08-08-04. Прямоугольная система координат в пространстве 1. Возьмем куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Его гранями являются квадраты. Поэтому ребра куба, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны. Например, на рисунке 1 перпендикулярны друг другу ребра BA , BC и BB1 . Проведем через эти три взаимно перпендикулярных ребра куба три прямые и каждую из них превратим в числовую прямую таким образом, чтобы точка B на каждой прямой изображала нуль, а точка A на прямой BA , точка C на прямой BC , точка B1 , на прямой BB1 изображали число 1 (рисунок 2). Переобозначим теперь точку B как точка O и назовем началом прямоугольной системы координат в пространстве. Числовую прямую BA назовем первой координатной осью и обозначим Ox . Числовую прямую BC назовем второй координатной осью и обозначим Oy . Числовую прямую BB1 назовем третьей координатной осью и обозначим Oz (рисунок 3). Три координатные оси позволяют у каждой точки пространства определить три координаты. Чтобы разъяснить, как это делается, рассмотрим следующий пример. Отметим на оси Ox точку A с координатой -2, на оси Oy точку B с координатой 4, на оси Oz точку C с координатой 3 и построим прямоугольный параллелепипед OABCQMR , как на рисунке 4. Координаты вершин этого параллелепипеда определяются как тройки чисел, расположенных в определенном порядке, следующим образом: начало O системы координат имеет координаты (0;0;0); точка A оси Ox имеет координаты (-2;0;0); точка B оси Oy имеет координаты (0;4;0); точка C оси Oz имеет координаты (0;0;3); точка P плоскости Oxy имеет координаты (-2;4;0); точка Q плоскости Oxz имеет координаты (-2;0;3); точка R плоскости Oyz имеет координаты (0;4;3); точка M , не лежащая ни в одной из плоскостей Oxy , Oxz , Oyz , имеет координаты (-2;4;3). Аналогично определяются координаты вершин любого прямоугольного параллелепипеда, три ребра которого расположены на осях координат. 2. Координаты точек на осях. В этом пункте разберем случай, когда точка M лежит на одной из координатных осей. Тогда нужно найти координату точки M на соответствующей оси и записать эту координату первой, если точка M лежит на оси Ox , второй, если точка M лежит на оси Oy , третьей, если точка M лежит на оси Oz . Остальные координаты точки M равны нулю. Пример 1. На рисунке 6 точки M N K имеют координаты: M (3 0 0) , N (03 0) , K (0 0 4) . 3. Координаты точек координатных плоскостей. В этом пункте рассмотрим, как находить координаты точки, лежащей в одной из координатных плоскостей Oxy , Oxz или Oyz . Пусть точка M лежит в плоскости Oxy . В этой плоскости опустим перпендикуляры MK и ML на оси Ox и Oy соответственно и найдем координату a точки K на оси Ox и координату b точки L на оси Oy (рисунок 7). Координатами точки M является тройка чисел ( a b 0) . Например, точка M на рисунке 7 имеет координаты (3;-2;0). Аналогично, пусть точка M лежит в плоскости Oxz . В этой плоскости опустим перпендикуляры MK и ML на оси Ox и Oz соответственно и найдем координату a точки K на оси Ox и координату c точки L на оси Oz (рисунок 8). Координатами точки M является тройка чисел ( a 0 c) . Например, точка M на рисунке 8 имеет координаты (3;0;4). 4. Координаты точек в общем случае. В этом пункте рассмотрим, как находить координаты точки M, не лежащей в одной из координатных плоскостей Oxy , Oxz , Oyz . Проведем через точку M прямую c параллельно оси Oz до пересечения с плоскостью Oxy в точке P (рисунок 9). Затем через точку P проведем прямую b параллельно оси Ox до пересечения с осью Oy в точке B и прямую a параллельно оси Oy до пересечения с осью Ox в точке A (рисунок 10). Построив прямоугольный параллелепипед с ребрами PM , PB , PA , на оси Oz получим его вершину C (рисунок 11). Найдем координату a точки A на оси Ox , координату b точки B на оси Oy , координату c точки C на оси Oz . Точка M имеет координаты ( a b c ) . Например, точка M на рисунке 11 имеет координаты (2;4;-2). 