Л1-4 - MSTUCA

3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1
МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
Лабораторная работа выполняется на персональном компьютере (ПК) и включает следующие разделы:
1. Дискретизация непрерывных сигналов.
2. Восстановление непрерывных сигналов по их дискретным значениям с
использованием ряда Котельникова.
3. Восстановление непрерывных сигналов по их дискретным значениям с
использованием сплайновых функций.
4. Сравнительный анализ методов восстановления непрерывных сигналов
по их дискретным значениям.
Выполнение работы обеспечивается следующими программами:
программа расчета спектров сигналов, заданных аналитически, и произвольного вида;
программа интерполяции с использованием ряда Котельникова;
программа расчета базисных функций ряда Котельникова;
программа интерполяции на основе многочленов Лагранжа;
программа расчета базисных функций многочлена Лагранжа;
программа интерполяции с использованием сплайновых функций 1-4 степеней гладкости;
программа расчета базисных функций сплайновой интерполяции.
4
ВВЕДЕНИЕ
Восстановление непрерывного сигнала по его дискретным значениям является одной из операций, выполняемых в цифровых системах обработки сигналов.
В математическом плане эта операция сводится к описанию временной
функции сигнала s(t), заданной своими значениями в заданные моменты времени, с помощью функции  (t ) , принимающей те же значения в указанные моменты времени (рис.1). Функцию  (t ) называют интерполирующей, точки, в
которых заданы значения функции, узлами интерполяции.
Рис.1
Чаще всего интерполирующую функцию задают в виде многочлена
N
 (t )   ak k (t ),
(1)
k 0
где  k (t ) - базисные функции;
a k -постоянные коэффициенты.
В качестве систем базисных функций могут выбираться различные системы,
в том числе ортогональные.
При заданной совокупности базисных функций  k (t ) интерполирующая
функция  (t ) определяется только коэффициентами a k . Найти коэффициенты
можно, используя (1), составив систему уравнений, записанных для заданных
моментов времени (для которых известны значения сигнала)
N
s(t n )   ak k (t n ) ,
(2)
k 0
где tn – заданные моменты времени.
Выражение для a k имеет вид

(3)
ak  k ,

где  - определитель матрицы;
 k получается из  путем замены k-го столбца матрицы уравнения (1)
5
столбцом s(tk).
Таким образом, интерполирующая функция будет описываться выражением
N

(4)
 (t )   k  k (t ) .
k 0 
Раскладывая определитель  k по элементам k-го столбца, выражение для
a k запишем в виде
1 N
(5)
ak   s(t k ) kn ,
 n 0
где  kn - соответствующее алгебраическое дополнение.
С учетом (5) из (4) получим другую более удобную форму записи интерполяционного многочлена
N
 (t )   s(t k )Фk (t ) .
(6)
k 0
Как следует из (6), коэффициенты ряда представляют значения сигнала s(t)
в узлах интерполяции. Очевидно равенство
N
s(t n )   s(t n )Фk (t n ), n  0,1,2,..., N .
(7)
k 0
Функция Фk(t) должна удовлетворять условию
1, k  n
.
(8)
Фk (t n )  
0
,
k

n

Качество интерполяции функции при заданных узлах интерполяции зависит только от выбора системы интерполяционных многочленов.
В радиотехнике в качестве интерполирующей функции чаще всего выбирают ряд Котельникова.
Многочлены Лагранжа
Простейшим видом интерполирующей функции (1) является степенной
многочлен. Степенной многочлен, описывающий сигнал, запишем в виде
N
 (t )   ak t k .
(9)
k 0
Переходя к форме записи многочлена (7), выражение для базисных функций получим в виде (k  n)
N
t  tn
 k (t )  
.
(10)
n 0 t k  t n
Таким образом, интерполирующая функция  (t ) будет описываться выражением
N
N
t  tn
 (t )   s(t k )
,
(11)
k 0
n 0 t k  t n
6
представляет интерполяционный многочлен Лагранжа.
При постоянном шаге дискретизации сигнала
t1  t 0  t 2  t1  ...  t N  t N 1  h ,
обозначив t  t 0 / h  x , получим
xh( xh  h)...[xh  (k  1)h][ xh  (k  1)h]...(xh  Nh)
Фk (t ) 

