Метод наибольшего правдоподобия в случае неточных данных

ISBN 978-5-7417-0432-5.
Математические и информационные модели управления. М., 2013
УДК 517.9
А. В. Васюков
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
E-mail: [email protected]
О МОДЕЛИРОВАНИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИН
В МАГИСТРАЛЬНЫХ ТРУБОПРОВОДАХ
Одной из актуальных задач изучения динамической прочности трубопроводов под
давлением является анализ условий образования и распространения трещин как в
радиальном, так и в осевом направлении. В работе представлены результаты моделирования роста трещины в осевом направлении и раскрытия стенки трубопровода.
Математическая модель
В зависимости от условий динамического деформирования и от реологии материала в механике деформируемого твердого тела существуют
различные замкнутые математические модели.
Используемая система трехмерных динамических уравнений в тензорной форме имеет вид
vi
  j ij  уравнения движения,
t
ij

 qijkl kl  Fij  реологические соотношения.
t
t
p
1
ISBN 978-5-7417-0432-5.
Математические и информационные модели управления. М., 2013
Здесь ρ – плотность среды, vi – компоненты вектора скорости, σij и
εij – компоненты тензоров напряжения и деформаций,  k  ковариантная
производная по k-ой координате, Fij – добавочная правая часть. Тензор
четвертого ранга qijkl задается в соответствии с реологией среды. В приближении малых деформаций (линейно-упругое тело) его можно записать
в виде


qijkl  ij kl   ik  jl  il  jk ,
где δij – символ Кронекера, λ и μ – постоянные Ламе.
Использовалось матричное представление данных уравнений:
u
u
u
u
 A1
 A2
 A3
 f.
t
x1
x2
x3
В этом представлении u = (v1, v2, v3, σ11, σ12, σ13, σ22, σ23, σ33)T – вектор искомых функций, f – вектор правых частей. Явный вид матриц Ai, а
также аналитическое выражение их собственных значений и собственных
векторов приведены в [3].
Численный метод
Для численного решения полученной системы использовалась гибридная схема с расщеплением по направлениям. В качестве опорных схем
были выбраны схема Куранта–Изаксона–Рис и схема Лакса–Вендрофа.
Первая схема имеет первый порядок аппроксимации, её преимуществом
является монотонность, а недостатком – растущая со временем зона «размыва» фронта разрыва. Вторая схема имеет второй порядок аппроксимации, она меньше «размывает» фронты разрывов, но порождает нефизичные осцилляции вблизи больших градиентов. Гибридная схема позволяет
переключаться между опорными схемами в зависимости от поведения
решения и таким образом сочетать преимущества этих схем. Более подробно останавливаться на данном вопросе представляется нецелесообразным, так как все эти методы неоднократно описаны в литературе [2],
[4].
Результаты
Целью данной работы является моделирование распространения осевой трещины в магистральном газопроводе под воздействием внутреннего
давления. В качестве постановки задачи выбирался участок трубы с
надрезом (рис. 1). Геометрические размеры трубы, положение и геомет2
ISBN 978-5-7417-0432-5.
Математические и информационные модели управления. М., 2013
рия надреза соответствуют параметрам, используемым при полевых испытаниях образцов труб на устойчивость к распространению осевых трещин. Надрез задается сквозным, так как рост трещины в радиальном
направлении и прорыв стенки трубы не входят в задачи данной работы.
Торцевые поверхности трубы задаются жестко закреплёнными, что соответствует постановке стендовых испытаний.
Давление газа оказывает существенное влияние на раскрытие трещины
и выворачивание стенки трубы. Воздействие газа на трубу моделировалось заданием нормального напряжения на внутренней поверхности стенки трубы.
Конечное состояние трубы показано на рис. 2. Видно распространение
трещины в осевом направлении и раскрытие стенки трубы.
Рис. 1. Постановка задачи. Труба с надрезом
3
ISBN 978-5-7417-0432-5.
Математические и информационные модели управления. М., 2013
Рис. 2. Конечное состояние. Раскрытие трещины в трубе
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. – М.: Наука, 1988.
Магомедов А.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. – М.: Наука, 1988.
Петров И.Б., Холодов А.С. Численное исследование некоторых динамических
задач механики деформируемого твёрдого тела сеточно-характеристическим
методом // Ж. выч. матем. и матем. физ. – 1984. –Т. 24, № 5. – С. 722–739.
Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. – М.: МФТИ, 1994.
Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированной среды. – М.: МФТИ, 2002.
Получено 12.04.2013
4