ПСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА Областной конкурс «Юные дарования»

ПСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ
ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА
Областной конкурс «Юные дарования»
Ответы и решения к заданиям заочного тура конкурса
«Юный знаток математики»
8 класс
2010 – 2011 учебный год
№1. (3 балла) Можно ли найти три последовательных натуральных числа,
произведение которых в 25 раз больше их суммы?
Ответ: Нельзя.
Решение:
Рассмотрим три последовательных натуральных числа
, ,
.
По условию их произведение должно быть в 25 раз больше суммы, то есть:
Последнее уравнение не имеет натуральных решений, а значит, невозможно
найти три последовательных натуральных числа, произведение которых в 25
раз больше их суммы.
№2.(4 балла) Найдите последнюю цифру числа
Ответ: 4.
Решение:
.
В последовательности степеней натурального числа последняя цифра
периодически повторяется, причем, если натуральное число заканчивается на
2, то с циклом, равным четырем, его степени заканчиваются на 2, 4, 8, 6. Если
показатель степени при делении на 4 дает остатки 1, 2, 3, 0, то данная
степень оканчивается цифрой 2, 4, 8, 6 соответственно.
При делении на 4 число 6030 дает остаток 2, значит, число
заканчивается на 4.
№3. (4 балла) Отрезки
и
пересекаются и
.
Докажите, что отрезки
и
перпендикулярны. Вычислите площадь
фигуры
, если
.
Решение:
Рассмотрим треугольники ABD и CBD. Они равны по
трем сторонам, следовательно, у них равны
соответствующие элементы. Значит, угол ABD равен
углу CBD.
Так как
, то треугольник ABC –
равнобедренный.
Так как BO – биссектриса, проведенная к основанию, то BO также является
высотой, значит, отрезки
и
перпендикулярны.
В силу перпендикулярности диагоналей и равенства сторон фигура ABCD
является ромбом.
(квадратных единиц).
№4. (5 баллов) Дом имеет форму квадрата, разделённого на 9 одинаковых
квадратных комнат. В каждой комнате живёт либо рыцарь, который всегда
говорит только правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый житель
дома заявил: «Среди моих соседей рыцарей больше, чем лжецов». Известно,
что среди жителей дома есть и рыцари, и лжецы. Сколько среди них
рыцарей? (Соседними считаются комнаты, имеющие общую стену.)
Ответ: 6 рыцарей.
Решение: Предположим, что в центральной комнате дома живёт лжец. Тогда
возможны две ситуации.
1) Среди соседей лжеца, живущего в центральной комнате, есть рыцарь.
Тогда, поскольку о своих соседях этот рыцарь сказал правду, два его соседа,
живущие в угловых комнатах, должны быть рыцарями. Соседи рыцарей,
живущих в угловых комнатах, могут быть только рыцарями. Получается, что
среди соседей лжеца, живущего в центральной комнате, есть по крайней мере
три рыцаря. Это значит, что слова лжеца правдивы, а это невозможно. 2) Все
соседи лжеца, живущего в центральной комнате, тоже лжецы. Тогда у
жильцов угловых комнат все соседи — лжецы, а значит, они сказали
неправду. Получается, что все жильцы дома — лжецы, что противоречит
условию задачи. Значит, наше первоначальное предположение неверно, и в
центральной комнате живёт рыцарь. Тогда среди всех его соседей есть по
крайней мере три рыцаря. Если у жильца угловой комнаты оба соседа —
рыцари, он тоже должен быть рыцарем. Значит, в двух угловых комнатах
живут рыцари. Получается, что в доме живут по крайней мере шесть
рыцарей.
Рассмотрим последние три комнаты. Здесь снова возможны две ситуации.
1) В средней из этих трёх комнат живёт рыцарь. Тогда оба соседа жильцов
угловых комнат — рыцари, значит, в обеих угловых комнатах живут рыцари,
а это значит, что все жители дома — рыцари, что противоречит условию.
2) В средней комнате живёт лжец. Тогда жители обеих угловых комнат
солгали, значит, они тоже лжецы.
Значит, в доме живут шесть рыцарей и три лжеца.
№5. (5 баллов) В симфонический оркестр США приняли на работу трех
музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте,
альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что:
1) Смит – самый высокий;
2) играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;
3) играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;
4) когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;
5) Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.
На каких инструментах играет каждый музыкант, если каждый владеет двумя
инструментами?
Решение:
В силу условий 1, 2 и 4 делаем вывод, что Смит не играет ни на скрипке, ни
на трубе, ни на альте. Значит, Смит умеет играть на флейте и гобое.
В силу условий 3 и 5 Браун не играет ни на скрипке, ни на флейте, ни на
трубе, ни гобое. Следовательно, Браун играет на альте и на кларнете.
Таким образом, на скрипке и трубе умеет играть Вессон.
№6. (5 баллов) Малыш и Карлсон по очереди достают из коробки конфеты,
при этом каждый берет на одну конфету больше или меньше, чем перед этим
взял другой, не брать конфеты из коробки в свою очередь нельзя. Вначале в
коробке было 24 конфеты, и Малыш и Карлсон договорились, что если в
какой-то момент в коробке останется ровно 4 или 14 конфет, то тому, чья
очередь брать конфеты, достанется торт. Сможет ли Карлсон, который
первым берет конфеты, выиграть торт, если вначале он имеет право взять 1
или 2 конфеты?
Решение:
При правильной игре Карлсон сможет выиграть торт. Его выигрышная
стратегия такова: первым ходом Карлсон берет одну конфету. Малыш берет
2 конфеты, Карлсон берет 3. Малыш берет 2 конфеты (если он возьмет 4, то
их останется 14), Карлсон берет одну. Малыш берет 2, Карлсон – 1. Малыш
берет 2, Карлсон – 1. Малыш берет 2, Карлсон – 1. Малыш берет еще 2
конфеты, и Карлсон получает торт, так как осталось 4 конфеты.