5. Напомним, как в координатной плоскости вычисляется расстояние между двумя точками по их координатам. Пусть A и B имеют координаты ( x1 y1 ) и ( x2 y2 ) , а отрезок AB не параллелен ни одной из координатных осей. Если проведем перпендикуляры AA1 и BB1 к оси Ox и перпендикуляры AA2 и BB2 к оси Oy , то получим прямоугольный треугольник ABC (рисунок 12). Катеты этого треугольника AC OA2 OB2 y1 y2 CB OB1 OA1 x1 x2 Значит, по теореме Пифагора AB AC 2 BC 2 или AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . В шестом классе было доказано, что эта формула справедлива и тогда, когда отрезок AB параллелен одной из координатных осей. 6. Формула расстояния между точками координатного пространства. В пространстве расстояние между точками A( x1 y1 z1 ) и B( x2 y2 z2 ) вычисляется по формуле AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2 Для того чтобы пояснить, как эта формула может быть доказана, рассмотрим примеры. Пример 2. Пусть A(0 2 0) и B(0 5 0) , то есть x1 0 , y1 2 , z1 0 , x2 0 , y2 5 , z2 0 . Тогда на оси Oy точки A и B имеют соответственно координаты y1 2 и y2 5 (рисунок 13). Поэтому AB y1 y2 2 5 . По формуле также имеем AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2 O2 ( y1 y2 )2 O2 y1 y2 2 5 Пример 3. Пусть A(31 0) и B(2 4 0) , то есть x1 3 , y1 1 , z1 0 , x2 2 , y2 4 , z2 0 . Тогда в плоскости Oxy точки A и B имеют соответственно координаты (3;1) и (2;4) (рисунок 14). Поэтому AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (3 1) 2 (1 4) 2 По формуле также имеем AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 O2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (3 1) 2 (1 4) 2 Пример 4. Пусть A(3 2 5) и B(1 5 3) , то есть x1 3 , y1 2 , z1 5 , x2 1 , y2 5 , z2 3 . Опустим на плоскость Oxy перпендикуляры AA1 и BB1 (рисунок 15). Получим, что AA1 5 , BB1 3 , а точки A1 и B1 в плоскости Oxy имеют соответственно координаты (3;2) и (1;5). Следовательно, A1B1 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (3 1) 2 (2 5) 2 Если теперь в прямоугольной перпендикулярно AA1 , то получим трапеции AA1B1B провести отрезок BC AC AA1 BB1 z1 z2 5 3 BC A1B1 Поэтому по теореме Пифагора AB BC 2 AC 2 A1B12 AC 2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2 (3 1) 2 (2 5) 2 (5 3) 2 7. Пусть куб со стороной единица расположен так, как на рисунке 1. Тогда вершины куба имеют координаты: A(0 0 0) , B (1 0 0) , C (11 0) , D(01 0) , A1 (0 01) , B1 (1 01) , C1 (111) , D1 (011) . Рассмотрим несколько задач, связанных с этим кубом. Пример 5. Найти координаты середины M ребра CD . Решение. Так как точка M лежит на плоскости Oxy , ее последняя координата равна нулю. В плоскости Oxy точка M имеет координаты 12 1 , и в итоге получаем, что M 12 1 0 . Пример 6. Найти координаты точки L пересечения диагоналей грани CC1D1D . Решение. Все точки, лежащие на этой грани, имеют вторую координату, равную единице. Найдем какие координаты имеет точка пересечения диагоналей единичного квадрата AA1B1B на плоскости Oxz . Для этого рассмотрим рисунок 17, откуда найдем, что L имеет координаты 12 12 . Так как у точки L первая и третья координаты совпадают соответственно с первой и третьей координатой точки L1 , то точка L имеет координаты 1 12 12 . Пример 7. Какие из перечисленных точек лежат внутри куба ABCDA1B1C1D1 : 1 2 1 7 1 1 P(1 0 3) Q(3 4 2) F R 2 3 3 5 2 2 Решение. Чтобы точка M лежала внутри единичного куба, необходимо и достаточно, чтобы координаты ( x y z ) этой точки удовлетворяли следующим неравенствам: 0 x 1 , 0 y 1 , 0 z 1 . Проверяя эти неравенства для координат заданных точек, получаем, что точки P Q R лежат вне куба, а точка F — внутри. Контрольные вопросы и задания 1. Что такое первая, вторая и третья координатная ось в пространстве? 2. Какие координаты имеют точки, лежащие на оси Ox ? 3. Какие координаты имеют точки, лежащие на оси Oy ? 4. Какие координаты имеют точки, лежащие на оси Oz ? 5. Какие координаты имеют точки, лежащие на плоскости Oxy ? 6. Какие координаты имеют точки, лежащие на плоскости Oxz ? 7. Какие координаты имеют точки, лежащие на плоскости Oyz ? 8. Как нарисовать в пространстве точку M с координатами ( a b c ) при a 0 , b 0 и c 0? 9. Чему на плоскости равно расстояние между двумя точками с координатами ( x1 y1 ) и ( x2 y2 ) ? 