13_2920_010101AspMAErgodTh (новое окно)

Приложение к приказу первого проректора
по учебной и научной работе
от________________№_______________
Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
(учебной дисциплины
Эргодическая теория
Ergodic Theory
Язык(и) обучения
русский
Трудоёмкость (границы трудоёмкости) в зачетных единицах: ________
Регистрационный номер рабочей программы: ______________
Санкт-Петербург
2013
1
Раздел 1.
1.1.
Характеристики учебных занятий
Цели и задачи учебных занятий
Сообщить сведения по эргодической теории в объеме, необходимом для научной работы в
области вещественного, комплексного и функционального анализа и изучения смежных
дисциплин физико-математического цикла.
1.2. Требования к подготовленности обучающегося к освоению содержания
учебных занятий (пререквизиты)
Обучающиеся должны обладать знаниями по математическому и функциональному
анализу в объеме стандартного университетского курса по программе подготовки
магистра по математическим специальностям.
1.3.
Перечень результатов обучения (learning outcomes)
Знать содержание программы курса и иметь навыки самостоятельной работы.
1.4.
Перечень активных и интерактивных форм учебных занятий
Промежуточная аттестация (зачет).
Раздел 2.
2.1.
Организация, структура и содержание учебных занятий
Организация учебных занятий
2.1.1 Факультативная дисциплина
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
28
2
18
18
2
18
1 год
обучения
ИТОГО
2
Трудоёмкость
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация (сам.раб.)
текущий контроль (сам.раб.)
сам.раб. с использованием
методических материалов
Самостоятельная работа
итоговая аттестация
под руководством
преподавателя
в присутствии
преподавателя
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
консультации
практические
занятия
семинары
Период
обучения
(модуль)
лекции
Контактная работа обучающихся с преподавателем
Формы текущего контроля успеваемости, виды промежуточной и итоговой аттестации
Формы текущего
контроля
успеваемости
Период обучения (модуль)
Виды итоговой аттестации
Виды промежуточной
аттестации
(только для программ итоговой
аттестации и дополнительных
образовательных программ)
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
зачет, устно,
традиционная
форма
1 год обучения
2.2. Структура и содержание учебных занятий
Факультативная дисциплина
Основная траектория
Очная форма обучения
Период обучения (модуль): 1 год обучения
Тема 1. Вероятностные и механические истоки ЭТ. Основные примеры динамических
систем с инвариантной мерой.
Тема 2. Пространства Лебега. Измеримые разбиения, операции над ними, классификация.
Теорема о канонической системе условных мер
Тема 3. Инвариантные меры. Теорема Крылова - Боголюбова. Примеры.
Тема 4. Теорема Пуанкаре о возвращении.
Тема 5. Эргодичность и связанные с ней свойства (с примерами).
Тема 6. Индивидуальная эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина.
Тема 7. Перемешивание.
перемешивания.
Тема 8. Понятие
сопряженностью.
о
Функциональные
спектральном
переформулировки
изоморфизме,
соотношение
Тема 9. Слабое перемешивание и спектр.
Тема 10. Спектры конкретных преобразований.
Тема 11. Дискретный спектр, теорема фон Неймана.
Тема 12. Энтропия эндо(авто)морфизма, теорема Колмогорова - Синая.
Тема 13. Свойства энтропии преобразования. Примеры вычисления.
Тема 14. Теорема Шеннона - Макмиллана – Брэймана
Раздел 3.
3.1.
Обеспечение учебных занятий
Методическое обеспечение
3
эргодичности
с
и
метрической
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Посещение семинаров
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Основная и дополнительная литература
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Методика проведения зачета
Зачет проводится в устной форме. Билет содержит 2 вопроса. На подготовку к ответу
отводится не менее 1 академического часа. После ответа на основные вопросы билета,
преподаватель вправе задать дополнительные вопросы по любой теме из списка вопросов,
вынесенных зачет. В качестве дополнительных, используются вопросы, не требующие
длительного вывода и трудоемких вычислений, в том числе определения, основные
формулы.
Использование конспектов может быть разрешено при согласии преподавателя.
Использование учебников, а также электронных устройств хранения, обработки или
передачи информации при подготовке и ответе на вопросы экзамена категорически
запрещено. В случае обнаружения факта использования недозволенных материалов
(устройств) составляется акт и студент удаляется с экзамена.
Критерии выставления оценок за зачет.
Оценка «зачтено» выставляется, если выполняются оба условия:
1. обучающимся дан полный ответ на один вопрос билета, по второму вопросу
написаны определения, основные формулы и графики (в случае наличия);
2. обучающийся отвечает более чем на половину дополнительных вопросов.
Оценка «не зачтено» выставляется, если не выполняется условие для получения оценки
«зачтено».
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные
средства)
Список вопросов к зачету:
1. Вероятностные и механические истоки ЭТ. Топологический и метрический аспекты
динамики.
2. Основные примеры динамических систем с инвариантной мерой.
3. Пространства Лебега.
4. Инвариантные меры. Теорема Крылова - Боголюбова. Примеры.
5. Теорема Пуанкаре о возвращении.
6. Теорема о разложении меры на эргодические компоненты.
7. Эргодичность и связанные с ней свойства (с примерами).
8. Индивидуальная эргодическая теорема Биркгофа - Хинчина.
9. Равномерная распределенность последовательности, связанной с иррациональным
сдвигом. Нормальные числа.
10. Перемешивание. Функциональные переформулировки эргодичности и перемешивания.
4
11. Оператор, сопряженный с авто(эндо)морфизмом. Его свойства. Понятие о спектре
унитарного оператора.
12. Понятие о спектральном изоморфизме, соотношение с метрической сопряженностью.
13. Слабое перемешивание и спектр.
14. Спектры конкретных преобразований.
15. Дискретный спектр, теорема фон Неймана.
16. Измеримые разбиения, операции над ними, классификация. Теорема о канонической
системе условных мер (формулировка).
17. Энтропия разбиения.
18. Средняя условная энтропия. Средняя условная энтропия на единицу времени.
19. Энтропия эндо(авто)морфизма, теорема Колмогорова - Синая.
20. Свойства энтропии преобразования. Примеры вычисления.
21. Теорема Шеннона - Макмиллана - Брэймана (без доказательства).
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
3.2.
Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация штатных преподавателей и иных лиц,
допущенных к проведению учебных занятий
К чтению лекций должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень доктора
или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную процедуру
признания и установления эквивалентности) и/или ученое звание профессора или доцента.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
не требуется
3.3.
Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории с возможностью электронной
презентации курса, должна вмещать поток в соответствии со списком студентов
3.3.2 Характеристики
аудиторного
оборудования,
в
том
числе
неспециализированного компьютерного оборудования и программного обеспечения
общего пользования
доска для письма мелом или фломастером, мультимедийный проектор
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
не требуется
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
не требуется
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Мел — не менее 1 куска на час семинара, фломастеры для доски, губка
5
3.4.
Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. Halmos P.R. Lectures on Ergodic Theory, Martino Fine Books, Eastford, CT, 2006.
1 экз.
3.4.2 Список дополнительной литературы
1. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М., 1969. 10 экз.
2. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М., 1980. 7 экз.
3. Рохлин В.А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной
мерой. Успехи математических наук, 1967, т. 22, вып. 5, с. 3-56. 4 экз.
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Презентации по лекциям, размещенные в учебных материалах в интернете.
Раздел 4. Разработчики программы
Лодкин Андрей Александрович, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры
математического анализа, [email protected]
6