kh(k  1)h......[( N  k )h]
(12)
1
x
(
x

1
)...(
x

N
)
 (1) N k C NK
.
xk
N!
Интерполяционный многочлен  (t ) совпадает с исходной функцией, описывающей сигнал s(t) в узлах интерполяции t 0 , t1 ,...t n . В остальных точках он
будет отличаться от s(t).
Отличие  (t ) от s(t) определяет ошибку интерполяции. Она оценивается неравенством
M N 1
(13)
s(t )   (t ) 
(t  t0 )(t  t1 )..(t  t N ) ,
( N  1)!
где M N 1  max s ( N 1) (t ) ; t [t0 , t N ] .
Ряд Котельникова
Для восстановления непрерывного сигнала s(t) по его дискретным значениям в радиотехнике используется ряд Котельникова. Выражение для него имеет
вид:
s(t ) 

 s(nT ) sin c / T (t  nT ),
n  
(14)
где T - интервал дискретизации, T  /m ,
m – максимальная частота в спектре сигнала,
sinc(x) = sinx/x.
Записанное выражение может рассматриваться как разложение непрерывного сигнала в ряд по ортогональной системе функций
 n (t  nT )  sin c / T (t  nT )
(15)
с коэффициентами, равными значениям сигнала в выбранные моменты времени.
Если сигнал определен на интервале [0, Tc], то число интервалов разбиения
равно
T T
N c  c m,
(16)
T