10. Чему в пространстве равно расстояние между двумя точками с координатами ( x1 y1 z2 ) и ( x2 y2 z2 ) ? 11.Чему равно расстояние от точки M с координатами ( a b c ) до начала системы координат? Задачи и упражнения 1. В пространстве рассматривается куб ABCDA1B1C1D1 , причем вершина A лежит в начале координат, а ребро AB направлено по оси Ox , ребро AD — по оси Oy , ребро AA1 — по оси Oz (рисунок 18). Пусть ребро куба равно: а) 1; б) 2; в) 3; г) 5; д) 1,5; е) 2,5. Найдите координаты: 2) середины стороны 1) всех вершин куба; AD ; 3) середины стороны AA1 4) середины стороны ; CD ; 5) середины стороны C1D1 6) точки пересечения диагоналей ; B1C и C1B грани BB1C1C ; 7) точки пересечения диагоналей A1C и BD1 8) объем куба. куба; 2. В пространства рассматривается прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , причем вершина A лежит в начале координат, а ребро AD направлено по оси Ox и равно 3, ребро AB направлено по оси Oy и равно 2, ребро AA1 направлено по оси Oz и равно 1. Найдите координаты: 1) всех вершин прямоугольного параллелепипеда; 2) середины стороны AD 3) середины стороны ; AA1 ; 4) середины стороны CD 5) середины стороны ; C1D1 ; 6) точки пересечения диагоналей B1C и C1B грани BB1C1C ; 7) точки пересечения диагоналей A1C и BD1 прямоугольного параллелепипеда; 8) объем параллелепипеда. 3. В пространства рассматривается прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , причем вершина A лежит в начале координат, а ребро AD направлено по оси Ox и равно 2, ребро AB направлено по оси Oy и равно 4, ребро AA1 направлено по оси Oz и равно 2. Найдите координаты: 1) всех вершин прямоугольного параллелепипеда; 2) середины стороны AD ; 3) середины стороны AA1 ; 4) середины стороны CD ; 5) середины стороны C1D1 ; 6) точки пересечения диагоналей B1C и C1B грани BB1C1C ; 7) точки пересечения диагоналей A1C и BD1 прямоугольного параллелепипеда; 8) объем параллелепипеда. 4. Найдите расстояние между точками A и B с координатами: а) A(111) , B(1 3 2) б) ; A(21 4) , B(1 5 6) ; в) A(1 41) , B (1 0 2) г) ; A(1 6 2) , B (11 0) ; д) A(1 0 0) , B(5 4 0) е) ; A(1 5 01 5) , B (0 5 0 5 0) ; ж) A(0 51 5 2 5) , B (01 0) . 5. Найдите расстояние от точки M с координатами: в) б) (1;0;4); а) (1;1;1); 12 5 2 ; д) г) (6;2;4); 12 23 23 ; ; 12 13 16 ; е) 12 13 12 ж) до начала системы координат. 6. Возьмем восемь точек с координатами (2;2;2), (2;2;-2), (2;-2;2), (-2;2;2), (2;- 2;-2), (-2;2;-2), (-2;-2;2), (-2;-2;-2). Ответьте на следующие вопросы: а) в вершинах какого многогранника расположены эти точки; б) какая из этих точек наиболее удалена от начала системы координат; в) какая из этих точек наиболее удалена от точки (2;2;2); г) какая из этих точек наименее удалена от точки (2;2;2)? 7. В пространства рассматривается куб ABCDA1B1C1D1 , причем вершина A лежит в начале координат, а ребро AB направлено по оси Ox , ребро AB — по оси Oy , ребро AA1 — по оси Oz . Длины всех ребер куба равны 1. Обозначим через M — середину стороны C1 D , через N точку пересечения диагоналей B1C и C1B грани BB1C1C , через O — центр куба, то есть точку пересечения всех диагоналей AC1 , BD1 , CA1 , DB1 , через L – точку с координатами (2;0;0). Найдите расстояние: а) AM ; б) AN ; в) MN ; г) OL ; д) NL ; е) BL . 8. Рассматривается такой же куб, что и в упражнении 7. Какие из перечисленных ниже точек лежат внутри куба, а какие вне него: P(2 6 0) , Q (0 0 4) , R 12 13 16 , S 12 13 2 , F 12 0 81 ? Ответы и указания к решению наиболее трудных задач. Задача 7. Указания. После того, как найдены координаты всех вершин куба, координаты точки M можно вычислить как координаты середины отрезка C 1 D1 , координаты точки N как координаты середины отрезка CB1 , координаты точки O как координаты середины отрезка A1C . Задача 8. Указания. Точка T с координатами ( a b c ) лежит внутри куба из задачи 7 тогда и только тогда, когда 0 a 1, 0 b 1 , 0 c 1; точка T лежит на поверхности куба тогда и только тогда, когда хотя бы одна из координат равна либо 0, либо 1; в остальных случаях точка T лежит вне куба.