трудоёмкость (границы трудоёмкости) в зачетных единицах: 1
Регистрационный номер рабочей программы: ______________
Санкт-Петербург
2014
Раздел 1.
1.1.
Характеристики учебных занятий
Цели и задачи учебных занятий
Цель: Обучение аспирантов методам теории динамических систем. Подготовка к
восприятию специальных дисциплин.
Задачи: Изучение основных разделов теории динамических систем, развитие навыков
самостоятельного решения задач, в том числе построения простых математических
моделей.
1.2.
Требования к подготовленности обучающегося к освоению содержания
учебных занятий (пререквизиты)
Программа курса предназначена для обучающихся на 1 и 2 курсах аспирантуры, и
рассчитана на слушателей, изучивших математику в объеме пяти курсов ВУЗа математикомеханического направления обучения.
1.3.
Перечень результатов обучения (learning outcomes)
Знать содержание дисциплины «Теория динамических систем» и иметь достаточно полное
представление о возможностях применения его разделов в различных прикладных
областях науки и техники.
1.4.
Перечень активных и интерактивных форм учебных занятий
Устный опрос обучающихся.
Раздел 2.
Организация, структура и содержание учебных занятий
Трудоёмкость
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация (сам.раб.)
Сам.раб. с использованием
методических материалов
под руководством
преподавателя
в присутствии
преподавателя
итоговая аттестация
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
практические
занятия
консультации
семинары
лекции
Период обучения (модуль)
текущий контроль (сам.раб.)
Самостоятельная
работа
Контактная работа обучающихся с преподавателем
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
10
Семестр 2
5
1
5
1
10
5
20
10
5
1
10
1
Семестр 3
ИТОГО
2.1.
1
Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
Формы текущего контроля успеваемости, виды промежуточной и итоговой аттестации
Виды итоговой аттестации
Период обучения (модуль)
Формы текущего
контроля
успеваемости
Виды промежуточной
аттестации
(только для программ
итоговой аттестации и
дополнительных
образовательных программ)
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
Семестр 3
зачет
2.2. Структура и содержание учебных занятий
Основной курс
Основная траектория
Очная форма обучения
Период обучения (модуль): Семестр 2
№ п/п
1.
2.
3.
4.
Наименование темы (раздела, части)
Вид учебных занятий
Количество
часов
лекции
2
практические занятия
1
по методическим материалам
1
Механические системы с импульсным
внешним воздействием. Отображение
Пуанкаре. Притягивающее множество.
Глобальный аттрактор. Плоский цилиндр.
лекции
2
Семинарские занятия
1
по методическим материалам
1
Свойства
предельных
множеств.
Устойчивость
по
Лагранжу.
Минимальные множества. Предельные
множества дискретных систем.
лекции
2
Семинарские занятия
1
по методическим материалам
1
Устойчивые по Пуассону движения.
лекции
2
Основные
понятия.
Динамическая
система. Движения и траектории.
Инвариантные множества.
5.
Иррациональная
обмотка
тора.
Блуждающие и неблуждающие точки.
Семинарские занятия
1
по методическим материалам
1
Центр
динамической
Рекуррентные
движения.
периодические движения.
лекции
2
Семинарские занятия
1
по методическим материалам
1
системы.
Почти
Период обучения (модуль): Семестр 3
№ п/п
Наименование темы (раздела, части)
Инвариантная мера, эргодичность и
перемешивание.
1.
2.
3.
Существование инвариантной меры.
Теорема Пуанкаре о возвращении.
Теорема Крылова-Боголюбова.
Вид учебных занятий
Количество
часов
лекции
2
практические занятия
1
1
по методическим материалам
Эргодическая теорема Биркгофа –
Хинчина.
Отображение
Арнольда.
Разложение
инвариантных
мер.
Существование эргодической меры.
лекции
2
Семинарские занятия
1
по методическим материалам
1
Динамические
системы
на
многообразии.
Пространства
отображений
и
векторных
полей.
Отношения
эквивалентности.
Топологическая
сопряженность.
Типичность. Структурная устойчивость.
Гиперболические траектории. Теорема
Хартмана – Гробмана для каскада и
потока.
Теорема
об
устойчивом
многообразии
гиперболического
состояния равновесия. Гомоклинические
траектории.
лекции
2
Семинарские занятия
1
1
по методическим материалам
Система
Хенона.
Теорема
об
устойчивом
многообразии
гиперболической траектории потока.
4.
Редукция на центральное многообразие.
Бифуркация типа « седло – узел ».
Бифуркация Андронова
– Хопфа.
Транскритическая
бифуркация.
Вилкообразная бифуркация.
лекции
2
Семинарские занятия
1
1
по методическим материалам
Бифуркация трехкратных состояний
равновесия.
