Вопросы к годовому курсу теоретической физики для 4

Вопросы к годовому курсу теоретической физики для 4-го курса ФИВТ. Май 2007.
Лекции: Манько Владимир Иванович
Семинары: Осипов Дмитрий Львович
1. Дираковская формулировка квантовой механики. Обозначения |ψ>, <ψ|, <x|ψ>,
ψ(x). Стр. I.10– I.11.
2. Уравнение Шрёдингера (эволюции) для |ψ>. Стр. I.13.
3. Уравнение Шрёдингера для спектра энергий |ψ>. Стр. I.14.
4. Условие полноты для состояний с заданной энергией. Стр. I.17.
5. Оператор эволюции (1.31). Стр. I.18.
6. Среднее значение наблюдаемой (1.34). Стр. I.19.
7. Производная оператора по времени (1.38). Стр. I.21.
8. Интеграл движения (равенство нулю полной производной от интеграла движения).
9. Оператор скорости. Стр. I.22.
10. Скобка Пуассона. Упражнения 1,2 и 3. Стр. I.24.
11. Свойства скобок Пуассона (1.49), (1.50). Стр. I.25.
12. Квантование: скобка – коммутатор по правилу (1.51). Стр. I.25.
13. Вычислить коммутаторы упражнений 1 и 2 и (1.53). Стр. I.26.
14. Правильна ли формула (expA)(expB)=exp(A+B+½[A,B] )? Если правильна, то при
каких условиях на операторы матриц A и B? Стр. I.28.
15. Доказать унитарность оператора эволюции при условии эрмитовости
гамильтониана. Стр. I.30.
16. Уравнение Гейзенберга для оператора (1.66). Стр. I.32.
17. Операторы координаты и импульса (1.74) и (1.75). Пояснить (1.78), (1.81) и (1.83).
18. Упражнение на стр. I.37. Получить (1.86).
 

 
19. Ряд Тейлора в форме: exp( ipa ) (r )   (r  a ) . Доказать. Стр. I.38.
20. Оператор трансляции: упражнения 1–3. Стр. I.39.
 
 
21. Для оператора Q(a )  exp( ia  p) найти результат упражнения на стр. I.42.
 
 
22. Объяснить формулу  ( p  p )  p p  . Стр. I.43.
23. Доказать (1.102) упражнения на стр. I.44.
24. Доказать (1.104) упражнения на стр. I.45.
25. Получить Уравнение Шрёдингера в импульсном представлении (1.109). Стр. I.47.
26. Нати распределение по импульсам в δ-потенциале для связанного состояния. Стр.
I.48.
 
27. Операторы a и a  , спектр энергий осциллятора. Стр. I.53–56.
28. Возбуждённые состояния осциллятора, включая (2.29). Стр. I.57–58.
29. Основное состояние осциллятора в координатном представлении (2.32). Стр. I.58.
30. Получить для n-го состояния осциллятора <(Δx) 2><(Δp) 2>=ђ2(n+½) (2.39). Стр.
I.60.
31. Когерентные состояния (2.40), (2.45) и (2.46). Стр. I.61–62.
32.
33. Доказать полноту когерентных состояний (2.48). Стр. I.63.
34. Свойства матрицы плотности. Стр. I.72–73.
35. Для двух чистых состояний проверить принцип суперпозиции (3.37). Стр. I.76.
36. Получить уравнение эволюции матрицы плотности (3.42). Стр. I.77.
37. Рапределение и энтропия (Шеннона) (3.48) и (3.49). Энтропия фон Неймана (3.48) и
(3.49). Стр. I.79–80.
38. Оператор плотности системы при температуре T (3.57). Статистическая сумма Z и
средняя энергия (3.58). Стр. I.82.
39. Уравнение на матрицу плотности в координатном представлении (3.68). Стр. I.84.
40. Функция Вигнера (4.7) и (4.8). Упражнение: получить (4.8).
41. Уравнение Мойяла (4.28). Стр. I.92.
42. Функция Вигнера основного состояния осциллятора (4.36) и первого
возбуждённого состояния (4. 42). Стр. I.95–96.
43. Томограмма основного состояния осциллятора (4.43) и первого возбуждённого
состояния (4. 46). Стр. I.96–97.
44. Доказать связь функции Вигнера и томограммы (4.49). Стр. I.97.
45. Упражнение на стр. I.99.
46. Получить уравнение эволюции томограммы осциллятора (4.69). Упражнение на
стр. I.104.
47. Упражнения 1,2. на стр. I.126.
48. Определение спиновой томограммы (5.68). Пример: (5.71) и (5.72). Стр. I.129.
49. Сепарабельные и перепутанные состояния (6.1). Стр. I.134 и I.136.
50. Критерий сепарабельности. Стр. I.136 и I.137.
51. Состояние Вернера. Стр. I.137 и I.139.
52. Символы операторов и звёздочное произведение. Стр. II.12 и II.13.
53. Ядро звёздочного произведения (8.30). Стр. II.14.
54. Томографический символ (8.36) – (8.38). Стр. II.15.
55. Упражнение 2 и 3. Стр. I I.16.
56. Упражнение 4. Стр. II.16.
57. Упражнение 5. Стр. II.16.
58. Доказать (8.46). Стр. II.18.
59. Доказать (8.53). Стр. II.19.
60. Доказать (8.62). Стр. II.21.
61. Получить ядро (8.67). Стр. II.22.
62. Упражнение 6,7. Стр. II.22.
63. Упражнение 8,9. Стр. II.22.


