Производная и первообразная показательной

1
Лекция 6.
11 класс.
Тема: Производная
степенной функций.
и первообразная показательной, логарифмической,
1.Производная и первообразная показательной функции.
а)Понятие числа е. рис 142 стр. 252.Рассмотреть графики показательной функции с
основанием от 2 до 3,4.
Существуют касательные к графику функции в точке с абсциссой х0, следовательно
функция у = ах дифференцируема во всех точках области определения.
На рисунке проведены касательные к каждому графику с абсциссой 0. Углы
наклона к этим графикам будут от 350 до 510. Если а возрастает от 2 до 3,4, то и
угловой коэффициент будет возрастать tq350 до
tq510. Существует точка с
абсциссой х0, где tq450=1.
Существует такое число, больше 2 и меньше 3(это число обозначается е), что
показательная функция у = ех в точке 0 имеет производную (tq450=1), равную 1, то
есть
е∆х
∆х
→ 1 при ∆х→ 0. е- иррациональное число. Е≈ 2,718281 … ≈ 2,7.
Функцию ех часто называют экспонента.
б) Свойства функции у = ех называют ребята.
в)Существует обратная функция у =ln х. Показать на графике симметрию этих
графиков обратных функций у = ех и у =ln х.
г) формула производной показательной функции.
(ех)/=ех. Функция ех дифференцируема в каждой точке области определения.
Доказательство:
∆у = ех0+∆х − ех0 = ех0 (е∆х − 1);
∆у
∆х
=
ех0 +∆х −ех0
∆х
= ех0
(е∆х −1)
∆х
→ ех при ∆х → 0;
у = ех, у/=(ех)/= ех. при любом х.
2
Теорема 2.
Показательная функция ах
определения и (ах)/= ах ln а.
дифференцируема
в
каждой
точке
области
/
Доказательство:(ах )/ = (ах ln х ) = ех ln а ln а = ах ln а.
Следствие: Показательная функция непрерывна в каждой точке своей области
определения, то есть ах→ ах0 при х→ х0 .
Смотри таблицу в справочнике нахождения производной.
Пример 1.
у = е-2х. у/=(е−2х )/ = −2е−2х .
Пример 2.
у =43х. у/=3× 43х ln 4.
Пример 3.
Разобрать в учебнике стр. 254.
Д) первообразная для функции ах на R является функция у =
/
ах
1
ах
ln а
.
1
(ln а) = ln а (ах )/ = ln а ах ln а = ах при любых х ( затем таблица в справочнике).
Пример 4.
Найдите первообразную :
f(𝑥) = 4𝑥 ; q(x)=5× 2𝑥 ,
F(x)=
4𝑥
ln 4
+c;
Q(x)=
5×2𝑥
ln 2
h(x)=4𝑒 3𝑥 − 10 × 0,6𝑥 + 𝑐.
4
0,6𝑥
3
ln 0,6
+ 𝑐; H(x)= 𝑒 3𝑥 − 10
+𝑐
Пример 5.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=2х, у=0, х=-1, х=2.
2
Криволинейная трапеция. S=∫−1 2х 𝑑𝑥 =
2х
|2-1=
ln 2
4
ln 2
−
2−1
ln 2
=
7
.
ln 2
3
2. Производная и первообразная логарифмической функции.
1)Логарифмическая функция дифференцируема в каждой точке.
У=log а х и у = ах графики этих функций симметричны относительно прямой у=х.
График показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой
точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет негоризонтальную
касательную в каждой точке. Это значит, что логарифмическая функция
дифференцируема на её области определения.
1
2) (ln х)/= .
х
Доказательство:
/
1
Х=еln х , для х> 0. х/ = (еln х ) = еln х ln х/ = х(ln х)/ = х × = 1.
х
1
3)Для функции на интервале (0;∞) любая первообразная может быть записана в
х
виде ln х + с.
Пример 1.
Найдите производную функции у =ln(3 − 2х).
у/=ln(3 − 2х)/=
1
(3 − 2х)/ =
3−2х
−2
3−2х
=
2
2х−3
.
Пример 2.
Найдите производную функции у =log 4 х.
у/ = (log 4 х)/ = (
ln х /
1
) = х ln 4.
ln 4
Пример 3.
Найдите производную функции у =log 8 3х.
ln 3х /
у/ = (log 8 3х)/ = (
3
1
) = 3х ln 8 = х ln 8.
ln 8
Пример 4.
Исследовать функцию на возрастание и убывание, экстремумы и построить график.
4
f(x)=𝑥 3 ln 𝑥, x> 0.