Введение
в
теорию
катастроф. Обобщенная бифуркация
Андронова-Хопфа. Метод Понтрягина.
Метод
Мельникова
существования
трансверсального
пересечения
многообразий. Критерий Бендиксона –
Дюлака. Стохастический слой.
5.
лекции
2
Семинарские занятия
1
1
по методическим материалам
Бифуркация Богданова – Такенса.
Бифуркация « чисто мнимая пара
собственных значений и простое нулевое
собственное число».
Раздел 3.
3.1.
Обеспечение учебных занятий
Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Методические материалы в списке литературы
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Методические материалы для самостоятельной работы в списке литературы. Список задач для
решения формируется преподавателем
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Зачет ставится за правильные ответы на теоретические вопросы и за верное решение практических
задач на зачете.
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные средства)
Примерный перечень вопросов к зачету по всему курсу:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Понятие динамической системы на метрическом пространстве.
Свойства предельных множеств.
Минимальные множества.
Устойчивость по Пуассону.
Иррациональная обмотка тора.
Блуждающие/неблуждающие точки.
Рекуррентные движения.
Почти периодические движения.
Динамические системы на пространстве с мерой.
Понятие инвариантной меры. Уравнение Перрона – Фробениуса.
Теорема Пуассона о возвращении.
Теорема Крылова – Боголюбова о существовании инвариантной меры.
Эргодическая теорема Биркгофа – Хинчина.
Разложение инвариантной меры. Существование эргодической меры.
Динамические системы на многообразиях.
Пространства отображений и векторных полей.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
Отношения эквивалентности для динамических систем.
Типичность, структурная устойчивость.
Гиперболические состояния равновесия потока. Теорема Хартмана – Гробмана.
Теорема об устойчивом многообразии гиперболического состояния равновесия потока.
Теорема Хартмана – Гробмана для каскада.
Гиперболическая периодическая траектория потока. Теорема об устойчивом многообразии
гиперболической периодической траектории.
Понятие бифуркации. Редукция на центральное многообразие.
Бифуркация типа «седло-узел».
Бифуркация Андронова-Хопфа.
Транскритическая бифуркация.
Вилкообразная бифуркация.
Бифуркация « трехкратное состояние равновесия».
Бифуркация Андронова – Хонфа в общем случае.
Обобщенная бифуркация Андронова – Хонфа.
Теорема Понтрягина о существовании периодического решения.
Теорема Мельникова о существовании трансверсальных пересечений инвариантных
многообразий.
Критерий Бендиксона – Дюлака.
Бифуркация Богданова – Такенса.
Бифуркация «чисто мнимая пара собственных значений и одно простое собственное число
0».
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
Анкета
1. Какую тему Вы считаете наиболее важной
2. Какую тему Вы считаете наиболее интересной
3. Какие затруднения Вы испытывали при изучении материала
3.2.
Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация преподавателей и иных лиц, допущенных к
проведению учебных занятий
Доцент, профессор или преподаватель со степенью кандидата физико-математических наук или
технических наук.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
Не требуется.
3.3.
Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
В аудиториях, где проводятся занятия, необходимо наличие досок и средств письма на них.
Проектор, компьютер.
3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе неспециализированного
компьютерного оборудования и программного обеспечения общего пользования
Проектор, компьютер, ПО для демонстрации презентаций.
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
Не предусмотрено
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
Не предусмотрено
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Мел, маркеры
3.4.
Информационное обеспечение
3.4.1
Список обязательной литературы
1. Райтманн Ф. Динамические системы, аттракторы и оценки их размерностей. Изд-во СанктПетербургского университета, 2013. 220с
2. Robinson J.C. “Dimensions, Embedding, and Attractors”, Cambridge Tracts in Mathematics 186,
Cambridge University Press, 2011, 205p.
3.4.2
Список дополнительной литературы
1. Брур Х.В., Дюмортье Ф., Стрин С.,Такенс Ф. Структуры в динамике. М., 2003.
2. Гукенхеймер Дм., Холмс Ф., Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации
векторных полей. М., 2002.
3. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.,
2004.
4. Оболенский А.Ю. Лекции по качественной теории дифференциальных уравнений. М., 2006.
5. Райтман Ф. Регулярная и хаотическая динамика. Стуттгарт, 1996.
6. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. М., 1995.
7. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в
нелинейной динамике, Ч.1. М., 2004.
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Не предусмотрено
Раздел 4. Разработчики программы
Фамилия, имя,
отчество
Ф.Райтман
Учёная
степень
к.ф-м.н.
Учёное
звание
доц.
Должность
Профессор каф.прикл.киб.
Контактная информация
(служебный адрес электронной
почты, служебный телефон)
[email protected]