64. Выразить след Tr  и Tr  2 через функцию Вигнера. Упражнение 11 и 12 на стр.
II.23.
65. Упражнение 13. Стр. II.23.
66. Получить (8.72). Стр. II.24.
67. Определение функции Хусими (8.102). Стр. II.29.
68. Определение функции Глаубера-Сударшана (8.115)- (8.116). Стр. II.31.
df
f
f U f
 0 =>
p


 0 , m=1. Является ли f(q,p,t)
69. Уравнение Лиувилля
dt
t
q q p
интегралом движения?
70. Выразить вероятность квантового перехода через функцию Вигнера (11.16). Стр.
II.79.
71. Выразить вероятность квантового перехода через томограмму (11.17). Стр. II.80.
72. Соотношение неопределённостей (15.37) (n=2). Стр. II.148.
73. Упражнения 2,3. Стр. II.149.
74. Связь томограммы с волновой функцией. Стр. II.150.
75. Свойства энтропии Шеннона:
1.H (1,2)  H (1)
2.H (1,2)  H (1)  H (2)
76. Относительная энтропия для распределений P(n) и Q(n),
P ( n)
H r P(n), Q(n)   P(n) ln
Q ( n)
n
и доказательство её неотрицательности (для случая n=1,2).
1

q
ln  P(n)   при q  1 .
77. Получить предел энтропии Рении R(q) 
1 q  n

78. Из неотрицательности относительной энтропии получить свойство «сильной
субаддитивности» энтропии Шеннона, отвечающей совместной функции
распределения P(n1, n2 ,n3) трех случайных величин
H (1,2,3)  H (2)  H (1,2)  H (2,3)
где H(2), H(1,2) и H(2,3) энтропии, отвечающие маргинальным распределениям
P12 (n1 , n 2 )   P(n1 , n 2 , n3 )
n3
P23 (n 2 , n3 )   P(n1 , n 2 , n3 )
n1
P2 (n 2 )   P(n1 , n 2 , n3 )
n1n2

  

79. Зная интегралы движения свободной частицы q 0 (t )  q  pt , p 0 (t )  p , масса m=1,
ђ=1, получить функцию Грина уравнения
 i( x  x ) 2 
1
 .
Шрёдингера G( x, x , t ) 
exp 
2t
2it


80. Зная функцию Грина осциллятора (ω=m=ђ=1)
ixy 
1
i
G ( x, y , t ) 
exp  ctgt ( x 2  y 2 ) 

sin t 
2i sin t
2
найти статистическую сумму Z(t) и матрицу плотности осциллятора при
температуре T.
81. Вычислить энтропию Шеннона Sx для распределения по координатам в основном
состоянии осциллятора и Sp распределения по импульсам в этом состоянии.
Убедиться, что S x  S p  ln(  e) . Вычислить энтропию фон Неймана этого
состояния – Tr  0 0 ln  0 0 .
82. Пространство состояний n различных частиц (7.10). Стр. I.143.
83. Пространство состояний системы n тождественных частиц (7.22). Стр. I.147.
84. Доказать (7.23) для системы ферми-частиц – детерминант. Стр. I.147.
85. Доказать (7.23) для системы бозе-частиц – перманент. Стр. I.147.
86. Связь существования двух сортов частиц с принципом суперпозиции.
87. Пространство Фока. Стр. I.149.
88. Операторы рождения и уничтожения в пространстве Фока. (7.31) и (7.32).
89. Коммутационные соотношения для Ферми-частиц (7.37).
90. Антикоммутационные соотношения для Бозе-частиц (7.37).
91. Пространство чисел заполнения для Ферми-частиц. Стр. I.154.
92. Пространство чисел заполнения для Бозе-частиц. Стр. I.155.
93. Полевые операторы ψ и ψ+. Стр. I. 157.
94. Операторы в представлении вторичного квантования. § 7.5.
95. Матрица плотности в представлении чисел заполнения.
96. Связь N-частичной и одночастичной статистических сумм для системы N
различных частиц (7.64).
97. Большая статистическая сумма. (7.68).
98. Факторизация большой стистической суммы для Ферми-частиц (7.73).
99. Факторизация большой стистической суммы для Бозе-частиц (7.75).
100.
Распределение Ферми (7.83).
101.
Распределение Бозе (7.82).
102.
Температура Бозе-конденсации (III.62.1).
103.
Качественная зависимость μ(T) для Бозе-газа.
104.
Качественная зависимость μ(T) для Ферми-газа.
105.
Зависимость μ(T) для Бозе-газа при T   .
106.
Зависимость μ(T) для Ферми-газа при T   .
107.
μ(T) для двумерного Бозе-газа.
108.
μ(T) для двумерного Ферми-газа
109.
Изотерма Бозе-газа ниже температуры Бозе-конденсации.
110.
Изотерма Ферми-газа при T  0 .
111.
Вывод формулы Планка (III.63.6).
112.
Термодинамические потенциалы и Ω-потенциал.
113.
Вывод Cp–Cv в переменных P и T.
114.
Вывод Cv–Cp в переменных P и T.
115.
Найти S при T  0 для N частиц со спином ½.
116.
Зависимость μ(T) для Ферми-газа при T  0 . Первый ненулевой член
разложения в ряд Тейлора по температуре.
117.
Магнетизм квантовых газов. Парамагнетизм Паули электронного газа при
T 0.
118.
Магнетизм квантовых газов. Диамагнетизм Ландау электронного газа при
T 0.
119.
Квантовая динамика свободной частицы в магнитном поле. Уровни Ландау.
120.
Коэффициент вырождения уровней Ландау.
121.
Зависимость магнитной восприимчивости от T при T  0 для электронного
газа.
122.
Почему μ<0 для Бозе-газа?
123.
При каком условии есть сверхтекучесть Бозе-газа при T=0.
124.
Эффективная масса газа возбуждений сверхтекучего Бозе-газа.