а выражение для ряда Котельникова примет вид
7
N 1
s(t )   s(nT ) sin c / T (t  nT ) .
(17)
n 0
Сплайновая интерполяция
Одним из видов интерполирующей функции является сплайновая функция
или сплайн. Сплайн описывает заданную функцию на каждом частном интервале дискретизации. Так, если функция задана на интервале [t0, tN], который
разбит на частные интервалы [tk, tk+1], то сплайны дают описание функции на
каждом частном интервале [tk, tk+1], а их совокупность описывает функцию на
всем интервале ее задания.
Интерполирующая функция  k (t ) называется сплайном, если она непрерывна и описывает функцию на интервале разбиения, а на концах интервала
имеет  непрерывных производных. Для сплайна, представляющего степенной многочлен, эти условия сводятся к следующему:
на каждом интервале дискретизации [tk, tk+1] функция является многочленом степени n
n
 k (t )   akl (t  t k ) l , t  [t k , t k 1 ] ,
l 0
(18)
имеет на концах интервала (n-) непрерывных производных, т.е.
 k(  ) (t k   )   k(  ) (t k   ) при  0,  = 0, 1,…, n-.
В этом случае говорят, что сплайн обладает n- степенью гладкости.
Предельный вариант сплайна – кусочно-линейная функция, применяемая
при линейной интерполяции. Такую функцию можно рассматривать как
сплайн первой степени (n=1) дефекта 1 (=1).
Наибольшую точность интерполяции можно достигнуть с использованием
локальных сплайнов. В качестве примера приведем сплайновые функции на основе степенных многочленов второй степени гладкости.
Непрерывный сигнал описывается на каждом частном интервале разбиения
многочленом вида (6). Базисные функции определяются следующими выражениями.
На первом интервале:
Ф1 ( )  1  1,5  0,5 2 ,
Ф2 ( )  2   2 ,
Ф3 ( )  0,5  0,5 2,
Фl ( )  0, l  4,   1 / h(t  t2 ).
где h – интервал дискретизации.
На k-м интервале [t k , t k 1 ], k  2,..., N  2, N  4 :
8
Фk 1 ( )  0,5  0,5 2  1,5 3  2,5 4   5 ,
Фk ( )  1   2  4,5 3  7,5 4  3 5 ,
Фk 1 ( )  0,5  0,5 2  4,5 3  7,5 4  3 5 ,
Фk 2 ( )  1,5 3  2,5 4   5 ,
Фl ( )  0, l  k  2; l  k  2,   1 / h(t  tk ).
На последнем интервале:
ФN 2 ( )  0,5  0,5 2 ,
ФN 1 ( )  1   2 ,
ФN ( )  0,5  0,5 2 ,
Фl ( )  0, l  N  3,   1 / h(t  t N ).
Выбор метода интерполяции зависит прежде всего от требований к точности интерполяции при решении конкретной задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. А.Н. Денисенко. Цифровые сигналы и фильтры. – М: Медпрактика М,
2008.
2. А.Н. Денисенко. Теория электрических цепей. – М: МГТУ ГА, 2009.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Понятие интерполяции сигнала.
2. Многочлен Лагранжа, его описание.
3. Ряд Котельникова.
4. Понятие сплайновой интерполяции.
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью работы является закрепление знаний, полученных на лекциях, углубление понимания физической сущности рассматриваемых понятий и явлений,
получение четкого представления о методах синтеза ЦФ и анализа прохождения сигналов через них, получение навыков самостоятельного анализа характеристик сигнала на выходе линейной цепи, закрепление навыков работы на ПК.
9
2. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ
1. К работе допускаются студенты, прошедшие собеседование (коллоквиум)
с преподавателем.
Для подготовки к выполнению работы предполагается выдача индивидуального задания по теме лабораторной работы с проверкой качества его выполнения в процессе проведения коллоквиума.
2. Работа выполняется каждым студентом самостоятельно с использованием исходных данных, выданных преподавателем.
3. По окончании работы проводится проверка руководителем полноты
выполненных исследований.
4. Отчет о выполненных исследованиях представляется в соответствии с
установленной формой.
3. ОТЧЕТНОСТЬ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
1. Отчет по работе выполняется в соответствии с установленными требованиями на листах формата А4 и должен содержать:
- название работы и выполняемых пунктов задания;
- структурную схему лабораторной установки;
- результаты исследований (в виде графиков и рисунков);
- выводы по каждому пункту и работе в целом.
2. В выводах по работе должны содержаться результаты анализа характеристик линейных цепей и их зависимости от значений параметров цепи, а также
влияние параметров цепей на прохождение сигналов.
Форма отчета должна соответствовать приведенному образцу (стр. 34).
Задание на лабораторную работу
1. В соответствии с выданным заданием определить спектр сигнала с использованием программного обеспечения лабораторной работы «Спектральный
анализ сигналов».
2. Выбрать интервал дискретизации сигнала и получить его дискретные
значения.
3. Восстановить непрерывный сигнал по его дискретным значениям с использованием:
-многочлена Лагранжа,
-ряда Котельникова,
-сплайновых функций 1-4 степеней гладкости.
10
4. Получить базисные функции при различных методах интерполяции.
5. Провести сравнительный анализ качества интерполяции с использованием различных методов.
6. Провести исследования по пп 1-5 при выборе сигнала, взятого из библиотеки сигналов и произвольного вида.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
Сигнал из библиотеки
11
Сигнал произвольного вида
12
Базисные функции
13
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ 2, 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Лабораторные работы включают следующие разделы:
1. Выбор схемы цифрового фильтра, соответствующего аналоговой цепи-прототипу.
2. Синтез цифрового фильтра с заданной частотной характеристикой.
3. Анализ прохождения сигнала через цифровой фильтр.
Лабораторные работы выполняются на ПК
Схема лабораторной установки изображена на рис.1, где обозначено:
АЦП – аналогово-цифровой преобразователь,
ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь.
Рис.1
При отсутствии преобразователей сигналов на входе (АЦП) и выходе
(ЦАП) предусмотрено программное моделирование сигнала на входе и интерполяция сигнала на выходе.
Выполнение работ обеспечивается:
программой рекурсивных и нерекурсивных цифровых фильтров;
программой расчета прохождения сигналов через цифровые фильтры;
программой расчета характеристик линейной цепи;
программой расчета прохождения сигнала через аналоговую цепь.
14
Цель и методика проведения работ
Целью работ является закрепление знаний, полученных на лекциях, углубление понимания физической сущности рассматриваемых понятий и явлений,
получение четкого представления о методах синтеза ЦФ и анализа прохождения сигналов через них, получение навыков самостоятельного анализа характеристик сигнала на выходе линейной цепи, закрепление навыков работы на ПК.
Методика проведения работ и отчетность по ним описаны в методических
указаниях к работе 1.
ВВЕДЕНИЕ
Линейная цепь в цифровом исполнении носит название цифрового фильтра
(ЦФ). Называется фильтром, так как при ее описании и анализе обычно используется частотная характеристика, описывающая фильтрующее свойство
цепи. Цифровой фильтр реализуется как программа компьютера, обеспечивающая линейную операцию над сигналом. С расширением областей применения
компьютерной обработки сигналов расширяется и область применения ЦФ.
При описании и анализе ЦФ обычно используются характеристики, подобные характеристикам для аналоговых цепей:
импульсная характеристика, описывающая свойства фильтра во временной
области,
частотная характеристика, дающая описание фильтра в частотной области,
системная функция, описывающая свойства фильтра в области параметра z.
Импульсная характеристика ЦФ описывает реакцию цепи (отклик цепи)
на воздействие в виде единичного импульса. Она представляет последовательность чисел на выходе фильтра при подаче на вход единичного импульса.
Представляя дискретный сигнал на входе как взвешенную последовательность единичных импульсов, с учетом принципа суперпозиции получим выражение для сигнала на выходе ЦФ в виде дискретной свертки импульсной
характеристики фильтра h(kT) и сигнала на входе u1(kT)
n
n
k 0
k 0
u2 (nT )   u1 (kT )h(nT  kT )   u1 (nT  kT )h(kT ),
(1)
аналогично свертке, определяющей сигнал на выходе аналоговой цепи.
Часто анализ ЦФ наиболее удобно проводить в области параметра z с использованием z-преобразования импульсной характеристики.
Z-преобразование импульсной характеристики ЦФ определяется выражением

