АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
«АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ»
Рассмотрены и утверждены на заседании
кафедры математических и естественнонаучных дисциплин,
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
Зав. кафедрой___________/ Т.Ю.Ходаковская /
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА ПО ДИСЦИПЛИНЕ АЛГЕБРА И
ГЕОМЕТРИЯ
1. Комплексные числа: основные понятия, геометрическое изображение
комплексных чисел, формы записи комплексных чисел. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
2. Комплексные числа: основные понятия, действия над комплексными числами в
алгебраической форме. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
3. Комплексные числа: основные понятия, действия над комплексными числами в
тригонометрической форме. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
4. Матрицы: основные понятия, линейные операции над матрицами, нелинейные
операции над матрицами, линейная комбинация матриц. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
5. Определение детерминанта порядка n, определители второго и третьего порядка,
свойства определителей. Теорема Лапласа и ее следствие. Методы вычисления
определителей n-го порядка. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
6. Обратная матрица, методы нахождения обратных матриц, простейшие матричные
уравнения. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
7. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы Правило вычисления ранга матрицы ОК1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
8. Системы линейных уравнений - определения СЛУ, однородной, неоднородной,
совместной, несовместной, определенной, неопределенной СЛУ, решений СЛУ,
равносильных СЛУ. Матричный метод решения систем линейных уравнений. ОК1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
9. Решение невырожденных систем линейных уравнений, теорема Крамера. ОК-1,ОК6,ОК-10,ОК-12
10. Приведенная система уравнений, метод Гаусса. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
11. Критерий совместности системы линейных уравнений, способ решения
неопределенной системы. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
12. Фундаментальная система решений и общее решение однородной системы
уравнений. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
13. Определения вектора, длины вектора, коллинеарных и компланарных, равных
векторов. Линейные операции над векторами (геометрическая интерпретация) и
свойства этих операций, линейная зависимость (независимость) векторов. ОК1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
14. Базис системы векторов, координаты вектора относительно базиса,
ортонормированный базис, направляющие косинусы вектора, длина вектора. ОК1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
15. Скалярное произведение векторов и его свойства. Условие ортогональности. ОК1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
16. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Условие коллинеарности.
ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
17. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Условие компланарности.
ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
18. Виды систем координат: декартова прямоугольная система координат, полярная,
цилиндрическая и сферическая системы координат. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
19. Линии на плоскости: уравнение прямой с угловым коэффициентом, общее
уравнение прямой и его частные случаи. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
20. Линии на плоскости: каноническое, параметрические уравнения прямой, уравнение
прямой, проходящей через две точки. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
21. Взаимное расположение прямых на плоскости, расстояние от точки до прямой. ОК1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
22. Кривые второго порядка: определение и классификация. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
23. Свойства эллипса, гиперболы и параболы. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
24. Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей в пространстве,
расстояние от точки до плоскости. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
25. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве. ОК-1,ОК6,ОК-10,ОК-12
26. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве, расстояние от точки
до прямой в пространстве. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
27. Цилиндрические поверхности в пространстве. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
28. Канонические уравнения эллипсоида и однополостного гиперболоида. Их
свойства. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
29. Канонические уравнения конуса второго порядка и эллиптического параболоида.
Их свойства. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
30. Канонические уравнения гиперболического и двуполостного гиперболоида. Их
свойства. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий математических и естественнонаучных дисциплин
__________________ Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Комплексные числа. Сложение и вычитание комплексных чисел. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК12
2. Умножение и деление комплексных чисел. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
3. Комплексно-сопряженное число. Степень мнимой единицы. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
4. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма
комплексного числа. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
5. Определение и виды матриц. Транспонированная матрица. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
6. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
7. Линейная зависимость матриц. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
8. Символ  . Правило суммирования Эйнштейна. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
9. Умножение матриц. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
10. Элементарные преобразования. Элементарные матрицы. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
11. Вырожденные и невырожденные матрицы. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
12. Обратная матрица. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
13. Ранг матрицы. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
14. Основные теоремы о ранге матрицы. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
15. Определители II и III порядков. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
16. Определитель матрицы n-го порядка. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
17. Свойства определителей (1-4). Алгебраическое дополнение. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
18. Свойства определителей (5-10). ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
19. Вычисление обратной матрицы с помощью определителя. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
20. Определение и виды систем линейных уравнений. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
21. Системы линейных уравнений с m=n. Правило Крамера. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
22. Теорема Кронекера-Капелли. Общее правило нахождения решений СЛУ. ОК-1,ОК6,ОК-10,ОК-12
23. Приведенная система линейных уравнений. Общее решение СЛУ. ОК-1,ОК-6,ОК10,ОК-12
24. Определение вектора и линейные операции над векторами. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
25. Линейная зависимость векторов. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
26. Базис. Системы координат. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
27. Деление отрезка в данном отношении. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
28. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
29. Преобразование координат. Параллельный перенос ПСК на плоскости. ОК-1,ОК-6,ОК10,ОК-12
30. Преобразование координат. Поворот ПСК на плоскости. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
31. Скалярное произведение векторов. Законы скалярного произведения векторов. ОК1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
32. Проекция вектора на произвольную прямую. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
33. Ориентация прямой, плоскости и Пространства. Площадь ориентированного ОК-1,ОК6,ОК-10,ОК-12параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда. ОК-1,ОК6,ОК-10,ОК-12
34. Векторное произведение двух векторов. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
35. Векторно-векторное произведение трех векторов. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
36. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
37. Параметрическое уравнение прямой. Параметрическое уравнение плоскости. ОК-1,ОК6,ОК-10,ОК-12
38. Прямая линия на плоскости. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
39. Векторные уравнения прямой и плоскости. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
40. Условия параллельности плоскостей и прямых на плоскости. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
41. Уравнение прямой в пространстве. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
42. Парабола. Директориальное свойство параболы. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
43. Касательная к параболе. Оптическое свойство параболы. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
1.
44. Эллипс. Фокальное свойство эллипса. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
45. Директориальное свойство эллипса. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
46. Касательная к эллипсу. Оптическое свойство эллипса. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
47. Гипербола. Фокальное свойство гиперболы. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
48. Директориальное свойство гиперболы. Уравнение касательной к гиперболе.
Оптическое свойство гиперболы. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
гипербол, эллипсов и парабол отнесенные к вершине. ОК-1,ОК-6,ОК10,ОК-12
50. Уравнения эллипсов, парабол и гипербол в полярных координатах. ОК-1,ОК-6,ОК10,ОК-12
51. Общее понятие о линии второго порядка. Преобразование коэффициентов при
параллельном переносе и повороте ПСК. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
52. Понятие инварианта. Основные инварианты линии второго порядка. ОК-1,ОК-6,ОК10,ОК-12
53. Центр линии второго порядка. Преобразование к центру. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
54. Стандартное упрощение любого уравнения линии второго порядка путем поворота
ПСК. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
55. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
56. Упрощение уравнения линии второго порядка без определенного центра.
57. Цилиндрические поверхности. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
58. Конусы второго порядка. ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
59. Эллипсоиды и гиперболоиды (тип 12 - тип 15). ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
60. Параболоиды (тип 16 - тип 17). ОК-1,ОК-6,ОК-10,ОК-12
49. Уравнения
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий социально-гуманитарных дисциплин
__________________ С.Ю. Завалишина
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №___от «_____» __________ 201_ г.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ ДЛЯ
ДИСЦИПЛИНЫ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
1 2
2
1. Значение определителя  3 0  6 равно...
1 4  2
1) -12;
2) 1; 3) 0; 4) 2.
2  3
1


