Уравнения и неравенства с параметром

Уравнения с параметром
Колегаева Е.М., доцент кафедры ММиИТ ДВАГС
Пусть дано уравнение
F(x, a)=0 .
(1)
Если придавать переменной a некоторое фиксированное значение, то
уравнение (1) можно рассматривать как уравнение с одной переменной x.
Если ставится задача для каждого значения a из некоторого множества A
решить данное уравнение относительно переменной x, то уравнение (1)
называют уравнением с параметром, а множество A – областью изменения
параметра.
Уравнение (1) представляет собой краткую запись семейства
уравнений, получающихся из уравнения (1) при различных конкретных
значениях параметра a. Например, пусть дано уравнение ax  4 и пусть
область изменения параметра A  0, 1, 2, 3. Тогда данное уравнение можно
переписать в виде совокупности:
0  x  4, если a  0,
 x  4, если a  1,

2 x  4, если a  2,
3x  4, если a  3.

Обычно область изменения параметра – множество действительных
чисел, поэтому выписать все семейство уравнений не представляется
возможным, поэтому выделяют контрольные значения параметра, при
переходе через которые происходит качественное изменение уравнения.
Поясним это на простом примере:
Пример 1. Решить уравнение с параметром a ( a  1) x  a 2
Решение. Данное уравнение - линейное относительно неизвестной x.
Его решение зависит от коэффициента при неизвестной x, то есть
контрольными значениями параметра будут те, при которых коэффициент
при неизвестной x обращается в ноль, т.е. a  0, a  1.
Рассмотрим данное уравнение при каждом из указанных значений
параметра:
1). Если a  0 , то уравнение принимает вид 0  x  0 . Это равенство
выполняется при любых значениях x из множества действительных чисел,
поэтому уравнение имеет множество решений x  R .
2). Если a  1 , то уравнение примет вид 0  x  1. Это уравнение не
имеет решений.
a  0,
3). Если 
то обе части уравнения можно разделить на a(a  1) и
a 1
a
найдем x 
.
a 1
Ответ. При a  0 уравнение имеет множество решений x  R , при
a  0,
уравнение имеет
a  1 уравнение не имеет решений, и при 
a 1
a
единственное решение x 
.
a 1
Аналогично рассуждая, можно решить квадратное уравнение с
параметром. В уравнении ax2  bx  c  0 контрольными значениями
параметра могут быть те, при которых
1). Меняется тип уравнения (при a  0 уравнение - линейное, при
a  0 - квадратное),
2). Меняется количество корней (при D  0 уравнение не
имеетрешений, при D  0 уравнение имеет одно решение, и при D  0
уравнение имеет два решения).
Пример 2. При каждом значении параметра найти количество
различных решений уравнения ax 2  2( a  1) x  a  3  0 .
Решение. Рассмотрим все возможные случаи:
1). При a  0 уравнение – линейное и имеет вид  2 x  3  0 . Это
3
уравнение имеет единственное решение x   .
2
2). Если a  0 , то уравнение будет квадратным и его решение зависит
от знака дискриминанта D  4(a  1) 2  4a ( a  3)  4(a  1) .
- если a  1, то дискриминант – отрицательный и уравнение не имеет
решений,
a  1
- если 
, то дискриминант положительный и уравнение имеет два
a0
1 a  a 1
1 a  a 1
, x2 
решения x1 
,
a
a
- если a  1 , то дискриминант равен нулю и уравнение имеет одно
решение x  2 .
Ответ. При a  1 количество решений равно нулю, при a  0 и
a  1
уравнение имеет два
a  1 уравнение имеет одно решение, при 
a

0

решения.
Пример 3. Решить уравнение с параметром x 2  x  a  x .
Решение. В данном случае контрольные значения параметра
определяются областью допустимых решений уравнения.
Найдем ОДЗ уравнения:
  x  0,



  x  1,
 x  a
При всех значениях x из ОДЗ обе части уравнения можно возвести в
квадрат:
x 2  x  (a  x ) 2 
( 2a  1) x  a 2 .
Получилось линейное уравнение, решение которого зависит от знака
1
коэффициента при неизвестной x. Если a  , то уравнение примет вид
2
1
1
0  x  , и такое уравнение не имеет решений. Если же a  , то уравнение
4
2
2
a
имеет одно решение x 
. Остается выяснить, при каких значениях
2a  1
параметра данное решение удовлетворяет ОДЗ уравнения. Для этого нужно
решить две системы неравенств, которые получатся, если в ОДЗ вместо x
a2
подставить его значение x 
:
2a  1
 x( x  1)  0,

 xa
 x 2  x  0,

 ax0
 a2
 2a  1  0,
 a2

a
 2a  1
или
 a2
 2a  1  1,
 a2

a
 2a  1
 1
Решив эти две системы, получим, что a  0,   1,   .
 2
 1
Ответ. При a  0,   1,   уравнение имеет единственное решение
 2
a2
1 
x
. При a   , 0   , 1 уравнение не имеет решений.
2a  1
2 
Пример 4.
Найти количество различных решений уравнения
x
x
25  2  5  a  0 .
Решение. Данное уравнение – показательное. Обозначим через m
количество различных решений уравнения. Сделаем замену неизвестной,
обозначив t  5 x , t  0 . Тогда уравнение примет вид t 2  2t  a  0 . Решение
данного квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта D  4  4a .
Рассмотрим возможные случаи:
1). Если D  4  4a  0 , т.е. a  1 то уравнение имеет два различных
корня t1  1  1  a и t 2  1  1  a , причем оба корня должны быть
положительными. Найдем такие значения a, при которых корни
положительны, учитывая условие a  1, и решим уравнение t  5x при таких
a:
1  1  a  0,

0  a  1.

a

1
.

Таким образом, при 0  a  1 уравнение примет вид: 5x  1  1  a .
Тогда x  log 5 (1  1  a ) .
а). t1  0 
1  1  a  0,

a 1

a

1
.

Таким образом, при a  1 уравнение примет вид: 5x  1  1  a . Тогда
x  log 5 (1  1  a ) .
2). Если D  4  4a  0 , т.е. a  1 то уравнение имеет одно решение
t  1  0 . Сделав обратную замену 5 x  1 найдем решение x  0 .
3). Если D  4  4a  0 , т.е. a  1 то уравнение не имеет решений.
Ответ. Если a  1 то m  0 , если a   , 0 или a  1 , то m  1, если
a  0, 1 , то m  1.
б). t 2  0 
Задания для самостоятельного решения
Решить уравнения с параметром. В ответе указать количество
различных решений их значения.
1. (a 2  1) x  ( a 2  3a  2)  0
1
3
2.

ax  4 3x  12
3. (a  1) x 2  5ax  (a  1)  0
x2 1
1
x
4. 2


a x  2a ax  2 a
5. x  2(a  1) x  (a 2  2a  8)
6. x  2a  2  x  a
7. 5  2 x1  25  a  a  2 x1
8. ln 2 x  ln( 2  x)  ln a
9. a 2 ln xln(6x )  1
10. a  sin x  12 cos x  a 2