H ( z )   h(nT ) z n ,
n 0
(2)
15
называется системной функцией; называется так потому, что она определяет
структуру фильтра (системы).
В общем случае выражение для системной функции представляет рациональную дробь относительно z или z-1
a0  a1 z 1  a2 z 2  ...  a M z  M
H ( z) 
,
(3)
1  b1 z 1  b2 z 2  ...  bN z  N
где ak, bk – постоянные коэффициенты.
Как следует из свойств z-преобразования, дискретной свертке во временной
области (1) соответствует произведение z-преобразований исходных функций.
Таким образом, получим соотношение, связывающее z-преобразования сигналов на входе и выходе фильтра в виде
U 2 ( z )  H ( z )U 1 ( z ) ,
(4)
где U1(z), U2(z) – z -преобразования сигналов на входе и выходе ЦФ.
Это свойство z-преобразования делает его исключительно полезным при
анализе и синтезе ЦФ.
Обратное z–преобразование U2(z) позволяет получить выражение для сигнала на выходе фильтра.
Импульсной характеристике ЦФ (характеристике во временной области) cоответствует частотная характеристика (характеристика в частотной области).
Выражение для нее можно получить, если в выражении для системной функции (3) учесть соотношение z= e iT .
Частотная характеристика ЦФ является комплексной величиной
H ( )  H ( ) e i ( ) .
Модуль частотной характеристики фильтра – АЧХ определяется как
N
H ( ) 
M
c c
n 0 m 0
N М
d
n 0 m 0
n
n
m
sin n  m T 
d m cosn  m T 
,
(5)
где ak,bk – коэффициенты в выражении для системной функции.
Аргумент частотной характеристики представляет ФЧХ фильтра:
M
 ( )  arctg
 am sin( m)
m 0
M
a
m 0
m
cos(m)
N
 arctg
b
n 0
N
n
b
n 0
n
sin( n)
cos(n)
.
(6)
Рассмотренные характеристики ЦФ дают его описание в различных областях анализа – временной, частотной и области параметра z . Все они взаимосвязаны. Выбор же той или иной характеристики при описании и
16
анализе ЦФ определяется прежде всего решаемой задачей и условиями упрощения ее решения.
Структуру ЦФ наиболее очевидно определяет системная функция.
Синтез цифрового фильтра (ЦФ) может производиться исходя из его соответствия аналоговому фильтру-прототипу или прямым методом – обеспечением заданной частотной характеристики непосредственно.
Выбор ЦФ, соответствующего аналоговой цепи
1. Аналоговая цепь описывается дифференциальным уравнением
Неоднородное дифференциальное уравнение N-го порядка, описывающее
линейную цепь, имеет вид
(1)
d N u 2( N ) (t )  d N 1u 2( N 1) (t )  ...  d1u 2 (t )  d 0 u 2 (t ) 
,
(7)
(M )
( M 1)
(1)
 cM u1 (t )  cM 1u 1
(t )  ...c1u1 (t )  c0 u1 (t )
где M<N.
Взяв преобразование Лапласа от левой и правой частей уравнения, можно
получить выражение для передаточной функции цепи
c0  c1 p  ...  cM p M
H ( p)  U 2 ( p) / U 1 ( p) 
.
d 0 d1 p  ...  d N p N
(8)
Выбор ЦФ, соответствующего аналоговой цепи, основан на замене дифференциального уравнения разностным.
Первая производная по времени оценивается конечной разностью
u (nT )  u (nT  T )
 du(t ) 
,
(9)