2. Если матрица A   4
5  6  , то сумма a23  a32 равна…
7  8
9 

1) 4; 2) 6; 3) 9; 4)  14 .
 2 3
 не имеет обратной, при  равном…
3. Матрица A  
   1
2
2
1) 1; 2) ; 3)  ;
4) 3.
3
3
 3 2
 0
 и B  
4. Даны матрицы A  
0 1
 2
произведения матриц det AB  равен…
1) -12;
2) -6;
3) 6;
4) 12.
1
 . Тогда определитель
2 
5. Укажите систему линейных алгебраических уравнений, подготовленную
для обратного хода Гаусса.
 x1  8 x2  3x3  0,
2 x1  x2  x3  7 ,
 x1  x2  3,


1) 
; 2) 
 x2  x3  1, ; 3)  x1  x3  3, ;
 x1  x2  1
x
 x  x  x 1

x3  0
2
3
 1
 1
 x1  8 x2  3x3  4,

4) 
 x2  x3  2, .
5 x  10
 3
2 x  4 y  1,
6. Система уравнений 
…
x  2 y  0
1) не имеет решений; 2) имеет единственное решение;
3) имеет бесконечное множество решений; 4) имеет два решения.
 x  y  2,
7.Система уравнений 
имеет бесконечное множество решений,
2
x