1
у/ = (𝑥 3 ln 𝑥)/ = (х3 )/ ln х + х3 (ln х)/ = 3𝑥 2 ln х + х3 × = 3𝑥 2 ln х + 𝑥 2 =
х
𝑥
2 (3
ln х + 1).
1
1
f /(x)> 0 на промежутке 3ln х + 1 > 0; ln х > − ; х > е−3 .
3
1
Следовательно, на( 3 ; ∞) функция возрастает.
√е
1
f /(x)< 0 на промежутке (0; 3 ).
√е
1
Следовательно, на(0; 3 ) функция убывает.
√е
1
В точке х= 3
√е
производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка
1
1
√е
√е
3
1
1
1
1
1
минимума. f( 3 ) = ( 3 ) ln 3 = (− ) = − ≈ −0,12. x= 3 ≈ 0,6.
𝑒
3
3𝑒
√е
√е
у
0
1
х
Первообразная для функции
1
х
на(0; ∞) может быть записана в виде ln х + с.
1
F(x)= ln х + с. Функция имеет первообразную и на (−∞; 0). Это функция ln(−х).
х
Пример 1.
Найдите первообразную для функции у=
1
1
.
2х−3
Для х ≠ 1,5 первообразная равна ln|2х − 3| + с.
2
5
Пример 2.
1
Найдите площадь фигуры ограниченной линиями у = , у=0, х=2 х=3.
х
31
S=ln 3 − ln 2 = ln 1,5 ∫2 𝑑𝑥 = ln 𝑥 |32=ln 3 − ln 2 = ln 1,5.
𝑥
3.Степенная функция.
1) определение.
Функция, заданная формулой у = х𝛼 , называется степенной (с показателем степени
α).
график
𝛼 > 1,
0𝛼 = 0
α-чет.(ц.нат.) 𝛼- нечет.
у
у
0
𝛼<0
0< 𝛼 < 1
1
1
α-чет. α=
2
у
х
0
0
0
1
α-нечет.α=
3
у
f(x)= −𝛼
𝑥
у
х
0
х
Х-любое
Х-любое
x≥ 0
число
число
𝛼 /
𝛼−1
При 𝛼 > 0 (х ) = 𝛼х
> 0-возрастает на [0; ∞[.
О.О.Ф.
Х - любое
число.
х>0.
(х𝛼 )/ = 𝛼х𝛼−1
> 0 − убывает
Доказать: (х𝛼 )/ = 𝛼х𝛼−1 .
Доказательство:
1
Х=еln х ; х𝛼 = е𝛼 ln х ; (х𝛼 )/= (е𝛼 ln х )/= е𝛼 ln х (𝛼 ln х)/=х𝛼 × 𝛼 × = 𝛼х𝛼−1 .
х
2)Первообразная степенной функции.
F(x) =
𝑥 𝛼+1
𝛼+1
х
+c при 𝛼 = −1 𝐹(𝑥) = ln|х| + с.
3)Вычисление значений степенной функции.
(1 + ∆х)𝛼 ≈ 1 + 𝛼∆х.
/
Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + (𝑓(𝑥0 )) ∆х.
6
/
/
при х0 = 1 и х = 1 + ∆х 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(1) = 1 и (𝑓(𝑥 )) = 𝛼х𝛼−1 .⟹ (𝑓(𝑥0 )) =
(𝑓(1))/ = 𝛼1𝛼−1 = 𝛼.
𝑓(𝑥) = (1 + ∆х)𝛼 ≈ 1 + 𝛼∆х.
Чаще всего эту формулу используют для вычисления корней 𝛼 =
1
𝑛
1
𝑛
. Находим
∆х
√1 + ∆х = (1 + ∆х)𝑛 ≈ 1 + 𝑛 .
Пример 1
1
4
1
√1,17 = (1 + 0,17)4 ≈ 1 + 4 × 0,17 = 1 + 0,425 = 1,425.
Пример 2.
3
3
√64,04 = √64 (1 +
4800+1
4800
=4×
4801
4800
=
0,04
3
) = 4√(1 +
64
4801
1200
0,04
1
) ≈ 4 (1 + 3 ×
64
0,04
0,01
) ≈ 4 (1 + 16×3) = 4 ×
64
= 4,0008 ≈ 4,001.
Пример 3.
10
10
10
24
24
10216
√1000 = √210 − 24 = 2 √1 − 210 ≈ 2 (1 − 10×210) = 2 × 10240 =
10216
5120
≈ 1,995.
Обратить внимание на справочник по производным и первообразным,
нахожденею интегралов для всех изученных функций.