 
T
 dt  t nT
где T – интервал дискретизации.
С учетом (9) от дифференциального уравнения (7) можно перейти к разностному того же порядка
u2 (nT )  b1u2 (nT  T )  ...  bN u2 (nT  NT ) 
 a0u1 (nT )  a1u1 (nT  T )  ...  aM u1 (nT  MT ).
Уравнение (10) задает алгоритм ЦФ:
u2 (nT )  a0u1 (nT )  a1u1 (nT  T )  ...  aM u1 (nT  MT ) 
(10)
 b1u 2 (nT  T )  ...  bN u 2 (nT  NT ).
(11)
Схема ЦФ, реализующая записанный алгоритм, представлена на рис. 2. На
схеме элементы задержки обозначены в терминах z-преобразования как z-1.
Это схема рекурсивного фильтра. В нем для определения сигнала на выходе
используются значения сигнала на входе и значения сигнала на выходе в
предыдущие моменты времени.
17
Соотношения, связывающие параметры ЦФ и коэффициенты дифференциальных уравнений первых трех порядков, имеют вид:
Для уравнений первого порядка:
c  c 0T
c1
d1
a0  1
, a1  
, b1 
.
(12)
d1  d 0 T
d1  d 0 T
d1  d 0 T
Рис.2
Для уравнений второго порядка:
с2  с1T  c0T 2
a0 
,
d 2  d1T  d 0T 2
2c2 c1T
c2
, a2 
,
a1  
2
d 2  d1T  d 0 T
d 2  d1T  d 0 T 2
d2
2d 2  d 1T
, b2  
.
b1 
2
d 2  d 1 T  d 0T 2
d 2  d1T  d 0 T
Для уравнений третьего порядка:
c 3 c 2T  c1T 2  c0T 3
3c 3 2c 2T  c1T 2
a0 
, a1  
,
d 3  d 2T  d1 T 2  d 0T 3
d 3  d 2T  d1 T 2  d 0T 3
3c 3 c 2T
c3
,
,
a2 
a


3
d 3  d 2T  d1 T 2  d 0T 3
d 3  d 2T  d1 T 2  d 0T 3
3d 3  2d 2T  d1 T 2
3d 3  d 2T
b1 
,
,
b


2
d 3  d 2T  d1 T 2  d 0T 3
d 3  d 2 T  d1T 2  d 0T 3
d3
.
b3 
d 3  d 2T  d1 T 2  d 0T 3
(13)
(14)
18
Используя приведенные соотношения и полученные аналогично для цепей более высокого порядка, можно перейти от аналоговой цепи, заданной
дифференциальным уравнением, к схеме в общем случае рекурсивного ЦФ.
2. Аналоговая цепь описывается импульсной характеристикой
Фильтр задается импульсной характеристикой цепи-прототипа. По заданной характеристике определяется дискретная импульсная характеристика ЦФ
h(kT ) . Она позволяет получить нерекурсивную схему фильтра (рис. 3).
n
n
k 0
k 0
u2 (nT )   u1 (kT )h(nT  kT )   u1 (nT  kT )h(kT ).
(15)
В схеме ЦФ для получения сигнала на выходе используются значения
только сигнала на входе. Такие фильтры называются нерекурсивными.
Анализ алгоритма нерекурсивного фильтра показывает, что ЦФ может
быть выполнен как нерекурсивный только в том случае, когда импульсная характеристика его конечна или когда при ее использовании можно ограничиться конечным числом членов в (15).
Z-преобразование импульсной характеристики ЦФ дает системную функцию, которая соответствует схеме рекурсивного фильтра.
Синтез ЦФ с заданной частотной характеристикой
При синтезе ЦФ в качестве исходной обычно задается частотная характеристика. Она берется за основу и при прямом методе синтеза фильтра.
Прямой метод синтеза сводится к нахождению функции, аппроксимирующей заданную частотную характеристику так, чтобы получить системную
функцию цифрового фильтра H(z) в виде дробно-рационального выражения относительно z-1 или z. Как правило, используется метод частотной выборки.
Суть метода заключается в следующем. Заданная частотная характеристика
дискретизируется. Получив выборку из частотной характеристики, с помощью ДПФ перейдем к импульсной характеристике. На основе найденной импульсной характеристики строится нерекурсивная схема ЦФ (рис. 2).
Полученную импульсную характеристику фильтра hN(nT)
можно представить в виде произведения:
h N(nT) = h(nT)w(nT),
(16)
где h(nT) – дискретная характеристика, полученная как обратное преобразование Фурье исходной характеристики,
w(nT) – временная последовательность конечной длительности – функция
окна.
19
Рис. 3
При простом ограничении импульсной характеристики во времени функция окна w(nT) представляет единичную функцию в пределах интервала ограничения – функцию прямоугольного окна.
Прямоугольное окно
1 при 0  k  N  1
w(k )  
.
0
при
k

