Лекция_3

ЛЕКЦИЯ 3
Тема: Производная функции. Дифференциал и его приложение к
приближенным вычислениям
План:
1. Понятие производной
2. Таблица производных
3. Правила дифференцирования
4. Приложение производной
5. Понятие дифференциала функции.
1. Понятие производной
Опр: Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел
отношения приращения функции ∆f(x0)=f(x0+∆x)-f(x0) в точке х0 к
приращению аргумента ∆х=х-х0, когда последнее стремится к нулю:
f , ( x0 )  lim
x0
f ( x0  x)  f ( x0 )
x
f , ( x0 ) можно трактовать как скорость изменения
производную
переменной у относительно переменной х в точке х0.
Опр:
Операция
нахождения
производной
называется
дифференцированием.
Опр: Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется
дифференцируемой в этой точке.
Опр: Функция, имеющая производную в каждой точке промежутка,
называется дифференцируемой на этом промежутке.
Степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические,
обратные тригонометрические функции дифференцируемы на любом
интервале, где они определены, и их производные находятся по формулам.
2. Таблица производных
Производные простейших элементарных функций:
( x )'  x 1
c 0
'
(ax)’=axlnа, в частности (ех)’= ех
(sinx)’=cosx
(tgx)' 
1
1
, в частности (ln x)' 
x ln a
x
(cosx)’= - sinx
1
cos 2 x
(arcsin x)' 
(log a x)' 
(ctgx)'  
1
1  x2
1
(arctgx)' 
1  x2
1
sin 2 x
(arccos x)'  
1
1  x2
1
(arcctgx)'  
1  x2
10
3. Правила дифференцирования
Справедливы следующие правила нахождения производных:
Правила дифференцирования
С постоянным
множителем
сумма
[ku(x)]’= ku(x)
(u+v)’=u’+v’
частное
произведение
'
u ' v  uv '
u

 
v2
v
(uv)’=u’v+uv’
Сложная функция
y=f(g(x))
y’=f’(g(x))g’(x)
4.Приложение производной
Геометрический смысл производной
Значение производной функции y=f(x) в точке х=а равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке х=а.
Уравнение касательной: y=f(a)+f ’(a)(x-a)
Физический смысл производной
Понятие производной возникло как математическое описание скорости
движения, поэтому важнейшим приложением производной является
вычисление скорости.
Если s=s(t) -закон прямолинейного движения,
то s’(t)=v скорость движения в момент времени t
s’’(t) =v'(t)=а – ускорение.
Физический смысл производной состоит в нахождении скорости
протекания процесса, описываемого зависимостью y=f(x).
Пример:
Температура тела задана законом y=x2+3x-1. Найти скорость изменения
температуры в момент времени 2 c.
Решение:
Исходя из того s’(t)=v. Находим y'=2x+3. Далее находим скорость в
момент времени 2 c. y(2)=2*2+3=7.
Приближенные вычисления
f(x)≈f(x0)+f ’(x0)(x-x0)
Пример: (1,8)3≈23+3*22(1,8-2)=8+12(-0,2)=8-2,4=5,6
11
Исследование функции на монотонность
Т1:Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется
неравенство f/(х)  0, то функция y=f(x) возрастает на промежутке X.
Т2: Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется
неравенство f/(х)  0, то функция y=f(x) убывает на промежутке X.
Если функция f непрерывна в точке х0, и производная меняет свой знак
с f’(x)>0 на f’ (x)<0, то точка х0 является точкой максимума.
Если функция f непрерывна в точке х0, и производная меняет свой знак
с f’(x)<0 на f’ (x)>0, то точка х0 является точкой минимума.
5. Понятие дифференциала функции
С понятием производной функции тесно связано понятие
дифференциала функции.
Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, то выражение вида
f ’(x0)∆x, где ∆x=х-х0, называется дифференциалом функции в точке х0 и
обозначается df(х0) или dy(x0). Дифференциал независимой переменной dx
считается равным её приращению ∆x, поэтому df(х0) = f ’(x0)∆x= f ’(x0)dx.
Итак, дифференциал функции равен произведению производной этой
функции на дифференциал аргумента:
dy=df=f ’(x)dx
Выражение производной через дифференциал функции:
f ’(x)= dy/ dx. При таком обозначении сразу видно, какая переменная
является функцией, а какая аргументом.
Контрольные вопросы для закрепления:
1. Дайте определение производной.
2. Как называется операция нахождения производной.
3. По какой формуле находится производная степенной функции.
4. Чему равна производная постоянной функции.
5. Назовите правила дифференцирования.
6. В чем состоит практическое применение производной?
7. Дайте понятие дифференциала функции.
8. В чем состоит геометрический смысл производной и дифференциала
функции.
Литература:
1. Омельченко В.П., Демидова А.А. Математика: Компьютерные
технологии в медицине. – Ростов н/Д:Феникс, 2008. -588 с. Ил.-(Среднее
профессиональное образование)
2. Подготовка к ЕГЭ по математике [электронный ресурс]: конспект по
алгебре. URL: http://uztest.ru/abstracts/
12