2
y

a

при a равном …
1) 4; 2) 0; 3) 1; 4) 2.
8. Даны векторы a  2i  j  4k , b  4i  2k . Тогда вектор c  a  2b равен…
1)  6i ;
2)  i  5 j  k ; 3)  i  5 j  k ; 4)  6i  j  8k .
9. Векторы a  4, 2,  2 и b   2,  ,  4 ортогональны, при  равном…
1) 2; 1) 1; 3) 0; 4) 3.
10. Длина вектора a  2;  1; 3 равна…
1) 10 ;
2) 14 ;
3) 4; 4) 6.
11. Какие из векторов a  4, 2, 3, b  1, 2, 4, c  2, 4, 8, d  0, 2, 4
коллинеарны между собой?
1) b , c ;
2) b , d ;
3) b ,a ;
4) a , d .
12. Найти скалярное произведение векторов a и b , если a  2,1,0, b  1,1,0
1) -3; 2) 1;
3) 2; 4) 3.
13. Объем параллелепипеда, построенного на векторах a  1, 2, 0 , b  1, 0, 1,
c  0, 2, 0, равен…
1) 3; 2) 2; 3) 4; 4) 5.
14. Расстояние между точками A2, 0,1 и B1, 2, 4
1) 4;
2)
6;
3) 8; 4) 14 .
15. Серединой M 1M 2 отрезка при условии M 1 4, 2  , M 2  6, 4 является
точка:
1) M 1, 3 ; 2) M  1, 3 ;
3) M 1,  3 ;
4) M 0, 4  .
16. Полярные координаты точки A3, 4  имеют вид…
3
3
4
4




1)  5, arctg  ; 2)  25, arctg  ; 3)  5, arctg  ; 4)  25, arctg  .
4
4
3
3




17. Прямая, проходящая через точку M 0 1, 1 перпендикулярно вектору
n 1, 2 имеет вид
1) x  2 y  3  0 ;
2) x  2 y  3  0 ; 3) x  2 y  3  0 ;
4)
x  2y  3  0.
1
18. Укажите, какие из прямых l1 : y  2 x  1, l2 : y   x  2 , l3 : y  3 x  1,
2
l4 : y  2 x параллельны.
1) l1 , l2 ;
2) l2 , l4 ;
3) l1 , l3 ;
4) l1 , l4 .
19. Укажите уравнение прямой, перпендикулярной прямой у  9 x  2
1) x  9 y  2  0 ; 2) x  y  2  0 ; 3) x  9 y  2  0 ; 4) у  9 x  2 .
20. Укажите тип кривой второго порядка, заданной уравнением х 2  9 у  18 .
1) гипербола;
2) парабола;
3) эллипс;
4) окружность.
21.Уравнение прямой, проходящей через точку M 1, 2, 3 перпендикулярно
плоскости 2 x  y  4 z  10  0 , имеет вид ...
x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3
1)
2)




2
5
4
2
2
4
x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3
3)
4)




2
1
4
2
1
4
22. Расстояние от точки А(1,0,1) до плоскости х  y  z  10  0 равно:
8
2 35
35
1) 7;
2)
;
3)
;
4)
.
7
7
3
23. На плоскости введена полярная система координат (  ,  ) .Уравнение
 2  36 задает на этой плоскости..
1) прямую линию;
2) луч;
3) окружность радиуса 6 с центром в полюсе;
4) окружность радиуса 16 с центром в полюсе.
24. Окружность x 2  y 2  2 x  2 y  2  0 имеет радиус равный…
1) 3;
2) 1;
3) 4;
4) 2.
x2 y2 z 2
25. Поверхность, определяемая уравнением


 1, является…
16
9
4
1) однополостным гиперболоидом;
2) эллипсоидом;
3) сферой;
4) двуполостным гиперболоидом.
26. Плоскости 2 х  y  4 z  10  0 и 4 х  8 y  2 z  5  0 перпендикулярны,
при  равном…
1) – 2;
2) 2;
3) 4;
4) -4.
27. Норма вектора x  (1,1,0) равна…
1) 1;
2) 2 ;
3) 3 ;
4)
5.
28.Какие из плоскостей параллельны между собой?
1 : х  у  3 z  1  0 ;
 2 : 2х  2 у  6z  7  0 ;
 3 : х  y  3z  6  0 ;
 4 : 2х  2 у  6z  7  0 .
1) 1 ,  3 ; 2) 1 ,  4 ;
3)  3 ,  4 ;
4)  2 ,  4 .
29. Плоскость 2 y  z  1  0 …
1) параллельна оси OX ;
2) параллельна плоскости YOZ ;
3) проходит через начало координат;
4) является координатной плоскостью YOZ .
30. Пусть вектор x в базисе e1 , e2 имеет координаты 4, 0. Тогда
координатами этого вектора в базисе e1  e1  2e2 , e2  3e1  4e2 будут…
1) 2, 1;
2) 10, 7;
3)  8, 4 ;
4) 1, 2.
31. Если операторы f
 1 2
 и
матрицы A  

1
0


имеет матрицу…
  1 0
 1
 ;
1) 
2) 
  5 2
1
и g в некотором базисе имеют соответственно
1 1 
 , то оператор f  2 g в этом же базисе
B  
2

1


2
;
0 
1 1 
 ;4)
3) 
2
1


  2  2

.
2 
 4