0
,
k

N

1

(17)
Откорректировать частотную характеристику полученного ЦФ можно, используя не прямоугольное окно, которое соответствует простому ограничению импульсной характеристики во времени, а функцию иного вида, которая в
свертке дает результат, позволяющий сгладить частотную характеристику.
Одним из наиболее распространенных временных окон является окно
Хемминга.
Окно Хемминга
2n

при 0  n  N  1
0,54  0,46 cos
(18)
w(n)  
.
N 1

0 при n  0, n  N  1
20
ЛИТЕРАТУРА
1. А.Н. Денисенко. Цифровые сигналы и фильтры. – М: Медпрактика М,
2008.
2. А.Н. Денисенко. Теория электрических цепей. – М: МГТУ ГА, 2009.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Понятие ЦФ.
2. Импульсная характеристика ЦФ.
3. Описание прохождения сигнала через линейную цепь с использованием
импульсной характеристики цепи.
4. Системная функция ЦФ.
5. Синтез рекурсивной схемы ЦФ, соответствующего аналоговой цепипрототипу.
6. Синтез нерекурсивной схемы ЦФ, соответствующего аналоговой цепипрототипу.
7. Синтез ЦФ с заданной частотной характеристикой.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2
АНАЛИЗ НЕРЕКУРСИВНОГО ЦФ
Задание на лабораторную работу
1. В соответствии с выданным заданием определить импульсную характеристику аналоговой цепи (с использованием программного обеспечения лабораторной работы «Линейные цепи»).
2. Дискретизируя полученную импульсную характеристику, записать выражение для импульсной характеристики ЦФ.
3. Получить схему нерекурсивного ЦФ.
4. Получить амплитудно-частотную характеристику ЦФ.
5. Сравнить полученную характеристику ЦФ с характеристикой аналоговой цепи. Оценить влияние значения интервала дискретизации на АЧХ фильтра.
6. Исследовать прохождение сигнала через аналоговую цепь и полученного
ЦФ. Провести сравнительный анализ сигналов на выходе фильтров.
7. Сделать выводы по проведенным исследованиям.
21
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
Аналоговая цепь и ее характеристики
Схема ЦФ
Импульсная характеристика ЦФ
22
Амплитудно-частотная характеристика ЦФ
Сигналы на входе и выходе ЦФ
23
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3
АНАЛИЗ РЕКУРСИВНОГО ЦФ
Задание на лабораторную работу
1. В соответствии с выданным заданием определить параметры рекурсивного фильтра и получить схему рекурсивного ЦФ.
2. Используя программное обеспечение лабораторной работы, получить
амплитудно-частотную и импульсную характеристики ЦФ.
3. Исследовать прохождение сигнала через ЦФ.
4. Сделать выводы по проведенным исследованиям.
ПРИМЕР ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ
Аналоговая цепь задана дифференциальным уравнением
d 2u 2
du2

3
 3u 2 (t )  Ku1 (t ) ,
dt 2
dt
где K – постоянный коэффициент.
Коэффициенты разностного уравнения определяются соотношениями (13)
введения:
a0 =KT2/1+3T+3T2 , b1 =2+3T/1+3T+3T2, b2 =-1/1+3T+3T2 .
Соответствующее разностное уравнение имеет вид
(1  3T  3T 2 )u 2 (nT )  (2  3T )u 2 (nT  T )  u 2 (nT  2T ) 
 KT 2 u1 (nT )
.
Разностное уравнение определяет системную функцию ЦФ
KT 2
H ( z )  2
z  (2  3T ) z 1  (1  3T  3T 2 )
Соответствующая схема ЦФ изображена на рисунке.
24
.
На рисунке обозначено: a0=KT2 /(1+3T+3T2), b1=(2+3T)/(1+3T+3T2),
b2=- 1/(1+3T+3T2).
Импульсная характеристика ЦФ
АЧХ цифрового фильтра
25
Прохождение сигнала через ЦФ
26
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Лабораторная работа включает следующие разделы:
1. Выбор оптимального цифрового фильтра.
2. Анализ прохождения сигнала через оптимальный цифровой
фильтр.
Выполнение работы обеспечивается:
программой расчета характеристик цифрового фильтра;
программой расчета прохождения сигнала через цифровой
фильтр;
программой расчета характеристик аналоговых сигналов;
программой расчета характеристик аналоговых цепей.
Цель и методика выполнения работы
Целью работы является закрепление знаний, полученных на лекциях,
углубление понимания физической сущности рассматриваемых понятий, получение четкого представления о выборе оптимальной схемы ЦФ;
получение навыков самостоятельного решения при выборе оптимальной
схемы ЦФ;
закрепление навыков работы на ПК.
Методика выполнения лабораторной работы и отчетность по ней описаны в
методических указаниях к лабораторной работе 1.
ВВЕДЕНИЕ
Для обеспечения качественного приема сигнала на фоне шума необходимо
прежде всего выбрать такие характеристики цепей приемника, при которых
влияние сопутствующих шумов будет минимальным. Цепь с такой характеристикой называют оптимальной. При описании цепи чаще всего используется
частотная характеристика, вследствие этого оптимальную цепь чаще всего
называют оптимальным фильтром.
Критерии оптимальности фильтра могут быть различными, зависят они в
первую очередь от задач, решаемых при приеме сигнала. Если решается задача
обнаружения сигнала на фоне шума, то в качестве критерия оптимальности
27
целесообразно принять максимум отношения сигнал/шум на выходе цепи при
заданном его значении на входе. С использованием этого критерия и определяются условия оптимальной фильтрации сигнала в ЦФ в дальнейшем.
1. Постановка и содержание задачи оптимизации линейных цепей
Оптимизация линейной цепи заключается в определении такой ее характеристики, которая обеспечивает получение максимального значения отношения
сигнал/шум на выходе цепи в заданный момент времени t0
s 2 t 
(1)
q  2 20 ,
M  2 t 
где M{…} - символ усреднения.
Шум на входе цепи чаще всего рассматривается как белый. На практике
это означает, что ширина полосы частот, занимаемая шумом, значительно
больше ширины полосы пропускания цепи.
Такая постановка задачи оптимизации позволяет определить импульсную
характеристику оптимальной цепи в виде
ht   s1 t 0  t .
(2)
Таким образом, максимум отношения сигнал/шум на выходе обеспечивается линейной цепью, имеющей импульсную характеристику, определяемую видом сигнала: она описывается временной функцией сигнала, смещением ее во
времени c зеркальным отображением. Цепь, имеющая импульсную характеристику, описываемую (2), называется согласованной цепью или согласованным
фильтром. Таким образом, при обнаружении сигнала на фоне белого шума оптимальный фильтр представляет согласованную с сигналом цепь.
Поясняет получение такой характеристики рис.1: импульсная характеристика такой цепи с точностью до постоянной величины является зеркальным
отражением сигнала, смещенного на интервал t0 по оси времени.
Рис. 1
Если сигнал s1 t  имеет спектральную плотность S1   , то смещению во
времени на t 0 соответствует умножение спектральной плотности на множитель
задержки e i t (что следует из свойств преобразования Фурье).
0
28
Таким образом,
(3)
s1 t  t0   S1  e i t ,
где символ  означает соответствие по Фурье.
Величине s1 t 0  t  во временной области
соответствует комплексноi t
*
сопряженная величина S1  e
в частотной области. Следовательно, частотная характеристика согласованного фильтра H(ω), обеспечивающего максимум отношения сигнал/шум, описывается выражением

(4)
H    S1   ei t .
При t0 = 0 имеем

H    S1   ,
(5)
0
0
0
т.е. частотная характеристика оптимальной цепи представляет величину, комплексно сопряженную с спектральной плотностью сигнала.
Спектр сигнала на выходе такого фильтра определяется выражением

S 2    S1 ( ) H ( )  S1 ( ) S1    W1 ( ),
(6)
где W1() – спектральная плотность энергии сигнала на входе.
Спектральной плотности энергии W1() соответствует корреляционная
функция сигнала на входе

S1 ( ) S1    W1 ( )  R( )   s1 (t ) s1 (t   )dt .

(7)

Таким образом, согласованный фильтр выполняет функцию коррелятора,
формирует автокорреляционную функцию сигнала на входе.
Максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра
определяется из (7) с учетом следующего соотношения

 s t
2
1
0
t0
0
 u du   s12 t dt  E (t 0 ) ,
(8)

где E(t0) – энергия сигнала в интервале времени до момента t0.
Выражение (8) определяет энергию сигнала за интервал времени до момента t 0 .
Таким образом, максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра равно
s 22 t 0  E (t 0 )
q
=
,
(9)
2
N0
т.е. максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра
определяется только энергией сигнала и спектральной плотностью мощности
шума на входе. Очевидно, что увеличение значения этого отношения (при заданных характеристиках шума) возможно только за счет увеличения энергии
сигнала на входе.
29
Используя общую постановку задачи оптимизации, определим условия оптимальной цифровой фильтрации, сформулируем подход к выбору оптимальной схемы ЦФ.
2. Оптимальные ЦФ
Импульсная характеристика оптимального фильтра определяется из (2),
которая является зеркальным отображением сигнала (рис. 2)
ht   s1 t 0  t  .
Рис. 2
От полученной импульсной характеристики аналогового согласованного
фильтра можно перейти к дискретной импульсной характеристике ЦФ – h(nT).
Она и определяет схему согласованного ЦФ, это схема нерекурсивного фильтра.
Таким образом, импульсная характеристика оптимального ЦФ определяется
как
hnT   s1 t 0  nT  .
(10)
Подставляя это выражение в интеграл свертки, описывающий сигнал на
выходе, получим

s 2 t    s1 u s1[u  (t  t 0 )]du.
(11)
Как следует из записанного выражения, сигнал на выходе согласованного
фильтра представляет автокорреляционную функцию сигнала на входе.
Так для прямоугольного импульса автокорреляционная функция имеет вид
треугольного импульса на оси смещения. Сигнал на выходе оптимального фильтра, определяемый (11), показан на рис. 3.
0
30
Рис. 3
Значение t0 удобнее брать совпадающим с моментом окончания сигнала
на входе фильтра. Однако сигнал может описываться функцией, определенной
на всей временной оси. В этом случае, чтобы получить импульсную характеристику физически реализуемого фильтра, длительность импульсной характеристики должна быть ограничена так, чтобы выполнялось условие h(t)=0 при
t<0 . Таким образом, импульсная характеристика должна быть смещена в область положительных значений аргумента и ограничена по времени настолько,
чтобы не заходила за начало координат.
Полученная дискретная импульсная характеристика позволяет определить сигнал на выходе ЦФ с использованием дискретной свертки
N
N
k 0
k 0
u2 (nT )   u1 (kT )h(nT  kT )   u1 (nT  kT )h(kT ),
(12)
где T – интервал дискретизации,
u1(nT) – сигнал на входе.
Выражение (12), в котором используется импульсная характеристика,
определенная из (10), описывает операцию оптимальной фильтрации сигнала с
использованием КИХ фильтра (фильтра с ограниченной импульсной характеристикой). Схема такого фильтра представлена на рис. 3.
ЛИТЕРАТУРА
А.Н. Денисенко. Цифровые сигналы и фильтры. – М.: Медпрактика М,
2008.
А.Н. Денисенко. Теория электрической связи. – М: МГТУ ГА, 2010.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Понятие оптимальной фильтрации.
2. Критерии оптимальности фильтра.
3. Характеристики оптимальной (согласованной) линейной цепи.
4. Понятие оптимального ЦФ.
5. Последовательность выбора оптимального ЦФ.
31
Задание на лабораторную работу
1. Для заданного сигнала (задается преподавателем) определить импульсную характеристику оптимального аналогового фильтра.
2. Определить импульсную характеристику соответствующего ЦФ.
3. Изобразить схему оптимального ЦФ. Используя программное обеспечение лабораторной работы, получить амплитудно-частотную характеристику
ЦФ.
4. Сравнить полученную амплитудно-частотную характеристику ЦФ с
амплитудным спектром исходного сигнала.
5. Оценить влияние значения интервала дискретизации на АЧХ фильтра.
6. Используя программу лабораторной работы, получить сигнал на выходе
оптимального ЦФ.
7. Получить корреляционную функцию заданного сигнала и сравнить ее с
сигналом на выходе оптимального ЦФ.
8. Сделать выводы по результатам проведенных исследований.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
Сигнал и его характеристики
32
Импульсная характеристика оптимального ЦФ
T
0, T, 2T, 3T, 4T, 5T, 6T, 7T, 8T
h(kT) 0, 0,03; 0,14; 0,56; 0; -0,56; -0,14; -0,03; 0
АЧХ оптимального ЦФ
Отличие АЧХ цифрового фильтра от амплитудного спектра сигнала объясняется выбором значения T: при меньшем значении T это отличие будет меньше.
Сигналы на входе и выходе оптимального ЦФ
33
Сигнал на выходе ЦФ после интерполяции с использованием
ряда Котельникова
Сигнал на выходе ЦФ имеет вид корреляционной функции сигнала.
Внимание: АЧХ и корреляционная функция являются четными функциями, для аналоговой цепи их графики построены только для положительных
значений аргумента, для ЦФ – для всех значений (на всей оси).
34
Образец
Московский государственный технический университет гражданской авиации
Кафедра ОРТЗИ
Отчет по лабораторной работе №
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Выполнил: студент 2-го курса гр.
Иванов И.И.
Преподаватель:
Москва 201___
Сидоров С.С.